Formelsammlung TGM 1 / 42

Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik Version09.03.15

Inhaltsverzeichnis1 Energietechnik ..............................................................................................................................................32 Grundlagen Elektrotechnik............................................................................................................................4

Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R.......................................................................4Widerstand ...........................................................................................................................................................5Reihenschaltung....................................................................................................................................................5Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle..............................................................................................................6Parallelschaltung....................................................................................................................................................6Knoten- und Maschenregel.....................................................................................................................................6Spannungsteiler.....................................................................................................................................................7Brückenschaltung...................................................................................................................................................7Dioden und LEDs...................................................................................................................................................8Kondensator..........................................................................................................................................................9Durchflutung........................................................................................................................................................10Induktion ............................................................................................................................................................10Spule...................................................................................................................................................................11Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................12Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................12Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................13PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................13Transistor-Brückenschaltung.................................................................................................................................14Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................14Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................14Operationsverstärker............................................................................................................................................15Wechselstrom......................................................................................................................................................18Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)............................................................................18Kapazität im Wechselstromkreis............................................................................................................................19Induktivität im Wechselstromkreis.........................................................................................................................19Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)................................................................20Parallelschaltung R und XL....................................................................................................................................21Parallelschaltung R und XC...................................................................................................................................22Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)..............................................................23Blindleistungs-Kompensation.................................................................................................................................24Siebschaltungen (passive Filter)............................................................................................................................25RC- und LR-Tiefpässe...........................................................................................................................................26CR- und RL-Hochpässe.........................................................................................................................................26Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................27Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)........................................................................................28Drehstrom-Asynchronmotor DASM........................................................................................................................29Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................30Symbole der RI-Fließtechnik.................................................................................................................................30Betriebsmittelkennzeichnung nach DIN EN 81346-2 (Auszug).................................................................................31Normreihen von Widerständen..............................................................................................................................32

3 Steuerungstechnik.......................................................................................................................................33Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................33Variablen mit elementaren Datentypen..................................................................................................................34Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten)...................................................................................34Bistabile Speicher ................................................................................................................................................34Flankenauswertung..............................................................................................................................................35Vergleicher..........................................................................................................................................................35Übertragungsfunktion...........................................................................................................................................35Zeitgeber.............................................................................................................................................................36Ablaufsprache......................................................................................................................................................37Schrittketten: Grundregeln....................................................................................................................................39Codes..................................................................................................................................................................39

Formelsammlung_TGM.odt 1 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 2 / 42

4 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................40Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................40Umrechnungen....................................................................................................................................................40Flächen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................41Winkelfunktionen.................................................................................................................................................41

5 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................42Physikalische Formeln...........................................................................................................................................42Einheiten ............................................................................................................................................................42

Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewähr!Danke an Herrn Tritschler für die zu Verfügung gestellte Tabellen der SPS

Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: bub@ces.karlsruhe.de

Formelsammlung_TGM.odt 2 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 3 / 42

1 Energietechnik

1.1 Erster Hauptsatz der WärmelehreallgemeinQ+W = U

Isobarer Prozess (p = konst.)Q = TmcP

Isochorer Prozess (V = konst.)Q = Tmc V

Isothermer Prozess (T = konst.)Q = – W

Adiabater ProzessQ = 0

Kreisprozess∑Q + ∑W = 0

1.2 Wärme im T, s – Diagramm

q = sT

1.3 Zustandsänderungen idealer Gase

Allgemeine Gasgleichung

.konstTVp

TRmVp i

Isobarer Prozess

2

2

1

1

TV

TV

VpW12

Isochorer Prozess

2

2

1

1

Tp

Tp

W12 = 0

Isothermer Prozess2211 VpVp

2

1i

1

2i12 p

plnTRmVVlnTRmW

Q: ausgetauschte Wärmemenge in J1 J = 1 Ws = 1 Nm1 t SKE = 2,93 · 1010 J

q: ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kgW: Arbeit in Jw: spezifische Arbeit in kJ/kgU: Innere EnergieT: absolute Temperatur in K (273 K 0 °C)cP: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

in kJ

kg⋅KcV: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen

in kJ

kg⋅K

q: ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kg

s: Änderung der spezifischen Entropie in kJ

kg⋅K

p: DruckV: Volumenm: Masse

Ri: spezifische Gaskonstante in kJ

kg⋅KW12: verrichtete Arbeit bei Zustandsänderung von 1 nach 2

: Adiabatenexponent;V

P

cc

Adiabater Prozess

.konstVp 1

1

2

1

2

1

2

1

VV

pp

TT

1pp

1TRm1

VV

1TRmTT

1RmW

1

1

21i1

2

11i12

i12

1.4 Thermischer Wirkungsgrad: zu

nutz

zu

abth Q

WQQ

1

Formelsammlung_TGM.odt 3 9. Mrz 15

Gas cP cV Ri

Kohlendioxid 0,84 0,66 0,19

Luft 1,01 0,72 0,29

Sauerstoff 0,92 0,66 0,26

Stickstoff 1,04 0,74 0,3

Formelsammlung TGM 4 / 42

2 Grundlagen Elektrotechnik

Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R

+ -

• 2 Arten von Ladungen (positiv und negativ)• gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an• Ladung ist übertragbar• im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein

„elektrisches Feld“ erklärt werden

Ladung, LadungsmengeQ = N⋅e

1 e entspricht −1,602 x 10−19 C

e Elementarladung (kleinstmögliche Ladung)

N Anzahl der Ladungsträger

Q Ladung in As = C (Coulomb)

StromstärkeI = Q

tI = dQ

dt

bei Gleichspannung, bei Wechselspannung

I Stromstärke in A (Ampere)Q Ladungsmenge in Ast Zeit in s

Spannung= Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge

U =WQ

U Spannung in V (Volt)Q Ladungsmenge in AsW Arbeit in Ws

Spannung = Potenzialdifferenz U12 = ϕ2 − ϕ1

φ Potenzial in V bezogen auf Bezugspunkt,(oft Schaltungsmasse)

Elektrische Energie,Energiemenge, Arbeit

(engl. Work)

W = P⋅ t W = U⋅Q P Leistung in W (Watt)t Zeit in s

1 Ws = 1 VAs = 1 J

Elektrische Leistung (engl. Power) P = W

t P = U⋅ I

Leistung am Widerstand

P = I2⋅R P = U2

R

R Widerstand in Ω

Widerstand RR = U

I U =R ⋅IR Widerstand in ΩU Spannung in VI Strom in A

Für R1 und R2 gilt: R= KonstantR1 und R2 sind lineare Widerstände.

UI=Konst Ohm'sches Gesetz

Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand.

Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 15

R

I

U

Formelsammlung TGM 5 / 42

Widerstand

LeitungswiderstandR = ϱ⋅ l

A

l Leiterlänge in mA Leiterquerschnitt in mm2

ϱ spezifischer Widerstand in Ω⋅mm2

m

TemperaturabhängigerWiderstand ΔR = α⋅ΔT⋅RK

RW = RK + ΔR

ΔR Widerstandsänderung in Ω

α Temperaturbeiwert 1K

RK Kaltwiderstand in ΩRW Warmwiderstand in ΩΔT Temperaturdifferenz in K

Reihenschaltung

Iges = I1 = I2 = I3

Uges = U1 + U2 + U3

Rges =R1 + R2 + R3

Pges = P1 + P2 + P3

U Gesamtspannung

U1, U2, U3 Teilspannungen

R Gesamtwiderstand

R1, R2, R3 Einzelwiderstände

Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I

Grafische Ermittlung der Größen

I

U

12 V

0,5 A

1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω

R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω

I

U

12 V

0,5 A

1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω

R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω

0,35 A

U2 = 3,53 VU1 = 8,47 V

Formelsammlung_TGM.odt 5 9. Mrz 15

Material Spezifischer Widerstand in Ω⋅mm2

m

Kupfer 0,0178

Stahl 0,13

Aluminium 0,028

Gold 0,0244

Kohle 40

U3

R1

I

U2

U1

R2

R3

Uges

R1

I

U2

U1

R2

Uges

Formelsammlung TGM 6 / 42

Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle

Leistungsanpassung: R1 erhält die maximale Leistung bei R1 = Ri

I =U0

R i +R1

Ri=∣ΔUΔ I ∣=∣(U2−U1)

(I2−I1) ∣Ri=

U0

IK

I Laststrom

Ri Innenwiderstandder Spannungsquelle

R1 Widerstand des ange-schlossenen Verbrauchers

U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen

U0 Leerlauf-SpannungSpannung der idealenSpannungsquelle

Parallelschaltung

Uges = U1 = U2 = U3

Iges = I1 + I2 + I3

1R ges

= 1R1

+ 1R2

+ 1R3

Pges = P1 + P2 + P3

Iges Gesamtstrom

I1, I2, I3 Teilströme

Rges Gesamtwiderstand

R1, R2, R3 Einzelwiderstände

An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung U

Knoten- und Maschenregel

Knotenregel

I1 + I2 + I3 = 0

Maschenregel

U1 + U2 − U3 = 0

Formelsammlung_TGM.odt 6 9. Mrz 15

U1

I

U0

Leerlauf-Spannung

IkKurzsschluss-

Strom

ΔUΔIErsatzschaltbild

AkkuVerbraucher

U1

I

IU0

Ri

R1

Iges

UR1

I1

R2

I2

R3

I3

I1

I3

I2

U3

R1

U2

U1

R2

R3Uges Maschen umlauf

Formelsammlung TGM 7 / 42

Spannungsteiler

unbelastet (Reihenschaltung)

U2 =R2

R1 + R2⋅Uges

belastet (Gruppenschaltung)

U2 =R2L

R1 + R2L⋅Uges R2L =

R2⋅RL

R2 + RL

RL Lastwiderstand

R2L Ersatzwiderstand für R2 und RL

Brückenschaltung

AB 2 4U U U

wenn: UAB = 0 (Abgleich)

31

2 4

RRR R

Formelsammlung_TGM.odt 7 9. Mrz 15

R1

I

U2

U1

R2

Uges

R1

Iges

U2

U1

R2

Uges

RL

I2 = Iq IL

R1

U2

Iges

U1

R2

Uges

R4

I12 I34

U3

U4

UABA B

R3

Formelsammlung TGM 8 / 42

Dioden und LEDs

Arbeitspunkt und Arbeitsgerade

R =∣Δ UΔ I

∣

(Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) vergl. Reihenschaltung

Formelsammlung_TGM.odt 8 9. Mrz 15

LEDDiode

Anode

Kathode Kathode

Merkregel:Kathode = Kurzes Bein = Kante

Merkregel:Kathode = Kennzeichnung

Anode

Kathode

Stro

mflu

ss in

D

urch

lass

richt

ung

R

UG

UR

G

UD

IG

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

f(x) = -3,07x + 15,36

Arbeitspunkt und Arbeitsgerade

LED, rotWiderstandsgeradeLineare Regression für Widerstandsgerade

U in V

I in mA

AP

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Kennlinien Diode und LEDs

Silizium-DiodeLED, grünLED, w eißLED, rotLED, blau

U in V

I in mA

Formelsammlung TGM 9 / 42

Kondensator

d

+Q -QE

U E d

C =QU

C = ϵ0⋅ϵr ⋅Ad

d Plattenabstand in mC Kapazität in F (Farad) = As/VQ Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb)U Spannung in Vε0 Feldkonstante ϵ0=0,885⋅10−11 As

VmA Plattenfläche in m²εr Dielektrizitätskonstanteεr (Luft) ≈ 1εr (dest. Wasser) ≈ 80εr (Isolation Unterwasserkabel) ≈ 2,4

Reihenschaltung von Kondensatoren

C1 C2 C3

1 1 1 1C C1 C2 C3

Parallelschaltung von Kondensatoren

C1 C2 C3

C C1 C2 C3

Auf- und Entladung

0 1 2 3 4 50123456789

10

Aufladevorgang KondensatorR=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms

uC(t) in Vi(t) in mA

Zeit in ms

uc(t) in V,i(t) in mA

uC(t)

i(t)

UC (t) = U⋅(1 − e−tτ )

UR (t) = U⋅e−tτ

I(t) = UR

⋅e−tτ

τ = R ⋅ C

IC = C ⋅ΔUC

Δ t

τ Zeitkonstante in sR Widerstand in ΩC Kapazität in F

0 1 2 3 4 5-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10

Entladevorgang KondensatorR=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms

uC(t) in Vi(t) in mA

Zeit in ms

uc(t) in V,i(t) in mA

uC(t)

i(t)

UC (t) = U⋅e−tτ

I(t) =−UR

⋅e−tτ

Formelsammlung_TGM.odt 9 9. Mrz 15

UcU

10V

V1

G 1µF

C1

+

1K

R1

UR

Formelsammlung TGM 10 / 42

Durchflutung

Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringförmig um den Leiter verlaufen.

Rechte Handregel:

Daumen zeigt in Stromrichtung

Finger zeigen im Magnetfeldrichtung

Kreuz: Strom fließt nach hinten(Merkregel: Pfeilende)

Punkt: Strom fließt nach vorne(Merkregel: Pfeilspitze)

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Ursache Strom (Daumen nach hinten)

Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten)

Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links)

Flussdichte

B=ΦA

B magnetische Flussdichte in Vs/m² = T

Φ magentischer Fluss in Vs

A Querschnittsfläche in m²

Induktion

Uinduziert=N ΔΦΔ t mit Φ =B⋅A

Uinduziert induzierte Spannung in V

N Windungszahl

ΔΦ Flussänderung in Vs

Δt Zeitdauer der Flussänderung in s

SelbstinduktionUind=L⋅I = L⋅Δ I

Δ t

ΔI Stromänderung in A

Δt Zeitdauer der Stromänderung in s

I Stromänderung in A/s

Formelsammlung_TGM.odt 10 9. Mrz 15

Strom I

Magnetfeld

Leitung

Kompass

Strom I

Kraft F

N

S

UrsacheStrom

VermittlungMagnetfeld

WirkungKraft

A=1m²

B

t

Drehung

durchstömteFläche A

ändert sich

N S

U

N S

U

Magnetfeld B ändert sich

vom Magnetfeld durchströmte Fläche A ändert sich

I klein

U

t

I gross

U

Magnetfeld Bändert sich

Formelsammlung TGM 11 / 42

Spule

I+

_

20 r

AL Nl

L Induktivität in H = V⋅sA (Henry)

A vom Feld durchsetzte Fläche (Querschnitt)μ0 Feldkonstante des magnetischen Feldes

0 =1,257⋅10−6 VsAm

r = Permeabilitätszahl r Eisen 200 ... 6000 r Elektroblech 500 ... 7000

Reihenschaltung von Spulen

L1 L2 L3

L L1 L2 L3

Parallelschaltung von Spulen

L3L1 L2

1 1 1 1L L1 L2 L3

Spule an Rechtechspannung

Zeitkonstante τ =LR

Selbstinduktion UL =L⋅Δ IΔ t

= L⋅I

Einschalten Ausschalten

UR (t) = Umax⋅(1 − e−tτ ) UR (t) = Umax⋅e

−tτ

I(t) =Umax

R⋅(1 − e

−tτ ) I(t) = Istart⋅e

−tτ

USpule (t) = Umax⋅e−tτ USpule (t) =−Umax⋅e

−tτ

Impulszeit ti << τ

eingeschwungenerZustand!

Formelsammlung_TGM.odt 11 9. Mrz 15

S1

S2

I

U1 UR

USpule

U2 RL

U2 RL

G

0

10U in V

t

+40µs +80µs +120µs1ms

URecht

UL

USpule

USpule

I~UR

I~UR

t

S1 geschlossenU1 = U2 = Uspule + UR

S2 geschlossen0 = Uspule + UR

→ Uspule = - URmax

63%max

37%max

τ

-37%maxτ

Formelsammlung TGM 12 / 42

Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien

Uinduziert

n= konst

UAnker=UR+Uinduziert

UAnker Spannung am Motoranker

IAnker Stromaufnahme des Motors in A

RAnker Ankerwiderstand in Ω

n Drehzahl des Motors in 1/s

Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V

Mab

IAnker= konst

Drehmoment

Mechanische Leistung

M = F⋅r

Pmech =ΔWΔ t

= F⋅v

Pmech = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M

M Drehmoment in Nm

F Kraft in N

r Radius in m

Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s

ΔW Arbeit in Nm

ω Winkelgeschwindigkeit in 1/s

n Drehzahl in 1/s

v Geschwindigkeit in m/smit F in Bewegungsrichtung

Motor Leistungsbilanz

Formelsammlung_TGM.odt 12 9. Mrz 15

Drehmoment M

Drehzahl n

n I

Strom I

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

M in Nm

n in 1/s

U1U2U3 < U1

Fr

M

zugeführte LeistungPzu = Pelekt UAnker * IAnker

Mechanische Leistung

Pmech

ω * Mmech

WärmeverlustePverlust = UR * IAnker

Pverlust = I²Anker * RAnker

vom Motor abgegebene LeistungPab = ω * Mab

Mechanische Verluste (Lager, Bürsten,...), hervorgerufen durch Reibungsmoment MReib

Mmech = Mreib + Mab

wenn Mreib<< Mmech dann: Mmech≈ Mab und Pmech≈ Pab

RAnker

UAnker Uinduziert ~ n

IAnker

URPelekt

P Verlust

Pmech

RAnker

UAnker Uinduziert ~ n

IAnker

UR

ab

Formelsammlung TGM 13 / 42

Transistor und Transistorschaltungen

Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Schaltungsbeispiel

Bipolar-TransistorB BasisE EmitterC Kollektor

Basisstrom IB steuertKollektorstrom IC wird gesteuert

Feldeffekt-Transistor,hier MOSFETG GateD DrainS Source

Gate-Source-Spannung UGS steuertDrainstrom ID wird gesteuert

IGBT (insulated-gate bipolar transistor)G GateE EmitterC Kollektor

Gate-Emitter-Spannung UGE steuertDrainstrom ID wird gesteuert

Schaltzustände beim Transistor Transistor sperrt (wie Schalter offen) Transistor leitet (wie Schalter geschlossen)

PWM-Signal, Tastgrad

T Periodendauer ti ImpulszeittP Pausenzeitf Frequenz

Formelsammlung_TGM.odt 13 9. Mrz 15

IMotor=ICISteuer

M

UBatt

UCE

USteuer

RB

+12V

B

C

E

ICIB

G

D

S

ID

UGS

UBattUDS

USteuer

RG

+12V

IMotor=ID

UGS

M

G

C

E

IC

IMotor=IC

M

UBatt

UCE

USteuer

RG

+400V

IMotor=0AM

USteuer=0V

RB

+12V

Ubatt

12VUGS

12V

Umotor

0V M

12V12V

0VIMotor=1A

M

USteuer=5V

RB

+12V

Ubatt

12VUGS

0,2V

Umotor

11,8V M

12V0V

12V

Mittelwert

0Vtp ti

T

Flächen gleich gross

Maximalwert

Tf=1T

Tastgrad =t i

T=

UMittelwert

UMaximalwert

Tastgrad =t i

T= ( UEffektivwert

UMaximalwert)2

Formelsammlung TGM 14 / 42

Transistor-Brückenschaltung

Tiefsetzsteller

Hochsetzsteller

Formelsammlung_TGM.odt 14 9. Mrz 15

T1

T2

1

T3

T4

1M

UVersorgung

0V

T I

U1 UR

USpule

U2

UR ~I

USpule

USpule

U2= U1

U2=0

UR ~I

t

Eingangs-Gleichspannung

Ausgang-Gleichspannung

T I

Uein UR

USpule

U2R CL

UausPWM

T

I

UausUein

USpule

CLRL

PWM

+

- UT

T1

T21

T3

T4M

UVersorgung

0V

1

t

U

MittelwertUR = Uaus

Uein

U2= Uein

U2=0t

U

MittelwertUR = Uaus

ti T

Formelsammlung TGM 15 / 42

Operationsverstärker

Spannungsversorgung des Operationsverstärkers

Für Abituraufgaben im TG Mechatronik gilt:In allen dargestellten Schaltungen besitzt der Operationsverstärker die links abgebildete symmetrische Spannungsversorgung mit +/-Ub

nicht invertierender Komparator

Komparator: Vergleicher mit einer SchaltschwelleSchaltschwelle wird mit dem Spannungsteiler R2, R1 eingestellt.invertierender Komparator: Eingänge + und - vertauschen

invertierender Verstärker

vu =UaUe

=−R2R1

Spannungsverstärkungsfaktor

Formelsammlung_TGM.odt 15 9. Mrz 15

⊲∞

+

‒

+

-Ub

+Ub

G

G

Ub

Ub

+

+

-

-

R2 ⊲∞

-

+

+

UeUa

-Ub

+Ub

R1

R1

R2

⊲∞

+

‒

+Ue

Ua

Formelsammlung TGM 16 / 42

nicht invertierender Verstärker

vu = UaUe

= 1+R2R1

Spannungsverstärkungsfaktor

invertierender Summierverstärker

Ua =−(R2R11

⋅Ue1 +R2R12

⋅Ue2)

nicht invertierender Schwellwertschalter mit Hysterese (Schmitt-Trigger)

UeKipp

Uamax= R1

R2

Formelsammlung_TGM.odt 16 9. Mrz 15

R1

R2

⊲∞+

‒+

Ue

R12

R2

⊲∞

+

‒

+Ue2

Ua

R11

Ue1

R1

R2

⊲∞+

‒+

Ue

Ua

Formelsammlung TGM 17 / 42

Differenzverstärker

Ua = R2R1

⋅(Ue2−Ue1)

Rechteckgenerator

f = 1

2⋅R0⋅C⋅ln (1 + 2⋅ R2R1

)

Formelsammlung_TGM.odt 17 9. Mrz 15

⊲∞+

‒+

UaR2

R1R0

C

R2

R1 ⊲∞

+

‒

+

Ue1 Ua

R1

Ue2R2

Formelsammlung TGM 18 / 42

Wechselstrom

FrequenzPeriodendauer f=1

Tf Frequenz in Hz = 1

sT Periodendauer in s

Effektivwert bei sinusför-migen Wechselgrößen Ueff=

USpitze

√2Ieff=

ISpitze

√2

Ueff Effektivwert der Wechselspannung in VUSpitze Spitzenwert der Wechselspannung in VIeff Effektivwert des Wechselstroms in AISpitze Spitzenwert des Wechselstroms in A

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)

u(t) = u⋅sin(ω⋅ t) = u⋅sin(2π f⋅ t)

i(t) = u(t )R

= uR

⋅sin(2π f ⋅t )

Strom und Spannung sind „in Phase“(gemeinsame Nulldurchgänge).

Zeiger

0 5 10 15 20 25-10

-5

0

5

10

15

20

25

u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand R

û=10V, R=4Ω, f=50Hz

Zeit in ms

u(t) in Vi(t) in A

p(t) in W

p(t)

u(t)

i(t)

Formelsammlung_TGM.odt 18 9. Mrz 15

USpitze

t

U

Ueff

Periodendauer T

Periodendauer T

Amplitude = Spitzenwert

Effektivwert

T = 20ms bei f = 50Hz

R

i(t)

u(t)

A

V

I

U

Formelsammlung TGM 19 / 42

Kapazität im Wechselstromkreis

CX kapazitiver Blindwiders tand

C

1X

2 f C

i(t)

u(t)

A

VC

Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „voreilend“).

Zeiger (Effektivwerte):

C

ui(t) sin(2 f t )X 2

Induktivität im Wechselstromkreis

L X Induktiver Blindwiderstand

LX 2 f L

i(t)

u(t)

A

VL

ˆu(t) u sin(2 f t )

Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „nacheilend“).

Zeiger (Effektivwerte):

I

U

L

ui(t) sin(2 f t )

X 2

Formelsammlung_TGM.odt 19 9. Mrz 15

ˆu(t) u sin(2 f t )

IU

0 90 180 270 360-1

-0,5

0

0,5

1Liniendiagramm

ui

φ

u, i

π 2π

i

u

0 90 180 270 360-1

-0,5

0

0,5

1Liniendiagramm

ui

φ

u, i

π 2π

i

u

Formelsammlung TGM 20 / 42

Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)

XL Induktiver Blindwiderstand L[X ]

LX = 2 f L

Z Scheinwiderstand = W[Z]U GesamtspannungI Strom

Spannungsdreieck

U

RU

LU

I

R LU U U

2 2 2R LU U U

2 2R LU U U

RU U cos

LU U sin

L LU I X

RU I R

Widerstandsdreieck

Z=UI L

LX =UI

RR=UI

Normierung mit I (ähnliches Dreieck)

LZ R X

2 2 2LZ R X

2 2LZ R X

R Z cos

LX Z sin

cos Wirkleistungsfaktor

UZ =

I

Leistungsdreieck

LQ=U IS=U I

RP=U I

Normierung mit 1/I (ähnliches Dreieck)

LS P Q

2 2 2LS P Q

2 2LS P Q

P S cos

LQ S sin

S U I

S Scheinleistung [S] V A= ×P Wirkleistung [P] W=Q Blindleistung [Q] var=

Formelsammlung_TGM.odt 20 9. Mrz 15

I

U

LR

RU LU

Formelsammlung TGM 21 / 42

Parallelschaltung R und XL

L

RRI

LI

I

R LU U U

L InduktivitätIL Spulenstrom (Blindstrom)IR WirkstromI GesamtstromU GesamtspannungZ Scheinwiderstand

Zeigerdiagramm der Ströme

U

LI

RI

I

I = IR + IL IR = I⋅cosϕ

I2 = IR2 + IL

2 IL = I⋅sinϕ

I = √IR2 + IL

2 IR =UR

IL = UXL

Leitwertsdreieck

1=

ZIU

L

L1 =X

IU

R1 =R

IU

Normierung mit 1/U (ähnliches Dreieck)

1Z

= 1R

+ 1XL

1Z2 =

1R2 +

1XL

2

1Z

= √ 1R2 + 1

XL2

1Z

= IU

Leitwert = 1Widerstand

cosϕ = ZR

sinϕ = ZXL

LeistungsdreieckS = P + QL P = S⋅cosϕ

S2 = P2 + QC2 QL = S⋅sinϕ

S = √P2 + QL2 S = U⋅ I

Formelsammlung_TGM.odt 21 9. Mrz 15

S=U ILQ=U I

RP=U I

Formelsammlung TGM 22 / 42

Parallelschaltung R und XC

RRII

CR CU U U CI

C KapazitätIC Kondensatorstrom (Blindstrom)IR WirkstromI GesamtstromU Gesamtspannung

Zeigerdiagramm der Ströme

U

RI

I

CI

I = IR + IC IR = I⋅cosϕ

I2 = IR2 + IC

2 IC = I⋅sinϕ

I = √IR2 + IC

2 IR = UR

IC = UXC

1=

ZIU

C

C1 =X

IU

R1 =R

IU

1Z

=1R

+1XC

1Z2 = 1

R2 + 1XC

2

1Z

= √ 1R2 + 1

XC2

1Z

=IU

1XC

=1Z

⋅sinϕ 1R

= 1Z

⋅cosϕ

S=U I

RP=U I

CCQ =U I

S = P + QC P = S⋅cosϕ

S2 = P2 + QC2 QL = S⋅sinϕ

S = √P2 + QC2 S = U⋅ I

Formelsammlung_TGM.odt 22 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 23 / 42

Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)

I

U

R

RU

C

CU

XC Kapazitiver Blindwiderstand = WC[X ]

C1X =

2 f C

Spannungsdreieck

U

RU

ICU

RU U cos

RU I R

R CU U U

2 2 2R CU U U

2 2R CU U U

CU U sin

C CU I X

Widerstandsdreieck

Z=UI

RR=UI

C

CX =UI

R Z cos

UZ =

I

CZ R X

2 2 2CZ R X

2 2CZ R X

CX Z sin

Leistungsdreieck

S=U I

RP=U I

CQ=U I

P S cosCS P Q

2 2 2CS P Q

2 2CS P Q

CQ S sin

S U I

Formelsammlung_TGM.odt 23 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 24 / 42

Blindleistungs-Kompensation

wobei (P=P1+P2+...), (QC=QC1+QC2+...), (QL=QL1+QL2+...)

Vollständige KompensationQC = QL S = Pcosφ=1 Z = R.

Teilweise Kompensation

Wirkleistung

Blindleistung

Scheinleistung

P=UR⋅IR QC=UC⋅IC QL=UL⋅IL

S=Uges⋅Iges

S2 = P2 + Q2

cos(ϕ) =PS

= 0..1induktiv /kapazitiv

P Wirkleistung in W

UR, IR Spannung und Strom am Widerstand

QC, QL Blindleistungen in var

UC, IC Spannung und Strom am Kondensator

UL, IL Spannung und Strom an der Spule

S Scheinleistung in VA

Uges, IgesGesamtspannung und Gesamtstrom an

einer Schaltung aus R,L,C

cos(φ) Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor

φ Phasenverschiebungswinkel zwischen

Uges und Iges

φ Winkel zwischen S und P

Formelsammlung_TGM.odt 24 9. Mrz 15

P

LQ

CQS

R

Iges

Uges=Uc

L

RU LUCIc

IRL

S2=P2+(QL−QC)2

UL

UR

ICIges

Uges

IRL

UL

UR

ICIges

Uges

IRL

φ

S in VAQ in var

P in W

φ

Formelsammlung TGM 25 / 42

Siebschaltungen (passive Filter)

Grenzfrequenz:

Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die Grenzfrequenz festgelegt.

g

ea e

R C L R

C L

ea

bei gilt :

bzw.

bzw.

f f

UU 0,707 U

2U U U U

R X X R

PP

2

Ua/Ue

f

1

0fg0,1fg 10fg

Durchlassbereich Sperrbereich

Ue Ua

Tiefpass

Amplitudengang

Die Ausgangsspannung Ua ist in Abhängigkeit von der Frequenz stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung Ue.

Das Verhältnis Ua/Ue wird als Amplitudengang bezeichnet.

a

e

Amplitudengang f(Frequenz)UU

Ua/Ue

f

1

0fg0,1fg 10fg

Sperrbereich Durchlassbereich

Ue Ua

Hochpass

Phasengang

Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang bezeichnet.

a e Phasengang f(Frequenz)U ,U

Ua/Ue

f

1

0fgu0,1fgu fgo

Durchlassbereich10fgu

Ue Ua

Bandpass

Verstärkungsmaß

Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im Verstärkungsmaß a angegeben.

a a

e edB

U Ua 20 log

U U

[a] dB (Dezibel)

Ua/Ue

f

1

0fgu0,1fgu fgo

Sperrbereich10fgu

UaUe

Bandsperre

a a

e e dB

U U20 loVers g 0,1tärku

1(Dezibe20dB l)n

U U0g

1

a a

e e dB

U U20 log 0,707 (Dezibel)Verstärkun

13dB

2g

U U

Beispiele:

Formelsammlung_TGM.odt 25 9. Mrz 15

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00-50

-40

-30

-20

-10

0

Tiefpass: Verstärkung in dBBeispiel: fg = 10kHz

f in kHz

Ua/Ue in dB

Formelsammlung TGM 26 / 42

RC- und LR-Tiefpässe

C

I R

I

R

RU

LU

2

C

U

( U )

2

R

U

( U )

L

1U

1U

Grenzfrequenz

G

1f2 R C

G

1f

L2R

(RL-Tiefpass)

(RC-Tiefpass)

f

DurchlassbereichSperrbereich

fg

1 70,7%2

2

1

UU

1

CR- und RL-Hochpässe

CI

R

I R

RU

2

R

U

( U )

2

L

U

( U )L1U

1U

CUG

1f

2 R C

G

1f

L2R

(RL-Hochpass)

(RC-Hochpass)

ffg

DurchlassbereichSperrbereich

170,7%

22

1

UU

1

Formelsammlung_TGM.odt 26 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 27 / 42

Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom

3 Phasen mit 120° Phasenverschiebungzu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0

SternschaltungVerbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 230V

DreieckschaltungVerbraucher zwischen zwei Phasen geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 400V

UStern=UDreieck

√3PStern =

PDreieck

3

UStern Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N)U1N, U2N, U3N

UDreieck Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen)U12, U23, U31

PStern Leistung in Sternschaltung in WPDreieck Leistung in Dreieckschaltung in W

Pges=√3⋅U⋅I⋅cos(ϕ)

Sges=√3⋅U⋅I

Pges Gesamte Wirkleistung in WSges Gesamte Scheinleistung in VAU Leiterspannung (U12, U23, U31) zwischen den AußenleiternI Außenleiterstrom I1, I2, I3

cos(φ) Leistungsfaktorφ Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I

Formelsammlung_TGM.odt 27 9. Mrz 15

NS

L1L2L3

N

Hochspannungs-Übertragung

Trans-formator

Trans-formator

L1

L2

L3

L1

L2

L3

L1

L2

L3

N

PE

L1

L2

L3

N

Verbraucher (im Haus)

Dreieckschaltung3 x 400V

Sternschaltung3 x 230VSynchron-Generator

im Kraftwerk

0 5 10 15 20 25

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom)

t in ms

u1(t) u2(t) u3(t)

uges(t)

U in V

30° 90° 180° 360°

R1 R2 R3

L1L2L3

U1N U2N U3N

N

I1I2I3

I12=I1√3

R1

R2

R3

L1

L2

L3

U12

U31

U23

I1I12

I2

I3

Strangstrom

U1

U2

U3 Drehung

Formelsammlung TGM 28 / 42

Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)

Betriebsdaten von DASM (Käfigläufermotoren) bei 50 Hz / 400 V

Baugröße PN in kW nN in 1

min IN in A MN in Nm η in %MA

MN

Drehfelddrehzahl nf = 3000 1

min

63 0,25 2765 0,68 0,86 66 2,3

71 0,55 2800 1,3 1,9 71 2,3

80 0,75 2850 1,7 2,5 74 2,4

80 1,1 2850 2,6 3,7 77 2,4

90S 1,5 2860 3,4 5 77 2,5

90L 2,2 2860 4,6 7,4 82 2,8

100L 3 2895 6,1 9,8 83 2,4

112L 4 2895 7,8 13 84 2,4

132S 5,5 2825 10,6 18 85 2,2

Drehfelddrehzahl nf = 1500 1

min

71 0,25 1325 0,75 1,8 62 1,7

80 0,55 1400 1,4 3,7 71 2,3

80 0,75 1400 1,8 5,1 74 2,5

90S 1,1 1410 2,6 7,5 75 2,1

90L 1,5 1405 3,5 10 75 2,2

100L 2,1 1415 4,9 15 79 2,2

100L 3 1415 6,4 20 81 2,7

112M 4 1435 8,7 27 83 2,9

132S 5,5 1450 11,1 36 84 2,2

Formelsammlung_TGM.odt 28 9. Mrz 15

Generator

Generator

Trans-formator

Verbraucher

443

3

Hochspannungsübertragung

110 / 220 / 380 KV

Niederspannungsübertragung

230 V / 400 V

Mittelspannung

10 / 20 KV

Trans-formator

Trans-formator

Formelsammlung TGM 29 / 42

Drehstrom-Asynchronmotor DASM

Hochlaufkennlinie M(n)

HochlaufkennlinieM/NmI/A

IA

MK

MN

MA

nK nN

MSa

Leerlaufschlupf

Leerlauf

bei Nenndrehzahl

nnSa0

nD

M Drehmoment in Nmn Läuferdrehzahl in 1/sMN Nennmoment, BemessungsmomentnN Nenndrehzahl, BemessungsdrehzahlMA AnlaufmomenmomentMK KippmomentnK KippdrehzahlMSa SattelmomentnSa SatteldrehzahlnD Drehfelddrehzahl

nD =fp

n = f⋅(1 − s)p

s =nD − n

nDnS = nD −n

Pel = √3⋅U⋅I⋅cosϕ

M =Pmech

2⋅π⋅nM =

2⋅MK

sK

s+ s

sK

f Frequenz der Motorspannung in 1/sp PolpaarzahlnD Drehfelddrehzahl in 1/sn Läuferdrehzahl in 1/snS Schlupfdrehzahls Schlupf (Angabe manchmal in %)sK KippschlupfPel Leistungsaufnahme in WU Leiterspannung in VI Außenleiterstrom in Acosφ Leistungsfaktor M Drehmoment in Nm

Typenschildangaben Bemessungswerte = Nennwerte

3 ~50 Hz230/400 V

xx/yy A1410 min-1

5 kW

cosφ 0,75

Drehstrommotor Bemessungsfrequenzkleinerer Wert darf max. an der Motorspule anliegen, UMotor in Δ 230V , in Y 400VBemessungsstrom in ABemessungsdrehzahl in 1/minAbgegebene mechanische Leistung im BemessungsbetriebLeistungsfaktor im Bemessungsbetrieb

Formelsammlung_TGM.odt 29 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 30 / 42

Symbole der Elektrotechnik

Schalten

Taster Schalter Schließerkontakt Öffnerkontakt Umschalter

Anzeigen

Dioden

Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode

Widerstände

Widerstand VeränderbarerWiderstand

Widerstand mit Schleifkontakt

PTCKaltleiter

NTCHeißleiter

Spule

Kondensator Kondensator mit Polung

Batterieelement,Akku

Masse, Erde

Sicherung Solarzelle

Relais

Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET

Quellen

ideale Spannungsquelle

IdealeStromquelle

SignalgeneratorGleichspannung

SignalgeneratorWechselspannung

UmlaufenderGenerator

Messgeräte

Spannungsmesser,Voltmeter

Strommesser,Amperemeter

Leistungsmesser,Wattmeter

Leistungsfaktor-Messgerät

Energiemesser,Wattstundenzähler

Umsetzer

Analog/Digital-Umsetzer, n Bit

Digital/Analog-Umsetzer, n Bit

Komparator, Schwellwertschalter

Schmitt-Trigger, Zweipunktregler

Symbole der RI-Fließtechnik

Behälter mit Flüssigkeit

Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle

Heizung / Wärmetauscher

Rührer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung

Formelsammlung_TGM.odt 30 9. Mrz 15

ϑ ↑↑

ϑ ↑↓

+ +

G G G

V U A I W P cosφ Wh Wh

A

D

n Ո/# n

A

Dn #/Ոn

comp

M

Formelsammlung TGM 31 / 42

Betriebsmittelkennzeichnung nach DIN EN 81346-2 (Auszug)

Kenn-buch-stabe

Beispiel Zweck oder Aufgabe

BMessumformer, Mikrophon, Bewegungswächter, Photozelle, Grenzwertschalter, Positionsschalter, Sensor, Überstromschutzrelais, Wächter, Videokamera

Umwandeln einer Eingangsvariablen (physikalische Eigenschaft, Zustand oder Ereignis) in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal

C Kondensator Speichern von Material, Energie oder Information

E Beleuchtung, Lampe, Heizung, Warmwasserspeicher Liefern von Strahlungsenergie oder Wärmeenergie

F Sicherungen, Motorschutzschalter, Leistungsschalter, Fehlerstromschutzschalter

Direkt (selbsttätig) einen Energiefluss, Signale, Personal oder Ausrüstungen vor gefährlichen oder unerwünschten Zuständen schützen.

GAkku, Drehstromgenerator, Batterie, Gleichrichter, Solarzelle, Brennstoffzelle, Ventilator, Hebezeug, Fördereinrichtung

Initiieren eines Energie oder Materialflusses. Erzeugen von Signalen als Informationsträger oder Referenzquelle; Produzieren einer neuen Materialart oder eines neuen Produktes

H Meldeleuchten Anzeige von Betriebszuständen

KHilfsschütz, Hilfsrelais, Zeitrelais, Spannungsregler, Transistor, Automatisierungsgerät, Optokoppler, Steuerventil, Auslöser

Verarbeiten (Empfang, Verarbeitung, Bereitstellung) von Signalen oder Informationen (ausgenommen Objekte für Schutzzwecke, siehe Kennbuchstabe B oder F)

M Motor, Antriebsspule, Antrieb, Aktor, Verbrennungsmotor, Turbine, Hubmagnet, Stellantrieb

Bereitstellung von mechanischer Energie (mechanische Dreh- oder Linearbewegung) zu Antriebszwecken

PAnzeige, Hupe, LED, Lautsprecher, Voltmeter, Amperemeter, Wattmeter, Leistungsfaktoranzeiger, Ereigniszähler, Wirkleistungszähler, Blindleistungszähler

Darstellung von Information

Q Leistungsschalter, Schütz, Trennschalter, Leistungstransistor, Lasttrennschalter

Kontrolliertes Schalten oder Variieren eines Energie-, oder Signalflusses oder Materialflusses

R Diode, Drossel, Widerstand, ZenerdiodeBegrenzung oder Stabilisierung von Bewegung oder Fluss von Energie, Information oder Material

S Steuerschalter, Wahlschalter, Taster Umwandeln einer manuellen Betätigung in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal

T Ladegerät, Netzgerät, Gleichrichter, Verstärker, Frequenzwandler, Transformator, Wechselrichter

Umwandeln von Energie unter Beibehaltung der Energieart; Umwandeln eines bestehenden Signals unter Beibehaltung des Informationsgehalts;

W Kabel, Leiter, Datenbus, Lichtwellenleiter, Leiten oder Führen von Energie, Signalen oder Materialien oder Produkten von einem Ort zu einem anderen

X Trenn- und Steckverbindung, Steckdose Verbinden von Objekten

Formelsammlung_TGM.odt 31 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 32 / 42

Normreihen von Widerständen

Formelsammlung_TGM.odt 32 9. Mrz 15

E6 (20%)

E12 (10%)

E24 (5%)

E48 (2%)

E96 (1%)

1

1

11

1

1,02

1,051,05

1,07

1,11,1

1,1

1,13

1,151,15

1,18

1,2

1,2 1,211,21

1,24

1,3

1,271,27

1,3

1,331,33

1,37

1,41,4

1,43

1,5

1,5

1,51,47

1,47

1,5

1,541,54

1,58

1,61,62

1,62

1,65

1,691,69

1,74

1,8

1,81,78

1,78

1,82

1,871,87

1,91

21,96

1,96

2

2,052,05

2,1

2,2

2,2

2,22,15

2,15

2,21

2,262,26

2,32

2,4

2,372,37

2,43

2,492,49

2,55

2,612,61

2,67

2,7

2,72,74

2,74

2,8

2,872,87

2,94

33,01

3,01

3,09

3,163,16

3,24

E6 (20%)

E12 (10%)

E24 (5%)

E48 (2%)

E96 (1%)

3,3

3,33,3

3,323,32

3,4

3,483,48

3,57

3,6 3,653,65

3,74

3,9

3,93,83

3,83

3,92

4,024,02

4,12

4,34,22

4,22

4,32

4,424,42

4,53

4,7

4,7

4,74,64

4,64

4,75

4,874,87

4,99

5,15,11

5,11

5,23

5,365,36

5,49

5,6

5,65,62

5,62

5,76

5,95,9

6,04

6,26,19

6,19

6,34

6,496,49

6,65

6,8

6,8

6,86,81

6,81

6,98

7,157,15

7,32

7,57,5

7,5

7,68

7,877,87

8,06

8,2

8,28,25

8,25

8,45

8,668,66

8,87

9,19,09

9,09

9,31

9,539,53

9,76

Formelsammlung TGM 33 / 42

3 Steuerungstechnik

Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra

Verknüpfung IEC-Darstellung

Step 7-Darstellung

Funktions-gleichung

Funktions-Tabelle

NICHT

NOT

Y = /AY = A

A Y0 11 0

UND

AND

AND & Y = A ● BY = BA

B A Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

ODER

OR

OR >=1 Y = A + BY = BA

B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

Exklusiv-ODER

XOR (Antivalenz)

XOR XOR Y = (A ● /B) + (/A ● B)

B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Bit-Zuweisung

UND / ODER Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben.XOR hat 2 Eingänge.

wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ • / ODER ≙ + A ⋅ B ⋅ C = A + B + CA + B + C = A ⋅ B ⋅ C

A • (B • C) = (A • C) • B = C • A • B (A • B) + (A • C) = A • (B + C)(A • B) + (A • C) = A • B + A • C

UND vor ODER:(A • B) + (A • C) = A • B + A • C

Formelsammlung_TGM.odt 33 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 34 / 42

Variablen mit elementaren Datentypen

Datentyp Schlüsselwort IEC 63113-3

Informations- breite

Kennung

Bit BOOL 1 Bit X *)

Byte BYTE 8 Bit B

Wort WORD 16 Bit W

Doppelwort DWORD 32 Bit D

*) SIMATIC STEP 7 nur bei DB

Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten)

Schlüsselwörter IEC STEP 7

Input VAR_INPUT IN

Output VAR_OUTPUT OUT

In-Output VAR_IN_OUT IN_OUT

Statische VAR STAT

Temporäre VAR_TEMP TEMP

Bistabile Speicher

Speicherfunktion IEC STEP 7

Speicher mit vorrangigemRücksetzen S

R

Q

S

R1 Q1

SpeicheroperandS

R Q

Speicheroperand

Speicher mit vorrangigemSetzenS

R

Q

S1

R Q1

R

S Q

Speicheroperand

SET-BOX(S-Anschluss eines Speichers) S S

RESET-BOX(R-Anschluss eines Speichers) R R

Formelsammlung_TGM.odt 34 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 35 / 42

Flankenauswertung

Flankenauswertung IEC STEP 7

Positive Flanke (R: Rise = steigen) R_TRIG

Instanz InstanzP

Negative Flanke (F: Fall = fallen) F_TRIG

Instanz InstanzN

Vergleicher

(***) Vergleichsfunktionen (CMP) Symbol

Vergleich auf gleich ==I ==R

Vergleich auf ungleich <>I <>R

Vergleich auf größer >I >R

Vergleich auf größer oder gleich >=I >=R

Vergleich auf kleiner <I <R

Vergleich auf kleiner oder gleich <=I <=R

CMP ***IN1

IN2

Integer (I) GanzzahlenReal (R) Gleitpunktzahl

Eingänge: IN1 Eingang 1 INTEGER / REALIN2 Eingang 2 INTEGER / REAL

Ausgang: BOOL

Übertragungsfunktion

MOVE Symbol

Operanden und Variablenmit elementaren Datentypen zu transferieren

MOVEEN

IN OUT

Eingänge: EN BOOLIN BYTE, WORD, DWORD

Ausgang: OUT BYTE, WORD, DWORD

Formelsammlung_TGM.odt 35 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 36 / 42

Zeitgeber

Zeitgeber, Timer nach IEC-Darstellung, Step 7-Timer nicht mehr verwenden

Impuls TP

Pt Pt

Q

ET

IN TP (Timer Pulse)

Einschaltverzögerung TON

ET

IN

Pt

Q

t

t

t TON (Timer – ON delay)

Ausschaltverzögerung TOF

ET

IN

t

t

t

Pt Pt

Q

TOF (Timer – OFF delay)

Beschreibung

IN : Start-Bit (BOOL)PT : Zeitvorgabe (TIME)

Q : Zeitstatus-Bit (BOOL)ET: Aktueller Zeitwert Typ -(Time)

Zeitvorgabe: Tag(d)-Std(h)-Min(m)-Sek(s)-Millisek(ms)Zeitbereich: (32 Bit – DWORD) 1ms bis 24d 29h 31m 23s 647ms

Zeitvorgabe PT: T# ….. (Bsp.: T#2m15s)

Formelsammlung_TGM.odt 36 9. Mrz 15

TPIN Q

PT ET

Instanzname

TONIN Q

PT ET

Instanzname

TOFIN Q

PT ET

Instanzname

Formelsammlung TGM 37 / 42

Ablaufsprache

Die Bestandteile einer Ablaufsteuerung gliedern sich in drei Teile:

• Ablaufkette• Transitionsbedingungen

(Weiterschaltbedingungen)• Aktionen (Befehlsausgabe)

S_1 Anfangsschritt (Initialschritt)ist doppelt umrandet

S_2 Jeder Schritt hat eine Nummer

┼ An der Wirkungslinie werden Übergangsbedingungen(Transitionen) angegeben

Rechts neben dem Schritt wird die Befehlsart, die Aktion und der Ausführende (Aktor angegeben)

Befehlsart Bedeutung Beschreibung

N nicht speichernd(Non-stored) Aktor erhält “1“-Signal, solange der Schritt aktiv ist

S Gespeichert(Set stored) Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt bis zu einem RESET

R Rücksetzen(Reset stored) Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt

LT# …

Zeitbegrenzt(time Limited) Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt gesetzt ist

DT# …

Zeitverzögert(time Delayed)

Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist

LST# …

Zeitbegrenzt u. gespeichert(time Limited and Stored)

Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird

DST# …

Zeitverzögert u. gespeichert(Delayed and Stored)

Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, sofern der Schritt noch aktiv ist und bleibt aktiviert bis zu einem RESET

SDT# ...

Gespeichert u. zeitverzögert (Stored und Delayed )

Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird. Der Aktor bleibt aktiviert bis zu einem RESET

NC Nicht speichernd mit Zusatzbedingung (Non Control) Aktor ist aktiv, solange der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist

SC Speichern mit Zusatzbedingung(Saved Control)

Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist.

RC Rücksetzen mit Zusatzbedingung(Reset Control)

Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist.

Formelsammlung_TGM.odt 37 9. Mrz 15

S_1

S_2

S_3

S_1

//Schritt 1//Initialschritt

&

&

&

S_3

Transition-beding(en)

Transition-beding(en)

Transition-beding(en)

Aktion - Schritt 2

Aktion - Schritt 3

Aktion - Schritt 3

Aktionsblock

Aktionsblöcke

Start - Initialierung

Befehls- art

Befehls- artBefehls- art

&

S_2 Beschreibung der Aktion

Transition_1

Transition_2// Beschreibung der Transition

AktorBefehls- art

Formelsammlung TGM 38 / 42

Formelsammlung_TGM.odt 38 9. Mrz 15

N-Befehl ( Nicht speichernd)

Step_2 N Motor an M1

1

0Schritt 2

1

0Motor

Motor ist an, solange der Schritt aktiv ist

Step_3 S Heizung ein E5

S-Befehl ( Setzen, speichernd)

1

0Schritt 3

1

0Heizung

Heizung wird eingeschaltet und bleibt an bis zu einem Reset

Step_6 R Heizung aus E51

0Schritt 6

Heizung zu Beginn des Schritts ausschalten

R-Befehl ( Rücksetzen, speichernd)

Pumpe ein

L-Befehl ( zeitbegrenzt, Limited)

Step_7 M2

1

0Schritt 7

1

0Pumpe

Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist

LT#4s 4s

Ist Schritt 7 kürzer als 4s, geht die Pumpe aus

Stanze ein

D-Befehl ( zeitverzögert, Delayed)

Step_8 M3

1

0Schritt 8

1

0Stanze

Stanze wird zeitverzögert aktiviert, solange der Schritt aktiv ist.

DT#4s 4s

Schritt 8 muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert.

Pumpe ein

LS-Befehl ( zeitbegrenzt, speichernd Limited, Stored)

Step_9 M2

1

0Schritt 9

1

0Pumpe

Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde

LST#4s 4s

Pumpe bleibt 4s an, obwohl Schritt 9 kürzer ist

DS-Befehl ( zeitverzögert, speichernd Delayed, Stored)

Stanze wird zeitverzögert aktiviert, sofern der Schritt aktiv noch istund wird deaktiviert mit Reset.

Stanze einStep10 M3

1

0Schritt 10

1

0Stanze

DST#4s 4s

Schritt 10 muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert.

Step12 M3

1

0Schritt 12

R Stanze aus M3

SD-Befehl (speichernd, zeitverzögert Stored, Delayed)

Stanze wird zeitverzögert aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde und wird deaktiviert mit Reset.

Stanze einStep13 M3

1

0Schritt 13

1

0Stanze

SDT#4s 4s

Schritt 13 kann kürzer als 4s sein, Stanze wird trotzdem zeitverzögert angesteuert.

Step15 M3

1

0Schritt 15

R Stanze aus M3

Formelsammlung TGM 39 / 42

Schrittketten: Grundregeln• Beim Setzen eines Schrittes wird dieser aktiv geschaltet, die Variable hat den Wert true, die zugeordnete Aktion

wird ausgeführt

• Rücksetzen eines Schrittes schaltet diesen inaktiv, die Variable hat den Wert false, die zugeordnete Aktion wird nicht ausgeführt

• Bei der Aktivierung einer Schrittkette wird der Initialschritt und nur dieser gesetzt

• Alle anderen Schritte werden gesetzt, wenn der vorhergehende Schritt aktiv und die Weiterschaltbedingung (Transition) erfüllt ist.

• Ein Schritt wird zurückgesetzt, wenn der nachfolgende Schritt gesetzt wird.

Codes

Dual- Code (8-4-2-1-Code)

Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=10 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1

Gray- Code

keine GewichtungHEX D C B A

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 13 0 0 1 04 0 1 1 05 0 1 1 16 0 1 0 17 0 1 0 08 1 1 0 09 1 1 0 1A 1 1 1 1B 1 1 1 0C 1 0 1 0D 1 0 1 1E 1 0 0 1F 1 0 0 0

BCD- Codes / 4-Bit Codes

Dez. BCD0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

Ziffern > 9 sind nicht definiert

Spezielle Umcodierer

BCD / GrayA

B

D

C

G0

G1

G3

G2

BCD / dez.0123456789

A

B

D

C

Umcodierer mit 7-Segmentanzeige

BCD / 7-Seg.abcdefgD

C

B

ADPY

b

a

c

g

d

e

f

dp

Formelsammlung_TGM.odt 39 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 40 / 42

4 Mathematische Grundformeln

Zehnerpotenzen

Symbol Name Wert

P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde

T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion

G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde

M Mega 106 1.000.000 Million

k Kilo 103 1.000 Tausend

h Hekto 102 100 Hundert

da Deka 101 10 Zehn

100 1 Eins

d Dezi 10−1 0,1 Zehntel

c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel

m Milli 10−3 0,001 Tausendstel

μ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel

n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel

p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel

f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel

Umrechnungen

1Jahr = 365 Tage = 8760 Stunden

1Stunde = 60min = 3600Sekunden

Formelsammlung_TGM.odt 40 9. Mrz 15

Formelsammlung TGM 41 / 42

Flächen- und Volumenberechnungen

Kreisfläche A = π⋅r2

Kreisumfang U = 2⋅π⋅ r

Dreiecksfläche A = 12⋅a⋅h

Trapezfläche A =12⋅(a + c )⋅h

Kegel M = π⋅r⋅s

O = π⋅r2 + π⋅r⋅s

V = 13

⋅π⋅ r2⋅h

Kegelstumpf V =13

⋅π⋅h⋅(R2 + R ⋅r + r2)

Pyramide O = G + M

V = 13

⋅G⋅h

Zylinder O = 2⋅π⋅ r2 + 2⋅π⋅r⋅h

V = π⋅r2⋅h

Kugel O = 4⋅π⋅ r2

V =43

⋅π⋅r3

A Fläche in m²r Kreisradius in mU Umfang in mM Mantelfläche in m²O Oberfläche in m²V Volumen in m³

G Grundfläche in m²M Summe der Dreiecksflächen

Winkelfunktionen

sin(α)=GH cos(α)=

AH

tan (α) =GA

= m=Δ yΔ x

H HypotenuseA AnkatheteG Gegenkatheteα Winkel zwischen A und Hm Steigung

Formelsammlung_TGM.odt 41 9. Mrz 15

shr

hr

R

h

G

h

r

a

h

a

h

c

ΔyGH

A

Δxα

Formelsammlung TGM 42 / 42

5 Physikalische Grundformeln und Einheiten

Physikalische Formeln

gleichförmige Bewegung v = st

beschleunigte Bewegung a = vt

s = 12

⋅a⋅t2

Arbeit W = F⋅s

Leistung P = Wt

P = F⋅v = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M

Drehmoment M = F⋅r

Wirkungsgrad η =Nutzen

Aufwand

Druck p = FA

Dichte ϱ =mV

v Geschwindigkeit in ms

s zurückgelegter Weg in mt Zeit in s

a Beschleunigung in ms2

W Arbeit in J = Nm = WsF Kraft in NP Leistung in W = Nm/sM Drehmoment in Nm

ω Winkelgeschwindigkeit in 1s

n Drehzahl in 1s

r Radius in m

p Druck in Nm2

1 bar = 105 Pa = 105 Nm2

ϱ Dichte in kgm3

A Fläche in m²m Masse in kgV Volumen in m3

Einheiten

SI-Basiseinheiten abgeleitete SI-Einheiten

Name Eineit Symbol Einheiten-zeichen Name Einheit Einheiten-

zeichenin anderen SI-

Einheitenin

Basiseinheiten

Länge Meter l m Frequenz Hertz Hz s−1

Masse Kilogramm m kg Kraft Newton N J/m m·kg·s−2

Zeit Sekunde t s Druck Pascal Pa N/m2 m−1·kg·s−2

Stromstärke Ampere I A Energie, Arbeit, Wärmemenge Joule J Nm; Ws m2·kg·s−2

Temperatur Kelvin T K Leistung Watt W J/s; VA m2·kg·s−3

Stoffmenge Mol N mol elektrische Ladung Coulomb C A·s

Lichtstärke Candela IV cd elektrische Spannung Volt V W/A; J/C m2·kg·s−3·A−1

elektrische Kapazität Farad F C/V m−2·kg−1·s4·A2

elektrischer Widerstand Ohm Ω V/A m2·kg·s−3·A−2

elektrischer Leitwert Siemens S 1/Ω m−2·kg−1·s3·A2

magnetischer Fluss Weber Wb Vs m2·kg·s−2·A−1

magnetische Flussdichte Tesla T Wb/m2 kg·s−2·A−1

Induktivität Henry H Wb/A m2·kg·s−2·A−2

Celsius-Temperatur Grad Celsius °C K

Formelsammlung_TGM.odt 42 9. Mrz 15

Fr

M