Fondamenti di automatica - riccardogalletti.com · Fondamenti di automatica – prof. S. Chiaverini 3-Considerazioni generali sul sistema in esame Si consideri per l’impianto P

Fondamenti di automatica – prof. S. Chiaverini

1

Relazione di

Fondamenti di automatica

Prof. Stefano Chiaverini

Corso di laurea di ingegneria delle telecomunicazioni

II anno – III quadrimestre

A.A. 2001/2002

Elaborato D

Studente relatore:

Antonio Formato

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Antonio Formato

2

Indice

Pag.

• Considerazioni generali sul sistema in esame......................................................................3 • Calcolo di C(s) e H per il controllo in retroazione………………………………………...4 • Errore a regime…………………………………………………………………………...…5 • Analisi delle proprietà di stabilità………………………………………………………….7 Criterio di Routh……………………………………………………………………………..7

Criterio di Nyquist…………………………………………………………………………...9 • Correzione della risposta armonica………….......……………………………………….13 • Valutazione tramite legami globali della risposta del sistema ………………………….19 • Verifica nel dominio del tempo della correttezza dell’ analisi svolta…..………………22 • Riferimenti bibliografici…………………….…………………………………………….24



3

-Considerazioni generali sul sistema in esame Si consideri per l’impianto P il seguente modello implicito ingresso – uscita lineare e stazionario:

( ) )(5.1)(15)(25)(10 2

2

3

3

tudt

tdudt

tdydt

tyddt

tyd+=++ .

Questo sistema è un sistema LTI (detto lineare stazionario o lineare tempo invariante) di ordine n, con una variabile di ingresso e una di uscita; la risposta y(t) è determinata da un legame espresso da un’equazione differenziale di ordine n=3. A partire da queste informazioni si possono dedurre alcune osservazioni: in primo luogo è soddisfatta la condizione mn ≥ la quale indica che il sistema è causale e quindi fisicamente realizzabile; più precisamente n>m quindi si può dire che la risposta è continua. Per ricavare la soluzione dell’equazione differenziale che modella l’impianto è conveniente procedere con il metodo della trasformata di Laplace che consente una più agevole soluzione. Questo tipo di trasformazione funzionale stabilisce una corrispondenza biunivoca tra funzioni del tempo e funzioni immagine in modo da rendere più semplice la soluzione in quanto consente di convertire un problema costituito da equazioni differenziali in un problema di equazioni algebriche.

Il primo passo da svolgere è ricavare la funzione di trasferimento )()()( sU

sYsP = .

Operando la trasformazione di Laplace si ottiene:

)(5.1)(15)(25)(10)( 23 sUsUssYssYssYs ⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅

2)5(5.115

)()()(

++

==sss

sUsYsP

Pu y


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4

-Calcolo di C(s) e H per il controllo in retroazione

Schema di controllo in retroazione

C(s) e H devono essere ricavate in modo da soddisfare le seguenti specifiche progettuali:

6)(2)(

)(6)()(2)(

,3

33

=⇒⋅=⋅=⇒⋅=

∞−

−−

A

d

ettrttyttr

δδδ

sistema a ciclo chiuso sia astatico nei confronti dell’ingresso non manipolabile )()( 1 ttd −= δ . C(s) indica l’azione di controllo devoluta al controllore, H caratterizza l’azione svolta dai componenti sul ramo di retroazione. Con r(t) si indica l’ ingresso di riferimento, sapendo che l’ uscita desiderata viene fornita in ingresso ad un sistema di controllo tramite un segnale ad essa proporzionale dd Kytr =)( , si impone la condizione

3)(2)(6

)(2)(6)()(3

333 =

⋅⋅

=⇒⋅⋅=⋅⇒⋅=−

−−− t

tKtKttrKty dddd δ

δδδ

Si faccia l’ ipotesi di una retroazione puramente algebrica (anche se ciò richiederebbe l’ uso di un trasduttore ideale) in modo da sfruttare la relazione

dKH 1= .

311

==dK

H .

C(s) P(s)

R Y

D

H



5

-Errore a regime Si consideri un riferimento in forma di segnale canonico di ordine (K+1)

)()( )1(0 tRtr k+−= δ

e se ne consideri anche la Laplace-trasformata

10)( += Ks

RsR

Particolarizzando queste due espressioni per il problema in esame si ottiene:

2)(2)( 03 =⇒= − Rttr δ

332)](2[)( stLsR == −δ

)(1 t−δ )(2 t−δ )(3 t−δ

h=1 pd

d

KKRK+

02

∞ ∞

h=2 0 v

d

KRK 0

2

∞

h=3 0 0 a

d

KRK 0

2

Tabella: Errore a regime per 2,2 ≤≤ kh .

Secondo la tabella dell’ errore a regime, considerando )(2)( 3 ttr −= δ si ricava che per ottenere un errore finito deve essere h=3, ovvero la funzione di trasferimento deve avere due poli nell’ origine. Dato che un polo nell’ origine è già presente in P(s), lo si deve aggiungere in C(s) che assume in

questo modo la forma: s

KsC c=)( .

Con riferimento alla tabella si evince che, nel caso h=2 e )(2)( 3 ttr −= δ , si ottiene:

a

d

KRKe 0

2

=∞

Il guadagno G0 è indicato per diversi valori h:


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6

=

⋅=

=

=

⋅→

→

→

)(limlimlim

2

)(

)(

0

0

0

0

sGss

a

sv

sp

K

sGsK

sGK

G

sostituendo si ottiene:

32362

02

=⇒⋅

=⇒=∞ aaa

d KKK

RKe

quindi

)(2

0lim sGsK

sa ⋅=

→

con )()()( sPsCsG ⋅= funzione di trasferimento del ramo di azione diretta

503255.1

3)5(5.1153)()( 2

2

0

2

0limlim =⇒=⇒=

++

⋅⇒=⋅⋅→→

ccc

ssK

Ksss

sK

ssPsCs

22

22

)5(375750)()()(

)5(75750)()()(

50)(

++

=⋅=

++

=⋅=

=

ssssHsGsF

ssssPsCsG

ssC

La richiesta di astatismo nei confronti di un ingresso non manipolabile di tipo a gradino impone la presenza di un polo nell’ origine nella funzione di trasferimento di catena diretta a monte dell’ applicazione del disturbo. Infatti quando )()( 10 tDtd −= δ si ha K=0, il sistema a ciclo chiuso risulta astatico se e solo se è presente in C(s) almeno un polo nell’ origine. Da queste considerazioni si

evince che la struttura minima della funzione C(s) deve essere s

KsC c=)( , essendo in questo caso

ssC 50)( = si può certamente affermare che la specifica riguardante l’ astatismo è soddisfatta.

Applicando il teorema del valor finale al limite:

Essendo h1=1, K=0, D0=1, H=1/3, il limite è uguale a zero perché risulta soddisfatta la condizione h1>K.

0)(0.20.1

00,2

0

1

limlim =⋅⋅+

⋅⋅−= +

−

→∞→ HGGsDGs

te hh

kh

sD

t



7

-Analisi delle proprietà di stabilità - Criterio di Routh Per il sistema a ciclo chiuso ottenuto si analizzano le proprietà di stabilità al variare del guadagno Kc determinando l’ intervallo si valori che ne assicurano la stabilità asintotica. La funzione di trasferimento in retroazione è:

)5.115()5(3)5.115(3

)5(3)5.115(

1

)5(5.115

)(1)()( 22

22

2

++++

=

++

+

++

=+

=sKss

sK

sssK

sss

sK

sFsGsW

c

c

c

c

L’ equazione caratteristica è:

5.115753035.115)2510(3 23422cccc KsKsssKsKsss ++++=++++

Essendo il polinomio caratteristico una equazione algebrica a coefficienti reali è possibile applicare il criterio di Routh. Il primo passo da svolgere è la costruzione della tabella di Routh a partire dall’ equazione caratteristica.

4 3 75 1.5Kc

3 30 15Kc 2 b1 b2 1 c1 0 a0

c

c

K

K

b2375

30753

1530

1 −==

cc K

Kb 5.1

305.13030

2 ==

c

ccc

KKK

bK

bb

c3150

)452160(1530

1

21

1 −−

==

cKa 5.10 =


Antonio Formato

8

Sostituendo i valori ottenuti nella tabella: 4 3 75 1.5Kc

3 30 15Kc 2 75-Kc3/2 1.5Kc

1 c

cc

KKK

3150)452160(

−−

0 1.5Kc Affinché il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile bisogna soddisfare la condizione necessaria e sufficiente che gli elementi in prima colonna nella tabella di Routh siano tutti dello stesso segno; questo accade imponendo che:

<<⇒

<><

⇒

>−

−

>

>−

480480

50

03150

)452160(

023

02375

c

c

c

c

c

cc

c

C

KKK

K

KKK

K

K

Quindi il sistema a ciclo chiuso sarà asintoticamente stabile se ][ 48,0∈ck Di seguito è riportata la mappa zeri – poli della F(s) nel caso in cui Kc=50.



9

-Analisi delle proprietà di stabilità - Criterio di Nyquist E’ possibile utilizzare un secondo metodo per stabilire alcuni possibili interventi che, attraverso opportune modifiche della funzione di risposta armonica ad anello aperto, apportino migliorie nel comportamento dinamico del sistema in retroazione: il criterio di Nyquist che è un metodo basato su un approccio semigrafico. Enunciato del criterio di Nyquist Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema ad anello chiuso risulti asintoticamente stabile è che il diagramma completo di Nyquist di F(jω) circondi senza toccarlo il punto critico (-1 ; J0) in senso antiorario un numero di volte che è pari esattamente al numero di poli a parte reale positiva della funzione F(s). Di seguito sono riportati i diagrammi di Nyquist, ottenuti in ambiente Matlab, in scala originale e ingrandita di:

2222 )5(25250

)5(375750)(

++

=++

=sss

sssjF ω

Diagramma di Nyquist in scala originale


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10

Diagramma di Nyquist ingrandito

Analizzando il diagramma è evidente che il sistema a ciclo chiuso con Kc=50 risulta instabile in quanto il punto critico è circondato. Per calcolare la costante moltiplicativa di F(jω) tale che riporti il diagramma ai limiti di stabilità si procede calcolando l’ inversa della ascissa in corrispondenza della quale si chiude il cappio.

96154.004.1

1

)(

1

1)(

_ =−

−=−=

−=−

ω

ω

jFK

KjF

F

F

In accordo all’ analisi svolta mediante l’ uso del criterio di Routh il sistema a ciclo chiuso risulta essere asintoticamente stabile moltiplicando la F(jω) per un fattore pari a 0.96154 il che significa che Kc deve essere minore di 48, infatti:

4807.4896154.050 ≅=∗=cK

In tal caso, come si può notare dalla seguente figura, il sistema è in condizione di limite di stabilità perché si è considerato l’ estremo superiore dell’ intervallo che assicura la stabilità asintotica.



11

Diagramma di Nyquist di F(jω) modificata con KF=0.996154.

La funzione di trasferimento ad anello aperto F(jω) è:

234 753035.115)()()()(

ssssksHsPsCsF c +++

==

si assume Kc unitario e si traccia il diagramma:

Diagramma di Nyquist con K unitario


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12

Si applica un ingrandimento della figura per visualizzare al meglio la zona di interesse:

E’ evidente dalla figura che il punto critico non è circondato quindi il sistema è stabile. Dal grafico si ricava la coordinata del cappio e si ricava

( )[ ]

480208.01

0208,0Re

≅=

=

cK

sF

Questo risultato è un ulteriore conferma della correttezza dell’ analisi di stabilità del sistema; si può quindi affermare che, essendo il valore di Kc limitato, il sistema si trova in condizione di stabilità condizionata.



13

-Correzione della risposta armonica Si richiede di modificare la risposta armonica del sistema in modo da soddisfare la seguente specifica:

F(jω) : °= 40ϕm e s

radt 1=ω

L’ andamento della risposta armonica è determinata dalla struttura matematica della funzione F(jω). Per modificare tale andamento ovviamente non è possibile sottrarre nulla dalla funzione, bensì è necessario aggiungere strutture adatte con guadagno unitario che rendono possibile la modifica. Un possibile approccio per modificare la risposta armonica è quello di considerare un solo punto sulla F(jω); la pulsazione candidata all’ attraversamento deve essere portata a coincidere con ωt . Il primo passo da svolgere è di ricavare il diagramma di Nichols di F(jω), di seguito riportato.

Diagramma di Nichols di F(jω) con K=50

La funzione così definita attraversa la zona del diagramma a 3dB, quindi la correzione consiste nello “spostare” la funzione in modo che non oltrepassi la zona a 3dB. In matlab con la funzione [mag, phase]=nichols(F,1) si calcola il modulo e la fase di F(jω) in corrispondenza della pulsazione ωt. Modulo=9.6633 Fase= -118.3305° Bisogna calcolare il modulo in dB:


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14

dBdBModulo 7025.196633.9log20 == Per soddisfare la specifica si deve applicare un’ opportuna rete ritardatrice - attenuatrice che ha una funzione di trasferimento pari a

sssG

τατ++

=1

1)(

Bisogna solo ricavare i parametri caratterizzanti questo sistema che sono α e τ tenendo in considerazione che

om 226695.213305.1184018040 −≅−=++−=⇒°= ϕϕ quindi si deve attenuare di 19.07dB e ritardare di 22° la risposta armonica del sistema. I parametri della rete correttrice si ricavano per via grafica dalla carta di Nichols andando a leggere le coordinate individuate dal vettore individuato sulla carta che attenua e ritarda secondo i valori richiesti:

2222111111

=⇒=

=⇒=

τωτ

αα

E’ possibile ricavare α e τ anche per via analitica attraverso le seguenti relazioni:

( ) 0943.0111

3.2311

1034.010

22

2

207025.19

=−+=

=⋅−−

=

==−

Mtg

tgMtgM

M

ϕωτ

α

ϕϕ

ωτ

Sostituendo i valori ottenuti è possibile ricavare la funzione di trasferimento G(s) della rete correttrice:

ss

s

ssG

22121

22111221

)(++

=+

+=

Dal diagramma di Bode di G(s), riportato di seguito, si evince che alle basse frequenze la rete correttrice non cambia sensibilmente il guadagno e la fase; all’ aumentare della frequenza la rete produce un’ attenuazione e un ritardo ben evidenti nel diagramma che consente di modificare la risposta armonica del sistema in analisi.



15

Diagramma di Bode di G(s)

Per correggere la risposta armonica si deve inserire questo oggetto in serie a C(s), quindi si ricava la C(s) modificata tenendo presente che la cascata di due blocchi può essere considerata come un'unica blocco caratterizzato dal prodotto delle due funzioni di trasferimento che costituiscono la rete.

sss

ssssCsGsC

++

=⋅++

=⋅= 2225010050

22121)()()('

Per verificare la stabilità del sistema ottenuto tramite l’ aggiunta della rete correttrice si deve calcolare la nuova F(s) e tracciare il diagramma di Nyquist.

2345

2

22 75168066366759001500

31

)5(5.115

2250100)()(')('

ssssss

sss

sssHsPsCsF

+++++

=⋅++

⋅++

==


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16

Diagramma di Nyquist di

F’(s)

Diagramma di Nyquist di F’(s) ingrandito



17

Diagramma di Nyquist di F’(s) ulteriormente ingrandito

Il sistema risulta essere stabile in quanto, come si vede in figura, il punto critico è circondato due volte, una in senso orario e l’ altra in senso antiorario. Verificata la stabilità bisogna controllare se il sistema risponde a regime con un errore pari a quello imposto dalle specifiche progettuali. Attraverso il programma di Matlab, il Simulink, si procede alla costruzione di uno schema a blocchi. Il sistema viene rappresentato come delle grandezze opportunamente interconnesse a formare un grafo che è una rappresentazione grafica del sistema sulla quale si basano alcuni programmi di simulazione come il Simulink. Lo schema a blocchi del sistema e il relativo grafico dell’ uscita sono i seguenti. E’ evidente che la risposta del sistema alla rampa parabolica risponde alle specifiche imposte e quindi anche all’ errore a regime che dopo 40-50 secondi è molto prossimo a 6, valore imposto nell’ analisi precedente.


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18

Schema a blocchi

Simulazione del sistema

Simulazione del sistema per la verifica dell' errore a regime

C(s) P(s)

H

Disturbo

Ingresso

YU

Uscita Step

Scope1

Scope Ramp 15s+1.5

s +10s +25s3 2

P(s)

1 s

Integrator

1

3

H

3

Gain

100s+50 22s +s 2



19

-Valutazione tramite legami globali della risposta del sistema Per il calcolo della risposta transitoria del sistema bisogna riferirsi ad un ingresso campione, più precisamente ad un ingresso indiciale, valutando i parametri tramite legami globali. La funzione di trasferimento in retroazione è:

2345678910

2345667

6252150018665037485044175025962073481972448418756450055807510041.135130033000

)()(1)()()(

sssssssssssssss

HsPsCsPsCsW

+++++++++++⋅++

=

=⋅⋅+

⋅=

−

e il relativo diagramma di Bode:

Diagramma di bode di W(s)


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20

Il diagramma di Bode normalizzato si ottiene calcolando W(j0)=3 e graficando )0()(

jWjW ω

Diagramma di Bode di W normalizzato

-Sovraelongazione percentuale alla risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso E’ la differenza tra il valore massimo raggiunto dall’ uscita e il valore finale di regime; normalmente è espresso in termini percentuali.

18.0ln42.06

3 +

⋅=

BBM

s r

Direttamente dal diagramma si vanno a leggere i valori di dBrM , 3ω , 6ω , 20ω , 20ϕ che sono necessari per calcolare la sovraelongazione e gli altri parametri.

675.148.4 =⇒= rrdB MM



21

°−=

===⇒=

===⇒=

===⇒=

186

7926.02

98.42

98.4

3469.02

18.22

18.2

2833.0278.1

278.1

20

202020

666

333

ϕππ

ωω

ππω

ω

ππω

ω

Bs

rad

Bs

rad

Bs

rad

Sostituendo i valori nella formula precedente si ricava la sovraelongazione:

3116.018.03469.0

2833.0675.1ln42.018.0ln42.06

3 =+

⋅

=+

⋅=

BBM

s r

-Tempo di salita alla risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso E’ l’ intervallo di tempo definito dalle intersezioni della tangente al tempo all’ emivalore con l’ asse delle ascisse e il valore di regime.

sB

tr 29.13469.0

45.045.0

6

===

-Tempo di assestamento alla risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso E’ il tempo occorrente affinché l’ uscita rimanga entro il 5± % del valore finale.

sB

BMB

t ra 36.74.0

3469.02833.0675.116.2

3469.014.016.21

6

3

6%5, =

−

⋅=

−=

-Tempo all’ emivalore alla risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso E’ il tempo in cui la risposta raggiunge metà del valore di regime.

sB

te 07.13469.0

186002.0002.0

6

20 =⋅

=⋅

=ϕ

-Periodo di prima oscillazione alla risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso E’ la misura del periodo della prima oscillazione della risposta indiciale.

'22.1B

T =

22.02

4.12

4.1 ===⇒=ππ

ωω I

II Bs

rad

sB

T 54.522.022.1

'22.1

===


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22

-Verifica nel dominio del tempo della correttezza dell’ analisi svolta Con l’ ausilio di Simulink si procede a verificare la correttezza dell’ analisi svolta nei domini operativi s e ω. La verifica è necessaria in quanto i parametri calcolati precedentemente, come già detto, sono stati ottenuti da legami globali, che stabiliscono una corrispondenza tra il dominio del tempo e della frequenza e viceversa, che cercano di approssimare al meglio la corrispondenza tra i due domini operativi. Il sistema è simulato a partire dallo schema a blocchi riportato di seguito ponendo in ingresso ovviamente un gradino perché i parametri calcolati si riferiscono alla risposta indiciale.

Simulazione del sistema per la verifica dei legami globali

C(s) P(s)

H

Disturbo

Ingresso

YU

Uscita Step1

Step

Scope 15s+1.5

s +10s +25s3 2

P(s)

1

3

H

3

Gain

100s+50 22s +s 2



23

Simulazione del sistema – risposta indiciale Dal grafico dell’ uscita si vanno a ricavare i valori necessari alla verifica dei risultati che sono: Sovraelongazione percentuale

%3737.03

313.4.

.max.⇒=

−=

−=

regimevalregimevalvals

Tempo di salita

sts 37.1137.2 =−= Tempo di assestamento

sta 5.8%5, =

Tempo all’ emivalore

ste 7.1= Periodo della prima oscillazione

sT 23.937.26.11 =−=


Antonio Formato

24

Riferimenti bibliografici

-Appunti dalle Lezioni di Automatica A.A. 2001/2002-Stefano Chiaverini -Controlli Automatici- Giovanni Marro, quarta edizione Zanichelli -Manuale di elettronica e Telecomunicazioni-G. Biondo, E. Sacchi, quarta edizione, cap. 6 -Appunti personali del corso


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