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Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrement de par deux fonctions Exercice 2 : encadrement de obtenu par une fonction et des changements de variables Exercice 3 : encadrement de par la somme de factorielles et écriture d’un algorithme Exercice 4 : valeur du nombre en faisant appel à l’intégration (intégration par parties) Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices corrigés

Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices ... · Or, pour tout , car la fonction est décroissante sur . Ainsi, il vient que car la fonction est croissante sur . Comme

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Page 1: Fonction exponentielle Encadrement du nombre Exercices ... · Or, pour tout , car la fonction est décroissante sur . Ainsi, il vient que car la fonction est croissante sur . Comme

Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : encadrement de par deux fonctions

Exercice 2 : encadrement de obtenu par une fonction et des changements de variables

Exercice 3 : encadrement de par la somme de factorielles et écriture d’un algorithme

Exercice 4 : valeur du nombre en faisant appel à l’intégration (intégration par parties)

Fonction exponentielle – Encadrement du nombre

Exercices corrigés

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Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés

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2

Pour tout , on pose ( ) (

) et ( ) ( ).

1) Montrer que, pour tout , ( ) et ( ) .

2) En déduire un encadrement de .

1) Montrons que, pour tout , ( ) et ( ) .

a) Montrons tout d’abord que ( ) .

Rappel : Fonction exponentielle et inverse d’un réel

Pour tout , avec .

La fonction est définie par ( ) ⏟ ( )

(

)⏟

( )

, produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,

d’une part la fonction (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction

(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.

Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .

Rappel : Fonction exponentielle et dérivée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle . La fonction définie par est dérivable sur et, pour tout

, ( ( )) ( ) ( )

Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout , ( ) et ( ) .

Ainsi, pour tout ,

( ) ⏟ ( )

(

)

⏟ ( )

⏟ ( )

( )⏟ ( )

Pour tout , et

donc ( ) .

Ainsi, pour tout , ( ) . La fonction est donc décroissante sur .

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu

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3

Par ailleurs, la fonction étant continue en , ( )

existe et ( ) (

) ⏟

.

En conclusion, pour tout , ( ) .

( )

( )

b) Montrons désormais que ( ) .

La fonction est définie par ( ) ⏟ ( )

( )⏟ ( )

, produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,

d’une part la fonction (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction

(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.

Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .

Ainsi, pour tout ,

( ) ⏟ ( )

( )⏟ ( )

⏟ ( )

( )⏟ ( )

( ) ( )

( ( )) ( )

D’une part, pour tout , . D’autre part, pour tout , . Enfin, pour tout ,

(car la fonction est décroissante sur ), d’où (du fait de la croissance

de la fonction sur ), c’est-à-dire . Il s’ensuit que, pour tout , ( ) . La

fonction est donc croissante sur .

Par ailleurs, la fonction étant continue en , ( )

existe et ( ) ( ) ⏟

.

En conclusion, pour tout , ( ) .

( )

( )

2) Cherchons dès lors un encadrement de .

D’après la question précédente, pour tout , est décroissante, donc ( ) ( ) ( ). Comme

( ) (

)

et comme, d’après la question précédente, ( ) , il vient que

( ) .

On a également établi que, pour tout , est croissante, donc ( ) ( ) ( ). La question

précédente a permis de montrer que ( ) . Par ailleurs, ( ) ( )

. Par conséquent,

( )

.

Il résulte alors que

. En multipliant par , il vient finalement que .

Remarque : Ce résultat est conforme à celui affiché par la calculatrice : .

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4

Soit la fonction définie sur par ( ) ( ).

1) Montrer que, pour tout réel, .

2) En déduire que, pour tout réel ,

.

Soit un entier naturel tel que .

3) Démontrer que ( )

.

4) Démontrer que ( )

.

5) En déduire un encadrement de en fonction de .

1) Montrons que, pour tout réel, , c’est-à-dire montrons que ( ).

La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction

(fonction exponentielle) et d’autre part la fonction (fonction affine).

Par conséquent, la fonction est dérivable sur et, pour tout , ( ) .

Rappel : Résolution d’inéquation de la forme ( ) ( )

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles).

Pour tout réel , ( ) ( ) si et seulement si ( ) ( ).

Or, ( ) . Ainsi, pour tout , ( ) , c’est-à-dire

croissante sur , et pour tout , ( ) , c’est-à-dire strictement décroissante sur .

Autrement dit, admet un minimum, atteint en . Comme ( ) ( ) , pour tout ,

( ) . Finalement, pour tout , ( ) , c’est-à-dire .

2) Montrons désormais que, pour tout réel ,

.

La question précédente a permis d’établir que, pour tout , . En remplaçant par – , il vient

alors l’inégalité .

Or, pour tout réel , car la fonction est décroissante sur . Par conséquent, pour

tout réel ,

car la fonction

est décroissante

sur et car . En définitive,

pour tout réel .

Exercice 2 (5 questions) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 2 Retour au menu

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3) Démontrons que ( )

, où ⟦ ⟦

Posons

et notons que

existe car .

Pour tout ⟦ ⟦ , d’où

, c’est-à-dire

.

D’après la question 1), pour tout , . Il vient alors que

. D’où (

)

(

)

(car la fonction est croissante pour tout et tout ). Finalement, pour tout entier naturel tel

que , (

)

.

4) Démontrons que ( )

.

Posons

et notons que

existe car .

Pour tout ⟦ ⟦ , d’où et

(d’après la décroissance de la fonction

sur ),

c’est-à-dire

.

D’après la question 2), pour tout ,

. Il vient alors que

.

Or,

(

)

( )

( )

. Finalement, pour tout entier naturel tel

que , ( )

.

5) Des deux questions précédentes, on conclut que ( )

( )

.

Remarque : Plus est grand, plus l’encadrement de est précis. Si , alors . Si

, (encadrement à près).

Remarque : ⟦ ⟦ est l’intervalle des

entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

En fait, ⟦ ⟦ .

Pour tout réel et pour tout entier relatif

, ( ) . Par ailleurs, .

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6

Soit un entier naturel tel que . Soient et deux fonctions respectivement définies sur par :

( ) (

) ( ) ( )

1) Montrer que ( ) et que ( ) .

2) En déduire que ∑

3) Ecrire un algorithme permettant de donner un encadrement de .

1) Montrons que ( ) et que ( ) .

a) Montrons tout d’abord que ( ) .

La fonction est le produit de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction

(fonction inverse de l’exponentielle) et d’autre part la fonction

(fonction

polynôme de degré ).

Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .

Ainsi, pour tout ,

( ) ⏟ ( )

(

)

⏟ ( )

⏟ ( )

(

)

⏟ ( )

( (

)

)

(

) ⏟

(

) ⏟

Pour tout et pour tout entier naturel tel que , ( ) . La fonction est donc décroissante

sur . Il en résulte que ( ) ( ). Or, ( ) donc ( ) .

b) Montrons désormais que ( ) .

La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction et d’autre

part la fonction

(produit de deux fonctions continues et dérivables sur ).

Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .

Exercice 3 (3 questions) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 3 Retour au menu

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Ainsi, pour tout ,

( ) ( ) (

)

( )

Or, pour tout , car la fonction est décroissante sur . Ainsi, il vient que

car la fonction est croissante sur . Comme , . Par

conséquent, .

Pour tout et pour tout entier naturel tel que , ( ) . La fonction est donc croissante

sur . Il en résulte que ( ) ( ). Or, ( ) ( ) donc ( ).

2) L’étude précédente a permis de montrer que ( ) et ( ) . Or, on a :

( ) (

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

Par conséquent,

3) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de donner un encadrement de .

VARIABLES

n EST_DU_TYPE NOMBRE

k EST_DU_TYPE NOMBRE

somme EST_DU_TYPE NOMBRE

minorant EST_DU_TYPE NOMBRE

majorant EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER "Saisir n."

LIRE n

AFFICHER n

somme PREND_LA_VALEUR 0

POUR k ALLANT_DE 1 A n

DEBUT_POUR

somme PREND_LA_VALEUR somme+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(k)

L’instruction

ALGOBOX_FACTORIELLE( )

permet de calculer

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FIN_POUR

minorant PREND_LA_VALEUR 1+somme

majorant PREND_LA_VALEUR 1+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(n)+somme

AFFICHER "Le nombre e est compris entre "

AFFICHER minorant

AFFICHER " et "

AFFICHER majorant

FIN_ALGORITHME

Affichage lorsque l’utilisateur saisit 5.

***Algorithme lancé***

Saisir n : 5

Le nombre e est compris entre 2.7166667 et 2.725

***Algorithme terminé***

Affichage lorsque l’utilisateur saisit 10.

***Algorithme lancé***

Saisir n : 10

Le nombre e est compris entre 2.7182818 et 2.7182821

***Algorithme terminé***

Remarque : L’encadrement de proposé dans cet exercice est très satisfaisant, même pour petit.

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On pose pour tout entier non nul ∫

1) Calculer .

2) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul et pour tout réel ,

3) En déduire la limite de .

4) Exprimer en fonction de .

5) Démontrer que, pour tout entier naturel , (

)

6) En déduire une expression de .

1) Calculons .

Rappel : Intégration par parties

Soient et deux fonctions dérivables sur ( ) telles que leurs dérivées soient continues sur .

∫ ( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Soient les fonctions et , dérivables sur , respectivement définies par ( ) et ( ) . Alors

leurs dérivées sont continues sur et, pour tout , ( ) et ( ) . Ainsi, il vient que :

∫ ⏟ ( )

⏟ ( )

[ ⏟ ( )

( )⏟ ( )

]

∫ ⏟ ( )

( )⏟ ( )

( ( )) ( ( ))

2) Soit .

Pour tout réel , . D’où, en vertu de la décroissance de la fonction sur donc sur ,

. En appliquant la fonction , continue et croissante sur donc sur , il vient que ,

c’est-à-dire . Ainsi, en multipliant par le réel positif ou nul

, il résulte que

.

Exercice 4 (6 questions) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 4 Retour au menu

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3) D’après ce qui précède, pour tout entier naturel non nul et pour tout réel ,

Rappel : Positivité et croissance de l’intégrale

Soient et deux fonctions dérivables sur ( ).

Si, pour tout , ( ) , alors ∫ ( )

( )

Si, pour tout , ( ) ( ), alors ∫ ( )

∫ ( )

( )

Le théorème de croissance de l’intégrale donne alors ∫

Or,

[

( )]

[

( ) ]

( )

( )

( )

Comme

( )

, d’après le théorème des

gendarmes, il vient que

.

Rappel : Théorème des gendarmes

Soient , et trois fonctions et soit un réel.

Si, pour « assez voisin » de ( fini ou infini),

( ) ( ) ( ) et si

( )

( ) ,

alors

( )

4) Exprimons en fonction de . Soit .

( )

( ) ∫ ⏟

( )

⏟ ( )

( ) ([ ⏟

( )

( )⏟ ( )

]

∫ ( ) ⏟ ( )

( )⏟ ( )

)

( ) ( ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

)

( ) ( ∫ ( )

)

( ) ∫

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

( ) ∫

( )

Par conséquent,

( )

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5) Démontrons que, pour tout entier naturel , (

)

Rappel : Principe du raisonnement par récurrence

Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit .

Si :

1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si ( ) est vraie au rang

2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour fixé, tel que , on a

l’implication ( ) ( )

Alors :

3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que .

Considérons la proposition définie pour tout entier naturel tel que par :

( ) (

)

D’après la question précédente et d’après la première question,

( )

(

) (

)

(

)

La proposition ( ) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition est initialisée au rang .

Montrons désormais que, pour entier naturel fixé tel que , ( ) ( ). Autrement dit, supposons

( ) vraie à un rang fixé, c’est-à-dire supposons (

)⏟

, et montrons

alors que ( ) est vraie, c’est-à-dire montrons que (

( ) ).

( ) ⏟

( ) (

)

(

)

( ) (

( ) )

La proposition ( ) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition est héréditaire.

On vient d’établir que ( ) est vraie et que, pour entier naturel fixé tel que , ( ) ( ).

Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après

le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel .

Une proposition est un

énoncé, soit vrai, soit faux.

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Ainsi, il résulte que, pour tout entier naturel ,

(

)

6) Donnons dès lors une expression du nombre . Pour ce faire, prenons appui sur le résultat précédent.

(

) (

)

⏟ ( )

(

) ⏟

( )

Ainsi,

( )

(

). Or, d’après la question 3),

d’où

( ) . Par conséquent,

(

).

Autrement dit, en remarquant que

, il vient que

Remarques :

1) Il peut être également montré que le nombre est irrationnel.

2) Le nombre est l'unique solution de l'équation où ln désigne la fonction logarithme népérien.