Formelsammlung elektrische Antriebe - HsH · PDF fileCarsten Frager Formelsammlung elektrische Antriebe ... Laufer¨ R 2 drehender Teil der Maschine Anker a Maschinenteil, in dem die

Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager Formelsammlung elektrische Antriebe

Formelsammlung elektrische Antriebe• Gleichstrommaschine

•Wechselstromreihenschlussmaschine• Synchronmaschine • Asynchronmaschine• Antriebsauslegung • Kinematik• Gleich- und Wechselstromtechnik

• Mathematik

Hochschule HannoverProf. Dr.-Ing. Carsten Frager

Version 2017-01-05a

1 Ubersicht

Dieses Dokument enthalt eine Sammlung von Gleichungen fur elektrische Maschinen undAntriebe. Mit den Gleichungen ist eine Bearbeitung vieler praktischer Fragestellungen zurAnwendung elektrischer Antriebe moglich. Sie stellen eine Hilfe zur Losung der schriftlichenPrufungen im Fach elektrische Antriebe dar.

Wichtiger Hinweis

Diese Formelsammlung wurde mit großter Sorgfalt erstellt und gepruft. Trotzdem sind Fehlerin den Gleichungen, Grafiken und Erlauterungen nicht ausgeschlossen. Eine Gewahrleistungfur die Richtigkeit kann nicht ubernommen werden.

2017-01-05a Seite 1 von 136

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Ubersicht 1

2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen und Antrieben 72.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Bemessungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Wirkungsgradklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten fur mittlere Bemes-sungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Gleichstrommaschine 123.1 Arten von Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Ankerwindungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen und magnetischen Großen . 153.5 Magnetischer Fluss und Erregerstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgroßen oder anderen Betrieb-

spunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7 Berechnung der induzierten Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.8 Betriebskennlinie Permanentmagnet erregte Gleichstrommaschine . . . . . . . 183.9 Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . 183.10 Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine . . . . . . . . . . . . . . 193.11 Leistungen und Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.12 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.13 Drehzahlstellen Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Wechselstromreihenschlussmaschine (Universalmotor) 23

5 Synchronmaschine 265.1 Arten von Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz . . . . . . . . . 305.5 Polradspannung, induzierte Spannung aus dem Rotormagnetfeld . . . . . . . . 315.6 Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdaten oder anderem Be-

triebspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7 Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom . . . . . . . . . . 325.8 Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz . . . . . . . . . . 33

5.8.1 Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesattigter Synchron-maschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz . . . . . . 34

2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule Hannover Seite 2 von 136

Inhaltsverzeichnis

5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am Frequenzumrichter mit varia-bler Frequenz oder Netz mit abweichender Frequenz . . . . . . . . . . . . . . 345.9.1 Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase . . . . . . . . . . . . 355.9.2 Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung

und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.10 Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.11 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.12 Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.13 Komplexe Spannungsgleichungen Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . 38

5.13.1 Bezugsgroße Spannung fur komplexe Gleichungen . . . . . . . . . . . 395.13.2 Vorgabe Statorstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.13.3 Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom . . . . . . . . . . 40

5.14 Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . 405.15 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.16 V-Kurve Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.17 Komplexe Spannungsgleichungen Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . . 455.18 Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.19 Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.20 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . . 49

6 Asynchronmaschine 516.1 Arten Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Drehzahl, synchrone Drehzahl, Polpaarzahl, Schlupf . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Bemessungsbetrieb am starren Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.5 Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung . . . . . . . . . 566.6 Rotorfrequenz, Schlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.7 Synchrondrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.8 Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.9 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung fur vernachlassigbaren Sta-

torwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.10 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung fur nicht vernachlassigba-

ren Statorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.11 Abhangigkeit der Drehmomente von der Spannung . . . . . . . . . . . . . . . 606.12 Strom und Drehmoment aus Bemessungsgroßen bei kleinem Schlupf . . . . . . 606.13 Leistungen und Verlustleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.14 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.15 Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variabler Spannung und Fre-

quenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.16 Komplexe Spannungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.16.1 Festlegung Bezugsgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.17 Stromortskurve der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.17.1 Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . 66


Inhaltsverzeichnis

6.17.2 Parametergerade (Schlupfgerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.17.3 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbil-

delementen aus 3 Betriebspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.17.4 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbil-

delementen aus Mittelpunkt und Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.17.5 Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlassigbarem Statorwiderstand

und konstanten Ersatzschaltbildelementen . . . . . . . . . . . . . . . . 706.18 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . . 71

7 Einschalten elektrischer Antriebe 727.1 Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgerate . . . . . . . . . . . . . . 72

8 Antriebsauslegung 738.1 Berucksichtigung der Umgebungstemperatur und Aufstellungshohe, Spannung

und Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.2 Betriebsarten nach IEC 60034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3 Betriebsarten S2, S3, S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3.1 Kurzzeitbetrieb S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.2 Ununterbrochener periodischer Aussetzbetrieb S3 . . . . . . . . . . . . 768.3.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S6 . . . . 76

8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlanderungen S8 -Effektivmoment und mittlere Drehzahl bei linearer Dauerkennlinie . . . . . . . 768.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-

rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s bei li-nearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s bei nicht-linearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1min , T > 60s . . . . . 78

8.4.4 Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahlanderungen – S2 + S8 . . . . . 798.5 Schutzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Gleichungen der Gleich- und Wechselstromtechnik 819.1 Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.3 Ohm’sches Gesetz, Gleichungen Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.4 Grundgleichung zur Berechnung von Gleichstromkreisen/ -Netzwerken . . . . 859.5 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.5.2 Effektivwert und Gleichrichtwert bei beliebigem periodischem Zeitver-

lauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.5.3 Effektivwert und Gleichrichtwert bei Sinusgroßen . . . . . . . . . . . 88


Inhaltsverzeichnis

9.5.4 Spannungsabfall, Impedanz, Reaktanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.6 Drehstrom – symmetrisches Drehstromnetz, symmetrischer Drehstromverbrau-

cher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6.1 Zeitverlaufe und komplexe Spannungen und Strome . . . . . . . . . . 919.6.2 Komplexe Drehstrome und -spannungen, Zeigerdarstellung . . . . . . . 939.6.3 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . . 939.6.4 Leistung im Drehstromsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.6.5 Widerstand zwischen zwei Klemmen eines Drehstromverbrauchers/

Drehstromgenerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10 Kinematische Grundgleichungen 9510.1 Kinetische Grundgleichungen fur translatorische Bewegungen mit konstanter

Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2 Kinetische Grundgleichungen fur translatorische Bewegungen mit konstanter

Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.3 Kinetische Grundgleichungen fur rotatorische Bewegungen mit konstanter

Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.4 Kinetische Grundgleichungen fur rotatorische Bewegungen mit konstanter

Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.5 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.6 Kraft und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.7 Impuls und beschleunigte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.8 Drehimpuls und beschleunigte Massentragheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.9 Berechnung von Tragheitsmomenten fur Zylinder, Kugel und Quader . . . . . 9810.10Umrechung von Massen und Massentragheiten auf eine Bezugswelle . . . . . . 98

11 Einheiten und Vorsatzzeichen fur Einheiten 9911.1 SI-Einheiten, Vorsatzzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.2 Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . 100

12 Konstanten 106

13 Schaltzeichen elektrischer Maschinen 107

14 Grundlagen Magnetfeld 10914.1 Grundlegende Zusammenhange im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 11014.2 Magnetischer Fluss und Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11014.3 Durchflutungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.3.1 Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweisekonstanten Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.3.2 Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweisekonstanten Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand, magnetischer Leitwert . . . 11214.5 Spannungsinduktion im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


Inhaltsverzeichnis

14.6 Selbstinduktivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.6.1 Selbstinduktivitat einer Spule mit ferromagnetischem Kern und Luft-

spalt/nicht ferromagnetischem Material . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.6.2 Selbstinduktivitat einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Mate-

rial ohne Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.6.3 Selbstinduktivitat einer Spule mit magnetischem Kreis . . . . . . . . . 115

14.7 Gegeninduktivitat und Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.7.1 Realer Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.8 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.9 Krafte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.9.1 Reluktanzkraft, Oberflachenkraft auf magnetisierbare Korper, z.B. Jochoder Anker aus Eisen oder Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.9.2 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft . . . . 11814.9.3 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . . 119

14.10Energiewandlung mit dem Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

15 Mathematik 12115.1 Sinus, Cosinus, Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12115.2 Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.3 Geometrie Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.4 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.4.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.4.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.4.3 Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 12615.4.4 Losung linearer Differentialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . . 12615.4.5 Charakteristische Gleichung der Differentialgleichung . . . . . . . . . 127

15.5 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12715.6 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12715.7 e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.8 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12815.9 Fouriertransformation / Frequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.9.1 Kontinuierliche Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12915.9.2 Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

15.10Taylor-Entwicklung, Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

16 Griechische Buchstaben 132


2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN

2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen undAntrieben

Motor: wandelt elektrische Leistung in mechanische Leistung,

Pzu = PE→ Pab = Pmech

Generator: wandelt mechanische Leistung in elektrische Leistung,

Pzu = Pmech→ Pab = PE

2.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen

Tabelle 1: Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen

Maschinenteil,Bezeichnung

Index indieserFormel-samm-lung

weitereIndexein derLitera-tur

Erlauterung

Stator, Stander S 1 stehender Teil der Maschine

Rotor, Laufer R 2 drehender Teil der Maschine

Anker a Maschinenteil, in dem die Spannung induziertwird, bei Gleichstrommaschinen der Rotor, beiSynchronmaschinen der Stator

Wicklung Leiteranordnung, in der Regel aus isolierten zuSpulen gewickelten Drahten, bei Asynchron-maschinen auch die kurzgeschlossene Kafig-wicklung des Rotors, bei Synchronmaschinenauch die kurzgeschlossene Dampferwicklung

Kafig, Kafig-wicklung

kurzgeschlossene Leiteranordnung aus Staben,die stirnseitig miteinander verbunden sind

Bursten bu br Schleifkontakte aus Grafit, Metall oder Mi-schungen zur Ubertragung des Stroms vom ste-henden auf einen rotierenden Maschinenteil

Schleifring Metallring zur Ubertragung des Stroms vomstehenden auf einen rotierenden Maschinenteil,haufig aus Messing CuZn oder bei hohen me-chanischen Beanspruchungen aus Stahl

Fortsetzung nachste Seite



Fortsetzung

Maschinenteil,Bezeichnung

Index indieserFormel-samm-lung

weitereIndexein derLitera-tur

Erlauterung

Kommutator,Stromwender

Ring aus Metallstegen zur Ubertragung desStroms vom stehenden auf den rotierenden Ma-schinenteil, der Strom wird von Steg zu Stegkommutiert, so dass von außen gesehen derStrom im rotierenden Maschinenteil die gleicheFrequenz wie im stehenden Maschinenteil hat.Stege meist aus Kupfer Cu

Leerlauf 0 Betrieb ohne Drehmoment

Kurzschluss k Betrieb mit kurzgeschlossenen Wicklungsan-schlussen, bei Asynchronmaschinen auch Be-trieb im Stillstand oder ideller Kurzschluss mitSchlupf s→ ∞

Bemessungspunkt,Bemessungsbe-trieb, Nennbe-trieb, Nennpunkt

N Betriebspunkt unter festgelegten Randbedin-gungen, in der Regel auf dem Typenschild undim Katalog angegeben, eine Maschine kannmehrere Bemessungspunkte haben

2.2 Bemessungspunkt

Der Bemessungspunkt ist ein Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen.

Index N kennzeichnet die zusammengehorenden Großen des Bemessungspunkts. Großen furden Bemessungspunkt sind z.B.

Bemessungsleistung PN

Bemessungsdrehzahl nN

Bemessungsspannung UN

Bemessungsstrom IN

Bemessungsfrequenz fN

Bemessungsdrehmoment MN

Bemessungswirkungsgrad ηN

Bemessungsleistungsfaktor cosϕN



Achtung: Bemessungsdaten sind gerundete Werte, daraus berechnete weitere Daten habenUngenauigkeiten

Typische Randbedingungen sind

Umgebungstemperatur, Kuhlmitteltemperatur: ϑu ≤ 40C

Aufstellungshohe: h≤ 1000 m

Betriebsart, Betriebsdauer: S1 Dauerbetrieb

2.3 Wirkungsgradklassen

Die Wirkungsgrade elektrischer Maschinen sind in Wirkungsgradklassen IE eingeteilt.

IE 4 – Super Premium

IE 3 – Premium

IE 2 – Hoch

IE 1 – Standard

Die Wirkungsgrade fur die Wirkungsgradklassen sind in der Norm IEC 60034-30 fur verschie-dene Motoren, Polpaarzahlen und Bemessungsfrequenzen angegeben.

Folgende Grafik zeigt beispielhaft die Wirkungsgradverlaufe. Die exakten Werte sind der Normzu entnehmen [IEC 60034-30].

Abbildung 1: Wirkungsgrad fur die Wirkungsgradklassen IE 1 ... IE 4 nach IEC 60034-30,beispielhafter Verlauf fur 4-polige Asynchronmaschinen fur 50 Hz



2.3.1 Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten fur mittlereBemessungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz

Zur Bestimmung der Nennwirkungsgradgrenzwerte von Motoren bei 50 Hz Netzfrequenz undBemessungsleistung im Bereich von 0,12 kW bis zu 200 kW kann die folgende Gleichungverwendet werden:

ηN = A ·[

log10

(PN

1 kW

)]3

+B ·[

log10

(PN

1 kW

)]2

+C · log10

(PN

1 kW

)+D (1)

mit A, B, C, D = Interpolationskoeffizienten (siehe Tabelle 2 und 3), PN in kW.Der sich ergebende Wirkungsgrad (%) wird mathematisch auf eine Stelle nach dem Kommagerundet, das heißt xx,x %.

Tabelle 2: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC 60034-30)

IE-Code Koeffizienten8-polig

2p = 8, p = 4

750/min

6-polig2p = 6, p = 3

1000/min

4-polig2p = 4, p = 2

1500/min

2-polig2p = 2, p = 1

3000/min

IE1

ABCD

5,9466

7,9458

40,441

66,146

-45,9652

-87,1474

-8,2383

68,7303

16,7271

12,7136

25,947

76,174

11,924

6,3699

30,0509

76,6136

IE2

ABCD

6,4855

9,4748

36,852

70,762

-15,9218

-30,258

16,6861

79,1838

17,2751

23,978

35,5822

84,9935

22,4864

27,7603

37,8091

82,458

IE3

ABCD

-0,5896

-25,526

4,2884

75,831

-17,361

-44,538

-3,0554

79,1318

7,6356

4,8236

21,0903

86,0998

6,8532

6,2006

25,1317

84,0392

IE4

ABCD

-4,9735

-21,453

2,6653

79,055

-13,0355

-36,9497

-4,3621

82,0009

8,432

2,6888

14,6236

87,6153

-8,8538

-20,3352

8,9002

85,0641



Tabelle 3: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kW bis zu 200 kW (IEC 60034-30)

IE-Code Koeffizienten8-polig

2p = 8, p = 4

750/min

6-polig2p = 6, p = 3

1000/min

4-polig2p = 4, p = 2

1500/min

2-polig2p = 2, p = 1

3000/min

IE1

ABCD

2,4433

-13,8

30,656

65,238

0,0786

-3,5838

17,2918

72,2383

0,5234

-5,0499

17,4180

74,3171

0,5234

-5,0499

17,4180

74,3171

IE2

ABCD

2,1311

-12,029

26,719

69,735

0,0148

-2,4978

13,2470

77,5603

0,0278

-1,9247

10,4395

80,9761

0,2972

-3,3454

13,0651

79,077

IE3

ABCD

0,7189

-5,1678

15,705

77,074

0,1252

-2,613

11,9963

80,4769

0,0773

-1,8951

9,2984

83,7025

0,3569

-3,3076

11,6108

82,2503

IE4

ABCD

0,6556

-4,7229

13,977

80,247

0,3598

-3,2107

10,7933

84,107

0,2412

-2,3608

8,446

86,8321

0,34

-3,0479

10,293

84,8208


3 GLEICHSTROMMASCHINE

3 Gleichstrommaschine

NN

SU

M

B

Wicklung mitWindungszahl wa,Leiterzahl z

I I

x x

3.1 Arten von Gleichstrommaschinen

PM-Gleichstrommaschine, Dauermagnet erregte Gleichstrommaschine

Magnetfeld wird von Dauermagneten erzeugt, der Strom wird dem Rotor uber Burstenund Kommutator zugefuhrt. In der Regel keine Wicklungen im Stator.

elektrisch erregte Gleichstrommaschine:

Magnetfeld wird vom Strom in der Erregerwicklung erzeugt, der Strom wird dem Rotoruber Bursten und Kommutator zugefuhrt. Verschiedene Ausfuhrungen:

• Fremderrgte Gleichstrommaschine:

Die Erregerspannung ist unabhangig von der Ankerspannung.

• Nebenschluss-Gleichstrommaschine:

Die Erregerspannung ist gleich der Ankerspannung; die Erregerwicklung ist parallelzur Ankerwicklung geschaltet.

• Reihenschluss-Gleichstrommaschine:

Der Erregerstrom ist gleich dem Ankerstrom; die Erregerwicklung ist in Reihe mitder Ankerwicklung geschaltet.

Maschinen mit Wendepolen:

In den Pollucken befinden sich Wendepole mit Wicklungen, die in Reihe mit der Anker-wicklung geschaltet sind. Die Wendepole unterstutzen die Stromwendung/Kommutierungdes Ankerstroms, so dass weniger Funken auftreten und die Bursten und der Kommutatorlanger halten.



Maschinen mit Kompensationswicklungen:

Die Hauptpole haben eine zusatzliche Wicklung, die in Reihe mit der Ankerwicklunggeschaltet ist. Die Kompensationswicklung wirkt der Feldverzerrung durch den Anker-strombelag entgegen, so dass die Gleichstrommaschine durch den Ankerstrom nichtzusatzlich gesattigt wird und so das Drehmoment nahezu proportional zum Ankerstromist.

Tabelle 4: Großen und Formelzeichen Gleichstrommaschine

Formelzeichen Einheit Erklarungp 1 Polpaarzahl

τ Polteilung

α 1 Polbedeckungsgrad

Θ A magnetische Durchflutung

σ , σmechN

m2 mechanische Schubspannung

B T magnetische Flussdichte

Bf T Flussdichte der Magneten bzw. der Erregerpole

Bm T mittlere Flussdichte

M Nm Drehmoment

Mi Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment

MN Nm Bemessungsdrehmoment (fruher Nennmoment)

Mreib Nm Reibdrehmoment

Mluft Nm Lufterdrehmoment

P W Leistung

PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = Pa

Pmech W mechanische Leistung, hier ZuordnungMotor: Pa > Pmech > 0,Generator: Pa < Pmech < 0

Pa W AnkerleistungMotor: Pa > Pmech > 0,Generator: Pa < Pmech < 0

PE W elektrische Leistung

PVa W Ankerverluste, Ankerverlustleistung

PV W Verlustleistung

n 1min , 1

s Drehzahl




Fortsetzung

Formelzeichen Einheit ErklarungnN

1min , 1

s Bemessungsdrehzahl (fruher Nenndrehzahl)

n01

min , 1s Leerlaufdrehzahl

n0N1

min , 1s Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung UaN

ΦP Vs magnetischer Fluss je Pol

U V Spannung

Ubu V Burstenspannung

U i V induzierte Spannung

UN , UaN V Ankerbemessungsspannung

UiN V induzierte Spannung bei Bemessungsdrehzahl und Bemes-sungsfluss

I A Strom

Ia A Ankerstrom

IN, IaN A Ankerbemessungsstrom

c Maschinenkonstante

vams Ankergeschwindigkeit

Ra Ω Ankerwiderstand

η 1 Wirkungsgrad

ηa 1 Ankerwirkungsgrad

Uf , Uer V Feldspannung, Erregerspannung

If , Ier A Feldstrom, Erregerstrom

Rf , Rer Ω Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand

Pf , Per W Erregerleistung, Leistung fur die Feldwicklung

z Zahl der Ankerleiter

znut Leiterzahl je Nut

a Zahl der Parallelen Zweige der Ankerwicklung

wa wirksame Ankerwindungszahl

3.2 Leistungszuordnung

PN =

Pmech = 2 ·π ·MN ·nN beim Motor

Pa =UN · IN beim Generator(2)



3.3 Ankerwindungszahl

wa =z

2 ·a=

N · znut

2 ·a(3)

mit Anzahl paralleler Zweige a =

2 fur Wellenwicklung

2p fur Schleifenwicklung(4)

3.4 Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen undmagnetischen Großen

Reibung, Eisenverluste und Sattigung vernachlassigt

c =2 · p ·wa

π=

p · zπ ·a

Maschinenkonstante (5)

Φp =2 ·π · r · l ·Bm

2 · p=

2 ·π · r · l ·Bf ·α2 · p

Fluss je Pol (6)

Mi = Φp · c · Ia (7)

Mi = KT · Ia mit Drehmomentfaktor KT = Φp · c (8)

M = Mi− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (9)

3.5 Magnetischer Fluss und Erregerstrom

Bei Vernachlassigung der Sattigung und bei konstanten Widerstanden gilt

ΦP

ΦPN=

If

IfN=

Uf

UfN(10)

ΦP =µ0

δmagbP · l ·wf · If (11)

=µ0

δmag

2 ·π · r · l ·α2 · p

wf · If (12)

Θ = wf · If magnetische Durchflutung Erregerwicklung (13)

Bei Berucksichtigung der Sattigung ist der magnetische Fluss eine nichtlineare Funktion desErregerstroms und des Ankerstroms.

If =Uf

RfErregerstrom (14)

Rf ist temperaturabhangig



3.6 Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgroßen oderanderen Betriebspunkten

MN =PN

2 ·π ·nNBemessungsdrehmoment bei Motoren (15)

Drehmoment und Ankerstrom sind bei vernachlassigbarer Sattigung, Reibung, Lufterdrehmo-ment zueinander proportional:

M1

M2=

Ia1

Ia2

ΦP1

ΦP2(16)

Bei Sattigung muss die Abhangigkeit ΦP1(Ia) berucksichtigt werden.

Drehmoment aus Bemessungsdaten bei vernachlassigbarer Sattigung, Reibung, Lufterdrehmo-ment:

MMN

=Ia

IaNbei ΦP = ΦPN (17)

M = KT · Ia mit Drehmomentfaktor KT =MN

IaN(18)

MMN

=Ia

IaN

ΦP

ΦPNbei veranderlichem magnetischen Fluss (19)

3.7 Berechnung der induzierten Spannung

Die induzierte Spannung ergibt sich aus der Maschengleichung fur den Ankerstromkreis. BeiUa > 0 gilt:

Ui =Ua−Ra · Ia−2 ·Ubu · sgn(Ia)

bei Motorbetrieb, Ia > 0 , Ubu > 0

bei Generatorbetrieb, Ia < 0 , Ubu > 0(20)

Berechnung mit Betrag des Ankerstroms:

Ui =

Ua−Ra · |Ia|−2 ·Ubu bei Motorbetrieb

Ua +Ra · |Ia|+2 ·Ubu bei Generatorbetrieb(21)

UiN =UaN−Ra · IN−2Ubu im Bemessungsbetrieb Motor (22)

Induzierte Spannung aus Rotordrehung, Ankerdrehung:

Ui = 2 ·wa · va · l ·Bm induzierte Spannung (23)

= 2 ·wa ·2 ·π · r ·n · l ·Bm (24)

= 2 ·wa ·2 ·π · r ·n · l ·α ·Bf (25)



va = 2 ·π · r ·n Geschwindigkeit der Ankeroberflache (26)

Induzierte Spannung aus Fluss und Maschinenkonstante:

Ui = 2 ·π ·n ·ΦP · c (27)

Ui = 2 ·π ·KT ·n mit Drehmomentfaktor KT = ΦP · c (28)

Ui = KE ·n mit Spannungsfaktor KE = 2 ·π ·ΦP · c = 2 ·π ·KT (29)

Die induzierte Spannung ist proportional zur Drehzahl:

Ui1

Ui2=

n1

n2wenn ΦP1 = ΦP2 (30)

Ui1

Ui2=

n1

n2

ΦP1

ΦP2bei veranderlichem magnetischen Fluss (31)

Ui1

Ui2=

n1

n2

If1

If2bei veranderlichem Erregerstrom ohne Sattigung (32)

Ui1

Ui2=

n1

n2

Uf1

Uf2

bei veranderlicher Erregerspannung ohne Satti-gung, konstantem Widerstand

(33)

Berechnung aus Bemessungsgroßen:

Ui

UiN=

Ui

UaN−RaIaN=

nnN

wenn ΦP = ΦPN (34)

Ui

UiN=

Ui

UaN−RaIaN=

nnN

ΦP


Ui

UN=

nn0

ΦP


Ui

UN=

nn0

If

IfNbei veranderlichem Erregerstrom ohne Sattigung (37)

Gesamte Ankerspannung:

Ua =Ui +Ra · Ia +2Ubu (38)



3.8 Betriebskennlinie Permanentmagnet erregteGleichstrommaschine

Angabe der Gleichungen fur

Motor: Pmech > 0

Generator: Pmech < 0

Reibung, Sattigung, Burstenspannung naherungsweise aus dem Bemessungspunkt in denProportionalitaten berucksichtigt

Ia =Mi

c ·ΦAnkerstrom (39)

n = n0N− (n0N−nN)M

MNDrehzahl, wenn ΦP = ΦPN , Ua =UaN (40)

n = n0NΦPN

ΦP− (n0N−nN)

(ΦPN

ΦP

)2

· MMN

bei veranderlichem magneti-schen Fluss durch Temperaturoder Ahnliches

(41)

n0N =UaN

UiNnN =

UaN

UaN−Ra · INnN

Leerlaufdrehzahl bei Bemessungs-spannung und vernachlassigbarerBurstenspannung

(42)

n0N =UaN

UaN−RaIaN−2Ubu

Leerlaufdrehzahl mit Berucksichtigung derBurstenspannung

(43)

3.9 Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine


Motor: Pmech > 0

Generator: Pmech < 0

Reibung, Sattigung, Burstenspannung naherungsweise aus dem Bemessungspunkt in denProportionalitaten berucksichtigt

Ia =Mi

c ·ΦAnkerstrom (44)

n = n0N− (n0N−nN)M

MNDrehzahl, wenn ΦP = ΦPN , Ua =UaN (45)



n = n0NΦPN

ΦP− (n0N−nN)

(ΦPN

ΦP

)2

· MMN

bei veranderlichem magneti-schen Fluss, z.B. durch Erre-gerstrom

(46)

ΦP

ΦPN=

If

IfN(47)

n0N =UaN

UiNnN =

UaN

UaN−Ra · INnN Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung (48)

3.10 Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine

Ubu

Ra ,Ui

Rf


Motor: Pmech > 0

Reibung, Sattigung, Burstenspannung naherungsweise aus dem Bemessungspunkt in denBerechnungen aus dem Bemessungspunkt berucksichtigt

I = Ia = If Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung (49)

ΦP =µ0

δmagbP · l ·wf · I (50)

=µ0

δmag

2 ·π · r · l ·α2 · p

wf · I (51)

c =2 · p ·wa

π=

p · zπ ·a


Mi = Φp · c · I (53)

Ui = 2 ·π ·n ·ΦP · c (54)

U =Ui +RI +2Ubu mit Gesamtwiderstand R = Ra +Rf (55)



Mi =µ0

δmag

r · l ·α ·wf · za

I2 (56)

Mi = Kr · I2 (57)

mit

Kr =µ0

δmag


(58)

I =

√Mi

Kr(59)

Ui = 2 ·π ·n µ0

δmag


I (60)

Ui = Ki · I ·n = 2π ·Kr · I ·n (61)

Ki = 2π ·Kr (62)

n =1

2π

(U−2Ubu√

KrMi− R

Kr

)(63)

Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment:

n0 =1

2π

(U−2Ubu√

KrMreib− R

Kr

)(64)

Anlaufstrom und -drehmoment:

Manl i = Kr

(U−2Ubu

R

)2

(65)

Ianl =U−2Ubu

R(66)

Aus Bemessungsdaten:

MMN

=

(I

IN

)2

(67)

n =1

2πIN√MN· U√

M−

UNI2N

2πIanlMN(68)

=1

2πIN√MN· U√

M− UNIN

2π√

ManlMN(69)

Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesattigt, besonders beim Anlauf mit hohen Stromen.



3.11 Leistungen und Verluste

Angabe der Gleichungen fur Verbraucherzahlpfeilsystem:

Motor: Pa > Pmech > 0

Generator: Pa < Pmech < 0

Pa =Ua · Ia Ankerleistung (70)

PVa = Ra · I2a Ankerverluste (71)

PVbu = 2 ·Ubu · Ia Burstenubergangsverluste (72)

Preib = 2 ·π ·n ·Mreib Reibungsverluste (73)

Pluft = 2 ·π ·n ·Mluft , Mluft ∼ n2 , Pluft ∼ n3 Luftungsverluste (74)

PV = PE−Pmech =Ua · Ia +Uf · If−Pmech Gesamtverluste (75)

Pmechi =Ui · Ia innere, mechanisch Leistung (76)

Pmech = Pmechi−Preib−Pluft Leistung mechanisch (77)

Pa =Ua · Ia Ankerleistung elektrisch (78)

Pf =Uf · If Erregerleistung elektrisch (79)

PE = Pa +Pf =Ua · Ia +Uf · If Gesamtleistung elektrisch (80)

PV = PVa +Pf +PVbu = Ra · I2a +Uf · If +Preib +Pluft Gesamtverluste (81)

3.12 Wirkungsgrad

ηamot =|Ui||Ua|

Ankerwirkungsgrad motorisch, Hinweis : |Ua|> |Ui| (82)

=Ua−Ra · Ia

Ua=

nn0

(83)

ηmot =Pmech

PE=

Pmech

Pa +Pf=

Pmech

Pmech +PVGesamtwirkungsgrad motorisch (84)

ηagen =|Ua||Ui|

Ankerwirkungsgrad generatorisch, Hinweis : |Ua|< |Ui| (85)

ηgen =PE

Pmech=|Pa|−Pf

|Pmech|=

|PE||PE|+PV

Gesamtwirkungsgrad generatorisch (86)



Tabelle 5: Spannungen von Kohlebursten, Graphitbursten

Burstenwerkstoff Burstenspannung Ubu in V

fur einen Ubergang

Hartkohle hochohmig 1,5...2,5

normal 0,5...1,2

Graphit hochohmig 2,0...3,0

normal 1,0...1,6

niedrigohmig 0,7...1,0

Elektrographit hochohmig 1,0...2,0

normal 0,8...1,5


Kupfergraphit normal 0,9...1,5


Silbergraphit 0,1...0,5

Edelmetall 0,01...0,1

Quelle: Muller, Vogt, Ponick: Berechnung elektrischer Maschinen. Wiley-VCH (2008)

3.13 Drehzahlstellen Gleichstrommaschine

Variation der Drehzahl durch Verstellen der Ankerspannung Ua bei vollem magnetischem FlussΦP = ΦPN:

Ua = RaIa +n

nNUiN +2 ·Ubu (87)

Ua = RaIa +2πnΦPc+2 ·Ubu (88)

mit Ia =M

MNIaN oder Ia =

Mi

ΦP · c(89)

Variation der Drehzal durch Verstellen des magnetischen Flusses ΦP bei gegebener Ankerspan-nung Ua:

ΦP

ΦPN=

Ua

2U ′i+

√(Ua

2U ′i

)2

− RaI′aU ′i

(90)

mit U ′i =n

nNUiN oder U ′i = 2 ·π ·n ·ΦPN · c (91)

I′a =M

MNIaN oder I′a =

MΦPN · c

(92)


4 WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR)

4 Wechselstromreihenschlussmaschine(Universalmotor)

Charakteristische Merkmale

• Aufbau wie Gleichstromreihenschlussmotor

• Hier kleine Leistungen, zum Betrieb am Wechselstromnetz fur tragbare Elektro-gerate wie Bohrmaschinen, Winkelabschleifer, Handmixer etc.

• Die Motoren werden ausschließlich zweipolig ausgefuhrt

• Die Ankerwicklung (armature winding) wird vorzugsweise zwischen die beidenSpulen der Erregerwicklung (excitation winding) geschaltet, um die Funkstorung(radio interference) zu vermindern. Trotzdem sind zusatzlich Funkentstorelementevorzusehen

• Die Stander werden ohne Wendepol- (commutating winding) und Kompensations-wicklungen (compensating winding) ausgefuhrt

• Mit wenigen Ausnahmen besitzen die Motoren nur eine Drehrichtung. Dann wirdzur Verbesserung der Kommutierung eine Burstenbruckenverdrehung (brush displa-cement) oder eine entsprechende Schaltung der Spulenanschlusse (Schaltverschie-bung) vorgenommen, so dass sich die Kommutierungszone nicht in der Pollucken-mitte befindet

• Der Arbeitspunkt befindet sich weit im Sattigungsbereich (saturation region) derMagnetisierungskennlinie (magnetization characteristic)

• Der typische Drehzahlbereich liegt zwischen 4 000 min-1 und 40 000 min-1

• Das vorrangige Kuhlprinzip ist die Eigenkuhlung (auf die Welle aufgesetzter Lufter)(self-ventilation)

• Die Leerlaufdrehzahl (no-load speed) wird im Gegensatz zu großeren Motorendurch die Bursten-, Lager- und Luftreibung und durch geratespezifische Getriebebegrenzt

• Die Ummagnetisierungsverluste (hysteresis and eddy-current loss) im Standerblech-paket sind von der Frequenz des speisenden Netzes abhangig. Im Lauferblechpaketwerden sie von der Drehzahl bestimmt

• Gegenuber Gleichstrommotoren zusatzlicher induktiver Spannungsabfall


Motor: Pmech > 0

Reibung, Sattigung, Burstenspannung naherungsweise aus dem Bemessungspunkt in denBerechnungen aus dem Bemessungspunkt berucksichtigt



Abbildung 2: Blechschnitt eines Wechselstromreihenschlussmotors

I = Ia = If Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung (93)

ΦP =µ0

δmagbP · l ·wf · I (94)

=µ0

δmag

2 ·π · r · l ·α2 · p

·wf · I (95)

c =2 · p ·wa

π=

p · zπ ·a


Mi = Φp · c · I (97)

U i = 2 ·π ·n ·ΦP · c = 2 ·π ·n · c · µ0

δmag· 2 ·π · r · l ·α

2 · p·wf · I (98)

U =U i +RI +2Ubu + j ·2π · f ·L · I mitGesamtwiderstand R = Ra +RfGesamtinduktivitat L = Lf +La−Laf

(99)

( Laf : Gegeninduktivitataufgrund der Burstenverdrehung)

Mi =µ0

δmag


I2 (100)

Mi = Kr · I2 (101)

mit

Kr =µ0

δmag


(102)



I =

√Mi

Kr(103)

U i = 2 ·π ·n µ0

δmag


I (104)

U i = Ki · I ·n = 2π ·Kr · I ·n (105)

Ki = 2π ·Kr (106)

n =1

2π

(U−2Ubu√

KrMi− R

Kr

)(107)

Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment:

n0 =1

2π

(U−2Ubu√

KrMreib− R

Kr

)(108)

Anlaufstrom und -drehmoment:

Manl i = Kr

(U−2Ubu

R

)2

(109)

Ianl =U−2Ubu

R(110)

Aus Bemessungsdaten:

MMN

=

(I

IN

)2

(111)

n =1

2πIN√MN· U√

M−

UNI2N

2πIanlMN(112)

=1

2πIN√MN· U√

M− UNIN

2π√

ManlMN(113)

Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesattigt, besonders beim Anlauf mit hohen Stromen.


5 SYNCHRONMASCHINE

5 Synchronmaschine

M

V+ V-U+ U-W+W-

Windungszahl wSpule

U+

V+

W+

UUst

UVst

UWst

Abbildung 3: prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und Stator-Wicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1)

5.1 Arten von Synchronmaschinen

Vollpolmaschine:

• etwa konstanter Luftspalt

• sinusformiges Rotormagnetfeld wird durch verteilte Erregerwicklung erreicht

• Induktivitaten etwa identisch in d-Achse und q-Achse

Schenkelpolmaschine:

• ausgepragte Pole mit konzentrierten Wicklungen im Rotor

• sinusformiges Magnetfeld wird durch ungleichmaßigen Luftspalt erreicht (Sinus-feldpole)


5 SYNCHRONMASCHINE

• Induktivitaten ungleich in d-Achse und q-Achse, in der Regel Ld > Lq

Permanentmagnet/Dauermagnet erregte Maschine: Magnetfeld wird durch Perma-nentmagente erzeugt. Nur Wicklung im Stator.

• Dauermagnete am Luftspalt: etwa gleiche Induktivitaten in d- und q-Achse

• Dauermagnete im Rotor integriert, Eisenpole: unterschiedliche Induktivitaten in d-und q-Achse, in der Regel Ld < Lq

• etwa sinusformiges Rotormagnetfeld zum Betrieb am Netz oder zum Betrieb anFrequenzumrichtern mit sinusformigen Stromen und Spannungen

• etwa trapezformiges Magnetfeld zum Betrieb mit Blockstromumrichtern als burs-tenloser Gleichstromantrieb (BLDC, brushless DC)

elektrisch erregte Maschine:

Im Rotor ist eine Erregerwicklung. Das Magentfeld wird durch den Strom in der Erre-gerwicklung erzeugt. Verschiedene Verfahren zur Ubertragung des Gleichstroms in denRotor (s.u.)

elektrisch erregte Maschine mit Bursten:

Der Erregerstrom wird uber Bursten und Schleifringe in den Rotor ubertragen

burstenlos erregte Maschine:

Der Erregerstrom wird durch eine zweite Maschine auf der gleichen Welle in den Rotorubertragen.

• Generator mit Gleichstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, ro-tierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischenLeistung zum Antrieb des Generators gewonnen. Einstellung der Polradspannunguber Gleichstrom in der Statorwicklung.

• Generator mit Drehstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, ro-tierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischenLeistung zum Antrieb des Generators und der Drehstromleistung in der Statorwick-lung gewonnen. Einstellung der Polradspannung uber Drehspannung an der Stator-wicklung.

• Transformator mit stehender Ringwicklung im Stator, drehender Ringwicklungim Rotor, Gleichrichter im Rotor. Gleichstromleistung im Rotor wird induktivubertragen. Einstellung uber den Strom bzw. die Spannung an der Statorwicklung.

Maschine mit Dampferwicklung/Anlaufkafig:

Im Rotor in den Polen kurzgeschlossene Kafigwicklung zum Anlauf und zur Dampfungvon Drehzahlpendelungen. Alternativ auch Rotor mit elektrisch leitenden Massivpolen,die ebenfalls einen Anlauf ermoglichen und Drehzahlpendelungen bedampfen.


5 SYNCHRONMASCHINE

Reluktanzmaschine

• keine Wicklung oder Magnete im Rotor

• starke Unterschiede der Induktivitaten in d- und q-Achse Ld 6= Lq

• Drehmoment entsteht durch den Induktivitatsunterschied

Synchronmaschine mit Kombination von Dauermagneterregung, elektrischer Erre-gung und Reluktanzverhalten

• diverse Ausfuhrungen mit unterschiedlichen Anordnungen

Tabelle 6: Großen und Formelzeichen Synchronmaschine

Formelzeichen Einheit ErklarungU st, U st V Strangspannung

UNst, UNst V Bemessungsstrangspannung

UP, Ui, UP, U i V Polradspannung, induzierte Spannung

UPN V Bemessungspolradspannung

UN V Leiterbemessungsspannung

U , US, US V Statorspannung

IS, IS A Standerstrom, Statorstrom

Ist, Ist A Strangstrom

INst, INst A Bemesungsstrangstrom

IN A Bemessungsleiterstrom

LS H Induktivitat

Ld H Langsinduktivitat

Lq H Querinduktivitat

f Hz Frequenz

f N Hz Bemessungsfrequenz

f s Hz Standerfrequenz

ω = 2 ·π · f rads Kreisfrequenz

S, S VA Scheinleistung

SN, SN VA Bemessungsscheinleistung

PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = PE

PE W elektrische Wirkleistung

PEN W Bemessungswirkleistung elektrisch



5 SYNCHRONMASCHINE

Fortsetzung

Formelzeichen Einheit ErklarungPmech W mechanische Leistung

PmechN W mechanische Leistung Bemessungsbetrieb

Q var Blindleistung

QN var Bemessungsblindleistung

cos(ϕ) 1 Leistungsfaktor

PW W Statorwicklungsverluste

PWN W Statorwicklungsverluste im Bemessungsbetrieb

Pf , Per W Erregerverluste, Erregerleistung

Preib W Reibungsverluste

Pfe W Eisenverluste

U f , Uer V Feldspannung, Erregerspannung

If , Ier A Feldstrom, Erregerstrom

If0 A Nullerregerstrom (Up =UN)

XS Ω Synchronreaktanz

Xd Ω Langsreaktanz

Xq Ω Querreaktanz

x 1 bezogene Synchronreaktanz

IK A Kurzschlussstrom

iK0 1 bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregerstrom If0

M Nm Drehmoment





MKipp Nm Kippmoment

n 1min , 1

s Drehzahl

nN1

min , 1s Bemessungsdrehzahl

RS Ω Statorstrangwiderstand

Rer , Rf Ω Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand

j =√−1 Imaginarzahl

KTNmA Drehmomentfaktor

KE Vs , V1000 min−1 Spannungsfaktor



5 SYNCHRONMASCHINE

Fortsetzung

Formelzeichen Einheit Erklarungw Strangwindungszahl

weff effektive Strangwindungszahl

BR T Scheitelwert Rotorflussdichte

r m , mm Bohrungsradius

l m , mm Blechpaketlange

ξ p Wicklungsfaktor fur das Grundfeld p

ΦP Vs Fluss je Pol


PN =

Pmech = 2 ·π ·MN ·nN beim Motor

PE =√

3 ·UN · IN · cosϕN beim Generator(114)

5.3 Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz

PS : Aufgenommende Wirkleistung an StatorwicklungPVW : Aufgenommende Verlustleistung an Statorwicklung

QS : Blindleistung an StatorwicklungQS > 0 Synchronmaschine induktivQS < 0 Synchronmaschine kapazititv

SP = 3 ·UPst · ISst (115)

QL = 3 ·2π · fS ·LS · I2Sst (116)

S2P = (P+PVW)2 +(QL +QS)

2 (117)

5.4 Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz

n =fS

pDrehzahl ist belastungsunabhangig (118)

fS = p ·n Standerfrequenz (119)


5 SYNCHRONMASCHINE

Tabelle 7: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhangig von derPolpaarzahl

Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz

synchrone Drehzahl n0

p 2 p 3000min−1

p3600min−1

p

1 2 3000 min−1 3600 min−1

2 4 1500 min−1 1800 min−1

3 6 1000 min−1 1200 min−1

4 8 750 min−1 900 min−1

5 10 600 min−1 720 min−1

6 12 500 min−1 600 min−1

......

......

5.5 Polradspannung, induzierte Spannung aus demRotormagnetfeld

ΦP =2p

lfe r BR Fluss je Pol aus dem Rotormagnetfeld (120)

UPst =√

2 ·2πweff lfe r BR n = ΦPπweff pnPolradstrangspannung, induzierteSpannung durch das Rotorfeld

(121)

UPst = KE n (122)

KE =√

2 ·2πweff lfe r BR =√

2 pπΦP weff =2π3

1cosα

KT Spannungsfaktor (123)

5.6 Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdatenoder anderem Betriebspunkt

UP1

UP2=

UPst1

UPst2=

n1

n2

ΦP1

ΦP2(124)

UP1

UP2=

UPst1

UPst2=

n1

n2

If1

If2ohne Sattigung (125)


5 SYNCHRONMASCHINE

UP1

UP2=

UPst1

UPst2=

n1

n2

Uf1

Uf2ohne Sattigung, konstanter Widerstand (126)

Berechnung aus Bemessungsdaten:

UP

UPN=

UPst

UPstN=

nnN

ΦP

ΦPN(127)

UP

UPN=

UPst

UPstN=

nnN

If

IfNohne Sattigung (128)

UP

UPN=

UPst

UPstN=

n1

nN

Uf

UfNohne Sattigung, konstanter Widerstand (129)

Berechnung aus Nullerregung:

UP

USN=

UPst

USstN=

nnN

ΦP

ΦP0(130)

UP

USN=

UPst

USstN=

nnN

If

If0ohne Sattigung (131)

UP

USN=

UPst

USstN=

n1

nN

Uf

Uf0ohne Sattigung, konstanter Widerstand (132)

5.7 Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom

Mi =√

2 ·3r lfe weffBR Ist cosα inneres Drehmoment (133)

=3√2

pΦP weff Ist cosα (134)

= KT Ist (135)

α = ](Ist ,UPst) (136)

KT =3√2

pΦP weff cosα =3

2πKE cosα Drehmomentfaktor (137)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.8 Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz


Motor: PE > Pmech > 0

Generator: PE < Pmech < 0

nN =1p

fN Bemessungsdrehzahl (fruher: Nenndrehzahl) (138)

PEges = PEN +PerN = PEN +PfN gesamte elektrische Leistung (139)

SN =√

3 ·UN · IN Scheinleistung (140)

PEN =√

3 ·UN · IN · cosϕN elektrische Wirkleistung der Drehstromwicklung (141)

QN =√

3 ·UN · IN · sinϕN =±√

3 ·UN · IN ·√

1− cos2 ϕN

Blindleistung derDrehstromwicklunginduktiv: Q > 0 ,kapazitiv: Q < 0)

(142)

cosϕN =PEN

SNLeistungsfaktor (143)

sinϕN =QN

SNBlindleistungsfaktor (144)

sinϕN =±√

1− cos2 ϕN Blindleistungsfaktor (145)

If = Ier =Uf

Rf=

Uer

RerFeldstrom, Erregerstrom (146)

PmechN = PEN−PV mechanische Leistung (147)

MN =Pmech

2 ·π ·nNBemessungsdrehmoment Motor (148)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.8.1 Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesattigterSynchronmaschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz

UPst =UPstNIf

IfN=USstN

If

If0Polradstrangspannung, ohne Sattigung (149)

UP =UPNIf

IfN=USN

If

If0Polradspannung, ohne Sattigung (150)

If

IfN=

Uf

UfNbei konstantem Widerstand (151)

If

If0=

Uf

Uf0bei konstantem Widerstand (152)

5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb amFrequenzumrichter mit variabler Frequenz oder Netz mitabweichender Frequenz




Beim Betrieb am Frequenzumrichter (FU) ist die Drehzahl variabel. Sie kann deutlich uber3000 min−1 liegen.

n =fS

pDrehzahl belastungsunabhangig (153)

fS = p ·n Standerfrequenz (154)

Drehzahlabhangigkeit der Polradspannung, induzierten Spannung bei konstantem Fluss, z.B.Permanentmagnete oder konstanter Erregerstrom:

UP

UPN=

nnN

=ffN

Polradspannung, induzierte Spannung (155)

UP = KE ·n mit Spannungsfaktor KE =UPN

nN(156)

Polradspannung bei linearer, nicht gesattigter Synchronmaschine mit veranderlicher elektri-scher Erregung:

UPst =UPstNIf

IfN· n

nN=UstN

If

If0· n

nNPolradstrangspannung (157)


5 SYNCHRONMASCHINE

UP =UPNIf

IfN· n

nN=UN

If

If0· n

nNPolradspannung (158)

Mi = 3 · 12π ·n

·UPst · Ist · cos(](Ist ,UPst)

)Drehmoment (159)

Mi = KT · Ist mit Drehmomentfaktor KT = 3 · 12π ·n

·UPst · cos(](Ist ,UPst)

)(160)

bei konstantem Winkel zwischen Polradspannung und Strom


Pmech = 2 ·π ·n ·M mechanische Leistung (162)

= 3 ·UPst · Ist · cos(](Ist ,UPst)

)− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (163)

5.9.1 Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase

Speziell fur den Fall, dass Strom und Polradspannung in Phase sind, also in die gleiche Richtungzeigen, gelten die folgenden Gleichungen:

α = ](Ist , UPst) = 0 Winkel vom Strom zur Polradspannung (164)

USt =√

(UPSt +RS · ISt)2 +(ωS ·LS · ISt)2 Statorstrangspannung (165)

UPSt =UPNStn

nN(166)

ωS = 2 ·π · p ·n (167)

USt =

√(UPNSt

nnN

+RS · ISt)2 +(2πpnLSISt)2 Statorstrangspannung (168)

ISt =MKM

Statorstrangstrom (169)

USt =

√(UPSt +

RS

KTM)2

+

(ωS

LS

KTM)2

Statorstrangspannung (170)


5 SYNCHRONMASCHINE

USt =

√(UPNSt

nnN

+RS

KTM)2

+

(2πpn

LS

KTM)2

Statorstrangspannung (171)

Drehmoment bei Vernachlassigung Reibung, Sattigung und Eisenverluste:

M ∼ I Drehmoment ist proportional zum Strom (172)

MMN

=I

IN(173)

Mi = 3 · 12π ·n

·UPst · Ist Drehmoment (174)

Pmechi = 3 ·UPst · Ist mechanische Leistung (175)

Drehmoment mit Drehmomentfaktor:

M = KT · I mit Drehmomentfaktor KT =MN

IN(176)

Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung mit variabler Frequenz und konstantem Fluss:

n0 = nNUN

UPNLeerlaufdrehzahl (177)

f0 = p ·n0 variable Frequenz (178)

5.9.2 Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung undStrom

α = ](ISt ,UPst) 6= 0 (179)

Drehmoment bei vernachlassigter Reibung, Sattigung und Eisenverlusten

Mi = 3 · 12π ·n

·UPst · Ist · cos(α) Drehmoment (180)

Mi = KT · Ist mit Drehmomentfaktor KT = 3 · 12π ·n

·UPst · ·cosα (181)

bei konstantem Winkel α zwischen Polradspannung und Strom

KT = 3 · 12π ·n

·UPst · ·cosα =

√3

2πUPN

nN=

√3

2πKE (182)

Pmechi = 3 ·UPst · Ist · cos(α) mechanische Leistung (183)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.10 Verluste

PW = 3 ·RS · I2Sst Statorwicklungsverluste (184)

Pf = Per =Uer · Ier =Uf · If Erregerverluste, Erregerleistung (185)

Preib = 2 ·π ·n ·Mreib , Mreib ≈ konst Reibverluste (186)

Pluft = 2 ·π ·n ·Mluft , Mluft ∼ n2 , Pluft ∼ n3 Luftungsverluste (187)

PV = PW +Pf +Preib +Pluft +Pfe Gesamtverluste (188)

PV = PW +Pf Gesamtverluste ohne Reibungs-, Luftungs- und Eisenverluste (189)

5.11 Wirkungsgrad

Wirkungsgrad aus der elektrischen Wirkleistung PE und der mechanischen Leistung Pmech:

ηmot =Pmech

PE +Pf=

Pmech

Pmech +PVMotorwirkungsgrad (190)

ηNmot =PN

PE +Pf=

PN

PN +PVMotorwirkungsgrad im Bemessungsbetrieb (191)

ηgen =|PE|

|Pmech|+Pf=

|PE||PE|+PV

Generatorwirkungsgrad (192)

ηNgen =|PN|

|PN|+PVGeneratorwirkungsgrad Bemessungsbetrieb (193)

5.12 Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Großen

XS = 2π f LS Synchronreaktanz (194)

x =XS · INSt

UNStbezogene Synchronreaktanz (195)

ULSt = XS · INSt induktiver Spannungsabfall bei Bemessungsstrom (196)

IK =UPSt

2π f LS=

UPSt

XSKurzschlussstrom bei RS ≈ 0 (197)

IK0 =UNSt

2π f LS=

UNSt

XSKurzschlussstrom bei Nullerregung mit If0 , RS ≈ 0 (198)

iK0 =IK0

INbezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregung mit If0 (199)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.13 Komplexe SpannungsgleichungenVollpol-Synchronmaschine

In den Gleichungen treten nur Stranggroßen auf. Die Umrechnung in die Leitergroßen erfolgtje nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise-Schaltung). Den Spannungsgleichungen liegt Ersatzschaltbild 4 zugrunde:

US

IS RS LS

Ui

ISstUSst

=UPst

Abbildung 4: Ersatzschaltbild Vollpol-Synchronmaschine

komplexe Spannungsgleichung:

USst =UPst +UR +UL Statorspannung (200)

UR = RS · ISst ohmscher Spannungsabfall (201)

UL = j ·XS · ISst induktiver Spannungsabfall (202)

mit j =√−1 Imaginarzahl XS = 2 ·π · f S ·LS (203)

Leistungen:

S = 3 ·USst · I∗Sst komplexe Scheinleistung (204)

mit I∗Sst : konjugiert komplexer Strom (205)

P = Re(S) Wirkleistung, reeller Anteil der Scheinleistung (206)

Q = Im(S) Blindleistung, imaginarer Anteil der Scheinleistung (207)

induktiv: Q > 0 , kapazitiv: Q < 0

cosϕ =PS=

Re(S)|S|

Leistungsfaktor (208)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.13.1 Bezugsgroße Spannung fur komplexe Gleichungen

wenn die Statorspannung Bezugsgroße ist (rein reell)

USst =USst (209)

wenn die Polradspannung Bezugsgroße ist (rein reell)

UPst =UPst (210)

5.13.2 Vorgabe Statorstrom

bei gegebenem Winkel ϕ vom Strom zur Spannung:

ISst = ISst ·USstUSst· (cosϕ− j · sinϕ) (211)

Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, induktiv:

ISst = ISst ·USstUSst·(

cosϕ− j ·√

1− cos2 ϕ

)(212)

Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, kapazitiv:

ISst = ISst ·USstUSst·(

cosϕ + j ·√

1− cos2 ϕ

)(213)

Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, induktiv:

ISst = ISst ·USstUS·(−cosϕ− j ·

√1− cos2 ϕ

)(214)

Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, kapazitiv:

ISst = ISst ·USstUSst·(−cosϕ + j ·

√1− cos2 ϕ

)(215)

Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenuber Polradspannung

• Strom voreilend :

ISst = ISst ·UPstUPst· (cosα + j · sinα) (216)

• Strom nacheilend :

ISst = ISst ·UPstUPst· (cosα− j · sinα) (217)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.13.3 Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom

UPst =USst−UR−UL (218)

=USst−RSISst− j2π f LSISst (219)

=USst−RSISst− jXSISst (220)

Bei Bezug Statorspannung USst fur verschiedene Betriebspunkte:

motorisch, induktiv

UPst =USst− (RS + jXS) ISst

(cosϕ− j

√1− cos2 ϕ

)(221)

motorisch, kapazitiv

UPst =USst− (RS + jXS) ISst

(cosϕ + j

√1− cos2 ϕ

)(222)

generatorisch, induktiv

UPst =USst +(RS + jXS) ISst

(cosϕ + j

√1− cos2 ϕ

)(223)

generatorisch, kapazitiv

UPst =USst +(RS + jXS) ISst

(cosϕ− j

√1− cos2 ϕ

)(224)

5.14 Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine

Kippmoment aus Stranggroßen und Leitergroßen bei -Schaltung

MKippi =3

2 ·π ·nUSst ·UPst

XS=

12 ·π ·n

US ·UP

XS

Kippmoment bei Ver-nachlassigung der Rei-bung

(225)

MKippi =3p

2 ·π · f· USst ·UPst

2 ·π · f ·LS=

p2 ·π · f

· US ·UP

2 ·π · f ·LS

Kippmoment bei Ver-nachlassigung der Rei-bung

(226)

mit XS = 2 ·π · f ·LS


5 SYNCHRONMASCHINE

MKipp

MNUberlastbarkeit (227)

Abhangigkeit des Drehmoments vom Lastwinkel

Mi = MKippi · sinβ Drehmoment in Abhangigkeit vom Lastwinkel β (228)


β = ](USst ; UPst) Lastwinkel von der Strangspannung zur Polradspannung (230)

5.15 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine

Stromortskurve der Vollpolsynchronmaschine bei konstanter Spannung ist ein Kreis. Bezug istSpannung US st in reeller Achse.

Stromortskurve fur RS 6= 0:

Ist =USst

RS + j2π fSLS− UPst

RS + j2π fSLSkomplexer Statorstrom (231)

Im =USst

RS + j2π fSLSMittelpunkt des Kreises (232)

Ir =UPst

RS + j2π fSLSRadius des Kreises (233)

UPst =UPst · ejβ komplexe Polradstrangspannung (234)

Stromortskurve fur RS ≈ 0:

Haufig kann der Statorwiderstand vernachlassigt werden. Wird die Statorstrangspannungrein reell gewahlt, ergeben sich dann die Stromortskurve, der Mittelpunkt und der Radiuszu

Ist =USst

j2π fSLS− UPst

j2π fSLSkomplexer Statorstrom (235)

Im =USst

j2π fSLSMittelpunkt des Kreises auf der negativen imaginaren Achse

(236)

Ir =UPst

2π fSLSRadius des Kreises (237)

UPst =UPst · ejβ komplexe Polradstrangspannung (238)


5 SYNCHRONMASCHINE

Abbildung 5: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit verschiedenen Erregerstromenbei vernachlassigbarem Standerwicklungswiderstand RS ≈ 0

Abbildung 6: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit Polradspannung UP und Lastwin-kel β bei vernachlassigbarem Standerwicklungswiderstand RS ≈ 0


5 SYNCHRONMASCHINE

5.16 V-Kurve Vollpol-Synchronmaschine

Die V-Kurve stellt den Zusammenhang zwischen Statorstrom IS und Erregerstrom If furverschiedene Wirkleistungen dar.

Im Leerlauf (P = 0) verlauft der Zusammenhang V-formig, bei Belastung ergeben sich ge-schwungene Verlaufe, Beispiel s. Abb. 7.

Hinweise:

bei vernachlassigten Verlusten sind sind die Kurven fur Motorbetrieb und Generatorbe-trieb identisch

die folgenden Beziehungen gelten fur konstante Statorinduktivitat LS und vernachlassigteVerluste

Kurve fur gegebene Wirkleistung PE:

IRe =PE√3US

Realteil des Statorstroms (239)

UPst =UN√

3If

If0Polradstrangspannung (240)

Ust =US√

3Statorstrangspannung (241)

IIm =

√U2

Pst− (2π f LSIRe)2−Ust

2π f LSImaginarteil des Statorstroms (242)

IS =√

I2Re + I2

Im Statorstrom (243)

Stabilitatsgrenze, Grenzkurve fur maximalen Lastwinkel βmax:

UPst =UN√

3If

If0Polradstrangspannung (244)

Ust =US√

3Statorstrangspannung (245)

IS =

√U2

st +U2Pst−2UstUPst cosβmax

2π f LS(246)


5 SYNCHRONMASCHINE

Erregerstrom If in A

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Stat

orst

rom

IS in

A

0

50

100

150

200

250

300

350

Stabilitätsgrenze P = 0 I

fn I

N P = 0,50 P

N P = 0,75 P

N P = 1,00 P

N P = 1,25 P

Ncos? = 1,0cos? = 0,9 kapcos? = 0,9 indcos? = 0,8 kapcos? = 0,8 indcos? = 0,6 kapcos? = 0,6 ind

PN = 1800 kW, UN = 6000 V, nN = 1000 1min

Abbildung 7: V-Kurven fur eine Vollpolsynchronmaschine, Verluste vernachlassigt

Kurve fur gegebenen Leistungsfaktor cosϕ:

IS =

IS(cosϕ + j

√1− cos2 ϕ) kapazitiver Motorbetrieb

IS(cosϕ− j√

1− cos2 ϕ) induktiver Motorbetriebkomplexer Sta-torstrom

(247)

U st =Ust komplexe Statorspannung, reell (248)

UPst =Ust− j2π f LSIS komplexe Polradspannung (249)

If =

√3 |UPst|UN

If0 Erregerstrom (250)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.17 Komplexe SpannungsgleichungenSchenkelpol-Synchronmaschine

In den Gleichungen treten nur Stranggroßen auf. Die Umrechnung in die Leitergroßen erfolgtje nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise-Schaltung).

Bezugsgroßen fur die komplexen Gleichungen:

UPst =UPst die Polradspannung ist rein reelle Bezugsgroße (251)

komplexe Spannungsgleichung:

USst =UPst +UR +ULd +ULq Statorspannung (252)

UR = RS · ISst ohmscher Spannungsabfall (253)

ULd = Xd · Id = 2 ·π · f S ·Ld · Id induktiver Spannungsabfall durch d-Strom (254)

ULq = j ·Xq · Iq = j ·2 ·π · f S ·Lq · Iq induktiver Spannungsabfall durch q-Strom (255)

USst =UPst +RS · ISst +2 ·π · f S ·Ld · Id +2 ·π · f S ·Lq · Iq Statorspannung (256)

Leistungen:

S = 3 ·USst · I∗Sst komplexe Scheinleistung (257)

mit I∗Sst : konjugiert komplexer Strom (258)

P = Re(S) Wirkleistung ist der reelle Anteil der Scheinleistung (259)

Q = Im(S) Blindleistung ist der imaginare Anteil der Scheinleistung (260)

induktiv: Q > 0 , kapazitiv: Q < 0

cosϕ =PS=

Re(S)|S|


Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenuber Polradspannung

Strom voreilend :

ISst = ISst · (cosα + j · sinα) (262)

Strom nacheilend :

ISst = ISst · (cosα− j · sinα) (263)

ISst = Iq + jId komplexer Statorstrom aus Strom in d-Achse und q-Achse (264)

Iq = Re(ISst) Strom in q-Achse (265)

Id = Im(ISst) Strom in d-Achse (266)


5 SYNCHRONMASCHINE

5.18 Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine

Das Drehmoment der Schenkelpol-Synchronmaschine setzt sich aus zwei Komponenten zu-sammen:

Reluktanzdrehmoment wegen Ld 6= Lq

Synchronmoment aus dem Magnetfeld der Erregerwicklung, bzw. der PolradspannungUP, UPst

Drehmomente bei vernachlassigbarem Statorwiderstand (RS ≈ 0)

Kippmoment Synchronmoment

Mkipp syn =p

2 ·π · f S· US ·UP

2 ·π · f S ·Ld(267)

=1

2 ·π ·n·US ·UP

Xd(268)

Kippmoment Reluktanzmoment

Mkipp reluk =p

2 ·π · f S· US

2

4 ·π · f S

(1Lq− 1

Ld

)(269)

=1

2 ·π ·n·US

2

2

(1

Xq− 1

Xd

)(270)

Gesamtdrehmoment

M = −Mkipp syn · sinβ −Mkipp reluk · sin2β (271)

= − p2 ·π · f S

·(

US ·UP

2 ·π · f S ·Ld· sinβ +

US2

4 ·π · f S

(1Lq− 1

Ld

)· sin2β

)(272)

= − 12 ·π ·n

·(

US ·UP

Xd· sinβ +

US2

2

(1

Xq− 1

Xd

)· sin2β

)(273)

β = ](USst ; UPst) Lastwinkel von der Statorspannung zur Polradspannung (274)

Mkipp ges = b ·Mkipp syn +2 ·a ·b ·Mkipp reluk (275)

mit

a =−Mkipp syn

8 ·Mkipp reluk+

√M2

kipp syn

64 ·M2kipp reluk

+12

(276)

b =√

1−a2 (277)


5 SYNCHRONMASCHINE

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-600-500-400-300-200-1000100200

Rea

lteil

Stat

orst

rang

stro

m in

AImaginärteil Statorstrangstrom in A

Nullerregung

untererregt

übererregt

Ust

Abbildung 8: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd > Xq, SN = 2,5 MVA,fN = 50 Hz, UN = 6,3 kV, IN = 230 A, Xd = 17,5 Ω, Xq = 10,5 Ω, RS = 0,48 Ω,2p = 20

5.19 Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine

Bei der Schenkelpolmaschine sind die Induktivitaten bzw. Reaktanzen in Langsachse/d-Achseund Querachse/q-Achse unterschiedlich. Die Stromortskurve setzt sich aus zwei Kreisen zu-sammen, die unterschiedlich schnell mit dem Lastwinkel β durchlaufen werden.


5 SYNCHRONMASCHINE

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-35-30-25-20-15-10-50510

Rea

lteil

Stat

orst

rang

stro

m in

A

Imaginärteil Statorstrangstrom in A

Nullerregungnicht erregtuntererregtübererregt

Ust

Abbildung 9: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd < Xq, tritt z.B. bei PM-Synchronmaschine mit integrierten Magneten auf

Stromortskurve fur RS 6= 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:

IS st = IA + IB · ejβ + IC · ej2β (278)

IA =

(RS

RS2 +Xd ·Xq

− jXd +Xq

2(RS

2 +Xd ·Xq)) ·US st (279)

IB =

(RS

RS2 +Xd ·Xq

+ jXq

RS2 +Xd ·Xq

)·UP st (280)

IC =

(−j

Xq−Xd

2(RS

2 +Xd ·Xq)) ·US st (281)

(282)


5 SYNCHRONMASCHINE

Xd = 2 ·π · f S ·Ld (283)

Xq = 2 ·π · f S ·Lq (284)

β = ](US st ,UP st) (285)

Stromortskurve fur RS ≈ 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:

IS st = IA + IB · ejβ + IC · ej2β (286)

IA =−jXd +Xq

2 ·Xd ·Xq·US st (287)

IB = j1

Xd·UP st (288)

IC =−jXq−Xd

2 ·Xd ·Xq·US st (289)

Xd = 2 ·π · f S ·Ld (290)

Xq = 2 ·π · f S ·Lq (291)

β](UP st ,US st) (292)

Stromortskurve fur UPst = 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:

IS st = IA + IC · ej2β (293)

Strome IA und IC nach Gleichungen oben fur RS 6= 0 bzw. RS ≈ 0.

5.20 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- undDreieckschaltung

Hinweis: Synchronmaschine normalerweise in -Schaltung

Sternschaltung – -Schaltung

U =US =Ul =√

3 ·USst (294)

USst =1√3·Ul =

1√3·US =

1√3·U (295)

I = Il = IS = ISst (296)


5 SYNCHRONMASCHINE

Dreieckschaltung –4-Schaltung

U =Ul =US =USst (297)

I = Il = IS =√

3 · ISst (298)

ISst =1√3· Il =

1√3· IS =

1√3· I (299)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6 Asynchronmaschine

U U U

VV

V

WW

W

UU

UW

WW

VVVUUUW

WW

WW

W

UUU

VV

V

V V V

W2 U1 V1 W1 U2 V2

W2 U1 V1 W1 U2 V2

Abbildung 10: Maschinenquerschnitt einer Asynchronmaschine mit Kurzschlusslaufer;IEC100, NS = 36, NR = 28, 2p = 4, oben konzentrische Spulen, unten Spu-len gleicher Weite

6.1 Arten Asynchronmaschinen

Asynchronmaschine mit Kurzschlusslaufer, in der Regel beim Anlauf deutliche Strom-verdrangung im Roto

• Rotor mit gegossenem Aluminiumkafig, Stabe meist in Tropfenform als Doppelnutausgefuhrt.

• Rotor mit gegossenem Kupferkafig, Stabe meist in Tropfenform

• Rotor mit eingeschobenen Kupferstaben und angelotetem oder angeschweißtemKurzschlussring, Stabe meist in Recheck- oder Ovalform, ggf. zur Verbesserungdes Anlaufverhaltens zwei Kafige, ggf. Legierung mit hoherem spez. Widerstandzur Erhohung des Anlaufmoments

Asynchronmotor mit Schleifringlaufer

Rotor hat Drehstromwicklung, deren Anschlusse auf drei Schleifringe gefuhrt sind. Uberdie Bursten konnen externe Komponenten angeschlossen werden:

• Widerstande zur Erhohung des Anlaufmoments und Reduzierung der Anlaufverlus-te im Motor. Nach dem Anlauf werden die Schleifringe kurzgeschlossen.

• Gleichrichter zur Drehzahlstellung, ggf. speist Netzstromrichter die Gleichstrom-leistung in das Netz zuruck. Bei voller Drehzahl werden die Schleifringe kurzge-schlossen.

• Stromrichter zur Drehzahl- und Blindleistungsstellung. Einsatz z.B. bei Windkraft-anlagen.


6 ASYNCHRONMASCHINE

Tabelle 8: Großen und Formelzeichen Asynchronmaschine

Formelzeichen Einheit Erklarungf R Hz Rotorfrequenz

f S Hz Statorfrequenz

f N Hz Bemessungsfrequenz Stator

f RN Hz Bemessungsrotorfrequenz

US V Statorspannung

USst V Statorstrangspannung

UN V Bemessungsspannung

PW W Wicklungsverluste

p 1 Polpaarzahl

2p 1 Polzahl

s 1 Schlupf

sKipp 1 Kippschlupf

cosϕ 1 Leistungsfaktor

cosϕN 1 Bemessungsleistungsfaktor

M Nm Drehmoment





Ma Nm Anlaufmoment

MS Nm Satteldrehmoment, kleinstes Drehmoment der Hochlauf-kurve

MKipp Nm Kippmoment

MN Nm Bemessungsdrehmoment

n 1min , 1

s Drehzahl

PVR W Rotorverluste

PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = PE

PE W elektrische Leistung der Statorwicklung

Pmech W mechanische Leistung

IS A Statorstrom



6 ASYNCHRONMASCHINE

Fortsetzung

Formelzeichen Einheit ErklarungISst A Statorstrangstrom

IN A Bemessungsstrom

IR , IK A Rotorstrom, bezogen auf den Stator

IRN , IKN A Rotorbemessungsstrom, bezogen auf den Stator

Lσ H Streuinduktivitat, bezogen auf den Stator

LK H im Rotorkreis konzentrierte gesamte Streuinduktivitat, be-zogen auf den Stator

Lh H Hauptinduktivitat

LS H gesamte Statorinduktivitat

RS Ω Statorwiderstand

RR , RK Ω Rotorwiderstand, bezogen auf den Stator

Rfe Ω Eisenverlustwiderstand zur Berucksichtigung derUmmagnetisierungs- und Wirbelstromverluste im Sta-toreisen

η 1 Wirkungsgrad

ηN 1 Bemessungswirkungsgrad


PN =

Pmech = 2 ·π ·MN ·nN bei Motorbetrieb

PE =√

3 ·UN · IN · cosϕN bei Generatorbetrieb

6.3 Drehzahl, synchrone Drehzahl, Polpaarzahl, Schlupf

n0 =fS

psynchrone Drehzahl, in etwa Leerlaufdrehzahl (300)

fS = p ·n0 Standerfrequenz (301)

s =fR

fSSchlupf (302)

fR = s · fS Rotorfrequenz (303)


6 ASYNCHRONMASCHINE

Tabelle 9: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhangig von derPolpaarzahl

Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz

synchrone Drehzahl n0

p 2 p 3000min−1

p3600min−1

p

1 2 3000 min−1 3600 min−1

2 4 1500 min−1 1800 min−1

3 6 1000 min−1 1200 min−1

4 8 750 min−1 900 min−1

5 10 600 min−1 720 min−1

6 12 500 min−1 600 min−1

......

......

Wenn die Asynchronmaschine ein Drehmoment erzeugt, weicht die Drehzahl immer von derSynchrondrehzahl ab:

n 6= n0 , s 6= 0 fur M 6= 0 (304)

Die Bemessungsdrehzahl nN ist in der Regel in der Nahe der synchronen n0 Drehzahl.

nN ≈ n0 =fS

p(305)

Aus der Bemessungsdrehzahl kann die Polpaarzahl bestimmt werden. Haufig gilt:

p = Ganzzahl(

fN

nN

)(306)

6.4 Bemessungsbetrieb am starren Netz

Gleichungen sind angegeben fur



SN =√

3 ·UN · IN Scheinleistung (307)

PEN =√

3 ·UN · IN · cosϕN elektrische Wirkleistung (308)

QN =√

3 ·UN · IN · sinϕN induktive Blindleistung (309)

=√

3 ·UN · IN ·√

1− cos2 ϕN > 0 (310)


6 ASYNCHRONMASCHINE

cos(ϕ) =PS


Pmech = PEN−PV mechanische Leistung (312)

MN =PN


nN =fN− fRN

pBemessungsdrehzahl (314)

sN =fRN

fSN, sN =

n0−nN

n0Bemessungschlupf (315)

fRN = sN · fSN Bemessungsrotorfrequenz (316)

nN = (1− sN) ·n0 Bemessungsdrehzahl (317)

MN =PN


ηN =PN√

3 ·UN · IN · cosϕNBemessungswirkungsgrad Motor (319)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.5 Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung

Die folgenden Bilder 11 zeigen Beispiele fur die asynchrone Drehzahl-Drehmomentkennlinievon Asynchronmaschinen. Die Kennlinien sind durch folgende Großen gekennzeichnet:

Anlaufdrehmoment Ma, MA

Satteldrehmoment MS

Kippmoment Mkipp, MK

Kippdrehzahl nkipp

Kippschlupf skipp

Bemessungsdrehmoment (Nennmoment) MN

Bemessungsdrehzahl nN

Bemessungsschlupf sN

Leerlaufdrehzahl, synchrone Drehzahl n0

Hinweis: Die gesamte Kennlinie ist etwa proportional zu U2S .

Abbildung 11: Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien Asynchronmaschinen mit Kurz-schlusslaufer, links: prinzipieller Verlauf, rechts: Verlauf mitOberwellendrehmomenten

6.6 Rotorfrequenz, Schlupf

fR = fS− p ·n Rotorfrequenz (320)

ωR = 2 ·π · fR = 2 ·π · fS−2 ·π · p ·n Rotorkreisfrequenz (321)

s =fR

fS, fR = s · fS (322)

s =n0−n

n0=

fS− p ·nfS

(323)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.7 Synchrondrehzahl

Bei der Synchrondrehzahl n0 gilt:

fR = 0 , Mi = 0 , s = 0 (324)

n0 =fS

psynchrone Drehzahl (325)

6.8 Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz

s =fR

fS, s =

n0−nn0

Schlupf (326)

fR = s · fS Rotorfrequenz (327)

n = (1− s) ·n0 Drehzahl (328)

6.9 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung furvernachlassigbaren Statorwiderstand

Randbedingungen:

Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 12

Statorwiderstand ist vernachlassigbar RS ≈ 0

Ersatzschaltbildelemente RK, LS, LK sind konstant

motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0

generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0

elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi

Drehmoment an der Welle: M

sKipp =RK

2π fSLKKippschlupf (329)

Mi = MKippi ·2

sKipps + s

sKipp

Drehmoment, Mi ∼U2S (330)


6 ASYNCHRONMASCHINE

MKippi =32·

pU2Sst

2 ·π · fS· 1

2 ·π · fS ·LKKippmoment (331)

=32·

U2Sst

2 ·π ·n0· 1

2 ·π · fS ·LK(332)


Mkipp = Mkippi− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (334)

MKipp

MNUberlastbarkeit (335)

Berechnung des Kippschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Bemessungs-schlupf fur Mreib +MluftMN:

sKipp = sN ·

MKipp

MN+

√(MKipp

MN

)2

−1

Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz

(336)

Berechnung des Bemessungsschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Kipp-schlupf fur Mreib +MluftMN:

sN = sKipp ·

MKipp

MN−

√(MKipp

MN

)2

−1


(337)

Berechnung Schlupf und Lauferfrequenz fur Drehmoment M fur Mreib +MluftM:

s = sKipp ·

MKipp

M−

√(MKipp

M

)2

−1


(338)

fR = s · fS (339)

Bei kleinen Drehmomenten gilt naherungsweise fur Mreib +MluftMN:

s≈ MMN

sN bis etwa M ≤MKipp

3Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz

(340)

fR ≈M

MNfRN bis etwa M ≤

MKipp

3(341)

Beim Stillstand gilt (z. B. bei Anlaufmoment):

s = 1 (342)

Ma i =2 ·Mkippi1

sKipp+ sKipp

Anlaufdrehmoment ohne Stromverdrangung und Reibung (343)

Ma = Ma i− sgn(n) · (Mreib +Mluft) Anlaufdrehmoment (344)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.10 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung fur nichtvernachlassigbaren Statorwiderstand

Randbedingungen:

Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 13

nicht vernachlassigbarer Statorwiderstand RS > 0

Ersatzschaltbildelemente RS, RK, LS, LK sind konstant

motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0

generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0

elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi

Drehmoment an der Welle: M

LI =LSLK

LS +LKHilfsgroße Induktivitat ideeller Kurzschluss (345)

LD = LI

1+ R2S

(2π fS)2LSLI

1− LILS

Hilfsgroße Durchmesserinduktivitat (346)

sKippmot =RK√

(2π fSLD)2 +R2S

Kippschlupf Motorbetrieb (347)

sKippgen =−RK√

(2π fSLD)2 +R2S

Kippschlupf Generatorbetrieb (348)

MKippmot i =32

pU2Sst

2π fS

sKippmot

RK

11+ RS

RKsKippmot

Kippmoment Motorbetrieb (349)

=32

U2Sst

2πn0

sKippmot

RK

11+ RS

RKsKippmot

(350)

MKippgeni =32

pU2Sst

2π fS

sKippgen

RK

11+ RS

RKsKippgen

Kippmoment Generatorbetrieb (351)

=32

U2Sst

2πn0

sKippgen

RK

11+ RS

RKsKippgen

(352)

Hinweis: Wegen der Sattigung in der Maschine ist das tatsachliche generatorische Kippmomentreal haufig deutlich kleiner.


6 ASYNCHRONMASCHINE

Drehzahl-Drehmomentverhalten, Gleichungen liefert mit sKippmot und MKippmot als auch mitsKippgen und MKippgen die gleichen Ergebnisse fur den gesamten Drehzahlbereich.

Mi = 2MKippmot1+ RS

RKsKippmot

ssKippmot

+sKippmot

s +2 RSRK

sKippmot(353)

= 2MKippgen1+ RS

RKsKippgen

ssKippgen

+sKippgen

s +2 RSRK

sKippgen(354)


MKippmot = Mkippmot i− sgn(n) · (Mreib +Mluft) Kippmoment an der Welle (356)

MKippgen = Mkippgeni− (Mreib +Mluft) Kippmoment an der Welle (357)

6.11 Abhangigkeit der Drehmomente von der Spannung

Die gesamte M-n-Kennlinie wachst mit dem Quadrat der Spannung: M ∼U2S .

Die Gleichungen gelten bei fester Frequenz f = fN fur Mreib +MluftMN

MKipp ∼U2S ,

MKipp

MKippN=

(US

UN

)2

Zusammenhang Kippmoment und Spannung

(358)

Ma ∼U2S ,

Ma

MaN=

(US

UN

)2

Zusammenhang Anlaufmoment und Spannung (359)

6.12 Strom und Drehmoment aus Bemessungsgroßen bei kleinemSchlupf

Bei Betrieb mit Bemessungsspannung und Bemessungsfrequenz gelten bei kleinem Schlupfs sKipp fur den Strom und das Drehmoment naherungsweise fur Mreib +MluftMN:

IS ≈ IN

√(M

MN

)2

cos2 ϕN +(1− cos2 ϕN) (360)

M ≈MN1

cosϕN

√(I

IN

)2

− (1− cos2 ϕN) (361)


6 ASYNCHRONMASCHINE

fR ≈M

MNfRN =

MMN

( fN− pnN) (362)

s≈ MMN

sN =M

MN

n0−nN

n0(363)

n≈ n0−M

MN(n0−nN) (364)

Diese Beziehungen gelten sinngemaß naherungsweise auch bei zur Frequenz proportionalenStatorspannung:

US

UN=

fS

fN, US ∼ fS (365)

6.13 Leistungen und Verlustleistungen

PS = 3 ·USst · I∗Sst = 3USstISst cosϕ Statorleistung (366)

PW = 3 ·RS · I2Sst Statorwicklungsverluste (367)

PVR = 3 ·RK · I2K Rotorwicklungsverluste (368)

PVR = s ·2 ·π ·n0 ·M = 2 ·π ·M · fR

pRotorverluste (369)

PR = Pδ = 3 · RK

s· I2

K Rotorleistung, Luftspaltleistung (370)

Preib = 2 ·π ·n ·Mreib , Mreib ≈ konst Reibverluste (371)

Pluft = 2 ·π ·n ·Mluft , Mluft ∼ n2 Luftungsverluste (372)

PV = PW +PVR Gesamtverluste ohne Reibungs-, Luftungs- und Eisenverluste (373)

PV = PWN +PVR +Preib +Pluft +PfeGesamtverluste mit Reibungs-,Luftungs- und Eisenverlusten

(374)

Elektrische Leistung, wenn keine Verluste im Stator auftreten:

PE =Pmech

1− s, dann auch PVR = s ·PE , M =

PE

2 ·π ·n0(375)

PVR =s

1− sPmech > 0 Rotorverluste (376)

Pmech = 3 · RK

s· (1− s) · I2

Kmechanische Leistung, wenn keine Reibungs-oder Lufterverluste auftreten

(377)

Pmech = 3 · RK

s· (1− s) · I2

K−Pluft−Preib mechanische Leistung (378)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.14 Wirkungsgrad

Wirkungsgrad aus der elektrischen Wirkleistung und der mechanischen Leistung:

ηmot =Pmech

PE=

Pmech

Pmech +PVMotorwirkungsgrad (379)

ηNmot =PN

PE=

PN

PN +PVMotorwirkungsgrad im Bemessungsbetrieb (380)

ηgen =|PE||Pmech|

=|PE|

|PE|+PVGeneratorwirkungsgrad, Leistung positiv (381)

ηNgen =PN

PN +PVGeneratorwirkungsgrad Bemessungsbetrieb, Leistung positiv

(382)

6.15 Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variablerSpannung und Frequenz

Betrieb mit variabler Frequenz am Umrichter, vernachlassigbarer Standerwiderstand (RS ≈ 0):

US

UN=

fS

fN, US ∼ fS fur volles Feld (383)

fS = pn+ fR (384)

fR ≈M

MNfRN bei vollem Feld (385)

fR = fRN bei M = MN und vollem Feld (386)

Feldschwachung bei der Asynchronmaschine:

US

UN<

fS

fN, z.B. US =UN bei fS > fN (387)

MKipp ∼(

US

fS

)2

(388)


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.16 Komplexe Spannungsgleichungen

Die Gleichungen gelten fur die Ersatzschaltbilder

12 bei vernachlassigbarem Statorwiderstand RS ≈ 0

13 mit Statorwiderstand RS

14 mit Statorwiderstand RS und Eisenverlustwiderstand Rfe zur Berucksichtigung derUmmagnetisierungsverluste und Wirbelstrome im Eisen.

mit vollstandig in den Lauferkreis umgerechneter Streuinduktivitat.

Umrechnung der Originalgroßen in die Ersatzschaltbilder 12 und 13:

Originalgroßen:

• Statorstranginduktivitat: LS

• Statorstrangwiderstand: RS

• Statorstrangzahl: mS

• Rotorstranginduktivitat: LR

• Rotorstrangwiderstand: RR

• Rotorstrangzahl: mR, z.B. Stabzahl

• Gegeninduktivitat zwischen Statorstrang und Rotorstrang: M

• Drehfeldgegeninduktivitaten zwischen Stator und Rotor:

MSR =mR

2M (389)

MRS =mS

2M (390)

Ersatzschaltbildgroßen fur die Ersatzschaltbilder 12 und 13:

• LS und RS werden unverandert ubernommen

• weitere Großen

u =mRM2LS

(391)

RK =1u2

mR

mSRR (392)

LK =1u2

mR

mSLR−LS (393)

Umrechnung der Rotorstrome:

IK = u · IRst Strangstrom (394)

IRst =1u

IK Strangstrom, z.B. Stabstrom (395)


6 ASYNCHRONMASCHINE

ISst

USstLS

LK

RKs

IK

XS

XK

RK enthalt bei Kurzschlusslaufernden Rotorwiderstand und beiSchleifringlaufern den Rotorwider-stand und extern im Lauferkreiseingeschaltete Widerstande

Abbildung 12: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine ohne Statorwiderstand

ISst

USstLS

LK

RKs

IK

XS

XK

RS


Abbildung 13: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand

Die Gleichungen gelten fur die Strangspannungen und -strome des Stators. Die Umrechnung indie Leitergroßen erfolgt je nach Schaltung der Wicklung (s. Abschnitt 9.6.3 S. 93).

Uh = j ·2 ·π · fS ·LK · IK +RK

sIK = jXK · IK +

RK

sIK Hauptfeldspannung (396)

ISst = IK +Uh

j ·2 ·π · fS ·LS+

UhRfe

= IK +UhjXS

+UhRfe

Statorstrom (397)

USst =Uh +RS · ISst Statorspannung (398)

USst = RS · ISst +ISst

1Rfe

+ 1j·2·π· fS·LS

+ 1RK

s +j·2·π· fS·LK

Statorspannung (399)

= RS · ISst +ISst

1Rfe

+ 1jXS

+ 1RK

s +jXK

Statorspannung (400)

ISst =USst

RS +1

1Rfe

+ 1j·2·π· fS·LS

+ 1RK

s +j·2·π· fS·LK

Statorstrom (401)

=USst

RS +1

1Rfe

+ 1jXS

+ 1RK

s +jXK

Statorstrom (402)


6 ASYNCHRONMASCHINE

ISst

USstLS

LK

RKs

IK

XS

XK

Rfe

RS


Abbildung 14: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand undEisenverlustwiderstand

IK =USst−RS · ISst

RKs + j ·2 ·π · fS ·LK

=USst−RS · ISst

RKs + jXK

auf den Stator umge-rechneter Rotorstrom

(403)

IRst =1u

IK (404)

Spannung und Strom bei Rfe→ ∞

USst =

RS +j2π fSLS

(RKs + j ·2 ·π · fS ·LK

)RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)

ISst Statorspannung bei Rfe→ ∞

(405)

=

RS +jXS

(RKs + jXK

)RKs + j(XK +XS)

ISst Statorspannung bei Rfe→ ∞ (406)

ISst =RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)

RS

(RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)

)+ j2π fSLS

(RKs + j ·2 ·π · fS ·LK

)USst (407)

=RKs + j(XK +XS)

RS

(RKs + j(XK +XS)

)+ jXS

(RKs + j ·XK

)USst (408)

6.16.1 Festlegung Bezugsgroßen

Festlegung eines Stromes oder einer Spannung fur die Berechnung mit komplexen Großen:

Bezugsgroßen Stator:

USst =USst Statorspannung (409)

ISst = ISst · (cosϕ− j · sinϕ) Statorstrom (410)


6 ASYNCHRONMASCHINE

Bezugsgroße Rotor:

IK = IK auf den Stator bezogener Rotorstrom reell (411)

Zusammenhang mit Drehmoment:

Mi =3 · RK

s · I2K

2 ·π · fSp

Drehmoment (412)

IK =

√2 ·π · s · fS ·Mi

3 · p ·RKRotorstrom (413)

6.17 Stromortskurve der Asynchronmaschine

Wichtige Hinweise:

Stromortskurve wird in Stranggroßen dargestellt

Große der Stromortskurve wachst mit der Statorspannung

Kipppunkt mot.

Kipppunkt gen.

Re

- Im0 P0

P∞

P1

I0

Gegenstrom-bremsbereich

DrehmomentengeradeLeistungsgerade

P0

P1P∞

: Leerlaufstrom bei s = 0: ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞

: Anlaufstrom bei s = 1

Abbildung 15: Stromortskurve des Standerstroms ISst bei reeller Statorspannung USst mit Leis-tungsgerade und Drehmomentgerade. P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kur-schluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0

6.17.1 Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve

Aus der Ortskurve konnen folgende Daten abgelesen werden:

ISst : Statorstrom nach Betrag und Phase, Maßstab KI


6 ASYNCHRONMASCHINE

Mi : inneres Drehmoment, Maßstab KM

Pmechi: innere mechanische Leistung, Maßstab KP

PVR: Rotorverlustleistung, Maßstab KP

PVS: Statorverlustleistung, Maßstab KP

In Abbildung 16 sind die Werte fur den Arbeitspunkt P dargestellt.

Maßstabe der Stromortskurve:

KI: frei gewahlt

KM =3pUst

2π fSKI (414)

KP = 3 ·Ust ·KI (415)

Re

- Im0 P0

P∞

P1

I0

M

P

I

Re

- Im0 P0

P∞

P1

I0

P

I

Pmech

PVRPVS

Abbildung 16: Stromortskurve des Standerstroms ISst bei reeller Statorspannung USst mit Dreh-moment M (links) und Leistungen (rechts) Pmech, PVS und PVR fur den Arbeits-punkt P.P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kurschluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0


6 ASYNCHRONMASCHINE

Re

- Im0 P0

P∞

P1

I0

DrehmomentengeradeLeistungsgerade

P0

P1

P∞

: Leerlaufstrom bei s = 0: ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞

: Anlaufstrom bei s = 1

skipp

s

sN

s0

P

PN

PN : Bemessungsbetriebspunkt

Parametergerade (Schlupfgerade)

Abbildung 17: Stromortskurve mit Parametergeraden als Parallele zur Tangente im Punkt P∞

bzw. als Senkrechte auf der Verbindungslinie Mittelpunkt zum Punkt P∞.P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kurschluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.17.2 Parametergerade (Schlupfgerade)

Die Parametergerade/ Schlupfgerade kann an einer beliebig geeigneten Stelle in der Ortskurveparallel zur Tangente in P∞ bzw. senkrecht auf der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt P∞,platziert werden. Die Parametergerade hat dann eine lineare Einteilung fur den Schlupf s. Aufihr kann der Parameter Schlupf s fur jeden Arbeitspunkt abgelesen werden.

Bei Bedarf werden mehrere parallele Schlupfgeraden eingezeichnet, um unterschiedliche Be-reiche fur den Schlupf ablesen zu konnen.

6.17.3 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstantenErsatzschaltbildelementen aus 3 Betriebspunkten

Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus 3 Betriebspunkten gezeichnet werden:

Berechnen der Strangstrome fur 3 Betriebspunkte, z.B.

• Leerlaufpunkt P0: I0 fur s = 0, RKs → ∞

• Kipppunkt Pkipp: Ikipp fur s = skipp, RKskipp

= 2π fSLK

• ideller Kurzschlusspunkt P∞: I∞ fur s→ ∞, RKs → 0

Wahlen eines Maßstabs KI fur das Koordinatensystem, so dass sich die Strome zu den 3Betriebspunkten einzeichnen lassen

Einzeichnen der 3 Strome

Zeichnen eines Kreises durch die 3 Punkte

Gerade durch Leerlaufpunkt P0 und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen

Gerade durch Kipppunkt Pkipp und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen

Tangente im Punkt s→ ∞ einzeichnen

Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur Tangente im Punkt s→ ∞ einzeichnen,so dass sich vernunftige Schnittpunkte der Parallelen mit den Geraden durch Leerlauf-punkt und Kipppunkt ergeben

Schlupfwerte der beiden Betriebspunkte auf der Parametergeraden eintragen, lineareSkalierung der Parametergeraden/Schlupfgeraden vornehmen

ggf. weitere Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur ersten einzeichnen, umeinen anderen Schlupfbereich eintragen zu konnen

Abhangig von den bekannten Großen mussen ggf. Alternativen gewahlt werden, z.B. eintragendes Bemessungspunktes, Anlaufpunktes oder Ermittlung der Betriebspunkte aus Drehmomentoder Leistung.


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.17.4 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstantenErsatzschaltbildelementen aus Mittelpunkt und Radius

Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus Mittelpunkt und Radius gezeichnetwerden [3].

Hinweis: Der Kreis hat noch keine Parametrierung.

Mittelpunkt M berechnen

α =RS

2π fSLS=

RS

XS(416)

σ =LK

LS +LK=

XK

XS +XK(417)

Istµ =Ust

2π fSLS=

Ust

XS(418)

xm = Istµα

α2 +σ(419)

ym =−Istµ

21+σ

α2 +σ(420)

M = xm + jym (421)

Radius r berechnen

r = Istµ

√(α

α2 +σ− α

1+α2

)2

+

(12

1+σ

α2 +σ− 1

1+α2

)2

(422)

Einzeichnen des Mittelpunkts M und Kreis mit dem Radius r um M zeichnen.

Zur Parametrierung ggf. Betriebspunkte berechnen und auf dem Kreis eintragen, Parameterge-rade zeichnen.

6.17.5 Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlassigbarem Statorwiderstandund konstanten Ersatzschaltbildelementen

Zeichnen der Stromortskurve bei RS = 0:

Bei RS = 0 liegen der Leerlaufpunkt P0, der Mittelpunkt und der Punkt P∞ auf der imaginarenAchse. Die Konstruktion vereinfacht sich zu folgenden Schritten:

Einzeichnen des Leerlaufstrangstroms I0 fur s = 0

Einzeichnen des ideellen Kurzschlussstrangstroms I∞ fur s→ ∞

Zeichnen des Kreises durch die 2 Punkte mit Mittelpunkt auf der imaginaren Achse

Parametergerade als Senkrechte auf der imaginaren Achse einzeichnen, s = 0 ist Schnitt-punkt mit imaginaren Achse

Parametrieren der Parametergeraden durch einen weiteren Schlupfwert z.B. fur Bemes-sungspunkt oder Kipppunkt


6 ASYNCHRONMASCHINE

6.18 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- undDreieckschaltung

Sternschaltung – -Schaltung

U =Ul =US =√

3 ·USst (423)

USst =1√3·U =

1√3·Ul =

1√3·US (424)

I = IS = Il = Ist (425)

Dreieckschaltung –4-Schaltung

U =Ul =US =Ust (426)

I = Il = IS =√

3 · ISst (427)

ISst =1√3· I = 1√

3· Il =

1√3· IS (428)


7 EINSCHALTEN ELEKTRISCHER ANTRIEBE

7 Einschalten elektrischer Antriebe

7.1 Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine

asynchroner Anlauf aus dem Stillstand in -Schaltung

Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit wahrend des Laufs Umschaltung in4-Schaltung

MStern =13·MDreieck , M =

13·M4 (429)

IStern =13· IDreieck , I =

13· I4 (430)

Gegebenenfalls muss bei der Berechnung des Drehmoments eine gegenuber der Bemessungs-spannung verringerte Netzspannung berucksichtigt werden.

7.2 Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgerate

asynchroner Anlauf aus dem Stillstand mit verminderter Spannung U = k ·UN , k < 1

Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit wahrend des Laufs Anhebung derSpannung auf UN

Mk = k2 ·M (431)

Ik = k · I (432)


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

8 Antriebsauslegung

Tabelle 10: Großen und Formelzeichen Antriebsauslegung

Formelzeichen Einheit ErklarungPdauer W Dauerleistung

T, t s, min Zykluszeit, Einschaltdauer

τ s, min kurzeste thermische Zeitkonstante des Motors

S1 . . . S10 Betriebsart

kSx 1 Faktor fur Betriebsart Sx

kS2 1 Faktor Kurzzeitbetrieb

tE s, min Einschaltdauer, Belastungsdauer

tA s, min Ausschaltdauer, Leerlaufdauer

tE,rel 1 relative Einschaltdauer

PSx W zulassige Leistung in der Betriebsart Sx

PN W Bemessungsleistung

Meff Nm Effektivmoment

MDauer Nm Dauerdrehmoment

nmittel1

min1s mittlere Drehzahl

ni1

min , 1s Drehzahl beim Belastungsintervall i

Mi Nm Drehmoment beim Belastungsintervall i

ti , ∆ti s Zeitdauer Belastungsintervall i

h m Aufstellungshohe

kh 1 Faktor zur Berucksichtigung der Aufstellungshohe

ϑ C, K Umgebungstemperatur, Kuhlmitteltemperatur

kϑ 1 Faktor zur Berucksichtigung der Umgebungstemperatur,Kuhlmitteltemperatur

ks 1 Sicherheitsfaktor bei der thermischen Auslegung

8.1 Berucksichtigung der Umgebungstemperatur undAufstellungshohe, Spannung und Frequenz

Die zulassige Dauerleistung bzw. das Dauerdrehmoment ist bei ϑ > 40C oder bei h > 1000 mgegenuber der Bemessungsleistung vermindert. Dies wird durch Faktoren kϑ und kh und ggf.


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

durch den Faktor kSx berucksichtigt:

Pdauer = kϑ · kh ·PN Dauerleistung (433)

Mdauer = kϑ · kh ·MN Dauerdrehmoment (434)

PSx = kϑ · kh · kSx ·PN Leistung bei der Betriebsart Sx (435)

MSx = kϑ · kh · kSx ·MN Drehmoment bei der Betriebsart Sx (436)

Die Faktoren kϑ und kh konnen aus Tabellen oder Kennlinien der Hersteller entnommen werden.Der Faktor kSx (siehe Abschnitt 8.2) kann in der Regel beim Hersteller erfragt werden.

Folgende Tabellen geben Anhaltswerte fur kϑ und kh wieder:

Tabelle 11: ungefahre Werte fur die Faktoren Kuhlmitteltemperatur, Umgebungstemperatur,Aufstellungshohe

Kuhlmitteltemperatur,Umgebungstemperatur ϑ

40 C 45 C 50 C 55 C 60 C

Faktor kϑ 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80

Aufstellungshohe h 1000 m 2000 m 3000 m 4000 m 5000 m

Faktor kh 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80

Berucksichtigung Spannung , Frequenz

Frequenz fsup

in Hz

Spannung UUN

in %

Leistung PPN

in %

Drehzahl nnN

in %

Drehmoment MMN

in %

50 100 100 100 100

60 100 100 120 83

60 120 120 120 100


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

8.2 Betriebsarten nach IEC 60034

Fur haufig vorkommende Anwendungsfalle sind Betriebsarten S1 ... S10 genormt:

Tabelle 13: Betriebsarten

Betriebsart Beschreibung

S1 Dauerbetrieb mit konstanter Belastung

S2 Kurzzeitbetrieb

S3 periodischer Aussetzbetrieb

S4 periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorgangs

S5 periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorganges und elektri-scher Bremsung

S6 ununterbrochener periodischer Betrieb

S7 ununterbrochener periodischer Betrieb mit elektrischer Bremsung

S8 ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlanderungen

S9 Betrieb mit nichtperiodischen Last- und Drehzahlanderungen

S10 Betrieb mit einzelnen konstanten Belastungen

PSx = PS1 · kSx Leistung bei der jeweiligen Betriebsart Sx (437)

Die Faktoren kSx gibt der Hersteller an. Fur Standardfalle gibt es Anhaltswerte in Tabellen.Dabei wird haufig die relative Einschaltdauer benotigt:

tE,rel =tE

tE + tA=

tET

relative Einschaltdauer (438)

8.3 Betriebsarten S2, S3, S6

Ein Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn gilt

ks ·PSx ≤ kSx · kh · kϑ ·Pdauer40C1000 m (439)

ks ·MSx ≤ kSx · kh · kϑ ·Mdauer40C1000 m (440)

Tabelle 14: ungefahre Werte fur die Faktoren Betriebsarten

Betriebsart S2 Betriebsart S3 Betriebsart S6

Einschaltdauer kS2 relative kS3 relative kS6

min Einschaltdauer Belastungsdauer


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

10 1,4...1,5 15% 1,4...1,5 15% 1,5...1,6

30 1,15...1,2 25% 1,4...1,4 25% 1,4...1,5

60 1,07...1,1 40% 1,15...1,2 40% 1,3...1,4

8.3.1 Kurzzeitbetrieb S2

Fur den Kurzzeitbetrieb S2 kann der Faktor kS2 nach folgender Gleichung naherungsweisebestimmt werden:

kS2 ≈PS2

PS1≈ MS2

MS1≈

√1

1− e−Tτ

=1√

1− e−Tτ

Kurzzeitbetriebsfaktor (441)

8.3.2 Ununterbrochener periodischer Aussetzbetrieb S3

Fur den Aussetzbetrieb S3 kann der Faktor kS3 nach folgender Gleichung naherungsweisebestimmt werden:

kS3 ≈PS3

PS1≈ MS3

MS1≈

√√√√1− e−TAτA · e−

TEτE

1− e−TEτE

Faktor Aussetzbetrieb (442)

mit thermischer Zeitkonstante τE wahrend der Einschaltdauer,

thermischer Zeitkonstante τA wahrend der Ausschaltdauer

8.3.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S6

Fur den Betrieb mit Aussetzbelastung S6 kann der Faktor kS6 nach folgender Gleichungnaherungsweise bestimmt werden:

kS6 ≈PS6

PS1≈ MS6

MS1≈

√√√√ 1− e−Tτ

1− e−TEτ

Faktor Betrieb mit Aussetzbelastung (443)

mit T = TA +TE

(444)

8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen S8 - Effektivmoment und mittlereDrehzahl bei linearer Dauerkennlinie

Fur drehzahlveranderliche Antriebe aus Motor (Asynchronmotor, Synchronmotor, Gleich-strommotor) und Leistungselektronik (Umrichter, Gleichstromrichter) kann die Auslegung mitdem Effektivmoment und der mittleren Drehzahl erfolgen.


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

8.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60sbei linearer Dauerbetriebskennlinie

Bei Zykluszeiten/ Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s gilt:

Der Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn der aquivalente Dauerbetriebspunkt (nmittel ; Meff)

innerhalb des Dauerbetriebsbereichs mit dem Sicherheitsfaktor ks unter der Dauerbetriebskurveliegt. Die folgende Grafik 18 gibt dies wieder:

Abbildung 18: Dauerbetriebskurve, aquivalenter Dauerbetriebspunkt, Effektivmoment undmittlere Drehzahl

T = ∑i

ti Zykluszeit, Periodendauer T ≤ 1min , T ≤ 60s (445)

Meff =

√1T ∑

iM2

i · ti Effektivmoment (446)

nmittel =1T ∑

i(|ni| ·∆ti) mittlere Drehzahl (447)

Zwischen Stillstanddrehmoment/Haltedrehmoment und Bemessungspunkt kann haufig linearinterpoliert werden (bei nichtlinearem Zusammenhang z.B. bei Eigenluftern s. Abschnitt 8.4.2).Daraus ergibt sich die folgende Gleichung fur das zulassige Dauerdrehmoment:

Mdauer(n) = M0− (M0−MN)n

nN(448)


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

Ggf. Korrektur bei Temperaturen ϑ > 40 C oder Aufstellungshohe h > 1000m mit den Fakto-ren kϑ und kh (s. Abschnitt 8.1 S. 73).

Berucksichtigung uber das zulassige Dauerdrehmoment:

Mdauerϑh = kϑ · kh ·Mdauer40C 1000m zulassiges Dauerdrehmoment (449)

ks ·Meff ≤Mdauerϑh Forderung (450)

Berucksichtigung uber das Effektivdrehmoment:

Meff =1

kϑ · kh·√

1T ∑

iM2


ks ·Meff ≤Mdauer40C 1000m Forderung (452)

8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60sbei nichtlinearer Dauerbetriebskennlinie

Aus der nichtlinearen Dauerdrehmomentkennlinie Mdauer(n) ergeben sich fur jeden Betriebs-punkt die relative Belastung bi und die effektive Belastung beff:

bi =Mi

Mdauer(ni)(453)

beff =1

khkϑ

√1T ∑

ib2

i ti effektive Belastung (454)

ks ·beff ≤ 1 Forderung (455)

8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1min , T > 60s

Bei Zykluszeiten T > 1min ist zusatzlich ein Faktor kτ zur Berucksichtigung der Tempera-turanderungen wahrend der Zykluszeit erforderlich:

kτ =

√√√√ 1− e−Tτ

1− e−T1τ

· T1

TFaktor Zykluszeit (456)

T1 = ∑ ti Belastung Summe der Zeiten, in denen nennenswerte Belastung auftritt (457)

Berucksichtigung uber reduziertes zulassiges Dauerdrehmomoment:

Mdauerϑhτ = kϑ · kh · kτ ·Mdauer40C 1000m zulassiges Dauerdrehmoment (458)

ks ·Meff ≤Mdauerϑhτ Forderung (459)


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG


Meff =1

kϑ · kh · kτ

·√

1T ∑

iM2



8.4.4 Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahlanderungen – S2 + S8

Bei Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahlanderungen kann die zulassige Belastung durchKombination des Kurzzeitfaktors mit dem Effektivmoment bzw. der effektiven Belastungermittelt werden.

Berucksichtigung uber Faktoren fur zulassiges Dauerdrehmomoment:

MdauerϑhτS2 = kS2 · kϑ · kh · kτ ·Mdauer40C 1000m zulassiges Dauerdrehmoment(462)

ks ·Meff ≤MdauerϑhτS2 Forderung (463)


Meff =1

kS2 · kϑ · kh · kτ

·√

1T ∑

iM2



Berucksichtigung uber effektive Belastung

bi =Mi

Mdauer(ni)(466)

beff =1

kS2 · kh · kϑ

√1T ∑

ib2

i ti effektive Belastung (467)

ks ·beff ≤ 1 Forderung (468)


8 ANTRIEBSAUSLEGUNG

8.5 Schutzklassen

IP X YSchutz gegen WasserSchutz gegen feste Fremdkorper und Beruhren

Abbildung 19: Schutzklassenbezeichnung IP

Tabelle 15: Schutzarten nach IEC 60034

IP Schutzart Erste Kennziffer Zweite KennzifferKurzbeschreibung Schutz gegen Schutz gegen

feste Fremdkorper Wasserund Beruhren

X Y

Nicht geschutzt 0

Gegen Zugang fester Fremdkorper > 50 mm 1

Gegen Zugang fester Fremdkorper > 12,5 mm 2

Gegen Zugang fester Fremdkorper > 2,5 mm 3

Gegen Zugang fester Fremdkorper > 1 mm 4

Staubgeschutzt 5

Staubdicht 6

Nicht geschutzt 0

Tropfwasserschutz, senkrecht fallend 1

Tropfwasserschutz ±15 um die Senkrechte 2

Spruhwasserschutz ±60 um die Senkrechte 3

Spritzwasserschutz 4

Wasserstrahlschutz 5

Gegen starken Wasserstrahl geschutzt 6

Schutz beim kurzzeitigen Untertauchen in Was-ser

7

Schutz beim dauernden Untertauchen in Wasser 8


9 GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK

9 Gleichungen der Gleich- und Wechselstromtechnik

9.1 Gleichstrom

Tabelle 16: Großen, Symbole und Einheiten Gleichstromtechnik

Große Symbol Einheit Name Bemerkungenelektrischer Widerstand R Ω Ohm kΩ, MΩ, mΩ

elektrischer Leitwert G S Siemens

Leistung P W Watt kW, MW, mW

elektrische Spannung U V Volt kV, mV

elektrische Stromstarke I A Ampere mA, kA

Stromdichte J Am2

Amm2

Wirkungsgrad η 1 Angabe haufig in %

9.2 Elektrischer Widerstand

R =ρ · l

qWiderstand eines Leiters mit dem Querschnitt q (469)

R =ρ · lπ4 d2 =

4ρ · lπd2 Widerstand eines Leiters mit dem Durchmesser d (470)

Rϑ = R20 ·(1+α20 · (ϑ −20C)

) Temperaturturabhangigkeit des Wider-stands, Temperaturkoeffizient α20

(471)

Rϑ2 = Rϑ1 ·ϑ0 +ϑ2

ϑ0 +ϑ1

Temperaturturabhangigkeit des Widerstands,Werktstoffkonstante ϑ0

(472)

ϑ0 =1

α20−20C , α20 =

1ϑ0 +20C

(473)

ϑ2 =Rϑ2−Rϑ1

Rϑ1

ϑ0 +Rϑ2

Rϑ1

ϑ1 =Rϑ2−Rϑ1

Rϑ1

(ϑ0 +ϑ1)+ϑ1Temperatur ausWiderstanden

(474)

∆ϑ = ϑ2−ϑ1 =Rϑ2−Rϑ1

Rϑ1

(ϑ0 +ϑ1) Temperaturanderung aus Widerstanden (475)



Tabelle 17: Eigenschaften Leitermaterialien Metalle und Legierungen

Material spezifischerWiderstand

spezifischerLeitwert

Tempera-turkoeffi-zientWiderstand

Kenn-temperatur

ρ20 κ20 α20 ϑ0

10−6 Ωm = Ωmm2

m 106 Sm = m

Ωmm21K

C

Silber (Ag) 0,016 62,5 0,0038 243

Kupfer (Cu) 0,01786 56 0,00392 235

Gold (Au) 0,0224 44,6 0,004 230

Aluminium (Al) 0,02857 35 0,0038 245

Wolfram (W) 0,055 18 0,0041 224

Eisendraht (Fe) 0,12 7,7 0,0025 380

Stahldraht (St) 0,13 7,7 0,005 180

Messing (CuZn5) 0,030 33 0,0023 415

Messing (CuZn30) 0,062 16 0,0012...0,0015 831...647

Messing (CuZn37) 0,066 15 0,0017 568

Konstantan 0,49 2 0,00001 10 000

(Cu55Ni44Mn1)

Tabelle 18: Tabelle der charakteristischen Abmessungen lackisolierter Spulendrahte

LeiterKupferlackdraht

(Gesamtdurchmesser)

d

mm

Querschnitt

mm2

Widerstand bei 20 C Grad 1 Grad 2

W / m

nominal

D max.

mm

D max.

mm

0,050 0,00196 8,706 0,060 0,066

0,056 0,00246 6,940 0,067 0,074

0,063 0,00311 5,484 0,076 0,083

0,071 0,00502 4,318 0,084 0,091

0,080 0,00502 3,401 0,094 0,101

0,090 0,00636 2,687 0,105 0,113

0,100 0,00785 2,176 0,117 0,125

0,106 0,00882 1,937 0,123 0,132




Kupferlackdraht – Fortsetzung


(Gesamtdurchmesser)

d

mm

Querschnitt

mm2


W / m

nominal

D max.

mm

D max.

mm

0,112 0,00985 1,735 0,130 0,139

0,118 0,01094 1,563 0,136 0,145

0,125 0,01227 1,393 0,144 0,154

0,132 0,01368 1,249 0,152 0,162

0,140 0,01593 1,110 0,160 0,171

0,150 0,01767 0,9673 0,171 0,182

0,160 0,02011 0,8502 0,182 0,194

0,170 0,02370 0,7531 0,194 0,205

0,180 0,02545 0,6718 0,204 0,217

0,190 0,02835 0,6029 0,216 0,228

0,200 0,03142 0,5441 0,226 0,239

0,212 0,03530 0,4843 0,240 0,254

0,224 0,03941 0,4338 0,252 0,266

0,236 0,04374 0,3908 0,267 0,283

0,250 0,04909 0,3482 0,281 0,297

0,265 0,05515 0,3099 0,297 0,314

0,280 0,06158 0,2776 0,312 0,329

0,300 0,07069 0,2418 0,334 0,352

0,315 0,07793 0,2193 0,349 0,367

0,335 0,08814 0,1939 0,372 0,391

0,355 0,09898 0,1727 0,392 0,411

0,375 0,11040 0,1548 0,414 0,434

0,400 0,12570 0,1360 0,439 0,459

0,425 0,14190 0,1205 0,466 0,488

0,450 0,15900 0,1075 0,491 0,513

0,475 0,17720 0,09646 0,519 0,541

0,500 0,1963 0,08706 0,544 0,566

0,530 0,2206 0,07748 0,576 0,600

0,560 0,2463 0,06940 0,606 0,630






(Gesamtdurchmesser)

d

mm

Querschnitt

mm2


W / m

nominal

D max.

mm

D max.

mm

0,600 0,2827 0,06046 0,649 0,674

0,630 0,3117 0,05484 0,679 0,704

0,670 0,3526 0,04848 0,722 0,749

0,710 0,3959 0,04318 0,762 0,789

0,750 0,4418 0,03869 0,805 0,834

0,800 0,5027 0,03401 0,855 0,884

0,850 0,5675 0,03012 0,909 0,939

0,900 0,6362 0,02687 0,959 0,989

0,950 0,7088 0,02412 1,012 1,044

1,000 0,7854 0,02176 1,062 1,094

1,060 0,8825 0,01937 1,124 1,157

1,120 0,9852 0,01735 1,184 1,217

1,180 1,094 0,01563 1,246 1,279

1,250 1,227 0,01393 1,316 1,349

1,320 1,368 0,01249 1,388 1,422

1,400 1,539 0,01110 1,468 1,502

1,500 1,767 0,009373 1,570 1,606

1,600 2,011 0,008502 1,670 1,706

1,700 2,270 0,007531 1,772 1,809

1,800 2,545 0,006718 1,872 1,909

1,900 2,835 0,006029 1,974 2,012

2,000 3,142 0,005441 2,074 2,112

2,120 3,530 0,004843 2,196 2,235

2,240 3,941 0,004338 2,316 2,355

2,360 4,374 0,003908 2,438 2,478

2,500 4,909 0,003482 2,578 2,618

2,650 5,515 0,003099 2,730 2,772

2,800 6,158 0,002776 2,880 2,922

3,000 7,069 0,002418 3,083 3,126






(Gesamtdurchmesser)

d

mm

Querschnitt

mm2


W / m

nominal

D max.

mm

D max.

mm

3,150 7,793 0,002212 3,233 3,276

3,350 8,814 0,001956 3,435 3,479

3,550 9,898 0,001742 3,635 3,679

3,750 11,04 0,001561 3,838 3,883

4,000 12,57 0,001372 4,088 4,133

4,250 14,19 0,001205 4,341 4,387

4,500 15,90 0,001075 4,591 4,637

4,750 17,72 0,000964 4,843 4,891

5,000 19,63 0,000870 5,093 5,741

9.3 Ohm’sches Gesetz, Gleichungen Widerstand

U = R · I Ohm’sches Gesetz (476)

RE = ∑Ri Ersatzwiderstand der Reihenschaltung (477)

1RE

= ∑1Ri

Ersatzwiderstand der Parallelschaltung (478)

P =U · I Leistung ohmscher Widerstand (479)

P = R · I2 Leistung ohmscher Widerstand (480)

P =U2

RLeistung ohmscher Widerstand (481)

9.4 Grundgleichung zur Berechnung von Gleichstromkreisen/-Netzwerken

U = R · I Ohm’sches Gesetz (482)

∑Umit = ∑Ugegen Maschensatz (483)

∑ Izu = ∑ Iab Knotensatz (484)



9.5 Wechselstromtechnik

Tabelle 19: Großen, Symbole und Einheiten Wechselstrom/Drehstrom

Große Symbol Einheit Name BemerkungenKreisfrequenz ω

rads , 1

s - -

Frequenz f Hz Hertz 1s , mHz, kHz, MHz, GHz

Periodendauer T s Sekunde min

NullphasenwinkelSpannung

ϕu rad, - -

NullphasenwinkelStrom

ϕi rad, - -

Phasenverschie-bungswinkel

ϕ rad, - ϕ = ϕu − ϕi, Winkelvom Strom zur Span-nung

Resonanzfrequenz f0 Hz Hertz 1s

induktiver Blindwi-derstand

XL Ω Ohm kΩ, mΩ

kapazitiver Blindwi-derstand

XC Ω Ohm kΩ, mΩ

Scheinwiderstand Z Ω Ohm kΩ, mΩ

Komplexer Schein-widerstand

Z Ω Ohm kΩ, mΩ

Blindleistung Q var Volt-Ampere-reaktiv 1 var = 1 VA

Scheinleistung S VA Volt-Ampere -

Effektivwert Strom I, Ieff A Ampere kA, mA

Scheitelwert Strom I A Ampere kA, mA

AugenblickswertStrom

i, i(t) A Ampere kA, mA

Stromzeiger, kom-plexer Strom

I A Ampere kA, mA

Effektivwert Span-nung

U , Ueff V Volt kV, mV

Scheitelwert Span-nung

U V Volt kV, mV

AugenblickswertSpannung

u, u(t) V Volt kV, mV




Einheiten – Fortsetzung

Große Symbol Einheit Name BemerkungenSpannungszeiger,komplexe Spannung

U V Volt kV, mV

imaginare Einheit j j j2 =−1 , j =√−1

In der Mathematik i,wegen der Verwechse-lungsgefahr mit Strom iin der Technik j

9.5.1 Allgemeines

u(t)i(t)

u(t) i(t)ϕ

ϕu ϕi

π,180 π,180

2π,360

ϕ ϕ

T = 1f

t, ϕ = ωt = 2π f t

U I

Abbildung 20: Sinusformige Wechselspannung und -strom

i(t) = I sin(ωt +ϕi) = I sin(2π f t +ϕi) Sinusformiger Zeitverlauf Strom: (485)

u(t) = U sin(ωt +ϕu) = U sin(2π f t +ϕu) Sinusformiger Zeitverlauf Spannung (486)

ϕ = ϕu−ϕi mit den Nullphasenwinkeln ϕu , ϕi Phasenverschiebungswinkel (487)

f =1T

Frequenz: (488)

T =1f

Periodendauer (489)

ω = 2π f =2πT

Kreisfrequenz (490)



9.5.2 Effektivwert und Gleichrichtwert bei beliebigem periodischem Zeitverlauf

U =Ueff =

√√√√√ 1T

T∫t=0

u2(t)dt Effektivwert Spannung (491)

I = Ieff =

√√√√√ 1T

T∫t=0

i2(t)dt Effektivwert Strom (492)

Ugr = |u(t)|=1T

T∫t=0

|u(t)|dt Gleichrichtwert Spannung (493)

9.5.3 Effektivwert und Gleichrichtwert bei Sinusgroßen

U =Ueff =1√2

U , U =√

2 U Spannung (494)

I = Ieff =1√2

I, I =√

2 I Strom (495)

Ugr =2π

U ≈ 1,11 ·Ueff Gleichrichtwert (496)

9.5.4 Spannungsabfall, Impedanz, Reaktanz

U = R · I Spannung am ohmschen Widerstand (497)

U = j ·2 ·π · f ·L · I = j ·ω ·L · I Spannung an einer Induktivitat (498)

ZL = j ·2 ·π · f ·L = j ·ω ·L induktiver Blindwiderstand, Reaktanz (499)

U =1

j ·2 ·π · f ·C· I = 1

j ·ω ·C· I Spannung an einem Kondensator (500)

ZC =1

j ·2 ·π · f ·C=

1j ·ω ·C

kapazitiver Blindwiderstand (501)



Grundgleichungen zur Berechnung von Wechseltromkreisen und -netzwerken

U = Z · I Spannung an einem Scheinwiderstand (502)

∑Umit = ∑Ugegen Maschensatz (503)

∑ Izu = ∑ Iab Knotensatz (504)

ZE = ∑Zi Ersatzscheinwiderstand der Reihenschaltung (505)

1ZE

= ∑1Zi

Ersatzwiderstand der Parallelschaltung (506)

Wirkleistung, Scheinleistung, Blindleistung, Leistungsfaktor

S =U · I Scheinleistung (507)

P =U · I · cosϕ Wirkleistung (508)

Q =U · I · sinϕ Blindleistung (509)

ϕ = ](I ,U) Phasenwinkel vom Strom zur Spannung (510)

positiver Winkel: Spannung eilt vor, Strom eilt nach

negativer Winkel: Spannung eilt nach, Strom eilt vor

sin2ϕ + cos2

ϕ = 1 (511)

S =U · I∗ komplexe Scheinleistung (512)

S = P+ jQ (513)

S = |S| (514)

P = Re(S) Wirkleistung (515)

Q = Im(S) Blindleistung (516)

cosϕ =PS


sinϕ =QS=

√1− cos2 ϕ induktiv

−√

1− cos2 ϕ kapazitivBlindleistungsfaktor (518)

sin2ϕ + cos2

ϕ = 1 (519)



Tabelle 20: Strom und Leistung in Widerstand, Kapazitat, Induktivitat, allg. Impedanz

Kenngroße Widerstand Kapazitat Induktivitat allgemeine ImpedanzLeistung PR =UR IR PC = 0 PL = 0 PZ =UZ IZ cosϕz

Blindleistung QR = 0 QC =−UC IC QL =UL IL QZ =UZ IZ sinϕz

Scheinleistung SR =UR IR SC =UC IC SL =UL IL SZ =UZ IZ

=√

P2Z +Q2

Z

Phasenverschie-bungswinkelvom Strom zurSpannung

ϕ = 0 ϕ =−90 ϕ = 90 ϕ = ϕz

Leistungsfaktor cosϕ = 1 cosϕ = 0 cosϕ = 0 cosϕ = PZSZ

Arbeit WR =U I t WC = 0 WL = 0 WZ = PZ t

Wirkstrom IWR = URR IWC = 0 IWL = 0 IWZ = UZ

Z cosϕz

= I cosϕz

Blindstrom IBR = 0 IBC =−ω CUC IBL = ULω L IBZ = UZ

Z sinϕz

= IZ sinϕz

Strom IR = URR IC = ω CUC IL = UL

ω L IZ = UZZ

Blindwiderstand XC = 1ωC XL = ωL

komplexe ZR = R ZC = 1jω C ZL = jω L Z = Z (cosϕ + j sinϕ)

Impedanz ZC =−jXC ZL = jXL

R = UI XC = 1

ωC = UI XL = ωL = U

I Z = UI

komplexe Span-nung

UR = RIR UC = ICjω C UL = jω LIL UZ = Z IZ

komplexerStrom

IR =URR IC = jω CUC IL =

ULjω L IZ =

UZZ

komplexe SR =UR IR SC =−jUC IC SL = jUL IL SZ =UZ IZ

Scheinleistung ·(cosϕ + j sinϕ)

9.6 Drehstrom – symmetrisches Drehstromnetz, symmetrischerDrehstromverbraucher

Bei Drehstrom wird zwischen Leitergroßen, Stranggroßen und der Sternpunktspannung unter-schieden. Wenn kein Index angegeben wird, handelt es sich stets um Leitergroßen.

Die Berechnung erfolgt in der Regel fur die Großen eines Strangs. Die anderen Strange habenbei symmetrischen Drehstromnetzen und -verbrauchern die gleichen Strome, Spannungen undLeistungen, wobei die Stranggroßen 120 phasenverschoben sind. Bezug ist uberlicherweise



der Strang U.

L1L2L3

NPE

IlUl

Ust

Ist

4-Schaltung

IlUlIst

Ust

-Schaltung

Ul

UlUl

UU UV UW

U U U

Abbildung 21: Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieck-Schaltung, Leitergroßen,Stranggroßen

Tabelle 21: Drehstromgroßen

Große Symbol BemerkungLeiterspannung U , Ul Spannung zwischen zwei Außenleitern

Leiterstrom I , Il Strom in der Zuleitung zu einem Verbrau-cher, Strom in einem Leiter des Versor-gungsnetzes, Strom in einem Leiter desErzeugers

Sternpunktspannung U Spannung zwischen einem Außenleiterund dem Sternpunkt

Strangspannung Ust Spannung an einem Strang des Verbrau-chers oder Erzeugers

Strangstrom Ist Strom in einem Strang des Verbrauchersoder Erzeugers

9.6.1 Zeitverlaufe und komplexe Spannungen und Strome

Bezug ist der Strang U.



t, ϕ = ωt = 2π f t

u(t) uU(t) uV(t) uW(t)

T3 , 2π

3T3 , 2π

3T3 , 2π

3

2π3 ,120 2π

3 ,120 2π3 ,120

1f ,2π,360

Abbildung 22: Zeitverlaufe Drehspannungssystem

Drehspannungssystem Strangspannungen:

uU(t) = Ust sin(ωt +ϕu) = Ust sin(2π f t +ϕu) (520)

uV(t) = Ust sin(

ωt +ϕu−2π3

)= Ust sin(2π f t +ϕu−120) (521)

uW(t) = Ust sin(

ωt +ϕu−4π3

)= Ust sin(2π f t +ϕu−240) (522)

= Ust sin(

ωt +ϕu +2π3

)= Ust sin(2π f t +ϕu +120) (523)

Drehstromsystem Strangstrome:

iU(t) = Ist sin(ωt +ϕi) = Ust sin(2π f t +ϕi) (524)

iV(t) = Ist sin(

ωt +ϕi−2π3

)= Ist sin(2π f t +ϕi−120) (525)

iW(t) = Ist sin(

ωt +ϕi−4π3

)= Ist sin(2π f t +ϕi−240) (526)

= Ist sin(

ωt +ϕi +2π3

)= Ist sin(2π f t +ϕi +120) (527)



IU

IW IV

ϕ

ϕ

ϕ

2π3 ,120

2π3 ,120

UVUU

UW

Abbildung 23: Drehspannungs- und Drehstromsystem, nacheilender Strom

9.6.2 Komplexe Drehstrome und -spannungen, Zeigerdarstellung

Drehspannungssystem Strangspannungen (ϕu: Nullphasenwinkel der Spannung Strang U):

UU =Ust e jϕu Strang U (528)

UV =UU e−j 2π3 =Ust e j(ϕu− 2π

3 ) Strang V (529)

UV =UU e−j 4π3 =UU e+j 2π

3 =Ust e j(ϕu+2π3 ) Strang W (530)

Drehstromsystem Strangstrome (ϕi: Nullphasenwinkel des Stroms Strang U):

IU = Ist e jϕi Strang U (531)

IV = IU e−j 2π3 = Ist e j(ϕi− 2π

3 ) Strang V (532)

IW = IU e−j 4π3 = IU e+j 2π

3 = Ist e j(ϕi+2π3 ) Strang W (533)

Spannungen und Strome mit Bezug Strangspannung Strang U:

ϕ = ϕu−ϕi Phasenwinkel Strom - Spannung, s. Abb 23 (534)

UU =Ust Strang U (535)

UV =Uste−j 2π3 Strang V (536)

UW =Uste+j 2π3 Strang W (537)

IU = Iste−jϕ Strang U (538)

IV = Iste−jϕ−j 2π3 Strang V (539)

IW = Iste−jϕ+j 2π3 Strang W (540)

9.6.3 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung

-Schaltung – Sternschaltung

U =Uleiter =√

3 ·Ust (541)



Ust =1√3·Uleiter =

1√3·U (542)

I = Ileiter = Ist (543)

4-Schaltung – Dreieckschaltung

U =Uleiter =Ust (544)

I = Ileiter =√

3 · Ist (545)

Ist =1√3· Ileiter =

1√3· I (546)

9.6.4 Leistung im Drehstromsystem

Leitergroßen: U , I oder Uleiter, Ileiter

Stranggroßen: Ust, Ist

S = 3 ·Ust · Ist =√

3 ·U · I Scheinleistung (547)

P = 3 ·Ust · Ist · cosϕ =√

3 ·U · I · cosϕ Wirkleistung (548)

Q = 3 ·Ust · Ist · sinϕ =√

3 ·U · I · sinϕ Blindleistung (549)

ϕ = ](Ist ,U st) Phasenwinkel vom Strom zur Spannung, s. Abb. 23 (550)

9.6.5 Widerstand zwischen zwei Klemmen eines Drehstromverbrauchers/Drehstromgenerators

bei -Schaltung: Rmess = 2Rst (551)

bei4-Schaltung: Rmess =23

Rst (552)


10 KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN

10 Kinematische Grundgleichungen

Tabelle 22: Großen und Formelzeichen Kinematik und Dynamik

Große Formelzeichen Einheit

Energie E Ws = J

Zeit t s

Erdbeschleunigung 9,81 ms2 g m

s2

Hohe h m

Beschleunigung a ms2

Geschwindigkeit v ms

Anfangsgeschwindigkeit v0ms

Lange l m

Weg x m

Anfangsweg x0 m

Masse m kg

Impuls P kgms

Kraft F N

Winkelbeschleunigung αrads2

Winkelgeschwindigkeit ωrads

Anfangswinkelgeschwindigkeit ω0rads

Winkel ϕ rad

Anfangswinkel ϕ0 rad

Radius r m

Umfang u m

Tragheitsmoment J kgm2

Drehimpuls L kgm2 rads

Drehmoment M Nm

Dichte ρkgm3

10.1 Kinetische Grundgleichungen fur translatorischeBewegungen mit konstanter Beschleunigung

x =12·a · t2 + v0 · t + x0 Weg (553)

•x = v = a · t + v0 Geschwindigkeit (554)



••x =

•v = a = konst. Beschleunigung (555)

10.2 Kinetische Grundgleichungen fur translatorischeBewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

x = v · t + x0 Weg (556)

•x = v = konst. Geschwindigkeit (557)

••x =

•v = a = 0 Beschleunigung (558)

10.3 Kinetische Grundgleichungen fur rotatorische Bewegungenmit konstanter Winkelbeschleunigung

ϕ =12·α · t2 +ω0 · t +ϕ0 Winkel (559)

•

ϕ = ω = α · t +ω0 Winkelgeschwindigkeit (560)

••

ϕ =•

ω = α = konst. Winkelbeschleunigung (561)

10.4 Kinetische Grundgleichungen fur rotatorische Bewegungenmit konstanter Winkelgeschwindigkeit

ϕ = ω · t +ϕ0 Winkel (562)

•

ϕ = ω = konst. Winkelgeschwindigkeit (563)

••

ϕ =•

ω = α = 0 Winkelbeschleunigung (564)

u = rϕ Umfangsweg (565)



10.5 Kinetische Energie

Elin =12·m · v2 kinetische Energie linear bewegter Massen (566)

Erot. =12· J ·ω2 Rotationsenergie, kinetische Energie rotierender Massen (567)

10.6 Kraft und Drehmoment

M = F · r Kraft und Hebelarm (568)

10.7 Impuls und beschleunigte Masse

P = m · v Impuls (569)

F =•

P =•

mv Kraft und Impulsanderung (570)

F = m ·a Kraft und Beschleunigung bei konstanter Masse (571)

Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Masse zeitab-hangig andern. Uber die Betrachtung mit dem Impuls lassen sich solche Vorgange sinnvollbehandeln.

Gleiches gilt beim Kuppeln von Massen bei Bewegung.

10.8 Drehimpuls und beschleunigte Massentragheit

L = J ·ω Drehimpuls (572)

M =•

L =•

Jω Drehmoment und Drehimpulsanderung (573)

M = J ·α Drehmoment und Beschleunigung bei konstanter Massentragheit (574)

Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Massentragheitzeitabhangig andern. Uber die Betrachtung mit dem Drehimpuls lassen sich solche Vorgangesinnvoll behandeln.

Gleiches gilt beim Kuppeln von Massengtragheiten bei Bewegung.



10.9 Berechnung von Tragheitsmomenten fur Zylinder, Kugel undQuader

lr

ω

J = 12ρ · l ·πr4

ωr

J = 815ρ ·πr5

b

a

c

ω J = 112ρ ·a ·b · c · (a2 +b2)

10.10 Umrechung von Massen und Massentragheiten auf eineBezugswelle

Mechanisch gekoppelte Massen mi bei der Geschwindigkeit vi und Massentragheiten J j bei derDrehzahl n j lassen sich auf eine Bezugswelle mit der Drehzahl n∗ zu einer ErsatzmassentragheitJ∗ umrechnen:

J∗ = ∑i

( ni

n∗

)2· Ji =

1n∗2 ∑

in2

i · Ji Umrechnung Massentragheiten (575)

= ∑i

u2i · Ji mit ui =

ni

n∗(576)

J∗ =1

4 ·π2 ·n∗2·∑

iv2

i ·mi Umrechnung Massen (577)

J∗ =1

4 ·π2 ·n∗2·∑

iv2

i ·mi +1

n∗2 ∑i

n2i · Ji

Umrechnung von Massen undMassentragheiten

(578)


11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN

11 Einheiten und Vorsatzzeichen fur Einheiten

11.1 SI-Einheiten, Vorsatzzeichen

Die folgenden Tabellen geben die Formelzeichen, Einheiten und Vorsatzzeichen fur Einheitenwieder, die haufig bei elektrischen Maschinen und Antrieben benutzt werden.

Dabei werden Variablen grundsatzlich kursiv gedruckt. Konstante Großen werden geradegedruckt, wie z.B. Einheiten, Naturkonstanten, mathematische Konstanten und Vorsatzzeichen.

Tabelle 24: SI Einheiten und Formelzeichen

Große Formel-zeichen

SI-Basis-einheitoder ko-harenteSI-Einheit

weitere gebrauchliche Einheiten

Zeit t, T s ms, µs, min, h

min und h nur ohne Vorsatzzeichen

Lange l, s, x m mm, µm, km

bei zusammengestzten Einheiten

steht m immer am Ende, z.B. Nm

Radius r m mm, µm, km

Geschwindigkeit v ms

mmin , km

h

Drehmoment M Nm kNm

Drehzahl n 1s

1min

Winkelgeschwindigkeit ωrads

Winkel ϕ , α , β rad

Phasenwinkel, ϕ rad

zeigt vom Strom

zur Spannung

Wirkleistung P W kW, MW, GW, mW, µW

Scheinleistung S VA kVA, MVA, GVA

Blindleistung Q var kvar, Mvar, Gvar

Energie E Ws, J mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,

kWh, MWh, TWh

Arbeit W Ws, J mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,

kWh, MWh, TWh

Spannung U V kV, mV, µV



Strom I A kA, mA, µA

Frequenz f Hz mHz, kHz, MHz, GHz

Kreisfrequenz ωrads

Widerstand R Ω kΩ, MΩ, mΩ

Induktivitat L H mH, µH

Kapazitat C F mF, µF, nF, pF

magnetische Feldstarke H Am

kAm

magnetische Flussdichte B T mT

magnetischer Fluss Φ Vs mVs, µVs

Permeabilitat µVsAm

magnetische Spannung V A kA

magnetische Durchflutung Θ A kA

Temperatur ϑ C

absolute Temperatur T K

11.2 Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen

Die folgenden Tabellen geben Umrechnungsfaktoren zwischen Langen, Flachen ... Massen ... inverschiedenen Einheitensystemen wieder. Die SI-Basiseinheiten oder koharente Einheiten sindjeweils hervorgehoben.

2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule HannoverSeite 100 von 136


Tabe

lle25

:Lan

geIn

ch(Z

oll)

Foot(F

uß)

Yard

Nau

tical

Mile

(See

mei

le)

mm

cmm

inft

ydkm

mile

natm

ile∗

1mm

110−

110−

33,

9370

1·1

0−2

3,28

084·1

0−3

1,09

361·1

0−3

10−

66,

2138

8·1

0−7

5,39

957·1

0−7

1cm

101

10−

23,

9370

1·1

0−1

3,28

084·1

0−2

1,09

361·1

0−2

10−

56,

2138

8·1

0−6

5,39

957·1

0−6

1m10

0010

01

39,3

701

3,28

084

1,09

361

10−

36,

2138

8·10−

45,

3995

7·10−

4

1in

25,4

2,54

2,54·1

0−2

18,

3333

3·1

0−2

2,77

778·1

0−2

2,54·1

0−5

1,57

828·1

0−5

1,37

149·1

0−5

1ft

304,

830,4

83,

048·

10−

112

13,

3333

3·1

0−1

3,04

8·1

0−4

1,89

394·1

0−4

1,64

579·1

0−4

1yd

914,

491,4

49,

144·

10−

136

31

9,14

4·1

0−4

5,68

182·1

0−4

4,93

737·1

0−4

1km

106

105

1000

3937

0,1

328

0,84

109

3,61

16,

2138

8·1

0−1

5,39

957·1

0−1

1mile

1,60

934·1

0616

093

416

09,3

463

360

528

01

760

1,60

934

18,

6897

6·1

0−1

1nat

mile∗

1,85

2·1

0618

520

018

5272

913,

46

076,

122

025,

371,

852

1,15

078

1

*In

UK

gilt:

1im

pna

tmile

=18

53m

.

Tabe

lle26

:Fla

che

Ar

Hek

tar

Sqar

eInc

hSq

uare

Foot

Squa

reYa

rdSq

uare

Mile

cm2

m2

Aha

km2

in2

ft2

yd2

mile

2ac

re1c

m2

110−

410−

610−

810−

101,

5500

0·1

0−1

1,07

639·1

0−3

1,19

599·1

0−4

3,86

102·1

0−11

2,47

105·1

0−8

1m2

1000

01

10−

210−

410−

515

50,0

010

,763

91,

1959

93,

8610

2·10−

72,

4710

5·10−

4

1a10

610

01

10−

210−

415

500

01

076,

3911

9,59

93,

8610

2·1

0−5

2,47

105·1

0−2

1ha

108

1000

010

01

10−

21,

5500

0·1

0−7

107

639

1195

9,9

3,86

102·1

0−3

2,47

105

1km

210

1010

610

000

100

11,

5500

0·1

091,

0763

9·1

071,

1959

9·1

063,

8610

2·1

0−1

247,

105

1in2

6,45

160

6,45

160·

10−

46,

4516·1

0−6

6,45

16·1

0−8

6,45

16·1

0−10

16,

9444

4·1

0−3

7,71

605·1

0−4

2,49

098·1

0−10

1,59

423·1

0−7

1ft2

929,

030

9,29

03·1

0−2

9,29

03·1

0−4

9,29

03·1

0−6

9,29

03·1

0−8

144

11,

1111

1·1

0−1

3,58

701·1

0−8

2,29

568·1

0−5

1yd2

8361,2

78,

3612

7·10−

18,

3612

7·1

0−3

8,36

127·1

0−5

8,36

127·1

0−7

129

69

13,

2283

1·1

0−7

2,06

612·1

0−4

1mile

22,

5899

9·1

0102,

5899

9·10

625

899,

925

8,99

92,

5899

94,

0144

9·1

092,

7878

4·1

073,

0976·1

061

640

1acr

e4,

0468

6·1

0740

46,8

640

,468

64,

0468

5·1

0−1

4,04

685·1

0−3

6,27

264·1

0643

560,

04

840

1,56

25·1

0−3

1



Tabe

lle27

:Vol

umen

Lite

rC

ubic

Inch

Cub

icFo

otC

ubic

Yard

Flui

dO

unce

Flui

dO

unce

Gal

lon

Gal

lon

Pint

m3

cm3=

ml

dm3=

lin

3ft

3yd

3U

Sfl

ozim

pfl

ozU

Sga

lim

pga

lim

ppi

nt1m

31

106

1000

6102

3,7

35,3

147

1,30

795

3381

435

195,

126

4,17

221

9,96

917

59,7

51c

m3

10−

61

10−

36,

1023

7·1

0−2

3,53

147·1

0−5

1,30

795·1

0−6

3,38

140·1

0−2

3,51

951·1

0−2

2,64

172·1

0−4

2,19

969·1

0−4

1,75

975·1

0−3

1dm

310−

31

000

161

,023

73,

5314

7·1

0−2

1,30

795·1

0−3

33,8

140

35,1

951

2,64

172·1

0−1

2,19

969·1

0−1

1,75

975

1in3

1,63

871·

10−

516

,387

11,

6387

1·1

0−2

15,

7870

4·1

0−4

2,14

335·1

0−5

5,54

113·1

0−1

5,76

744·1

0−1

4,32

900·1

0−3

3,60

465·1

0−3

2,88

372·1

0−2

1ft3

0,02

8316

828

316,

828

,316

81

728

13,

7037

0·1

0−2

957,

506

996,

614

7,48

052

6,22

884

49,8

307

1yd3

0,76

4555

764

555

764,

555

4665

627

125

852,

726

908,

620

1,97

416

8,17

91

345,

43

1US

floz

2,95

735·

10−

529

,573

52,

9573

5·1

0−2

1,80

469

1,04

438·1

0−3

3,86

807·1

0−5

11,

0408

47,

8125·1

0−3

6,50

527·1

0−3

5,20

421·1

0−2

1Im

pfl

oz2,

8413

1·10−

528

,413

12,

8413

1·1

0−2

1,73

387

1,00

340·1

0−3

3,71

629·1

0−5

9,60

760·1

0−1

17,

5059

4·1

0−3

6,25·1

0−3

5·1

0−2

1US

gal

3,78

541·

10−

33

785,

413,

7854

123

11,

3368

1·1

0−1

4,95

113·1

0−3

128

133,

228

18,

3267

4·1

0−1

6,66

139

1im

pga

l4,

5460

9·10−

34

546,

094,

5460

927

7,41

91,

6054

4·1

0−1

5,94

606·1

0−3

153,

722

160

1,20

095

18

1im

ppi

nt5,

6826

1·10−

456

8,26

15,

6826

1·1

0−1

34,6

774

2,00

680·1

0−2

7,43

258·1

0−4

19,2

152

201,

5011

9·1

0−1

1,25·1

0−1

1

Tabe

lle28

:Mas

seO

unce

Poun

dg

kgoz

lb=

lbm

US

ton

1g1

10−

33,

5274

0·1

0−2

2,20

462·1

0−3

1,10

231·1

0−6

1kg

1000

135

,274

02,

2046

21,

1023

1·10−

3

1oz

28,3

495

2,83

495·

10−

21

6,25·1

0−2

3,12

5·1

0−5

1lb=

1lbm

453,

592

4,53

592·

10−

116

15·1

0−4

1US

ton

907

185

907,

185

3200

02

000

1



Tabe

lle29

:Mas

sent

ragh

eits

mom

ent

kgcm

2kp

cms2

kgm

2kp

ms2

ozin

2oz

fin

s2lb

in2

lbfi

ns2

lbft

2lb

ffts

2

1kgc

m2

11,

0197

2·1

0−3

10−

41,

0197

2·1

0−5

5,46

748

1,41

612·1

0−2

3,41

717·1

0−1

8,85

075·1

0−4

2,37

303·1

0−3

7,37

564·1

0−5

1kp

cms2

980,

661

19,

8066

1·1

0−2

10−

25

361,

7613,8

873

335,

1109

8,67

959·1

0−1

2,32

714

7,23

301·1

0−2

1kgm

210

410

,197

21

1,01

972·

10−

154

674,

814

1,61

234

17,1

78,

8507

523

,730

47,

3756

5·10−

1

1kp

ms2

9806

6,1

100

9,80

661

153

617

61

388,

7333

511,

0986,7

959

232,

714

7,23

301

1ozi

n21,

8290

0·1

0−1

1,83

6506·1

0−4

1,82

900·1

0−5

1,86

506·1

0−6

12,

5900

8·1

0−3

6,25·1

0−2

1,61

880·1

0−4

4,34

027·1

0−4

1,34

900·1

0−5

1ozf

ins2

70,6

155

7,20

078·1

0−2

7,06

155·1

0−3

7,20

078·1

0−4

386,

089

124

,130

56,

25·1

0−2

1,67

573·1

0−1

5,20

835·1

0−3

1lb

in2

2,92

639

2,98

410·1

0−3

2,92

639·1

0−4

2,98

410·1

0−5

164,

1441

2·1

0−2

12,

5900

8·1

0−3

6,94

44·1

0−3

2,15

839·1

0−4

1lbf

ins2

112

9,85

1,15

213

1,12

985·1

0−1

1,15

213·1

0−2

617

7,42

1638

6,08

91

2,68

117

8,33

33·1

0−2

1lb

ft2

421,

402

4,29

712·1

0−1

4,21

401·1

0−2

4,29

712·1

0−3

230

4,00

5,96

756

144

3,72

971·1

0−1

13,

1081

0·1

0−2

1lbf

fts2

1355

8,5

13,8

255

1,35

582

1,38

255·1

0−1

741

28,8

192

463

3,06

1232

,174

01

Tabe

lle30

:Dre

hmom

ent

Ncm

Nm

kpcm

kpm

pcm

ozfi

ns2

lbfi

nlb

fft

1Ncm

110−

21,

0197

2·1

0−1

1,01

972·1

0−3

101,

972

1,41

612

8,85

075·1

0−2

7,37

562·1

0−3

1Nm

100

110,1

972

1,01

972·

10−

110

197,

214

1,61

28,

8507

57,

3756

2·10−

1

1kp

cm9,

8066

59,

8066

5·10−

21

100−

21

000

13,8

855

8,67

845·1

0−1

7,23

204·1

0−2

1kp

m98

0,66

59,

8066

510

01

105

138

8,55

86,7

845

7,23

204

1pcm

9,80

665·1

0−3

9,80

665·

10−

510−

310−

51

1,38

85·1

0−2

8,67

845·1

0−4

7,23

204·1

0−5

1ozf

in7,

0615

5·1

0−1

7,06

155·

10−

37,

2017

5·1

0−2

7,20

175·1

0−4

72,0

175

16,

25·1

0−2

5,20

833·1

0−3

1lbf

in11

,298

51,

1298

5·10−

11,

5228

1,52

28·1

0−2

115

2,12

161

8,33

333·1

0−2

1lbf

ft13

5,58

213

5582

13,8

274

1,38

274·1

0−1

1382

7,4

192

121



Tabelle 31: Kraft

Kilopond Pond Ounce−Force Pound−ForceN kp P ozf lbf

1N 1 1,01972 ·10−1 101,972 3,59694 2,24809 ·10−1

1kp 9,80665 1 1000 35,2740 2,20462

1p 9,80665 ·10−3 10−3 1 3,52740 ·10−2 2,20462 ·10−3

1ozf 2,78014 ·10−1 2,83496 ·10−2 28,3496 1 6,25 ·10−2

1lbf 4,44822 4,53594 ·10−1 453,594 16 1

Tabelle 32: Druck

Pa N/mm2 bar kp/cm2 TorrPa 1 10−6 10−5 1,02 ·105 0,0075N/mm2 106 1 10 10,2 7,5 ·103

bar 105 0,1 1 1,02 750

kp/cm2 98100 9,81 ·10−2 0,981 1 736

Torr 133 0,133 ·10−3 1,33 ·10−3 1,36 ·10−3 1

Tabelle 33: LeistungW kW PS Horsepower kpm/s kcal/s

hp1W 1 0,001 1,35962 ·10−3 1,34102 ·10−3 0,101972 2,38846 ·10−4

1kW 1000 1 1,35962 1,34102 101,972 2,38846 ·10−1

1PS 735,499 7,35499 ·10−1 1 9,86320 ·10−1 75 1,75671 ·10−1

1hp 745,7 7,45700 ·10−1 1,01387 16 76,0402 1,78107 ·10−1

1kpm/s 9,80655 9,80655 ·10−3 1,33333 ·10−2 1,31509 ·10−2 1 2,34228 ·10−3

1kcal/s 4186,8 4,1868 5,69246 5,61459 426,935 1

Tabelle 34: Energie/ArbeitKilokalorie British TonneStein−

TermalUnit kohleeinheitJ = Ws Wh kWh kpm kcal BTU tSKE

1J 1 2,77778 ·10−4 2,77778 ·10−7 1,01972 ·10−1 2,38846 ·10−4 9,47817 ·10−4 34,12 ·10−12

1Wh 3600 1 0,001 367,098 8,59845 ·10−1 3,41214 0,1228 ·10−6

1kWh 3,6 ·106 1000 1 367098 859,845 3412,14 0,1228 ·10−3

1kpm 9,8066 2,72407 ·10−3 2,72407 ·10−6 1 2,34228 ·10−3 9,29491 ·10−3 0,3346 ·10−9

1kcal 4186,8 1,163 1,163 ·10−3 426,935 1 3,93832 0,1429 ·10−6

1BTU 1055,06 2,93071 ·10−1 2,93071 ·10−4 107,586 2,51996 ·10−1 1 36,00 ·10−9

1tSKE 9,308 ·109 8,141 ·106 8,141 ·103 2,989 ·109 7 ·106 27,78 ·106 1



Tabelle 35: Vorsatzzeichen fur Einheiten – SI-Prafix

Vorsatzzeichen Bedeutung AusspracheY (103)8 = 1024 Yotta

Z (103)7 = 1021 Zetta

E (103)6 = 1018 Exa

P (103)5 = 1015 Peta

T (103)4 = 1012 Tera

G (103)3 = 109 Giga

M (103)2 = 106 Mega

k 1000 = 103 Kilo

m 0,001 = 10−3 Milli

µ 0,000001 = 10−6 Mikro oder Mu

n (10−3)3 = 10−9 Nano

p (10−3)4 = 10−12 Piko

f (10−3)5 = 10−15 Femto

a (10−3)6 = 10−18 Atto

z (10−3)7 = 10−21 Zepto

y (10−3)8 = 10−24 Yokto


12 KONSTANTEN

12 Konstanten

Die folgende Tabelle gibt die Werte einiger fur die Technik wichtige Konstanten wieder.

Tabelle 36: Konstanten

mathematische Konstantenπ= 3,1415926535 . . . Kreiszahl

e = 2,718281828459045235 . . . eulersche Zahl, Basis des naturlichen Logarithmus

Naturkonstantenε0 = 8,8541 . . . ·10−12 As

Vm Permittivitat des Vakuums

µ0 = 4 ·π ·10−7 VsAm Permeabilitat des Vakuums

= 1,256637 . . . ·10−6 VsAm

gn = 9,80665 ms2 Erdbeschleunigung, Normwert


13 SCHALTZEICHEN ELEKTRISCHER MASCHINEN

13 Schaltzeichen elektrischer Maschinen

Schaltzeichen Beschreibung Schaltzeichen Beschreibung

Motor allgemein

Gleichstrom-Reihenschluss-motor

Generator allge-mein

Gleichstrommotorfremderregt

Wicklung allge-mein

Gleichstrommotorpermanenterregt

Dreieckschaltung4-Schaltung

Sternschaltung-Schaltung

Drehstrom-Synchrongenerator,elektrische Erre-gung

Drehstrom-synchron- gene-rator, permanen-terregt

Drehstrom-Asynchronmotormit Kafiglaufer

Asynchronmotor,mit Kafiglaufer,Sternschaltung

Drehstrom-Asynchronmotormit Schleifring-laufer Wechselrichter


13 SCHALTZEICHEN ELEKTRISCHER MASCHINEN

Gleichrichter

Synchronmotor,einstrangig,permanenterregt

Diode

Bipolar-Transistor npnund pnp

MOS-FETIsolierschicht-Feldeffekt-Transistor

IGBTIsolierschicht-Bipolar-Transistor

ThyristorGTO Abschalt-thyristor

Triac Zweirich-tungsthyristor


14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD

14 Grundlagen Magnetfeld

Tabelle 38: Großen, Symbole und Einheiten magnetisches Feld

Große Symbol Einheit Name BemerkungenFeldstarke H, ~H A

m - Acm , kA

m

magnetische Fluss-dichte

B, ~B T= Vsm2 Tesla µT, mT

Magnetischer Fluss Φ Wb= Vs Weber -

Flussverkettung,Spulenfluss

Ψ Wb= Vs Weber -

Durchflutung Θ A Ampere mA, kA

magnetische Span-nung

V A Ampere kA

Permeabilitat µVsAm = H

m - -

Permeabilitatszahl,relative Permeabi-litat

µr 1 - -

magnetische Feld-konstante

µ0NA2 =

VsAm -

µ0 = 4π ·10−7 VsAm

≈ 1,256637 ·10−6 VsAm

Energie des Magnet-feldes

Wmag J = Ws Joule µJ, mJ, kJ

Energiedichte desMagnetfeldes

wmagJ

m3 =Wsm3

Induktivitat L H = VsA Henry nH, µH, mH

Gegeninduktivitat M H = VsA Henry nH, µH, mH

Streuung σ 1 - -

magnetischer Leit-wert

ΛWbA = Vs

A - -

magnetischer Wider-stand

RmagA

Wb = AVs - -

Windungszahl N, w 1 - -

Lange l m Meter mm, cm

Flache A m2 Quadratmeter mm2, cm2

Volumen V m3 Kubikmeter dm3 = l



14.1 Grundlegende Zusammenhange im Magnetfeld

Permeabilitat: µ = µr µ0 (579)

relative Permeabilitat: µr =µ

µ0(580)

Durchflutung: Θ = N I = wI (581)

Magnetischer Fluss: Φ =x

~B~dA (582)

Quellenfreiheit des Magnetfeldes:

A

~Bd~A = 0 (583)

Feldstarke: ~H =~Bµ, ~B = µ ~H = µr µ0 ~H (584)

14.2 Magnetischer Fluss und Flussverkettung

Großen des Magnetfeldes s. Abb. 24

Magnetischer Fluss allgemein: Φ =x

A

~Bd~A (585)

Magnetischer Fluss fur Induktion parallel zum Flachenvektor: Φ =x

A

BdA (586)

Magnetischer Fluss fur homogenes Feld, Flussdichte/Induktionsenkrecht zur Flache:

Φ = BA (587)

Magnetische Flussdichte/Induktion fur homogenes Feld, Feldsenkrecht zur Flache:

B =Φ

A(588)

Flussverkettung/Spulenfluss: Ψ = N Φ = wΦ (589)



x

C1 C2 C3 Cges

C1 C2 C3 Cges

A3

A4

A5

A1

A2

I

N Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

B2

B4

B5

B1

B3

Abbildung 24: Magnetkreis mit magnetischem Fluss Φ , Wicklung, Luftspalt

14.3 Durchflutungssatz

Durchflutungssatz allgemein: Θ =∮c

~H d~s =x

A

~J d~A+x

A

∂

∂ t~Dd~A (590)

Durchflutungssatz bei vernachlassigbarer Verschiebungsstromdichte:

Θ =∮c

~H d~s =x

A

~J d~A fur∂

∂ t~D = 0 (591)

Durchflutungssatz fur diskrete Strome mit zugeordneten Windungszahlen:

Θ = ∑k

Nk Ik =∮c

~H d~s (592)

14.3.1 Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweisekonstanten Großen

Durchflutungssatz fur diskrete Strome mit zugeordneten Windungszahlen und Feldstarke paral-lel zu Integrationsweg beim unverzweigten Magnetkreis, abschnittweise konstante Feldstarke:

Θ = ∑k

Nk Ik = ∑n

Hn ln = ∑n

Bn lnµrn µ0

= ∑n

Φ lnAn µrn µ0

= Φ ∑n

lnAn µrn µ0

(593)

Durchflutungssatz fur den unverzweigten Magnetkreis mit magnetischen Widerstanden (Ma-gnetische Widerstande siehe Abschnitt 14.4):

Θ = ∑k

Vk = Φ ∑k

Rmagk (594)



14.3.2 Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweisekonstanten Großen

Die Berechnung verzweigter Magnetkreise erfolgt sinngemaß wie beim Gleichstromkreis mitMaschen- und Knotengleichungen:

Knotengleichung des Magnetkreises:

∑Φzu = ∑Φab (595)

Maschengleichung des Magnetkreises:

∑Vmit = ∑Vgegen (596)

magnetische Spannungen:

V = Rmag Φ fur magnetische Widerstande (597)

V = N I fur in der Masche eingeschlossene Durchflutungen (598)

Magnetische Widerstande siehe Abschnitt 14.4

14.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand,magnetischer Leitwert

Teile des magnetischen Kreise konnen durch magnetische Spannungen und Widerstande be-schrieben werden.

Magnetische Spannung entlang eines Abschnitts des Magnetkreises:

V = H l =Bl

µr µ0=

Φ lA µr µ0

= Rmag Φ (599)

Magnetische Spannung einer Durchflutung:

V =Θ = w · I (600)

Magnetischer Widerstand fur einen Teil des magnetischen Kreises:

Rmag =1Λ

=VΦ

=H lΦ

=l

A µr µ0(601)

Magnetischer Widerstand fur den magnetischen Kreis:

Rmag =Θ

Φ= ∑

n

lnAn µrn µ0

(602)

Magnetischer Leitwert fur einen Teil des magnetischen Kreises:

Λn =1

Rmagn=

An µrn µ0

ln(603)

Magnetischer Leitwert fur den magnetischen Kreis:

Λ =Φ

Θ=

1

∑n

lnAn µrn µ0

(604)



14.5 Spannungsinduktion im Magnetfeld

UiUiL

I

Φd~A

magnetischer Fluss ΦWindungszahl N

d~s

~B

Weg c umgibtrechtswendigdie Flache A

Integrationsweg c

Abbildung 25: Spannungsinduktion in Leiterschleife

Induktionsgesetz:

Ui = N∮C

~E d~s =−NdΦ

dt=−N

•

Φ =−Nddt

x

A

~Bd~A ,bei Geschwin-digkeiten

v c0

Das Vorzeichen hangt von der gewahlten Richtung des Spannungspfeils ab:

UiL =−Ui = NdΦ

dt= N

•

Φ = Nddt

x

A

~Bd~A (605)

Spannungsinduktion durch Anderung der homogenen Flussdichte:

UiL =−Ui = N AdBdt

= N A•

B (606)

Bewegter Leiter der Lange l im Magnetfeld mit B = konst:

Ui = N Bl v wenn B⊥ v⊥ l , v c0 (607)

14.6 Selbstinduktivitat

Die Selbstinduktivitat beschreibt die Spannungsinduktion in einem Leiter/einer Spule durch dieStromanderung in dem Leiter/der Spule.

Induzierte Spannung: ui(t) = L•

i(t) = Ldi(t)

dtbei L = konst (608)

Strom: i(t) =1L

∫u(t)dt (609)



Induktivitat: L =Ψ

I=

NΦ

I= N2 Φ

Θ=

N2

Rmag(610)

Flussverkettung: Ψ = Li (611)

Induzierte Spannung: ui(t) =•

Ψ =•(

Li)= L(t)

•

i(t)+•

L(t)i(t) bei L 6= konst (612)

14.6.1 Selbstinduktivitat einer Spule mit ferromagnetischem Kern undLuftspalt/nicht ferromagnetischem Material

N

Φ

ss1

N1

AA

As2

N2

N = N1 +N2

s = s1 + s1

Nsl

12A

12A

A

s = 2 · sl

Abbildung 26: Spulen mit Eisenkern und Luftspalt oder nichtmagnetischem Material

Induktivitat mit der Luftspaltlange s:

L≈ µ0N2 A

s(613)

gilt in der Regel, wenn:lfe

µr fe s oder bei Hfe ≈ 0 (614)

Induktivitat mit nichtferromagnetischem Material µr µr fe der Lange s:

L≈ µr µ0N2 A

s(615)

gilt in der Regel, wenn:lfe

µr fe s

µroder bei Hfe ≈ 0 (616)

Induktivitat mit ferromagnetischem Kern, wenn Feldstarke im ferromagnetischen Material nichtvernachlassigt werden kann und der magnetische Kreis uberall den gleichen Querschnitt A hat.

L = µ0 µrN2 A

lfe +µr s(617)



14.6.2 Selbstinduktivitat einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Materialohne Luftspalt

Induktivitat mit magnetischem Material mit der Permeabilitat µr und uberall gleichem Quer-schnitt des Magnetkreises:

L = µr µ0N2 A

l(618)

Hinweis: haufig ist µr 6= konst

14.6.3 Selbstinduktivitat einer Spule mit magnetischem Kreis

Induktivitat fur den magnetischen Kreis mit abschnittweise homogenem Magnetfeld und kon-stanten Querschnitten:

L =N2

Rmag=

N2

∑n

Rmagn=

N2

∑n

lnAn µrn µ0

(619)

14.7 Gegeninduktivitat und Transformator

Ein Strom in einer Leiterschleife/Spule erzeugt ein Magnetfeld in der eigenen Leiterschleifeund in anderen Leiterschleifen/Spulen. Dadurch werden eine Selbstinduktionsspannung in derLeiterschleife des Stromes und eine Gegeninduktionsspannung in der anderen Leiterschleifeinduziert. Die Beschreibung erfolgt durch Selbstinduktivitaten L und Gegeninduktivitaten M.

R1 R2

L1 L2

M_U1

I1

U2

I2

Abbildung 27: Ersatzschaltbild Transformator, gekoppelte Induktivitaten, magnetisch gekop-pelte Leiter

Spannungsgleichungen bei zwei Spulen und vernachlassigbarem Widerstand:

Spannung in Spule 1: u1 = L1•

i1 +M•

i2 = L1ddt

i1 +Mddt

i2 (620)



Spannung in Spule 2: u2 = L2•

i2 +M•

i1 = L2ddt

i2 +Mddt

i1 (621)

Spannungsgleichungen bei zwei Spulen mit Widerstand:

Spannung in Spule 1: u1 = R1 i1 +L1•

i1 +M•

i2 = R1 i1 +L1ddt

i1 +Mddt

i2 (622)

Spannung in Spule 2: u2 = R2 i2 +L2•

i2 +M•

i1 = R2 i2 +L2ddt

i2 +Mddt

i1 (623)

Berechnung der Induktivitaten bei streungsloser Kopplung in einem unverzweigten magneti-schen Kreis:

Selbstinduktivitat Spule 1: L1 = ΛN21 =

1Rmag

N21 (624)

Selbstinduktivitat Spule 2: L2 = ΛN22 =

1Rmag

N22 (625)

Gegeninduktivitat zwischen Spule 1 und Spule 2:

M12 = M21 = Λ N1 N2 =1

RmagN1 N2 (626)

14.7.1 Realer Transformator

Bei realen Transformatoren sind die beiden Spulen nicht vollstandig magnetisch gekoppelt.Dies wird z.B. durch Streuinduktivitaten Lσ berucksichtigt.

Die Wicklungen haben ohmsche Widerstande R1 und R2.

Im Magnetkreis treten Wirbelstrom- und Hystereseverluste Pfe auf.

Selbstinduktivitat Spule 1 mit Streuinduktivitat:

L1 = ΛN21 +Lσ1 =

1Rmag

N21 +Lσ1 (627)

Selbstinduktivitat Spule 2 mit Streuinduktivitat:

L2 = ΛN22 +Lσ2 =

1Rmag

N22 +Lσ2 (628)

Gegeninduktivitat zwischen Spule 1 und Spule 2:

M12 = M21 = Λ N1 N2 =1

RmagN1 N2 (629)



Streuziffer: σ = 1−M2

12L1 L2

, σ = 0...1 (630)

Ubersetzungsverhaltnisse:

Spannungsubersetzung im Leerlauf:U1

U2≈ N1

N2= u (631)

Stromubersetzung im Kurzschluss:I1

I2≈ N2

N1=

1u

(632)

14.8 Energie des Magnetfeldes

Energiedichte: wmag =

B∫0

H(Be)dBe (633)

Energie im Volumen V : Wmag =y

V

wmag dV (634)

Energie bei homogenem Feld im Volumen V : Wmag =V wmag =VB∫

0

H(Be)dBe (635)

Energiedichte und Energie bei homogenem Magnetfeld in magnetisch linearen Stoffen, z.B.Vakuum, Luft:

wmag =12

H B =1

2µB2 =

µ

2H2 (636)

Wmag =12

V H B =V2µ

B2 =µ V2

H2 (637)

Energie einer Induktivitat: W =12

LI2 (638)

14.9 Krafte im Magnetfeld

14.9.1 Reluktanzkraft, Oberflachenkraft auf magnetisierbare Korper, z.B. Jochoder Anker aus Eisen oder Stahl

Auf die Oberflachen magnetisierbarer Korper wirkt eine Kraft in Richtung der umgebenden Luftoder unmagnetisierbarer Korper. Die Kraft entsteht aus der Energieanderung des Magnetfeldesbei Bewegung der Teile:

F =dWmag

dx(639)



x

C1 C2 C3

C1 C2 C3

A3

A1

A2

I

N Φ2

Φ1

Φ

N

N S

F

s

Φ

S

Φ

Joch

Anker Φ

A A

- +

Abbildung 28: Oberflachenkraft im Magnetfeld, Kraft F setzt sich hier aus den beiden Kraftenam linken und rechten Luftspalt zusammen

Die Kraft ergibt sich nach folgenden Gleichungen, wenn gilt

µrfe 1 µfe µ (640)

Zuspannung auf magnetische Oberflachen gegenuber Luft: σmech =B2

2 µ(641)

Kraft auf magnetische Oberflachen gegenuber Luft: F = Aσmech =AB2

2 µ(642)

Hinweise:

Kraft wirkt senkrecht auf die Oberflache in Richtung der Luft. Eisenteile ziehen sich an.

Die Flache A besteht ggf. aus mehreren Teilflachen, z.B. in Abb. 28 aus den zwei Flachenrechts und links.

Wenn an den Teilflachen unterschiedliche Flussdichten B wirken, muss die Gesamtkraftaus den Teilkraften aufaddiert werden.

14.9.2 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft

Lorentzkraft, Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:

~F = Q ·~v×~B (643)

~F = I ·~l×~B (644)

Kraft, wenn Leiter und Flussdichte senkrecht aufeinander stehen:

F = Bl I (645)



B

I

F

I

B

F

Magnetfeld-richtung

techn.Strom-richtung

Kraftrichtung

l

N

S

Abbildung 29: Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, Rechte-Hand-Regel

Kraft auf stromdurchflossenes Leiterbundel/Spulenseite im Magnetfeld, N Windungen, Leiterstehen senkrecht auf B:

F = N Bl I (646)

Richtung gemaß rechter Hand-Regel s. Abb. 29

Kraft, wenn der Winkel ϕ zwischen l und B ungleich 90:

F = N Bl I sinϕ Richtung gemaß rechter Hand-Regel Abb. 29 (647)

14.9.3 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern

a

I1 I2

~B1

~F1 ~F2

d1 d2

Abbildung 30: Kraft zwischen parallelen Leitern

Kraft auf zwei parallele Leiter im Abstand a mit der Lange l, wenn die Durchmesser d1 und d2der Leiter klein gegenuber dem Abstand a sind.

F =µ0 l2πa

I1 I2 (648)

Bei gleicher Stromrichtung werden die Leiter zusammengedruckt, bei entgegengesetzter Strom-richtung werden die Leiter auseinandergezogen.



14.10 Energiewandlung mit dem Magnetfeld

Bei Bewegung eines Leiters im Magnetfeld wird eine Spannung induziert (Gl. (607)). BeiStromfluss im Leiter im Magnetfeld entsteht eine Kraft (Gl. (645)). So erfolgt eine elektro-magnetische Energieumwandlung bzw Leistungsumwandlung

Wmech↔Wel , Pmech↔ Pel (649)

Induzierte Spannung aus Linearbewegung/Rotation wenn B⊥ v⊥ l:

Ui = N Bl v (650)

Ui = N Bl 2πr n (651)

Kraft/Drehmoment auf N stromdurchflossene Leiter:

F = N Bl I (652)

M = N Bl I r (653)

Leistungen fur

Translation/lineare Bewegung: Pmech = F v =Ui I = Pel (654)

Rotation/Drehung: Pmech = 2πM n =Ui I = Pel (655)

Hinweise:

Die Gleichungen gelten fur Gleichspannung/Gleichstrom.

Bei Wechselgroßen muss die Phasenlage zwischen den Großen beachtet werden.

Reale Motoren/Generatoren haben die Leiter in Nuten im Blechpaket. Dadurch wirktnicht die Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld sondern die Oberflachen-kraft auf magnetisierbare Korper. Die Gleichungen fur die Oberflachenkraft liefern aberim Resultat identische Gleichungen wie fur die Kraft auf Leiter im Magnetfeld.


15 MATHEMATIK

15 Mathematik

Im folgenden finden sich einige haufig in der Elektrotechnik, Regelungstechnik, Antriebstech-nik und Mechatronik vorkommende mathematische Zusammenhange.

15.1 Sinus, Cosinus, Tangens

π= 3,1415926535... Kreiszahl (656)

tanϕ =sinϕ

cosϕcotϕ =

cosϕ

sinϕ=

1tanϕ

(657)

cos2ϕ + sin2

ϕ = 1 , sinϕ =±√

1− cos2 ϕ , cosϕ =±√

1− sin2ϕ (658)

sin(−ϕ) =−sinϕ (659)

cos(−ϕ) = cosϕ (660)

sin(

ϕ +π

2

)= cosϕ (661)

sin(ϕ +π) =−sinϕ (662)

sin(ϕ +2π) = sinϕ (663)

cos(

ϕ +π

2

)=−sinϕ (664)

cos(ϕ +π) =−cosϕ (665)

cos(ϕ +2π) = cosϕ (666)

(667)

ddϕ

sin(aϕ) = a cos(aϕ) (668)

ddϕ

cos(aϕ) =−a sin(aϕ) (669)∫sin(aϕ)dϕ =−1

acos(aϕ)+C (670)∫

cos(aϕ)dϕ =1a

sin(aϕ)+C (671)


15 MATHEMATIK

15.2 Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus

sinα + sinβ = 2sinα +β

2· cos

α−β

2(672)

sinα− sinβ = 2cosα +β

2· sin

α−β

2(673)

cosα + cosβ = 2cosα +β

2· cos

α−β

2(674)

cosα− cosβ = 2sinα +β

2· sin

α−β

2(675)

sin(α±β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ (676)

cos(α±β ) = cosα · cosβ ∓ sinα · sinβ (677)

sinα sinβ =12(

cos(α−β )− cos(α +β ))

(678)

cosα cosβ =12(

cos(α−β )+ cos(α +β ))

(679)

sinα cosβ =12(

sin(α−β )+ sin(α +β ))

(680)

sin2α =

12(1− cos2α) (681)

cos2α =

12(1+ cos2α) (682)

sin2α = 2sinα cosα (683)

cos2α = cos2α− sin2

α = 1− sin2α = 2cos2

α−1 (684)

sinα

2=±

√1− cosα

2(685)

cosα

2=±

√1+ cosα

2(686)

(687)

15.3 Geometrie Dreieck

Lange Seitenhalbierende:

ma =

√2(b2 + c2)−a2

2(688)


15 MATHEMATIK

m aa

b c

Abbildung 31: Seitenhalbierende

l a

a

b c

α

r

Abbildung 32: Winkelhalbierende, Radius rdes Inkreises

Lange der Winkelhalbierenden des Winkels α:

la =

√bc[(b+ c)2−a2]

b+ c(689)

.

..

R

a⁄2 a

Abbildung 33: Radius R des Umkreises einesDreiecks

.

ha

a

b c

90

m nγ

Abbildung 34: Rechtwinkliges Dreieck

Flacheninhalt des Dreiecks:

S =a ·ha

2=

a ·b sinγ

2=

r(a+b+ c)2

=a ·b · c

4R=√

s(s−a)(s−b)(s− c) (690)

mit s =a+b+ c

2


15 MATHEMATIK

Radius des Dreiecks:

R =abc4S

=a

2sinα=

b2sinβ

=c

2sinγRadius Umkreis (691)

r =2S

a+b+ c=

√(s−a)(s−b)(s− c)

sRadius Inkreis (692)

mit s =a+b+ c

2

r =a

cot(

β

2

)+ cot

(γ

2

) = bcot(

α

2

)+ cot

(γ

2

) = c

cot(

α

2

)+ cot

(β

2

) Radius Inkreis (693)

Rechtwinkliges Dreieck:

a2 +b2 = c2 (Satz des Pythagoras) (694)

h2 = m ·n, a2 = m · c, b2 = n · c (695)

S =ab2

=a2 tanβ

2=

c2 sin2β

4Flacheneinhalt (696)

α +β = 90 (697)

sinα = cosβ =ac, cosα = sinβ =

bc

(698)

tanα = cotβ =ab, cotα = tanβ =

ba

(699)

(700)

Schiefwinkliges Dreieck:

α +β + γ = 180 (701)

Sinussatz:a

sinα=

bsinβ

=c

sinγ= 2R (702)

Kosinussatz: c2 = a2 +b2−2ab · cosγ (703)

Tangenssatz:a−ba+b

=tan(

α−β

2

)tan(

α+β

2

) =tan(

α−β

2

)cot(

γ

2

) (704)

Halbwinkelsatze: (705)

tanγ

2=

√(s−a)(s−b)

s(s− c)

sinγ

2=

√(s−a)(s−b)

ab(706)

cosγ

2=

√s(s− c)

ab(707)


15 MATHEMATIK

Mollweidesche Formeln:

a+bc

=cos(

α−β

2

)sin(

γ

2

) =cos(

α−β

2

)cos(

α+β

2

) (708)

a−bc

=sin(

α−β

2

)cos(

γ

2

) =sin(

α−β

2

)cos(

α+β

2

) (709)

Kosinusformel (Projektionssatz):

c = a · cosβ +b · cosα (710)

Tangensformel: tanγ =c sinα

b− ccosα=

c sinβ

a− ccosβ(711)

(712)

15.4 Differentialgleichungen

15.4.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung

a1•

y(t)+a0y(t) = c0u(t)+ c1•

u(t) allgemeine Form (713)

a1ddt

y(t)+a0y(t) = c0u(t)+ c1ddt

u(t) allgemeine Form (714)

(715)

In der Regelungstechnik haufig ”Normierung“ der Differentialgleichungen, so dass y(t) ohneFaktor in der Gleichung steht:

T1•

y(t)+ y(t) = b0u(t)+b1•

u(t) normierte Form (716)

T1ddt

y(t)+ y(t) = b0u(t)+b1ddt

u(t) normierte Form (717)

T1 =a1

a0(718)

b0 =c0

a0(719)

b1 =c1

a0(720)

15.4.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung

a2••y(t)+a1

•y(t)+a0y(t) = c0u(t)+ c1

•u(t)+ c2

••u(t) allgemeine Form (721)

a2d2

dt2 y(t)+a1ddt

y(t)+a0y(t) = c0u(t)+ c1ddt

u(t)+ c2d2

dt2 u(t) allgemeine Form (722)


15 MATHEMATIK

In der Regelungstechnik haufig ”Normierung“ der Differentialgleichungen:

T2••y(t)+T1

•y(t)+ y(t) = b0u(t)+b1

•u(t)+b2

••u(t) normierte Form (723)

T2d2

dt2 y(t)+T1ddt

y(t)+ y(t) = b0u(t)+b1ddt

u(t)+b2d2

dt2 u(t) normierte Form (724)

T1 =a1

a0(725)

T2 =a2

a0(726)

b0 =c0

a0(727)

b1 =c1

a0(728)

b2 =c2

a0(729)

15.4.3 Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung

Allgemeine Form mit der Schreibweise dnydtn = y(n) , dmy

dtm = u(m)

any(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ ...+a1•

y(t)+a0y(t)

= cmu(m)(t)+ cm−1u(m−1)(t)+ ...+ c1•

u(t)+ c0u(t) (730)

Normierte Form

Tny(n)(t)+Tn−1y(n−1)(t)+ ...+T1•

y(t)+ y(t)

= bmu(m)(t)+bm−1u(m−1)(t)+ ...+b1•

u(t)+b0u(t) (731)

Ti =ai

a0, i = 1 . . .n (732)

bi =ci

a0, i = 1 . . .m (733)

15.4.4 Losung linearer Differentialgleichungen hoherer Ordnung

Losung: homogene Losung + partikulare Losung

y(t) = yhom(t)+ ypart(t) (734)

homogene Losung: rechte Seite gleich 0, Eigenbewegung

u(t) = 0 any(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+ ...+a1•

y(t)+a0y(t) = 0 (735)

Losungsansatz

y(t) = ceλ t ,•

y(t) = λy(t) , y(i)(t) = λiy(t) (736)

eingesetzt:

anλny(t)+an−1λ

n−1y(t)+ ...+a1λ•

y(t)+a0y(t) = 0 (737)


15 MATHEMATIK

15.4.5 Charakteristische Gleichung der Differentialgleichung

anλn +an−1λ

n−1 + ...+a1λ +a0 = 0 charakteristische Gleichung (738)

Losung der charakteristischen Gleichung fuhrt auf die n Eigenwerte λi. Aus den Eigenwertenlasst sich die homogene Losung der Differentialgleichung angeben:

yi(t) = ci eλit Anteile der homogenen Losung (einfache, reele Nullstelle) (739)

yhom =n

∑i=1

yi(t) =n

∑i=1

ci eλit homogene Losung (740)

15.5 Differentiationsregeln

ddx

f (g(x)) =d f (z)

dz· dg(x)

dx= f ′(z) ·g′(x) mit z = g(x) Kettenregel (741)

( f−1)′(y0) =1

f ′(x0)(742)

( f1 · f2)′ = f1 f ′2 + f ′1 f2 Produktregel (743)

15.6 Integrationsregeln

∫( f (x)+g(x))dx =

∫( f x)dx+

∫g(x)dx (744)∫

k f (x)dx = k∫( f x)dx (745)∫

f (ax+b)dx =1a

F(ax+b)+C (746)∫ f ′(x)f (x)

dx = ln| f (x)|+C (747)∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x)dx (748)∫

f (g(x))g′(x)dx =∫

f (z)dz mit Substitution z = g(x) (749)


15 MATHEMATIK

15.7 e-Funktion

y = ex , e = 2,718281828... (750)

ex · ey = e(x+y) (751)

ejx = cosx+ j sinx (752)

ey+jx = ey (cosx+ j sinx) (753)ddx

ex = ex (754)

ddx

eax = aeax (755)∫ex dx = ex +C , C : Integrationskonstante (756)∫eax dx =

1a

eax +C , C : Integrationskonstante (757)

15.8 Komplexe Zahlen

Z = A+ j ·B komplexe Zahl in Komponentendarstellung (758)

Z = Re(Z)+ j Im(Z) (759)

Re(Z) = A Realteil (760)

Im(Z) = B Imaginarteil (761)

j =√−1 , j2 =−1 , −j =

1j

Imaginarzahl (762)

Z = Z · ej·α = Z · (cosα + j · sinα) komplexe Zahl in Exponentialform (763)

α = ](Z) = arg(Z) = arctan(

BA

)= arctan

(Im(Z)Re(Z)

)(764)

tanα =BA=

Im(Z)Re(Z)

(765)

Z = |Z|=√

A2 +B2 =

√Re(Z)2 + Im(Z)2 Betrag (766)

Z∗ = A− j ·B = Re(Z)− j · Im(Z) = Z · e− jα konjugiert komplexe Zahl (767)

Umwandlung in komplexe Zahl mit reellem Nenner:

A+ jBC+ jD

=(A+ jB)(C− jD)

C2 +D2 =(AC+BD)+ j(BC−AD)

C2 +D2 (768)


15 MATHEMATIK

Umrechnung von Exponentialform in Komponentenform:

Z = Z e jα → Z = Z cosα + jZ sinα (769)

Umrechnung von Komponentenform in Exponentialform:

Z = A+ jB → Z = Z eα (770)

mit Z =√

A2 +B2 , α =

arctan

(BA

)fur A≥ 0

π+ arctan(B

A

)fur A < 0

(771)

15.9 Fouriertransformation / Frequenzanalyse

Mit der Fouriertransformation wird eine periodische Funktion aus dem Zeitbereich in denFrequenzbereich transformiert. Eine haufige technische Anwendung ist die Frequenzanalysevon periodischen Signalen.

Ebenso ist eine Rucktransformation aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich moglich. Dieswird in der Technik haufig zur Synthese von periodischen Signalen genutzt.

15.9.1 Kontinuierliche Fouriertransformation

Reihenentwicklung einer periodischen Funktion f (t) mit Periodendauer T f (t +T ) = f (t)als Reihe von Cos- und Sin-Funktionen:

f (t) =a0

2+

∞

∑k=1

(ak cos(ωkt)+bk sin(ωkt)) ωk =2πT

k (772)

Die Koeffizienten beschreiben eindeutig die Funktion. Aus den Koeffizienten kann die periodi-sche Funktion f (t) eindeutig angegeben werden, meistens benotigt man aber nur die Transfor-mation vom Zeitbereich in die Koeffizienten des Frequenzbereichs.

ak =2T

t+T∫t

f (t) · cos(ωkt) ·dt (773)

bk =2T

t+T∫t

f (t) · sin(ωkt) ·dt (774)

ck =√

a2k +b2

k (775)

k = 0,1,2, ... (776)

ωk =2πT

k (777)


15 MATHEMATIK

15.9.2 Diskrete Fouriertransformation

Haufig liegt die Zeitfunktion als zeitdiskrete Folge von Werten xi fur i = 1. . .N fur dieperiodische Funktion mit der Periodendauer T vor. Die Werte haben in der Regel einenaquidistanten Zeitabstand T0 =

TN .

Solche Folgen lassen sich mit der diskreten Fourieranalyse behandeln:

Die N diskreten Werte der Originalfunktion werden durch N Koeffizienten aus der Transforma-tion reprasentiert, N

2 Cosinuskoeffizienten, N2 Sinuskoeffizienten.

xi =a0

2+

N2

∑k=1

(ak cos

(2πN

k · i)+bk sin

(2πN

k · i))

(778)

ωk =2πT

k , ti = i ·T0 , T0 =TN

(779)

ak =2N

N

∑i=1

xi · cos(

2πN

i · k)

(780)

bk =2N

N

∑i=1

xi · sin(

2πN

i · k)

(781)

ck =√

a2k +b2

k (782)

k = 0,1,2, ...N2

(783)

ωk =2πT

k (784)

ti = i ·T0 (785)

T0 =TN

(786)

Hinweise:

Alternative Schreibweise mit komplexen Koeffizienten und Analyse mit e jx = cos(x)+ j ·sin(x)

Die Koeffizienten sind periodisch mit N ak+N = ak

Die Koeffizienten sind an N2 gespiegelt aN−k = ak

15.10 Taylor-Entwicklung, Linearisierung

Eine Funktion f (x) kann als Reihe dargestellt werden. Die Entwicklung erfolgt an einemArbeitspunkt x0:

f (x) =∞

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k , k! = 1 ·2 · . . .k (787)


15 MATHEMATIK

Haufig werden zur Annaherung einer Funktion nur der konstante und der lineare Teil genom-men. Linearisierung um den Arbeitspunkt x0:

f (x)≈ f (x0)+ f (1)(x0) · (x− x0) (788)


16 GRIECHISCHE BUCHSTABEN

16 Griechische Buchstaben

In vielen Gleichungen werden griechische Buchstaben verwendet. Die folgende Tabelle gibtdie Schreibweise der Buchstaben in Groß- und Kleinschrift sowie gerade und kursiv fur dieSchriftart Times wieder. Ferner werden die Namen der Buchstaben in lateinischer Schriftangegeben.

Tabelle 39: Griechische BuchstabenGroßbuchstaben Kleinbuchstaben Namegerade kursiv gerade kursiv

A A α α alphaB B β β betaΓ Γ γ γ gamma∆ ∆ δ δ deltaE E ε ε epsilonZ Z ζ ζ zetaH H η η etaΘ Θ ϑ ϑ thetaI I ι ι iotaK K κ κ kappaΛ Λ λ λ lambdaM M µ µ myN N ν ν nyΞ Ξ ξ ξ xiO O o o omikronΠ Π π π piP P ρ ρ rhoΣ Σ σ σ sigmaT T τ τ tauϒ ϒ υ υ upsilonΦ Φ ϕ ϕ phiX X χ χ chiΨ Ψ ψ ψ psiΩ Ω ω ω omega

Hinweise:

In verschiedenen Schriftarten haben die Buchstaben anderes Aussehen.

Teilweise haben die griechischen Buchstaben die gleiche Schreibweise wie lateinischeBuchstaben. Diese Buchstaben werden daher nicht in Gleichungen o.a. verwendet. Z.B.:Großbuchstaben alpha, my, ny, tau, Buchstabe omikron


Tabellenverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC

60034-30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kW bis zu 200 kW (IEC 60034-

30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Großen und Formelzeichen Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Spannungen von Kohlebursten, Graphitbursten . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Großen und Formelzeichen Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhangig von der

Polpaarzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Großen und Formelzeichen Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhangig von der

Polpaarzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410 Großen und Formelzeichen Antriebsauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311 ungefahre Werte fur die Faktoren Kuhlmitteltemperatur, Umgebungstempera-

tur, Aufstellungshohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413 Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514 ungefahre Werte fur die Faktoren Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 7515 Schutzarten nach IEC 60034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8016 Großen, Symbole und Einheiten Gleichstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . 8117 Eigenschaften Leitermaterialien Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . . 8218 Tabelle der charakteristischen Abmessungen lackisolierter Spulendrahte . . . . 8219 Großen, Symbole und Einheiten Wechselstrom/Drehstrom . . . . . . . . . . . 8620 Strom und Leistung in Widerstand, Kapazitat, Induktivitat, allg. Impedanz . . . 9021 Drehstromgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9122 Großen und Formelzeichen Kinematik und Dynamik . . . . . . . . . . . . . . 9524 SI Einheiten und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9925 Lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126 Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10127 Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10229 Massentragheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10331 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10432 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10433 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434 Energie/Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10435 Vorsatzzeichen fur Einheiten – SI-Prafix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10536 Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10638 Großen, Symbole und Einheiten magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . 10939 Griechische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


Abbildungsverzeichnis


1 Wirkungsgrad fur die Wirkungsgradklassen IE 1 ... IE 4 nach IEC 60034-30,beispielhafter Verlauf fur 4-polige Asynchronmaschinen fur 50 Hz . . . . . . . 9

2 Blechschnitt eines Wechselstromreihenschlussmotors . . . . . . . . . . . . . . 243 prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und Stator-

Wicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Ersatzschaltbild Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit verschiedenen Erregerstromen

bei vernachlassigbarem Standerwicklungswiderstand RS ≈ 0 . . . . . . . . . . 426 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit Polradspannung UP und Last-

winkel β bei vernachlassigbarem Standerwicklungswiderstand RS ≈ 0 . . . . . 427 V-Kurven fur eine Vollpolsynchronmaschine, Verluste vernachlassigt . . . . . . 448 Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd > Xq . . . . . . . . . . . 479 Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd < Xq . . . . . . . . . . . 4810 Maschinenquerschnitt einer Asynchronmaschine mit Kurzschlusslaufer; IEC100,

NS = 36, NR = 28, 2p = 4, oben konzentrische Spulen, unten Spulen gleicherWeite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11 Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien Asynchronmaschinen mit Kurzschlusslaufer,links: prinzipieller Verlauf, rechts: Verlauf mit Oberwellendrehmomenten . . . 56

12 K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine ohne Statorwiderstand . . . . . . . . . 6413 K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand . . . . . . . . . . 6414 K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand und Eisenverlust-

widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515 Stromortskurve des Standerstroms mit Leistungsgerade und Drehmomentgerade 6616 Stromortskurve des Standerstroms mit Drehmoment und Leistungen . . . . . . 6717 Stromortskurve mit Parametergeraden als Parallele zur Tangente im Punkt P∞ . 6818 Dauerbetriebskurve, aquivalenter Dauerbetriebspunkt, Effektivmoment und mitt-

lere Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7719 Schutzklassenbezeichnung IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8020 Sinusformige Wechselspannung und -strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8721 Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieck-Schaltung, Leiter-

großen, Stranggroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9122 Zeitverlaufe Drehspannungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9223 Drehspannungs- und Drehstromsystem, nacheilender Strom . . . . . . . . . . . 9324 Magnetkreis mit magnetischem Fluss Φ , Wicklung, Luftspalt . . . . . . . . . . 11125 Spannungsinduktion in Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11326 Spulen mit Eisenkern und Luftspalt oder nichtmagnetischem Material . . . . . 11427 Ersatzschaltbild Transformator, gekoppelte Induktivitaten, magnetisch gekop-

pelte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11528 Oberflachenkraft im Magnetfeld, Kraft F setzt sich hier aus den beiden Kraften

am linken und rechten Luftspalt zusammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11829 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, Rechte-Hand-Regel . . . 119



30 Kraft zwischen parallelen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11931 Seitenhalbierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12332 Winkelhalbierende, Radius r des Inkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333 Radius R des Umkreises eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12334 Rechtwinkliges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


Literatur

Literatur

[1] Binder: Elektrische Maschinen und Antriebe. Grundlagen, Betriebsverhalten. Springer(2012)

[2] IEC 60034: International standard of the International Electrotechnical Commission forrotating electrical machinery. Teil 1: Bemessung und Betriebsverhalten, Teil 2: Standard-verfahren zur Bestimmung der Verluste und des Wirkungsgrades aus Prufungen, Teil 4:Prufmethoden Synchronmaschinen, Teil 5: Schutzarten, Teil 6: Kuhlarten, Teil 7: Bau-arten und Aufstellungsarten, Teil 9: Gerauschgrenzwerte, Teil 11: thermischer Schutz,Teil 18: Isoliersysteme, Teil 28: Prufverfahren zur Bestimmung der ErsatzschaltbildgroßenKafiglaufer-Asynchronmotore, Teil 30: Wirkungsgrad-Klassifizierung

[3] Jordan, Klima, Kovacs: Asynchronmaschinen. Vieweg Braunschweig (1975)

[4] Kolbe: Analytische Nachbildung der numerisch ermittelten Feldverteilungen von mehr-strangigen Wicklungen in Asynchronmaschinen. AfE 65 (1982) S. 107 – 116

[5] Muller, Vogt, Ponick: Grundlagen elektrischer Maschinen. Wiley-VCH (2006)

[6] Muller, Vogt, Ponick: Berechnung elektrischer Maschinen. Wiley-VCH (2008)

[7] Muller, Vogt, Ponick: Theorie elektrischer Maschinen. Wiley-VCH

[8] Hagmann: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik. AULA-Verlag(1997)

[9] Fischer, Linse: Elektrotechnik fur Maschinenbauer. Vieweg+Teubner (2009)

[10] Bronstein, Semendjaev: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch. Thun undFrankfurt/Main (2000)


Documents

Formelsammlung elektrische Antriebe - HsH · PDF fileCarsten Frager Formelsammlung elektrische Antriebe ... Laufer¨ R 2 drehender Teil der Maschine Anker a Maschinenteil, in dem die