Ingegneria Informatica e Ingegneria Matematica

FONDAMENTI DI RICERCA OPERATIVA D / E

Edoardo Amaldi

DEI - Politecnico di Milano

amaldi@elet.polimi.it

Sito web: http://home.dei.polimi.it/amaldi/FRO-DE-08-09.html

INTRODUZIONE

Ricerca Operativa (“Operations Research”):

Uso di modelli matematici e metodi quantitativi avanzati per analizzare problemi decisionali

complessi e fornire un supporto alla presa di decisioni

Tra matematica, informatica, economia e ingegneria

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Problemi decisionali

Problemi di scelta tra diverse soluzioni alternative sulla base di uno (o piu) criteri

Esempi:

1) Assegnare m incarichi (jobs) a m persone (macchine) minimizzando il tempo necessario per com-

pletarli

P1 P2 P3

I1 2 6 3

I2 8 4 9

I3 5 7 8

Tabella dei tempi (m = 3)

Numero di soluzioni alternative?

2

Problemi decisionali

Problemi di scelta tra diverse soluzioni alternative sulla base di uno (o piu) criteri

Esempi:

1) Assegnare m incarichi (jobs) a m persone (macchine) minimizzando il tempo necessario per com-

pletarli

P1 P2 P3

I1 2 6 3

I2 8 4 9

I3 5 7 8

Tabella dei tempi (m = 3)

Numero di soluzioni alternative: m!

3

2) Collegare n citta (uffici) con una rete di comunicazione di costo minimo

Numero di soluzioni alternative?

3) Organizzare i turni del personale rispettando le varie esigenze e minimizzando il numero di persone

coinvolte

4) Determinare il numero di sportelli da aprire affinche il tempo medio di attesa non superi un certo

valore

5) Decidere quale modello di PC portatile comperare, tenendo conto del prezzo, del peso, delle

prestazioni

Problemi complessi affrontati con l’approccio modellistico (tecniche matematiche e strumenti in-

formatici)

4

2) Collegare n citta (uffici) con una rete di comunicazione di costo minimo

Numero di soluzioni alternative: ≤ 2n(n−1)

3) Organizzare i turni del personale rispettando le varie esigenze e minimizzando il numero di persone

coinvolte

4) Determinare il numero di sportelli da aprire affinche il tempo medio di attesa non superi un certo

valore

5) Decidere quale modello di PC portatile comperare, tenendo conto del prezzo, del peso, delle

prestazioni

Problemi complessi affrontati con l’approccio modellistico (tecniche matematiche e strumenti in-

formatici)

5

Cenni storici

Origini militari (seconda guerra mondiale):

Assegnare in modo efficace le risorse limitate alle diverse operazioni

Esempi: posizionamento dei radar, approvigionamento dei convogli, logistica...

“Operations Research” sta per la ricerca del modo piu efficace di condurre le operazioni

Nel dopoguerra, metodi analoghi applicati in ambito industriale

Il boom economico, ingrandendo le imprese e organizzazioni, poneva problemi decisionali molto piu

complessi!

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Circostanze favorevoli:

• Rapidi progressi teorici in Ricerca Operativa e in Calcolo Numerico

• Avvento e diffusione dei primi computer (potenza di calcolo disponibile e poi diffusione di software)

Ricerca Operativa = “Management Science”

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Caratteristiche dei problemi decisionali

• numero di decisori (chi decide?)

• numero degli obiettivi (in base a quali criteri

decide?)

• grado di incertezza dei dati (con quali

informazioni decide?)

Piu decisori ⇒ Teoria dei giochi

Piu obiettivi ⇒ Programmazione multi-obiettivo

Grado di incertezza > 0 ⇒ Programmazione stocastica

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Esempio: Mix produttivo

Una azienda produce tre tipi di apparecchiature elettroniche.

Le fasi critiche del ciclo produttivo: assemblaggio, finitura e controllo di qualita.

Ore-uomo per ogni fase e prodotto:

A1 A2 A3

Assemblaggio 80 70 120

Finitura 70 90 20

Controllo qualita 40 30 20

Disponibilita produttiva nell’orizzonte di pianificazione espressa in ore-uomo:

Assemblaggio Finitura Controllo qualita

1000 800 300

Margine lordo unitario espresso in KEuro:

A1 A2 A3

16 10 2

Si suppone che l’azienda possa vendere tutto cio che produce.

Formulare in termini matematici il problema di determinare un “piano” di produzione che

massimizzi il margine lordo complessivo.

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Modello mix produttivo

Variabili di decisione:

xj = quantita di apparecchiatura Aj prodotta (j = 1, 2, 3)

Funzione obiettivo:

max z = 16x1 + 10x2 + 2x3

Vincoli: capacita produttiva per ogni fase

80x1 + 70x2 + 120x3 ≤ 1000 (assemblaggio)

70x1 + 90x2 + 20x3 ≤ 800 (finitura)

40x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 300 (controllo qualita)

Non negativita delle variabili:

x1, x2, x3 ≥ 0

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Schema generale di uno studio di R.O.

Problema → Modello → Algoritmo → Programma

Modello: rappresentazione semplificata della realta

Per definirlo bisogna individuare gli elementi fondamentali e le principali relazioni

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Esempio: Pianificazione di investimenti

Una societa di investimenti finanziari deve decidere la composizione di un portafoglio di titoli.

Investimento Area Capitale [ cj ] (KEuro) Rendimento atteso [ rj ]

A (settore auto) Germania 150 11%

B (settore auto) Italia 150 9%

C (settore informatica) U.S.A. 60 13%

D (settore informatica) Italia 100 10%

E (settore elettrodomestici) Italia 125 8%

F (settore elettrodomestici) Francia 100 7%

G (titoli di stato a breve) Italia 50 3%

H (titoli di stato a lungo) Inghilterra 80 5%

Capitale = 600 KEuro

Al massimo 5 investimenti per non frammentare troppo la gestione

Diversificazione per area geografica: ≤ 3 investimenti in Italia e ≤ 3 all’estero

Formulare in termini matematici il problema di selezione degli investimenti in modo tale da

massimizzare il ritorno atteso rispettando i vincoli che mirano a ridurre il rischio.

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Modello di pianificazione di investimenti

Variabili di decisione:

xj = 1 se j-esimo investimento viene effettuato e xj = 0 altrimenti (j = 1, . . . , 8)

Funzione obiettivo:

max z =

8∑

j=1

cj rj xj

Vincoli:

8∑

j=1

cj xj ≤ 600 (capitale)

8∑

j=1

xj ≤ 5 (max 5 investimenti)

x2 + x4 + x5 + x7 ≤ 3 (max 3 in Italia)

x1 + x3 + x6 + x8 ≤ 3 (max 3 all’estero)

Variabili binarie (intere): xj ∈ {0, 1} ∀j, 1 ≤ j ≤ 8

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Per limitare il rischio: i) investimenti C e D sono mutuamente esclusivi,

ii) se si sceglie un investimento nel settore informatico, bisogna anche selezionare titoli di stato.

Modello:

max z =

8∑

j=1

cj rj xj

8∑

j=1

cj xj ≤ 600 (capitale)

8∑

j=1

xj ≤ 5 (max 5 investimenti)

x2 + x4 + x5 + x7 ≤ 3 (max 3 in Italia)

x1 + x3 + x6 + x8 ≤ 3 (max 3 all’estero)

x3 + x4 ≤ 1 (C e D esclusivi)

x3 + x4 ≤ x7 + x8 (invest. in titoli di stato)

xj ∈ {0, 1} ∀j, 1 ≤ j ≤ 8

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Esempio: Problema di assegnazione

Il responsabile di un ufficio deve assegnare m = 3 incarichi a m persone sulla base delle seguenti stime

dei tempi che ciascuno impiega ad eseguire ogni incarico:

P1 P2 P3

I1 2 6 3

I2 8 4 9

I3 5 7 8

Tabella dei tempi tij, 1 ≤ i, j ≤ 3

Formulare in termini matematici il problema di determinare quale incarico assegnare ad ogni

persona in modo tale da minimizzare la somma dei tempi di completamento di tutti gli incarichi.

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Modello di assegnazione

Variabili di decisione:

xij = 1 se l’incarico i viene assegnato alla persona j e xij = 0 altrimenti ∀ i, j con 1 ≤ i, j ≤ 3

Funzione obiettivo:

min z =

3∑

i=1

3∑

j=1

tijxij

Vincoli:

3∑

i=1

xij = 1 j = 1, 2, 3 (ad ogni persona j un’unico incarico)

3∑

j=1

xij = 1 i = 1, 2, 3 (ogni incarico i ad un’unica persona)

Variabili binarie (intere):

xij ∈ {0, 1} ∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ 3

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Esempio: localizzazione di impianti

Tre pozzi petroliferi, situati nei punti A, B e C, estraggono greggio.

Dove localizzare una raffineria per minimizzare il costo degli oleodotti (proporzionale al quadrato della

lunghezza)?

E vietato costruirla nel raggio di 100 km attorno al punto D = (100, 200).

Gli oleodotti possono invece attraversare la zona vietata.

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Modello localizzazione di impianti

Variabili di decisione:

x1, x2 coordinate cartesiane della raffineria

Funzione obiettivo:

min z =[

(x1 − 0)2 + (x2 − 0)2]

+[

(x1 − 300)2 + (x2 − 0)2]

+[

(x1 − 240)2 + (x2 − 300)2]

Vincoli:√

(x1 − 100)2 + (x2 − 200)2 ≥ 100

Natura variabili:

x1, x2 reali

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Programmazione matematica (PM)

Problemi decisionali con un solo decisore, un solo criterio di scelta e ambiente certo

opt f (x) con x ∈ X

• variabili di decisione x ∈ Rn : grandezze numeriche il cui valore individua una soluzione del

problema

• regione ammissibile X ⊆ Rn distingue le soluzioni ammissibili da quelle non ammissibili (me-

diante vincoli)

• funzione obiettivo f : X → R esprime in modo quantitativo il gradimento o il costo di ciascuna

soluzione ammissibile

• opt = min oppure opt = max NB: max{f(x) : x ∈ X} = −min{−f(x) : x ∈ X}

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Ottimi globali

Risolvere un problema di PM consiste nell’individuare una soluzione ammissibile globalmente ot-

tima, ovvero un x∗ ∈ X tale che

f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ X se opt = min

f (x∗) ≥ f (x) ∀x ∈ X se opt = max

Puo avvenire che:

1. il problema sia inammissibile (X = ∅)

2. il problema sia illimitato (∀c ∈ R,∃xc ∈ X tale che f (xc) ≤ c oppure f (xc) ≥ c)

3. vi sia un numero elevatissimo (anche infinito) di soluzioni ottime (con lo stesso valore ottimo!)

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Ottimi locali

Talvolta ci si deve accontentare di una soluzione ammissibile localmente ottima, ovvero un x ∈ X

tale che

f (x) ≤ f (x) ∀x con x ∈ X e ||x − x|| ≤ ǫ se opt = min

f (x) ≥ f (x) ∀x con x ∈ X e ||x − x|| ≤ ǫ se opt = max

per ǫ > 0 opportuno

Un problema puo avere tanti ottimi locali!

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Casi particolari di PM

• Programmazione Lineare (PL)

f (x) lineare

X = {x ∈ Rn : gi (x) R 0, i = 1, . . . , m} con R ∈ {=,≤,≥} e gi (x) lineare per ogni i

Esempio: Mix produttivo

• Programmazione Lineare Intera (PLI)

f (x) lineare

X = {x ∈ Rn : gi (x) R 0, i = 1, . . . , m} ∩ Z

n con R ∈ {=,≤,≥} e gi (x) lineare per ogni i

Esempio: Pianificazione investimenti, assegnazione di incarichi

PLI coincide con PL con in piu il vincolo di interezza delle variabili di decisione

• Programmazione Non Lineare

f (x) regolare

X volume racchiuso fra superfici {x ∈ Rn : gi(x) = 0} regolari (con gi (x) regolari)

Esempio: Localizzazione di impianti

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Programmazione a molti obiettivi

Vi sono vari approcci per tenere conto di piu obiettivi

Se si desidera minimizzare f1 (x) e massimizzare f2 (x):

1. senza priorita: ricondursi al caso con un solo obiettivo convertendo i diversi obiettivi in unita di

misura omogenee

min λ1f1 (x) − λ2f2 (x)

per due scalari λ1 e λ2 opportuni

2. con priorita: ottimizzare l’obiettivo prioritario e ridurre quelli secondari a vincoli di qualita

minx∈X

f1 (x) con X = {x ∈ X : f2 (x) ≥ c}

per una costante c opportuna

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Programmazione matematica e simulazione

Entrambe richiedono la costruzione di un modello e lo sviluppo di un algoritmo

Programmazione matematica Simulazione

Problemi “ben” formalizzabili Problemi difficili da formalizzare

L’algoritmo fornisce una soluzione L’algoritmo riproduce il sistema reale e perme-

tte di sperimentare le prestazioni di soluzioni

diverse

I risultati sono “certi” I risultati sono da “interpretare”

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ESEMPI DI SUCCESSI DELLA R.O.

anno azienda settore effetto

90 Taco Bell turni personale 7.6M$ risparmio

(fast food) annuo

92 American Arlines nuovo sistema di tariffe, “overbooking” + 500M$

e coordinamento dei voli

92 Harris Corp. pianificazione 50% ⇒ 95% ordini

(semiconduttori) produzione “on time”

95 GM - car rental utilizzo parco +50M$ annui

auto evitato fallimento

96 HP - stampanti riprogettata linea raddopiata

produttiva produzione

97 Bosques Arauco logistica taglio 5M$ risparmio

e trasporto annuo

99 IBM riorganizzata catena 750M$ risparmio

logistica annuo

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Praticamente nessun manager delle “Fortune 500” gestisce la propria azienda senza il supporto di metodi

quantitativi e della R.O.

Notevoli vantaggi non solo per le grandi aziende/enti/organizzazioni

R.O. utile ogniqualvolta si desidera razionalizzare l’uso di risorse limitate!

In contesti di rapida evoluzione, elevata complessita ed incertezza e indispensabile trovare e implementare

solutioni efficaci

“Informatizzazione” e disponibilita dei dati hanno aperto nuovi orizzonti...

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