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Fondements de l'Analyse Économique Travaux Dirigés fileFondements de l'Analyse Économique ... Les exercices présentés dans cette brochure sont soit des créations des au-

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  • Fondements de l'Analyse conomiqueTravaux Dirigs 2009-2010

    Alexandre de Cornire & Marc Sangnier

    Septembre 2009

    cole Normale Suprieure de Cachan - Dpartement conomie Gestion

    Les exercices prsents dans cette brochure sont soit des crations des au-teurs, soit tirs de l'ouvrage Microeconomic Theory (A. Mas-Colell, M. Whins-ton & J. Green - Oxford University Press), soit inspirs des travaux dirigs deLaurent Simula l'EHESS, soit des annales des partiels du cours.

    1

  • Table des matires

    1 Reprsentation des prfrences 4

    1.1 Rationalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Fonction d'utilit lasticit constante . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Monotonie et non-saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Proprits de la fonction d'utilit Cobb-Douglas gnralise . . . 5

    2 Thorie de la demande 6

    2.1 Maximisation d'une fonction d'utilit . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Fonction d'utilit Stone-Geary (partiel 2007-2008) . . . . . . . . 62.3 Proprits de la demande marshallienne . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Lagrangien et prix implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Proprits de la demande hicksienne . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 La dualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 lasticits (partiel 2008-2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Ore de travail des femmes maries . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3 Thorie du producteur 11

    3.1 Quelques fonctions de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Questions en vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Fonction de production Stone-Geary (partiel 2006-2007) . . . . . 113.4 Fonctions de cot de court et long-terme . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Dure du travail (partiel 2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Thorie des prix et quilibre gnral en concurrence parfaite 15

    4.1 quilibre gnral Walrasien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Optima de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Optimum de Pareto et bien public . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    5 Analyse de bien-tre et surplus du consommateur 17

    5.1 Problme d'imposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Minimisation de la dpense et surplus du consommateur . . . . . 175.3 Monopole et perte sche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    6 Interactions stratgiques et concurrence imparfaite 19

    6.1 quilibre de Nash et optimum de Pareto . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Duopole de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    7 Temps et incertitude 20

    7.1 conomie d'change pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2 Hypothse du revenu permanent et fonction d'pargne . . . . . . 207.3 Incertitude et pargne de prcaution . . . . . . . . . . . . . . . . 217.4 Investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.5 Production dans l'incertain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.6 Consommation en temps continu (partiel 2008-2009) . . . . . . . 23

    2

  • 8 Modles macroconomiques 24

    8.1 Modle AS-AD (partiel 2001-2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.2 Courbe de Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3

  • 1 Reprsentation des prfrences

    1.1 Rationalit

    Une relation de prfrence est dite rationnelle si et seulement si elle estcomplte et transitive.

    Proposition :

    Si est rationnelle, alors :(1) est la fois transitive et non-rexive ;(2) est rexive, transitive et symtrique ;(3) si x y z, alors x z.

    Question 1 Dmontrez la proprit (3).

    Question 2 Dmontrez les proprits (1) et (2).

    1.2 Fonction d'utilit lasticit constante

    On appelle fonctions CES (Constant Elasticity of Substitution) une fonctiond'utilit u (x1;x2) de la forme suivante :

    u (x1; x2) = [x1 + x

    2]

    1/

    Question 1 Expliquez pourquoi on dit qu'une fonction de cette forme est lasticit de substitution constante.

    Question 2 Montrez que si = 1, alors les courbes d'indirences associes cette fonction sont linraires.

    Question 3 Montrez que si 0, alors cette fonction reprsente les mmeprfrences que la fonction Cobb-Douglas v (x1; x2) = x1 x

    2 .

    Question 4 Montrez que si , alors les courbes d'indirences asso-cies cette fonction sont angle droit, c'est dire que cette fonction tend prsenter la mme carte d'indirence que la fonction de Leontie w (x1; x2) =min {x1; x2}.

    1.3 Monotonie et non-saturation

    Soit X = RL+ l'ensemble des paniers de biens, et soit une relation deprfrence sur X.On dit que est monotone si (x, y) X2, y x = y x.On dit que est strictement monotone si (x, y) X2, (y x et y 6= x)= y x.

    4

  • Question 1 Montrer que si est strictement monotone alors est monotone.

    Question 2 est dite localement non-sature si x X et > 0, il existeun y tel que ||y x|| et y x.Rappel : ||x y|| est la norme euclidienne du vecteur x y, gale [

    Li=1(xi

    yi)2]12 .

    Montrer que si est monotone alors est localement non-sature.

    1.4 Proprits de la fonction d'utilit Cobb-Douglas g-nralise

    On tudie dans un espace deux dimensions les proprits de la fonctiond'utilit suivante, dite fonction d'utilit Cobb-Douglass gnralise :

    u (x1; x2) = xa1xb2

    avec a et b strictement positifs.

    Question 1 Montrez que u (.) est strictement quasi-concave. A quelle condi-tion est-elle concave ?

    Question 2 Que peut-on dire de la fonction d'utilit u (x1; x2) = x1xb/a2 ?

    Quelle rexion cela vous inspire-t-il ?

    5

  • 2 Thorie de la demande

    2.1 Maximisation d'une fonction d'utilit

    Un individu dont la richesse est w consomme deux biens en quantits x1 etx2. Le prix du bien 1 est p1, celui du bien 2 est p2. Les prfrences de cet agentsont reprsentes par la fonction d'utilit suivante :

    U (x1; x2) = (x1 + ) (x1 + x2) avec > 0

    Question 1 Reprsentez la carte d'indirence de ce consommateur.

    Question 2 crivez le programme de ce consommateur et rsolvez-le.

    Question 3 Reprsentez et tudiez la courbe d'Engel pour les deux biens.

    2.2 Fonction d'utilit Stone-Geary (partiel 2007-2008)

    Les prfrences d'un individu sont reprsentes par la fonction d'utilit sui-vante :

    U (x1;x2) = (x1 + 1) (x2 + 1)

    avec > 0.

    Question 1 Calculez le taux marginal de substitution associ cette fonctiond'utilit. Donnez sa valeur numrique au point (0; 1).

    Question 2 Soient R le revenu de l'individu, p1 et p2 les prix des biens. Onsuppose R = 1, p1 = 3 et p2 = 1. Donnez sans aucun calcul le panier de bienqui sera choisi par l'individu dans cette situation.

    Question 3 On traite maintenant le cas gnral :

    U (x1; x2) = (x1 + 1) (x2 + 2)

    avec 1 et 2 des constantes positives. crivez le programme de l'individu. cri-vez le Lagrangien gnralis ainsi que les conditions du premier ordre. Donnezl'expression complte des fonctions de demande.

    2.3 Proprits de la demande marshallienne

    Soit u une fonction d'utilit reprsentant une relation de prfrence loca-lement non-sature sur X = RL+. Soit x(p, w) l'ensemble des paniers de consom-mation qui maximisent l'utilit du consommateur sous-contrainte budgtaire.

    6

  • Question Montrer que x(p, w) vrie les proprits suivantes :- Homognit de degr zro en (p, w) : x(p, w) = x(p, w) pour tout p, w

    et tout > 0.- Loi de Walras : px(p, w) = w.- Convexit/unicit : si est convexe (i.e u quasi-concave)1 alors x(p, w)

    est un ensemble convexe. Si est strictement convexe (i.e u strictement quasi-concave), alors x(p, w) contient un seul lment.

    2.4 Lagrangien et prix implicite

    Supposons que la demande marshallienne du consommateur est une fonc-tion drivable x(p, w) 0. Soit le multiplicateur de Lagrange associ lacontrainte de budget.

    Question 1 Rappeler les conditions (ncessaires ) de Kuhn et Tucker dans lecas d'une solution intrieure.

    Question 2 En utilisant les rgles de calculs sur les drives de fonctionscomposes, calculer l'eet marginal d'une augmentation de w sur l'utilit duconsommateur.

    2.5 Proprits de la demande hicksienne

    Soit u une fonction d'utilit reprsentant une relation de prfrence % loca-lement non-sature sur X = RL+. Soit h(p, u) l'ensemble des paniers de biensminimisant la dpense sous contrainte d'une utilit suprieure ou gale u.

    Question 1 Montrer les proprits suivantes :- Homognit de degr zro en p : h(p, u) = h(p, u) > 0.- x h(p, u), u(x) = u.- Convexit/unicit : si % est convexe (i.e u quasi-concave) alors h(p, u) est

    un ensemble convexe. Si est strictement convexe (i.e u strictement quasi-concave), alors h(p, u) contient un seul lment.

    - Si est strictement convexe, alors p, p, (pp).[h(p, u)h(p, u)] 0.

    Question 2 Supposons que est strictement convexe , et que la demandehicksienne h(p, u) est une fonction drivable et que tous ses composants sontstrictement positifs. Montrer que hl(p, u) = e(p, u)/pl pour tout l {1, ..., L},o e(p, u) est la fonction de dpense.

    1u quasi-concave signie : (x, y), ]0; 1[, u(x+(1)y) min(u(x), u(y)). La strictequasi-concavit signie que l'ingalit est stricte.

    7

  • 2.6 La dualit

    Soit un agent qui consomme L biens dirents en quantits xl, avec l =1, ..., L. Son ensemble de consommation est X =

    Ll=1[al; +[ avec l, al > 0.

    Ses prfrences sont reprsentes par la fonction d'utilit suivante :

    U (x1; ...; xL) = kL

    l=1

    (xl al)l

    avec k > 0, l l > 0 etL

    l=1 l = 1. Le vecteur des prix est p =(p1; ...; pL).

    Question 1 Donnez une interprtation conomique de l al > 0.

    Question 2 On suppose maintenant que la richesse du consommateur w est