ЧАСТИНА 1. ВСТУП ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

1. Вимірювання фізичних величин і розрахунок похибок

Одним з початкових етапів фізичного методу пізнання є вимірювання. Вимірювання – це процес порівняння фізичної величини з еталоном, прийнятим за одиницю.

В більшості випадків вимірювання є неточним. Точність вимірювання в основному залежить від наступних факторів: точність роботи вимірювального приладу, флуктуація параметрів зовнішнього середовища, фізичні характеристики експериментатора, кваліфікація експериментатора.

Промахи – це заздалегідь невірні результати, які відкидають та в подальших розрахунках не використовують.

Систематичні помилки виникають від недосконалості приладів для вимірювань, а також від недостатньо-розробленої теорії досвіду (наприклад, важко врахувати багато причин, які впливають на точність шуканого результату: вплив середовища, роль домішок, контакти з іншими тілами і т. д. – це так звані об’єктивні причини). Систематичні помилки дають відхилення результату від дійсного значення тільки в одну сторону (або в сторону збільшення, або в сторону зменшення). Систематичних помилок можна уникнути шляхом вивчення приладів, якими користуються при виконанні робіт, повною розробкою теорії досвіду, а також введенням відповідних поправок в результат вимірювань.

Випадкові помилки виникають за рахунок: принципової неточності приладів, флуктуації параметрів зовнішнього середовища, органів відчуттів експериментатора.

Випадкові помилки можуть змінювати результати як в більшу так і вменшу сторони з однаковою імовірністю.

Виключити при вимірах випадкові помилки неможливо, але завдяки тому, що до випадкових помилок можна застосувати закони теорії ймовірностей, можна зменшити вплив цих помилок на кінцевий результат вимірювань.

Усі вимірювання можна поділити на прямі

(безпосередні) та непрямі (посередні).Прямі вимірювання – це такі, які отримують шляхом

безпосереднього порівняння фізичної величини з еталоном та зчитуванням результатів по шкалі вимірювального приладу, а також табличні значення.

Непрямі вимірювання – це такі, які отримують шляхом їх математичної залежності через окремі прямі вимірювання.

Для характеристики неточності прямих та непрямих вимірювань застосовують наступні параметри:

Абсолютна похибка – величина, яка показує на скільки дане вимірювання може відрізнятися як в більшу, так і в меншу сторону від дійсного значення. Тому її записують за абсолютною величиною, розуміючи при цьому, що вона з однаковою імовірністю може мати два протилежні знаки.

,де – дійсне значення.

Відносна похибка – величина, яка показує, яку частку або скільки відсотків складає абсолютна похибка від вимірюваного значення:

,

.

Переважно, числове значення абсолютної похибки заокруглюють до однієї значущої цифри, а відносної похибки – до двох значущих цифр.

2. Визначення похибок прямих вимірювань.

1. Методом середнього арифметичного:

2

,

де

,

– порядковий номер вимірювання.

.

Нехай потрібно виміряти деяку величину . – результати окремих вимірювань, де –

число окремих вимірювань. Середнє арифметичне із цих результатів

(1)

є величина, найбільш близька до дійсного значення, названа середнім значенням величини .Звідси випливає, що кожне фізичне вимірювання повинно бути повторене декілька разів.Різниці між середнім значенням вимірюваної величини і значеннями , отриманими при окремих вимірюваннях, тобто

. . . . . . .

називаються абсолютними похибками, або похибками окремих вимірювань і можуть бути як додатними, так і від’ємними.

Для визначення середньої абсолютної похибки результату беруть середнє арифметичне абсолютних значень (модуль) окремих похибок, тобто

3

(2)

Відношення

називаються відносними похибками окремих вимірювань.Відношення середньої абсолютної похибки результату

до його середнього значення дає середню відносну похибку результату вимірювань:

. (3)

Відносні похибки прийнято виражати в процентах:

(3')

Дійсне значення(4)

Не слід думати, що величина має два значення і . має тільки одне

значення, а знак ”+” або ”–” показує, що дійсне значення вимірюваної величини знаходиться в інтервалі

.Теорія ймовірностей дає більш точну формулу для

обчислення абсолютної похибки результату, встановлюючи поняття найбільш правдоподібної похибки результату

. (5)

кінцеве значення вимірюваної величини(6)

2. Через ціну поділки вимірювального приладузнаходиться абсолютна похибка, з якою він працює. Якщо при будь-якому числі вимірювань виходить одне і те ж число, яке знаходиться між поділками шкали, то в цьому випадку вимірювання проводиться один раз і результат вимірювання

4

записується так:(7)

де – шуканий результат вимірювання, – середній результат, який дорівнює середньому арифметичному з двох значень, які належать сусіднім поділкам шкали.

– гранична похибка, яка дорівнює половині ціни поділки шкали приладу.

Інколи положення якого-небудь вказівника, наприклад меніска стовпчика ртуті в термометрі, важко розрізнити в межах однієї поділки. Тоді за граничну похибку вимірювання беруть значення всієї поділки, а не лише її половини.

3. За класом точності приладів знаходиться їх мінімальна відносна похибка у відсотках, хоча позначати знак відсотків (%) на шкалі приладів не прийнято.

– прецизійні прилади; – технічні прилади;

– контрольні прилади.

За означенням: де – максимальна

величина, яку можна отримати по даній шкалі.Отже, абсолютна похибка, яку дає даний прилад, знаходиться за формулою:

.

4. За абсолютну похибку табличного значення приймають половину одиниці розряду останньої значущої цифри даного наближеного числа.Наприклад, якщо задано масу тіла то

5. Неточність органів відчуття. Наприклад, за рахунок реакції людського організму .Якщо є можливість скористатись декількома методами, то

5

вибирати потрібно метод, який в даному випадку дає більшу похибку.

3. Знаходження абсолютної похибки непрямого вимірювання методом диференціювання.

Нехай для знаходження величини потрібно виміряти деякі величини Величини пов’язані функціональною залежністю В цьому випадку середня абсолютна похибка може бути знайдена за правилами диференціювання, якщо знак диференціала замінити на знак похибки і вибрати знаки таким чином, щоб величина похибки була максимальною, тобто

(8)

і

(9)

Приклад 1. Об’єм циліндра: тобто

В цьому випадку

.

Абсолютна похибка:

Приклад 2. Прискорення вільного падіння обчислюється за формулою

,

тобто

;

.

Метод диференціювання зручно використовувати для

6

знаходження абсолютної похибки непрямого вимірювання, якщо розрахункова формула має вигляд суми та різниці, тому, що диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.

4. Знаходження відносної похибки непрямого вимірювання методом логарифмування з подальшим

диференціюванням.

Відносною похибкою називається відношення

.

А так як диференціал натурального логарифма

, (10)

то,

або

. (11)

Таким чином, відносна похибка результату дорівнює повному диференціалу натурального логарифму функції, яка визначає залежність даної величини від вимірюваних величин. При обрахунку потрібно брати суму абсолютних значень диференціалів всіх членів логарифма з заміною знаків ” ” знаком ” ”.Приклад 3. Момент інерції тіла обчислюється методом крутильних коливань. Розрахункова формула має вигляд:

,

або Знайдемо формули абсолютної і відносної похибок результату. Для цього знайдемо спочатку відносну похибку

а) прологарифмуємо вираз для :

7

б) візьмемо диференціал натурального логарифма і згрупуємо члени, які містять однаковий диференціал (вираз в дужках, який стоїть перед диференціалами, беруть по модулю):

в) замінивши знак ” ” на ” ” і всі мінуси перед диференціалами на плюси, одержимо

Абсолютна похибка , тобто

Дійсне значення моменту інерції записуємо у вигляді(4)

Визначення відносної похибки для непрямого вимірювання зручно проводити за наступними етапами:а) прологарифмувати розрахункову формулу;б) знайти від логарифма повний диференціал;в) згрупувати всі члени, які містять однаковий диференціал і

вирази в дужках, які стоять перед диференціалом, взяти по модулю;

г) замінити всі знаки диференціалів ” ” незалежних зміннихзнаками абсолютних похибок вимірювань ” ”, а всі мінуси перед диференціалами замінити плюсами, так як усі часткові похибки додаються.

8

Приклад 4.

;

1. Знаходимо відносну похибку по пунктах:а)

б)

в)

г)

2. Розраховуємо по розрахунковій формулі (1) середнійрезультат .

3. За формулою (3) знаходимо абсолютну похибкувимірювання

.4. Кінцеве значення дійсної величини буде:

.Метод логарифмування з подальшим

диференціюванням зручно використовувати, якщо розрахункова формула має вигляд добутків, часток та степенів.

Потрібно пам’ятати, що точність результату визначається точністю вимірювальних приладів і акуратністю вихідних вимірювань і не може бути збільшена в подальшому шляхом штучного набирання знаків при виконанні арифметичних дій.

Абсолютну похибку непрямого вимірювання заокруглюють до однієї значущої цифри.

9

Відносну похибку непрямого вимірювання заокруглюють до двох значущих цифр.В наближеному числі усі цифри повинні бути вірними, за винятком останньої цифри.В подальшому будемо користуватись таким поняттям, як ”десяткові знаки” та ”значущі цифри”. Кількість десяткових знаків числа визначаються кількістю цифр, які стоять після коми, разом з нулями.

.Значущими цифрами називають усі правильні цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) окрім нулів на початку числа.

Наприклад:

Наближене число

Кількість десяткових

знаків

Кількість значущихцифр

12,3075250,738990

1.033,563,5600,005725,080250000

46223430

69334256

Якщо знаходити значення похибок непотрібно, то при арифметичних діях з наближеними числами користуються наступними правилами заокруглення.

1. При додаванні та відніманні результат повинен зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх має число з найменшою кількістю десяткових знаків та усі доданки можна заокруглювати:

2. При множенні та діленні результат повинен зберігати 10

стільки значущих цифр, скільки їх має число з найменшою кількістю значущих цифр:

3. При піднесенні до степеня результат зберігає стільки значущих цифр, скільки їх має основа:

;

4. При знаходженні логарифму в результаті залишається стільки значущих цифр, скільки їх у числі, від якого брали логарифм:

11

5. Правила оформлення результатів лабораторної роботи.

Після виконання лабораторної роботи з фізики оформляється звіт на подвійному листку зі звичайного зошита, або на аркушах формату А4.На титульній сторінці вказують:

Українська академія друкарствакафедра математики і фізики

Звіт

про виконання лабораторної роботи №___на тему:_________________________

студента групи ___________________Прізвище І.Б.

На першій сторінці записують:

1. Теорія (теоретичні відомості)В цьому пункті описують основні фізичні закони та

параметри, які використовують та досліджують в даній роботі.

На другій сторінці записують:2. Рисунок (схема установки) та робоча формула.Опис цього пункту займає, приблизно, 0,5 сторінки.

Прямі вимірювання Непряме вимірювання з

його похибками

12

M P R Tρ

∆ρ Eρ

кг/моль Па Дж/моль·К К кг/м3 кг/м3 %

3. Таблиця результатів вимірювань.

На третій сторінці записують:4. Методика знаходження похибок

а) прямих вимірювань, яким методом;, яким методом;, яким методом;, яким методом.

б) непрямого вимірювання

.

13

ЧАСТИНА 2. МЕХАНІКА

Лабораторна робота № 1.01 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного маятника

ВступФізичним маятником називається тверде тіло, яке під

дією сили тяжіння здійснює коливний рух навколо горизонтальної осі, що не проходить через його центр інерції. При малих кутах відхилення маятник здійснює гармонічні коливання, які описуються диференціальним рівнянням:

, (1)де – кут відхилення маятника від вертикального положення, – момент інерції маятника відносно осі коливань, – маса маятника. Це рівняння одержане на основі другого закону Ньютона для обертового руху. Розв'язком рівняння є функція виду:

, (2)

де – циклічна частота власних коливань маятника.

Так як , то період коливання маятника

. (3)

У формулі (3) вираз має розмірність довжини і

називається приведеною довжиною фізичного маятника. Період коливання фізичного маятника з приведеною довжиною і математичного маятника такої ж довжини співпадають:

. (4)

Метод визначення прискорення вільного падінняЗгідно з формулою (4) прискорення вільного падіння

14

можна визначити по періоду коливань маятника, якщо відома його приведена довжина .

При паралельному переносі осі коливання маятника вздовж прямої, що з’єднує цю вісь і центр тяжіння маятника, на віддаль приведеної довжини маятник буде коливатися з однаковим періодом.

У цій роботі використовується маятник (рис. 1.1), що

представляє собою стержень з двома нерухомо закріпленими паралельними одна одній тригранними опорними призмами 2, на яких він може почергово підвішуватися на кронштейні 3, та сочевицями 4 і 5. Такої конструкції маятник називається оборотним. Сочевиця 4 закріплена нерухомо, а друга – 5 може переміщатися вздовж стержня. Положення сочевиці 5 на стержні визначається по шкалі 6.ля полегшення підрахунку числа коливань маятника в роботі використовується автоматичний лічильник, що працює синхронно з електросекундоміром.

Завдання1. Визначити час тридцяти повних коливань маятника

65

32

4

1

2

Рис. 1.1

15

при різних положеннях сочевиці 5 у межах від 10 до 50 мм шкали через кожні 10 мм. Для кожного положення сочевиці час виміряти не менше трьох разів і вирахувати його середнє значення. Кутова амплітуда коливань не повинна перевищувати 10°.

2. Побудувати графік залежності середнього часу тридцяти коливань від положення сочевиці 5 на стержні маятника.

3. Провести аналогічні виміри, підвісивши маятник на другій призмі, і результати вимірювань нанести на той же графік. Точка перетину кривих на графіку визначає таке положення сочевиці 5, якому відповідають найбільш близькі значення часу коливань маятника на кожній з призм.

4. Трохи переміщуючи сочевицю 5 поблизу положення, визначеного точкою перетину кривих, провести вимірювання часу і при коливаннях маятника на кожній з призм, досягаючи при цьому, щоб різниця

не перевищувала похибки секундоміра .5. Провести остаточне вимірювання і не менше

трьох разів, відраховуючи кожний раз по 50 коливань. За дійсне значення часу прийняти середнє з і .

6. Визначити по формулі (4) прискорення вільного падіння , враховуючи, що приведена довжина маятника дорівнює віддалі між ребрами опорних

призм, а період , де – число коливань маятника.

Розрахувати похибки вимірювань.Вказівки до виконання завдання

1. Для вимірювання приведеної довжини необхідно зняти маятник і розташувати горизонтально на підставці, що є на робочому місці.

2. Графіки побудувати на міліметровому папері, відкладаючи по осі ординат час, а по осі абсцис – поділки шкали, що відповідають різним положенням

16

сочевиці.3. Необхідно постійно слідкувати за тим, щоб

максимальне відхилення маятника не перевищувало 10°

Контрольні запитання1. Що таке фізичний маятник і чим він відрізняється від

математичного?2. На чому базується визначення приведеної довжини

фізичного маятника?3. В чому суть методу визначення прискорення вільного

падіння в даній роботі?

Лабораторна робота № 1.02. Визначення прискорення g методом вільного падіння тіла

ВступВільним падінням називається рух тіла під дією тільки

сили тяжіння. Якщо падіння тіла відбувається з невеликої в порівнянні з радіусом Землі висоти, то цю силу тяжіння на даній географічній широті можна вважати постійною і рівною

, де – маса тіла, – прискорення вільного падіння. Із припущення про постійність сили тяжіння ( ) випливає, що при вказаних умовах , оскільки при малих швидкостях падіння тіла (у порівнянні з швидкістю світла) маса тіла постійна. Опір середовища зменшує результуюче прискорення падаючого тіла. У деяких випадках опором середовища можна знехтувати, наприклад, при падінні в повітрі сталевої кульки, і вважати падіння кульки практично вільним. У цьому випадку падіння кульки представляє собою прямолінійний рівноприскорений рух, що описується рівнянням:

, (1)

де – час падіння кульки. На цьому виразі і базується метод визначення прискорення вільного падіння в даній роботі.

Опис установки17

Установка представляє собою (рис. 1.2) вертикальну

штангу 1, на якій встановлена рухома обойма 2 з прикріпленим до неї електромагнітом 3 і нерухомою ловушкою 4 з контактною заслінкою. Електромагніт служить для втримання кульки. Відлік часу падіння кульки проводиться електросекундоміром 5.

Електрична схема установки представлена на рис. 1.3 Якщо перемикачі і замкнуті, струм іде через обмотку

і кулька утримується електромагнітом. При розмиканні перемикача включається секундомір і виключається електромагніт, при цьому кулька відривається від електромагніту. В кінці свого падіння кулька при ударі в заслінку розмикає контакт і тим самим виключає секундомір. Висоту падіння кульки можна змінювати, переміщаючи обойму 2 вздовж штанги. Відлік висоти проводиться по шкалі, що нанесена на штангу.Завдання1. Виміряти час падіння кульки з різних (не менше 5-

ти) значень висоти і побудувати графік залежності

3

1

2

4

5

Рис. 1.2

18

.2. З графіку визначити прискорення вільного падіння ,

враховуючи, що згідно з виразом (1) графік представляє

собою пряму, тангенс нахилу якої до осі абсцис рівний

.3. Оцінити похибку визначення прискорення .

Порядок виконання роботи1. Встановити заслонку в горизонтальне

положення і включити тумблер з написом „Магніт”. Тумблер з написом „Секундомір” повинен бути при цьому виключений. Зафіксувати за допомогою електромагніту кульку.

2. Встановити стрілку секундоміра в нульове положення.

3. Включити тумблер „Секундомір”. При цьому кулька відривається від електромагніту і при ударі в

заслінку автоматично зупиняє секундомір.4. Провести вимірювання часу падіння кульки для

кожного значення висоти 3-5 разів.5. Визначити середній час для кожної висоти.

М

П1

П2

Рис. 1.3

19

Контрольні запитання1. Яке падіння тіл називається вільним?2. При яких умовах прискорення вільного падіння можна

вважати постійним?3. По якому закону змінюється сила гравітаційного

притягання до Землі в залежності від висоти тіла над поверхнею Землі?

Лабораторна робота № 1.03. Визначення швидкості руху за допомогою крутильного маятника

Метод визначення швидкостіВ даній роботі для визначення швидкості тіла

використовується крутильний маятник, який представляє собою хрестовину, підвішену на пружній дротині (рис. 1.4). На горизонтальному стержні хрестовини розташовані два однакових вантажі масою кожний, які можна переміщати вздовж стержня. На одному з кінців стержня закріплено диск

, а на другому – його противага . На вертикальному стержні закріплено дзеркало 3, на яке направляється пучок світла від освітлювача. Навпроти диску , що служить мішенню, закріплено пружний “пістолет”, призначений для надання тілу, швидкість якого треба виміряти, певного імпульсу . Даний метод вимірювання швидкості тіла базується на застосуванні законів збереження моменту імпульсу і енергії до непружного співудару тіла з крутильним маятником. Тіло масою , випущене з „пістолета”, попадає в мішень і повертає маятник довкола вертикальної осі на невеликий кут . Якщо удар непружний, а період коливань маятника набагато більший від часу гальмування тіла, то, згідно з законом збереження моменту імпульсу,

20

, (1)

де – віддаль від центру мішені до осі обертання хрестовини, – момент інерції крутильного маятника відносно тієї ж осі, – початкова кутова швидкість обертання маятника після

удару тіла в мішень. З другої сторони, згідно закону збереження енергії,

, (2)

де – модуль кручення дротини, який залежить від пружних властивостей дротини і її розмірів. З формул (1) і (2) слідує:

. (3)

При повороті хрестовини довкола вертикальної осі виникає, внаслідок деформації кручення дротини, момент пружних сил, величина якого при малих кутах кручення , згідно закону Гука, прямо пропорційна куту :

. (4)

m0

Дm0П

3

Рис. 1.4

21

Під дією цього моменту пружних сил маятник буде здійснювати крутильні коливання довкола вертикальної осі. Так як в процесі крутильних коливань маятник обертається довкола вертикальної осі, то згідно до основного закону динаміки обертового руху момент пружних сил дорівнює

. (5)

Прирівнюючи вирази (4) і (5), одержимо диференціальне рівняння руху крутильного маятника

. (6)

Розв’язок цього рівняння має вигляд

, (7)

де – період коливань, що дорівнює

(8)

Як видно з (7), маятник буде здійснювати гармонічні коливання з кутовою амплітудою . З врахуванням формули (8) вираз (3) для швидкості тіла приймає вид

. (9)

Для знаходження швидкості необхідно з виразу (9) виключити невідомий момент інерції . Для цього вимірюється два періоди коливань маятника і , що відповідають двом положенням вантажів на хрестовині, тобто двом моментам інерції і . Моменти інерції крутильного маятника і можна представити як суму моментів інерції хрестовини і моменту інерції вантажів відносно осі обертання:

, (10)

де і – віддалі кожного з вантажів до осі обертання

22

відповідно при першому і другому положеннях на стержні. Тому записуючи (9) два рази отримаємо систему:

(11)

Звідси

. (12)

Завдання1. Зафіксувати обидва вантажі на горизонтальному

стержні таким чином, щоб віддаль від центру кожного вантажу до осі обертання маятника була мінімальною і однаковою, рівною .

2. Встановити площину мішені перпендикулярно до горизонтальної осі „пістолета”, і направити пучок світла на нульову відмітку шкали.

3. Вистрілити з „пістолета” і за допомогою секундоміра виміряти час не менше десяти коливань маятника. По часу коливань вирахувати період .

4. Визначити максимальне відхилення „зайчика” вліво і вправо від нуля по шкалі і вирахувати середнє значення . Знайти кутову амплітуду коливань із співвідношення

, де – віддаль від дзеркальця до шкали, т. я.

відбитий від дзеркала промінь повертається на кут 2 при повороті дзеркала разом з хрестовиною на кут .

5. Змінити момент інерції маятника, встановивши кожний з вантажів на віддалі від осі вертикального стержня хрестовини. Визначити при цьому положенні вантажів період коливань .

6. Виміряти віддаль і визначити зважуванням масу тіла. Вирахувати за формулою (12) швидкість тіла. Визначити похибки.

23

Вказівки до виконання роботи1. Спрямувати пучок світла на нульову відмітку шкали

слід шляхом повороту дзеркала довкола осі вертикального стержня і переміщення вздовж стержня, притримуючи при цьому мішень так, щоб її площина була перпендикулярна до горизонтальної осі „пістолета”. Якщо потім відпустити мішень, то хрестовина починає здійснювати невеликі коливання довкола вертикальної осі, і „зайчик” світлового променя переміщається по шкалі вліво і вправо від нульової відмітки. Слід домогтися припинення цих коливань, обережно повертаючи гайку В до тих пір, поки коливання хрестовини не припиняться.

2. Кожний з періодів і необхідно визначити з 3-5 дослідів.

Контрольні запитання1. Якими величинами визначається період коливань

крутильного маятника?2. З якою метою визначається два періоди коливань

маятника і ?3. Який аналітичний вигляд мають закони збереження

моменту імпульсу і енергії в даній роботі?

Лабораторна робота № 1.04. Визначення модуля зсуву методом крутильних коливань

ВступМодуль зсуву є однією з характерних пружних

властивостей деформованих твердих тіл. Деформація тіла, тобто зміна його форми і розмірів, відбувається під дією прикладеної до неї зовнішньої сили. Якщо після припинення дії зовнішньої сили тіло приймає початкові розміри і форму, то така деформація називається пружною, а виникаючі між різними частинами деформованого тіла внутрішні сили – пружними силами. Для кожного реального тіла існує своя

24

границя пружності, тобто та допустима гранична величина деформації, після припинення дії якої тіло, завдяки дії пружних сил, відновлює свої розміри і форму. При деформаціях вище границі пружності зміни форми тіла стають необоротними. Така деформація називається

пластичною (залишковою).Основними типами деформацій є деформації розтягу (стиску) і зсуву, так як деформацію любого іншого виду можна представити у вигляді суми цих двох деформацій. Зсувом називається така деформація тіла, при якій всі її плоскі шари, паралельні до площини, вздовж якої діє прикладена до тіла деформуюча сила , зсунуті один відносно одного так, як показано на (рис. 1.5).

Величина деформації зсуву характеризується тангенсом кута зсуву, який називається відносним зсувом. При пружних деформаціях кут дуже малий, тому можна прийняти, що . Дія деформуючої сили зрівноважується виникаючою в тілі пружною силою. Величина, що дорівнює відношенню пружної сили до площі поверхні , на яку вона діє, називається напруженням. Якщо пружна сила направлена по дотичній до поверхні, то напруження називається тангенціальним і позначається . Внаслідок взаємодії частин тіла одна з одною напруження передається у всі точки тіла так, що в любому перерізі, паралельному до площини, вздовж якої діє прикладена до тіла деформуюча сила, виникає тангенціальне напруження

F

Рис. 1.5

25

. (1).

При невеликих значеннях тангенціального напруження залежність між і можна представити законом прямої пропорційності (закон Гука):

, (2)де – постійний для даного матеріалу і залежний тільки від його властивостей коефіцієнт пропорційності, який називається модулем зсуву. Він дорівнює такому тангенціальному напруженню, при якому кут зсуву дорівнював би 45° , якби при таких великих деформаціях не була перевищена границя пружності і зберігалась прямо пропорційна залежність між і . Модуль зсуву має розмірність напруження і вимірюється в Паскалях (Па), т. я. безрозмірна величина.Метод вимірювання

В даній роботі метод визначення модуля зсуву оснований на вимірюваннях періоду коливань крутильного маятника, що складається з закріпленого в кронштейні зразка у вигляді циліндричного стержня, до якого закріплена горизонтальна хрестовина, навантажена чотирма однаковими вантажами (рис. 1.6). Крутильні коливання хрестовин здійснюються довкола вертикальної осі під дією моменту пружних сил, що виникає при закручуванні стержня на кут . Цей момент при малих кутах кручення, згідно з законом Гука, пропорційний величині кута

, (3)де – коефіцієнт пропорційності, що залежить від розмірів і пружних властивостей матеріалу стержня і називається модуль кручення.

26

При деформації кручення незакріплений переріз стержня під дією моменту зовнішніх сил повертається довкола осі стержня на кут , внаслідок чого твірні

циліндричної поверхні зсуваються на кут (рис. 1.7), при чому . Отже, в процесі закручування стержень зазнає деформації зсуву. Тому деформацію кручення можна представити як суму деформації зсуву і виразити модуль кручення стержня через модуль зсуву:

, (4)

де – радіус стержня, – його довжина. З цього виразу можна знайти модуль зсуву , якщо відомо коефіцієнт жорсткості стержня . Коефіцієнт жорсткості визначається через період коливань крутильного маятника, який, як показано в роботі №1.03, дорівнює:

, (5)

де – момент інерції відносно осі обертання. Для визначення модуля кручення необхідно з виразу (5) виключити момент інерції. Для цього вимірюється два періоди коливань

l

l1l

2

Рис. 1.6

27

маятника, що відповідають двом положенням вантажів на хрестовині, тобто двом моментам інерції:

; ; (6)

Моменти інерції крутильного маятника і можна представити як суму моментів інерції хрестовини разом із стержнем і момент інерції вантажів відносно осі обертання

, , (7)

де – маса одного вантажу, і – віддаль від осі обертання

до центру вантажів. З виразу (6) і (7) маємо:

. (8)

З системи двох рівнянь знайдемо модуль кручення і, відповідно до формули (4), модуль зсуву:

, (9)

Завдання1. Встановити всі чотири вантажі на віддалі , від осі

стержня. Привести маятник в коливний рух, для чого повернути хрестовину довкола вертикальної осі на невеликий кут (не більше 10°) і залишити їй свободу

r

M

l

Рис. 1.7

28

руху. За допомогою секундоміру виміряти час двадцяти коливань і вирахувати період коливань . Вимірювання провести не менше 5-ти разів і знайти середнє значення періоду .

2. Аналогічно провести вимірювання для положення всіх чотирьох вантажів на віддалі від осі стержня і знайти середнє значення періоду .

3. Виміряти довжину стержня і, за допомогою мікрометра, діаметр стержня. Вимірювання цих розмірів провести декілька разів і визначити середнє значення і . Зважуванням знайти масу вантажу .

4. Підставивши у формулу (9) середнє значення виміряних величин, вирахувати модуль зсуву. Оцінити похибки визначення модуля зсуву.

Вказівки до виконання завдання1. Після того, як маятник приведений у коливний рух,

необхідно слідкувати, щоб він не здійснював коливань довкола горизонтальної осі і його коливання проходили тільки довкола вертикальної осі стержня.

2. Вимірювання періоду коливання необхідно починати після встановлення стабільної амплітуди (приблизно через 30-40 секунд після початку коливань).

3. Відлік часу коливань слід починати в той момент, коли хрестовина знаходиться в положенні максимального відхилення від положення рівноваги.

4. При вимірюванні періоду коливань потрібно слідкувати, щоб кут повороту маятника довкола осі не перевищував 10°.

5. Віддалі і потрібно вимірювати від центра вантажу до осі стержня.

Контрольні запитання:1. Що таке межа пружності?2. Який фізичний зміст модуля зсуву?3. Яка методика визначення моменту інерції маятника в

даній роботі?

29

Лабораторна робота № 1.05. Визначення моментів інерції тіл методом крутильних коливань

ВступМомент інерції (динамічний момент інерції) є мірою

інертності системи, що обертається.Для окремої матеріальної точки, що здійснює обертовий рух, момент інерції відносно заданої осі дорівнює добутку маси цієї точки на квадрат віддалі до осі обертання:

. (1)Момент інерції відносно осі дорівнює сумі моментів інерції складових його частин (матеріальних точок) відносно цієї осі:

, (2)

де і – маса матеріальної точки і її віддаль до осі обертання, – число матеріальних точок, на яке можна розбити тіло.

Як видно з (2), момент інерції тіла є величина адитивна, тобто момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин і момент інерції системи тіл дорівнює сумі моментів інерції окремих тіл. Одне і те ж тіло має різні моменти інерції відносно різних осей. Важливою динамічною характеристикою тіла є його момент інерції відносно осі, що проходить через центр інерції (центр мас) тіла, оскільки момент інерції тіла відносно довільної іншої осі можна представити, згідно з теоремою Штейнера, як суму моментів інерції тіла відносно осі, що проходить через центр інерції тіла паралельно даній, і добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями:

. (3)Момент інерції тіла залежить від його маси, конфігурації і розподілу мас в тілі відносно осі обертання. Для однорідних тіл правильної геометричної форми моменти інерції можна знайти шляхом розрахунку. Так моменти інерції циліндра

30

(диску) і кулі відносно їх геометричних осей дорівнює

(4)

де і – маса і радіус вказаних тіл. Є різні методи експериментального визначення моментів інерції любих тіл.

В цій роботі моменти інерції визначаються методом крутильних коливань трифілярного підвісу. Метод вимірювань

Трифілярний підвіс представляє собою круглу платформу, підвішену на трьох симетрично розташованих пружних нитках, які симетрично прикріплені до кільця меншого діаметра (рис. 1.8). Якщо платформу повернути на деякий кут відносно вертикальної осі, що проходить через її середину, і залишити їй свободу руху, то вона буде здійснювати крутильні коливання довкола цієї осі, причому центр інерції платформи в процесі її коливань буде переміщатися вверх і вниз по осі обертання. Суть цього методу полягає у вимірюванні періоду коливань, який визначається моментом інерції трифілярного підвісу відносно осі коливань. Співвідношення між моментом інерції трифілярного підвісу і періодом його крутильних коливань можна знайти на основі закону збереження енергії. При

r1

r2

l

Рис. 1.8

31

малих кутах повороту платформа здійснює гармонічні крутильні коливання, що описуються рівнянням:

, (5)

де – кут повороту (кутове зміщення) платформи в момент часу , – кутова амплітуда, – період коливань. Кутова швидкість обертання:

, (6)

Як видно із формули (6) абсолютне максимальне значення кутової швидкості , яку має платформа, переходячи через положення рівноваги, дорівнює

. (7)

Цьому значенню кутової швидкості платформи відповідає її кінетична енергія , рівна

, (8)

де – момент інерції платформи. У результаті повороту платформи довкола вертикальної осі на максимальний кут її центр інерції переміститься по цій осі. Відносно положення рівноваги на висоту , що відповідає приросту потенціальної енергії платформи на величину

, (9)Висоту підйому платформи легко виразити через параметри трифілярного підвісу: довжини ниток підвісу , радіус платформи і радіус кільця . Відповідний розрахунок, враховуючи, що кут малий, дає

. (10)

За законом збереження енергії:

. (11)

32

Підставивши останній вираз у рівняння (10) знайдемо:

(12)

По формулі (12) можна, вимірявши період коливань, визначити момент інерції як самої платформи, так і тіла, яке навантажене на платформу, оскільки, як про це сказано вище, момент інерції системи тіл дорівнює сумі моментів інерції тіл, що складають систему. Завдання1. Визначити момент інерції 2-3 тіл різної форми

(циліндр, диск, куля) відносно їх геометричних осей. Для цього потрібно знайти момент інерції ненавантаженої платформи. Привести її в коливний рух, повернути довкола вертикальної осі на кут і відпустити. Вимірювання часу провести не менше 5-ти разів і вирахувати середнє значення періоду коливань платформи.

2. Навантажити платформу тілом, наприклад, циліндром (диском), встановивши його таким чином, щоб центр платформи знаходився на геометричній осі (поздовжній осі симетрії) циліндра, тобто співпадав з центром основи циліндра. Визначити період коливання такої системи так само, як і період коливання ненавантаженої платформи. Таким же способом визначити період коливання системи, що складається з платформи і кулі, встановивши її на платформі симетрично до осі обертання платформи.

3. Визначити по формулі (12) момент інерції ненавантаженої платформи. Величини , , і маса платформи даються як постійні установки. По тій же формулі визначити моменти інерції системи

, приймаючи масу системи

рівною сумі мас платформи і тіла. Знайти моменти інерції тіл як різницю . Визначити похибки вимірювань.

4. Порівняти моменти інерції тіл з результатом 33

розрахунків за формулою (4). Визначити точність, з якою даним методом можна визначити моменти інерції тіл.

Завдання1. Визначити моменти інерції циліндра і кулі при різних

віддалях цих тіл від осі обертання платформи, керуючись вказівками по визначенню моментів інерції, приведених у завданні 1. Для кожного з тіл вимірювання провести на 4-5 віддалях.

2. Провести не менше трьох вимірювань періоду коливань для кожної віддалі.

3. Побудувати графіки залежності виміряних моментів інерції від квадрату віддалі центру маси кожного з тіл до осі обертання. Пояснити одержані графіки.

4. Зробити висновок про точність, з якою у даному експерименті визначаються моменти інерції.

Вказівки до виконання завдань1. Вимірювання часу коливань потрібно починати після

встановлення стабільної амплітуди коливань, приблизно через 30 секунд після початку коливань.

2. Потрібно звернути увагу на те, щоб платформа здійснювала коливання тільки довкола вертикальної осі, а інші, (не крутильні) коливання були відсутні.

3. Початок відліку часу коливань потрібно починати в той момент, коли платформа знаходиться в положенні, при якому кут її повороту максимальний.

Контрольні запитання1. Що називається моментом інерції тіла?2. В чому полягає теорема Штейнера?3. Яка методика визначення моменту інерції в даній

роботі?

Лабораторна робота № 1.06. Вивчення обертового руху твердого тіла

Вступ

34

Обертовий рух твердого тіла довкола нерухомої осі є одним з важливих видів механічного руху твердого тіла. При цьому русі усі точки тіла описують в паралельних площинах концентричні кола, центри яких знаходяться на осі, тобто обертове тіло має одну ступінь свободи, якій відповідає кут повороту. Основні кінематичні величини обертового руху:

кутова швидкість і кутове прискорення .

Лінійні кінематичні величини окремої точки цього тіла ( – шлях, – швидкість, – тангенціальне прискорення) зв’язані з відповідними кутовими величинами, які характеризують рух усього тіла як цілого:

(1)Мірою інертності тіла, що обертається довкола нерухомої осі, є момент інерції (див. роботу №1.05).Основний закон динаміки обертового руху твердого тіла довкола нерухомої осі при постійному моменті інерції має вигляд

, (2)де – результуючий момент діючих на тіло сил відносно осі обертання, – момент інерції відносно цієї осі, – кутове прискорення.Опис установки і методу вимірювання

35

Установка представляє собою хрестовину, яка може обертатися довкола горизонтальної осі під дією вантажу , прикріпленого до кінця шнура, намотаного на шків 2 (рис. 1.9). Чотири однакові циліндричні вантажі масою кожний можна переміщати вздовж стержнів і закріпляти на

різних віддалях до осі обертання, змінюючи при цьому момент інерції хрестовини. Якщо підняти вантаж , намотуючи шнур на шків, на висоту над поверхнею підлоги або стола і відпустити, то він буде падати вниз. При цьому вантаж буде рухатися з прискоренням а разом з шнуром, а хрестовина буде обертатися з кутовим прискоренням . Лінійна швидкість точок ободу шківа, що знаходиться на віддалі від осі обертання, дорівнює швидкості вантажу:

(3)і тангенціальне прискорення цих точок дорівнює прискоренню вантажу

P

F

m

F

r

1

2

Рис. 1.9

36

. (4)За другим законом Ньютона

, (5)де – сила тяжіння вантажу, – його маса, – сила натягу шнура. Звідси:

. (6)Сила натягу шнура безпосередньо діє на шків, так що обертовий момент сили, що діє на хрестовину, дорівнює

, (7)якщо знехтувати силами тертя. Так як вантаж рухається без початкової швидкості, то, з врахуванням (1) і (4), його прискорення

, (8)

де – час падіння вантажу, – радіус шківа, – кутове прискорення хрестовини. Враховуючи момент сил тертя і вважаючи його постійним, основний закон обертового руху (2) можна представити у вигляді

, (9)де – момент сили натягу шнура, – момент сили тертя.В даній роботі безпосередньо вимірюється висота , час падіння вантажу і радіус шківа . Знаючи ці три величини, а також масу вантажу , можна визначити момент інерції системи та обертовий момент сил тертя. Оцінити точність, з якою виконується основний закон динаміки обертового руху в даній роботі.Завдання1. Закріпити всі рухомі вантажі на мінімальній віддалі

від осі обертання, регулюючи їх положення таким чином, щоб хрестовини знаходились у рівновазі, тобто не оберталася, якщо повернути її на любий кут.

2. Намотуючи шнур на шків, підняти прикріплений до шнура вантаж на фіксовану висоту . За допомогою секундоміра визначити час падіння вантажу. Дослід повторити не менше трьох разів.

37

3. Провести аналогічні досліди при чотирьох віддалях рухомих вантажів від осі обертання, проводячи кожний раз вказане у першому пункті центрування системи.

4. Вимірявши висоту масштабною лінійкою, діаметр шківа штангенциркулем і, знаючи масу вантажу , вирахувати за формулами (8), (7) і (2) кутове прискорення і момент інерції системи для всіх чотирьох випадків розташування рухомих вантажів на стержнях. Оцінити похибки вимірювань.

5. Побудувати графік залежності моменту інерції системи від кутового прискорення і пояснити одержану закономірність.

6. Побудувати графік залежності моменту інерції системи від квадрата віддалі рухомих вантажів від осі обертання.

7. Пояснити одержаний графік і знайти з цього графіка моменти інерції самої хрестовини без вантажів на стержнях.

Завдання1. Виміряти час падіння різних по вазі вантажів (не

менше п’яти), збільшуючи при кожному наступному досліді вагу закріпленого до шнура вантажу. Досліди провести при двох положеннях вантажів: на мінімальній віддалі від осі хрестовини і на кінцях стержнів, керуючись при цьому вказівками, викладеними в перших трьох пунктах завдання 1.

2. Вирахувати по формулах (8) і (7) кутове прискорення та обертовий момент сили. Оцінити похибки вимірювань.

3. Результати дослідів представити графічно, відкладаючи на осі ординат кутове прискорення і по осі абсцис – момент сили.

4. З графіків визначити момент сил тертя і моменти інерції системи.

Вказівки до виконання роботи38

1. Віддаль рухомих вантажів від осі обертання хрестовини вимірювати до центру кожного з чотирьох вантажів.

2. Графіки побудувати на міліметровому папері.Контрольні запитання1. Якими кінематичними величинами характеризується

обертовий рух?2. В чому полягає основний закон динаміки обертового

руху?3. Яка методика визначення моменту інерції в цій

роботі?

Лабораторна робота № 1.07. Визначення моменту інерції тіла за допомогою маятника Максвелла

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертального руху твердих тіл на прикладі маятника Максвелла.

Завдання: виміряти час опускання маятника Максвелла на задану відстань, визначити його момент інерції.

Теоретичний матеріал: момент сили, момент інерції твердого тіла, рівняння моментів, закон збереження момента імпульсу.

Опис установкиЗагальний вигляд установки показано на рис. 1.10.

Основа 1 містить регулюючі ніжки 2, які дозволяють проводити вирівнювання приладу. В основі закріплена колонка 3, до якої прикріплено нерухомий верхній кронштейн 4 і рухомий нижній кронштейн 5. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 6, фотоелектричний датчик 7 і закріплювач 8 для закріплення і регулювання довжини біфілярної підвіски маятника.

39

Рис. 1.10

Нижній кронштейн разом із прикріпленим до нього фотоелектричним датчиком 9 можна переміщувати вздовж колонки і фіксувати в довільно вибраному положенні.

Тіло маятника 10 є ролик, який закріплений на осі. На нього прикріпляють кільця 11, які міняють момент інерції маятника.

Маятник підтримується у верхньому положенні електромагнітом. Його довжина визначається за допомогою міліметрової шкали на колонці приладу з похибкою не більше 2 мм. Для більш точного вимірювання довжини на нижньому кронштейні наведено вказівник, який поміщений на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика. Для вимірювання часу падіння з відносною похибкою не більше 0,02 % використовується електронна схема, яка складається з

40

мілісекундоміра, двох фотоелектричних датчиків і електромагніту. Під час проходження маятника біля фотоелектричного датчика останній дає в схему мілісекундоміра електричний сигнал, який фіксує момент проходження маятника. Один фотоелектричний датчик з’єднаний з гніздом ZL1 мілісекундоміра 12, а інший – з гніздом ZL2.

Передня і задня панелі мілісекундоміра зображено на рис. 1.11.

На передній панелі мілісекундоміра знаходяться такі елементи:

W1 („сеть”) – вимикач живлення, W2 („сброс”) – обнуління результатів, W3 („пуск”) – початок вимірювання, управління

магнітом. На задній панелі мілісекундоміра знаходяться такі

елементи:ZL1, ZL2 – роз’єми для під’єднання фотоелектричних

датчиків, ZL3 – заземлення.

Рис. 1.11.

Виведення розрахункової формули Дія приладу базується на одному із основних законів

41

механіки – законі збереження механічної енергії: повна механічна енергія системи, на яку діють тільки консервативні сили, є стала. Маятник Максвелла представляє собою тверде тіло, поміщене на вісь. Вісь підвішена на двох нитках (рис. 1.12). Під дією сили тяжіння маятник здійснює коливання у вертикальному напрямі і тим самим здійснює крутильні коливання навколо своєї осі. Нехтуючи силами тертя, систему можна вважати консервативною. Закручуючи нитки, маятник піднімається на висоту h, тобто йому надається запас потенціальної енергії. Відпустивши маятник, він здійснює рух під дією сили тяжіння: поступальний вниз і обертальний навколо своєї осі. При цьому потенціальна енергія переходить у кінетичну. Досягнувши нижнього положення, маятник буде по інерції обертатись в тому ж напрямку, нитки намотаються на вісь маятника і він підніметься. Так здійснюються коливання маятника.

y

Рис. 1.12.

Запишемо рівняння руху маятника. Для поступального руху маятника (згідно з ІІ законом Ньютона та з урахуванням діючих на маятник сил) можна записати:

, (1)де m – маса маятника, g – прискорення сили тяжіння, a – прискорення поступального руху центра мас маятника, T – сили натягу однієї з ниток (рис. 1.12).

42

Проекція даного рівняння на вісь Y:. (2)

Для обертального руху маятника запишемо основний закон динаміки обертового руху для абсолютно твердого тіла:

, (3)де I – момент інерції маятника відносно його осі обертання, ε – кутове прискорення маятника, M – результуючий момент зовнішніх сил відносно осі обертання.

Оскільки момент сили тяжіння відносно осі обертання рівний нулю, тоді

, (4)де r – радіус осі.

Так як і з рівняння (2) , можемо записати:

, (5)

або .

Прискорення а може бути знайдено після вимірювання часу руху маятника під час проходження відстані h. Із рівняння для рівноприскореного руху без початкової швидкості маємо:

. (6)

Тоді

, (7)

і якщо підставити діаметр осі D, отримаємо основну розрахункову формулу:

. (8)

Порядок виконання роботи1. Перевірити, чи співпадає нижня частина кільця

43

маятника з нулем на колонці. Якщо не співпадає, тоді потрібно відкрутити верхній кронштейн і відрегулювати його висоту.

2. Натиснути кнопку „пуск” мілісекундоміра.3. Встановити довжину нитки так, щоб край стального

кільця після опускання маятника знаходився приблизно на 2 мм нижче оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика. Одночасно провести регулювання установки маятника так, щоб його вісь була паралельна основі приладу.

4. Натиснути кнопку „пуск” мілісекундоміра. 5. Намотати на вісь маятника нитку підвіски.6. Зафіксувати маятник за допомогою електромагніту.7. Натиснути кнопку „сброс” мілісекундоміра.8. Натиснути кнопку „пуск” мілісекундоміра.9. Виміряти час падіння маятника в секундах за

допомогою мілісекундоміра. 10. Провести аналогічні вимірювання п’ять разів. 11. Визначити висоту h в метрах, використовуючи

шкалу на вертикальній колонці приладу. 12. Визначити діаметр осі разом із намотаною на неї

ниткою за формулою:, (9)

де Dн – діаметр нитки (Dн = 0,5 мм), діаметр Dо діаметр зовнішньої осі маятника (Dо = 10 мм).

13. Визначити масу маятника разом із кільцем за формулою:

, (10)де mo – маса осі, mр – маса ролика, mк – маса кільця. Значення мас окремих елементів наведено на дослідній установці.

14. Визначити момент інерції маятника за формулою (8).15. Визначити теоретичне значення моменту інерції за

формулою:, (11)

де – момент інерції осі,

44

– момент інерції кільця, Dк – зовнішній

діаметр кільця (Dк = 105 мм), Dр – зовнішній діаметр ролика (Dр = 86 мм),

– момент інерції ролика.

16. Обчислити відносну похибку визначення моменту інерції за формулою:

, (12)

або за формулою:

Відносна похибка не повинна перевищувати 8 %.

Контрольні запитання:1. Сформулюйте закон збереження механічної енергії і

умови його виконання.2. Записати основний закон динаміки обертового руху. 3. Дайте визначення моменту інерції твердого тіла. 4. Запишіть формулу для визначення кінетичної енергії

абсолютно твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі.

5. Описати прилад і дію маятника Максвелла.

Лабораторна робота № 1.08. Вивчення коливальних процесів

ВступКоливальним рухом називається рух або зміна стану,

що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан. З коливаннями ми зустрічаємось при вивченні

45

найрізноманітніших фізичних явищ: звуку, світла, змінних струмів, радіохвиль, коливань маятників і т.д. Виявляється, що існує спільна закономірність цих явищ і математичних методів їх дослідження. Як приклад, знайдемо основне рівняння гармонічних коливань матеріальної точки (або тіла) масою , збуджуваних пружними силами.

(1)де – коефіцієнт пружної сили.

Використаємо другий закон Ньютона:, (2)

де – прискорення частинки (тіла). Прирівнявши

ці вирази, одержимо(3)

Дане рівняння – це диференціальне рівняння вільних незагасаючих коливань, яке можна записати у вигляді:

(4)Загальний розв’язок рівняння (4) представляє собою

зміну зміщення точки з положення рівноваги і має вигляд:, (5)

де – власна циклічна частота коливань точки,

– амплітуда коливань, – початкова фаза коливань.

У випадку фізичного маятника роль грає кут

відхилення , а ; для математичного маятника

; для електричного коливального -контуру роль

грає заряд , .

Під дією сил тертя і опору середовища вільні коливання загасають (їх амплітуда зменшується до нульового

46

значення). У більшості випадків величина сили опору є пропорційна до швидкості руху частинки

, (6)

де – так званий коефіцієнт сили опору.Диференціальне рівняння руху, в якому врахована дія

сил опору, можна записати так:(7)

Розв’язок цього рівняння має вигляд:, (8)

де , – коефіцієнт, який пов’язаний з

коефіцієнтом виразом: , – початкова амплітуда

коливань.Рух точки можна розглядати як гармонічне коливання

(рис. 1.13) з циклічною частотою і амплітудою, що змінюється за законом:

. (9)

o

x

t

A0

Рис. 1.13

47

Час , протягом якого амплітуда зміниться в разів, знайдемо таким чином:

, звідки .Отже, коефіцієнт загасання обернений за величиною

тому проміжку часу, за який амплітуда зменшується в разів

.

Період загасаючих коливань:

(10)

При малому коефіцієнті загасання період коливань

практично дорівнює . Відношення двох сусідніх

значень амплітуди коливань і дорівнює:

(11)

Це відношення називається декрементом загасання, а його логарифм – логарифмічним декрементом загасання:

. (12)

Крім сил опору, на частинку можуть діяти інші зовнішні сили. Дуже важливу роль відіграє коливання, на яке діє сила , величина якої міняється періодично за законом косинуса чи синуса (так звані вимушені коливання), наприклад,

. (13)Диференціальне рівняння руху, яке враховує дію

зовнішньої сили має вигляд:. (14)

Розв’язком рівняння (14) є вираз:, (15)

48

де – різниця між фазою зовнішньої сили і фазою власних коливань. Величина амплітуди таких вимушених коливань рівна:

(16)

При частоті коливань амплітуда вимушених коливань досягає максимального значення (різко зростає). Це явище називають резонансом.

Опис установкиНа основі установки (1), що на рис. 1.14, закріплена

коленка (2), на якій знаходиться втулка (3) і кронштейн (4). На стержні (5), запресованому у втулці (3) кріпляться

1

2

3 56

78

9

11

10

1213

14

4

Рис. 1.14

49

підвіски (6), на яких на підшипниках кріпиться маятник (7) і шатун (8). На стержні (7) прикріплено переривач світлового потоку (9) і прапорець (10), що служить до зміни коефіцієнта загасання коливань маятника (7). Стержні маятника (7) і шатуна (8) зв’язані між собою за допомогою пружини (11), закріпленої в спеціальній С - подібній обоймі.

Збудження коливань здійснюється за допомогою привідного диска, закріпленого на валу електродвигуна, який, рухаючи шатун (8), з’єднанній за допомогою пружини (11) з стержнем маятника (7), збуджує коливання стержня. На шатун (8) прикріплено рухомий переривач світлового потоку (12), який служить для визначення коливань шатуна. До нижнього кронштейна прикріплена кутова шкала (13), – за допомогою якої визначається амплітуда коливань маятника. В кронштейні і на корпусі установки також змонтовано фотоелектричний датчик (14), на шляху до якого світловий потік переривається переривачами світла (9) або (12).

Порядок виконання роботи1. Визначити частоту коливань маятника. Для цього необхідно відімкнути блок живлення установки. Закріпити прапорець (10) в площині коливань маятника і відхилити стержень маятника на 8°-10° від положення рівноваги. Натиснути короткочасно кнопку ”Сброс” і коли на показчику числа коливань засвітиться цифра ”9”, натиснути кнопку

"стоп" . Знайти період коливань ( – час десяти

коливань) та циклічну частоту. Досліди повторити 5 разів.

2. Визначити коефіцієнт загасання. Відмітити величину початкової амплітуди і

величину кінцевої амплітуди за час , протягом якого відбулося коливань. В цьому випадку

. (17)

50

Розрахувати коефіцієнт загасання за допомогою формули:

(18)

Розрахувати логарифмічний декремент загасання (формула (12)).

Аналогічні вимірювання провести також при заданій орієнтації гальмівного прапорця і визначити коефіцієнт та логарифмічний декремент загасання.

3. Вивчення вимушених коливань.Підняти вгору переривач (9) світлового потоку на

стержні маятника (7), а переривач світлового потоку (12) на (8) опустити вниз навпроти фотоелектричного датчика (14). Привести в дію електродвигун, визначити частоту коливань шатуна і максимальну амплітуду вимушених коливань маятника (7).

Вимірювання провести при різних частотах коливань до і після досягнення резонансу. Результати вимірювань записати в таблицю і зобразити графічно, відкладаючи на осі абсцис циклічну частоту шатуна, а на осі ординат – амплітуди коливань маятника. Визначити з графіку резонансну частоту.

51

ЧАСТИНА 3. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА

Лабораторна робота № 2.01. Визначення динамічної в’язкості рідини

ВступВ рідині або в газі, у яких різні шари рухаються з

неоднаковими швидкостями, виникають сили внутрішнього тертя, або так звані сили в’язкості. Дослідним шляхом встановлено, що сили внутрішнього тертя пропорційні градієнту швидкості шарів і площі поверхні дотичних шарів

, що рухаються паралельно:

, (1)

де – градієнт швидкості, тобто величина, рівна зміні

швидкості шарів на одиницю довжини в напрямку, перпендикулярному до напряму переміщення шарів (рис. 2.1). Коефіцієнт пропорційності називається динамічною в’язкістю. Чисельно він дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на одиницю площі шару при градієнті швидкості, рівному одиниці.Згідно молекулярно-кінетичної теорії явище внутрішнього тертя пояснюється тим, що між шарами рідини або газу відбувається обмін впорядкованого руху.

В кожному з шарів молекули рухаються з однаковою швидкістю шару і в той же час здійснюють хаотичний

1

2

m2

2

m1

1

1

2

Рис. 2.1

52

тепловий рух всередині шару, внаслідок якого і здійснюється їх перехід з одного шару в інший. Внаслідок хаотичності теплового руху число молекул , що проходить за одиницю часу з шару 1 в шар 2 і навпаки (рис. 2.1) однакове, але вони переносять різні імпульси і . Різниця представляє собою зміну імпульсу шару за одиницю часу. Згідно з основним рівнянням динаміки зміна імпульсу за

одиницю часу рівна діючій силі , яка і представляє

собою силу внутрішнього тертя. Існують різні методи визначення динамічної в’язкості рідин. В цій роботі використовуються два методи.

Метод СтоксаЦей метод основується на вимірюванні швидкості

рівномірного падіння кульки в досліджуваній рідині.На кульку радіуса , що падає у в’язкій рідині, діє три сили:1. Сила тяжіння

, (2)

де – густина матеріалу кульки;2. Виштовхувальна сила (сила Архімеда);

, (3)

де – густина рідини. Знак “мінус” означає що ця сила напрямлена в сторону, протилежну силі тяжіння ;3. Сила опору рідкого середовища, обумовлена силами внутрішнього тертя рідини. Згідно з формулою, виведеною Стоксом на основі співвідношення (1), ця сила дорівнює:

, (4)де – динамічна в’язкість рідини, – швидкість кульки. Знак “мінус” показує, що сила опору середовища має напрямок, протилежний швидкості .

Формула (3) застосовується до твердої кульки, оточеної однорідною рідиною, якщо швидкість кульки невелика і віддаль від кульки до границі рідини значно

53

більша, ніж її діаметр. Слід підкреслити, що у виникненні сили опору має значення не тертя кульки з рідиною, а сили тертя між шарами рідини, що захоплюються кулькою. Найближчий до поверхні кульки шар рідини рухається з швидкістю кульки. Швидкість решти шарів зменшується по мірі віддалення їх від кульки і на деякій віддалі від його поверхні дорівнює нулю.Рівнодійна всіх сил дорівнює:

(5)

Спочатку, поки швидкість кульки невелика, вона буде падати прискорено. Але з збільшенням швидкості кульки зростає, як видно з формули (3), сила опору , в той час як сили і залишаються постійними. Тому через деякий час кулька досягає такої швидкості , при якій всі сили будуть в сумі дорівнювати нулю:

(6)

тобто рух кульки буде рівномірним.З формули(6) слідує:

(7)

Знаючи , , , визначивши швидкість рівномірного руху кульки, можна за формулою (7) знайти динамічну в’язкість.Пристрій, на якому проводять вимірювання, представляє собою циліндричну скляну посудину (рис. 2.2), наповнену досліджуваною рідиною, на якій є дві горизонтальні мітки N і M. Верхня мітка знаходиться нижче рівня рідини в тому самому місці, починаючи від якого рух кульки стає рівномірним. Діаметри кульок вимірюються мікрометром або за допомогою мікроскопа з окулярним мікрометром.Завдання1. Виміряти віддалі між мітками масштабною лінійкою.2. Виміряти взаємно перпендикулярні діаметри кульки і

визначити середнє з обох значень.54

3. За допомогою пінцету помістити кульку над серединою поверхні рідини і, спостерігаючи за її падінням, виміряти секундоміром час, за який кулька проходить віддаль між мітками. Слід звернути увагу на те, щоб при пуску і зупинці секундоміра око було розташоване на рівні відповідної мітки.

4. Провести вимірювання діаметра і часу падіння для кількох (не менше 5-и) кульок, виготовлених з одного матеріалу.

5. Для кожної кульки по формулі (7) визначити – динамічну в’язкість, використовуючи табличні значення

і .6. Оцінити похибки визначення .7. Аналогічно провести вимірювання динамічної

в’язкості, використовуючи інший набір кульок, що відрізняється від попереднього тільки розмірами, а також набір кульок того ж розміру, що і перший, але виготовлених з іншого матеріалу.

8. Порівняти середні значення коефіцієнта , одержані

M

N

Рис. 2.2

55

при використанні трьох комплектів кульок, з табличним його значенням для даної температури. Проаналізувати результати експерименту.

Метод витікання рідини з капіляраНа основі формули (1) Пуазейль вивів співвідношення,

згідно з яким об’єм нестисливої рідини, що протікає за час через циліндричну трубку постійного перерізу, дорівнює

, (8)

де – динамічна в’язкість рідини, і – довжина і радіус капілярної трубки, – різниця тисків між кінцями трубки. Формула Пуазейля (8) використовується для визначення динамічної в’язкості шляхом часу витікання через однакові капілярні трубки рівних об’ємів двох рідин, для однієї з яких (еталонної рідини) динамічна в’язкість відома. У цьому випадку, прирівнюючи відповідні досліджуваній і еталонній рідинам праві частини рівняння (8), після скорочення одержуємо

, (9)

де індексом “0” відзначені величини, що відносяться до еталонної рідини. Якщо рідина витікає з циліндра під дією власної ваги, то різниця тисків , тобто рівна тиску стовпа рідини висотою . Підставивши у вираз (9) для досліджуваної і еталонної рідини їх густини і , знайдемо остаточно

(10)

56

Прилад для визначення динамічної в’язкості даним методом називається капілярним віскозиметром і представляє собою U – подібну трубку, у вузьке коліно 1 якої впаяно капіляр 4 (рис. 2.3). При вимірюваннях рідина резервуару 3 витікає через капіляр у розширену частину трубки 5. До відростку трубки 6 приєднується ручний насос. Кільцеві мітки M і N обмежують певний постійний об’єм рідини, час витікання якого потрібно виміряти. Віскозиметр поміщають у термостат 7 таким способом, щоб розширена частина трубки 2 знаходилася нижче рівня рідини у термостаті. За допомогою виска віскозиметр повинен бути встановлений вертикально.У термостаті міститься термометр 8. Завдання1. Промити віскозиметр дистильованою водою,

встановити його в термостаті вертикально і закріпити. Заповнити віскозиметр дистильованою водою таким

чином, щоб рівень води знаходився нижче рівня N.

N

M

86

9

1

2

3

4

5

7

Рис. 2.3

57

2. Закрити корком отвір 9 і за допомогою ручного насоса обережно довести рівень води до половини висоти розширення 2.

3. Відкрити отвір 9 і, спостерігаючи витікання води, пустити в хід секундомір у момент проходження меніска через мітку N в момент проходження меніска через мітку М секундомір зупинити. Дослід повторити не менше 5-ти разів і визначити середнє значення .

4. Аналогічно визначити час витікання досліджуваної рідини, попередньо промивши віскозиметр невеликою кількістю даної рідини. Знайти середнє значення часу .

5. За формулою (10) визначити коефіцієнт , використовуючи табличні значення , і . При цьому необхідно взяти табличні значення , що відповідають температурі води у термостаті під час досліду.

6. Оцінити похибки вимірювань.Контрольні запитання:1. Який фізичний зміст динамічної в’язкості?2. Як пояснити з погляду молекулярно-кінетичної теорії

виникнення сили в’язкості?3. У чому полягає метод Стокса?4. Яка методика визначення динамічної в’язкості на

основі методу Пуазейля?

Лабораторна робота № 2.02. Визначення середньої довжини вільного пробігу і ефективного діаметра молекул

газу

ВступСередня довжина вільного пробігу молекул дорівнює

віддалі, яку проходить в середньому молекула між двома послідовними співударами і характеризує всю сукупність молекул газу при даних значеннях його температури й тиску. В даній роботі для визначення середньої довжини вільного пробігу молекул використовується вираз для

58

динамічної в’язкості газу, виведений на основі молекулярно-кінетичної теорії з урахуванням розподілу молекул за швидкостями і сил взаємодії між молекулами реального газу

, (1)

де – динамічна в’язкість, – середня швидкість хаотичного руху молекул газу, – густина газу. Відповідний вираз для ідеального газу, одержаний без врахування розподілу молекул по швидкостях, відрізняється від формули (1) тільки числовим коефіцієнтом, рівним 1/3. З формули (1) слідує

(2)

Вимірюючи на досліді динамічну в’язкість , можна за формулою (2) знайти середню довжину вільного пробігу молекул, якщо відомі середня арифметична швидкість газових молекул і густина газу . Згідно з кінетичною теорією газів

, (3)

де – молярна газова стала, – термодинамічна температура, – молярна маса газу. Густину газу можна знайти з рівнянням Менделєєва-Клапейрона

, (4)

де – тиск газу.Середня довжина вільного пробігу залежить від ефективного діаметра молекул і числа молекул в одиниці об’єму :

(5)

Ефективний діаметр молекули – це та найменша віддаль, на яку наближаються при співударі центри двох молекул, і її можна визначити, використовуючи формулу (5), враховуючи

59

при цьому, що число молекул в одиниці об’єму газу дорівнює

, (6)

де – постійна Больцмана, – температура, – тиск газу.Метод визначення динамічної в’язкості повітряВ цій роботі досліджуваним газом є сухе повітря, динамічна в’язкість якого визначається на основі формули Пуазейля: (див. лаб. робота № 2.01, формула 8)

(7)

Установка (рис. 2.4) складається з наповненого водою аспіратора 1, капіляра 2 і манометра 3. При витіканні води через кран 4 тиск в аспіраторі знижується і через капіляр в аспіратор всмоктується сухе повітря, яке попередньо проходить через осушувач 5. Різницю тисків , що виникає на кінцях капілярної трубки, вимірюється за допомогою манометра

, (8)де – густина рідини в манометрі, різниця висот рівнів в манометрі, – прискорення вільного падіння. Об’єм повітря, яке протікає через капіляр, визначається по об’єму води, що витікає з аспіратора.Завдання

1

2

3

4

5

Рис. 2.4

60

1. Обережно відкрити кран 4, визначити час витікання 300 мл води. Визначити за допомогою манометра різницю тисків . Дослід повторити 5-7 разів. Знайти середнє значення і .

2. Використовуючи формулу (7), визначити динамічну в’язкість . Радіус капіляра і його довжина дані як постійні приладу.

3. За формулою (3) визначити швидкість молекул газу.4. За формулою (4) знайти густину газу. При цьому тиск

повітря , його температура визначається за показами термометра і барометра, які є в приміщенні лабораторії.

5. Використовуючи формули (5) і (6), визначити ефективний діаметр молекул повітря.

6. Знайти похибки визначення і .Контрольні запитання1. В чому суть методу визначення середньої довжини

вільного пробігу молекул в цій роботі?2. Яка методика визначення динамічної в’язкості повітря

в даній роботі?3. Чому діаметр молекул називається ефективним?

Лабораторна робота № 2.03. Визначення показника адіабати повітря

ВступПитомою теплоємністю називається фізична величина,

яка чисельно дорівнює кількості теплоти, яку необхідно надати 1 кг речовини для підвищення температури на 1 К. Ця величина вимірюється в Дж/(кг·К). Теплоємність газів залежить від способу їх нагрівання. Тому для газів розрізняють дві теплоємності: Теплоємність при постійному об’ємі і , що відповідає нагріванню газу при ізобарному процесі. Виходячи з першого закону термодинаміки і рівняння стану ідеального газу, можна показати, що для 1 моля ідеального газу

61

. (1)Співвідношення (1) називається рівнянням Майєра, зміст якого полягає в тому, що при ізобарному нагріванні газу на 1 К витрачається більша кількість теплоти, ніж при такому ж ізохорному нагріванні. Різниця кількостей теплоти дорівнює роботі, здійснюваній газом при ізобарному розширенні.

Співвідношення теплоємностей є характерною

величиною для кожного газу. Згідно з кінетичною теорією газів,це співвідношення дорівнює

, (2)

де – число ступенів свободи молекул. Число для одноатомних газів дорівнює 3, для двохатомних – 5, для багатоатомних – 6. Величина входить також в рівняння Пуассона (рівняння адіабати), яке зв’язує параметри газу – тиск і об’єм при адіабатному процесі:

. (3)Крива, яка описується цим рівнянням, називається адіабатною, а величина – показник адіабати. Часто використовується інша форма рівняння Пуассона

, (4)

де – термодинамічна температура. Адіабатичним називається процес, який протікає без теплообміну з зовнішнім середовищем (при умові ).В даній роботі для визначення сталої адіабати використовується процес адіабатного розширення повітря.Метод визначення

62

Установка (рис. 2.5) представляє собою посудину 1, заповнену повітрям і під’єднану до водяного манометра 2 і ручного насосу 3. За допомогою крану 4 посудина може з’єднуватись з атмосферою. Нехай спочатку повітря в посудині об’ємом , знаходиться під тиском . Якщо за допомогою насосу нагнітати в посудину деяку кількість повітря, то тиск і температура повітря всередині посудини підвищаться. Через деякий час (при закритих кранах 4 і 5) внаслідок теплообміну з оточуючим середовищем температура повітря в посудині зрівняється з температурою зовнішнього середовища , а тиск, що встановиться в

посудині, дорівнює , де – додатковий тиск, вимірюваний різницею висот рівнів рідини в манометрі. Цей перший стан повітря в посудині характеризується параметрами , , . Якщо тепер відкрити на короткий час кран 4, то повітря в посудині буде розширюватися адіабатно, оскільки за короткий проміжок часу не встигне здійснитися теплообмін між повітрям в посудині і зовнішнім середовищем. В кінці адіабатного розширення повітря в посудині встановлюється атмосферний тиск, температура знижується до , а об’єм залишається рівним . Це буде другий стан повітря (параметри , ,

). Якщо зразу в кінці адіабатного процесу, коли тиск в посудині впаде до атмосферного, закрити кран 4, то

1

2

3

45

Рис. 2.5

63

охолоджене повітря в посудині буде нагріватися і його тиск почне зростати. Тиск зросте до величини , коли повітря в посудині нагріється до температури зовнішнього середовища . Таким чином, третій стан газу

характеризується параметрами , і .Адіабатний перехід з першого стану до другого описується рівнянням (4):

(5)

Перехід від другого стану до третього проходить без зміни об’єму (ізохорний процес). Застосувавши до цього переходу рівняння, що описує ізохорний процес, одержимо:

. (6)

Розв’язуючи сумісно рівняння (5) і (6), знайдемо:

(7)

Так як тиски і , вимірювані манометром, пропорційні відповідним різницям висот в манометрі і , то остаточно

. (8)

Завдання1. За допомогою насоса обережно нагнітати в посудину деяку

кількість повітря, щоб різниця рівнів рідини в манометрі дорівнювала приблизно 200 мм. Через 2-3 хвилини газ в посудині набуває кімнатної температури. Зробити відлік по шкалі різниці рівнів .

2. Швидко відкрити кран 4 і, після вирівнювання рівнів рідини в манометрі, закрити кран. Через 2-3 хвилини зробити другий відлік різниці рівнів .

3. Дослід повторити 7-10 разів.4. Вирахувати за формулою (8) для кожного окремого

64

досліду показник адіабати . Знайти його середнє значення і оцінити похибки.

5. Порівняти одержане значення з його теоретичним значенням, визначеним за формулою (2), і пояснити причини розходження між цими значеннями.

Вказівки до виконання роботи1. Перед початком кожного досліду з’єднати посудину з

атмосферою, відкривши кран 4. При цьому в посудині встановлюється атмосферний тиск. Нагнітання повітря в посудину проводити при закритому крані 4.

2. Відлік різниці рівнів і проводити при повністю закритих кранах 4 і 5 через кілька хвилин після того, як припиниться зміна різниці рівнів, викликана охолодженням або нагріванням повітря.

Контрольні запитання:1. Якими рівняннями описуються адіабатний,

ізотермічний та ізохорний процеси?2. В чому фізичний зміст рівняння Майєра?3. Що таке число ступенів свободи молекул?4. Яка методика визначення показника адіабати в цій

роботі?

Лабораторна робота № 2.04. Визначення коефіцієнта поверхневого натягу рідини методом компенсації

додаткового тиску в капілярі

ВступПоверхневий натяг вимірюється роботою

ізотермічного утворення одиниці площі поверхні рідини на границі з другою фазою:

(1)

Якщо поверхня рідини обмежена лінією (периметром змочування) довжиною , то поверхневий натяг дорівнює силі, що діє на одиницю довжини периметра і напрямленій

65

перпендикулярно до неї . Ця сила лежить в площині,

дотичній до вільної поверхні рідини.На молекули рідини, що знаходяться в поверхневому

шарі, діють напрямлені всередину рідини не скомпенсовані сили притягання з сторони інших молекул всередині рідини. В результаті цього молекули поверхневого шару мають більшу потенціальну енергію, ніж молекули, що знаходяться всередині рідини, оскільки при ізотермічному переході молекул з об’єму рідини на її поверхню здійснюється робота по подоланню напрямлених всередину рідини сил, що діє на поверхневий шар. Ця робота збільшує потенціальну енергію молекул, що переходять на поверхню. Стану стійкої рівноваги рідини відповідає мінімум потенціальної енергії її вільної поверхні, що рівнозначне найменшій площі цієї поверхні. Тому рідина намагається скоротити площу вільної поверхні, внаслідок чого в поверхневому шарі виникають сили натягу, напрямлені вздовж поверхні. Ці сили подібні до пружних сил, які намагаються скоротити площу поверхні механічно розтягнутої плівки.

Метод вимірюванняСуть методу полягає у вимірюванні в капілярі тиску

рідини , обумовленого силами поверхневого натягу рідини, шляхом його компенсації додатковим тиском стискуваного повітря.

Установка складається з капіляра 1, яким торкаються поверхні досліджуваної рідини в посудині, манометра 3, з’єднаного з капіляром, і трубкою 2 (рис. 2.6). Обидві посудини знаходяться на столиках 5 і 6, висоту яких можна плавно змінювати.

Як відомо, при повному змочуванні рідиною стінок капіляру з циліндричним каналом додатковий тиск її вгнутої поверхні, що називається меніском, визначається формулою

, (3)

де – радіус капілярної трубки. Цей тиск, напрямлений вгору 66

до центру кривизни сферичної поверхні меніска, піднімає рідину в капілярі до такого рівня по відношенню до поверхні рідини в широкій посудині, щоб тиск стовпа піднятої рідини зрівноважував додатковий тиск . Якщо піднімати столик 6, то тиск повітря у всій системі (капіляр-трубка 2 - манометр) буде зростати внаслідок зменшення об’єму системи і рідина в капілярі почне опускатися. Очевидно, що при досягненні певного значення тиску повітря меніск в капілярі виявиться на рівні досліджуваної рідини в широкій посудині, тобто тиск повітря в системі, що вимірюється манометром, буде

становити . Знаючи радіус капіляра , можна за формулою (3) знайти .

Завдання1. Промити капілярну трубку спиртом, а потім

досліджуваною рідиною і, піднімаючи столик 5, торкнутися капіляром до поверхні досліджуваної рідини.

2. Опустити столик 6 таким чином, щоб рівень рідини в посудині, розташованій на цьому столику, знаходився нижче зрізу трубки 2. При цьому в системі встановлюється атмосферний тиск.

3. Встановити рівень рідини в манометрі на нульову відмітку.

4. Піднімаючи столик 6, сумістити меніск в капілярі з рівнем досліджуваної рідини в посудині.

5. Зробити відлік положення рідини по шкалі похилої

1

45 6

2

3

Рис. 2.6

67

трубки 7 мікроманометра. Трубка мікроманометра встановлюється під кутом до горизонтальної поверхні для збільшення точності вимірювання тиску. Тиск, вимірюваний мікроманометром, дорівнює:

, (4)де – відлік по шкалі манометра, – густина рідини, яка знаходиться в манометрі, – прискорення вільного падіння.

6. Вирахувати поверхневий натяг рідини σ за формулою:

, (5)

яку отримали з врахуванням (3) і (4).7. Радіус r капіляру дається як постійна приладу.8. Повторити дослід не менше 5-ти разів і визначити

середнє значення .9. Оцінити похибку визначення .Контрольні запитання:1. Який фізичний зміст поверхневого натягу ?2. Як пояснити існування сил поверхневого натягу?3. Яка методика визначення додаткового тиску в

капілярі?

Лабораторна робота №2.05. Визначення залежності поверхневого натягу розчинів від концентрації і

температури методом максимального тискуМетод вимірюванняПоверхневий натяг , фізичний зміст якого розглянуто

в роботі №2.04, залежить від хімічного складу рідини і її температури. Із збільшенням температури зменшується і досягає нуля при критичній температурі.

68

Суть даного методу визначення полягає у вимірюванні тиску в бульбашці повітря, що протискується з вузького каналу трубки в досліджувану рідину. Прилад (рис. 2.6) складається з щільно закритої посудини 1, в яку налито деяку кількість досліджуваної рідини, манометра 2 і наповненого водою аспіратора 3. Повітряний простір посудини 1 з’єднаний гумовими трубками через розподільник 4 з манометром і аспіратором. В посудині 1 встановлено трубку 5 з вузьким вихідним каналом на кінці таким чином, щоб цей кінець знаходився дещо нижче від поверхні рідини (на 0,5 мм). За допомогою крану 6 всю систему можна з’єднати з атмосферою. Посудину 1 поміщають в термостат 7. Якщо легко відкрити кран 8, попередньо закривши кран 6, то з аспіратора почне повільно витікати вода, а у верхній частині аспіратора і у з’єднаній з ним посудині 1 та у правому коліні манометра тиск повітря почне зменшуватися. При досягненні певного степеня розрідження повітря надлишок атмосферного тиску проштовхує через вихідний канал трубки 5 бульбашку повітря. Це відбувається тоді, коли різниця тисків атмосферного повітря у відкритій трубці 5 і повітря в

посудині 1, яка вимірюється різницею рівнів рідини в манометрі, зрівноважує тиск, викликаний силами поверхневого натягу рідини, що оточує утворювану

1

2 3

4

5

6

78

Рис. 2.6

69

бульбашку, внаслідок кривизни її шару на границі з бульбашкою. Тиск обумовлений кривизною поверхні рідини, пропорційний, як відомо, поверхневому натягу . Значить, в момент відриву бульбашки виконується співвідношення:

, (1)де – різниця тисків, що вимірюється манометром, – коефіцієнт пропорційності, який залежить від розмірів вихідного отвору трубки і є постійною величиною даного приладу. Для визначення необхідно провести дослід з рідиною, поверхневий натяг якої відомий, наприклад, з водою. Тоді, підставивши відповідне значення і в формулу (1), одержимо остаточне значення для визначення поверхневого натягу:

. (2)

Завдання1. Залити в аспіратор воду, а посудину 1 заповнити

дистильованою водою до такого рівня, щоб кінець трубки 5 знаходився від поверхні води на віддалі не більше 0,5 мм.

2. Відкривши кран 6 встановити в системі атмосферний тиск. Рівні рідин в колінах манометра при цьому вирівнюються.

3. Закрити кран 6, відкрити кран аспіратора настільки, щоб зміна тиску відбувалась достатньо повільно і можна було відрахувати висоти рівнів в манометрі в момент відриву бульбашки.

4. Після встановлення певної частоти утворення бульбашок почати відлік по манометру, відмічаючи різницю рівнів в момент відриву кожної бульбашки. Провести не менше 10 відліків і знайти середнє значення різниці рівнів. Виміряти температуру термостата.

5. Розрахувати за формулою (1) коефіцієнт пропорційності – постійну приладу .

6. Аналогічно визначити поверхневий натяг для

70

досліджуваного розчину при різних температурах. Побудувати графік залежності . Визначити для різних концентрацій даного розчину при постійній температурі і побудувати графік залежності від концентрації.

Контрольні запитання1. Яка температура називається критичною?2. Яка формула тиску викривленої поверхні рідини?3. Яка методика визначення поверхневого натягу в даній

роботі?

Лабораторна робота № 2.06. Визначення приросту ентропії при плавленні речовини

ВступЕнтропія є функція стану макросистеми, що

характеризує напрямок протікання самовільних процесів в ізольованій термодинамічній системі. Якщо система переходить з одного стану в інший, то зміна ентропії в результаті такого процесу не залежить від виду процесу, а визначається різницею ентропії системи в кінцевому і початковому станах. Зміна ентропії в системі при нескінченно малій зміні її стану дорівнює:

, (1)

де – ентропія, – термодинамічна температура системи, – кількість теплоти, що надається системі. При кінцевому оборотному переході системи з стану 1 в стан 2 зміна ентропії дорівнює:

. (2)

У випадку ізотермічного процесу . Наприклад, зміна

ентропії при випаровуванні рідини дорівнює скритій теплоті випаровування, поділеній на температуру випаровування. Для довільного кругового оборотного процесу . Всі реальні

71

процеси в ізольованих системах відбуваються таким чином, що ентропія системи зростає. В цьому твердженні міститься зміст другого закону термодинаміки.

Метод вимірюванняВ даній роботі визначають зміну ентропії при

нагріванні і охолодженні олова масою . Кількість теплоти, необхідна для нагрівання олова від початкової температури

до температури плавлення визначається, як відомо, по формулі

, (2)

де – питома теплоємність олова. Кількість теплоти , затрачена на плавлення олова при постійній температурі ,

дорівнює:, (3)

де – питома теплота плавлення олова. Зміна ентропії при нагріванні олова визначається за формулою:

(4)

Після інтегрування одержимо:

(5)

72

Установка (рис. 2.7) складається з тигельної печі (1), термопари (2), мілівольтметра, включеного в коло термопари і тигля з оловом (3), розміщеного в печі. Один з кінців термопари розміщено в тигель з оловом (3), другий знаходиться в посудині з маслом (4) при кімнатній температурі. Температура плавлення олова визначається за показами мілівольтметра.Завдання1. Визначити зважуванням масу олова, розмістити тигель

з оловом у піч і встановити термопару.

2. Включити піч, нагріти і розплавити олово. Визначити температуру плавлення олова та поміряти температуру масла.

3. По формулі (5) визначити приріст ентропії. Визначити похибки.

Контрольні запитання:1. Який фізичний зміст ентропії ?2. В чому полягає зміст другого закону термодинаміки ?3. Які термодинамічні процеси називаються

оборотними ?

Лабораторна робота № 2.07. Визначення питомої теплоємності металів

Метод визначення теплоємності

2

1

3

4

mV

Рис. 2.7

73

Прирівнюючи швидкості охолодження двох нагрітих зразків (швидкості зниження їх температур), можна визначити теплоємність одного з них, якщо відома теплоємність другого. Кількість теплоти , яку віддає металевий зразок масою при зниженні його температури на

, визначається як відомо, за формулою:, (1)

де – питома теплоємність металу. Ця ж кількість теплоти переноситься через площадку поверхні зразка в оточуюче середовище і ії можна визначити за законом теплопровідності Фур’є

, (2)

де – коефіцієнт теплопровідності, – градієнт

температури, тобто зміна температури на одиницю довжини в напрямку нормалі до поверхні зразка. Таким чином

(3)

Записавши це співвідношення для двох зразків з врахуванням

того, що для однакових по розмірах і формі зразків ,

однакові, то

. (4)

Установка (рис. 2.8) складається з електропечі 1 з боковим

1

2

3

Рис. 2.8

74

отвором, в який вставляють зразки 2, виготовлені у вигляді однакових циліндрів. В кожному із зразків є канал, у який вставляють термопару, підключену до гальванометра 3, шкала якого проградуйована в градусах Цельсія.Завдання1. Нагріти мідний (еталонний) зразок до температури

600°С і виключити електропіч.2. В процесі охолодження зразка через кожні 10-15

секунд проводять відлік температури по показах гальванометра. Після охолодження зразка до температури нижче 100°С дослід повторюють ще раз. Аналогічні досліди провести для досліджуваного зразка.

3. Для кожного зразка побудувати графіки залежності температури від часу по середніх значеннях температур.

4. Одержані криві перевести в криві

графічним методом.

5. Користуючись графіками і формулою (4)

визначити питому теплоємність досліджуваних зразків при різних значеннях температури. При цьому з таблиці, приведеної нижче, взяти значення теплоємності міді о області температур від 373 до 673 К

Т, К 373 473 573 673 773 873С, Дж/кг∙К 394 408 422 434 448 456

6. Побудувати графіки залежності питомої теплоємності від температури для всіх досліджуваних зразків.

Додаткові вказівки

1. Для побудови графіка провести на графіку

ряд вертикальних ліній через рівні проміжки . З різниці значень ординат кривої в точках

перетину її вертикальними прямими знайти різниці

75

температур для відповідних інтервалів часу. Відношення цієї різниці температур до інтервалу часу дасть швидкість охолодження металу в даній точці кривої, тобто швидкість охолодження зразка при певній температурі.

2. На основі цих даних побудувати таблицю значень і

та побудувати графіки залежності для всіх

зразків.Контрольні запитання1. В чому полягає суть методу визначення теплоємності

в даній роботі ?2. Який метод побудови кривих залежності швидкості

охолодження зразка від температури ?

Лабораторна робота № 2.08. Визначення температурного коефіцієнта лінійного розширення твердих тіл

ВступТеплове розширення твердих тіл, причиною якого є

збільшення амплітуди теплових коливань атомів при нагріванні твердих тіл, характеризується температурним коефіцієнтом лінійного розширення , який дорівнює

відносному видовженню тіла при його нагріванні на один

Кельвін:

(1)

де – зміна довжини тіла при зміні його температури на величину . Для більшості твердих тіл при невеликих змінах температури незначно залежить від температури.

76

Тому в невеликому інтервалі температур ( ) можна використати середнє значення :

(2)

де – інтервал температур, якому відповідають

довжини тіла і . В даній роботі застосовується метод прямого (безпосереднього) вимірювання видовження за

допомогою оптиметра – приладу високого класу точності.

Опис установкиУстановка (рис. 2.9) складається з оптиметра 1, нагрівника 2, в який поміщено зразок (стержень) 3 і термостат 4, що

1

4

5

6

7

2

3

8

9

10

Рис. 2.9

35

53

52

45

012345678910

Рис. 2.10

77

служить для нагрівання води до певної температури. Вода поступає по з’єднуючих шлангах в нагрівник, в результаті чого стержень нагрівається до цієї температури і видовжується.

Оптиметр складається з масивної основи 5 і вертикальної колонки 6, вздовж якої може переміщатись трубка 7 з оптичним мікроскопом 9. В нижній частині трубки знаходиться виступаючий наконечник вимірювального штифта 8, що дотикається до поверхні зразка. На вимірювальному штифті, що розміщується всередині трубки, закріплена шкала, що переміщається разом зі штифтом в полі зору мікроскопу 9 при видовженні зразка. Відлік визначається (див. рис. 2.10) положенням нуля прямолінійної шкали, розділеної на 10 поділок (ціна поділки 0,1 мм), відносно зображення основної міліметрової шкали (на рис. 2.10 між поділками 53 і 54 мм). Щоб визначити віддаль нуля від штриха 53 мм, обертають гвинт 10 так, щоб найближчий подвійний виток співпадав з цим штрихом, тобто штрих 53 знаходився посередині між лініями найближчого подвійного витка. Десяті долі відраховуються по прямолінійній шкалі. Соті і тисячні – по круговій, видимій у верхній частині поля зору окуляра. Наприклад, на рис. 2.10 відлік дорівнює 53,1374 мм.Завдання1. Визначити штангенциркулем довжину зразка і

помістити його в нагрівник. Відрегулювати положення нагрівника за допомогою гвинтів так, щоб зразок був розташований вертикально вздовж осі вимірювання. Звільнивши затискуючий гвинт трубки 7, перемістити його вниз до дотику наконечника 8 з торцем зразка. Звільнити фіксатор вимірювальної системи. Включити освітлювач відлікового пристрою, відрегулювати різкість зображення, обертаючи окуляр.

2. Включити термостат і встановити потрібну температуру (інструкція по експлуатації термостата додається). Почекати 3-5 хв до встановлення стабільної

78

температури, провести відлік по шкалі оптиметра. Продовжити нагрівання зразка, провести аналогічні відліки не менше п’яти разів через кожні 10 К.

3. Побудувати графік залежності видовження зразка від температури. Визначити коефіцієнт лінійного розширення за формулою:

,

де – тангенс кута нахилу графіка до горизонтальної осі. Використовуючи графік, визначити похибку визначення .

Контрольні запитання1. Який фізичний зміст температурного коефіцієнта

лінійного розширення?2. Як з графіка визначити похибку ?

Лабораторна робота № 2.09. Визначення сталої адіабати методом акустичного резонансу

ВступЗвукова хвиля в газі представляє собою періодично

повторюваний адіабатний процес стискання та розрідження газу. Швидкість поширення звуку в газі дорівнює:

, (1)

де – показник адіабати, – молярна маса газу, –

його термодинамічна температура, – універсальна газова стала. З формули (1) слідує:

. (2)

Вимірявши швидкість звуку в газі, можна за формулою (2) визначити величину . В даній роботі швидкість звуку вимірюється методом акустичного резонансу в стовпі

79

повітря, що знаходиться в трубі (рис. 2.11), один кінець якої закритий поршнем 1, а біля другого кінця розташована мембрана динаміка 2. При коливаннях мембрани по трубі поширюється звукова хвиля, яка інтерферує з хвилею, відбитою від поверхні поршня. Як відомо, швидкість хвилі , частота коливань і довжина хвилі зв’язані співвідношенням:

. (3)В трубі можуть збуджуватися власні коливання з різними частотами ... Якщо частота коливань мембрани співпадає з одною з цих частот, то в трубі встановлюються стоячі хвилі і настає різке підсилення звуку (резонанс). Переміщаючи поршень, можна знайти таке положення, при якому виникає резонанс звуку. При кожному подальшому

переміщенні поршня на віддаль резонанс знову

повторюється. Віддаль між сусідніми положеннями поршня, що відповідають резонансу, дає половину довжини звукової хвилі. Знаючи частоту , можна визначити за формулою (3) швидкість звуку.Опис установки

Поршень 1 переміщається за допомогою штока (3), на якому нанесена шкала (рис 2.11). Коливання мембрани збуджуються звуковим генератором 4. В поршень вмонтований п’єзоелектричний датчик 5, що перетворює механічні коливання в електричні. З датчика напруга подається на вертикальний вхід осцилографа 6. Амплітуда зміщення електронного променя на екрані осцилографа у випадку резонансу досягає найбільшого значення.Завдання:

80

При різних частотах звукових коливань звукового

генератора знайти положення поршня, при якому виникає резонанс. Знайти довжину хвилі, а тоді визначити швидкість звуку і величину . Температуру прийняти рівною кімнатній. Визначити швидкість звуку в повітрі при 0°C. Визначити похибки.

Контрольні запитання1. В чому полягає явище резонансу?2. Що представляє собою стояча хвиля?3. Що таке власна частота коливань?

1

3

4

2

5

6

Рис. 2.11

81

ТАБЛИЦІ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН

Основні фізичні постійніФізична величина Числове значення

Швидкість поширення світла у вакуумі

с=2,99792458 м/с

Прискорення вільного падіння g=9,80665 м/с2

Гравітаційна стала G=6,672·10-11 м3/кг с2

Cтала Авогадро NA=6,022045·1023 моль-1

Стала Больцмана k=1,380662·10-23 Дж/КУніверсальна газова постійна R=8,31 Дж/моль·К

Елементарний заряд (заряд електрона)

e=1,6021892·10-19 Кл

Маса спокою електрона me=9,10534·10-31 кгМаса спокою протона mp=1,67226485·10-27 кгМаса спокою нейтрона mn=1,6749543·10-27 кг

Стала Планка h=6,626176·10-34 Дж·сЕлектрична стала ε0=8,85418782·10-12 Ф/м

Магнітна стала μ0=1,25663706·10-6 Гн/мНормальний тиск атмосфери P0=101325 Па

Атомна одиниця маси а. о. м.=1,661·10-27 кг

Густина твердих речовинРечовина ρ,×103 кг/м3 Речовина ρ,×103 кг/м3

Алмаз 3,5 Нікелін 8,8Алюміній 2,7 Нікель 8,8Антрацит 1,5 Олово 7,3

Береза (суха) 0,7 Парафін 0,9Вольфрам 19,0 Платина 21,5

Графіт 2,1-2,6 Корок 0,2Залізо 7,8 Свинець 11,3Золото 19,3 Срібло 10,5Цегла 1,8 Сталь 7,9

Латунь 8,5 Скло 2,5Лід 0,9 Цинк 7,1

Мідь 8,9 Чавун 7,0Мармур 2,7 Ебоніт 1,8

82

Густина рідинРечовина ρ,×103 кг/м3 Речовина ρ,×103 кг/м3

Бензин 0,7 Молоко 1,03Вода (4°С) 1,00 Ртуть (0°С) 13,6

Вода морська 1,03 Скипидар 0,87Гліцерин 1,26 Спирт 0,80

Гас 0,80 Ефір 0,72

Густина газівРечовина ρ, кг/м3 Речовина ρ, кг/м3

Азот 1,25 Кисень 1,43Повітря 1,29 Неон 0,90Водень 0,09 Вуглекислий

газ1,98

Гелій 0,18 Хлор 3,21

Коефіцієнт лінійного розширення деяких матеріалівРечовина α, 1/К Речовина α, 1/КАлюміній 7,15·10-5 Платина 2,7·10-5

Латунь 5,7·10-5 Срібло 5,9·10-5

Лід 1,53·10-4 Сталь 3,18·10-5

Мідь 5·10-5 Ртуть 1,81·10-4

Нікель 3,85·10-5 Вода 1,80·10-4

Теплові властивості речовин

РечовинаПитома

теплоємністьС, ×103Дж/кг К

Температура плавлення, °С

Питома теплота

плавлення С, ×103Дж/кг

Алюміній 0,88 660 380Лід 2,1 0 330

Мідь 0,38 1083 180Олово 0,23 232 59

Свинець 0,13 327 25Срібло 0,23 960 87Сталь 0,46 1400 82

83

Множники та префікси утворення десятковихкратних одиниць та їх назв

Множник ПрефіксПозначення

префікса1018 екса Е1015 пета П1012 тера Т109 гіга Г106 мега М103 кіло к102 гекто г10–1 деци д10–2 санти с10–3 мілі м10–6 мікро мк10–9 нано н10–12 піко п10–15 фемто ф10–18 атто а

84

ЛІТЕРАТУРА

1. Яворський В.М. та інші. Курс фізики. - К.: Вища школа, 1973. Т.1-3.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1989. Т.1-3.

3. Трофимова Т.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1990.

4. Хомечко І.І. Конспект лекцій з механіки та молекулярної фізики. - Л.: УПІ, 1993.

5. Вайданич В.І., Пенцак Г.М. Фізика. Навчальний посібник для студентів технологічних спеціальностей ВНЗ. Львів. Національний лісотехнічний університет України, 2005.

6. Волькенштейн В.С. Сборник вопросов и задач по общей физике. - М.: Наука, 1985.

7. Чертов А.г. Задачник по физике - М.: Высшая школа, 1981.

8. Фуртак С.П. Методичні вказівки та завдання до практичних занять і самостійної роботи з фізики. Ч.І. Фізичні основи механіки. - УПІ, 1994Ч.2. Основи молекулярної фізики та термодинаміки., УПІ, 1994.Ч.4. Коливання та хвилі., УАД, 1995.

9. Хомечко І.І. Методичні вказівки до розв”язування задач з фізики поліграфічного змісту для студентів 1 курсу інженерних спеціальностей (розділ “Механіка”). - УПІ, 1991.

10. Кульчицький А.Д. Стахіра В.М. Механіка та молекулярна фізика Лабораторний практикум. – УАД, 2004.

11. Загальний курс фізики. - /За редакцією проф. І. М. Кучерика. У трьох томах. – К.: Техніка, 1999.

12. Загальні основи фізики: у двох книгах. Навч. посібник. / Богацька І.Г., Головко Д.Б., Маляренко А.А.,

85

Ментковський Ю.Л.; За ред. Головка Д.Б., Ментковського А.А. – К.: Либідь, 1998.

13. Яворский В.М., Пинский А.А. Основы физики. – М.: Наука, 1981. – Т.1-2.

14. Яворский В.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1988.

15. Фізичний практикум /За загальною ред. проф.. В.П. Дущенко. – К.: Вища школа, 1984.

16. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. Электричество и магнетизм. Оптика. Атомная физика. – М.: Высш. шк., 1981-1989.

17. Гаркуша І.П., Курінний В.П. Певзнер М.Ш. Збірник задач з фізики – К. :1995

18. Гаркуша І.П. Загальний курс фізики. Збірник задач - К.:2004

19. Лопатинський І.Є. Задачі з фізики.-Львівська політехніка. 2001

20. Кульчицький А.Д. Фізика. Завдання та методичні вказівки до контрольної роботи. Частина І. - УАД 2005

21. Кульчицький А.Д. Фізика. Завдання та методичні вказівки до контрольної роботи. Частина ІІ. - УАД 2006

86