Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
1 Forme liniare
2 Forme biliniare
3 Forme pătratice realeForma canonicăNatura unei forme pătratice
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Funcţională liniară
Fie V un spaţiu liniare peste Γ, unde Γ = R sau Γ = C.
Definiţie
Se numeşte funcţională liniară o funcţie f : V → Γ caresatisface
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.
Notăm V ′ = {f : V → Γ, f funcţională liniară}. V ′ se numeştedualul lui V .
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Formă liniară
Definiţie
Dacă V este un spaţiu liniar finit dimensional, atunci ofuncţională liniară se numeşte formă liniară.
Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o bază în V . Pentru orice u ∈ V are
loc u =n∑
i=1
xiei .
Dacă f este o formă liniară atunci
f (u) = f (n∑
i=1
xiei) =n∑
i=1
xi f (ei).
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Coeficienţii formei liniare
Definiţie
Scalariiai = f (ei) (1)
se numesc coeficienţii formei liniare în baza B.
Matricea a =(
a1 a2 · · · an)∈M1,n se numeşte matricea
formei liniare în baza B.Relaţia f (u) = α, α ∈ Γ este echivalentă cu
(a1 a2 · · · an
)·
x1x2· · ·xn
= α.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Schimabrea matricei la o schimbare de bază
Fie B = {e1,e2, · · · ,en} şi B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} două baze înV .
TeoremăDacă a′i sunt coeficienţii lui f în baza B′, atunci are loc
a′ = a · C. (2)
Demonstraţie. Are loc
e′i =n∑
j=1
cjiej .
Coeficienţii a′i sunt
a′i = f (e′i ) =
n∑j=1
cji f (ej) =n∑
j=1
cjiaj .
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forme biliniare reale
Fie V spaţiu liniar peste R.
Definiţie
Funcţionala f : V × V → R se numeşte funcţională biliniarădacă satisface:1. f (αu + α′u′, v) = αf (u, v) + α′f (u′, v)2. f (u, βv + β′v ′) = βf (u, v) + β′f (u, v ′)∀α, α′, β, β′ ∈ R, u,u′, v , v ′ ∈ V.
Definiţie
Dacă V este finit dimensional, o funcţională biliniară senumeşte formă biliniară.
Definiţie
f se numeşte simetrică dacă f (u, v) = f (v ,u), ∀u, v ∈ V.Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Expresia generală a unei forme biliniare
Fie B = {e1,e2, · · · ,en} o bază în V şi u, v ∈ V . Au loc
u =n∑
i=1
xiei , v =n∑
j=1
yjej .
Aplicăm f peste vectorii bazei şi obţinem
f (u, v) =n∑
i=1
n∑j=1
xiyj f (ei ,ej) (3)
Notămaij = f (ei ,ej). (4)
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Matricea formei biliniare într-o bază
Definiţie
Matricea A = (aij) se numeşte matricea formei biliniare în bazaB.
Relaţia (3) poate fi scrisă sub forma
f (u, v) =(
x1 x2 · · · xn)· A ·
y1y2· · ·yn
.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Schimbarea matricei unei forme bilinare
TeoremăFie B = {e1,e2, · · · ,en} şi B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} două baze înV . Fie f : V × V → R o formă biliniară, care are matricea A înbaza B şi matricea A′ în baza B′. Fie C matricea de schimbarede bază. Are loc
A′ = Ct · A · C. (5)
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Demonstraţie
Vectorii din B′ se exprimă prin
e′i =n∑
j=1
cjiej .
Atunci
a′ij = f (e′i ,e′j ) = f (
n∑k=1
ckiek ,n∑
l=1
cljel) =
n∑k=1
ckin∑
l=1
clj f (ek ,el) =n∑
k=1
ckin∑
l=1
cljakl =
=n∑
k=1
ckin∑
l=1
aklclj
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Formă biliniară simetrică
TeoremăFie f : V × V → R o formă biliniară, care are matricea A înbaza B. Atunci f este simetrică dacă şi numai dacă A = At .
Demonstraţie. Fie u, v ∈ V . Au loc
u =n∑
i=1
xiei , v =n∑
j=1
yjej .
Afirmaţia rezultă dacă ţinem cont de
f (u, v) =n∑
i=1
xin∑
j=1
yjaij şi f (v ,u) =n∑
j=1
yjn∑
i=1
xiaji .
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Forme pătratice reale
Fie V un spaţiu liniar peste R, cu dim(V ) = n.
Definiţie
Funcţia h : V → R se numeşte formă liniară dacă există oformă biliniară simetrică f : V × V → R astfel ca
h(u) = f (u,u). (6)
Fie B = {e1,e2, · · · ,en} în V şi u =n∑
i=1
xiei .
Are loc dacă folosim (4)
h(u) = f (u,u) = f (n∑
i=1
xiei ,n∑
j=1
xjej) =n∑
i=1
xin∑
j=1
xjaij .
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Matricea formei pătratice
DefiniţieMatricea
A = (aij), i , j = 1, · · · ,n, (7)
se numeşte matricea formei pătratice în baza B.
Forma biliniară se scrie sub formă matriceală
h(x) =(
x1 x2 · · · xn)· A ·
x1x2· · ·xn
. (8)
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Rangul unei forme pătratice
Definiţie
Dacă h este o formă pătratică, atunci forma biliniară asociată(polară) este prin definiţie
f (u, v) =12
(h(u + v)− h(u)− h(v). (9)
Definiţie
Numim rang al formei pătratice rangul matricei A.Dacă rang(A) = n, forma pătratică se numeşte nedegenerată.Dacă rang(A) < n, forma pătratică se numeşte degenerată.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Forma canonica
Definiţie
Spunem că forma pătratică are forma canonică dacă există obază B′ = {e′1, · · · ,e′n} în care forma pătratică are expresia
h(u) =n∑
i=1
ki(x ′i )2 unde u =
n∑i=1
x ′i e′i . (10)
Forma Lorentz
h(u) = x21 + x22 + x
23 − c2x24 ,
unde c este viteza luminii.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Metoda Iacobi
Fie A o matrice pătratică. Prin minor principal înţelegem undeterminant, a cărui diagonală conţine numai elemente dindiagonala principală a matricei.
TeoremăFie h : V → R o formă pătratică cu matricea A. Presupunem cătoţi minorii principali ∆i , i = 1, · · · ,n satisfac∆i 6= 0,∀i = 1, · · · ,n. Atunci există o bază în care formacanonică este
h(u) =∆0∆1
(x ′1)2 +
∆1∆2
(x ′2)2 + · · ·+ ∆n−1
∆n(x ′n)
2. (11)
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Metoda Gauss
TeoremăFie h : V → R o formă pătratică. Există o bază în care h areforma canonică.
Metoda constă în transformarea matricei A a formei pătratice,până când aceasta are numai 0 sub diagonala principală.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Legea inerţiei
TeoremăFie h : V → R o formă pătratică. Pentru orice bază în care hare formă canonică numărul coeficienţilor pozitivi, negativi saunuli este acelaşi.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Pozitiva definire
Definiţie
Spunem că forma pătratică h : V → R este pozitiv definită dacăpentru orice u 6= 0V are loc h(u) > 0.
TeoremăO formă pătratică h : V → R este pozitiv definită dacă şi numaidacă ∆i > 0, ∀i = 1, · · · ,n.
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Definiţie
Spunem că forma pătratică h : V → R este pozitiv semi-definitădacă pentru orice u ∈ V are loc h(u) ≥ 0.
Definiţie
Spunem că forma pătratică h : V → R este nedefinită dacăexistă u,u′ ∈ V ,u 6= u′ astfel ca h(u) < 0 şi h(u′) > 0
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniare
Forme pătratice reale
Forma canonicăNatura unei forme pătratice
Forme liniare, biliniare, pătratice
Forme liniareForme biliniareForme patratice realeForma canonicaNatura unei forme patratice