UMA INTERESSANTE DEDUÇÃO PARA A FÓRMULA DE HERÃO

Flávio Antonio Alves, Amparo – SP ♦ Nível Intermediário Nesta nota sugerimos uma dedução para a fascinante fórmula de Herão por meio de aplicações dos números complexos à geometria. Sejam biaz +=1 e dicz +=2 dois números complexos não nulos e distintos. Vamos considerar o triângulo de vértices o, 1z e 2z (veja a figura abaixo).

o

z2

z1

Re

Im

Ө2

Ө1

A área S do triângulo acima é dada por:

( ) { }1 2 2 1 2 11 12 2

S z z sen Im z z= θ − θ = .

Vamos multiplicar essa expressão, membro a membro, por 2 e elevar ao quadrado ambos os termos

da igualdade. Assim,

{ } ( )( ) ( )

22 2 22 1 1 22 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 1 22

14 242

z z z zS Im z z z z z z z z

i−

= = = − −

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2112122112122

21122

12

2 22414

41 zzzzzzzzzzzzzzzzzz +++−=+−=

( )[ ] ( )[ ]221

221

221

2214

1 zzzzzzzz −−+−−−= .

Notemos que:

i) ( ) ( ) ( )212112212

212

21 zzzzzzzzzzzz −+−−+−=−−− ,

E, do mesmo modo, temos que:

ii) ( ) ( ) ( )212121212

212

21 zzzzzzzzzzzz −++−−+=−−+ .

Substituindo (i) e (ii) na expressão acima, vem:

( ) ( ) ( ) ( )212121212121122141 zzzzzzzzzzzzzzzz −++−−+−+−−+−= Nesse caso,

pondo-se ( )

22121 zzzz

p−++

= , onde p é o semi-perímetro, concluímos que:

( ) ( ) ( ) ( )⇒−−−−= pzzpzpzpS 2222222414 2121

2

( ) ( ) ( ) ( )⇒−−−−= pzzpzpzpS 21212 44

( ) ( ) ( ) ( )⇒−−−−= pzzpzpzpS 21212

( ) ( ) ( ) ( )2121 zzpzpzppS −−−−= , que é a fórmula de Herão.