Fondamenti diALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

2011- 2012

Michel LavrauwDipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali

Universita di Padova

Lezione 2

Capitolo 1

Strutture algebriche di base

4. Campi - definizione

Un campo e una terna (K , +, ·), dove K e un insieme e +, · sonooperazioni binarie definite in K soddisfacienti le seguenti proprieta:

1. ∃ 0 ∈ K , ∀x ∈ K : x + 0 = x (elemento neutro)

2. ∀x , y , z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z ; (associativita)

3. ∀x ∈ K ∃x ′ : x + x ′ = 0; (inversa)

4. ∀x , y ∈ K : x + y = y + x ; (commutativita)

5. ∃1 ∈ K , ∀x ∈ K : x1 = x (elemento neutro)

6. ∀x , y , z ∈ K : x(yz) = (xy)z ; (associativita)

7. ∀x ∈ K ∗ ∃x ′′ ∈ K ∗ : xx ′′ = 1; (inversa)

8. ∀x , y ∈ K : xy = yx ; (commutativita)

9. ∀x , y , z ∈ K : x(y + z) = xy + xz ; (distributivita)

4. Campi - esempi

Notazione Di solito si scrive K in luogo di (K , +, ·)

Esempi

1. Q, R, C2. (Z2, +, ·)

I elementi {0, 1}I 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0;I 0 · 1 = 1 · 0 = 0; 1 · 1 = 1.

(equivalente al campo K con due elementi {4, �}, pag. 16)

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K ,

per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .

Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)

Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

, aij ∈ K .

Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa

Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :

A =

(1 0 −13 2 1

).

Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m

5. Matrici - matrice nulla, opposta

Sia K un campo e A = (aij) ∈M(m × n, K ).

I Om,n: matrice nulla, Om,n = (oij), ponendo oij = 0, ∀i , j ;

Esempio

O2,3 =

(0 0 00 0 0

).

I −A: opposta di A, −A = (−aij);

Esempio

A =

(1 0 −13 2 1

)⇒ −A =

(−1 0 1−3 −2 −1

)

5. Matrici - matrice nulla, opposta

Sia K un campo e A = (aij) ∈M(m × n, K ).

I Om,n: matrice nulla, Om,n = (oij), ponendo oij = 0, ∀i , j ;

Esempio

O2,3 =

(0 0 00 0 0

).

I −A: opposta di A, −A = (−aij);

Esempio

A =

(1 0 −13 2 1

)⇒ −A =

(−1 0 1−3 −2 −1

)

5. Matrici - somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B= (cij), con cij = aij + bij , per ogni i , j

Esempio A, B ∈M(4× 3, R)

A =

1 0 −13 2 14 6 1−1 2 1

, B =

2 1 01 1 21 2 −1−1 2 3

,

⇒ A + B =

3 1 −14 3 35 8 0−2 4 4

.

5. Matrici - somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B= (cij), con cij = aij + bij , per ogni i , j

Esempio A, B ∈M(4× 3, R)

A =

1 0 −13 2 14 6 1−1 2 1

, B =

2 1 01 1 21 2 −1−1 2 3

,

⇒ A + B =

3 1 −14 3 35 8 0−2 4 4

.

5. Matrici - proprieta della somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B = B + A: la somma e commutativa

Se A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.

I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.

I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa

I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa

5. Matrici - proprieta della somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.

I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.

I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa

I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa

5. Matrici - proprieta della somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.

I O + A = A + O = A: elemento neutro

Se O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.

I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa

I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa

5. Matrici - proprieta della somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.

I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.

I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa

I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa

5. Matrici - proprieta della somma

Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).

I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.

I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.

I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa

I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa

5. Matrici - prodotto

Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).

I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove

∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑

k=1

aikbkj

⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .

AB =

a11 a12 . . . a1n

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

b11 . . . b1j . . . b1p

b21 . . . b2j . . . b2p

......

...

bn1 . . . bnj . . . bnp

5. Matrici - prodotto

Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).

I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove

∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑

k=1

aikbkj

⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .

AB =

a11 a12 . . . a1n

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

b11 . . . b1j . . . b1p

b21 . . . b2j . . . b2p

......

...

bn1 . . . bnj . . . bnp

5. Matrici - prodotto

Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).

I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove

∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑

k=1

aikbkj

⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .

AB =

a11 a12 . . . a1n

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

b11 . . . b1j . . . b1p

b21 . . . b2j . . . b2p

......

...

bn1 . . . bnj . . . bnp

5. Matrici - prodotto

I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con

cij = (ai1 . . . ain)

b1j...

bnj

,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}

i-esima riga di A × j-esima colonna di B

I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )

I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B

5. Matrici - prodotto

I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con

cij = (ai1 . . . ain)

b1j...

bnj

,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}

i-esima riga di A × j-esima colonna di B

I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )

I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B

5. Matrici - prodotto

I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con

cij = (ai1 . . . ain)

b1j...

bnj

,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}

i-esima riga di A × j-esima colonna di B

I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )

I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B

5. Matrici - prodotto

Esempio A ∈M(2, 3, Q), B ∈M(3, 2, Q) ⇒ AB ∈M(2, 2, Q)

A =

(1 0 −13 2 1

), B =

2 11 11 2

,

⇒ AB =

(1 · 2 + 0 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + 0 · 1 + (−1) · 2

3 · 2 + 2 · 1 + 1 · 1 3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 2

)=

(1 −19 7

)

5. Matrici - prodotto

Esempio A ∈M(2, 3, Q), B ∈M(3, 2, Q) ⇒ AB ∈M(2, 2, Q)

A =

(1 0 −13 2 1

), B =

2 11 11 2

,

⇒ AB =

(1 · 2 + 0 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + 0 · 1 + (−1) · 2

3 · 2 + 2 · 1 + 1 · 1 3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 2

)=

(1 −19 7

)

5. Matrici - prodotto

Esempio

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

∈M(3, 4, R)

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈M(4, 4, R)

⇒ AI4 =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

∈M(3, 4, R)

Nota che AI4 = A

5. Matrici - prodotto

Esercizio

A =

1 2 01 0 21 2 3

∈M(3, 3, R)

B =

1 00 10 0

∈M(3, 2, R)

C =

(1 21 0

)∈M(2, 2, R)

Calcolare (AB)C e A(BC ).

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )

A(BC ) = (dij) con

dij =n∑

l=1

ai l

[p∑

k=1

blkckj

]=

n∑l=1

p∑k=1

ai lblkckj

e (AB)C = (eij) con

eij =

p∑k=1

[n∑

l=1

ailblk

]ckj =

p∑k=1

n∑l=1

ailblkckj

⇒ A(BC ) = (AB)C .

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )

A(BC ) = (dij) con

dij =n∑

l=1

ai l

[p∑

k=1

blkckj

]=

n∑l=1

p∑k=1

ai lblkckj

e (AB)C = (eij) con

eij =

p∑k=1

[n∑

l=1

ailblk

]ckj =

p∑k=1

n∑l=1

ailblkckj

⇒ A(BC ) = (AB)C .

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )

A(BC ) = (dij) con

dij =n∑

l=1

ai l

[p∑

k=1

blkckj

]=

n∑l=1

p∑k=1

ai lblkckj

e (AB)C = (eij) con

eij =

p∑k=1

[n∑

l=1

ailblk

]ckj =

p∑k=1

n∑l=1

ailblkckj

⇒ A(BC ) = (AB)C .

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I elemento neutro: Ponendo

Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

∈M(m ×m, K ),

i.e. Im = (zij) con zij =

{0 i 6= j1 i = j

Im: matrice identica d’ordine m

⇒ ∀A ∈M(m × n, K ) : ImA = AIn = A.

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 1

)6=(

1 00 0

)= BA

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

Ne meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 1

)6=(

1 00 0

)= BA

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!

Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 1

)6=(

1 00 0

)= BA

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 1

)6=(

1 00 0

)= BA

5. Matrici - matrice invertibile, singolare

I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che

AB = BA = Im,

allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.

I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare

Esempi

1. La matrice A =

(0 11 0

), e invertibile e A−1 = A.

2. La matrice A

(0 01 0

), e singolare.

5. Matrici - matrice invertibile, singolare

I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che

AB = BA = Im,

allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.

I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare

Esempi

1. La matrice A =

(0 11 0

), e invertibile e A−1 = A.

2. La matrice A

(0 01 0

), e singolare.

5. Matrici - matrice invertibile, singolare

I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che

AB = BA = Im,

allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.

I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare

Esempi

1. La matrice A =

(0 11 0

), e invertibile e A−1 = A.

2. La matrice A

(0 01 0

), e singolare.

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(a bc d

)⇒ AB =

(0 0a b

)6=(

1 00 1

)= I2

⇒ l’inversa di A non essiste!

Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non essiste sempre:

Ne meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(a bc d

)⇒ AB =

(0 0a b

)6=(

1 00 1

)= I2

⇒ l’inversa di A non essiste!

Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!

Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(a bc d

)⇒ AB =

(0 0a b

)6=(

1 00 1

)= I2

⇒ l’inversa di A non essiste!

Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(a bc d

)⇒ AB =

(0 0a b

)6=(

1 00 1

)= I2

⇒ l’inversa di A non essiste!

Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!

5. Matrici - proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio

A =

(0 01 0

), B =

(a bc d

)⇒ AB =

(0 0a b

)6=(

1 00 1

)= I2

⇒ l’inversa di A non essiste!

Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!

5. Matrici - proprieta

proprieta della somma

I A + (B + C ) = (A + B) + C : proprieta associativa

I O + A = A + O = A: elemento neutro

I A + B = B + A: la proprieta commutativa

I A + (−A) = (−A) + A = O inversa

proprieta del prodotto

I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa

I ImA = AIn = A: elemento neutro

I Il prodotto non ha la proprieta commutativa

I inversa non sempre essiste

proprieta distributiva

I A(B + C ) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC

5. Matrici - proposizione

Proposizione

Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im

NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.

Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:

A =

(1 23 0

), C =

(1 −2−2 4

).

2. Sia data la matrice A =

(a bc d

), e si supponga che

ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.

5. Matrici - proposizione

Proposizione

Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im

NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.

Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:

A =

(1 23 0

), C =

(1 −2−2 4

).

2. Sia data la matrice A =

(a bc d

), e si supponga che

ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.

5. Matrici - proposizione

Proposizione

Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im

NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.

Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:

A =

(1 23 0

), C =

(1 −2−2 4

).

2. Sia data la matrice A =

(a bc d

), e si supponga che

ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.

5. Matrici - proposizione

Proposizione

Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im

NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.

Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:

A =

(1 23 0

), C =

(1 −2−2 4

).

2. Sia data la matrice A =

(a bc d

), e si supponga che

ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.

5. Matrici - prodotto esterno

Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .

Proposizione

(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )

(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).

(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )

5. Matrici - prodotto esterno

Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .

Proposizione

(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )

(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).

(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )

5. Matrici - prodotto esterno

Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .

Proposizione

(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )

(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).

(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )

5. Matrici - prodotto esterno

Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .

Proposizione

(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )

(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).

(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )

5. Matrici - trasposta, simmetrica

I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji

⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

⇒ AT =

1 1 12 0 20 2 33 3 0

I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.

Esempi

A =

1 2 −32 0 −1−3 −1 9

, Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

5. Matrici - trasposta, simmetrica

I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji

⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )

Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

⇒ AT =

1 1 12 0 20 2 33 3 0

I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.

Esempi

A =

1 2 −32 0 −1−3 −1 9

, Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

5. Matrici - trasposta, simmetrica

I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji

⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

⇒ AT =

1 1 12 0 20 2 33 3 0

I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.Esempi

A =

1 2 −32 0 −1−3 −1 9

, Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

5. Matrici - trasposta, simmetrica

I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji

⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

⇒ AT =

1 1 12 0 20 2 33 3 0

I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.

Esempi

A =

1 2 −32 0 −1−3 −1 9

, Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

5. Matrici - trasposta, simmetrica

I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji

⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)

A =

1 2 0 31 0 2 31 2 3 0

⇒ AT =

1 1 12 0 20 2 33 3 0

I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.

Esempi

A =

1 2 −32 0 −1−3 −1 9

, Im =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

5. Matrici - ortogonale

I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.

Esempio

A =

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT

5. Matrici - ortogonale

I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.Esempio

A =

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT

5. Matrici - ortogonale

I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.Esempio

A =

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT