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Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015 © APMTAC, Portugal, 2015 FORMULACIÓN DE UN ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES PARA EL MODELADO DEL DAÑO EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO Enrique Tenorio Montero 1 * y Gelacio Juárez Luna 2 1: Departamento de Materiales Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco San Pablo 180, Reynosa Tamaulipas, 02200, Azcapotzalco, México D.F. e-mail: 1 [email protected], 2 [email protected] web: http:// www.azc.uam.mx Palabras clave: Colapso, Discontinuidades, daño, dislocación, articulación, ablandamiento Resumen Se formula un elemento viga-columna con discontinuidades interiores para modelar la formación de articulaciones, en el que se considera el desarrollo de rótulas, dislocaciones transversales y axiales. En este elemento se utilizan modelos constitutivos para considerar la capacidad de momento, fuerza cortante y axial, basados en la mecánica y en pruebas experimentales reportadas en la literatura, las cuales incluyen el comportamiento constitutivo del concreto con acero de refuerzo. Para validar la capacidad de modelar el daño de los elementos finitos desarrollados, se presentan ejemplos numéricos de túneles, vigas y marcos estructurales de concreto reforzados sujetos a cargas que inducen daño en sus elementos. Las curvas carga contra desplazamiento calculadas son congruentes con las reportadas experimentalmente, por lo cual se valida el elemento viga-columna para modelar la evolución del daño en estructuras. 1. INTRODUCCIÓN Una estructura presenta daño incipiente cuando las acciones externas o internas alcanzan los valores umbrales de la resistencia de los materiales; el incremento del daño puede llevar al colapso de las estructuras. El daño puede darse cuando se presentan fenómenos como: inestabilidad elástica (pandeo), excesiva deformación plástica (fluencia generalizada), fatiga (cargas cíclicas), corrosión, fractura, etc. El estudio del inicio del daño y evolución al colapso en estructuras es de importancia para conocer la carga última o su capacidad residual, lo cual depende del comportamiento constitutivo de los materiales, así como de las acciones de fuerzas dinámicas o sobrecargas que afectan las estructuras. En estructuras, como los edificios, sus elementos estructurales pueden ser afectados por cargas adicionales a las del diseño o por acciones externas tales como: sismos, explosiones, colapso de estructuras vecinas, actividades de construcción, etc. Para estudiar el daño y la evolución al colapso en estructuras se utiliza principalmente el método de los elementos finitos, a través de elementos

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Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015

© APMTAC, Portugal, 2015

FORMULACIÓN DE UN ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES PARA EL MODELADO DEL

DAÑO EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

Enrique Tenorio Montero1* y Gelacio Juárez Luna2

1: Departamento de Materiales Universidad Autónoma Metropolitana

Azcapotzalco San Pablo 180, Reynosa Tamaulipas, 02200, Azcapotzalco, México D.F.

e-mail: [email protected], [email protected] web: http:// www.azc.uam.mx

Palabras clave: Colapso, Discontinuidades, daño, dislocación, articulación, ablandamiento

Resumen Se formula un elemento viga-columna con discontinuidades interiores para modelar la formación de articulaciones, en el que se considera el desarrollo de rótulas, dislocaciones transversales y axiales. En este elemento se utilizan modelos constitutivos para considerar la capacidad de momento, fuerza cortante y axial, basados en la mecánica y en pruebas experimentales reportadas en la literatura, las cuales incluyen el comportamiento constitutivo del concreto con acero de refuerzo. Para validar la capacidad de modelar el daño de los elementos finitos desarrollados, se presentan ejemplos numéricos de túneles, vigas y marcos estructurales de concreto reforzados sujetos a cargas que inducen daño en sus elementos. Las curvas carga contra desplazamiento calculadas son congruentes con las reportadas experimentalmente, por lo cual se valida el elemento viga-columna para modelar la evolución del daño en estructuras.

1. INTRODUCCIÓN Una estructura presenta daño incipiente cuando las acciones externas o internas alcanzan los valores umbrales de la resistencia de los materiales; el incremento del daño puede llevar al colapso de las estructuras. El daño puede darse cuando se presentan fenómenos como: inestabilidad elástica (pandeo), excesiva deformación plástica (fluencia generalizada), fatiga (cargas cíclicas), corrosión, fractura, etc. El estudio del inicio del daño y evolución al colapso en estructuras es de importancia para conocer la carga última o su capacidad residual, lo cual depende del comportamiento constitutivo de los materiales, así como de las acciones de fuerzas dinámicas o sobrecargas que afectan las estructuras. En estructuras, como los edificios, sus elementos estructurales pueden ser afectados por cargas adicionales a las del diseño o por acciones externas tales como: sismos, explosiones, colapso de estructuras vecinas, actividades de construcción, etc. Para estudiar el daño y la evolución al colapso en estructuras se utiliza principalmente el método de los elementos finitos, a través de elementos

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sólidos o unifilares con los cuales se construyen los modelos numéricos. A estos elementos se les deben incorporar los comportamientos constitutivos de los materiales, con los cuales se simula el desarrollo de las no linealidades que puedan presentarse. Se han realizado diversos estudios en el desarrollo de elementos finitos para el análisis no-lineal en estructuras; sin embargo, casi siempre están condicionados para comportamientos específicos, por lo cual no presentan todas las discontinuidades posibles en el sistema estructural analizado, como los que se mencionan en [1] quienes formularon un elemento finito tipo viga de Timoshenko con la capacidad de modelar discontinuidades de rotación y desplazamiento transversal, que requiere de funciones definidas por los autores como operadores de deformación necesarios para mejorar la solución, con los que se obtienen matrices de rigideces asimétricas que pueden presentan dificultades numéricas en el proceso de cálculo. Posteriormente, [2] desarrollaron un elemento finito con discontinuidades embebidas con base en la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, en el que sólo se considera la discontinuidad de rotación. [3] modelaron el daño en el elemento viga-columna como articulaciones plásticas, utilizando modelos constitutivos momento-curvatura elastoplásticos o con ablandamiento positivo, que no consideran el ablandamiento que se presenta después de alcanzar la carga última. [4] desarrolló un modelo multi-escala para el estudio de discontinuidades interiores axiales y rotacionales, en el cual utilizaron elementos sólidos en 2D para la micro-escala y elementos vigas Euler-Bernoulli para la macro-escala; [5] desarrollaron unas formulaciones para vigas gruesas y delgadas con discontinuidades embebidas con base en funcionales de energía, cuyas aproximaciones con elementos finitos proporcionan matrices simétricas, bien condicionadas, las cuales fueron validadas con ejemplos reportados en la literatura. Estos autores presentan una formulación de modelos constitutivos por flexión y cortante, asumiendo que existe ablandamiento después de alcanzar un valor umbral, sin considerar el acoplamiento de ambos efectos, ni un fundamento energético para definir el área debajo de las respectivas curvas momento-salto rotación o cortante-salto desplazamiento transversal; un elemento finito con discontinuidades interiores basado en la teoría de Euler-Bernoulli se formuló en [6], en el que sólo se considera la discontinuidad de la rotación, consideraron el comportamiento constitutivo momento-curvatura de una viga de concreto reforzada, semejante al desarrollado por [4], en el que el ablandamiento es posterior al intervalo plástico. Posteriormente, [7] desarrolló un elemento finito que considera la no-linealidad axial en vigas tipo Euler-Bernoulli y Timoshenko, mediante una sección de viga discretizada en fibras, a las que les atribuyó el comportamiento constitutivo esfuerzo-deformación. Estas fibras son consideradas como barras esforzadas axialmente debido a fuerzas axiales aplicadas o fuerzas producto de los momentos flexionantes. Lo anterior indica que los elemento finitos viga-columna estudiados no desarrollan todas las discontinuidades en cualquiera de los desplazamientos y rotación posible, lo cual motiva al desarrollo e implantación del elemento viga-columna con la capacidad de simular el comportamiento desde el intervalo lineal hasta la evolución del daño que lleve al colapso de la estructura. El elemento finito se formula a partir de funcionales de energía de barras y vigas con base en la teoría de Euler-Bernoulli y Timoshenko a los que se les incluyen discontinuidades embebidas de desplazamiento axial y transversal, así como de rotación, debidas a la acción respectiva de carga axial, cortante y momento.

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2. ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES El elemento finito viga-columna se formula agrupando los elementos vigas y barra, ambos con discontinuidades interiores. El elemento barra tiene la capacidad de desarrollar discontinuidad axial, mientras que el elemento viga delgada desarrolla una discontinuidad de rotación y la viga gruesa que incluye deformaciones por cortante presenta discontinuidades en la rotación y/o en el desplazamiento transversal.

2.1. Elemento barra con discontinuidades interiores El elemento mostrado en la Figura 1 corresponde a una barra con longitud L, sección transversal A y módulo elástico E, la cual se sujeta a carga hasta que ocurre una concentración de deformaciones en una zona S, donde se presenta una discontinuidad o salto en los desplazamientos axiales, tal que el domino de la barra Ω Ì [0,L], queda dividido por la discontinuidad S, por lo tanto Ω= Ω-+ Ω+.

Figura 1. Elemento barra con discontinuidades interior

El funcional de energía de este elemento, de acuerdo a [10], dependiente del campo de desplazamientos, u, y el salto u es:

( ) [ ]

0, ( )

u

i i Su u W b u d F u T u d uεΩ

∏ = − ⋅ Ω− ⋅ + ⋅ ∫ ∫ (1)

en el que 0

( ) ( )W dε

ε σ ε ε= ∫ es la energía de deformación del elemento, i iF u⋅ es el trabajo

externo debido a las cargas concentradas y 0

u

ST u d u ⋅ ∫ es el trabajo en la discontinuidad.

El campo de desplazamientos se aproxima como: ( ) ( ) ( )su N d M u= + x x x (2) donde d son los desplazamientos en los nodos del elemento y ( )N x contiene las funciones de forma estándar del elemento, tal que:

[ ]1 2

2 11 2

( )

( ) , ( )

N N Nx x x xN N

L L

=

− −= =

x

x x (3)

La función SM , mostrada en la Figura 2, que aproxima el salto de desplazamiento se define

[| |]

S1 2L

∆ u

xn1 n2

d1 d1

S1 2n1 n2

Ω- Ω+

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como: ( ) ( ) ( )S SM H ϕ= −x x x (4)

en la que ( )SH x es la función salto de Heaviside y ( )ϕ x es una función continua tal que:

( ) 0( ) 1

ϕ

ϕ

+

= ∀ ∈Ω

= ∀ ∈Ω

x xx x

(5)

Figura 2. Representación gráfica de la función MS

Las deformaciones continuas se aproximan como: ( ) ( ) ( )CB d B uε = ⋅ + ⋅ x x x (6) donde las derivadas de las funciones de forma definidas en las ecs. (3) y (5), respectivamente, son:

[ ]1( ) 1 1

1( )C

BL

BL

= −

= −

x

x (7)

Sustituyendo las ecs. (2) y (6) en la ec. (1), se obtiene:

)( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) 0

0

, ( )

( )

T TT T T T T TC C C

uT uT T T

C i S

d u C d B u B Bd B u b d N x u N d

d N x u N F T u d u

Ω

∏ = + ⋅ + − ⋅ + ⋅ Ω

− + +

∫ ∫ (8)

La ec. (8) se deriva y linealiza con series de Taylor respecto a d y u y se tiene:

int

T TC

V V ext

T T TC C C N

V V

B CB dv B CB dvd fu fB CB dv B CB dv C d

Γ

⋅ ⋅ ∆ ∆ ⋅ = ∆ ∆ ⋅ ⋅ + ⋅ Γ

∫ ∫

∫ ∫ ∫ (9)

Sustituyendo los términos de la ec. (7) en la ec. (9)se obtiene la matriz de rigideces de una barra con discontinuidades interiores siguiente:

( )

( ) ( )

1

11 1

2 2

n

n n

STN

AE AE AEL L L d nAE AE AE d nL L L

u nAE AE AE ACL L L

∆ − − ⋅ ∆ = ∆ − +

(10)

Ω- Ω+

Ω h

1Ω hΩ- Ω+( )

1ϕ (X)

S= -MS

( ) ( )Ω- Ω+S

HS

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donde T SN

TC

u∂

=∂

es el operador constitutivo tangente para la discontinuidad axial.

El vector de fuerzas residuales en los nodos y en la discontinuidad, para cada paso de carga n se define, respectivamente, como:

( ) ( ) ( )

( )1 1

111 1

22 2

1 1 11 1 1

nn nnext

ext

Fn dAE uFn dL

− −− − = − ⋅ + ⋅ − −

(11)

( ) [ ] ( ) ( )1 11 1 1n nn

S SAEn u AT uL

− −− = − + + (12)

2.2. Elemento viga delgada con discontinuidades Se considerarán como vigas delgadas aquellas cuya relación peralte entre longitud sea h/L<0.2, de otra forma se considerarán como vigas gruesas. En la Figura 3 se muestra un elemento con una carga distribuida q, momentos M y fuerzas transversales f en sus extremos. Las propiedades geométricas y mecánicas son la longitud L, momento de inercia I y módulo elástico E. En este tipo de viga sólo pueden ocurrir articulaciones debidas a discontinuidades en el campo de las rotaciones θ .

Figura 3. Elemento viga delgada con discontinuidad en rotación

El funcional de energía, desarrollado por [10], para la viga delgada con discontinuidades es: ( )( ) ( ) * *( , ) ( ) SMM w

L Sw q x w dx ds M V wθ ψ κ ψ θ θ

Γ Γ∏ = − ⋅ + − ⋅ − ⋅ ∫ ∫ (13)

donde ψM corresponde a la densidad de energía a flexión, dependiente de la curvatura continua, κ , como se muestra en la Figura 4a. La densidad de energía de deformación, ψMs, liberada debido a la formación de una articulación depende del salto de las rotaciones [|θ|], como se muestra en la Figura 4b. La carga distribuida q(x) actúa sobre la viga, mientras que los momentos y los cortantes prescritos en los extremos son, respectivamente, M* y V*. La ec. (13) se puede reescribir como:

2 2

2 2

* *

( ) ( )1 ( ) ( )( , ) ( ) ( )2

T

L L S

x xw x w xw EI dx q x w x dx M dSx xx x

M V w

ϕ θ ϕ θθ θ

θΓΓ

∂ ∂ ∂ ∂ ∏ = − − − + ∂ ∂∂ ∂

− ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ (14)

Localización defalla

q

1 21 2

21

[| |]θ

mm

mS

ff

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a)

b)

Figura 4. Densidad de energía de deformación en: a) en la parte continua de la viga y b) en la zona de localización (adaptado de [9])

El campo de desplazamientos regulares ( ),w x se interpola como: ( )( )w x N x d= (15) donde d es el vector de desplazamientos en los nodos y N(x) son las funciones de forma de interpolación, que en el caso de vigas Euler-Bernoulli son:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 21 2 3 43 3 3 3

1 1 1 12 3 , 2 2 , 3 2 , N x Lx L N x L x x L L x N Lx x N Lx L xL L L L

= − + = − − + = − = − (16)

Sustituyendo la ec. (15) en la ec. (14)se obtiene:

2 2

2 20

* *

0 0

( ) ( )1 ( ) ( )( , )2

( ) ( ) ( )

TL

L T T

S

x xN x d N x dd EI dxx xx x

d N q x dx M d dS M N x d V N x dθ

ϕ θ ϕ θθ

θ θΓΓ

∂ ∂ ∂ ∂ ∏ = − − ∂ ∂∂ ∂

− + − ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫

(17)

La función lineal ( )xϕ está dada por:

( )xxL

ϕ = (18)

Aproximando los desplazamientos de la ecs. (15) con las ecs. (16) y (18) se obtienen las matrices ( )B x y CB , respectivamente, como:

2

2 22 3

( ) 1 1( ) 12 6 6 4 12 6 6 2 , CN x B x x L xL L x L xL L B

x Lx Lϕ∂ ∂ = = − − − + − = = ∂∂

(19)

Sustituyendo las ec. (19) en la ec. (17) se obtiene:

( )

0 0

* *

0

1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( )

L T L T TC C

T T T T

S

d B x d B EI B x d B dx d N x q x dx

M d dS d N x M d N x Vθ

θ θ θ

θ θ ΓΓ

∏ = − − −

+ − ⋅ − ⋅

∫ ∫

∫ ∫ (20)

Diferenciando la ec.(20) respecto a d y θ , respectivamente, e igualando a cero para garantizar un valor extremo, y linealizando con series de Taylor se tiene:

( )

( ) ( )0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

L L LT T TC C ext

L L LT T TC C C C C

Tb

B x EIB x d dx B x EIB dx B x B x d B dx F

B EIB x d dx B EIB B B x d B dx M IC

σ

σ

θ θ

θ θ θ θ

∆ ⋅ − ∆ ⋅ + − ⋅ −

∆ ⋅ − ∆ + − + +

=

∆ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (21)

M

κ

ψM

M Mu

M s

[| |]

ψM

([| |])s

M([| |])

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7

donde

Tb

MC θ

θ

∂=∂

, es el operador constitutivo tangente del momento-salto rotación. Los dos

primeros términos de cada línea de la ec. (21) representan las rigideces del elemento y, los términos restantes representas los residuos de fuerzas y momentos, y el equilibrio del elemento es:

0 0

i0

( ) ( ) ( )

( )

L LT TC a

LT T TC C C b

B x EIB x dx B x EIB dx d ffB EIB x dx B EIB dx C I θ

∆ = ∆ +

∫ ∫∫

(22)

Sustituyendo las ec. (19) en la ec. (22) e integrando, se obtiene la matriz de rigideces del elemento viga delgada con la discontinuidad embebida en la rotación:

( )3 2 3 2

1 12 2

1 1

2 23 2 3 2

2 2

2 2

112 6 12 6 0

6 4 6 2

12 6 12 6 0

6 2 6 4

0 0

S

Tb

n

n

EI EI EI EIL L L LEI EI EI EI EI w f

L L LL L mEI EI EI EI w f

L L L L mEI EI EI EI EImL L LL L

EI EI EI ICL L L

θ

θθ

− −

∆ − ∆ ∆ =− − − ∆ − − ∆

− +

1n−

(23)

Donde los términos del vector de los residuos para cada incremento de desplazamiento o carga n son:

( ) ( ) ( )1111 1

2 2111 1

322 2

2 222 2

12 6 12 6 06 4 6 2 112 6 12 6 0

6 2 6 4 1

nnnext

next

ext

ext

ff wL LMm L L L LEI EIff wL L LL

Mm L L L L

θθ

θ

−−

− − = − + − − −

(24)

[ ]

( )

( )1

1

2

2

1

1 10 1 0 1S

n

n n

wEI EIm ML Lw

θθ θ

θ

− −

= − + −

(25)

2.3. Elemento viga gruesa con discontinuidades El desplazamiento transversal y los giros son independientes en vigas gruesas, por lo que este elemento puede presentar saltos en el desplazamiento transversal w y en la rotación θ como se muestra en la Figura 5. Sus propiedades mecánicas y geométricas son: el módulo elástico E, momento de inercia I, longitud L y sección transversal de área efectiva a cortante AS.

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Figura 5. Elemento viga de gruesa con discontinuidad en desplazamiento transversal y rotación

El funcional de energía del elemento viga de Timoshenko, desarrollado por [10], es:

( ) ( )1 1, , , 2 2

T Tw ww w EI qw dx M d V w dS SL x x x x

θ θθ θ θ α θ θ

− − − −− −∂ ∂ ∂ ∂= + − − + + Γ + Γ∫ ∫∫ ΓΓ∂ ∂ ∂ ∂ (26)

en la que VS y MS son el cortante y momento en la zona de la discontinuidad, respectivamente, w y θ son los desplazamientos y rotaciones continuas que se aproximan como: ( ) ( ) ( ) , w( ) ( ) ( )x x x x w x x wθ θ ϕ θ ϕ= − ⋅ = − ⋅ (27) Puesto que los campos de rotación y desplazamientos son independientes, éstos se aproximan respectivamente como: ( ) ( ) , ( ) ( )wx N x w x N x wθθ θ= ⋅ = ⋅ (28) Sustituyendo la ec. (28) en la ec. (27) y respectivamente en la ec. (26) se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

0 0

0

1, , ,

2

( (12

T

L L T

w

T

L w w

S S

N x x N x xw EI dx N x w qdx

x x

N x w x N x w xN x x N x x dx

x x

M d V

w

w w

w

θ θ

θ θ

θ ϕ θ ϕθ

ϕ ϕθ ϕ α θ ϕ

θ θθ

θ θ

θΓ Γ

∂ − ∂ −∏ = −

∂ ∂

∂ − ∂ −+ − − − −

∂ ∂

Γ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

∫ ∫

∫ ∫ ( )dw Γ

(29)

El término S SA Gα = , es la rigidez a cortante, en la que SA y SG son el área efectiva y el módulo a cortante, respectivamente. Las funciones de forma N, la función lineal ( )xϕ , las matrices B y BC se definen como:

[ ]

( ) [ ]

1 2 1 2, , ,

1 1, 1 1 ,

w w

C

N L x xN N N N B B B N Nx L L

xx B BL L L

θ θ

ϕ

∂ −= = = = = = =

∂−

= = − = (30)

Para obtener un valor extremo del funcional, la ec. (29) se deriva respecto a cada variable independiente y se iguala a cero. Posteriormente, se linealiza con series de Taylor y se

Localización defalla

q

1 2

[| |]θ w[| |]

2

2m

f1

1m

f

fmS S

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9

obtiene:

0 0 0 0

00

L L L LT T T TC

L TC C ext

B B w dx B B w dx B N dx B dx

B Bw B w N B dx Fθ

α α α θ αϕ θ

θ θ

∆ ⋅ − ∆ ⋅ − ∆ ⋅ + ∆

+ − − + − =

∫ ∫ ∫ ∫∫

(31)

( )

0 0 0 0

0 0 0 0( ) 0

L L L LT T T TC

L L L LT T T TC C C

N B w dx N N dx B EIB dx N B w

N dx B EIB dx B B B N Bw B w N dx

α α θ α

αϕ θ θ θ θ ϕ θ

− ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∆ + ∆ − + ∆ − − − − − + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫(32)

( ) ( )

0 0 0 0

0 00

L L L LT T TC C C C C

L wT TC C S S

B B w dx B B w dx B N B dx

B Bw B w N dx Vs w d w A C w

α α α θ αϕ θ

θ ϕ θ

− ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + ∆ − ∆

− − − + + + ∆ =

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

(33)

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

00

L L L LT T T TC C

L L L LT T T TC C C C C

Tb

B w dx B w B EIB dx N dx

B EIB dx dx B B B dx Bw B w N dx

M d ICθ

ϕ α ϕ α ϕ α θ

ϕ αϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ

θ θ θ

∆ ⋅ − ∆ − ⋅ + ⋅ ∆ + + ⋅ ∆ − − + − − +

+ ∆ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(34)

Las ecs. (31) a (34) representan el equilibrio del elemento viga gruesa con discontinuidades interiores, las cuales se ordenan para representarse matricialmente y se sustituyen los términos de la ec. (30) y se obtiene la matriz de rigideces del elemento vigas gruesas con discontinuidades interiores.

( )1

1

2

1

2

2 2 2

2 2 2

2 2 3 6 2 6

2 2 6 3 2 3

2 2 2

2 2 6 3 2 3

n

TS S

Tb

L L L

wL L L

wEI L EI L EI LL L LEI L EI L EI L

wL L L

A CL L L

EI L EI L EI L ICL L L

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α αθθα α α α α α

α α α α α α θ

α α α α α α

− − − − − − − ∆ ∆ + − + − ∆ ∆ − − − + + −

− + − − − − − + +

( ) ( )11

2

1

2

n n

S

S

ffmmf

m

− =

(35)

donde

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10

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 111 1 1

22 2 2

1 1

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0

nn n nn next

ext

Ff wL L wFf w

L L

m wL Lm w

L L

α α α α α αθ

θθα α α α α α

α α

α α

− − −− −

− − − − = − + + −

− −

− = +

( ) ( )

( )( ) ( )

1 11 11

2

1 11 1 1

2 2

3 6 62

2 36 3

02 2

n nn n

n nn

S

L EI L EI LL L

wLL EI L EI

L L

wf w

wL L L

α α ααθ

θθ α αα α

θα α α α αθ

− −− −

− −−

+ − − − − + − +

= + − − − ( )

( )( ) ( )

( )

11 1

1 11 11 1 1

2 2

1

2

02 2 6 3 2 3

nn n

n nn nn

S

n

V w

w L EI L EI L EIm ww L L L

M

α θ

θα α α α α α θθ

θ

−− −

− −− −−

+ −

= + − + − + + − +

(36)

donde ( )TS

V wC

w

∂ =∂

y ( )Tb

MC

θ

θ

∂ =∂

son los operadores tangente en el salto del

desplazamiento transversal y rotacional, respectivamente.

2.4. Agrupamiento de los elementos barra y viga con discontinuidades interiores Los elementos viga-columna con discontinuidades interiores se obtienen agrupando los términos de la matriz de rigideces del elemento finito barra de la ec. (10) con los elementos viga delgada de la ec. (23) y viga gruesa de la ec. (35), respectivamente. Es de interés mencionar que en las ecs. (37) y (38) las acciones axiales son independientes de las rotaciones o desplazamientos transversales, los grados de libertad están enumerados como se muestran en la Figura 6.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0

6 4 6 20 0 0

0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0

6 2 6 40 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

TN

Tb

AE AE AEL L L

EI EI EI EIL L L LEI EI EI EI EI

L L LL LAE AE AEL L L

EI EI EI EIL L L LEI EI EI EI EI

L L LL LAE AE AE ACL L L

EI EI EI ICL L L

− − −− −

− − −

− − − + − +

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

S

S

d nw f

md nw f

mu n

m

θ

θ

θ

∆ ∆ ∆ ∆ ⋅ = ∆ ∆ ∆ ∆

(37)

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11

0 0 0 0 0 0

0 0 02 2 2

0 0 02 3 2 6 2 6

0 0 0 0 0 0

0 0 02 2 2

0 0 02 6 2 3 2 3

0 0 0 0 0 0

0 0 02 2 2

0 0 02 6 2 3

T

N

T

SS

AE AE AE

L L L

L L LEI L EI L EI L

L L LAE AE AE

L L L

L L LEI L EI L EI L

L L LAE AE AE

ACL L L

A CL L L

EI L EI L

L L

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α α

α α α α

− − −

+ − + −

− −

− − −

− − + − + −

− +

− + −

− − − −

11

11

11

22

2

22

2

2 3

S

S

S

T

b

d

fw

d

fw

u

fw

EI LIC

L

m

m

n

mn

n

θ

θ

θ

α α

⋅ =∆

+ +

(38)

a)

b)

Figura 6. Grados de libertad en vigas con discontinuidades: a) delgadas y b) gruesas

3. MODELOS CONSTITUTIVOS Se utiliza un modelo constitutivos de daño para representar el deterioro de las propiedades mecánicas del material cuando se alcanza una superficie de falla. El modelo de daño se clasifica como continuo, en el que se considera que el deterioro se encuentra distribuido en el elemento finito, y el modelo de daño discreto, en el cual la degradación se desarrolla en una zona dentro de los elementos dañados, que generalmente utiliza variables de tracción contra salto de desplazamiento para describir el comportamiento. Se desarrollan modelos constitutivos en función de fuerzas contra desplazamientos o momentos contra giros, como se muestra en la Figura 7 donde se tienen los casos continuo y discreto.

Figura 7. Modelo de daño: a) continuo b) discreto

S1

Ω- Ω+

23

4

567

8

S1

Ω- Ω+

23

4

567

98

Fu

F

χ

C

(1-d)C

Fu

F

[| |]

(1−ω)C

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12

El modelo de daño isotrópico para elementos viga formulado por [9] se define como:

( )

( )

[ ] [ ]

( )

[ ]

( )

0

1

Densidad de energía libre ( , ) 1 ( )( , )Ecuación constitutiva 1 :

Variable de daño ( ) 1 ; 0,1 ; 0,

,Evolución de daño

Criterio de daño , : : ;

O

O

O

t uO t

F F

r d rrF d C

qd r d q rr

r rr F

r rC

qf q q F C F q

ψ χ ψψ χ χ

χ

γ

τ τ

=

= −∂

= = −∂

= − ∈ ∈

∈ ∞=

= =

∈= − = −

[ ]0

0 0

0,

Regla de ablandamiento ( ) ; ( ) '( ) 0Condición de carga o descarga ( , ) 0; 0; ( , ) 0

Consistencia ( , ) 0

t

d d

F F

F

rq r

q H r r H r q rf q f q

f qτ γ γ τ

γ τ

=

=

= = ≤< ≥ =

=

(39)

En la que ψ es la densidad de energía libre, representada por el área bajo la curva del modelo constitutivo, χ representa el vector de desplazamientos, C son las constantes elásticas, F el vector de fuerzas, d es la variable de daño que depende de la variable de ablandamiento q , Hes el parámetro de ablandamiento, γ es el multiplicador de daño que determina la condición de carga o descarga. La función ( , )Ff qτ limita la superficie de falla del material, en el espacio de fuerzas. El modelo de daño discreto para elementos viga es:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

0 00

11

Energía libre discreta , (1 ) ,

,Ecuación constitutiva 1

( )Variable de daño 1 ; ,1

Ley de evolución del daño ; 0,

Criterio de daño , ;

R

u

T T

u T u d uu u

uF C u

uq

t

f T q q F C F C F

ψψ α ω ψ

ψ αω

αω ωα

α λ α α

τ τ −−

== −

∂= = −

= − ∈ −∞

∂= = ∈ ∞

= − = =

( )egla de ablandamiento ; '( ) 0Condición de carga-descarga 0; 0; 0

Consistencia 0

q H H qf f

f

α α αλ λλ

= = ≤≤ ≥ =

=

(40)

donde ω es la variable de daño definida en términos de la variable de ablandamiento ;q u es el vector de saltos de los desplazamientos, el resto de las variables se definen de igual forma que las del modelo de daño continuo pero con el término discreto, e.g.,

_H es el parámetro de

ablandamiento discreto. La razón de cambio de fuerzas entre los desplazamientos se define como un operador constitutivo tangente de un modelo continuo, ,TC y la razón de cambio de fuerzas entre los

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13

saltos de desplazamientos corresponde al operador constitutivo discreto del modelo discretoTdC , como se definen, respectivamente, en la ecuación siguiente:

, T Td

F FC Cχ χ∂ ∂

= =∂ ∂

(41)

Cuando un elemento se encuentra en la condición de carga, en intervalo no lineal, los operadores constitutivos tangentes se calculan con la ec.(42), y para el intervalo elástico o condición de descarga, con la ec.(43).

( ) ( ) ( ) ( )3 31 : : , 1T Td

q Hr q HC d C C C C C C u u Cr

αχ χ ωα

− −= − − ⊗ = − − ⋅ ⊗ ⋅ (42)

( ) ( )1 , 1T TdC d C C Cω= − = − (43)

Las Figuras 8 a 10 muestran los comportamientos constitutivos implementados, en los que se utiliza el modelo de daño discreto en el intervalo de ablandamiento negativo.

a)

b)

Figura 8. Comportamiento constitutivo momento contra: a) curvatura, b) salto rotación

Figura 9. Comportamiento constitutivo cortante contra: a) deformación por cortante, b) salto desplazamiento transversal.

M

κ

M

M

M

a

y

u

κa κy κu

EI

h EI1

(1-d)EI

A

Y

U

FMf

κf

h EI2

h EI3

( )κ Mu

[| |]

M

(1−ω) EI

θ

H =m

l

([|u|])

EIl

V

γ

Vy

γy

h GA

GA (1-d)GAss

Vu

γu

s1

h GAs2

Vu

[| |]

V

(1−ω) GA

w

v

sl

([|w|])

H = GAl

s

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14

a)

b)

Figura 10. Comportamiento constitutivo fuerza normal contra: a) deformación axial, b) salto desplazamiento axial.

4. EJEMPLOS NUMÉRICOS

4.1. Viga sujeta a momento en el extremo Una viga en voladizo se somete a un momento incremental en el extremo libre como se muestra en la Figura 11a. La viga tiene una longitud L=2.5m y una sección transversal simplemente reforzada mostrada en la Figura 12a. Las propiedades mecánicas del concreto son: módulo de Young Ec=37.272 GPa y esfuerzo a compresión del concreto f’c=38 MPa. El acero de refuerzo consiste de 4 barras del acero número 4 con las propiedades mecánicas siguientes: módulo de Young Es=200 GPa y esfuerzo de fluencia fy=400 MPa. Los comportamientos constitutivos de momento contra curvatura con y sin fuerza axial aplicada, así como el comportamiento de fuerza normal contra deformación axial en compresión, se muestran respectivamente en la Figura 13. En la Figura 14 se muestran los comportamientos constitutivos discretos, en los que el modelo se divide en diez elementos de veinticinco centímetros de longitud, y se considera la fuerza axial no aplicada. Se aplicó la rotación gradualmente en el extremo derecho de la viga, donde se calculó el momento como la reacción en ese extremo cuyo resultado se muestra en la curva momento, M, contra salto en la rotación, φ , en la Figura 15 en la que se observa que la energía disipada, 9.87 kN m, es congruente con la energía aportada por el sistema calculada en el comportamiento constitutivo momento-salto de rotación.

a) b) Figura 11. Geometría y aplicación de fuerzas

N

εu

u

N

ε(1-d)EA

EAKns

(ε)

Nu

N

K =sn

[| |]u(1−ω)EA

l

([| |])u

EAl

L

M

L

MN

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15

a)

b)

Figura 12. Secciones transversales de vigas: a) simplemente reforzada, b) doblemente reforzada con barras #4 y c) doblemente reforzada con barras #5

a)

b)

Figura 13. Comportamientos constitutivos: a) momento-curvatura y b) fuerza normal-deformación axial

a)

b) c)

Figura 14. Comportamientos constitutivos discretos; a) momento-salto rotación y b) fuerza normal-salto desplazamiento axial, c) momento-salto rotación

En la Figura 15b se muestra la curva momento contra rotación de la solución completa, la cual es congruente con la obtenida por [7], quién desarrolló el mismo ejemplo utilizando elementos vigas de Euler-Bernoulli con discontinuidades.

0.2 m

0.5

m

0.04

mAs

4#4

0.3 m

0.4

m

0.04

m0.

04 m

As

As

0.3 m

0.4

m

0.03

m0.

03 m

As

As

Viga Columna

4#6Asv=1#3 Asv=1#3

0

100

200

300

400

500

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

M (k

N-m

)

κ (1/m)

Sin fuerza axialCon fuerza axial

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

N (

kN)

ε (mm/mm)

0

100

200

300

0 0.02 0.04 0.06 0.08

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008

N (k

N)

[|u|] (m)

0

100

200

300

400

500

0 0.01 0.02 0.03 0.04

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)

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16

a)

b)

Figura 15. Curva de la variación momento contra rotación: a) momento contra salto rotación, b) comportamiento total

4.2. Viga en voladizo sujeta a momento y fuerza axial A una viga en voladizo, mostrada en la Figura 11b, se le aplicó primeramente una carga axial, N= 100 kN y, posteriormente, se impuso gradualmente la rotación en el extremo de la viga con el que se determinó la variación del momento M. La fuerza normal modifica el comportamiento constitutivo momento-curvatura, pues incrementa la capacidad de momento de la sección y reduce la de rotación, como se muestra en la Figura 13a. El comportamiento constitutivo momento, M, contra salto de rotación, φ , que se utilizó para el modelo de daño discreto se muestra en la Figura 14c.

a)

b) Figura 16. Variación del momento M, debido al incremento de rotaciones, ϕ: a) salto de rotación, b)

comportamiento total.

El modelo se discretizó con 10 elementos, al igual que el caso de solo flexión. En la Figura 16a se muestra la curva momento, M, contra salto de rotación, ,φ que representa la energía disipada en la discontinuidad, 6.85fG kN m,= igual que la aportada por el sistema, que es la misma para cualquier elemento, debido a que el momento flexionante es uniforme y la fuerza normal es constante en toda la extensión de la viga. La curva total obtenida numéricamente, se compara con la obtenida por [7], donde se observa que son congruentes hasta una rotación de

0

50

100

150

200

250

300

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)

0

50

100

150

200

250

300

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

M (k

N-m

)

ϕ (rad)

Viga-columna

Jukic

0

100

200

300

400

0 0.01 0.02 0.03 0.04

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)

0

100

200

300

400

500

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

M (k

N-m

)

ϕ (rad)

Jukic

Viga-columna

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17

0.57 rad; sin embargo, para rotaciones mayores, se presentan diferencias atribuidas a los modelos constitutivos distintos utilizados en ambas soluciones.

4.4. Túnel construido con dovelas Una prueba experimental realizada por [9], que consistió de una estructura formada por tres anillos dovelados para conformar un túnel de diámetro interno d=8.65 m, las dovelas tienen un ancho L=1.50 m y espesor h=0.40 m; con acero de refuerzo longitudinal Al= 6.48 cm2 y transversal At=2.85 cm2, de acuerdo a los parámetros mostrados en la Figura 17a. La junta longitudinal, como se muestra en la Figura 17b, tiene un ancho b=1.39 m y una altura a=0.17 m. Las propiedades mecánicas del concreto son: módulo de Young Ec=33.5 GPa y esfuerzo a compresión f’c=27 MPa. El acero de refuerzo tiene como propiedades mecánicas: módulo de Young Es=200 GPa y esfuerzo a la fluencia fy=435 MPa.

a) b)

Figura 17. a) sección transversal del elemento de concreto reforzado y b) geometría de la junta longitudinal

La Figura 18 a y b, muestra respectivamente el estado máximo de cargas a la cual la estructura fue sometida, que está compuesta por una carga uniforme de 654.94 kN en cada gato y una carga de ovalización de 25 kN; y la discretización del modelo numérico donde Kv representa la rigidez a cortante entre los anillos vecinos aportada por el contacto entre las maderas contrachapadas. Los comportamientos constitutivos para el elemento viga-columna de las dovelas y junta longitudinal se muestran en la Figuras 19 y 21, y los comportamientos constitutivos discretos para los intervalos de saltos de rotación, desplazamientos transversales y axiales, para los elementos dovelas y junta longitudinal se muestran en las Figuras 20 y 22.

a) b)

Figura 18 a) cargas aplicadas y b) discretización del modelo numérico

L

h

Al

At

Al

φ

MN

MN

ba

a

679.94 677.47670.53660.51649.37639.35632.41

629.93629.93632.41632.41

632.41

639.35639.35

639.35

649.37649.37

649.37

660.51660.51

660.51

670.53670.53

670.53

677.47677.47

677.47

679.94

Anillos

Dovela

Junta

Area de longitudinal

entre anillosViga-columna

JuntaLongitudinal colindantes

Anillo Kv

Kv

Kv

Kv

Elemento

Elemento

central

Viga-columnaElemento

contacto

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18

a) b) c) Figura 19. Modelos constitutivos del elemento viga-columna para las dovelas: a) momento-curvatura, b)

cortante-deformación y c) fuerza normal-deformación axial

a) b) c) Figura 20. Comportamientos constitutivos discretos de las dovelas: a) momento contra salto de rotación, b)

cortante contra salto de desplazamiento transversal y c) fuerza normal contra salto en el desplazamiento axial.

a)

b)

c)

Figura 21. Modelos constitutivos para la junta longitudinal: a) momento-rotación idealizado, b) cortante-desplazamiento y c) fuerza normal-deformación

a) b) c)

Figura 22. Comportamientos constitutivos discretos en la junta longitudinal: a) momento contra salto de rotación, b) cortante contra salto de desplazamiento y c) fuerza normal contra salto en desplazamiento axial

En la prueba experimental, al igual que en los resultados numéricos, se determinó el acortamiento en la línea a-b, mostrada en la Figura 23a, debido a la carga de ovalización,

0

100

200

300

400

500

0 0.02 0.04 0.06

M

(kN

-m)

κ (1/m)

0

100

200

300

400

500

0 0.001 0.002 0.003 0.004

V (k

N)

γ (rad)

0

5000

10000

15000

20000

0 0.001 0.002 0.003 0.004

N (

kN)

ε (m/m)

0

100

200

300

400

500

0 0.002 0.004 0.006

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)

0

100

200

300

400

500

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004

V (k

N)

[|w|] (m)

0

5000

10000

15000

20000

0 0.0002 0.0004 0.0006

N (k

N)

[|u|] (m)

0

50

100

150

200

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

M (

kN-m

)

ϕ (rad)

0

500

1000

1500

2000

0 0.001 0.002 0.003

V (k

N)

d (m)

0

2000

4000

6000

8000

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

N (k

N)

ε (m/m)

100

125

150

175

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

M (k

N-m

)

[|ϕ|] (rad)0

500

1000

1500

2000

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008

V (k

N)

[|w|] (m)

0

2000

4000

6000

8000

0 0.0004 0.0008

N (k

N)

[|u|] (m)

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19

dado que la carga uniforme no produce la configuración ovalada. Los resultados experimentales y numéricos se comparan en la Figura 23b, en la cual se observa similitud entre ellas para valores menores a 10 kN, para valores mayores se presentan diferencias las cuales se atribuyen a las posibles irregularidades físicas del modelo experimental.

a) b)

Figura 23. Comportamiento del modelo experimental y numérico: a) conformación deformada y b) curva carga contra el acortamiento vertical

Los elementos mecánicos máximos obtenidos con el modelo numérico se muestran en la Figura 24, en las cuales se observa que los valores de fuerza normal y cortante no alcanzan los valores umbrales en los respectivos modelos constitutivos, a diferencia del diagrama de momentos en las cuales existen elementos tanto de las juntas longitudinales como en las dovelas que exceden la capacidad a flexión, por lo que se presentan las articulaciones mostradas en la Figura 25a, lo cual es congruente con los resultados experimentales que reportan el agrietamiento en el anillo central como se muestra en la Figura 25b.

a)

b)

c)

Figura 24. Elementos mecánicos: a) momento (kN-m), cortante (kN) y c) fuerza normal (kN)

a

b

b'

a'

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30

Car

ga d

e ov

aliz

ació

n kN

/gat

o

Acortamiento vertical (mm)

Viga-columna

Experimental

237.03

233.90 235.22

220.03221.90

83.37

84.21

83.21

83.94

2935.1

2895.9

2963.9

2897.6

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a) b)

Figura 25. Zonas articuladas en el anillo central: a) modelo numérico y b) prueba experimental (adaptado de [9])

5. CONCLUSIONES Una vez realizada la formulación, implantación y aplicación del elemento finito viga-columna se concluye que: • El elemento finito viga-columna es capaz de modelar adecuadamente discontinuidades

en los campos de desplazamientos y rotación de vigas y columnas, de acuerdo a los resultados obtenidos en los modelos numéricos resueltos.

• La estructura matricial para ambos casos, viga-columna gruesa o delgada, permite el cálculo de rigideces para elementos con y sin daño en cualquiera de los tres grados de libertad, por lo que es posible el cálculo de estructuras bajo comportamiento elástico o inelástico.

• Las matrices de rigideces de ambos elementos son simétricas, lo que facilita el proceso de cálculo y evita problemas de inestabilidad numérica que pueden presentar otras aproximaciones.

• Los modelos constitutivos de daño permite modelar el comportamiento completo del elemento desde su comportamiento elástico, inicio y evolución de las discontinuidades hasta el colapso total.

• Aun cuando los ejemplos de aplicación se realizaron a estructuras de concreto reforzado, los elementos desarrollados no se limitan solo a este tipo de material, ya que basta modificar los comportamientos constitutivos de otros materiales que forman el elemento estructural, para que estos puedan ser utilizados.

• Los elementos se aplican eficientemente para el estudio de estructuras sometidas a cargas monotónicas, las cuales se pueden aplicar mediante desplazamientos graduales para evitar inestabilidad numérica en el proceso de cálculo.

• Con el elemento viga-columna se puede conocer la capacidad residual de una estructura que ha experimentado daño y requiera ser utilizada o recomendar la reparación.

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• Con el elemento viga-columna se pueden realizar modelados numéricos para simular pruebas experimentales previas a su ejecución y con ello tener una aproximación de los resultados esperados.

AGRADECIMIENTOS Ambos autores agradecen a la Universidad Autónoma Metropolitana por las facilidades proporcionadas a la realización de este trabajo. El primer autor agradece la beca de estudios de Doctorado al CONACYT y a la Universidad Tecnológica de Panamá por las facilidades otorgadas.

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Bernoulli beams”, Computer and Structures, Vol. 84, pp. 641-656, (2006). [3] J. B. Baker y J. Hyman, Plastic design of frames, Cambridge University Press, Vols. I

y II, (1969). [4] J. Dujc, B. Brank, y A. Ibrahimbegovic, “Multi-scale computational model for failure

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[5] G. Juárez y A. G. Ayala, “Finite element variational formulation for beams with discontinuities”, Finite Elements in Analysis and Desing, Vol. 54, pp. 37-47, (2012).

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[7] M. Jukic, “Finite element for modeling of localized failure in reinforced concrete”, Disertación doctoral, Ljubljana, Univerza v Ljubljana, Slovenia, (2013).

[8] G. Juárez, “Modelado numérico de problemas de fractura en sólidos mediante discontinuidades interiores”, Disertación, Universidad Nacional Autónoma de México, México, (2006).

[9] G. Juárez, y A. G. Ayala, “Finite element variational formulation for beams with discontinuities”, Finite Elements in Analysis and Desing, Vol. 54, pp. 37-47, (2012).

[10] F. J. Vecchio y M.B. Emara, “Shear deformations in reinforced concrete frames”, ACI Structural Journal Vol. 89 (1), pp. 46–56, (1992).

[11] C. B. M. Blom y G. P. C. van Oosterhout, “Full-scale laboratory test on a segment lining”, Reporte Técnico, Project Organization HSL South, Países Bajos, (2001).