Fonksiyon Kavramı ÜNİTE - WordPress.com...ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Örnek: A = {x| x Türkiye’de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numa- rasına gönderen

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• fonksiyon kavramını tanıyacak,• bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek,• iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek,• ters fonksiyon kavramını anlayacak,• fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların gra-

fiklerini çizebileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 83• Fonksiyon Kavramı 83• Fonksiyon Grafikleri 98• Değerlendirme Soruları 116

ÜNİTE

3Fonksiyon Kavramı

YazarProf. Dr. Vakıf CAFEROV

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Yazarak çalışınız• Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz• Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevapla-

rınızı kontrol ediniz• Grafikleri doğru çizebilmek için yanınızda kareli kağıt ve cet-

vel bulundurunuz• Hesap makinesinden yararlanınız.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. GirişFonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Bu kavramı ta-nımlamadan önce birkaç örneği ele alalım.

i) Fiyatı 40 000 TL olan ekmekten x tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya ydersek

y = 40 000 x

yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin miktarına bağlıolduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte budurumda ödenecek para alınan ekmek miktarının bir fonksiyonudur diyoruz.

ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere , Ç = 2πr olduğunubiliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu değişecek ve her bir ya-rıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevreuzunluğu yarıçapın bir fonksiyonudur diyoruz.

iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakı-lan bir cismin aldığı s yolu ile t zamanı arasında

bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zamanı-na bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu durumda da s yolu t zama-nının bir fonksiyonudur diyoruz.

2. Fonksiyon KavramıYukarıdaki örneklerle sezdirmeye çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımı-nı verelim.

Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her bir elemana Bkümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık getiren bir eşlemeye A kümesinden Bkümesine bir fonksiyon denir.

Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f, g,..., h gibi harflerle gösteri-lir. A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen fonksiyon f : A→ B şeklinde gös-terilir. Bu durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi , B kümesine de de-ğer kümesi denir. A kümesinden alınan bir x elemanına B kümesinden f ile karşı geti-rilen elemana x in f altında görüntüsü denir ve bu eleman f(x) ile gösterilir. A kü-

F O N K S İ Y O N K A V R A M I 83

s = 12

gt2 , g = 9,8 m / sn2


mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kü-meye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A) ile gösterilir. Bazen, f : A→ Bfonksiyonuna A üzerinde bir fonksiyon da denir.

Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve her tam sayıyı ka-resi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede her tam sayıya karşılık o sayınınkaresi olan bir tam sayı vardır ve bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonk-siyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon,

f : Z → Z, x → x2

veya

f : Z → Z, f (x) = x2

şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, - 1 ile 1 in görüntü-sünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0 ,f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Ztam sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0 olduğundangörüntü kümesi, f (Z) = IN ∪ {0} dır. Bu fonksiyonu Venn şeması ile şöyle gös-terebiliriz.

Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki görüntüsü tek olmakzorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki elemanın görüntüsü aynı olabilir.Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir.

Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek sayısı doğal sayılarlaifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise, satınalınan ekmek sayısı 40 000 katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna görebu fonksiyon şu şekilde ifade edilir:

g: IN→ IN, g (x) = 40 000x.

Burada değer kümesi, 40 000 den büyük doğal sayılar kümesini içeren herhangi birküme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR alınabilir:

F O N K S İ Y O N K A V R A M I84

Z Zf

4

10-1

-4 0

1

16

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

. ..

. ..


h: IN→ Z, h (x) = 40 000x,k: IN → Q, k (x) = 40 000x,l: IN → IR, l (x) = 40 000x.

Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesinedeğil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçelsayılar kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri ay-nıdır ve hepsinde 40 000 den büyük doğal sayılar kümesidir. İkinci ve üçüncü ör-neklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade edebiliriz:

t: IR + → IR , t (r) = 2πr,burada yarıçapın herhangi bir pozitif gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz,

burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış bulunuyoruz. Bu sonörneklerimizden de görüldüğü gibi, bir fonksiyonda tanım kümesinin elemanları xden farklı harflerle de gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z → Z,f (n) = n2, veya f : Z → Z, f (u)= u2 şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyondaönemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının, bunlar farklı harfle gösteril-mek koşuluyla, hangi harfle gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kü-melere ait elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir.

Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini x taban uzunluğunun fonksiyo-nu olarak yazınız.

Cevabınız

Örnek: Yukarıda verilen g , t, s fonksiyonlarına göre g (10), t (3) ve s (5) görüntü-lerini bulalım.

Çözüm: g : IN → IN, g (x) = 40 000x olduğundan g (10) = 40 000. 10 = 400 000 ,buna göre 10 ekmeğin bedelinin 400 000 TL olduğu açıktır.

t: R + → IR , t (r) = 2πr olduğundan t (3) = 2π. 3 = 6 π ≅ 18,84 , buna göre, yarıça-pı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık olarak 18,84 cm dir.

buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 sa-niyede 122,5 m yol alır.


s : IR+ → IR , s t = 12

gt2 ,

s : IR+ → IR , s t = 12

gt2 , g = 9,8 m / sn2 olduğundan

s 5 = 12

9,8 . 52 = 4,9 . 25 = 122,5 ,

?f x = 10x olmalıdır.


Örnek: A = {x| x Türkiye’de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numa-rasına gönderen bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir’ ingörüntüsü 26, İstanbul’un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(Eskişehir) =26, p(İstanbul) = 34 yazabiliriz.(Bu fonksiyonda 1 i 01, 2 yi 02,..., 9 u 09 şeklinde göste-riyoruz.)

Örnek: f:IR→ IR, f(x)= x2-2x fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz.

Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir x elemanını bu elemanın karesi ile 2 ka-tının farkına göndermektedir. Yani x → x2-2x dir. Buna göre f(1)= 12 - 2.1= -1, f(-1)= (-1)2 - 2.(-1)= 3 olduğundan f(1) + f(-1)= -1 + 3= 2 dir.

Örnek: f : IR → IR, f (x) = x3- 4x2 + 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralınagöre her x gerçel sayısı x3 - 4x2 + 2x + 1 gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi f (0), f (1), f (-3), görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında xyerine ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız.

f (0) = 03- 4.02 + 2.0 + 1 = 1 , f (1) = 13 – 4.12 + 2.1 +1 = 1- 4 + 2 + 1 = 0 ,

f (-3) = (-3)3 – 4.(-3)2 + 2.(-3) + 1 = -27 – 36 – 6 + 1 = - 68 ,

f:IR →→→→ IR, f(x)= x2 - 2x fonksiyonu için f(π) ve f(-2) sayılarını bulunuz.

Cevaplarınız ≅ 3,58 ve 8 olmalıdır.

f : A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir x elemanının bu fonksiyonaltındaki görüntüsünün f (x) şeklinde gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik. f (x) de bazen y,z ..gibi harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleriaçıkça biliniyor ve eşleme f (x) gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon kısaca,y = f (x) şeklinde de gösterilir. Örneğin her gerçel sayıyı 2 katı ile eşleyen fonksiyon, f: IR → IR, f (x) = 2x gösterimi yerine, kısaca y = 2x biçiminde de gösterilmekte-dir. Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık olarak bilini-yor olması gerekir. Burada x tanım kümesindeki tüm elemanları tararken y de x ebağlı olarak değişecektir. Bu nedenle x e bağımsız değişken y ye de bağımlı değiş-ken denir. Bir fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesiise fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir.

f : A →A, f (x) = x fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu denir ve IA şek-linde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin her bir elemanını kendisiyle eşle-yen fonksiyona bu kümenin birim fonksiyonu denir.

f : A → B , f (x) = c , yani A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin tek bir celemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.


f 2

f 2 = 2 3 - 4 . 2 2 + 2 . 2 + 1 = 2 2 - 8 + 2 2 + 1 = 4 2 - 7 ≅ - 1,343 .

?


f : A → B, g : C → D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa bu ikifonksiyona eşittir denir ve f = g şeklinde gösterilir.

i) A = C,ii) B = D,iii) her x ∈ A (= C ) için f (x ) = g (x).

Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki her bir elema-nın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki fonksiyonun eşitliği için değer küme-lerinin eşitliği koşulunu aramayabilirsiniz.

Örnek : A = {0,2}, B = {0,4} olmak üzere, f : A → B, f (x) = 2x, g: A → B , g (x) = x2fonksiyonları yukarıdaki koşulları sağladığından bu iki fonksiyon eşittir.

Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f (x) biçiminde verilip tanım kümesi açıkçaverilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak fonksiyonun kuralının anlamlıolduğu en geniş gerçel sayılar kümesi fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır.

Örnek: y = f (x) = fonksiyonunun tanım kümesi açıkça verilmemiştir. Bu

durumda ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş gerçel

sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız. ifadesinde x

yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel sayı bulabiliriz. Ancak

x = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır. Bu nedenle bu fonk-

siyonun tanım kümesi olarak IR – {3} kümesini alacağız. Yani y = fonksiyo-

nunu, f : IR – {3} → IR, f (x) = fonksiyonunun kısaca ifade edilmiş biçimi

olarak kabul edeceğiz.

Örnek: y = fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm: Bu fonksiyonun kuralı x → dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesiiçin 4 + x ≥ 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ∞) olduğundan fonksi-yonun tanım kümesi [- 4, ∞) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ∞) → IR, g (x) = fonksiyonu olarak anlayacağız.

y = g (x) = fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

y = h (x) = fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Birinci soruda cevabınız [-2,2] aralığı , ikinci soruda ise IR olmalıydı. Nedenlerinidüşününüz.

Sayılarla yapılan bazı işlemler , fonksiyonlarla da yapılabilir.


4 - x2

4 - x23

??

1x - 3

1x - 3

1x - 3

1x - 3

1x - 3

4 + x

4 + x

4 + x


f : A→ IR, g : A → IR fonksiyonları verilsin. Her x ∈ A için x i f(x) + g (x) ile eşle-yen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve f+g ile gösterilir. Buna göre,

f + g : A → IR, (f + g) (x ) = f (x) + g (x).

Benzer şekilde ,

f - g : A → IR, (f - g) (x ) = f(x) - g(x)

fonksiyonuna f ile g nin farkı ,

f.g: A → IR, (f.g) (x) = f (x) .g (x)

fonksiyonuna f ile g nin çarpımı,

fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir.

Örnek: f: IR → IR, f (x) = -2 x2 + 3x - 4,

g: IR → IR, g (x) = x2 +1

fonksiyonları veriliyor.

i) (f + g) (2), (f - g) (2), (f . g) (2), (2) ,

ii) (f + g) (x), (f- g) (x), (f . g) (x), (x)

değerlerini bulalım.

Çözüm:

i) (f + g) (2) = f (2) + g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) + (22 +1) = - 6 + 5 = -1,

(f – g) (2) = f (2) - g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) - (22 +1) = - 6 - 5 = -11,

(f.g) (2) = f (2).g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) . (22 +1) = - 6.5 = -30,

bulunur . Benzer şekilde,


fg : A → IR ,

fg x =

f x g x ( her x ∈ A için g x ≠ 0 )

fg

fg

fg 2 = f 2 g 2

= - 2 . 22 + 3 . 2 - 422 + 1

= -65


ii) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (-2x2 +3x - 4) + (x2 + 1) = -x2 +3x -3,

(f - g) (x) = f (x) – g (x) = (-2x2 +3x - 4) - (x2 + 1) = - 3x2 +3x -5,

(f.g) (x) = f (x) .g (x) = (-2x2 + 3x - 4) (x2 +1 ) = -2 x4 + 3x3 - 6x2 + 3x - 4,

(f + g) (2), (f – g) (2), (f . g) (2), ( 2) sayılarını son bulduğumuz kurallara

göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız.

f(x)= x2 + 3x -5 ve g(x)= -x2 + 3x + 4 fonksiyonlarının toplamını ve farkını bulunuz.

Cevaplarınız 6x -1 ve 2x2 -9 olmalıdır.

Bire – bir fonksiyon

f: A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2) isef fonksiyonuna bire – bir (1-1) fonksiyon denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesi-nin herhangi farklı iki elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire – bir fonksi-yon denir.

Örnek: f : IN → IN , f (x) = 40 000 x fonksiyonu bire – birdir. Çünkü x1, x2 ∈ INve x1 ≠ x2 için 40 000 x1 ≠ 40 000 x2 olduğundan f (x1) ≠ f (x2) dir.

Örnek: f: IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir değildir. Örneğin -2 ≠ 2 oldu-ğu halde f (-2) = f (2) = 4 dür. Farklı iki elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksi-yon bire – bir olamaz.

Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 - 6x + 7 fonksiyonunun bire – bir olup olmadığınıaraştırınız.

Çözüm: Her x1 , x2 ∈ IR ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2) olup olmadığını görmekkolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = 1- 6 + 7 = 2, f (5) = 25 - 30 +7 = 2 dir. Farklıiki elemanın görüntüleri eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde buörnek için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadarşanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan sonra, fonksiyonların bire –bir olup olmadıklarını biraz daha kolay araştırabiliriz.

Önerme: f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈A ve f (x1) = f (x2) ikenx1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdir.


fg x =

f xg x =

-2x2 + 3x - 4x2 + 1

.

fg ?

?


İspat: Bire – birliğin tanımına göre, her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2)olduğunu göstermeliyiz. En az bir x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 için f (x1) = f (x2) olamaz.Çünkü, f (x1) = f (x2) olsaydı, hipoteze göre, x1= x2 olurdu. Bu ise x1 ≠ x2 ileçelişirdi.

Bu önerme bire – birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna göre, her x1, x2 ∈∈∈∈ A ve f (x1) = f (x2) iken x1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdirdiyebiliriz.

Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire – bir olmadığını bir de buönermeyi kullanarak görmeye çalışalım.

f: IR → IR , f (x) = x2 – 6x + 7 olduğundan f (x1) = f (x2) ise x12 - 6x1 + 7 = x22 – 6x2 + 7dır. Buradan

x12 - 6x1 - x22 + 6x2 = 0,

(x1 - x2) (x1 + x2 - 6) = 0,

x1 = x2 veya x1 + x2 = 6

bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan iki sayının f altındagörüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım küme-si olan IR deki sayıların toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından(örneğin 1 ile 5, 2 ile 4 ... gibi) fonksiyon bire – bir değildir.

Örnek: f: IR → IR, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire – bir olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Herhangi x1 , x2 gerçel sayıları için f (x1) = f (x2) ise x1 = x2 olduğunugöstermeliyiz.

f (x1) = f (x2) ise 2x1 + 1= 2x2 +1 dir. Buradan 2x1 = 2x2, x1 = x2 elde edilir. Dolayı-sıyla fonksiyon bire – birdir.

Örnek: f: IR+ ∪ {0} → IR , f (x) = x2 fonksiyonunun bire – bir olup olmadığını araştırı-nız.

Çözüm: Herhangi x1 , x2 ∈ IR + ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise x12 = x22 dir.Buradan x12 – x22 = 0, (x1 – x2) (x1 + x2) = 0 buradan da x1 - x2 = 0 veya x1 + x2 = 0olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x1 = x2 , ikincisinden x1 = - x2 elde edilir. İkincieşitlik sadece x1= x2= 0 için doğrudur (x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 olduğunu hatırlayınız).Bu nedenle x1 = x2 olmak zorundadır. Dolayısıyla fonksiyon bire – birdir.

IR üzerinde tanımlı f(x)= x2 fonksiyonunun bire – bir olmadığını göstermiştik. Buörnekle, fonksiyonun bire – birliğinin, fonksiyonun kuralı kadar tanım kümesine debağlı olduğunu görmüş olduk.



f:IR →→→→ IR, f(x)= x3 -x fonksiyonunun bire-bir olmadığını gösteriniz.

(f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız).

Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire – birliğine karar veremeyiz. Kural-la birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız gerekir.

Örten fonksiyon

f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer kümesindeki herhangi bireleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise, f fonksiyonuna ör-ten fonksiyon denir. Fonksiyonun örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kü-mesinden alınan herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A tanımkümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa , f fonksiyonu örtendir denir.

Örnek: f : IR → IR , f (x) = 2x +1 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştıralım. Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek için her bir b ∈ IR için f (a ) = bolacak şekilde en az bir a ∈ IR nin varlığını görmeliyiz.

f (a) = b ise 2a + 1 = b

dir. Buradan bulunur. b gerçel sayısı için de bir gerçel sayıdır

ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı bulabildiğimizden fonksiyon örtendir.

Örnek: g: IR → IR, g (x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığı açıktır. Çünkü de-ğer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif sayı, örneğin - 1 , hiçbir gerçel sayı-nın karesine eşit olamaz, dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın görüntüsüdeğildir.

Buna karşılık f : IR → IR + ∪ {0}, f (x) = x2 fonksiyonu örtendir. Çünkü değer küme-sinden alınacak herhangi bir b değeri, hem hem de nin görüntüsüdür.

Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına karar vereme-yiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne almamız gerekir.

Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden, fonksiyon örten bir fonk-siyona dönüştürülebilir. Bunun için değer kümesi olarak görüntü kümesini almakyeterlidir. Yani, f : A → f (A) fonksiyonu daima örten fonksiyondur.

Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için tanımlarla uyuş-mayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu özelliklerin varlığını görmekiçin genel ispat yapmamız gerektiğine dikkat ediniz.


a = b - 12

a = b - 12

?

- b b


f:[-2, 3] →→→→ B, f(x)= x2 fonksiyonunun örten olması için B kümesi ne olmalıdır?

Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır.

Bileşke Fonksiyon

f :A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir x∈A elemanını g (f (x))ile eşleyen, yani x i f (x) in g altındaki görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bi-leşkesi denir ve gof ile gösterilir.

Buna göre, gof : A → C , (gof) (x) = g (f (x)) dir.

gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A, değer kümesininise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat ediniz.

Örnek : A = {-1, 2, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,2} kümeleri veriliyor. Bu kümeler üzerinde,

f : A → B , f (- 1) = 5, f (2) = 0, f (3) = 1,

g : B → C , g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) = 2, g (5) = 2

fonksiyonları tanımlanıyor.

gof fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm: gof : A → C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) = 2,

(gof) (2) = g (f (2)) = g (0) = 1,

(gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1dir.


A f Bg

C

-1

2

3

0

1

4

5

1

2

A f Bg

C

f(x)

gof g(f(x))x

?


Örnek: f: IR → IR, f (x) = 3x + 1, g : IR → IR , g (x ) = x2 – 4 fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (2), (gof) (x), (fog) (1), (fog) (2) ve (fog) (x) gö-rüntülerini bulalım.

Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16 - 4 = 12,

(gof) (2) = g (f (2)) = g (3.2 +1) = g (7) = 49 - 4 = 45,

(gof) (x) = g (f (x)) = g ( 3x+1) = (3x +1 )2 - 4 = 9x2 + 6x -3.

Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof) (1) ve (gof) (2) gö-rüntülerini bu kural yardımıyla da bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevapvermeden önce şunu ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog nintanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım kümesinin bir alt kümesiolması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu ne-denle soru anlamlıdır.

(fog) (1) = f (g (1)) = f (12 - 4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8,

(fog) (2) = f ( g(2)) = f (22 -4) = f (0) = 3.0 +1 = 1,

(fog) (x) = f (g (x)) = f (x2 - 4) = 3 (x2 – 4) + 1 = 3x2 –11.

Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak

gof ≠≠≠≠ fog

dir.

f : A →→→→ B, g: B →→→→ C, h : C →→→→ D fonksiyonları verildiğinde

fo (goh) = (fog) ohdir.

fonksiyonları verilsin.gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz.

Cevaplarınız gof: IR+ ∪ { 0 } → IR , (gof) (x) = - x - 1 , fog ise "tanımsızdır" olmalıdır.

Örnek: f: IR→ IR, f (x) = x2 +1 olduğuna göre f (x - 2) yi bulunuz.

Çözüm: g (x) = f (x - 2) dersek, g fonksiyonu h (x) = x - 2 fonksiyonu ile f (x) =x2 + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle g (x) i bulmak için x2 + 1 ifadesin-de x yerine x – 2 yazmak yeterlidir. Buna göre,

f (x - 2) = (x - 2)2 + 1 = x2 - 4x + 5 bulunur.


f : IR+∪ 0 → IR , f x = x ve g : IR → IR , g x = -x2 - 1 ?


g: IR →→→→ IR, g (x) = x3 – 4x + 2 olduğuna göre , g (x + 1) i bulunuz.

Cevabınız x3 + 3x2 - x -1 olmalıdır.

Ters fonksiyon

f: A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir elemanın gö-rüntüsünü, diğer bir deyişle x in resmini f(x) kuralı ile bulabiliyoruz. Acaba resmibilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) gö-rüntü kümesinden alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gere-ği, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangibir b ∈ f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a ∈ A elemanıbulabiliriz. Ancak fonksiyon bire – bir değilse b ye karşılık bulunan a birden fazlaolabilir. Eğer f fonksiyonu bire – bir olursa, herhangi bir b ∈ f( A) için f (a) = bolacak şekilde tek bir a ∈ A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani f(A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı bulabiliriz. İştebu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir.

f: A →→→→ B bire – bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü kümesinden alınan herhan-gi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonudenir ve f -1 ile gösterilir.

Buna göre,

f -1: f (A) → A, f-1 (b) = a ⇔ f (a) = b.

Örnek: A ={1,2,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere A dan B ye aşağıdakiVenn şeması ile verilen f fonksiyonu tanımlanıyor.

Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım.

f nin bire – bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } küme-sinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu vardır.

f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } → {1, 2, 3,4}

ve


?

A f B

1

2

3

4

-1

-4

-7

-10

-15


f (1) = -1 olduğundan f -1 (-1) = 1,

f (2) = - 4 “ f -1 (- 4) = 2,

f (3) = -7 “ f -1 (-7) = 3,

f (4) = -10 “ f -1 (- 10) = 4

dir. f–1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir.

i) f: A →→→→ B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1: f (A) →→→→ A tersfonksiyonunun bire – bir ve örten olduğuna dikkat ediniz.ii) f fonksiyonu bire – bir ve örten ise, ters fonksiyonun değer kümesinden tanımkümesine tanımlandığına dikkat ediniz.

Örnek: f : IR+ ∪ {0} → IR, f (x) = x2 +1fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire – bir olması gerekir. Şimdi bunuaraştıralım.

x1 , x2 ∈ IR+ ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise x1 = x 2 olduğunu görmeliyiz.

f (x1) = f (x2) ⇒ x12 +1 = x22 +1

(x1 – x2) (x1 + x2) = 0,

buradan da x1 = x2 veya x1 = - x2 bulunur. x1, x2 ∈ IR + ∪ {0} olduğundan x1 = - x2eşitliği ancak x1= x2= 0 ise mümkündür, bunun dışında x1= -x2 olamaz. Bu nedenlex1 = x2 olmalıdır, dolayısıyla fonksiyon bire – birdir. Fonksiyon bire – bir olduğundanters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + ∪ {0}) görüntükümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım (fonksiyon örten ise görüntükümesinin değer kümesi olduğunu hatırlayınız).


f(A) f A

-1

-4

-7

-10

-1

1

2

3

4

⇒ x12 - x22 = 0,


Her x ∈ IR + ∪ (0} için x2 ≥ 0 olduğundan x2 + 1 ≥ 1 dır. Buna göre görüntü kümesi[1, ∞ ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü kümesi olduğunu görmek için, bu ara-lıktan alacağımız herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanımkümesinde bir a elemanının varlığını görmeliyiz. a2 + 1 = b ise a2 = b – 1 dir .b ∈ [1, ∞) olduğundan b–1 ≥ 0 dır. Buradan veya bulunur.

olmasına karşılık dır. Dolayısıyla aradığımız asayısı dir. Böylece [1, ∞ ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım kümesineait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ∞ ) aralığının fonksiyonun görüntükümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna göre,

f -1 : [1, ∞ ) → IR+ ∪ {0}

dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım.

f : x x2 + 1= y

olduğundan

f -1 : y = x2 + 1 x dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, x değişkenine dönüştüğünden x i y tü-ründen ifade edersek, y ye karşı gelen x görüntülerini daha kolay bulabiliriz.

y = x2 + 1 , x2 = y – 1 buradan da bulunur. Burada y >1 için

f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}, y ,

f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0} ,

dir.

Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni x ile gösterdiğimizden ve ileride gra-fik çiziminde de sorun yaratmamak amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifadeedeceğiz:

f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}, f -1 (x ) = .

y = f (x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y = f (x) eşitliğindenx değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra x yerine y , y yerine x yazılır. Örnek: f: R → R , f (x) = 3x + 5 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle fonksi-yonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten olduğundan, f -1: IR → IR dir. Ters


x = y - 1 , x = - y - 1 - y - 1 ∉ R+ ∪ 0 dır. O halde,

x = y - 1

f-1 y = y - 1

x - 1

a = - b - 1 a = b - 1 - b - 1∉ IR+ b - 1∈ IR+ ∪ 0

b - 1


fonksiyonun kuralını bulmak için, y = 3x + 5 ifadesinde x i y cinsinden çözüp x yeriney , y yerine x yazalım.

y = 3x + 5 , 3x = y – 5 buradan da bulunur. Şimdi x yerine y, y yerine x ya-

zarsak, elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon

f -1: IR → IR, y = f -1 (x) =

dir.

f : A → B bire – bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn şemasından görüldü-ğü gibi x ∈A için (f -1of) (x) = x dir. Dolayısıyla f -1of = IA dir.

Benzer bir şema ile fof -1 = IB olduğunu da siz gösteriniz.

Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir olmadığından ters fonksiyonuyoktur. Buna karşılık,

g : IR + ∪ { 0} → IR , g (x) = x2 fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve g (IR + ∪ {0}) = R+ ∪ {0} olduğundan

g -1 : IR + ∪ {0} → IR+ ∪ {0} , g -1 (x) =

dir.

a ve b gerçel sayılar ve a≠ 0 olmak üzere f: IR →→→→ IR , f(x) = ax + b fonksiyonu-nun ters fonksiyonunu bulunuz.

Cevabınız f -1: IR → IR , f -1(x) =

h : IR →→→→ IR, h (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve

h -1 : IR →→→→ IR , h -1(x) =

olduğunu gösteriniz.


A

x

fB A

f(x)

f of f (f(x)) = x

f-1

-1 -1

x

x3

?

x = y - 53

y = x - 53

x - 53

x - ba olmalıdır.

?


3. Fonksiyon GrafikleriA ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, f : A → B fonksiyonu verildi-ğinde bu fonksiyonu

f = {(x , y)| y = f (x) , x ∈ A }

şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce, analitik geometri bil-gilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak temsil etme , fonksiyonun" resmini" çiz-me olanağı sağlamıştır. İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi an-layabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki kurabilmektedir. Bu ne-denle resmini çizebildiğimiz ( bu resme fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonlarındavranışlarını daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusunageçmeden önce düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım.

Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak kesen yatay ve düşeydoğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı eksenlerinde yatay olanı soldan sağa , dü-şey olanı da aşağıdan yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğruüzerinde soldan – sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan – yukarıya doğru olsun.Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (x-ekseni), düşey eksene ordinat-lar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sis-temi veya dik koordinat sistemi veya kısaca koordinat sistemi , eksenlerin kesiştik-leri noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir koordinatsistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda açıklayacağımız şekildeadreslenebilmekte ve bu sayede birçok geometri problemleri cebirsel yöntemlerleçözülebilmektedir. Bu tür geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu dü-şünceyi ilk kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine Des-cartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi denilmektedir.

Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat sistemi yardımıy-la düzlemin noktaları ile IR x IR = {(x,y): x,y ∈ IR } kartezyen çarpım kümesinin ele-manları arasında bire – bir eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir Pnoktası alalım ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu dik-melerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz.Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya x, düşeyeksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim.Yatay ve düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir ve yal-nız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle x ve y sayıları vardır ve bunlar tektir.


y

0x


Böylece elde ettiğimiz x ve y sayıları ile sıraya da dikkat ederek, yani yatay eksendenbulduğumuz sayıyı birinci, düşey eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen ala-rak, (x, y) sıralı ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına karşılık(x,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz. Tersine, (x,y) gibi bir gerçel sayıikilisi verildiğinde, x sayısına yatay eksen üzerinde , y sayısına ise düşey eksen üze-rinde karşı gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde bulunduk-ları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesişirler. Bu P nokta-sını (x,y) gerçel sayı ikilisine düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçelsayı ikilileri ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bueşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı ikilisi, tersine her-hangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta gözüyle bakabiliriz.

Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile karşı gelen gerçelsayı ikilisi (x, y) ise x e P noktasının apsisi, y ye P noktasının ordinatı, (x,y) ikilisinede P noktasının koordinatları denir ve P noktası, P = (x,y) veya P(x,y) şeklindegösterilir.

Örnek: Düzlemde A (2,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-2); E (- 0,5 , 2); gerçelsayı ikililerine karşı gelen noktaları işaretleyiniz.

Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde , ikinci bileşenlere düşey eksenüzerinde karşı gelen noktaları bulduktan sonra her bir noktadan üzerinde bulundu-ğu eksene birer dik çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar aradığımıznoktalar olacaktır.

Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim.


P = (x, y)

x

y

F 5 , 3

1

0,5-1 2

3

E

B F

A

-3

-2

-3

D

C

5

2

•


A ⊂ IR ve B ⊂ IR olmak üzere f: A → B fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonu f = {(x,y)| y = f (x), x ∈ A} şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebileceğimizi yu-karıda ifade etmiştik. Bu ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin birnoktası ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı olan her-hangi bir (x,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası karşılık getirilebilir. İşte f kümesi-nin elemanı olan (x,f (x)) ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine ffonksiyonunun grafiği denir.

f : A →→→→ B fonksiyonu verilsin. f = {(x,y)| y = f (x), x ∈∈∈∈ A} kümesinin elemanla-rına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir.

Örnek: A = {-2, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1, , 2} olmak üzere, f: A → IR , f (x) = 2x + 1fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: f = {(-2, - 3),(-1, -1),(-0,5 , 0),(0,1),(0,5 , 2),(1,3), ( ),(2,5)} dir. Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi fonksiyonun grafiği olacaktır.


2

2 , 2 2 + 1

f:{-2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, , 2} → IR, f(x )= 2x + 12

Şekil 3.1:


Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru üzerinde olduğu-nu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada tanım kümesinde az sayıda ele-man bulunduğundan grafiği oluşturan noktaları tek tek bulmak mümkündür. Ta-nım kümesinde eleman sayısı çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durum-larda grafiği, fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı ge-len noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait sonlu tane x1,x2,...,xn değerleri seçilir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri olan y1 = f(x1), y2 = f (x2),...,yn= f (xn) bulunduktan sonra düzlemde (x1, y1),(x2, y2),....,(xn, yn)ikililerine karşı gelen noktalar “düzgün” bir eğri ile birleştirilerek y = f (x) fonksiyo-nunun grafiği denilen eğri bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadaryaygın eleman seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri bulu-nur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından sonra fonksiyo-nun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafikbilinen bir eğri olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin eğerfonksiyon

g : IR → IR , g (x) = 2x + 1

ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de görülecektir. Bu doğruyukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan doğrudur.


g:IR → IR , g(x)= 2x + 1

Şekil 3.2:


f: IR →→→→ IR , f (x) = x fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki doğru olduğunu görü-nüz.

Örnek: A = {-2, , -1 , - 0 ,5 , 0 , 0 ,5 , 1 , , 2} olmak üzere, f :A → IR, f (x) = x2 fonksiyonunun grafiğ ini ç izel im.

Çözüm: f = {(-2, 4), (-1,1), (- 0,5, 0,25) , (0,0) , (0,5, 0,25) , (1,1), (2,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci bileşen x bağım-sız değişkenini gösterirken ikinci bileşen x in f altındaki görüntüsünü, diğer bir de-yişle x e karşı gelen y değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağı-daki tablodaki gibi de verilebilir.

Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla fonksiyonun grafiği aşağı-daki gibidir.


2 , 3

- 3 , 3 , - 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 ,

f: IR → IR , f(x)= x

Şekil 3.3:

x

y

-2

4 3 2

-1

1

- 0,5

0,25

0

0 0,25

1

1 2 3 4

- 3 - 2 0,5 3 22

?

- 3 , - 2


Eğer fonksiyon g: IR → IR, g (x) = x2 olsaydı onun grafiği yukarıda bulduğumuznoktalardan geçen “düzgün” bir eğri olurdu. Bu eğriye parabol denir.


f: -2 , - 3 , - 2 , -1 , -0,5 , 0, 0,5 , 1, 2 , 3 , 2 → IR , f x = x2 Şekil 3.4:

g: IR → IR , g(x)= x2

Şekil 3.5:


Eğer fonksiyon h : IR → IR , h (x) = - x2 olsaydı bu fonksiyonun grafiği bir öncekig fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriği olurdu. Çünkü (x,y) ∈ g iken(x, -y) ∈ h dir.

Örnek : f: IR+∪ {0} →IR, f (x) = fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım (tanım kümesinegatif olmayan sayılar kümesidir).

Bu tabloya göre, (0, 0), (0,25, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, 2), (2, 1,41), (3, 1,73), (4, 2), (5, 2,24) ikililerine karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel sayı-ların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz).

Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu noktalar “düzgün” bir eğriile birleştirilirse, bu fonksiyonun grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir.


h:IR → IR , h(x)= -x2

Şekil 3.6:

x

x

y

0 0,25 0,5 1 1,44 2 3 4 5

0 0,5 0,707 1 1,2 1,41 1,73 2 2,24


Örnek: f: IR → IR , f (x) = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya gerek yoktur.Çünkü tüm x gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f = {(x,3): x ∈ IR} dir. Bu ne-denle fonksiyonun grafiği, şekilde görüldüğü gibi x- eksenine paralel bir doğrudur.

NOT:

i) Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin Dirichletfonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel sayıları 0 ile eşleyenfonksiyonun grafiğini çizmek mümkün değildir.

ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir x0 değerinin bu fonksiyonaltındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için, x0 noktasından x-eksenine dikbir doğru çizilirse bu doğrunun grafiği kestiği noktanın y0 ordinatı, x0 ın f altın-daki görüntüsü olur.


f: IR+ ∪ {0} → IR , f(x)= x

Şekil 3.7:

y

3

x

x

y

0

0

y

xx0


Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği midir?

Eğer x-eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyorsa, bu eğri,uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir.Eğer x- eksenine çizilen dik doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok nok-tada kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki şekildeki eğ-ri bir fonksiyon grafiği değildir.

Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek , o fonksiyonun bire – bir olup olmadığına kolaycakarar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen her doğru grafiği ençok bir noktada keserse fonksiyon bire – birdir. Eğer apsisler eksenine paralel olarakçizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla noktada keserse fonksiyonbire – bir değildir.

f: A → B fonksiyonu bire – bir ise bu fonksiyonun, f -1: f (A) → A ters fonksiyo-nunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, x ∈ A, y ∈ f (A) olmak üzere, (x,y) ∈f iken (y,x) ∈f -1 dir. Yani (x,y) ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin gra-fiğine ait bir nokta iken, (y,x) ikilisine karşı gelen nokta f-1 in grafiğine ait bir nokta-dır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay doğrusuna göre simetrik oldu-ğundan f -1 in grafiği, f nin grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriği-dir. Bu açıortay doğrusu h : IR → IR , h (x) = x fonksiyonunun grafiği olduğun-dan, bu doğru, y = x doğrusu olur. O halde,


?

y

x

0

x

Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon

y

cba

yy

x


Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun gra-fiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir diyebiliriz.

Örnek: f: IR → IR , f (x) = 2x fonksiyonunun ters fonksiyonunun

f -1: IR → IR , f -1 (x) = olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiklerini

aynı koordinat sisteminde çizelim.

f (x) = 2x fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları bulalım.

y = 2x fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = x doğrusuna göre si-metriği de ters fonksiyonunun grafiğidir.


(x, y)y

x

x y

(y, x)

y= x2

x2

x

y = 2x

-3 -2 -1,5 -1 0 0,5 1 1,5 2 3

-6 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 6

Şekil 3.8:


Örnek : f: IR → IR , f (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun

f -1: IR → IR , f -1 (x) = olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Şimdi bu iki fonksi-yonun grafiğini aynı koordinat siteminde görelim.

A ⊂ IR olmak üzere, f: A → IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafiği bilin-diğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g: A → IR, g (x) = f (x) + a , (a ∈ IR),fonksiyonunun grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni doğrultusun-da, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı doğru|a| birim kaydırmak yeterlidir.Çünkü, (x0 , y0) noktası f nin grafiğine ait bir nokta ise, (x0 , y0 + a) noktası da g ningrafiğine ait bir noktadır. (x0 , y0 + a) noktası (x0 , y0) noktasının y-ekseni doğrultu-sunda, a nın işaretine göre |a| birim kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiği-nin y-ekseni doğrultusunda |a| birim kaydırılmışıdır.


x3

Şekil 3.9:


Örnek: g: IR → IR g (x) = x2 + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: Bu fonksiyonda f (x) = x2 ve a = 2 alabiliriz. Buna göre, g nin grafiği f ningrafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı doğru) 2 birim kaydırılmışıdır.


Şekil 3.10:

Şekil 3.11:


y = x3 - 1

fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde olmalıydı.

f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g (x) = f (x – a) , (a ∈ IR) fonksiyonunun grafiği bulunabilir. g nin grafiği, f ningrafiğinin x ekseni doğrultusunda |a| birim , a pozitif ise sağa doğru, a negatif isesola doğru kaydırılmışıdır. Çünkü bir (x0 , y0) noktası f nin grafiğine ait ise y0 = f(x0) demektir. Yani f nin x0 daki değeri y0 dır. g fonksiyonu aynı y0 değerini x0 +a noktasında alır, çünkü g (x0 + a) = f (x0 + a – a ) = f(x0) dır. Buna göre, (x0 + a,y0) noktası g nin grafiğine aittir. (x0 + a, y0) noktası (x0 , y0) noktasının x - eksenidoğrultusunda a nın işaretine göre |a| birim kaydırılmışı olduğundan, g nin grafiğif nin grafiğinin x ekseni doğrultusunda |a| birim kaydırılmışıdır.

Örnek: a) y = (x-1)3

b) y = (x + 2)2

fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.

Çözüm: a) f (x) = x3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (x-1)3 fonksiyonunun grafiği,y = x3 fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni doğrultusunda ve pozitif yönde (sağadoğru) 1 birim kaydırılmışıdır.


?

Şekil 3.12:


b) f (x) = x2 ve a = -2 alınabilir. Buna göre y = (x + 2 )2 fonksiyonunun grafiği aşağıda-ki gibidir.


Şekil 3.13:

Şekil 3.14:


f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g (x) = f (x -a) + b, ( a,b ∈ IR) fonksiyonunun grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonu-nun grafiği, yukarıdaki iki kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bununiçin f nin grafiği önce x-ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, |a| birim kay-dırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni doğrultusunda yine yöne dikkatederek |b| birim kaydırılır.

Örnek: g(x) = (x + 1)2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm: Burada f (x) = x2 , a = -1 , b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = x2 fonksiyonu-nun grafiği önce x-ekseni doğrultusunda sola doğru 1 birim kaydırılır, daha sonrayeni grafik y-ekseni doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiğielde edilir.

y = (x-2)2 - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.


Şekil 3.15:

?


Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır.

f1: IR → IR ve f2 : IR → IR fonksiyonları verilsin.

gibi tanımlanan f: IR → IR fonksiyonuna parçalı tanımlı fonksiyon denir. Tanım-dan görüldüğü gibi f(x), x ın a ya kadar olan değerlerinde f1 (x) e, a dan sonraki de-ğerlerinde ise f2(x) e eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için x ina ya kadar olan değerleri için y= f1 (x) in, x in a dan sonraki değerleri için ise y= f2(x) in grafiğini çizmek gerekiyor.

Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen parçalı fonksiyon-lar tanımlanabilir.

Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve işaret fonksiyonlarıparçalı fonksiyonlardır.

f: IR → IR , f(x)= |x| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir.

Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim.


Şekil 3.16:

f x = f1 x , x ≤ a isef2 x , x > a ise veya f x = f1 x , x < a ise f2 x , x ≥ a ise

f : IR → IR , f x = x = x , x ≥ 0 ise, -x , x < 0 ise,


yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, x ≥ 0 için y= x olduğundan y= x doğrusunun I.bölgedeki parçası ile, x < 0 için y= -x olduğundan y= -x doğrusunun ikinci bölgede-ki parçasından oluşur.

f: IR →→→→ IR , f(x)= |x - 2|,

g: IR →→→→ IR , g(x)= - |x| + 2

fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu görmeye çalışınız.


f: IR → IR , f(x)= |x|

Şekil 3.17:

f: IR → IR , f(x)= |x - 2|

Şekil 3.18:

?


Bir x ∈ IR sayısı verilsin. x den büyük olmayan (yani küçük veya eşit) en büyük tamsayıya x in tam değeri denir ve [x] biçiminde gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= - 4, [ 0 ]= 0, [ - 2 ]= - 2, [ 100 ]= 100.

f: IR → IR , f(x)= [ x ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonu-nun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene benzer. Bunun hakkında bir fikir ver-mek için, g: [- 1, 2] → IR , g(x)= [ x ] fonksiyonunun grafiğini çizelim.

-1 ≤ x < 0 ise [ x ]= -1 olduğundan g(x)= -10 ≤ x < 1 ise [ x ]= 0 olduğundan g(x)= 01 ≤ x < 2 ise [ x ]= 1 olduğundan g(x)= 1x= 2 ise [ x ]= 2 olduğundan g(x)= 2

dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir.


Şekil 3.19:

- 12

= - 1 ,

y

2

1

x2

-1

1

-1

g: IR → IR , g(x)= -|x| + 2

Şekil 3.20:

g: [-1, 2] → IR , g(x)= [ x ]


fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki biçim-de olduğu kolayca görülebilir.

İşaret fonksiyonu f(x)= sgnx gibi de gösterilir.

Değerlendirme Soruları1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu 4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini

diğer tabanının x uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerdenhangisidir?

A.

B.

C.

D.

E.

2. Kenar uzunluğu x cm (x > 4) olan bir karenin her köşesinden, kenar uzun-lukları 2 cm olan küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılaraküstü açık bir kutu yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm3) x in fonksiyonuolarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir?A. 2x2 + 16x + 32B. 2x2 + 32C. 2x2 + 16x - 32D. x2 + 16E. 2x2 - 16x + 32


f : IR → IR , f x = 1 , x > 0 ise 0 , x = 0 ise-1 , x < 0 ise

y

1

x

-1

204 - x

4 + x20

204 + x

x5

5x


3.fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?

A. IR

B.

C. IR+

D.

E. (- ∞, 1]

4. fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?

A. [-1, 1]B. [0, 1]C.

D. (-1, 1)E. (-1, 0)

5. f: IR → IR , f(x) = x2 - 2x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?A. IRB. [1, ∞)C. IR+ ∪ {0}D. (- ∞, 1]E. (- ∞, 0]

6. f: IR → IR , f(x) = 2 - |x| fonksiyonu görüntü kümesi hangisidir?A. (- ∞, 2]B. (- ∞, 2)C. IRD. IR+ ∪ {0}E. IR- ∪ {0}

7. f: IR → IR , f(x) = x2 + x için f(x - 1) - f(-x) aşağıdakilerden hangisidir?A. xB. 2C. 2xD. 0E. x - 1


f x = - 3x2 + 4x - 1

13

, 1

13

, 1

f x = 11 - x2

- 12

, 12


8.A. xB. 1C. - xD. 0E. x + 1

9. f: A → IR , f(x) = x2 - 2x fonksiyonu verilsin. A kümesi aşağıdakilerden han-gisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde bire-birdir?A. [1/2, ∞)B. IR+ ∪ {0}C. [-1, ∞)D. [1, ∞)E. (- ∞, 2]

10. f: [-1, 2) → B, f(x)= x2 fonksiyonu verilsin. B kümesi aşağıdakilerden hangisiolduğunda bu fonksiyon örtendir?A. [1, 4]B. [0, 4]C. (1, 4)D. [0, 4)E. (0, ∞)

11. f: IR → IR , f(x) = x2 + 1 , g: IR → IR , g(x) = sgn x (işaret fonksiyonu) veril-sin. (gof) (x) hangisidir?A. xB. 1C. 0D. x2 + 1E. x2

12. f(x) = x2 - 1 fonksiyonu için (fof) (-2) = ? A. 0B. 1C. 3D. 8E. 9

13. fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A. IRB. [1, ∞)C. (- ∞, 0) ∪ [1, ∞) D. (1, ∞)E. (0, ∞)


f : IR - 0 → IR , f x = x + 1x için f x - f 1x hangisidir?

f x = x x


14. f: (- ∞, a] → IR , f(x) = (x - 1)2 fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (- ∞, a]üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en büyük a değeri hangisidir?A. - 2B. - 1C. 0D. 1E. 2

15. fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?

A. (- ∞, 0)B. IR- {0}C. IRD. [-1, ∞)E. (- ∞, -1]

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. C 2. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D 13. C 14. D 15. A


f : IR - 0 → IR , f x = - 1x2

Documents

Fonksiyon Kavramı ÜNİTE - WordPress.com...ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Örnek: A = {x| x Türkiye’de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numa- rasına gönderen