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Fondamenti di Analisi Matematica 2

Seconda prova parziale

Vicenza, 18 Gennaio 2020

TEMA1

1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C(R).

y

00(t) + 2↵y

0(t) + 4y(t) = b(t),

(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cioe per b(t) = 0) perogni valore del parametro ↵ 2 R,

(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = t

2+ 2

(c) Fissato ↵ = 2 determinare le soluzioni quando b(t) = e

�2t.

(d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzionidell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali chelimt!+1 y(t)e

t= 0.

2. Data la superficie

⌃ = {(x, y, z) | x = y + 4z

2, y + 2|z| � 4, x 16}

(a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ e semplice.

(b) Calcolare il piano tangente in P = (5, 5, 0)

(c) Z

⌃

1p2 + 64z

2d�

Tempo: 90 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.

Docenti: F. Albertini e L. Caravenna




TEMA2


y

00(t) + 2↵y

0(t) + 9y(t) = b(t),


(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = 9t

2+ 2

(c) Fissato ↵ = �3 determinare le soluzioni quando b(t) = e

3t.


t= 0.


⌃ = {(x, y, z) | y = x+ 4z

2, x+ 2|z| � 4, y 16}


(b) Calcolare il piano tangente in P = (10, 10, 0)

(c) Z

⌃

1p2 + 64z

2d�






TEMA3


y

00(t) + 2y

0(t) + ↵y(t) = b(t),


(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = cos(t)

(c) Fissato ↵ = 0 determinare le soluzioni quando b(t) = 4t+ 8.


t2= 0.


⌃ = {(x, y, z) | y = x� 3z

2, x� 2|z|+ 6 0, y + 27 � 0}


(b) Calcolare il piano tangente in P = (�10,�10, 0)

(c) Z

⌃

1p2 + 36z

2d�






TEMA4


y

00(t) + 2y

0(t)� ↵y(t) = b(t),


(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = sin(t)

(c) Fissato ↵ = 0 determinare le soluzioni quando b(t) = 8t� 6.


t2= 0.


⌃ = {(x, y, z) | x = y � 3z

2, y � 2|z|+ 6 0, x+ 27 � 0}


(b) Calcolare il piano tangente in P = (�7,�7, 0)

(c) Z

⌃

1p2 + 36z

2d�



Nuova sezione 75 Pagina 1




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