Fonctions usuelles - mpsi.daudet.free.frmpsi.daudet.free.fr/maths/polys/cours/FonctionsUsuelles/Usuelles... · Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications

Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees

Fonctions usuelles


PlanEtude d’une fonction

Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite

BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes

Fonctions polynomialesFonctions rationnelles

Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees

Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques


Plan d’etude d’une fonction reelle

1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .

2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.

3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.

4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.

5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?





































Idee

Les fonctions qu’on etudie s’obtiennent a partir d’un petit nombrede ”fonctions de bases” et de sommes, differences, produits,quotients, composees, reciproques...


Exemple

Devissage de x 7→ (x + 1)esin(x).


Domaine de definition

Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g =

Df ∩ Dg

Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }



Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg


Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }



Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg

Df÷g =

(Df ∩ Dg ) \ {racines de g}

Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }



Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg


Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }



Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg


Df ◦g =

Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }



Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg


Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }









Translations

Soit f : R→ R de graphe Cf :

1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par

translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.


Translations


1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par

translation devecteur +be2 a partir de Cf .

Un dessin.


Translations




Un dessin.


Translations




Un dessin.


Symetries


1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par

symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .

3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .

Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.


Symetries


1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .

2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par

symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .




Symetries




3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par

symetrie de centre Oa partir de Cf .



Symetries







Symetries





Un dessin.

Un exemple : cos ◦ arccos.


Symetries







Homotheties / affinites


1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en

dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant

suivant la direction (Ox) et avec un rapport1

αa partir de Cf .

Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.




1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .

2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en

dilatant/contractant


αa partir de Cf .








αa partir de Cf .








αa partir de Cf .

Un dessin.

Variations sur cos ◦ arccos.







αa partir de Cf .










Prolongement par continuite

Soit f : I \ {a} → J continue, telle que limx→a

x∈I\{a}= ` ∈ J.

On note encore f son prolongement par continuite :I → J

x 7→{

f (x) si x ∈ I \ {a}` si x = a.



On a deja rencontre un exemple.









Definitions

sg :

R∗ → R

x 7→{

1 si x > 0−1 si x < 0

.

| · | :

R∗ → R

x 7→{

x si x > 0−x si x < 0

.


Proprietes

1. ∀x ∈ R∗, sg(x) =x

|x |=|x |x

2. sg derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗, sg ′(x) = 0

3. | · | derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗,d

dx|x | = sg(x).


Graphes









Definition

xn =

{x ∗ x · · · ∗ x (n fois) si n ≥ 1

1x |n|

=(

1x

)|n|si n < 0


Domaine de definition, derivees, limites


Graphes









Proposition

Pour n ≥ 1,

{R+ → R+

x 7→ xnest une bijection.


Definition

Fonction racine nieme n√

: R+ → R+.

C’est sa bijection reciproque.


Comment obtenir le graphe ?


Derivabilite

Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.


Derivabilite

Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.


Prolongement naturel a R

Uniquement pour n impair.









Definition

P :

{R → Rx 7→ anx

n + · · ·+ a1x + a0

Si an 6= 0, n est le degre de P.


Derivees


Limites









Definition

f = x 7→ P(x)

Q(x)avec P(x), Q(x) polynomiales.


Domaine de definition, derivees, limites




Un exemple : les homographies

x 7→ ax + b

cx + d









Exponentielle

On m’a propose cette imaged’illustration.

J’aurais voulu crediterl’auteur de cette versionmais je ne suis pas parvenua l’identifier...


Proposition-definition

Il existe une unique application f : R→ R, derivable, telle que :

1. f ′ = f sur R2. f (0) = 1

On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp (pourl’instant).


Demonstration

DM02 !


Demonstration

DM02 !


Proprietes

1. ∀(x , y) ∈ R2, exp(x + y) = exp(x) exp(y) ;

2. ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0 et1

exp(x)= exp(−x) ;

3. ∀x ∈ R,∀n ∈ Z, exp(nx) = exp(x)n.


Proprietes

1. exp > 0 ;

2. exp est strictement croissante.


Limites

1. lim+∞

exp = +∞ ;

2. lim−∞

exp = 0.


Graphe









Proposition-definition

Il existe une unique application f :]0,+∞[→ R, derivable, telleque :

1. f ′ = x 7→ 1

xsur ]0,+∞[

2. f (1) = 0

On l’appelle fonction logarithme neperien et on la note ln.


Reformulation

Le theoreme fondamental de l’analyse dit qu’on peut le reformuler :

ln(x) =

∫ x

1f (t)dt









Theoreme

exp et ln sont reciproques l’une de l’autre.


Graphe

On a donc gratuitement le graphe de ln, et


Proprietes

ln est strictement croissante.


Proprietes

1. ∀(a, b) ∈]0,+∞[2, ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;

2. ∀a ∈]0,+∞[, ln(

1a

)= − ln(a) ;

3. ∀a ∈]0,+∞[,∀n ∈ Z, ln(an) = n ln(a).


Proprietes

1. lim+∞

ln = +∞ ;

2. limO+

ln = −∞.


Proprietes

Il existe un unique reel e > 0 tel que ln(e) = 1.

On a e = exp(1) > 1.

Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.



e > 2 : tres facile. Tu l’as ?



e < 3 : moins facile. Tu l’as ?

1

4× 4

5+

1

4× 3

2+

3

2× 1

3=

43

40



e < 3 : moins facile. Tu l’as ?

1

4× 4

5+

1

4× 3

2+

3

2× 1

3=

43

40



Augmente le nombre de rectangles et tu auras autant de decimalesque tu veux. C’est une methode tres inefficace pour calculer e.


Notation

ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).

Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.


Notation

ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).

Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.









Inegalites a savoir

1. ∀x ∈ R, ex ≥ x + 1 ;

2. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤ x − 1 ;

3. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤√x .


Croissances comparees (1)

1. limx→+∞

ln(x)

x= 0

2. limx→+∞

ex

x= 0

3. limx→0+

x ln(x) = 0

4. limx→−∞

xex = 0



Pour tout entier n ≥ 1 et tout polynome P :

1. limx→+∞

ln(x)n√x

= 0

2. limx→+∞

ex

xn= 0

3. limx→+∞

ex

P(x)= 0









Exponentiation

Pour a > 0 et b ∈ Q on a ab = eb ln(a).


Exponentiation

Pour a > 0 et b ∈ R on pose ab = eb ln(a).

(Meme principe que pour ex en lieu et place de exp(x).)


Exponentiation

Grace a l’equation fonctionnelle de exp, on voit qu’on garde lesproprietes des puissances cheres a nos cœurs.


On fait quoi avec ca ?

On obtient une fonction :

1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.

2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .

3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).














Fonction puissance reelle

x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?



x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ?

Proprietes ? Derivee ? Graphes ?



x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ?

Derivee ? Graphes ?



x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ?

Graphes ?



x 7→ xα, α ∈ R.

Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?


Fonction exponentielle de base a

x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple : x 7→ 10x .

Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?



x 7→ ax , a ∈ R∗+.

Exemple :

x 7→ 10x .




x 7→ ax , a ∈ R∗+.





x 7→ ax , a ∈ R∗+.


Domaine de definition ?

Derivee ? Graphe ?



x 7→ ax , a ∈ R∗+.


Domaine de definition ? Derivee ?

Graphe ?



x 7→ ax , a ∈ R∗+.




Logarithme de base a

loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.

C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !

Exemple : log = log10.

L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par

dilatation/contraction de rapport1

ln(a)a partir de Cln.



loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.


Exemple :

log = log10.






loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.








loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.








loga = x 7→ ln(x)

ln(a), a ∈ R∗+.








1. limx→+∞

loga(x)

xα=?

2. limx→+∞

ax

xα=?


f = x 7→ u(x)v(x)

Df ?

f ′ ?


f = x 7→ u(x)v(x)

Df ?

f ′ ?


Exemple

Pas mechant : etudions x 7→ xx









On se concentre sur

cos : R→ R

sin : R→ R

tan : Dtan → R

ou Dtan =

R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}=⋃k∈Z

]−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

[


On se concentre sur

cos : R→ R

sin : R→ R

tan : Dtan → R

ou Dtan = R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}=⋃k∈Z

]−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

[


Rappel

limx→0

sin(x)

x= 1


Theoreme

cos′ = −sin

sin′ = +cos

”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”


Theoreme

cos′ = −sin

sin′ = +cos

”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”


Theoreme

tan′ = 1 + tan2 =1

cos2


Graphes

Connus...

?

Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.


Graphes

Connus... ?



Graphes

Connus... ?










Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de

cos|[−1,1]

|[0,π].

2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]

|[−π2 ,π2 ]

.

3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,

π2 [

.


Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]

|[0,π].


|[−π2 ,π2 ]

.


π2 [

.


Rappel

1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]

|[0,π].


|[−π2 ,π2 ]

.


π2 [

.


Graphes


Attention

arccos et arcsin ne sont pasderivables en ±1.


Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =

√1− x2

2. cos(arcsin(x)) =√

1− x2


Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].

1. sin(arccos(x)) =√

1− x2


1− x2


Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].


1− x2

2. cos(arcsin(x)) =

√1− x2


Lemme

Soit x ∈ [−1, 1].


1− x2


1− x2


Theoreme

arccos′ = x 7→ −1√1− x2

arcsin′ = x 7→ +1√1− x2

arctan′ = x 7→ 1

1 + x2


On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =

π

2

∀x 6= 0, arctan(x) + arctan

(1

x

)= sg(x)

π

2


On retrouve

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π

2


(1

x

)= sg(x)

π

2


On retrouve


2


(1

x

)=

sg(x)π

2


On retrouve


2


(1

x

)= sg(x)

π

2









Rappel

Toute fonction f : R→ R a une partie paire et une partie impaire.


Definition

On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.

On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.


Definition

On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.

On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.


Definition

Reformulation :

ch(x) =ex + e−x

2

sh(x) =ex − e−x

2


Definition

Reformulation :

ch(x) =ex + e−x

2

sh(x) =ex − e−x

2


Definition

Analogue a :

cos(x) =eix + e−ix

2

sin(x) =eix − e−ix

2i


Pourquoi ”hyperbolique” ?


Definition

Tangente hyperbolique : th =sh

ch.

(Analogue a : tan =sin

cos.)


Definition

Tangente hyperbolique : th =sh

ch.

(Analogue a : tan =sin

cos.)


Proprietes immediates

1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) =

ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.

Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.



1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) =

e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.




1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) =

1.




1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.




1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;

2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;

3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.



Derivees

Tout est derivable sur R et :

1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.

C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !

3. th′ =1

ch2= 1− th2.

Ah oui bon sauf pour la tangente alors.


Derivees


1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.


3. th′ =1

ch2= 1− th2.



Derivees


1. ch′ = sh ;

2. sh′ = ch.


3. th′ =1

ch2= 1− th2.



Graphes

Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.


Graphes

Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.



Pour tout reel α :

1. limx→+∞

ch(x)

xα= +∞

2. limx→+∞

sh(x)

xα= +∞

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