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Fonctions logarithmes

83

Échauffez-vous !

1 a) Associez chaque fonction à sa courbe représentative. Fonction carré Fonction cube Fonction inverse

x x2 x x3 x 1 x

• • •

• • •y8

6

4

2

– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 x0– 2

– 4

– 6

– 8

– 10

y8

6

4

2

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 x– 2

– 4

– 6

– 8

– 10

b) Complétez avec les signes « » ou « ».Pour tout x 0, x2 > 0 et pour tout x 0, x2 > 0.

Pour tout x 0, x3 < 0 et pour tout x 0, x3 > 0.

Pour tout x 0, 1 x < 0 et pour tout x 0,

1 x > 0.

c) Donnez le seul nombre réel pour lequel la fonction x 1 x n’est

pas définie.C’est le nombre 0 .

y

8

6

4

2

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 x– 2

– 4

– 6

– 8

– 10

6

Vocabulaire

Signe d’une fonction f sur un intervalle ILes nombres réels x appartenant à I tels que f(x) 0 (ou f(x) 0) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus (ou au-dessous) de l’axe des abscisses.

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2 Soit i, c, s et t les fonctions définies sur ]0 ; + ∞[ par :

i(x) = x, c(x) = x², s(x) = 1 x et t(x) = 1

x2 .

On note f, g et h les fonctions définies sur ]0 ; + ∞[ par :

f(x) = 1

2 x², g(x) =

1

3 x³ et h(x) = - 1 x .

a) Reliez chacune des fonctions i, c, s et t à sa courbe représentative.

i • •

c • •

s • •

t • •

b) Calculez : f 9(x) = x ; g9(x) = x2 ; h9(x) = 1x2 .

c) Reliez chacune des fonctions f, g et h à sa fonction dérivée.

• c

• s

• t

• i

f •

g •

h •

d) Écrivez laquelle des fonctions i, c, s et t n’est la dérivée d’aucune

des fonctions f, g et h : s .

Échauffez-vous !

y

8

6

4

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x

y

8

6

4

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x

y

8

6

4

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x

y

8

6

4

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x

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808580

3 a) Complétez par l’exposant positif ou nul qui convient.1 = 100

10 = 101 10 000 000 = 107

1 000 000 000 = 109

b) Complétez par l’exposant négatif qui convient.0,1 = 10–1

0,01 = 10–2

0,000 01 = 10–5

0,000 000 1 = 10–7

c) Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

•10– 3 est égal à : £ – 1 000 £ 1 000 £ 0,001 £ 0,000 01

•105 est égal à : £ 0,000 001 £ 0,000 01 £ 10 000 £ 100 000

d) Cochez la case Vrai ou Faux.•Lorsquelacalculatriceaffiche1.e+12 (CASIO) ou 1 e+12 (TI), on a tapé 1 0 ^ 1 2 : £ Vrai £ Faux

•Lorsquelacalculatriceaffiche1.e–13 (CASIO) ou 1 e–13 (TI), on a tapé 1 0 ^ (–) 1 3 : £ Vrai £ Faux

e) Complétez les tableaux.

Préfixe Exposants positifs

téra 1 000 000 000 000 = 1012

giga 1 000 000 000 = 109

méga 1 000 000 = 106

kilo 1 000 = 103

hecto 100 = 102

déca 10 = 101

Préfixe Exposants négatifs

pico 0,000 000 000 001 = 10- 12

nano 0,000 000 001 = 10–9

micro 0,000 001 = 10- 6

milli 0,001 = 10- 3

centi 0,01 = 10–2

déci 0,1 = 10- 1

chapitre 6 • Fonctions logarithmes

Vocabulaire

Puissances de 10n est un nombre entier strictement positif.

• 10n = 10000 0 n zéros

•10-n = 0,0000 01 n zéros

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1 Fonction logarithme népérien

1. observer la fonction

Lafonctionlogarithmenépérien est notée ln.Un tracé de sa courbe représentative est donné ci-contre.Onconstatequeln(1)=0.Lacalculatriceou le tableurpermettentd’obtenir un tel tracé et de calculer les valeursexactesouapprochéesdelafonc-tion ln.

Activité 1

1. Utilisez la touche LN (sur TI) ou ln (sur CAsIo) de la calculatrice, pour compléter les cases du tableau (résultats arrondis à 0,01 près).

x - 20 - 5 - 0,6 0 0,11 0,5 1 2,72 9 10,9 125

ln(x) Erreur Erreur Erreur Erreur –2,21 - 0,69 0 1,00 2,20 2,39 4,83

2. Rayez les encadrés inexacts.

Àpartirdutableauetdugraphiqueprécédents,onpeutsupposerquelafonctionln

est définie pour tout nombre réel strictement positif / strictement négatif , c’est-

à-dire sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ / ]– ∞ ; 0[.

2. Découvrir le nombre e

L’équation ln(x) = 1 a une seule solution dans ]0 ; + ∞[.Cette solution est notée e.Ainsi, ln(e) = 1.

Activité 2

1. a) Tracez sur le graphique la droite d’équation y = 1.

b) Placez le nombre e sur l’axe des abscisses.

c) Lisez sur le graphique une valeur approchée à 0,1 près de e : 2,7 .

2. Complétez, avec l’aide de la calculatrice et du graphique.

a) ln(2,71) 1 ln(2,72), donc 2,71 e 2,72 .

b) ln(2,718) 1 ln(2,719), donc 2,718 e 2,719 .

c) ln(2,718 2) 1 ln(2,718 3), donc 2,718 2 e 2,718 3 .

y

x

– 3

– 2

– 1

0

1

2

1 2 3 4 5 6

y = ln(x)

y

x

– 1

– 0,50

0,5

1

0,5 e

y = 1

1 1,5 2 2,5 3

1,5

3,5 4

y = ln(x)

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8287 chapitre 6 • Fonctions logarithmes

3. connaître la dérivée, le sens de variation et le signe de la fonction ln

Sur ]0 ; + ∞[, la fonction dérivée de la fonction ln est la fonction inverse :

pour tout x 0, ln9(x) = 1 x .

Activité 3

1. a) Complétez le tableau de valeurs.

x 0,5 1 2 4

ln9(x) 2 1 0,5 0,25

b) En utilisant un résultat du tableau, tracez sur le graphique la tangente à la courbe de la fonction ln au point d’abscisse 1. Prolongez cette tangente jusqu’à l’axe des ordonnées.

y

x

– 0,5

– 1,5

0

0,5

0,5 1 1,5 2 2,5 e

A

3

1

– 1

3,5

y = ln(x)

c) Donnez l’ordonnée à l’origine de cette droite : – 1 .

2. a) Tracez la droite passant par les points O(0 ; 0) et A(e ; ln(e)).

b) Complétez. Lecoefficientdirecteurdecettedroiteest:

yA – yO

xA – xO = ln(e)

e = 1

e = ln9(e).

Cette droite est donc la tangente à la courbe au point A.

3. a) Complétez, en utilisant l’un des signes « » ou « ».

Pour tout réel x 0, 1 x > 0, donc ln9(x) > 0.

b) Rayez les encadrés inexacts.Pour tout réel x 0, ln9(x) 0 / ln9(x) 0 , donc la fonction ln est strictement

croissante / décroissante sur ]0 ; + ∞[.

4. a) Utilisez le graphique pour compléter la phrase.Lacourbecoupel’axedesabscissespourx = 1, elle est située au-dessous de

cet axe pour 0 x 1 et au-dessus pour x 1 .

b) Déduisez-en le tableau de signe de la fonction ln.

x 0 1 + ∞

ln(x) – 0 +

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2 Propriétés algébriques de la fonction ln

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1. transformer le logarithme d’un produit, d’un quotient, d’une puissance

a et b étant des nombres réels strictement positifs et n un nombre entier relatif :(1) ln(ab) = ln(a) + ln(b).

(2) ln a b = ln(a) - ln(b) (en particulier, ln 1

b = - ln(b)).

(3) ln(an) = nln(a) (en particulier, ln(en) = nln(e) = n).

Activité

1. a) Tracez sur calculatrice les courbes d’équations y = ln(14,5x) et y = ln(14,5) + ln(x), puis rayez les encadrés inexacts (utilisez Trace ).

Ces courbes sont / ne sont pas confondues, donc, pour a = 14,5 et b = x 0, on

vient de vérifier l’égalité (1) / (2) / (3) de l’encadré.

b) Tracez sur calculatrice les courbes d’équations y = ln 0,61 x et

y = ln(0,61) – ln(x), puis rayez les encadrés inexacts.

Ces courbes sont / ne sont pas confondues, donc, pour a = 0,61 et b = x 0, on

vient de vérifier l’égalité (1) / (2) / (3) de l’encadré.

c) Tracez sur calculatrice les courbes d’équations y = ln(x– 3) et y = – 3ln(x), puis rayez les encadrés inexacts.

Ces courbes sont / ne sont pas confondues, donc, pour n = - 3 et a 0, on vient

de vérifier l’égalité (1) / (2) / (3) de l’encadré.

2. a) Placez sur l’axe des ordonnées les

nombres ln(3,4), ln(2) et ln 3,4

2 .

b) Marquez sur cet axe, par un segment de couleur, le nombre ln(3,4) – ln(2).

c) Constater avec une règle graduée l’égalité

ln 3,4

2 = ln(3,4) – ln(2),

puis écrivez le numéro de l’égalité de l’encadré

ainsi vérifiée, pour a = 3,4 et b = 2 : (2).

3. a) Avec la calculatrice, complétez le tableau.

ln(27) – 7ln(2) ln(0,6– 12) – (– 12ln(0,6)) ln(5,29) – 9ln(5,2)

0 0 0

b) À l’aide du tableau, complétez en utilisant l’un des signes « = » ou « π ».

ln(27) = 7ln(2) ; ln(0,6- 12) = -12ln(0,6) ; ln(5,29) = 9ln(5,2).

c) Écrivez le numéro de l’égalité de l’encadré ainsi vérifiée, pour différentes

valeurs de a et de b : (3) .

y

x

– 1

– 0,5

0

0,5

1

1,5

�

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

y = ln(x)ln(3,4)

ln(2)ln(3,4) – ln(2)

ln(1,7)

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84chapitre 6 • Fonctions logarithmes 89

2. comment modifier l’écriture d’un nombre où figure ln ?

Méthode 1

Étape 1 Identifierla(oules)propriété(s)duparagraphe1àappliquer(logarithmed’un

produit,d’unquotientoud’unepuissance).Étape 2 Appliquercette(ouces)propriété(s),enutilisant,s’ilyalieu,leségalitésln(1)=0

et ln(e) = 1.

Écrivez : a) ln(14) en fonction de ln(2) et de ln(7) ;

b) ln 7 3 en fonction de ln(3) et de ln(7) ;

c) ln(29) en fonction de ln(2) ;

d) ln 1 13

en fonction de ln(13) ;

e) ln 25

16 en fonction de ln(2) et de ln(5) ;

f) ln(11e- 2) en fonction de ln(11).

Solution

a) Étape 1 ln(14)estlelogarithmeduproduit2× 7 .

Étape 2 ln(14) = ln(2 × 7) = ln(2) + ln(7).

b) Étape 1 ln 7 3 estlelogarithmed’unquotient .

Étape 2 ln 7 3 = ln(7) – ln(3).

c) Étape 1 ln(29)estlelogarithmed’unepuissance .

Étape 2 ln(29) = 9 ln(2).

d) Étape 1 ln 1 13

estlelogarithmed’uninverse.

Étape 2 ln 1 13

= ln(1) – ln(13) = 0 – ln(13) = – ln(13).

e) Étapes 1 et 2 ln 25

16 = ln(25) – ln(16) = ln(52) – ln(24),

d’où ln 25

16 = 2 ln(5) – 4 ln(2).

f) Étapes 1 et 2 ln(11e– 2) = ln(11 × e– 2) = ln(11) + ln(e–2),

d’où ln(11e– 2) = ln(11) + (–2 ln(e)) = ln(11) – 2.

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3 Fonction logarithme décimal

90 85

1. Découvrir la fonction

Lafonctionlogarithmedécimal, notée log,

est définie pour x 0 par log(x) = ln(x)

ln(10)

.

Ainsi, log(1) = 0 et log(10) = 1.Un tracé de la courbe représentative de cette fonction (à compléter) est donné ci-contre.Lafonctionlogeststrictementcroissantesur ]0 ; + ∞[.

Activité 1

1. a) Complétez le tableau de valeurs (arrondir à 0,01 près).

b) Complétez la courbe précédente de la fonction log jusqu’à l’abscisse 10.

2. Rayez les encadrés inexacts.

a) 1

ln(10) ≈ 2,3026 / 0,4343 , donc, pour x 0, log(x) ≈ 2,3026ln(x) / 0,4343ln(x) .

b) Pour tout x 0, log9(x) = 1

ln(10) 1 x / ln(10)

1 x .

2. connaître les propriétés algébriques

Lespropriétésalgébriquesdelafonctionlogsontcellesdelafonctionln.Ainsi, a et b étant des nombres réels strictement positifs et n un entier relatif :(1) log(ab) = log(a) + log(b).

(2) log a b = log(a) - log(b) (en particulier, log 1

b = - log(b)).

(3) log(an) = nlog(a) (en particulier, log(10n) = nlog(10) = n).

Activité 2 1. Calculez chacun des nombres suivants (pensez aux puissances de 10).log(1) = 0 ; log(10) = 1 ; log(100) = 2 ; log(1 000) = 3 ;

log(0,1) = –1 ; log(0,01) = –2 ; log(0,001) = –3 .

2. Lagraduationnotéeau-dessousdeladroitesuivanteestlinéaire(c’estlagraduationutiliséehabituellement).Au-dessus,onamarquéenrougelesnombres0,01et10,quiontpourlogarithmesdécimaux- 2 et 1.

– 3 – 2 – 1 0 1

0,010,001 0,1 1 100 1 00010

2 3

De façon analogue, marquez en rouge cinq autres nombres au-dessus de la droite.(Onobtientainsi,enrouge,une«graduationlogarithmique»deladroite.)

y

x

– 0,5

– 1

0

1

0,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 6 7 8 9 10

log(x) 0,78 0,85 0,90 0,95 1

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86chapitre 6 • Fonctions logarithmes 9186

3. comment exploiter une droite tracée sur papier semi-logarithmique ?

Méthode 2

Ici,lagraduationsurl’axedesordonnéesestlinéaire(c’est-à-diredetypehabituel)etcellesurl’axedesabscissesestlogarithmique(chaquenombreestreprésentéparsonlogarithmedécimal ; voir activité 2 précédente).On veut déterminer une expression d’une fonction f, dont la courbe sur papier semi-logarithmiqueestunsegmentdedroite,pourlesabscissesappartenantàunintervalle[r ; s].Étape 1 Écrirequ’ilexistea et btelsque,pour

tout x appartenant à [r ; s], f (x) = alog(x) + b.

Étape 2 Liresurlegraphiquedeuxvaleursf(10p) et f (10q), où p et q sont des entiers différents telsque10p et 10q appartiennent à [r ; s].

Étape 3 Avec les deux valeurs précédentes, écrire un systèmededeux équations auxdeuxinconnues a et b,puisrésoudrecesystème.

Étape 4 Remplacer a et b par leurs valeurs dans l’expression f (x) = alog(x) + b.

f (10p)

r s

f (10q)

10q10p

Lesegmentdedroite tracéci-contresur l’intervalle[5 ; 1 200] est la courbe représentative, sur papier semi-logarithmique, de la fonction niveau d’intensité

acoustique L (en dB), en fonction du rapport I

I0 de

l’intensitéacoustiqueI (en W/m2) à l’intensité I0 du seuil d’audibilitédel’oreillehumaine.

Déterminez une expression de L I I0

, en fonction de I

I0 .

Solution

Étape 1 Onécritqu’ilexistea et btelsque,pourI

I0 appartenant à [5 ; 1 200],

L I I0

= alog I I0

+ b.

Étape 2 OnlitsurlegraphiquequeL(10) = 10 et L(1 000) = 30.

Étape 3 Onendéduitlesystème alog(10) + b = 10 alog(1 000) + b = 30 , c’est-à-dire

1a + b = 10 3a + b = 30 .

En écrivant b en fonction de a dans la 1reéquation,onobtientb = 10 – a. En portant cette valeur dans la 2e équation,onobtient3a + (10 – a) = 30, c’est-à-dire 2a = 20, d’où a = 10.En portant cette valeur de a dans la 1reéquation,onobtientb = 0.

Étape 4 Ainsi, L I I0

= 10 log I I0

.

101 100 10000

5

10

15

20

25

30

L

II0

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87chapitre 6 • Fonctions logarithmes87

1 a) ln(0,04) ≈ – 3,2. b) ln(27) ≈ 3,3. c) ln(150) ≈ 5,0.

2 a) 2ln(0,58) ≈ – 1,1. b) – 17ln(7) ≈ – 33,1. c) 125ln(71) ≈ 532,8.

3 a) log(0,6) ≈ – 0,2. b) – log(21) ≈ – 1,3. c) 86log(5) ≈ 60,1.

4 a) ln(25) = 5ln(2). b) 2ln(8) = 2ln(23) = 6ln(2). c) ln(4) – ln(2) = ln(22) – ln(2) = 2ln(2) – ln(2) = ln(2).

5 a) ln(34) = 4ln(3). b) ln(9) = ln(32) = 2ln(3).

c) ln13 = ln(1) – ln(3) = – ln(3).

d) ln19 = ln(1) – ln(9) = – ln(32) =  – 2ln(3).

6 a) ln(18) = ln(2 × 9) = ln(2) + ln(9) = ln(2) + ln(32) = ln(2) + 2ln(3).

b) ln(12)  = ln(3 × 4) = ln(3) + ln(4) = ln(3) + ln(22) = ln(3) + 2ln(2).

c) – ln23 = – [ln(2) – ln(3)] = ln(3) – ln(2).

7 a) ln e3 = ln(e) – ln(3) = 1 – ln(3).

b) ln(4e) = ln(4) + ln(e) = ln(22) + 1 = 2ln(2) + 1.

c) ln2e = ln(2) – ln(e) = ln(2) – 1. 

8 a) – log(53) = – 3log(5). b) log(50) = log(5 × 10) = log(5) + log(10) = log(5) + 1.c) 0,2log(25) = 0,2log(52) = 0,4log(5).

9 a) 4log(7) – log(49)  = 4log(7) – log(72) = 4log(7) – 2log(7) = 2log(7).

b) log(76) + 3log(7) = 6log(7) + 3log(7) = 9log(7).

10 a) log(108) = 8log(10) = 8. b) log(10– 7) = – 7log(10) = – 7.c) log(1031) = 31log(10) = 31.

11 a) log(10) = 1. b) log(100) = log(102) = 2.c) log(1 000) = log(103) = 3.

12 a) log(0,1) = log(10– 1) = – 1. b) log(0,01) = log(10– 2) = – 2. c) log(0,001) = log(10– 3) = – 3.

13 a) log(20) = log(2 × 10) = log(2) + log(10) =  log(2) + 1.

b) log(200) = log(2 × 100) = log(2) + log(102) = log(2) + 2. c) log(2 000)  = log(2 × 1 000)

= log(2) + log(103) = log(2) + 3.

14 a) log(0,3) =  log(3 × 10– 1) = log(3) + log(10– 1) = log(3) – 1.

b) log(0,03)  =  log(3 × 10– 2) = log(3) + log(10– 2) = log(3) – 2.

c) log(0,003) =  log(3 × 10– 3) = log(3) + log(10– 3) = log(3) – 3.

15 a) log(40) = log(22 × 10)=  log(22) + log(10) = 2log(2) + 1.

b) log(0,08)  = log(23 × 10– 2)=  log(23) + log(10– 2) = 3log(2) – 2.

c) log(3,2) = log(32 × 10– 1) = log(25 × 10– 1)= log(25) + log(10– 1) =  5log(2) – 1.

16 a) f ’(x) = 1x

.

b) f ’(x) = 2x

.

17 a) f ’(x) = 1 – 3x

.

b) f ’(x) = 1x

– 2x.

18 a) f ’(x) = – 1x2 + 4

x.

b) f ’(x) = – 3x2 – 1x

.

19 a) f ’(x) = 6x – 2 + 1x

.

b) f ’(x) = 121x

+ 3x

.

20 a) f ’(x) = 8ln(10)x

.

b) f ’(x) = 1 – 1ln(10)x

.

21 1. f ’(x) = 12x

+ 3.

Sur ]0 ; + ∞[, f ’(x) > 0.2. Pour tout x de ]0 ; + ∞[, f ’ (x) > 0, donc f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

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22 1. f ’(x) = 2x

– 1 = 2 – xx

.

2. f ’(x) est du signe de 2 – x.Tableau de signe

x 0 2 + ∞

2 – x + 0 –

Pour tout x de ]0 ; 2[, f ’(x) > 0 et pour tout x de ]2 ; +∞[, f ’(x) < 0.3. Tableau de variation de f

x 0 2 + ∞

f’(x) + 0 –

f (x) 2ln(2)– 2

23 1. f(1) = log(1)2

= 0 ; f(10) = log(10)2

= 0,5.

2. f ’(x) = 12ln(10)x

. Pour tout x de [1 ; 10], f ’ (x) > 0.

3. Tableau de variation de f

x 1 10

f ’ (x) +

f (x)0

0,5

24 Il s’agit d’une graduation logarithmique.

25 On lit sur le graphique que f(1) = – 4 et f(100) = 0.

On en déduit le système 5 a log(1) + b = – 4a log(100) + b = 0 ,

c’est– à– dire 5 b = – 42a + b = 0 ,

soit 5 a = 2b = – 4 .

Ainsi, f(x) = 2log(x) – 4.

26 En utilisant les deux points de coordonnées (0,001 ; 3)et (0,01  ; 2), on obtient un segment de droite sur le graphique semi-logarithmique.

y

x

4

3

2

1

00,001 0,01

27 1. f ’(x) = 2x

et g’(x) = – 0,5x

.

2. • Pour tout x de [2 ; 5], f ’ (x) > 0, donc f est strictement croissante sur [2 ; 5].• Pour tout x de [2 ; 5], g’(x) < 0, donc g est strictement décroissante sur [2 ; 5].3. Tableau de valeurs (résultats arrondis à 0,1 près)

x 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

f(x) 1,4 1,8 2,2 2,5 2,8 3,0 3,2

g(x) – 0,3 – 0,5 – 0,5 – 0,6 – 0,7 – 0,8 – 0,8

3. Tracé des courbes y

x

– 2

– 1

0

2

1

3

1 2 3 4 5 6

y = g(x)

y = f(x)

28 1. a) f(0,5) = 10ln12 + 0,25 = – 10ln(2) + 0,25  ;

f(4) = 20ln(2) + 16.

b) f ’(x) = 10x

+ 2x = 10 + 2x2

x .

Pour tout x de [0,5 ; 4], x > 0 et 10 + 2x2 > 0, donc f ’(x) > 0.c) Tableau de variation

x 0,5 4

f ’ (x) +

f (x)–10ln(2) + 0,25

20ln(2) + 16

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89chapitre 6 • Fonctions logarithmes 89

2. a) Tableau de valeurs

b) Tracé de la courbe

17

e

A

3. a) e ≈ 2,7. b) Une valeur approchée de l’ordonnée du point A est 17. c) f (e) = 10ln(e) + e2 = 10 + e2 .

29 1. a) f ’(x) = – 1 – 1x

= – x – 1x

= – (x + 1)x

.

Pour tout x de [0,1 ; 15], x > 0 et x + 1 > 0, donc f ’(x) < 0.b) Tableau de variation

x 0,1 15

f ’ (x) –

f (x)– 0,1 – ln(0,1)

– 15 – ln(15)

2. a) f (1) = – 1 – ln(1) = – 1 et f ’(1) = – 1 – 1

1 = – 2.

Comme f ’(1) = – 2, l’équation de est de la forme y = – 2x + b. Comme f (1) = – 1, on résout l’équation f ’(1) × 1 + b = f(1) équivalente à – 2 × 1 + b = – 1, soit b = 1. Une équation de est y = – 2x + 1.

b) Tracés sur l’écran d’une calculatrice.

30 1. La fonction log étant strictement croissante sur [0,1 ; 2], on en déduit que la fonction f = – 10log est stric-tement décroissante sur [0,1 ; 2].2. Tableau de valeurs (résultats arrondis à 0,1 près).

3. Tracé des courbes

y

x

– 2

– 3

– 4

– 1

0

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2

y = log(x)

y = f(x)

31 Partie A

1. A(5) = 45,4 + 20log(5) ≈ 59,4 dB. 2. A(19) = 45,4 + 20log(19) ≈ 71,0 dB. 3. A(15) = 45,4 + 20log(15) ≈ 68,9 dB.

Partie B

1. f ’(x) = 20ln(10)x

.

2. Pour tout x de [1 ; 20], f’(x) > 0.3. Tableau de variation

x 1 20

f ’ (x) +

f (x)45,4

45,4 + 20log(20)

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4. Tableau de valeurs (résultats arrondis à 0,1 près).

5. Tracé de la courbe

6. L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ≤ 68,9 est [1 ; 15[ (voir les traits permettant la résolution sur la figure précédente).

32 1. 10log 10–2

10–12 = 10log(1010) = 100.Lorsque le niveau d’intensité sonore est mesuré à 100 dB, l’intensité sonore I correspondante est bien égale à 10– 2 W/m2.2. a) On a l’égalité P = I × 2p × d2.On résout l’équation 0,063 = I × 2p × 32, équivalente à

I = 0,063

18p , soit I ≈ 0,001 1.

L’intensité sonore à 3 m des enceintes est à peu près égale à 0,001 1 W/m2.

b) L = 10log0,001 110–12 ≈ 90,4.

Le niveau d’intensité sonore correspondant est à peu près égale à 90,4 dB.Ce niveau est inférieur à 95 dB.3. Le niveau d’intensité sonore est 100 dB à 1 m des enceintes, il est de 100 – 6 = 94 dB à 2 m des enceintes, puis de 94 – 6 = 88 dB à 4 m des enceintes, et enfin de 88 – 6 = 82 dB à 8 m des enceintes.

33 1. Valeur du NPA correspondant au seuil de perception :

f(3,2.10– 5) = 20log 3,2 × 10–5

2 × 10–5  = 20log(1,6) ≈ 4 dB.

Valeur du NPA correspondant au seuil de la douleur :

f(64) = 20log64

2 × 10–5 = 20log(32 × 105) ≈ 130 dB.

2. a) 20log(2 × 10– 5) ≈ – 94.

b) f(p) = 20log p

2 × 10–5 = 20[log(p) – log(2 × 10– 5)]

= 20log(p) – 20log(2 × 10– 5) ≈ 20log(p) + 94.3. Tracé de la courbe sur tableur

4. a) On lit sur le graphique que le NPA correspondant à une pression acoustique égale à 0,11 Pa est 80 dB et que le NPA correspondant à une pression acoustique égale à 20 Pa est 120 dB.b) On lit sur le graphique que la pression acoustique cor-respondant à un NPA égal à 40 dB est 0,002 Pa et que la pression acoustique correspondant à un NPA égal à 123 dB est 30 Pa.

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Commeà l’écran

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1.Legraphiquesuivantaétéobtenusurtableur,àpartird’unrelevédedonnées.Cochezlacasecorrespondantàlaréponseexacte.Lesgraduationssontlinéairessurlesdeuxaxes:£ Vrai £ Faux

2.Onchercheàsavoirsilacourbedugraphiqueprécédentestapproximativementcelle d’une fonction f quel’onpeutexprimerenutilisantlafonctionlogarithmedéci-mal.Entransformantavecletableurletypedegraduationsurl’axedesabscisses,onobtientlenouveaugraphiqueci-dessous.

Cochezlacase,choisieparmilesoptionsdel’axedesabscisses,quiapermis d’obtenircegraphique.

££

3.Lanouvellecourbeétantapproximativementunsegmentdedroite,onpeutconsidérerqu’ilexistedesnombresréels a et btelsque,pourtoutx appartenant à [10 ; 100], f (x) = alog(x) + b.(Voirméthode2page91.)

a) Calculer f (10) et f (100)lorsquea = - 3 et b = 9.

f (10) = –3log(10) + 9 = –3 + 9 = 6 ; f (100) = –3log(100) + 9 = –3 × 2+ 9 = 3.

Calculer f(10) et f(100)lorsquea = - 5 et b = 11.

f (10) = –5log(10) + 11 = –5 + 11 = 6 ; f (100) = –5log(100) + 11 = –5 × 2 + 11 = 1.

b) Envérifiantparlecturesurl’unoul’autredesdeuxgraphiques,cochezlacasecorrespondant à la réponse exacte :

£ f (x) = - 3log(x) + 9 £ f (x) = - 5log(x) + 11.

graduations logarithmiques avec un tableur

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92chapitre 1 • Vecteurs

Évaluation

chapitre 6 • Fonctions logarithmes 97

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nom

Prénom

classe

Date

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Exercice 1 6 points

1.Àlacalculatrice,calculerlesvaleursarrondiesà0,1prèsdeA, de B et de C.

A = ln(5) ≈ 1,6 ; B = -3ln 1 7 ≈ 5,8 ; C = 2log(0,8) ≈ – 0,2.

2.Écrirechacundesnombressuivantsenfonctiondeln(2).

a) ln(25) = 5ln(2) ; b) ln 1 2 = – ln(2) ;

c) ln(16) = ln(24) = 4ln(2).

3.Écrirechacundesnombressuivantsenfonctiondeln(3)etdeln(5).

a) ln 3 5 = ln(3) – ln(5) ;

b) ln(15) = ln(3 × 5) = ln(3) + ln(5) .

4.Simplifierl’écrituredechacundesnombressuivants.

a) ln(e11) = 11ln(e) = 11 ;

b) log (10- 4) = – 4log(10) = – 4 .

Exercice 2 4 points

« L’échelle de Richter » permet d’évaluer la puissance d’un séisme. Elle est detypelogarithmique:lamagnitudeMd’unséismecorrespondaulogarithmedécimalde l’amplitude des ondes de volume, à 100 km de l’épicentre. On utilise l’égalité

M = log A A0

, où A est l’amplitude maximale relevée pour le séisme et A0 une

amplitude de référence.Un très fort séisme a atteint l’amplitude A = 3,16 × 108A0, le 22 mai 1960 au Chili.

1.Calculerlavaleurexactedelamagnitudedeceséismesurl’échelledeRichter,puissavaleurdécimalearrondieà0,1près.

M = log AA0

= log3,16 x 108 A0A0 = log(3,16 x 108). Ainsi, M ≈ 8,5.

2. a) Donner la valeur exacte de la magnitude d’un séisme d’amplitude 10 fois moins élevée que celle du séisme précédent, puis calculer sa valeur décimalearrondieà0,1près.

A’ = A10

= 3,16 x 108 A0

10 = 3,16 x 107 A0 .

M’ = log A’A0

= log3,16 x 107 A0A0 = log(3,16 x 107). Ainsi, M' ≈ 7,5.

b) Dequellevaleuradiminuélamagnitude,dupremierséismeausecond?

M – M’ ≈ 1. Du premier au second séisme, la magnitude a diminué de 1.

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Exercice 3 10 points

Leniveaud’intensitéacoustique(ousonore)L (en dB) dépend de la puissance P (en W) de la source sonore et de la distance R (en m) à cette source.

1.Àl’aided’unsonomètre,onamesuréleniveaud’intensitéacoustiqueàdifférentesdistancesd’unhaut-parleur,pourunepuissancede0,01W:

R 1 2 4 7 10 20 40

L 89 83 79 73 69 65 62

a) Représenter les sept points de coordonnées (R ; L) figurant dans le tableau précédent sur le papiersemi-logarithmique.

b) Ces points sont approximativement situés sur la droite passant par les points d’abscisses1et10.Onconsidéreradoncqu’ilexistedesnombresréelsa et b tels quelescoordonnées(R ; L) de ces points vérifient l’égalité L = alog(R) + b.Calculer a et b à partir des coordonnées des points d’abscisses 1 et 10.

On a L(1) = 89 et L(10) = 69. On en déduit le système a log(1) + b = 89 a log(10) + b = 69 , équivalent à

b = 89 a + b = 69 , soit a = 69 – 89 = – 20 b = 89

Ainsi, L = – 20 log(R) + 89.

c) En utilisant la calculatrice, calculer L, pour une distance R égale à 15 m, puis à 30m.(Arrondirlesrésultatsà1dBprès.)

L(15) = – 20 log(15) + 89 ≈ 65 et L(30) = – 20 log(30) + 89 ≈ 59.

2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 40] par f (x) = 89 – 20log(x).

En utilisant l’égalité log(x) = ln(x)

ln(10)

calculer f 9(x), puis déterminer son signe et en

déduire le sens de variation de f.

f'(x) = – 20 1ln(10) ×

1x =

– 20ln(10)x . Puisque pour tout x de [1 ; 40],

f'(x) < 0, f est strictement décroissante sur [1 ; 40].

3. a) Surtableur,entrerdanslescellulesA1àA40lesvaleursentièresdex de 1 à 40, puis obtenir dans la colonne B les valeurs de f (x) associées, arrondies à l’unité.

Dansquellescellulesfigurentlesrésultatsdelaquestion1. c)?B15 et B30.b) Tracer sur l’écran la courbe représentative de la fonction f. (Graphiqueanalogueci-contre).c) Vérifier sur cegraphique lesrésultatsdelaquestion1. c).(Faire apparaître ci-contre les traits utiles à cette vérification.)

50

60

70

80

90

L

R1 10 100