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Droite Parabole Hyperbole
Formalisation pour les sciences sociales et politiques
Fonctions I
Matteo [email protected]
Université libre de Bruxelles
SOCA-D173 2016-2017, Leçon 7
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 1 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Plan de la leçon
I Petite histoire du nombre : écritureI DroiteI Systèmes d’équationsI ParaboleI Équations du second degréI Racine carréeI Hyperbole
Syllabus : Ch. 6
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 2 / 32
Droite Parabole Hyperbole
D’abord, ça sert a quoi ?
DroiteLa droite est le modèle le plus utilisé, en sciences sociales tout comme dansdes autres champs.Voir régression linéaire, STAT-D103.
ParaboleMoins utilisé comme modèle, la parabole est fondamentale dansl’estimation des paramètres d’une régression.Voir méthode des moindres carrés, STAT-D103.
HyperbolePour comprendre la signification de «inversement proportionnel».
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 3 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Petite histoire du nombre : écritureaccounting in proto-cuneiform
archives from Uruk consist above all of administrative documents, accompanied by a group of texts generally known as lexical lists, although there is good reason to assert that we have among these lists the earliest known example of literature (Englund and Nissen 1993 : 25–29) . It should be remembered that the numbers generally cited in this connection, 85 administrative and 15 lexical texts, represent averages; less than 1 of the earliest, the Uruk IV tablets, are of the lexical genre, while close to 20 of the follow-ing Uruk III tablets belong to this type of document. Whereas Uruk IV documents known to us derive without apparent exception from Uruk, those of the Uruk III (also called Jemdet Nasr) period come from a number of Babylonian sites, including Jemdet Nasr, Kiš, Uqair, Larsa, from transtigridian Tell Asmar, and, as post-Kuwait excavations streaming through London have shown, from Umma and from Adab. We should include here too the c . 1500 tablets and fragments of the so-called proto-Elamite phase in Susiana and regions to the east.
plaintokens
complextokens
3000 B.C.
3300 B.C.
3500 B.C.
8500 B.C.
numericaltablets
ideographictablets
bullae
figure 2.2 Denise Schmandt-Besserat’s schema of the history of writing. (Based on Schmandt-Besserat 1992; 1996)
I Denise Schmandt–Besserat, 2015, FromAccounting to Writing
I Robert K. Englund, 2011, Accounting inProto-Cuneiform, in The Oxford Handbook of
Cuneiform Culture.5ORI-AX, 5ORI 935 RADN
I Denise Schmandt–Besserat, 1996, How Writing
Came About. 6NIV 411 SCHM
Jarmo, Iraq, 6500 av. J.-C.
Uruk, Iraq, ca. 3300 av. J.-C.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 4 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Petite histoire du nombre : écritureaccounting in proto-cuneiform
archives from Uruk consist above all of administrative documents, accompanied by a group of texts generally known as lexical lists, although there is good reason to assert that we have among these lists the earliest known example of literature (Englund and Nissen 1993 : 25–29) . It should be remembered that the numbers generally cited in this connection, 85 administrative and 15 lexical texts, represent averages; less than 1 of the earliest, the Uruk IV tablets, are of the lexical genre, while close to 20 of the follow-ing Uruk III tablets belong to this type of document. Whereas Uruk IV documents known to us derive without apparent exception from Uruk, those of the Uruk III (also called Jemdet Nasr) period come from a number of Babylonian sites, including Jemdet Nasr, Kiš, Uqair, Larsa, from transtigridian Tell Asmar, and, as post-Kuwait excavations streaming through London have shown, from Umma and from Adab. We should include here too the c . 1500 tablets and fragments of the so-called proto-Elamite phase in Susiana and regions to the east.
plaintokens
complextokens
3000 B.C.
3300 B.C.
3500 B.C.
8500 B.C.
numericaltablets
ideographictablets
bullae
figure 2.2 Denise Schmandt-Besserat’s schema of the history of writing. (Based on Schmandt-Besserat 1992; 1996)
I David Graeber, 2011, Debt : the first 5000 years
en : 5NIV 336.34 GRAEfr : 5NIV 332.49 GRAE.
Suse, Iran, 3300 av. J.-C.
Godin Tepe, Iran, 3200 av. J.-C.
Uruk, Iraq, 3100 av. J.-C.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 4 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Un simple exemple de données quantitatives :poids vs taille
Taille [cm] Poids [kg]
152.6 76.9
156.3 76.5
161.5 92.1
162 94.4
164.7 95
. . . . . .
I On a noté la taille (en cm) et lepoids (en kg) d’un grouped’individus
I Chaque ligne du tableaucorrespond à un individu
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Droite Parabole Hyperbole
Représentation géométrique des données sur leplan cartésien
Chaque ligne de notre tableau peutêtre représentée par un point du plan
cartésien.Comment ces points vont-ils sedisposer sur le plan ?Exemple :
I abscisses : tailleI ordonnées : poids
0 x
y
Taille [cm]
Poids[kg]
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Droite Parabole Hyperbole
Visualisation des données
Taille [cm] Poids [kg]
152.6 76.9
156.3 76.5
161.5 92.1
162 94.4
164.7 95
. . . . . .
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 7 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Modélisation des données
I On peut considérer un ensemblede données comme décrivant unerelation entre plusieurs quantités(deux dans cet exemple)
I Le défi de la modélisation est degénéraliser la relation observée
I Un modèle définit une relationentre les variables observées, parexemple une fonction y = f (x)
Taille [cm]
Poids [kg]
167
182
145
155160
178
142
149176
191
45 66
5895
87
82
70
53
76 62
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 8 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Un modèle constant
Quel est le modèle le plus simplequ’on arrive à imaginer ?On pourrait imaginer que tout lemonde a le même poids : y = 50kg ,ou y = 90kg , ou . . .On peut décrire tous ces modèlesdifférents avec une seule équationparamétrique
y = b
où b est une constante.
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Droite Parabole Hyperbole
Un modèle linéaire
On peut maintenant imaginer, enétant un peu plus réalistes, que les« plus grands » soient aussi les« plus lourds ».Par simplicité, considérons le modèlesuivant : pour chaque cm de hauteur,on gagne 1 kg, indépendamment de
la taille.
Ou bien 0.5, ou 2 . . .
0 x
y
∆x
∆y
1
1
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Droite Parabole Hyperbole
Un modèle linéaire
En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.
Ou bien 0.5, ou 2 . . .
0 x
y
∆x
∆y
1
1
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 10 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Un modèle linéaire
En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.Ou bien 0.5,
ou 2 . . .
0 x
y
1
1
∆x
∆y
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 10 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Un modèle linéaire
En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.Ou bien 0.5, ou 2 . . .
0 x
y
1
1∆y
∆x
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 10 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Équation d’une droite
On connaît déjà l’équation paramétrique de la famille des droiteshorizontales, y = b.On peut facilement dériver une équation paramétrique pour notre deuxièmehypothèse : rapport poids taille constant, donc
y
x= a
où a désigne une constante. Si on multiplie chaque coté de l’équivalencepar x , on obtient tout simplement :
y = ax
qui représente une croissance linéaire de y par rapport à x
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 11 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Équation d’une droite
En somme on peut décrire :
I toute droite horizontale : y = b
I toute droite passant par l’origine (verticale exclue) : y = ax
Si l’on commence notre croissance à partir d’une valeur y = f (0) = b, onobtient l’équation de toutes les droites sur le plan (verticale exclue).
y = ax + b
où :
I a est le coefficient directeur, ou plus simplement la pente
I b est le coefficient à l’origine
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Droite Parabole Hyperbole
Dessiner une droitePour dessiner une droite
y = ax + b
il suffit de trouver deux points qui luiappartiennent. Si on choisit f (0) = b
et f (1) = a + b, on peut aussi voirgraphiquement les deux paramètres :
I la droite passe par (0, b) et(1, a + b)
I b est la valeur de y àl’intersection avec le repèrevertical
I a est l’incrément de la valeur dey correspondant à un incrémentd’une unité de x .
0 x
y
1
1 b
a
Voir le graphique interactif.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 13 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Paramètres vs variablesDans l’équation :
y = ax + b
x , y , a et b sont tous des symboles, mais avec des significations biendistinctes.On appelle a et b des paramètres : à chaque valeur de (a, b) correspondune équation différente, et une droite différente.Par contre, x et y sont des variables : y est une variable dépendante, carce qu’on veut dire avec l’équation est que « y est une fonction de x », quiest la variable indépendante :
y = f (x) = ax + b
Comment peut-on distinguer une constante d’une variable ?En lisant bien le texte qui accompagne l’équation !
Par convention, on utilise a, b, c, . . . , pour des constantes ou desparamètres ; x , y , z pour des variables ou inconnues.
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Droite Parabole Hyperbole
Réciproque d’une droiteChaque droite y = ax + b aveca ̸= 0, est une application bijective,ayant donc une réciproque qui estaussi une application bijective.On peut trouver son équation defaçon algébrique, en exprimant xcomme fonction de y :
y = ax + b
y − b = ax
y − b
a= x
donc la réciproque est
y =1ax − b
a
0 x
y
1
1 b
a
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 15 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Réciproque d’une droiteChaque droite y = ax + b aveca ̸= 0, est une application bijective,ayant donc une réciproque qui estaussi une application bijective.On peut trouver son équation defaçon algébrique, en exprimant xcomme fonction de y :
y = ax + b
y − b = ax
y − b
a= x
donc la réciproque est
y =1ax − b
a
0 x
y
1
1 b
a
−ba
1a
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Droite Parabole Hyperbole
Équations et racines
Une fonction représente un ensemblede points :
f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}0 1
1
x
y
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 16 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Équations et racines
Une fonction représente un ensemblede points :
f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}
Résoudre l’équation f (x) = 0, c’esttrouver le x de l’intersection de lareprésentation de l’équation avecl’axe des abscisses.
0 1
1
x
y
y = f (x) = −0.5x + 0.5
f (x) = 0
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 16 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Équations et racines
Une fonction représente un ensemblede points :
f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}
{(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x+0.5}∩{(x , y) ∈ R2 | y = 0}
{(x , y) ∈ R2 | (y = −0.5x+0.5)∧(y = 0)}
0 1
1
x
y
y = f (x) = −0.5x + 0.5
f (x) = 0
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 16 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Équations et racines
Une fonction représente un ensemblede points :
f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}
{(x , y) ∈ R2 | (−0.5x+0.5 = 0)∧(y = 0)}
{(x , y) ∈ R2 | (x = 1) ∧ (y = 0)}
{(1, 0)}
0 1
1
x
y
y = f (x) = −0.5x + 0.5
f (x) = 0
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 16 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Systèmes d’équationsPlus en général, résoudre un système d’équation c’est trouver l’intersectiondes ensembles représentés par ces équations. Par exemple :⎧⎨⎩ y = −0.5x + 0.5
y = 2x − 1
La grande accolade signifie que on cherche les valeurs de x et y qui vérifientles deux équations au même temps. L’ensemble des solutions est donc :
{(x , y) ∈ R2 | (y = −0.5x + 0.5) ∧ (y = 2x − 1)}
{(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5} ∩ {(x , y) ∈ R2 | y = 2x − 1}
{(35,15
)}
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 17 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Inéquations
L’ensemble des solutions d’uneinéquation à deux variablescorrespond à une région du plan,donc encore un ensemble de points :
A = {(x , y) ∈ R2 | y < −0.5x + 0.5}
Dans le cas d’une inéquation linéaire,la frontière de cette région est unedroite, partageant le plan en deuxdemi-plans.La droite est inclue dans l’ensembledes solutions si l’inégalité est faible.
0 1
1
x
y
y = f (x) = −0.5x + 0.5
y < −0.5x + 0.5
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 18 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Examen juin 2015On a des pommes dans deux paniers.
I Si on déplace 2 pommes du panier de gauche (y) à celui de droite (x),on aura le même nombre de pommes dans les deux paniers.
I Si on déplace 1 pomme du panier de droite (x) à celui de gauche (y),le panier de gauche contiendra 4 fois les pommes du panier de droite.
Combien de pommes il y a-t-il dans chaque panier ?
3.1 Écrire les équations correspondantes aux conditions ci-dessus [1 pt].
3.2 Résoudre le système d’équations et vérifier la solution analytiquement.Justifier la réponse en explicitant les calculs [2 pt].
3.3 Vérifier la solution graphiquement, à l’aide d’un plan cartésien [2 pt].
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 19 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Examen juin 2015On a des pommes dans deux paniers.
I Si on déplace 2 pommes du panier de gauche (y) à celui de droite (x),on aura le même nombre de pommes dans les deux paniers.
I Si on déplace 1 pomme du panier de droite (x) à celui de gauche (y),le panier de gauche contiendra 4 fois les pommes du panier de droite.
Combien de pommes il y a-t-il dans chaque panier ?
Changement Panier de gauche Panier de droite Équation
Situation de départ y x
2 pommes gauche → droite y - 2 x + 2 y - 2 = x+2
1 pomme droite → gauche y + 1 x - 1 y + 1 = 4(x-1)
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 19 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Examen juin 2015On a des pommes dans deux paniers.
I Si on déplace 2 pommes du panier de gauche (y) à celui de droite (x),on aura le même nombre de pommes dans les deux paniers.
I Si on déplace 1 pomme du panier de droite (x) à celui de gauche (y),le panier de gauche contiendra 4 fois les pommes du panier de droite.
Combien de pommes il y a-t-il dans chaque panier ?
⎧⎨⎩ y − 2 = x + 2
y + 1 = 4(x − 1)
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 19 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Pour dessiner : mettre les deux droites en forme y = ax + b
⎧⎨⎩ y − 2 = x + 2
y + 1 = 4(x − 1)
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 20 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Pour dessiner : mettre les deux droites en forme y = ax + b
⎧⎨⎩ y = x + 4
y = 4x − 5
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 20 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Parabole
La fonction paramétrique
y = ax2 + bx + c
définit une fonction polynôme du second degré.Graphiquement, cette fonction est représentée par une parabole.
En général, on écrit une fonction polynôme du n-ème degré ainsi :
y =n∑︁
i=0
aixi = anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 21 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Dessiner une parabole
Une parabole présente une symétrie par rapport à l’axe vertical x = − b2a ,
ce qui rend la correspondance entre paramètres et graphique plus complexeque dans le cas de la droite (l’axe change en changeant a ou b).
∀𝛼 ∈ R f (− b
2a− 𝛼) = f (− b
2a+ 𝛼)
Dessiner une parabole ce n’est pas simple ! Avec un peu d’expérience, onpeut la dessiner à partir du sommet et de deux autres points.On peut quand même examiner l’impact des variations des troisparamètres, un à la fois.Voir le graphique interactif.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 22 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Parabole : variation de a
En gardant b = c = 0, on peut voir que a contrôle la courbure de laparabole : plus a est grand, plus la courbure est évidente.
I pour a = 1 on obtient la courbede la fonction carrée y = x2
I si on augmente a on dilate lacourbe en direction verticale
I si on diminue a en gardant a > 0on comprime la courbe
I pour a < 0 la courbature estvers le bas
I pour a = 0 on obtient une droite(sans courbure)
0 1
1
x
y y = x2
y = 0.5x2y = 2x2
En pratique, a dilate la courbe en vertical.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 23 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Parabole : variation de b
En gardant c = 0, a > 0 constante (ex. a = 1), et en changeant b, onchange l’axe et la hauteur de la parabole.Vu l’axe vertical x = − b
2a :I pour b > 0 la courbe va vers la
gaucheI pour b = 0 la courbe est
symétrique par rapport à l’axedes ordonnées (x = 0)
I pour b < 0 la courbe va vers ladroite
I pour a < 0 constante (ex.a = −1), on inverse le sens(b > 0 vers la droite).
0 1
1
x
y
y = x2
y = x2 − x
y = x2 + x
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 24 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Parabole : variation de c
Tout comme pour la droite, c est l’ordonnée de l’intersection de la courbeavec l’axe des ordonnées. En changeant c , on déplace la courbe endirection verticale, sans changer sa forme (on opère une translation endirection verticale).
I en augmentant c on déplace la courbe vers le hautI en diminuant c on déplace la courbe vers le bas
De même pour toute fonction qu’on peut représenter sous la forme :
f (x) = g(x) + c .
L’intersection avec les ordonnées sera le point (0, g(0) + c).Pour un polynôme de degré n :
f (x) =n∑︁
i=0
aixi
on a g(0) = 0, et c = a0.Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 25 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Racines d’une parabole
L’existence et le nombre de racines d’une parabole, donc les valeurs de x
telles que
ax2 + bx + c = 0,
dépendent de la valeur du discriminant ∆ = b2 − 4ac (donc des troisparamètres).
I pour ∆ < 0 il n’y a pas de racinesI pour ∆ = 0 il y a une racine correspondant à l’axe vertical x = − b
2a
I pour ∆ > 0 il y a deux racines symétriques par rapport à l’axe vertical,x1 = −b−
√Δ
2a et x2 = −b+√Δ
2a
Le sommet est le point :
(− b
2a,− ∆
4a)
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 26 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Racine carrée
I On ne peut pas définirl’application réciproque de lafonction carrée y = x2, car ellen’est pas injective !
I On doit d’abord en faire uneapplication bijective : il suffit dela redéfinir comme fonctionf+ : R+ → R+, oùR+ = [0; +∞[ est l’ensembledes réels positifs.
I La fonction inverseg : R+ → R+ est la racine
carrée g(x) =√x .
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 27 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Racine carrée
I On ne peut pas définirl’application réciproque de lafonction carrée y = x2, car ellen’est pas injective !
I On doit d’abord en faire uneapplication bijective : il suffit dela redéfinir comme fonctionf+ : R+ → R+, oùR+ = [0; +∞[ est l’ensembledes réels positifs.
I La fonction inverseg : R+ → R+ est la racine
carrée g(x) =√x .
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 27 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Racine carrée
I On ne peut pas définirl’application réciproque de lafonction carrée y = x2, car ellen’est pas injective !
I On doit d’abord en faire uneapplication bijective : il suffit dela redéfinir comme fonctionf+ : R+ → R+, oùR+ = [0; +∞[ est l’ensembledes réels positifs.
I La fonction inverseg : R+ → R+ est la racine
carrée g(x) =√x .
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 27 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Exercice
Jeanne et sa mère sont tous les deux nées un 4 mars. Il y a 19 ans, la mèrede Jeanne avait, en années entières, le carré de l’âge de sa fille. Il y a 15ans, la mère de Jeanne avait, en années entières, quatre fois l’âge de safille. Calculez l’année de naissance de Jeanne et celle de sa mère.
Rappel : pour
ax2 + bx + c = 0,
les racines dépendent de la valeur du discriminant ∆ = b2 − 4ac .
I pour ∆ < 0 il n’y a pas de racinesI pour ∆ = 0 il y a une racine correspondant à l’axe vertical x = − b
2a
I pour ∆ > 0 il y a deux racines symétriques par rapport à l’axe vertical,x1 = −b−
√Δ
2a et x2 = −b+√Δ
2a
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 28 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Hyperbole et inverse
Si l’on divise une constante a par x on obtient une fonction qui correspondà une hyperbole sur le plan :
y = f (x) =a
x= ax−1.
On dit dans ce cas que y estinversement proportionnelle à x .Pour tout a ̸= 0, f est :
I définie en R0 = R− {0},I bijective sur R0
Pour a = 1, f (x) = 1x = x−1 s’appelle fonction inverse, et son application
réciproque est égale à elle-même.Voir le graphique interactif.
Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 31 / 32
Droite Parabole Hyperbole
Conclusion
À retenir
I Droite et son inverseI Systèmes d’équationsI Parabole : paramètres, racinesI Racine carréeI Hyperbole
Syllabus : Ch 6.
Prochainement
I Propriétés des exposantsI ExponentielleI Logarithme (propriétés)I Composition de fonctionsI Dérivée, intégrale, étude de fonctions, . . .
Syllabus : Ch. 6, 7.Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 32 / 32