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FORMULA GENERAL PARA CONOCER LA CANTIDAD DE PRIMOS ENTRE
DOS NÚMEROS CUADRADOS DIFERENTES
POR: JOSÉ WILLIAM PORRAS FERREIRA
Sea la cantidad de números primos contenidos entre los dos cuadrados
y , siendo n,a es decir:
(1)
Donde p( y p representan la cantidad de números primos
contenidos en y respectivamente.
Prueba:
El teorema de los números primos establece que la cantidad de números
primos menores a x para x muy grandes es:
p(x)
(2)
Por lo tanto:
p( )
y p( )
p(
que puede ser reducida a:
Aplicando límites a ambas funciones podemos determinar lo siguiente:
(
)
Como: (
) nos quedaría:
(
)
Siendo también una función creciente, continua y divergente al no tener límites. Por lo anterior podemos hacer:
(3)
Las siguientes tablas y gráficos nos muestra una verificación de esta función
con relación a los cálculos reales hechos de la cantidad de primos entre y
para a=1,2,3,4,5….
n a (n+a)² p(n²) p((n+a)²) real
calculada
1 1 1 4 0 2 2 2
2 4 9 2 4 2 2
3 9 16 4 6 2 3
4 16 25 6 9 3 3
5 25 36 9 11 2 3
6 36 49 11 15 4 3
7 49 64 15 18 3 4
8 64 81 18 22 4 4
9 81 100 22 25 3 4
10 100 121 25 30 5 4
15 225 256 48 54 6 6
20 400 441 78 85 7 7
25 625 676 114 122 8 8
30 900 961 154 162 8 9
40 1600 1681 251 263 12 11
50 2500 2601 367 378 11 13
60 3600 3721 503 519 16 15
70 4900 5041 654 668 14 17
90 8100 8281 1018 1038 20 20
99 9801 10000 1208 1229 21 22
Tabla No. 1. Comparacion de real Vs. calculada con la ecuación 3 y
a=1.
Gráfico No. 1. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=1. Datos tomados de la tabla No. 1
n a n² (n+a)² p(n²) p((n+a)²) p(n1) real
(n) calculada
3 2 9 25 4 9 5 5
4 16 36 6 11 5 6
5 25 49 9 15 6 6
6 36 64 11 18 7 7
7 49 81 15 22 7 7
8 64 100 18 25 7 8
9 81 121 22 30 8 8
10 100 144 25 34 9 9
11 121 169 30 39 9 9
12 144 196 34 44 10 10
13 169 225 39 48 9 10
14 196 256 44 54 10 11
15 225 289 48 61 13 11
20 400 484 78 92 14 14
30 900 1024 154 172 18 18
40 1600 1764 251 275 24 22
50 2500 2704 367 393 26 26
60 3600 3844 503 532 29 30
70 4900 5184 654 690 36 33
80 6400 6724 834 867 33 37
90 8100 8464 1018 1058 40 40
98 9604 10000 1185 1229 44 43
Tabla No 2. Comparacion de real Vs. calculada con la ecuación 3 y
a=2.
Gráfico No 2. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=2. Datos tomados de la tabla No. 2
n a n² (n+a)² p(n²) P((n+a)²) (n) real
(n) calculada
1 3 1 16 0 6 6 5
2 4 25 2 9 7 7
3 9 36 4 11 7 8
4 16 49 6 15 9 8
5
25 64 9 18 9 9
6 36 81 11 22 11 10
7 49 100 15 25 10 11
8 64 121 18 30 12 12
9 81 144 22 34 12 13
10 100 169 25 39 14 13
11 121 196 30 44 14 14
12 144 225 34 48 14 15
13 169 256 39 54 15 16
14 196 289 44 61 17 16
15 225 324 48 66 18 17
20 400 529 78 99 21 21
25 625 784 114 134 20 24
30 900 1089 154 181 27 27
35 1225 1444 200 228 28 30
40 1600 1849 251 283 32 33
45 2025 2304 306 342 36 36
50 2500 2809 367 409 42 39
60 3600 3969 503 549 46 45
70 4900 5329 654 705 51 50
80 6400 6889 834 886 52 55
90 8100 8649 1018 1077 59 61
97 9409 10000 1163 1229 66 64
105 11025 11664 1335 1398 63 68
110 12100 12769 1444 1519 75 71
115 13225 13924 1567 1640 73 73
Tabla No. 3. Comparacion de real Vs. calculada con la ecuación 3 y
a=3.
Gráfico No 3. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=3. Datos tomados de la tabla No. 3.
n a n² (n+a)² p(n²) P((n+a)²) (n) real
(n) calculada
1 4 1 25 0 9 9 7
2 4 36 2 11 9 9
3 9 49 4 15 11 10
4 16 64 6 18 12 12
5 25 81 9 22 13 13
6 36 100 11 25 14 14
7
49 121 15 30 15 15
8 64 144 18 34 16 16
9 81 169 22 39 17 17
10 100 196 25 44 19 18
11 121 225 30 48 18 19
12 144 256 34 54 20 20
13 169 289 39 61 22 21
14 196 324 44 66 22 22
15 225 361 48 73 25 23
20 400 576 78 105 27 28
25 625 841 114 146 32 32
30 900 1156 154 191 37 36
35 1225 1521 200 240 40 40
40 1600 1936 251 295 44 44
45 2025 2401 306 357 51 48
50 2500 2916 367 421 54 52
60 3600 4096 503 564 61 60
70 4900 5476 654 722 68 67
80 6400 7056 834 906 72 74
90 8100 8836 1018 1100 82 81
96 9216 10000 1142 1229 87 85
105 11025 11881 1335 1421 86 91
110 12100 12996 1444 1543 99 95
115 13225 14161 1567 1661 94 98
Tabla No. 4. Comparacion de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=4.
Gráfico No 4. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=4. Datos tomados de la tabla No. 4.
n a n² (n+a)² p(n²) p(n+a)² (n) real
(n) calculada
1 5 1 36 0 11 11 10
2 4 49 2 15 13 12
3 9 64 4 18 14 13
4 16 81 6 22 16 15
5 25 100 9 25 16 16
6 36 121 11 30 19 18
7 49 144 15 34 19 19
8 64 169 18 39 21 20
9 81 196 22 44 22 22
10 100 225 25 48 23 23
11 121 256 30 54 24 24
12 144 289 34 61 27 26
13 169 324 39 66 27 27
14 196 361 44 73 29 28
15 225 400 48 78 30 29
20 400 625 78 114 36 35
25 625 900 114 154 40 40
30 900 1225 154 200 46 46
35 1225 1600 200 251 51 51
40 1600 2025 251 306 55 56
45 2025 2500 306 367 61 61
50 2500 3025 367 434 67 66
60 3600 4225 503 578 75 75
70 4900 5625 654 739 85 84
80 6400 7225 834 923 89 93
90 8100 9025 1018 1121 103 102
96 9216 10201 1142 1252 110 107
100 10000 11025 1229 1336 107 110
105 11025 12100 1336 1447 111 114
110 12100 13225 1447 1572 125 119
115 13225 14400 1572 1686 114 123
120 14400 15625 1686 1821 135 127
125 15625 16900 1821 1948 127 131
Tabla No. 5. Comparacion de real Vs. calculada con la ecuación 3 y
a=5.
Gráfico No 5. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=5. Datos tomados de la tabla No. 5.
El siguiente gráfico nos muestra una comparación simultánea de real Vs. calculada con la ecuación 3 y a=3,4 y 5. Datos tomados de las tablas
Nos. 3,4 y 5.
Gráfico No 6. Comparación de real Vs. calculada con la ecuación 3
y a=3,4 y 5. Datos tomados de la tabla No. 3,4 y 5.
Teniendo en cuenta que en 1852 Schebychef1 publicó en su obra “Mémoire sur
les nombres premiers” la demostración que p(x)/(x/ln x) para x grande estaba
en:
0,92129
(4)
Y en 1892 Sylvester2 mejoró la demostración anterior demostrando que el
límite establecido por Schebychef para p(x)/(x/ln x) estaba en:
0,956
(5)
Cuando aplicamos la ecuación 2 es necesario tener en cuenta estos límites por
lo tanto:
0,956
(6)
Si invertimos la anterior desigualdad nos quedaría:
1,046025
para x grande (7)
El siguiente gráfico nos muestra la ecuación 7 con relación a la ecuación 3.
Gráfico No. 7. Comparación ecuaciones 3 y 7.
De esta forma terminamos la prueba, quedando demostrada la valides de la
ecuación 3.
Existe una razón matemática para que (n) tenga más primos con el
crecimiento de (n+a)²-n² al irse incrementando n, tal como se demostró
1 José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de
investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011 p 15-16 2 J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given
limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
cuando se solucionó la conjetura de Goldbach3 y es que si bien los números
primos son aleatorios dentro de n, el incremento de separación promedio de los
números primos es menor con relación al incremento de pasar de n² a (n+a)²,
por lo tanto tendríamos más primos en (n) cuando (n+a)²-n² se va
incrementando.
Este procedimiento me permitió demostrar las conjeturas de Legendre y de
Brocard que se consideraban inabordables.
Comprobación adicional de la validez de la ecuación 3.
Retomemos la ecuación 3 donde se demostró que:
siendo la cantidad de números primos entre n² y
(n+a)².
Si fijamos a n=1 y hacemos crecer a esta ecuación quedaría:
y haciendo x=a² quedaría:
√
√
(11)
La ecuación 11 no solo tiene el mismo comportamiento de la ecuación 2, sino
que nos da una mejor estimación de p(x). La siguiente tabla nos muestra este
comportamiento.
a x p(x)real (2a+a²)/ln (1+a)² x/lnx
2 4 2 4 3
3 9 4 5 4
4 16 6 7 6
5 25 9 10 8
6 36 11 12 10
7 49 15 15 13
8 64 18 18 15
9 81 22 21 18
10 100 25 25 22
15 225 48 46 42
20 400 78 72 67
25 625 114 104 97
30 900 154 140 132
35 1.225 200 181 172
40 1.600 251 226 217
45 2.025 306 276 266
50 2.500 367 331 320
60 3.600 503 452 440
70 4.900 654 591 577
80 6.400 834 746 730
90 8.100 1.018 918 900
100 10.000 1.229 1.105 1.086
316,23 100.000 9.592 8.736 8.686
3 José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
1.000,00 1.000.000 78.498 72.517 72.382
3.162,28 10.000.000 664.579 620.789 620.421
10.000 100.000.000 5.761.455 5.429.708 5.428.681
31.622,78 1.000.000.000 50.847.534 48.257.847 48.254.942
100.000 10.000.000.000 455.025.509 434.302.791 434.294.482
Tabla No. 6. Comparacion de real Vs. calculada con las ecuaciones
11 y 2.
Los siguientes dos gráficos nos muestran las curvas respectivas de real
Vs. calculada con las ecuaciones 11 y 2.
Gráfico No. 8. Comparación de las curvas respectivas de real Vs.
calculada con las ecuaciones 11 y 2.
.
José William Porras Ferreira
Email: [email protected]
BIBLIOGRAFĺA
1. José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011.
2. José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
3. J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Fermat's_last_theorem.html
5. http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
6. http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre
