Formulaciones integrales superficiales para el análisis de objetos conductores y penetrables arbitrarios

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Escuela Politécnica

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INICIACIÓN A LA INVESTIGACIÓN EN TECNOLOGÍA (MUIT)

ESPECIALIDAD EN: TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS

Y DE LAS COMUNICACIONES (TINC)

Trabajo Fin de Máster MUIT-TINC

Formulaciones integrales superficiales para el análisis de objetos conductores y penetrables

arbitrarios.

Francisco Javier Rivero Campos Junio 2010

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Escuela Politécnica

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INICIACIÓN A LA INVESTIGACIÓN EN TECNOLOGÍA (MUIT)

Trabajo Fin de Máster MUIT-TINC

Formulaciones integrales superficiales para el análisis de objetos conductores y penetrables

arbitrarios.

Autor: Francisco Javier Rivero Campos Fdo:

Director: José Manuel Taboada Varela Fdo:

Tribunal Calificador Presidente: Luis Landesa Porras

Fdo:

Secretario: Jesús Rubio Ruiz Fdo.:

Vocal: Yolanda Campos Roca Fdo.:

CALIFICACIÓN: FECHA:

i

INDICE

1. Introducción .................................................................................................................. 1 2. Formulación superficial ................................................................................................ 3

2.1. Formulación del Método de los Momentos ....................................................... 3 2.2. Formulación para conductores perfectos ........................................................... 6

2.2.1. Ecuación integral del campo eléctrico ....................................................... 7 2.2.2. Ecuación normal integral del campo magnético........................................ 17 2.2.3. Ecuación tangencial integral del campo magnético .................................. 23

2.3. Formulación para objetos penetrables ............................................................... 27 2.3.1. Formulación tangencial para objetos penetrables ...................................... 28

2.3.1.1. Formulación PMCHWT ................................................................. 28 2.3.1.2. Formulación tangencial genérica ................................................... 38

2.3.2. Formulación normal para objetos penetrables ........................................... 43 2.3.3. Formulación combinada para objetos penetrables ..................................... 50

3. Aplicación de la formulación para metamateriales zurdos ........................................... 53 3.1. Introducción a los metamateriales zurdos ......................................................... 53 3.2. Consideraciones matemáticas ............................................................................ 54 3.3. Resultados de la simulación ............................................................................... 55

4. Conclusiones y líneas futuras ........................................................................................ 59 Referencias.................................................................................................................... 61

iii

INDICE FIGURAS

Figura 2.1. Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la EFIE .... 7

Figura 2.2 Expansión de una función en una serie de bases conocidas. ............................... 10

Figura 2. 3 Descripción física del valor zmn. ......................................................................... 12 Figura 2. 4. Parámetros geométricos de una base superficial. .............................................. 14 Figura 2. 5. Distribución de bases RWG sobre superficies. ................................................. 15 Figura 2. 6.- Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la MFIE 17

Figura 2. 7.- Propiedad geométrica de los vectores de un triángulo ..................................... 22

Figura 2. 8 Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables. ........................................................................................................................... 28

Figura 2. 9. Identidad usada para sustituir el vector R .......................................................... 37 Figura 2. 10 Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables. ........................................................................................................................... 44

Figura 3. 1 (a) Corte horizontal de un haz gausiano incidente (de derecha a izquierda)

refractado con un ángulo negativo por un prisma 3D LHM adaptado en impedancia con εr≈-1 and µr=-1 . (b) Refracción positiva de un prima de material convencional con εr=2.2 and µr=1. ...................................................................................................................................... 57

Figura 3. 2 Patrón angular de la refracción a 20λ0 del prisma. En rojo la refracción del prisma LHM. En azul se muestra la refracción del prisma RHM. Las líneas de puntos, tanto azul como roja, muestran el ángulo teórico predicho por la ley de Snell-Descartes. ............ 57

Figura 3. 3 Frame de la intensidad de campo eléctrico predicho por MoM para un haz

gausiano divergente incidiendo de forma normal en un bloque 3D de LHM con n≈-1. Se puede observar como el haz divergente se focaliza en la parte posterior de la superficie. ... 58

v

RESUMEN

El objetivo de este trabajo final de Máster es el desarrollo de una formulación superficial y los métodos numéricos para el análisis electromagnético de objetos penetrables arbitrarios. Estos objetos, incluyen materiales convencionales, como los dieléctricos y magnéticos, metales con conductividad finita, absorbentes, etc., pero también otro tipo de materiales menos convencionales producto de los grandes avances alcanzados en nanotecnología.

Dado que en este tipo de formulación integral sólo han de ser modeladas las superficies del objeto u objetos a simular, este enfoque conlleva importantes ventajas frente a otros métodos comúnmente aplicados para el análisis de este tipo de problemas, especialmente en el caso de objetos de gran tamaño en términos de longitud de onda. Por otro lado, la formulación integral no presenta el inconveniente de la terminación del problema, lo que permite su aplicación inmediata a problemas de radiación y dispersión en medios abiertos.

En el último apartado nos centraremos en una aplicacion de enorme interés en la actualidad a nivel científico, tecnológico e industrial: el análisis de metamateriales. Estos materiales son materiales artificiales construidos de tal forma que sus parámetros constitutivos son negativos, teniendo un comportamiento electromagnético extraordinario. Para demostrar el funcionamiento de la formulación implementada con metamateriales de índice negativo, se presentan la simulación de varios ejemplos comunes en el ámbito de estas estructuras de última generación.

La actualización de tanto la formulación presentada como de la algoritmia encargada de las simulaciones nos permitirán el análisis de nanopartículas metálicas a frecuencias de THz y frecuencias ópticas

Por último, es importante destacar la originalidad y relevancia científica de las tareas propuestas. Hasta donde sabemos, es la primera vez que se propone la aplicación de métodos integrales, con las ventajas que ello implica, a la resolución de metamateriales a gran escala y nanodispositivos ópticos. La consecución exitosa de estas tareas constituye un avance científico y tecnológico de gran envergadura, abriendo las puertas a la utilización eficiente de grandes infraestructuras de supercomputación para la resolución a gran escala de problemas de aplicación en la vanguardia científica y tecnológica del electromagnetismo y la nanotecnología.

vii

ABSTRACT

The aim of this work is the development of a surface formulation and numerical methods for electromagnetic analysis of arbitrary penetrable objects. These objects include conventional materials such as dielectric and magnetic metals with finite conductivity, absorbers, etc…, But other less conventional materials resulting from the many advances in nanotechnology.

Since this type of integral development must only be modeled surfaces of the object or objects to simulate, this approach has important advantages over other commonly applied methods for the analysis of such problems, especially for large objects size in terms of wavelength. On the other hand, the integral formulation is not burdened with the discretization of the object and the surrounding space and the fact of not having to use the formulation of efficient absorbers and resistive terminations for negative index media, the SIE formulation can be applied to arbitrary radiation and scattering problems in unbounded media.

In the last section we will focus on an application of great current interest in scientific, technological and industrial analysis of metamaterials. These materials are artificial materials so constructed that its constitutive parameters are negative, having a amazing electromagnetic behavior. To demonstrate the operation of the design implemented with negative-index metamaterials, are presented the simulation of several common examples in the field of art these structures.

The update of both the formulation presented and the algorithms responsible for the simulations allow the analysis of metallic nanoparticles to THz frequencies and optical frequencies

Finally, it is important to highlight the originality and scientific relevance of the proposed tasks. To our knowledge, is the first time proposing the implementation of integral methods with the advantages that implies, the resolution of metamaterials and nano-scale optics. The successful achievement of these tasks is a scientific and technological advance of great importance, opening the door to the efficient use of large computing infrastructure for solving large scale problems of implementation at the forefront of science and technology of electromagnetism and nanotechnology.

ix

LISTA DE PUBLICACIONES Y CONGRESOS

Publicaciones

[1] G. Araujo, J.M. Taboada, F.Obelleiro, J.M. Bértolo, L. Landesa, J. Rivero, J.L. Rodriguéz, “Supercomputer aware approach for the solution of challenging electromagnetic problems,”. Progress In Electromagnetics Research, PIER 101, 241-256, 2010

[2] J. Rivero, J. M. Taboada, L. Landesa, F. Obelleiro, and I. García-Tuñón, “Surface integral equation formulation for the analysis of left-handed metamaterials,” aceptado para su publicación en Optics Express.

Congresos

Internacionales.

[1] J.M. Taboada, L. Landesa,G. Gajardo-Silva, J. Rivero, M. Amaya, F. Obelleiro, J.L. Rodríguez, M.G. Araujo, J. Bertolo, J.C. Mouriño, A. Gómez, J.L. González-Sánchez, C. Gómez-Martín, “Supercomputing aware electromagnetics” VIII Encuentro ibérico de electromagnetismo computacional, Monfragüe (Cáceres), España, 19-21 mayo 2010

[2] J.M. Taboada, L. Landesa, M.G. Araújo, J.M. Bértolo, J. Rivero, F. Obelleiro, J.L. Rodríguez, “MLFMA-FFT algorithm for the Solution o Challenging Problems in Electromagnetics,” 2010 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and CNC/USNC/URSI Radio Science Meeting (APS/URSI), Toronto. Canadá, 11-17 julio 2010

[3] J. Rivero, J. M. Taboada, L. Landesa, “Integral Equation Formulation for the Analysis of Left-Handed Metamaterials,” 2010 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and CNC/USNC/URSI Radio Science Meeting (APS/URSI), 11-17 julio 2010. Toronto. Canadá

x

[4] J. Rivero, J.M. Taboada, L- Landesa, “Surface integral-equation formulation for the simulation of left-handed metamaterials,” Fourth International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics, Karlsruhe, Alemania, 13-16 septiembre 2010.

Nacional.

[1] J. Rivero, J.M. Taboada, L. Landesa, “Formulación integral superficial para la simulación de metamateriales zurdos (LHM),” XXV Simposium Nacional Unión Científica Internacional de Radio (URSI), Bilbao, 15-17 septiembre 2010.

xi

NOMENCLATURA

A..Z, a…z parámetros escalares

A…Z , a…z vectores espaciales

��…��, ��…�� vectores unitarios

[A]…[Z], [a]…[z] matrices y vectores columna

[A]T traspuesto de [A]

[A]* complejo conjugado de [A]

[A]-1 inversa de la matriz [A]

ℜ� parte real de A

ℑ� parte imaginaria de A

� integral de superficie

�� valor principal de la integral

∇ gradiente

∇· divergencia

∇s· divergencia superficial

× producto vectorial

β número de onda

λ longitud de onda

ε permitividad

µ permeabilidad

xii

η impedancia intrínseca del medio

ω frecuencia angular

t tiempo

E, H campos electromagnéticos

G función de Green en espacio libre

fn función base

wn función de ponderación

1

Capítulo 1

Introducción

Las ecuaciones integrales superficiales (superface integral ecuation, SIE), son una herramienta muy rigurosa para la formulación, análisis y solución numérica de un gran abanico de problemas de electromagnetismo. El objetivo de este trabajo es exponer una breve introducción a las SIE de tal forma que podamos resolver casos sencillos, como conductores perfectos, y otros más complejos, como metamateriales con parámetros constitutivos negativos.

Haciendo uso de la formulación SIE es posible hacer frente a problemas de dispersión, radiación y resonancia que engloben medios conductores y/o dieléctricos homogéneos, tanto en dos como en tres dimensiones.

Entre los problemas comunes que se resuelven con esta herramienta, están los problemas de dispersión y radiación de un cuerpo conductor eléctrico perfecto. Este será el problema tipo que usaremos para desarrollar la formulación. A continuación extenderemos la formulación para un dieléctrico homogéneo. Si analizamos este dieléctrico como un problema equivalente, debemos despejar unas densidades de corriente eléctrica y magnética, de tal forma que el número de incógnitas de este nuevo problema será el doble que en el primer caso analizado. Para lidiar con esta problemática será necesaria la combinación de las ecuaciones integrales de campo eléctrico y magnético en sus distintas variantes.

Como avance realizado en esta línea de investigación, nosotros proponemos el uso de esta formulación para la simulación de metamateriales con parámetros constitutivos doblemente negativos (ε<0 y µ<0), haciendo uso de los diferentes métodos de homogeneización de estos materiales intrínsecamente no homogéneos [Smith et al., 2002]. Hasta donde sabemos, el usar formulación integral supone una importante novedad en los métodos de análisis de estas estructuras, con las ventajas que ello con las ventajas que ello implica, a la resolución de metamateriales a gran escala y nanodispositivos ópticos.

Las incógnitas de la formulación SIE son las densidades de corriente superficiales definidas en la interfaz entre los diferentes medios del objeto en análisis. Esto constituye el avance fundamental frente a los métodos alternativos de formulación Otra ventaja básica de la ecuaciones integrales reside en la posibilidad de forzar condiciones de contorno de espacio libre, esto es de mucha utilidad para metamateriales zurdos, ya es

2

bastante complicada la formulación de absorbentes eficientes y terminales resistivos para medios con índice negativo.

3

Capítulo 2

FORMULACIO NES SUPERFICIAL ES.

En este trabajo fin de máster, se presentarán varios procedimientos numéricos basados en el método de los momentos (MoM), para la resolución de problemas de radiación y dispersión electromagnética de diferentes cuerpos arbitrarios, tanto PEC’s (conductores eléctricos perfectos, Perfect Electric Conductor), dieléctricos comunes, materiales de nueva generación como los metamateriales levógiros, así como el estudio del comportamiento plasmónico de conductores a frecuencias ópticas.

El presente capítulo está organizado en tres secciones. En la primera de ellas se ofrece una pequeña introducción de la formulación matemática definida por [Harrington, 1993] para la solución de problemas de radiación y dispersión electromagnética. En las secciones siguientes se irán introduciendo secuencialmente, siguiendo el orden natural para la comprensión de estas, las formulaciones propuestas en el presente trabajo. Estas formulaciones nos sirven tanto como punto de partida para el desarrollo de formulaciones más avanzadas, como para el análisis completo de los nuevos materiales con comportamientos extraordinarios.

2.1. FORMULACIÓN DEL MÉTODO DE LOS MOMENTOS.

El MoM, introducido por [Harrington, 1993] para la solución de problemas de radiación y dispersión electromagnéticas, es una técnica numérica que permite la solución de ecuaciones continuas, como lo son las ecuaciones integrales, a través de la transformación de esta ecuación continua en una serie de ecuaciones lineales, es decir, se transforma el problema inicial en otro equivalente de forma matricial de dimensión finita.

De esta forma podremos solucionar problemas de la forma:

ℒ�� = � 2.1� donde g es una fuente o excitación, que se considera conocida, � la respuesta o incógnita que debe ser determinada y ℒ es un operador algebraico lineal que define una transformación entre el espacio vectorial ℒ� y el espacio vectorial ℒ�, y cuyo dominio está

formado por las funciones complejas � sobre las que opera y cuyo rango es el conjunto de

4 Cápitulo 2.- Formulaciones superficiales

las funciones compleja resultado �. Como regla general, el dominio y el rango son espacios lineales diferentes.

El primer paso para resolver la ecuación (2.1) es expandir la función incognita � en una serie de funciones conocidas, ��, ��,…, �� en el dominio de ℒ, de la forma:

� = � �� 2.2�

donde αn son coeficientes constantes complejos, y �� es un conjunto de funciones linealmente independientes, denominadas funciones de expansión o funciones base. Excepto en el caso de problemas triviales, para obtener soluciones exactas el orden del

sumatorio de la ecuación (2.2) debe ser infinito, de modo que las funciones �� formen un conjunto completo de funciones base del espacio vectorial ℒ�. En general, para poder

resolver numéricamente el problema es necesario truncar este sumatorio, obteniendo de este modo una solución aproximada,

� ≃ � α#�#$

#%�

2.3� sustituyendo la ecuación (2.3) en (2.1) se obtiene:

� �ℒ�� ≃ �'�%�

2.4� donde se ha utilizado la linealidad del operador ℒ. para reducir la ecuación (2.4) a un

sistema matricial de ecuaciones, se aplica la ecuación (2.4) en una serie de M puntos o regiones sobre ℒ�. Para ello se elige un conjunto adecuado de funciones )�, )�, … ), en

el rango de L , generalmente denominadas funciones de ponderación o funciones de test.

Ponderando la ecuación (2.4) mediante un producto simétrico o un producto escalar o interno con cada una de las funciones de test se obtiene un sistema de M ecuaciones lineales de la forma

� �⟨)., ℒ��⟩��%� = ⟨)., �⟩

2.5� con 1 = 1. . 2. En general, se elige M = N para que el sistema de ecuaciones tenga solución única.

2.1 Formulación del Método de los Momentos 5

Se denota con ⟨ , ⟩ al producto simétrico o el producto interno considerado. En el MoM, el producto simétrico se define usualmente como

⟨�, �⟩ = 3 � · � 567

2.6� mientras que el producto escalar o interno se define como

⟨�, �⟩ = 3 � · �∗ 567

2.7� donde el superíndice * denota el complejo conjugado. En el caso de utilizar funciones reales, el producto simétrico y el escalar son iguales.

El sistema de ecuaciones (2.5) se puede expresar en notación matricial de la forma

;<= · ;>= = ;?= 2.8� donde

;<= = A⟨)�, ℒ��⟩⟨)�, ℒ��⟩⋮⟨)' , ℒ��⟩ ⟨)�, ℒ��⟩⟨)�, ℒ��⟩⋮⟨)., ℒ��⟩⋯⋯⋱⋯

⟨)., ℒ��⟩⟨)., ℒ��⟩⋮⟨)., ℒE��⟩F

2.9� ;<= = H � �⋮ �

I ;?= = A⟨)�, �⟩⟨)�, �⟩⋮⟨)�, �⟩F

2.10� El vector columna ;>= con las incógnitas del problema, que son los coeficientes de la

expansión (2.3) de � se obtiene resolviendo el sistema (2.8), de la forma

;>= = ;<=K� · ;?= 2.11� donde ;<=K� es la inversa de la matriz ;<=.

En problemas electromagnéticos, ℒ es un operador integral o integro-diferencial que se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno, f es la distribución de corriente inducida que se desea obtener y g es un campo incidente conocido, la excitación del problema. Es este caso, siguiendo la terminología de


[Harrington, 1993], la matriz ;<= se denomina matriz generalizada de impedancias o acoplos y el vector ;?= se denomina vector de excitaciones.

La solución del sistema matricial (2.8) se puede obtener mediante un método directo basado en factorización o inversión de la matriz, o mediante métodos iterativos. Es importante tener en cuenta que la elección de distintos conjuntos de funciones de expansión y ponderación da lugar a distintas ecuaciones matriciales, y por lo tanto a distintas soluciones de la ecuación original. En cuanto a la elección de un producto simétrico o un producto interior en el procedimiento de ponderación, en general es preferible el producto simétrico, debido a consideraciones más bien físicas que matemáticas. Si se utiliza el producto simétrico, el sistema de ecuaciones resultante cumple el teorema de reacción o reciprocidad, lo cual contribuye a una solución físicamente más creíble [Wang, 1991].

Finalmente, la elección adecuada tanto de las funciones base fn como de las de ponderación wm es una cuestión importante que afecta directamente a la precisión de la solución obtenida, a la facilidad de la evaluación de los términos de la matriz, al tamaño y el condicionamiento de la matriz resultante. En el caso concreto de utilizar como funciones de test las mismas funciones que en proceso de expansión ), ≡ �#� se obtiene el denominado método de Galerkin. La utilización del método de Galerkin, junto con un producto simétrico que garantice el cumplimiento del teorema de reciprocidad supone ventajas muy importantes tanto en cuanto a los requisitos de almacenamiento y tiempo de cómputo.

2.2. FORMULACIÓN PARA CONDUCTORES PERFECTOS.

Para detallar la formulación para conductores eléctricos perfectos, o PEC, debemos tener en cuenta una serie de premisas que condicionan el desarrollo de las distintas formulaciones para el caso concreto de PEC. Estas se muestran a continuación.

- En el interior del objeto en estudio no existe un campo electromagnético aunque este objeto es excitado por un campo electromagnético proveniente del exterior del objeto.

- Debido al punto anterior, cada elemento o base de la que se compone la superficie radia a todos los demás elementos, incluido a sí mismo, exclusivamente desde el exterior del objeto.

- Sobre la superficie del objeto PEC se anula la densidad de corriente magnética, y para el caso de los conductores magnéticos perfectos, PMC, es la corriente eléctrica la que no está presente.

- Los parámetros constitutivos del medio en el que se encuentra el objeto problema, son muy importantes en el cálculo de la formulación.

- Y por último, la condición de contorno que se usa para la solución de esta familia de problemas es que el campo eléctrico tangencial total sea cero.

2.2 Formulación para PEC

2.2.1. ECUACIÓN INTEGRAL

La ecuación integro-diferencialde contorno que dice que el campo eléctrico tangencial total en la superficie de un dispersor conductor eléctrico perfecto es cero. Si se combina esta condición con las ecuaciones de Maxwell y los teorEsta ecuación integro-diferencial constituye un modelo matemático completo del problema electromagnético.

Figura 2.1. Descripción del problema propuesto para resolver un PEPara solucionar el problema presentado en la

incidente radiando en un medio homogéneo y sin perdid

constitutivos ε y µ, en presencia de una superficie cerrada perfecto (PEC).

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo incidente en ese punto debido exclusivamente apresencia del conductor inducidas en la superficie del PEC

El campo bcdef tiene una distribución de la siguiente forma

ECUACIÓN INTEGRAL DEL CAMPO ELÉCTRICO.

diferencial para el campo eléctrico (EFIE) se basa en la condición de contorno que dice que el campo eléctrico tangencial total en la superficie de un dispersor conductor eléctrico perfecto es cero. Si se combina esta condición con las ecuaciones de Maxwell y los teoremas de inducción y equivalencia, se obtiene la EFIE.

diferencial constituye un modelo matemático completo del problema electromagnético.

Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la EFIEPara solucionar el problema presentado en la Figura 2.1. consideramos un campo

incidente radiando en un medio homogéneo y sin perdidas, definido por unos parámetros

, en presencia de una superficie cerrada S de material conductor

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo en ese punto debido exclusivamente a la onda incidente conocida, es decir, sin la

bi�d más el campo dispersado producido por las corrientes inducidas en la superficie del PEC bcdef. bfjf = bi�d k bcdef

tiene una distribución de la siguiente forma

7

para el campo eléctrico (EFIE) se basa en la condición de contorno que dice que el campo eléctrico tangencial total en la superficie de un dispersor conductor eléctrico perfecto es cero. Si se combina esta condición con las

emas de inducción y equivalencia, se obtiene la EFIE. diferencial constituye un modelo matemático completo del

C mediante la EFIE consideramos un campo

as, definido por unos parámetros

de material conductor

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo conocida, es decir, sin la

el campo dispersado producido por las corrientes

2.12�


bcdefl� = mnol′�pl� 2.13� es decir, es una función sobre l, ponderada por la corriente o inducida en la superficie l′. Las variables primadas indican la dependencia sobre la superficie del PEC, es decir la fuente. Las variables no primadas se relacionan con los puntos de observación para resolver el problema, o dicho de otra forma, la observación.

Es posible representar el campo de dispersión o scattering haciendo uso de la siguiente expresión

bcdef = −sℒnol′�pl� 2.14� donde s representa la impedancia intrínseca del medio que para un material simple, como puede ser el vacio, se calcula

s = tuv 2.15�1 Si a partir de ahora obviamos las dependencias entre los puntos de la superficie del

problema y los puntos fuente, para simplificar el desarrollo matemático podemos escribir la ecuación (2.14) como

bcdef = −sℒo� 2.16� siendo ℒ un operador integral que proporciona el campo eléctrico radiado por una densidad corriente eléctrica J o el campo magnético dispersado por una densidad corriente magnética M .

Este operador puede ser expresado por la siguiente ecuación

ℒnol′�pw� = xy z3 ol′� · Gl, l′�56′ k 1y� ∇ 3∇�} · ol′� · Gl, l′�56′77 ~ 2.17�

siendo Gl, l′� la función de Green en espacio libre, definida por

�l, l′� = eK��lKl��4π|l − l′| = eK��4πR 2.18� 1 Para materiales con constantes constitutivas negativas, esta expresión no se ajusta a la

impedancia intrínseca del medio mostrada por el material. En la sección donde se tratan estos materiales de nueva generación se muestra el modo de ajustar esta ecuación.

2.2 Formulación para PEC 9

definiéndose R como

R = |l − l′| 2.19� Es sencillo operar con la ecuación (2.17) para obtener una expresión que relacione el

campo eléctrico con un potencial vector A y un potencial escalar Φ. Estos operadores se pueden definir como

�l� ∝ 3ol′� · Gl, l′�56′7 2.20� �l� ∝ 3∇�} · ol′� · Gl, l′�56′7 2.21�

Si hacemos uso de la condición de contorno para el campo eléctrico sobre la superficie S, es decir, la componente tangencial del campo eléctrico total debe ser cero sobre la superficie del PEC, i.e., bfe�fjf = 0 ó dicho de otra forma �� × bfjf = 0 y teniendo en cuenta las ecuaciones definidas en (2.12) y (2.16) obtenemos una ecuación integro-diferencial para la densidad de corriente J inducida

�� × bfjf = 0 ⇔ �� × bi�d k bcdef� = 0 ⇔ �� × bi�d = −�� × bcdef 2.22� �� × bi�d = �� × sℒo� 2.23� siendo la ecuación (2.23), conocida como la ecuación integral de campo eléctrico, o EFIE, sobre la que se aplicará el método de los momentos, MoM, para encontrar la solución a la densidad de corriente J.

Solución de la EFIE mediante el Método de los Momentos.

Como se explicó con anterioridad el objetivo del método de los momentos es transformar una ecuación continua en un sistema de ecuaciones de N incógnitas para resolver mediante métodos numéricos computacionalmente abordables. El método de los momentos se compone de dos pasos, el primero de ellos es el procedimiento de expansión y el último el procedimiento de ponderación.

Procedimiento de expansión.

El primer paso es expandir la corriente o en una serie de funciones base ponderada por unos coeficientes complejos denominados Jn.

10

Figura 2.2 Expansión de una función en una serie de bases conocidas.De esta forma se puede expresar la función

siendo Jn, los coeficientes complejos, que se convierten en la las funciones base conocidas.

Haciendo uso de la expresión como

�� ×Como se comentó con anterioridad, el operador

podemos operar en la expresión

�� ×Operando de esta manera, hemos conseguido que el operador

funciones base, que recordemos, son conocidas. Además al expandir la distribución de corriente incógnita a una serie de N coeficientes incógnitas hemos dado el primer paso para poder resolver el problema mediante métodos numéricos paralineales de ecuaciones.

Cápitulo 2.- Formulaciones superficiales

Expansión de una función en una serie de bases conocidas. De esta forma se puede expresar la función ol′� como

ol′� ≃ � J# 4 �#l′�$

#%�

, los coeficientes complejos, que se convierten en la incógnita del problemalas funciones base conocidas.

Haciendo uso de la expresión (2.24) en la ecuación (2.23) podemos expresar la EFIE

� � s� �� J# 4 �#l′�$

#%�� l� � �� bi�dl�

Como se comentó con anterioridad, el operador � � es un operador lineal, luego podemos operar en la expresión (2.25) y obtener

� � s � J# 4$

#%��n�#l′�pl� � �� bi�dl�

Operando de esta manera, hemos conseguido que el operador � � solo afecte a las funciones base, que recordemos, son conocidas. Además al expandir la distribución de

a una serie de N coeficientes incógnitas hemos dado el primer paso para poder resolver el problema mediante métodos numéricos para el cálculo de sistemas

Formulaciones superficiales

2.24� incógnita del problema, y �#

expresar la EFIE

2.25� es un operador lineal, luego

2.26� � solo afecte a las

funciones base, que recordemos, son conocidas. Además al expandir la distribución de a una serie de N coeficientes incógnitas hemos dado el primer paso

el cálculo de sistemas


Procedimiento de ponderación

Para conseguir N ecuaciones, necesarias para encontrar una solución única para el problema, obligamos que la ecuación EFIE se cumpla sobre N regiones o puntos en la superficie de S del PEC. Siendo el valor de N el número total de incógnitas Jn existentes en la ecuación (2.26). El procedimiento para conseguir este aumento de ecuaciones se denomina procedimiento de ponderación.

Para evalúar la ecuación (2.26) se elige un conjunto de adecuado de funciones de ponderación bases �, definidas en el rango del operador ℒ, denominadas bases de ponderación o de test. Además será necesario definir un producto simétrico de la forma

⟨�, )⟩ = 3� · )7 56

2.27� Si usamos las mismas bases de test que de las bases de expansión obtenemos el

procedimiento de ponderación de Galerkin. De este modo se obtiene un sistema de N ecuaciones lineales de la forma

⟨�., s � J� · ℒn�#l′�pl�'�%� ⟩ = ⟨�., bi�dw�⟩

2.28� que para simplificar la expresión, se obviarán las dependencias de los operadores en l′� y en l�

⟨�., s � J� · ℒ�#�'�%� ⟩ = ⟨�., bi�d⟩

2.29� con m = 1…N y n = 1…N.

El producto vectorial sobre �� se obvia por el hecho de que las funciones bases de test son tangenciales a la superficie, luego el resultado del producto interno, se proyecta sobre el campo tangencial.

Al ser el producto interno lineal, podemos operar con la ecuación (2.29) sacando el sumatorio de los coeficientes de ponderación fuera del producto interno.

� J�'

�%� · ⟨�., s ℒ�#�⟩ = ⟨�., bi�d⟩ 2.30�

12

Esta ecuación tiene una expresión similar a la de un sistema de ecuaciones matricial del tipo

< ·siendo

Si desarrollamos la definición del elemento zpara ello (2.27) podemos expresar los elementos z

�.� = ⟨�., s �

como puede verse en la expresión anterior, los valores z

radiación de la función de fuente observación �,.

si añadimos a la expresión final de la ecuación operadores y las bases fuente y observación podremos expresar la ecuación como

2 Ver ecuación (2.13).


Esta ecuación tiene una expresión similar a la de un sistema de ecuaciones matricial

> � ? ⇒ � �� … ��.� … �.�� 4 ��⋮�� ?�⋮?.

�

�.� � ⟨�., s ��#�⟩ ?. � ⟨�., bi�d⟩ �� ≡ Vector de incognitas la definición del elemento zmn dado por la expresión

podemos expresar los elementos zmn como

��#�⟩ � 3 �. 4 s ��#�7�56 � s 4 3 �. 4 ��#�7�

omo puede verse en la expresión anterior, los valores zmn son la proyección de la

la función de fuente �#, es decir �cdef�#� � ��#�2, sobre la función

Figura 2. 3 Descripción física del valor zmn. i añadimos a la expresión final de la ecuación (2.33) las dependencias entre los

operadores y las bases fuente y observación podremos expresar la ecuación como

�.� � s 4 3 �.l� 4 �n�#l�p7�56

.


Esta ecuación tiene una expresión similar a la de un sistema de ecuaciones matricial

2.31�

2.32� dado por la expresión (2.32) usando

� 56

2.33� son la proyección de la

sobre la función

las dependencias entre los operadores y las bases fuente y observación podremos expresar la ecuación como

2.34�


sustituyendo el valor del operador � �, ecuación (2.17),

�.� = s · 3 �.l� 7� xy z3 �#l′� · Gl, l′�56′ k 1y� ∇ 3 ∇�} · �#l′� · Gl, l′�56′7�7� ~ 56

2.35� y agrupando las integrales podemos expresar la ecuación anterior como

�.� = xys · z3 �.l� 3 �#l′� · Gl, l′�56′7�7� 56k 1y� 3 �.l�� ∇ 3 ∇�} · �#l� · Gl, l′�56′567� ~

2.36� aplicando el teorema de Gauss de la divergencia en la segunda integral doble podemos expresar el valor zmn como

�.� = xys · z3 �.l� 3 �#l′� · Gl, l′�56′7�7� 56− 1y� 3 ∇�.l̅�� 3 ∇�} · �#l′� · Gl, l′�56′567� ~

2.37� donde

3 �.l� 3 �#l′� · Gl, l′�56′7�7� 56 ∝ �¢£¤¥¦§¨©ª «¥§¤£w�

− 1y� 3 ∇�.l�� 3 ∇�} · �#l� · Gl, l′�56}56 ∝ Φ ¢£¤¥¦§¨©ª ¥6§©ª©w�7�

2.38� Funciones bases.

Llegados a este punto, y para continuar con el desarrollo de los elementos de la matriz Z, definiremos las funciones bases.

En [Taboada, 2001] se explica detalladamente la necesidad de realizar una adecuada elección de las funciones base. En base a consideraciones de convergencia y estabilidad del método, se asume una discretización de facetas triangulares planas para superficies y se recurre a la utilización de las funciones RWG. Las funciones de expansión basadas en la formulación RWG cumplen todos los requisitos necesarios para la correcta representación de la densidad de corriente y la carga inducida, formando un conjunto de procedimientos homogéneos adecuado para ser aplicado a configuraciones arbitrarias de superficie.

14

Las funciones base para la expansión de la densidad de corriente en superficies, y si usamos Galerkin también para las funciones base de ponderación, conocidas como RWG fueron introducidas en [Rao adyacentes que poseen un lado común. La densidad de corriente fluye de un triangulo a otro a través de este lado común según la expresión

Tal como se muestra en la figura xxx.

base superficial n-esima. respecto a un sistema local de coordenadas cilíndricas centrado en el vértice libre

triángulo T#® , ¯�® es la altura del triángulo signo que indica el sentido del flujo de corriente, de modo que ésta fluye desde el triángulo T#° hacia el triángulo signo los parámetros geométricos de la función en ambos triángulos son iguales, los que es ventajoso desde el punto de vista de código.

Figura 2. De la expresión de esta

especialmente adecuada para la representación de la densidad de corriente:

• La componente normal se anula en todo el borde exterior de la función, de modo que no se acumulan líneas

• La componente normal en el lado común es constante y de valor unitario en

todo el lado, debido a los factores de normalización

que tampoco existe acumulación de carga en el lado común de la base.


e para la expansión de la densidad de corriente en superficies, y si usamos Galerkin también para las funciones base de ponderación, conocidas como RWG fueron introducidas en [Rao et al., 1982]. Están definidas sobre parejas de triángulos

seen un lado común. La densidad de corriente fluye de un triangulo a otro a través de este lado común según la expresión

�� ±²³²́ µ° ¶�°¯�° l en T#°

µK ¶�K¯�K l en T#K 0 en otro caso

·

Tal como se muestra en la figura xxx. T#° y T#K son los dos triángulos que forman la

. ¶�® es el vector de posición de los puntos de la base con respecto a un sistema local de coordenadas cilíndricas centrado en el vértice libre

es la altura del triángulo T#® con respecto al lado común y signo que indica el sentido del flujo de corriente, de modo que ésta fluye desde el

hacia el triángulo T#K µ® � ®1�. Mediante la inclusión explísigno los parámetros geométricos de la función en ambos triángulos son iguales, los que es ventajoso desde el punto de vista de código.

Figura 2. 4. Parámetros geométricos de una base superficial. esta función se deducen algunas propiedades que la hacen

especialmente adecuada para la representación de la densidad de corriente:

La componente normal se anula en todo el borde exterior de la función, de modo que no se acumulan líneas de carga en su frontera. La componente normal en el lado común es constante y de valor unitario en

todo el lado, debido a los factores de normalización 1 ¯�°º . Así se asegura



e para la expansión de la densidad de corriente en superficies, y si usamos Galerkin también para las funciones base de ponderación, conocidas como RWG

das sobre parejas de triángulos seen un lado común. La densidad de corriente fluye de un triangulo a

2.39� son los dos triángulos que forman la

es el vector de posición de los puntos de la base con respecto a un sistema local de coordenadas cilíndricas centrado en el vértice libre del

con respecto al lado común y µ® es un signo que indica el sentido del flujo de corriente, de modo que ésta fluye desde el

. Mediante la inclusión explícita de este signo los parámetros geométricos de la función en ambos triángulos son iguales, los que

función se deducen algunas propiedades que la hacen

La componente normal se anula en todo el borde exterior de la función, de

La componente normal en el lado común es constante y de valor unitario en

º . Así se asegura



• La divergencidensidad de carga) se puede obtener analíticamente, de la forma

sin más que aplicar la expresión para la divergencia superficial en coordenadas cilíndricas,

De la ecuación cada triángulo, positiva en fácilmente que la integral de la carga asociada a la base completa es nula, al cancelarse la carga entre los dos triángulos.

De modo que tampoco aparecen acumulaciones ficticias de cargtriángulos de la base.

Figura 2.

La divergencia de la función base (directamente relacionada con la densidad de carga) se puede obtener analíticamente, de la forma

∇c · �� =±²³²́ µ° 2̄

�° l en T#° µK 2̄�K l en T#K 0 en otro caso

·

más que aplicar la expresión para la divergencia superficial en coordenadas cilíndricas,

|c 4 � � 1»¼n» 4 ½¾p¼» k 1»

¼n» 4 ½¿p¼À k ¼½Á�¼�

De la ecuación (2.40) se concluye que la densidad de carga es constante en cada triángulo, positiva en T#° y negativa en T#K. Se puede comprobar fácilmente que la integral de la carga asociada a la base completa es nula, al cancelarse la carga entre los dos triángulos.

3 |′c 4 ��56} � 0Â�Ã∪Â�Å

modo que tampoco aparecen acumulaciones ficticias de cargtriángulos de la base.

Figura 2. 5. Distribución de bases RWG sobre superficies.

15

a de la función base (directamente relacionada con la densidad de carga) se puede obtener analíticamente, de la forma

·

2.40� más que aplicar la expresión para la divergencia superficial en

�2.41�

que la densidad de carga es constante en puede comprobar

fácilmente que la integral de la carga asociada a la base completa es nula, al

2.42� modo que tampoco aparecen acumulaciones ficticias de carga en los dos


Se define una función base de este tipo sobre cada pareja de triángulos adyacentes que poseen un lado común. Por ello, para asegurar la continuidad de la corriente, el mallado triangular de la superficie debe garantizar la conectividad entre todos los triángulos adyacentes (es decir, dos triángulos adyacentes eléctricamente conectados deben poseer un lado en común). De este modo, cada triángulo pertenece en general a tres funciones bases diferentes que se solapan, lo cual se puede interpretar como un sistema de coordenadas formado por tres vectores linealmente independientes (aunque no ortogonales) centrado en el triángulo, capaz de representar cualquier corriente superficial con dirección arbitraria, tal como se muestra en la figura xxx.

Con estas indicaciones podemos descomponer cada función RWG en los dos triángulos que la forman, uno sobre T#° y otro sobre T#K. Pudiendo expresar la expresión de las funciones base como

�� = ��° + ��K 6¨¥¦5£ ��± = ± »�±Ç�±

(2.43) ∇ · �� = ∇ · ��° + ∇ · ��K 6¨¥¦5£ ∇ · ��± = ± 2Ç�±

(2.44) Sustitución final en zmn.

Con todo lo expuesto hasta ahora podemos descomponer el elemento zmn como la suma de cuatro acoplos, uno por cada posible combinación entre los dos triángulos de cada una de las dos bases involucradas en el cálculo del elemento zmn, i.e.

�.� = �.�°° + �.�°K + �.�K° + �.�KK (2.45) siendo

�.�±± = xys · µ.± · µ�±4È · nÇ.± · Ç�±p z3 É,± 3 É#± ¥KÊËÌÍ 56′Î�±Î�± 56 − 4y� 3 Â ± 3 ¥KÊËÌÍ 56′56Î�± ~ Las integrales en la observación (las identificadas con el subíndice m) se resuelven

numéricamente, mientras que las integrales en la fuente (identificadas con el subíndice n) se resuelven numéricamente cuando �� y �. están alejadas, y analíticamente, con extracción analítica de la singularidad, cuando están muy próximas, se solapan o coinciden.


2.2.2. ECUACIÓN NORMAL INTEGRAL DE

Figura 2. 6.- Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la MFIEEn esta sección explicaremos

en la sección anterior, pero usando la formulación normal de la ecuación integral de campo magnético (N-MFIE) para superficies conductoras perfectas.

Siguiendo un proceso análogoMFIE para la corriente inducida en la superficie. Para ello consideramos un campo incidente Ñi�d radiando en un medio homogéneo y sin perdidassuperficie cerrada S de material conductor eléctrico perfecto (PEC). El campo incidente Ñi�d es el que habría en ausencia de la superficie

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo incidente en ese punto debido exclusivamente a la ondapresencia del conductor inducidas en la superficie del PEC

El campo Òcdef tiene una distribución de la siguiente forma

ECUACIÓN NORMAL INTEGRAL DEL CAMPO MAGNÉTICO

Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la MFIEexplicaremos el método para resolver un problema similar al planteado

en la sección anterior, pero usando la formulación normal de la ecuación integral de MFIE) para superficies conductoras perfectas.

análogo al recogido en la sección anterior, se obtiene para la NMFIE para la corriente inducida en la superficie. Para ello consideramos un campo

radiando en un medio homogéneo y sin perdidas (ε,µ) en presencia de una de material conductor eléctrico perfecto (PEC). El campo incidente

es el que habría en ausencia de la superficie S.

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo incidente en ese punto debido exclusivamente a la onda incidente conocida, es decir, sin la presencia del conductor Òi�d más el campo dispersado producido por las corrientes inducidas en la superficie del PEC Òcdef. Òfjf = Òi�d + Òcdef

distribución de la siguiente forma

Òcdef(l) = Óno(l′)p(l)

17

CAMPO MAGNÉTICO

Descripción del problema propuesto para resolver un PEC mediante la MFIE el método para resolver un problema similar al planteado

en la sección anterior, pero usando la formulación normal de la ecuación integral de

ección anterior, se obtiene para la N-MFIE para la corriente inducida en la superficie. Para ello consideramos un campo

en presencia de una de material conductor eléctrico perfecto (PEC). El campo incidente

El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo incidente conocida, es decir, sin la

más el campo dispersado producido por las corrientes

(2.46)

(2.47)


es decir, es una función sobre l, ponderada por la corriente o inducida en la superficie l′. Las variables primadas indican la dependencia sobre la superficie del PEC, es decir la fuente. Las variables no primadas se relacionan con los puntos de observación para resolver el problema, o dicho de otra forma, la observación.

Es posible representar el campo de dispersión o scattering haciendo uso de la siguiente expresión

Òcdef = −Ôno(l′)p(l) (2.48) siendo Ô un operador integral que proporciona el campo magnético radiado por una densidad corriente eléctrica o o el campo eléctrico dispersado por una densidad corriente magnética Õ.

Para el desarrollo de la N-MFIE partimos de la ecuación de relaciona la densidad de corriente o con el campo magnético total.

o = �� × Òfjf (2.49) operando con esta ecuación, y utilizando la expresión (2.46) llegamos a

o = �� × Òi�d + �� × Òcdef (2.50) y agrupando el término del campo incidente conocido en una parte de la igualdad, llegamos a la siguiente ecuación

o − �� × Òcdef = �� × Òi�d (2.51) si en esta expresión hacemos uso de la ecuación (2.48) e introducimos la dependencia de los términos frente a los puntos de observación y fuente llegamos a

o(l) + �� × Ôno(l′)p(l) = �� × Òi�d(l) (2.52) siendo esta expresión la que podríamos llamar N-MFIE.

El operador Ô( ) se puede expresar como

Ôno(l′)p(l) = 3 o(l′) × ∇Ö(l, l′)5µ ′ (2.53) siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, definida por


G(l, l′) = eK��lKl��4π|l − l′| = eK��4πR (2.54) y ∇G(l, l′) la divergencia de la función de Green, con una expresión

∇G(l, l′) = ×xy + 1ÍØ eK��4πR R� (2.55) definiéndose R como

R = |l − l′| (2.56) El operador Ô( ), como podemos ver, tiene una singularidad cuando l → µ′. Entonces

podemos analizar la singularidad como

liml̅→7} Ôno(l′)p(l) = 3 o(l′) × ∇Ö(l, l′)5µ}ÚÛ + 12 �� × o(l′)

(2.57) siendo o(l′) × ∇Ö(l, l′)5µ}ÚÛ = ÔÚÛ(o) donde el subíndice PV denota el valor principal

de la integral. Con todo esto podemos afirmar que

Ôno(l′)p(l) = ÔÚÛ(o̅) ⇔ l ≠ l′ Ôno(l′)p(l) = 12 �� × o(l′) ⇔ l = l′ (2.58) luego podemos escribir sobre el operador Ô( )

Ôno(l′)p = ÔÚÛno(l′)p + 12 �� × o(l′) (2.59) Si introducimos la ecuación (2.59) en la expresión (2.52) alcanzamos la expresión

o(l̅) + �� × ÔÚÛno(l′)p + �� × ��2 × o(l′) = �� × Òi�d(l) (2.60) que operando con ella llegamos a la conclusión de que

o(l)2 + �� × ÔÚÛno(l′)p = �� × Òi�d(l) (2.61) al ser

��×�� × o(l′) = − �� o(l′)


siendo la ecuación (2.61) sobre la que se aplicará el método de los momentos, MoM, para encontrar la solución a la densidad de corriente J.

Solución de la MFIE mediante el método de los momentos.

Una vez alcanzada la expresión (2.61) aplicaremos sobre ella el procedimiento de expansión, para de esta forma tener un problema con N coeficientes de ponderación como incógnitas en lugar de una densidad de corriente continua.

De esta forma se puede expresar la función o(l′) como

o(l′) ≃ � J# · �#(l′)$#%�

(2.62) siendo Jn, los coeficientes complejos, que se convierten en la incógnita del problema, y �# las funciones base conocidas, y detalladas anteriormente en el apartado XXX

Haciendo uso de la expresión (2.62) en la ecuación (2.61) podemos expresar la MFIE como

� J#'

Ý%Þ z�#(l′)2 + �� × ÔÚÛn�#(l′)p~ = �� × Òi�d(l)

(2.63) con lo que expandimos la distribución de corriente incógnita en una serie de N coeficientes incógnitas ponderando a unas funciones base conocidas. Para poder resolver el problema necesitamos evaluar N puntos donde se cumpla la ecuación anterior.

Para evaluar la ecuación (2.63)(2.26) se elige un conjunto de adecuado de funciones de ponderación bases �, definidas en el rango del operador Ô, denominadas bases de ponderación o de test. Además será necesario definir un producto simétrico de la forma

⟨�, )⟩ = 3� · )7 56

(2.64) Como en el caso de la EFIE, usaremos el procedimiento de ponderación de Galerkin,

con lo que las bases de test serán las mismas que las de expansión. De este modo se obtiene un sistema de N ecuaciones lineales de la forma

⟨�.(l), � J� · z�#(l′)2 + �� × ÔÚÛn�#(l′)p~'�%� ⟩ = ⟨�., �� × Òi�d(l)⟩

(2.65)


Como hemos usado un operador Ô( ) lineal podemos operar con la ecuación (2.65), y llegar a la siguiente expresión

� J� · �12 ⟨�.(l), �#(l′)⟩ + ⟨�.(l), �� × ÔÚÛn�#(l′)p⟩�'�%� = ⟨�., �� × Òi�d(l)⟩

(2.66) Esta ecuación tiene una expresión similar a la de un sistema de ecuaciones matricial

del tipo

< · > = ? ⇒ � �� … ��.� … �.�� · ��⋮�� = �?�⋮?.� (2.67)

siendo

�.� = 12 ⟨�.(l), �#(l′)⟩ + ⟨�.(l), �� × ÔÚÛn�#(l′)p⟩ ?. = ⟨�., �� × Òi�d(l)⟩ �� ≡ Vector de incognitas (2.68) Si operamos con el termino zmn introduciendo la expresión del operador Ô( ) y la

definición del producto simétrico podemos llegar a la siguiente expresión para cada uno de los elementos de la matriz Z.

�.� = 12 3 �.(l) · �#(l′) · 567� + 3 �.(l) · �� × 3 �#(l′)ÚÛ7� × ×xy + 1ÍØ ¥KÊËÌ4ÈÍ Í�56′567�

(2.69) Recordemos las propiedades de las funciones base RWG

�� = ��° + ��K 6¨¥¦5£ ��± = ± »�±Ç�±

(2.70) ∇ · �� = ∇ · ��° + ∇ · ��K 6¨¥¦5£ ∇ · ��± = ± 2Ç�±

(2.71) pudiendo descomponer el elemento zmn como la suma de cuatro acoplos, uno por cada posible combinación entre los dos triángulos de cada una de las dos bases involucradas en el cálculo del elemento zmn, i.e.

�.� = �.�°° + �.�°K + �.�K° + �.�KK (2.72)

22

El sub-elemento �.�± ® se puede expresar como

�.�® ® � µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

4 3 ¶.® 4Î�®

Para simplificar un poco la resolución de la segunda integral haremos uso de la propiedad geométrica detallada en la

Figura 2. 7.-

De esta forma podemos expresar cada elemento de la matriz de impedancias como

�.�® ® � µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

4 3

r

y operando sobre la integral fuente podemos reducirla a

�.�® ® � µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

4 3

r


se puede expresar como

¶�® 4 56 k µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

3 ¶.® 4 �� 3 ¶�®ÚÛ

f�®� ×xy k

Î�®

un poco la resolución de la segunda integral haremos uso de la propiedad geométrica detallada en la Figura 2. 7.

- Propiedad geométrica de los vectores de un triángulo podemos expresar cada elemento de la matriz de impedancias como

3 ¶.® 4 ¶�® 4 56Î�®

r µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

3 ¶.® 4 �� 3 R��® � ¶�® ×xy k 1ÍØ ¥K

4ÚÛ

f�®Î�®

operando sobre la integral fuente podemos reducirla a

3 ¶.® 4 ¶�® 4 56Î�®

r µ.® 4 µ�®2Ç.Ç�

3 ¶.® 4 �� R��® � 3 ¶�® ×xy k 1ÍØ ¥K

4ÚÛ

f�®Î�®


× k 1ÍØ ¥KÊËÌ

4ÈÍ Í�56′56 (2.73)

un poco la resolución de la segunda integral haremos uso de la

podemos expresar cada elemento de la matriz de impedancias como

ØKÊËÌ

4ÈÍ 56′56 (2.74)

ØKÊËÌ

4ÈÍ 56′56 (2.75)


Para resolver las integrales de la ecuación anterior debemos saber que para la integral ¶.± · ¶�± · 56Î�± se da la siguiente casuística dependiendo de las funciones base sobre las

que se están operando

- Si �. = �� se resuelve analíticamente. - Si �. y �� comparten un triángulo. - Si �. y �� no se solapan la integral es igual a cero.

Mientras que para la integral ¶�± ßxy + �Ìà áÅâãäåæÌ 56′ÚÛf�± se dan los siguientes casos

dependiendo de los vectores l y l′. - Si l y l′ son coplanares la integral vale cero. - Si l = l′ no se evalúa la integral, valor principal.

- Si l′ → l y no son coplanares, existe una singularidad en �Ìç

2.2.3. ECUACIÓN TANGENCIAL INTEGRAL DEL CAMPO MAGNÉTICO.

Para el desarrollo de la formulación para dieléctricos necesitaremos además de la formulación de la MFIE normal, la formulación tangencial, aunque esta para PEC no sea usada.

Para el desarrollo de la T-MFIE partimos de la ecuación de relaciona la densidad de corriente J con el campo magnético total.

o = �� × Òfjf (2.76) Pero a diferencia del caso de la formulación N-MFIE, realizaremos el producto

vectorial de −�� a ambos lados de la igualdad. Obteniendo con ello

−�� × o = −�� × �� × Òfjf −�� × o = Òfjffe� (2.77) operando con esta ecuación, y utilizando la expresión (2.46) llegamos a

−�� × o = Òi�dfe� + Òcdeffe� (2.78) y agrupando el término del campo incidente conocido en una parte de la igualdad, llegamos a la siguiente ecuación

−�� × o − Òcdeffe� = Òi�dfe� (2.79)


si en esta expresión hacemos uso de la ecuación (2.48) e introducimos la dependencia de los términos frente a los puntos de observación y fuente llegamos a

−�� × o(l) + Ôno(l′)p(l)fe� = Òi�dfe�(l) (2.80) siendo esta expresión la que podríamos llamar T-MFIE.

Si recordamos el operador Ô( ) se puede expresar como

Ôno(l′)p(l) = 3 o(l′) × ∇G(l, l′)5µ ′ (2.81) siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, definida en (2.54) y ∇G(l, l′) la divergencia de la función de Green, con una expresión


R = |l − l′| (2.83) El operador Ô( ), como vimos con anterioridad (2.57) puede descomponerse en

Ôno(l′)p = ÔÚÛno(l′)p + 12 �� × o(l′) (2.84) donde el subíndice PV denota el valor principal de la integral, siendo

Ôno(l′)p(l) = ÔÚÛ(o) ⇔ l ≠ l′ Ôno(l′)p(l) = 12 �� × o(l′) ⇔ l = l′ (2.85) si aplicamos combinamos las ecuaciones (2.80) y (2.84) podemos llegar a la siguiente expresión.

−�� × o(l) + Ôèéno(l′)p(l)fe� + 12 �� × o(l) = Òi�dfe�(l)

Ôèéno(l′)p(l)fe� − 12 �� × o(l) = Òi�dfe�(l) (2.86)


Aplicaremos el método de los momentos en la ecuación (2.86) para solucionar el problema planteado. El primer paso es aplicar el procedimiento de expansión en la densidad de corriente incógnita, para de esta forma tener un problema con N coeficientes de ponderación como incógnitas en lugar de una densidad de corriente continua.

De esta forma se puede expresar la función o(l′) como

o(l′) ≃ � J# · �#(l′)$#%�

(2.87) siendo Jn, los coeficientes complejos, que se convierten en la incógnita del problema, y f#̅ las funciones base conocidas, y detalladas anteriormente en el apartado XXX

Haciendo uso de la expresión (2.87) en la ecuación (2.86) podemos expresar la MFIE como

� J#'

Ý%Þ �− 12 �� × �#(l′) + ÔÚÛn�#(l′)pfe�� = Òi�dfe�(l)

(2.88) con lo que expandimos la distribución de corriente incógnita en una serie de N coeficientes incógnitas ponderando a unas funciones base conocidas. Para poder resolver el problema necesitamos evaluar N puntos donde se cumpla la ecuación anterior.

Para evaluar la ecuación (2.88) se realizará el mismo procedimiento que el ejecutado en el caso de la N-MFIE, definiendo el producto simétrico con la misma expresión que en el caso comentado, i.e.

⟨�, )⟩ = 3� · )7 56

(2.89) además volvemos a usar el procedimiento de Galerkin. De esta forma las bases de test y las de fuente serán iguales, luego se obtiene un sistema de N ecuaciones lineales, que haciendo uso de la linealidad del operador Ô( ), nos resulta la expresión de expansión siguiente

� J� · �− 12 ⟨�.(l), �� × �#(l′)⟩ + ⟨�.(l), ÔÚÛn�#(l′)p⟩�'�%� = ⟨�., Òi�dfe�(l)⟩

(2.90) sabiendo la propiedad del producto vectorial y las del producto simétrico podemos concluir que ⟨�.(l), �� × �#(l′)⟩ = 0 luego la ecuación (2.90) se simplifica a


� J� · ê⟨�.(l), ÔÚÛn�#(l′)p⟩ë'�%� = ⟨�., Òi�dfe�(l)⟩

(2.91) Esta ecuación tiene una expresión similar a la de un sistema de ecuaciones matricial

del tipo

< · > = ? ⇒ � �� … ��.� … �.�� · ��⋮�� = �?�⋮?.� (2.92)

siendo �.� = ⟨�., ÔÚÛn�#(l′)p⟩ ?. = ⟨�., �� × Òi�dfe�(l)⟩ �� ≡ Vector de incognitas (2.93) Si operamos con el termino zmn introduciendo la expresión del operador ÔÚÛ( ) y la

definición del producto simétrico podemos llegar a la siguiente expresión para cada uno de los elementos de la matriz Z.

�.� = 3 �.(l) 3 �#(l′)7�,ÚÛ × ×xy + 1ÍØ ¥KÊËÌ4ÈÍ Í�56′567� (2.94)

Si recordamos las propiedades de las funciones base RWG sabemos que

�� = ��° + ��K 6¨¥¦5£ ��± = ± »�±Ç�±

(2.95) ∇ · �� = ∇ · ��° + ∇ · ��K 6¨¥¦5£ ∇ · ��± = ± 2Ç�±

(2.96) y que podemos descomponer el elemento zmn como la suma de cuatro acoplos, uno por cada posible combinación entre los dos triángulos de cada una de las dos bases involucradas en el cálculo del elemento zmn, i.e.

�.� = �.�°° + �.�°K + �.�K° + �.�KK (2.97) El sub-elemento �.�± ± se puede expresar como


�.�± ± = µ.± · µ�±4ÈÇ.Ç� 3 ¶.± · �� × 3 ¶�±ÚÛf�± × ×xy + 1ÍØ ¥KÊËÌÍ Í�56′56Î�±

(2.98) Para simplificar un poco la resolución de la segunda integral haremos uso de la

propiedad geométrica detallada en la Figura 2. 7. De esta forma podemos expresar cada elemento de la matriz de impedancias como

�.�± ± = − µ.± · µ�±4ÈÇ.Ç� 3 ¶.± 3 R��± × ¶�± ×xy + 1ÍØ ¥KÊËÌ4ÈÍ 56′56ÚÛf�±Î�±

(2.99) y operando sobre la integral fuente podemos reducirla a

�.�± ± = µ.± · µ�±4ÈÇ.Ç� 3 ¶.± · R��± × 3 ¶�± ×xy + 1ÍØ ¥KÊËÌ4ÈÍ 56′56ÚÛf�±Î�±

(2.100) Para resolver la integrales de la ecuación anterior debemos saber que la integral ¶�± ßxy + �Ìà áÅâãäåæÌ 56′ÚÛf�± tiene las siguientes posibilidades dependiendo de los vectores l

y l′. - Si l y l′ son coplanares la integral vale cero. - Si l = l′ no se evalúa la integral, valor principal.

- Si l′ → l y no son coplanares, existe una singularidad en �Ìç

2.3. FORMULACIÓN PARA OBJETOS PENETRABLES

Para extender la formulación para objetos penetrables, es decir dieléctricos u otra clase de materiales de última generación con propiedades electromagnéticas extraordinarias, debemos tener en cuenta respecto a las premisas que se consideraron para el desarrollo de la formulación para PEC que

- En el interior del objeto en estudio existe un campo electromagnético si este objeto es excitado por un campo electromagnético proveniente del exterior del objeto, o por una fuente en el interior del mismo.

- Debido al punto anterior, cada elemento o base de la que se compone la superficie radia a todos los demás elementos, incluido a sí mismo, tanto desde el exterior del objeto como desde el interior.

- Sobre la superficie del objeto, se crean tanto densidades de corriente eléctrica, como ocurría en el caso de PEC, como densidades de corriente magnética. La generación de ambos tipos de corrientes solo ocurre en los cuerpos penetrables, ya que en objetos PEC se anula la densidad de corriente magnética, y para el

28

caso de los conductores magnéticos perfectos, PMC, es la corriente eléctrica la que no está presente.

- Al tener que calcular tanto densidades de corrientede corriente magnética, el número de las inalterada el número de bases para una superficie similar

- Tanto los parámetros constitutivos del objeto penetrable como los del medio el que se encuentra este, son muy importantes en el cálculo de la formulación.

- Y por último, la condición de contorno que se usa para la solución de esta familia de problemas, no puede ser como en el caso de PEC, que el campo eléctrico tangencial total de los campos en la interfaz entre los dos medios involucrados en el problema.

2.3.1. FORMULACIÓN TANGENCIAL PARA PENETRABLES

El estudio de la formulación tangencial para dieléctricos se desarrolló empezando por la formulación de Poggio-natural de la formulación previamente implementada. Después de implementar esta formulación se planteó el generalizar la formulación para todas las variantes de la formulación tangencial, como la CTF, y la formul

2.3.1.1. FORMULACIÓN PMCHWT

Figura 2. 8 Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables.El problema se planteará de forma similar a la usada para el caso de PEC, es decir, se

supondrá un campo electromagnético conocido incidente. Además se elige un punto de


caso de los conductores magnéticos perfectos, PMC, es la corriente eléctrica la que no está presente. Al tener que calcular tanto densidades de corriente eléctrica como densidades de corriente magnética, el número de las incógnitas se dobla, permaneciendo inalterada el número de bases para una superficie similar compuesta de PEC.Tanto los parámetros constitutivos del objeto penetrable como los del medio el que se encuentra este, son muy importantes en el cálculo de la formulación.Y por último, la condición de contorno que se usa para la solución de esta familia de problemas, no puede ser como en el caso de PEC, que el campo eléctrico tangencial total sea cero, sino que tendremos que usar la continuidad de los campos en la interfaz entre los dos medios involucrados en el problema.

FORMULACIÓN TANGENCIAL PARA PENETRABLES

El estudio de la formulación tangencial para dieléctricos se desarrolló empezando por -Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PMCHWT), al ser el paso

natural de la formulación previamente implementada. Después de implementar esta ión se planteó el generalizar la formulación para todas las variantes de la

formulación tangencial, como la CTF, y la formulación T-Müller.

FORMULACIÓN PMCHWT

Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables.El problema se planteará de forma similar a la usada para el caso de PEC, es decir, se



caso de los conductores magnéticos perfectos, PMC, es la corriente eléctrica la

eléctrica como densidades se dobla, permaneciendo

compuesta de PEC. Tanto los parámetros constitutivos del objeto penetrable como los del medio en el que se encuentra este, son muy importantes en el cálculo de la formulación. Y por último, la condición de contorno que se usa para la solución de esta familia de problemas, no puede ser como en el caso de PEC, que el campo

tendremos que usar la continuidad de los campos en la interfaz entre los dos medios involucrados en el problema.

FORMULACIÓN TANGENCIAL PARA OBJETOS

El estudio de la formulación tangencial para dieléctricos se desarrolló empezando por Tsai (PMCHWT), al ser el paso

natural de la formulación previamente implementada. Después de implementar esta ión se planteó el generalizar la formulación para todas las variantes de la

Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables. El problema se planteará de forma similar a la usada para el caso de PEC, es decir, se


2.3 Formulación para objetos penetrables 29

observación aleatorio. El campo en el punto de observación se puede definir como la suma del campo eléctrico incidente en ese punto debido exclusivamente a la onda incidente conocida, es decir, sin la presencia del conductor bi�d más el campo eléctrico dispersado producido por las corrientes inducidas en la superficie del PEC bcdef. bfjf = bi�d + bcdef(o, Õ) (2.101) y con la misma lógica podemos decir que

Òfjf = Òi�d + Òcdef(o, Õ) (2.102) Para solucionar este problema arrancaremos de las ecuaciones de Maxwell que

relacionan el campo eléctrico con la densidad de corriente magnética y el campo magnético con la densidad de corriente eléctrica, es decir, partimos de las siguientes ecuaciones.

o = �� × Òfjf Õ = −�� × bfjf (2.103) Cálculos sobre el medio R1

En primer lugar plantearemos la MFIE y EFIE partiendo de las ecuaciones de Maxwell para el medio 1.

Si operamos en primer lugar con la MFIE1 partimos de

o�� = �� × Ò�fjf (2.104) Al implementar una formulación tangencial, el primer paso será introducir el producto

vectorial de −�� en ambos lados de la expresión anterior para conseguir trabajar solo con el campo total tangencial.

−�� × o�� = −�� × �� × Ò�fjf −�� × o�� = Ò�,fe�fjf (2.105) ahora operamos de forma similar para obtener la EFIE1, solo que en este caso, al tener un signo menos el segundo termino de la igualdad, realizaremos el producto vectorial de ��.

Õ�� = −�� × b�fjf (2.106)


�� × Õ�� = −�� × �� × b�fjf �� × Õ�� = b�,fe�fjf (2.107) Cálculos sobre el medio R2

Si actuamos de forma similar que para el medio 1 obtendremos la MFIE2 y la EFIE2 siendo estas de la forma

−�� × o�� = Ò�,fe�fjf (2.108) �� × Õ�� = b�,fe�fjf (2.109) Condiciones de contorno

Para agrupar las formulaciones de los medios 1 y 2, nos apoyaremos para ello en la condición del contorno del problema, que en este caso se puede expresar como

Ò�,fe�fjf − Ò�,fe�fjf = 0 (2.110) b�,fe�fjf − b�,fe�fjf = 0 (2.111) Denotaremos la ecuación (2.110) como la MFIE1,2 y a la expresión (2.111) como la

EFIE1,2. Como vemos en las expresiones anteriores la condición de contorno que estamos aplicando es de la continuidad de los campos, esta condición nos asegura que los campos tangenciales a la superficie exterior a la región 2 han de ser iguales a los campos tangenciales a la superficie interior de la región 2.

Si sustituimos en la MFIE1,2 la expresión (2.105) obtendremos

−�� × o�� = −�� × o�� (2.112) Y sabiendo que �� = −��3 podemos concluir que

o�� = −o�� = o (2.113) Operando de forma similar a la implementada en el caso de la MFIE1,2 para la EFIE1,2

comprobaremos que

3 Ver Figura 2. 8.


Õ�� = −Õ�� = Õ (2.114) Para relacionar el campo magnético incidente con el dispersado por la superficie en

ambos lados de ésta, en lugar de introducir en la MFIE1,2 (expresión (2.110) la expresión (2.105) despejamos la ecuación descrita en (2.102) y obtendremos la expresión siguiente que relaciona estos campos.

Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d + Ò�,fe�cdef − Ò�,fe�cdef = 0 −Ò�,fe�cdef + Ò�,fe�cdef = Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d (2.115) El campo magnético dispersado puede ser expresado a partir de dos operadores de la

forma

Òcdef = − �Ô(o) + 1η ℒ(M)� (2.116) Con esta definición del campo magnético dispersado podemos operar en la expresión

(2.115) y obtener

�Ô�(o��) + 1η� ℒ�(Õ��)�¤©¦ − �Ô�(o��) + 1η� ℒ�(Õ��)�¤©¦ = Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d (2.117)

Y si tenemos en cuenta la condición demostrada en (2.113) y en (2.114) podemos concluir

�Ô�(o) + 1η� ℒ�(Õ)�¤©¦ + �Ô�(o) + 1η� ℒ�(Õ)�¤©¦ = Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d (2.118)

Repetimos la operación para la EFIE1,2 (2.111), es decir despejamos la ecuación (2.101) y obtenemos la expresión que relaciona los campos incidente y de dispersión.

b�,fe�i�d − b�,fe�i�d + b�,fe�cdef − b�,fe�cdef = 0 −b�,fe�cdef + b�,fe�cdef = b�,fe�i�d − b�,fe�i�d (2.119) El campo eléctrico dispersado puede ser expresado a partir de dos operadores de la

forma

bcdef = −;η · ℒ(o) − Ô(Õ)= (2.120) Con esta definición del campo magnético dispersado podemos operar en la expresión

(2.119) y obtener


;η� · ℒ�(o��) − Ô�(Õ��)=¤©¦ − ;η�ℒ�(o��) − Ô�(M��)=¤©¦ = b�,fe�i�d − b�,fe�i�d (2.121) Y si tenemos en cuenta la condición demostrada en (2.113) y en (2.114) podemos

concluir

;η� · L�(o) − K�(Õ)=¤©¦ + ;η�L�(o) − K�(Õ)=¤©¦ = b�,fe�i�d − b�,fe�i�d (2.122) Definición de los operadores.

El operador Ôð( ) se define como aquél operador que proporciona el campo magnético dispersado por una densidad de corriente eléctrica ó si opera sobre una densidad de corriente magnética, nos proporciona el campo eléctrico dispersado por esa densidad de corriente magnética.

Matemáticamente viene determinado por la siguiente expresión.

Ôno(l′)p(l) = 3 o(l′) × ∇G(l, l′)5µ ′ (2.123) siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, y ∇G(l, l′) la divergencia de la función de Green, con una expresión

∇Ö(l, l′) = R� ×xy + 1ÍØ eK��4πR (2.124) Luego

ñno̅(l̅′)p(l̅) = 3 o̅(l̅′) × R� ×xy + 1ÍØ eK��4πR 5µ ′ (2.125) El operador ℒð( ) se define como aquél operador que proporciona el campo magnético

dispersado por una densidad de corriente magnetica ó si opera sobre una densidad de corriente eléctrica, nos proporciona el campo eléctrico dispersado por esa densidad de corriente.

Matemáticamente viene determinado por la siguiente expresión.

ℒno(l′)p(w) = xy z3 o(l′) · G(l, l′)56′ + 1y� ∇ 3∇�} · o(l′) · G(l, l′)56′77 ~ (2.126)

siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, definida por


�(l, l′) = eK��|lKl}|4π|l − l′| = eK��4πR (2.127) Procedimiento de expansión

Como se explicó al principio de este capítulo el objetivo del método de los momentos es transformar una ecuación continua en un sistema de ecuaciones de N incógnitas para resolver mediante métodos numéricos computacionalmente abordables.

El método de los momentos se compone de dos pasos, el primero de ellos es el procedimiento de expansión y el último el procedimiento de ponderación. El primer paso será expandir las corrientes o y Õ en una serie de funciones base ponderada por unos coeficientes complejos denominados Jn y Mn.

De esta forma se puede expresar las funciones o(l′) y Õ(l′) como

o(l′) ≃ � J# · �#(l′)$#%�

(2.128) Õ(l′) ≃ � M# · �#(l′)$

#%�

(2.129) Siendo Jn y Mn, los coeficientes complejos, que se convierten en la incógnita del

problema, y �# las funciones base conocidas.

Si aplicamos las expresiones de expansión de ambas densidades de corriente sobre la MFIE1,2 y la EFIE1,2 expresadas en (2.118) y (2.122) respectivamente llegamos a

� ò�M# · Ô�(�#) + J# · 1η� ℒ�(��)�¤©¦ + �M# · Ô�(��) + J# · 1η� ℒ�(��)�¤©¦ó'�%� = Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d

(2.130) � ôJn · η1 · ℒ1(��) − Mn · Ô1(��)õfe� + ôJn · η2ℒ2(��) − Mn · Ô2(��)õfe�

'�%� = b1,¤©¦¨¦§ − b2,¤©¦¨¦§

(2.131) Procedimiento de ponderación

De esta forma hemos expandido las dos densidades de corriente continuas en una serie de N incógnitas cada una, es decir, en total tendremos 2N incógnitas. En este punto solo disponemos de dos ecuaciones y de 2N incógnitas, luego para poder encontrar una única


solución al problema usaremos el procedimiento de expansión, haciendo que las dos ecuaciones descritas anteriormente se cumplan en N puntos de la superficie del objeto penetrable usando para ello el producto simétrico detallado en la expresión (2.6).

Para ello aplicamos las siguientes expresiones en la EFIE1,2 y la MFIE1,2 respectivamente.

⟨�ö, �÷⋯ ø⟩ = ⟨�ö, b�,fe�i�d − b�,fe�i�d ⟩ (2.132) ⟨�ö, �÷⋯ ø⟩ = ⟨�ö, Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d ⟩ (2.133) Que teniendo en cuenta las propiedades de linealidad de tanto lo operadores ℒð( ) y Ôð( ) como del producto simétrico podemos expresar la EFIE1,2 como

�÷η�⟨�ö, ℒ�(��)⟩ · J# + η�⟨�ö, ℒ�(��)⟩ · J# − ⟨�ö, Ô�(��)⟩ · M# − ⟨�ö, Ô�(��)⟩ · M#ø'�%� = ⟨�ö, b�,fe�i�d − b�,fe�i�d ⟩ (2.134)

Y teniendo en cuenta las mismas propiedades para despejar la MFIE1,2 obtenemos

� ù⟨�ö, Ô�(��)⟩ · J# − ⟨�ö̅, Ô�(��)⟩ · J# + 1η� ⟨�ö̅, ℒ�(��)⟩ · M# + 1η� ⟨�ö̅, ℒ�(��)⟩ · M#ú'�%� = ⟨�ö, Ò�,fe�i�d − Ò�,fe�i�d ⟩ (2.135)

Llegados a este punto y para simplificar el desarrollo de los siguientes pasos de la formulación tomaremos la siguiente notación.

.�i = ⟨�ö, ℒð(��)⟩ û.�i = ⟨�ö, Ôð(��)⟩ ü.�� = ⟨�ö, b�i�d − b�i�d⟩ §.�� = ⟨�ö, Ò�i�d − Ò�i�d⟩ (2.136) Como podemos observar el subíndice que indica la componente tangencial del campo

ha desaparecido de la formulación, esto se debe a que debido a las propiedades del producto simétrico solo el campo tangencial es evaluado al operar con las funciones base superficiales, es decir

⟨�ö, bfe�⟩ = ⟨�ö, b⟩ ⟨�ö, Òfe�⟩ = ⟨�ö, Ò⟩


(2.137) Combinando las ecuaciones (2.134) y (2.135) con la notación especificada por (2.136)

las ecuaciones de la EFIE1,2 y MFIE1,2 quedarán respectivamente

�÷η�.�� · J# + η�.�� · J# − û.�� · M# − û.�� · M#ø'�%� = b,��

(2.138) � ùû.�� · J# − û.�� · J# + 1η� .�� · M# + 1η� .�� · M#ú'�%� = c,��

(2.139) Y reagrupando los términos para obtener una expresión que nos permita equipararla a

la tan usada expresión < · > = ?

� J#;η�.�� + η�.�� = + � M#'

�%� ;−û.�� − û.�� ='�%� = b,��

� J#;û.�� − û.�� = + � M# � 1η� .�� + 1η� .�� '�%�

'�%� = c,��

(2.140) Al estar compuestas por dos tipos de incógnitas y dos tipos de operadores sobre la

corriente, podemos plantear la siguiente ecuación matricial.

< · > = ? ⇒ ô<ýþ <ý�<�þ <��õ · ô �2õ = ô?ý?�õ (2.141) Que además de facilitar el desarrollo final de las ecuaciones, también ofrece un

significado físico a la matriz, ya que los términos <�þ se comportan como un operador que modela el campo electromagnético radiado por una densidad de corriente eléctrica J, los términos <�� se comportan de la misma manera pero con la densidad de corriente magnética M . Mientras que el término <ý� modelan el campo eléctrico radiado por unas densidades de corriente J y M , y el <�� el campo magnético radiado por unas densidades de corrientes J y M .

Y asociando cada sub-elemento de la matriz Z con lo descrito en la ecuación (2.140) podemos describir cada operador como


<.�ýþ = η�.�� + η�.�� <.�ý� = −û.�� − û.�� <.��þ = û.�� + û.�� <.�� = 1η� .�� + 1η� .�� (2.142) Cálculo de los coeficientes .�i y û.�i

Para determinar el valor de los coeficientes debemos tener en cuenta la formulación de

estos términos, que para el caso de .�i = ⟨�ö, ℒð(��)⟩ estando el producto simétrico determinado por la ecuación (2.6) y el operador ℒð( ) por la expresión (2.126).

.�i = xy z3 �ö7� (l) 3 ��(l′) · Öi(l, l′)56}56 −7�1y� 3 ∇ · �ö7� (l) 3 Öi(l, l′)56}567� ~

(2.143) siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, definida por

�(l, l′) = eK��lKl��4π|l − l′| = eK��4πR (2.144) Si recordamos las propiedades de las funciones base RWG sabemos que

�� = ��° + ��K 6¨¥¦5£ ��± = ± ¶�±Ç�±

(2.145) ∇ · �� = ∇ · ��° + ∇ · ��K 6¨¥¦5£ ∇ · ��± = ± 2Ç�±

(2.146) Y que podemos descomponer el elemento .�i como la suma de cuatro acoplos, uno

por cada posible combinación entre los dos triángulos de cada una de las dos bases involucradas en el cálculo del elemento, i.e.

.�i = i.�°° + i.�°K + i.�K° + i.�KK (2.147)

El sub-elemento i.�± ± se puede expresar como

.�i±± = xyiµ.± µ�±4È · nÇ.± Ç�±p z3 ¶�±Î�± 3 ¶�± · ¥KÊË�Ì Í 56}56 −Î�±4yi� 3 Î�± 3 ¥KÊË�Ì Í 56}56Î�± ~

(2.148)

2.3 Formulación para objetos penetrables

Para el operador û.�i =ecuación (2.6) y el operador expresión

û.�i

Que descomponiendo el elemento tenemos

ûSiendo el sub-elemento

û.�i± ® � µ4È

Figura 2. Haciendo uso de la identidad demostrada en la

expresión del término û.�ifuente, luego puede salir de la segunda integral, así como el producto vectorial.

��Ý�® ® � µ.®4È 4

2.3 Formulación para objetos penetrables

� ⟨�ö, Ôð(��)⟩ estando el producto simétrico determinado por la y el operador Ôð( ) por la expresión (2.123), obtenemos la siguiente

� 3 �ö 3 �� R� ×xy k 1ÍØ eK��

4πR 56′567�7�

Que descomponiendo el elemento û.�i como la suma de los cuatro acoplos posibles

û.�i � ûi.�°° k ûi.�

°K k ûi.�K° k ûi.�

KK

elemento ûi.�® ®

expresado, usando las propiedades de las RWG

µ.® µ�®

4 Ç.® Ç�®3 ¶,® 3 ¶#® � R� ×xy k 1

ÍØ eK��R 56′56Î�®Î�®

Figura 2. 9. Identidad usada para sustituir el vector R uso de la identidad demostrada en la Figura 2. 9 podemos convertir la

.� al depender el vector �� del punto observación, y no del punto fuente, luego puede salir de la segunda integral, así como el producto vectorial.

.® µ�®Ç.® Ç�®

3 ¶,® R,® � 3 ¶#®(1 k xyÍ)eK��

R� 56′Î�®Î�®

37

estando el producto simétrico determinado por la , obtenemos la siguiente

2.149) como la suma de los cuatro acoplos posibles

(2.150) expresado, usando las propiedades de las RWG

56

(2.151)

podemos convertir la

del punto observación, y no del punto fuente, luego puede salir de la segunda integral, así como el producto vectorial.

′56

(2.152�


En este caso, para solucionar las integrales debemos tener en cuenta que las integrales de observación, es decir la integral no primada, se resuelven numéricamente, mientras que las integrales en la fuente se resolverán numéricamente mientras las los puntos de fuente y observación estén alejados entre sí, y analíticamente cuando están muy próximos o coinciden, extrayendo analíticamente la singularidad 1/R.

2.3.1.2. FORMULACIÓN TANGENCIAL GENERALIZADA

En este apartado se realizará la implementación de la formulación tangencial general que nos permitirá implementar cualquier formulación tangencial.

Para ello resolveremos el problema propuesto en la Figura 2. 8, similar al abordado para el desarrollo de la formulación PMCHWT, pero realizaremos un planteamiento algo distinto pero igual de válido.

El primer paso será definir las ecuaciones integrales de campo eléctrico y de campo magnético, EFIE y MFIE respectivamente, para cada una de las regiones, o dicho de otra forma trabajaremos con una formulación genérica para un medio l.

Definimos la EFIEl como

�Ó>� : Õ = −�� × b (2.153) Y la MFIEl como

2Ó>� : o = �� × Ò� (2.154) Como queremos trabajar con formulación tangencial multiplicaremos vectorialmente

en ambos lados de las igualdades anteriores por el vector normal a la superficie �� (en el caso de la MFIEl lo haremos por −n� ). Consiguiendo con ello

� − �Ó>� : �� × Õ = −�� × �� × b � − 2Ó>� : − �� × o = −�� × �� × Ò (2.155) Que operando obtenemos

� − �Ó>� : �� × Õ = b ,fe� � − 2Ó>� : − �� × o = Ò ,fe� (2.156) Sabemos que el campo eléctrico en un punto de observación se puede descomponer en

la suma del campo eléctrico incidente en ese punto debido exclusivamente una onda incidente conocida, es decir, sin la presencia del conductor bi�d más el campo eléctrico dispersado producido por las corrientes inducidas en la superficie del PEC bcdef.


b = b i�d + b cdefo,Õ� 2.157� Y con la misma lógica podemos decir que

Ò = Ò i�d + Ò cdef(o, Õ) (2.158) Por otra parte el campo eléctrico dispersado por una pareja de densidades de corriente

eléctrica y magnética se puede expresar como

b cdef = −s ℒ (o ) + Ô (Õ ) (2.159) El campo magnético dispersado por unas densidades de corriente eléctrica y magnética

se define como

Ò cdef = −Ô (o ) − 1s ℒ (Õ ) (2.160) Podemos definir el operador ℒ ( ) como aquel operador que aplicado sobre una

densidad de corriente eléctrica nos devuelve, excepto constantes, el campo eléctrico radiado por esa densidad de corriente, y si se aplica a una de corriente magnética nos devuelve, excepto constantes, el campo magnético radiado por esa densidad de corriente. Su expresión matemática se muestra a continación

ℒ (�) = xy z3 � · G56} + 1y � ∇ 3 ∇ · � · G56}~ (2.161)

Mientras que el operador Ô ( ) es aquel operador que aplicado sobre una densidad de corriente eléctrica nos devuelve, excepto constantes, el campo magnético radiado por esa densidad de corriente, y si se aplica a una de corriente magnética nos devuelve, excepto constantes, el campo eléctrico radiado por esa densidad de corriente. Su expresión matemática es

Ô (�) = Ô ,ÚÛ(�) + 12 �� × � (2.162) siendo Ô ,ÚÛ(�) el valor principal de la integral

Ô ,ÚÛ(�) = 3 � × ∇G56′ÚÛ

(2.163) y G la función de Green en espacio libre, definida por


G = eK��lKl��4π|l − l}| = eK��4πR 2.164� y ∇G la divergencia de la función de Green, con una expresión


R = |l − l}| (2.166) Si completamos las formulaciones T-EFIEl y T-MFIEl con las expresiones mostradas

anteriormente alcanzamos la siguiente definición para estas formulaciones.

� − �Ó>� : ¦� × Õ = ß−s ℒ o � + Ô ,ÚÛÕ �àfe� + 12 �� × Õ +b ,fe�i�d

� − 2Ó>� : − ¦� × o = �−Ô ,ÚÛo � − 1s ℒ Õ ��¤©¦ − 12 �� × o +Ò ,fe�i�d

2.167� que operando y agrupando términos podemos llegar a

� − �Ó>� : ßs ℒ (o ) − Ô ,ÚÛ(Õ )àfe� + 12 �� × Õ = b ,fe�i�d

� − 2Ó>� : �ℒ ,ÚÛ(o ) + 1s ℒ (Õ )�¤©¦ − 12 �� × o = Ò ,fe�i�d

(2.168) Para formular el problema de la Figura 2. 8, compuesto por dos medios, debemos

combinar las formulaciones para ambos medios. Usaremos la siguiente relación para conseguir el efecto de combinar las ecuaciones.

©� · 1s� �. �Ó>�� − ©� · 1s� �. �Ó>�� ü� · s��. 2Ó>�� − ü� · s��. 2Ó>�� (2.169) siendo los términos al y bl, unos coeficientes de ponderación de las formulaciones para, eligiendo los valores apropiados poder construir la formulación tangencial deseada. Mientras que la ponderación por la impedancia intrínseca del medio, o por la inversa de ésta, se usa para dotar a la formulación de mayor estabilidad numérica [Yla-Oijala et al., 2005]


Combinando las expresiones (2.168) y (2.169) llegamos a

©� 1s� ßs�ℒ�o�� − Ô�,ÚÛÕ��àfe� − ©� 1s� ßs�ℒ�o�� − Ô�,ÚÛÕ��àfe�+ ©� · 1s� · 12 �� × Õ� −©� · 1s� · 12 �� × Õ� = ©� · 1s� b�,fe�i�d − ©� · 1s� b�,fe�i�d (2.170) ü�s� �Ô�,ÚÛ(o�) + 1s� ℒ�(Õ�)�¤©¦ − ü�s� �Ô�,ÚÛ(o�) + 1s� ℒ�(Õ�)�¤©¦− s� ü�2 �� × o� + s� ü�2 �� × o� = ü�s�Ò�,fe�i�d −ü�s�Ò�,fe�i�d (2.171)

Si aplicamos la continuidad de los campos tangenciales en la interfaz entre los dos medios como condición de contorno llegamos a la conclusión.

Õ� = −¦�� × b�; Õ� = −¦�� × b� o� = ¦�� × Ò�; o� = ¦�� × Ò� Ò�,fe� = Ò�,fe� �� = −�� = �� o� = − o� = o Õ� = − Õ� = Õ (2.172) que nos permite convertir las ecuaciones (2.170) y (2.171) en

©� 1s� ßs�ℒ�(o) − Ô�,ÚÛ(Õ)àfe� − ©� 1s� ßs�ℒ�(o) − Ô�,ÚÛ(Õ)àfe�+ 12 · ×©�s� − ©�s�Ø �� × Õ = ©� · 1s� b�,fe�i�d − ©� · 1s� b�,fe�i�d (2.173) ü�s� �Ô�,ÚÛ(o) + 1s� ℒ�(Õ)�¤©¦ + ü�s� �Ô�,ÚÛ(o) + 1s� ℒ�(Õ)�¤©¦+ 12 (ü�s� − ü�s�)�� × o = ü�s�Ò�,fe�i�d −ü�s�Ò�,fe�i�d (2.174)

Intentaremos simplificar estas ecuaciones agrupándolas por tipo de incógnita, de esta forma conseguimos


n©�ℒ�o� + ©�ℒ�o�pfe� − �©�s� Ô�,ÚÛÕ� + ©�s� Ô�,ÚÛÕ��fe�+ 12 · ×©�s� − ©�s�Ø�� × Õ = ©� · 1s� b�,fe�i�d − ©� · 1s� b�,fe�i�d (2.175) ßü�s�Ô�,ÚÛ(o) + ü�s�Ô�,ÚÛ(o)à¤©¦ + nü�ℒ�(Õ) + ü�ℒ�(Õ)p¤©¦+ 12 (ü�s� − ü�s�)�� × o = ü�s�Ò�,fe�i�d −ü�s�Ò�,fe�i�d (2.176) Si a estas expresiones le aplicamos el procedimiento de procedimiento de expansión

podemos escribir las ecuaciones como

� ��'

�%� n©�ℒ�(��) + ©�ℒ�(��)pfe� − � 2�'

�%� �©�s� Ô�,ÚÛ(��) + ©�s� Ô�,ÚÛ(��)�fe�+ � 2�

'�%� ×12 · ×©�s� − ©�s�Ø �� × ��Ø = ©� · 1s� b�,fe�i�d − ©� · 1s� b�,fe�i�d

(2.177) � ��

'�%� ßü�s�Ô�,ÚÛ(��) + ü�s�Ô�,ÚÛ(��)à¤©¦ + � 2�

'�%� nü�ℒ�(��) + ü�ℒ�(��)p¤©¦

+ � ��'

�%� �12 (ü�s� − ü�s�)�� × �� = ü�s�Ò�,fe�i�d −ü�s�Ò�,fe�i�d

(2.178) Lo que nos permite construir la notación matricial siguiente.

±²³²́

�� n©�ℒ�(��) + ©�ℒ�(��)pfe� �− ©�s� Ô�,ÚÛ(��) − ©�s� Ô�,ÚÛ(��)�fe�ßü�s�Ô�,ÚÛ(��) + ü�s�Ô�,ÚÛ(��)àfe� nü�ℒ�(��) + ü�ℒ�(��)pfe� ��

��

+�� 0 12 · ×©�s� − ©�s�Ø �� × ��12 (ü�s� − ü�s�)�� × �� 0 ��

��²�²� · ô ��õ

= H©� · 1s� b�,fe�i�d − ©� · 1s� b�,fe�i�dü�s�Ò�,fe�i�d −ü�s�Ò�,fe�i�d I

(2.179)


Por último aplicaremos el procedimiento de ponderación en la ecuación anterior quedando la expresión final como

±³́H ©�.�� + ©�.�� −©�s� û.�� − ©�s� û.��ü�s�û.�� + ü�s�û.�� ü�.�� + ü�.�� I + ��

� 0 12 ×©�s� − ©�s�Ø >.�12 ü�s� − ü�s��>.� 0 ��

· ô ��õ = H ©�s� ü.� − ©�s� ü.�ü�s�§.� − ü�s�§.� I 2.180�

teniendo en cuenta la notación siguiente

.�i = ⟨�ö, ℒð(��)⟩ û.�i = ⟨�ö, Ôð(��)⟩ ü.i = ⟨�ö, bii�d⟩ §.�� = ⟨�ö, Òii�d⟩ >.� = ⟨�ö, �� × ��⟩ (2.181) Para la formulación exhaustiva de los términos .�i y û.�i se recomienda revisar las

formulas desde la (2.143) hasta la (2.152). En cuanto a los demás términos solo será necesaria la sustitución del producto simétrico por su expresión (2.6).

Esta formulación nos permite el generar cualquier formulación tangencial con solo elegir los valores de ai y bi adecuados. Por ejemplo para conseguir la PMCHWT detallada con anterioridad tendremos que elegir ©i = siüi = 1si

(2.182) Para la formulación genérica CTF los valores de las constantes de ponderación serán

©i = 1üi = 1 (2.183)

2.3.2. FORMULACIÓN NORMAL PARA OBJETOS PENETRABLES.

En este apartado se realizará la implementación de la formulación normal general que nos permitirá implementar cualquier formulación normal.

44

Para ello resolveremos el problema propuesto en la para el desarrollo de la formulación PMCHWT, pero realizaremos un planteamiento algo distinto pero igual de válido.

Figura 2. 10 Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables.El primer paso será definir las ecuaciones integrales de campo eléctrico y de campo

magnético, EFIE y MFIE respectivamente, para cada una de las regiones, o dicho de otra forma trabajaremos con una formulación genérica para un medio

Definimos la EFIEl como

y la MFIEl como

Como queremos trabajar con formulación normal no será necesario el multiplicaremos vectorialmente en ambos lados de las igualdades anteriores por el vector normal a la superficie ��

Sabemos que el campo eléctrico en un punto la suma del campo eléctrico incidente en ese punto debido exclusivamente una onda


Para ello resolveremos el problema propuesto en la Figura 2. 10, similar al para el desarrollo de la formulación PMCHWT, pero realizaremos un planteamiento algo distinto pero igual de válido.

Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables.El primer paso será definir las ecuaciones integrales de campo eléctrico y de campo

, EFIE y MFIE respectivamente, para cada una de las regiones, o dicho de otra forma trabajaremos con una formulación genérica para un medio l.

omo

�Ó>� : Õ = −�� × b 2Ó>� : o = �� × Ò

Como queremos trabajar con formulación normal no será necesario el multiplicaremos vectorialmente en ambos lados de las igualdades anteriores por el vector normal a la

Sabemos que el campo eléctrico en un punto de observación se puede descla suma del campo eléctrico incidente en ese punto debido exclusivamente una onda


, similar al abordado para el desarrollo de la formulación PMCHWT, pero realizaremos un planteamiento algo

Problema propuesto para el desarrollo de la formulación para objetos penetrables. El primer paso será definir las ecuaciones integrales de campo eléctrico y de campo

, EFIE y MFIE respectivamente, para cada una de las regiones, o dicho de otra

(2.184)

(2.185) Como queremos trabajar con formulación normal no será necesario el multiplicaremos

vectorialmente en ambos lados de las igualdades anteriores por el vector normal a la

de observación se puede descomponer en la suma del campo eléctrico incidente en ese punto debido exclusivamente una onda


incidente conocida, es decir, sin la presencia del conductor bi�d más el campo eléctrico dispersado producido por las corrientes inducidas en la superficie del PEC bcdef.

b = b i�d + b cdefo,Õ� 2.186� y con la misma lógica podemos decir que

Ò = Ò i�d + Ò cdef(o, Õ) (2.187) Por otra parte el campo eléctrico dispersado por una pareja de densidades de corriente

eléctrica y magnética se puede expresar como

b cdef = −s ℒ (o ) + Ô (Õ ) (2.188) El campo magnético dispersado por unas densidades de corriente eléctrica y magnética

se define como

Ò cdef = −Ô (o ) − 1s ℒ (Õ ) (2.189) Podemos definir el operador ℒ ( ) como aquel operador que si se aplica sobre una

densidad de corriente eléctrica nos devuelve, excepto constantes, el campo eléctrico radiado por esa densidad de corriente, y si se aplica a una de corriente magnética nos devuelve, excepto constantes, el campo magnético radiado por esa densidad de corriente. Su expresión matemática se muestra a continuación

ℒ (�) = xy z3 � · Ö56} + 1y � ∇ 3 ∇ · � · G56}~ (2.190)

Mientras que el operador Ô ( ) es aquel operador que aplicado sobre una densidad de corriente eléctrica nos devuelve, excepto constantes, el campo magnético radiado por esa densidad de corriente, y si se aplica a una de corriente magnética nos devuelve, excepto constantes, el campo eléctrico radiado por esa densidad de corriente. Su expresión matemática es

Ô (�) = Ô ,ÚÛ(�) + 12 �� × � (2.191) siendo Ô ,ÚÛ(�) el valor principal de la integral


Ô ,ÚÛ�� = 3 � × ∇G56′ÚÛ

2.192� siendo G la función de Green en espacio libre, definida por

G = eK��lKl��4π|l − l′| = eK��4πR (2.193) y ∇G la divergencia de la función de Green, con una expresión

∇Ö(l, l}) = ×xy + 1ÍØ eK��4πR R� (2.194) definiéndose R como

R = |l − l′| (2.195) Si completamos las formulaciones N-EFIEl y N-MFIEl con las expresiones mostradas

anteriormente alcanzamos la siguiente definición para estas formulaciones.

! − �Ó>� : Õ = �� × s ℒ (o ) − �� × Ô ,ÚÛ(Õ ) − 12 �� × �� × Õ +�� × b i�d

! − 2Ó>� : o = −�� × Ô ,ÚÛ(o ) − 1s �� × ℒ (Õ ) − 12 �� × �� × o +�� × Ò i�d (2.196) que operando y agrupando términos podemos llegar a

! − �Ó>� : �� × ßs ℒ (o ) − Ô ,ÚÛ(Õ )à − 12 Õ = �� × b i�d

! − 2Ó>� : �� × �" ,ÚÛ(o ) + 1s # (Õ )� + 12 o = �� × Ò i�d (2.197)

Para formular el problema de la Figura 2. 8, compuesto por dos medios, debemos combinar las formulaciones para ambos medios. Usaremos la siguiente relación para conseguir el efecto de combinar las ecuaciones.

§� · !. 2Ó>�� − §� · !. 2Ó>�� −5� · !. �Ó>�� − (−5� · !. �Ó>��) (2.198) Siendo los términos cl y dl, unos coeficientes de ponderación de las formulaciones para,

eligiendo los valores apropiados poder construir la formulación tangencial deseada. Para


el caso de la formulación normal, es necesario combinar la –N-EFIE para que mapee Õ sobre Õ [Yla-Oijala et al., 2005 b].

Combinando las expresiones (2.197) y (2.198) llegamos a

§�� × �Ô�,ÚÛo�� + 1s� ℒ�Õ�� − §�� × �Ô�,ÚÛo�� + 1s� ℒ�Õ��+ §�2 o� − §�2 o� = §�� × Ò�i�d−§�� × Ò�i�d 2.199� −5�� × ßs�ℒ�(o�) − Ô�,ÚÛ(Õ�)à + 5�� × ßs�ℒ�(o�) − Ô�,ÚÛ(Õ�)à+ 5�2 · Õ� − 5�2 · Õ� = −5�� × b�i�d + 5�� × b�i�d (2.200)


Õ� = −�� × b�;Õ� = −Ý�� × b� o� = �� × Ò�; o� = �� × Ò� Ò�,fe� = Ò�,fe� �� = −�� = �� o�̅ = − o̅� = o ̅Õ� = − Õ� = Õ (2.201) que nos permite convertir las ecuaciones (2.199) y (2.200) en

§�� × �Ô�,ÚÛ(o) + 1s� ℒ�(Õ)� − §�� × �Ô�,ÚÛ(o) + 1s� ℒ�(Õ)�+ §�2 o̅ + §�2 o̅ = §�� × Ò�i�d+§�� × Ò�i�d (2.202) −5�� × ßs�ℒ�(o) − Ô�,ÚÛ(Õ)à + 5�� × ßs�ℒ�(o) − Ô�,ÚÛ(Õ)à+ 5�2 · Õ + 5�2 · Õ = −5�� × b�,fe�i�d − 5�� × b�,fe�i�d (2.203)

Intentaremos simplificar estas ecuaciones agrupándolas por tipo de incógnita, de esta forma conseguimos


�� × ß§�Ô�,ÚÛo� − §�Ô�,ÚÛo�à − �� × �§�s� ℒ�Õ� − §�s� ℒ�Õ��+ 12 §� + § �o = �� × n§�Ò�i�d+§�Ò�i�dp 2.204� −�� × n5�s�ℒ�(o) − 5�s�ℒ�(o)p + �� × ß5�Ô�,ÚÛ(Õ) − 5�Ô�,ÚÛ(Õ)à

+ 12 (5� + 5�)Õ = −�� × n5�b�i�d + 5�b�i�dp (2.205) Si a estas expresiones le aplicamos el procedimiento de procedimiento de expansión

podemos escribir las ecuaciones como

� �� ×�� × ß§�Ô�,ÚÛ(��) − §�Ô�,ÚÛ(��)àØ'�%� − � 2�

'�%� $�� × �§�s� ℒ�(��) − §�s� ℒ�(��)�%

+ � 2�'

�%� ×12 (§� + §�)��Ø = �� × n§�Ò�i�d+§�Ò�i�dp

(2.206) � ��

'�%� ß−�� × n5�s�ℒ�(��) − 5�s�ℒ�(��)pà + � 2� ×�� × ß5�Ô�,ÚÛ(��) − 5�Ô�,ÚÛ(��)àØ'

�%�+ � ��'

�%� ×12 (5� + 5�)��Ø = −�� × n5�b�i�d + 5�b�i�dp

(2.207) Lo que nos permite construir la notación matricial siguiente.

±³´

�� × ß§�Ô�,ÚÛ(��) − §�Ô�,ÚÛ(��)à �� × �§�s� ℒ�(��) − §�s� ℒ�(��)�−�� × n5�s�ℒ�(��) − 5�s�ℒ�(��)p �� × ß5�Ô�,ÚÛ(��) − 5�Ô�,ÚÛ(��)à��

��

+ A×12 (§� + §�)��Ø 00 ×12 (5� + 5�)��ØF

�� · ô ��õ

= z �� × n§�Ò�i�d+§�Ò�i�dp−�� × n5�b�i�d + 5�b�i�dp~ (2.208)

Por último aplicaremos el procedimiento de ponderación en la ecuación anterior quedando la expresión final como


&H §�û′.�� − §�û′.�� §�s� ′.�� − §�s� ′.��−5�s�′.�� − 5�s�′.�� 5�û′.�� − 5�û′.�� I + A12 §� + §��>′.� 0

0 12 5� + 5��>′.�F'· ô ��õ = � §�§′.� + §�§′.�−5�ü′.� + 5�ü′.� �� 2.209�

teniendo en cuenta la notación siguiente

′.�i = ⟨�ö, �� × ℒð(��)⟩ û′.�i = ⟨�ö, �� × Ôð(��)⟩ ü′.i = ⟨�ö, �� × bii�d⟩ §′.�� = ⟨�ö, �� × Òii�d⟩ (′�Ý = ⟨�ö, ��⟩ (2.210) Cálculo de los coeficientes ′.�i y û′.�i

Para determinar el valor de los coeficientes debemos tener en cuenta la formulación de

estos términos, que para el caso de ′.�i = ⟨�ö, �� × ℒð(��)⟩ estando el producto simétrico determinado por la ecuación (2.6) y el operador ℒð( ) por la expresión (2.190).

.�i = xy z3 �ö7� (l)�� × 3 ��(l′) · Gi(l, l′)56}567�− 1y� 3 �ö7� (l) · �� × ∇ 3 ∇ · Gi(l, l′)56}567� ~ (2.211)

siendo G(l, l′) la función de Green en espacio libre, definida por

�(l, l′) = eK��lKl��4π|l − l′| = eK��4πR (2.212) Para el operador û′�Ý� = ⟨�ö, �� × Ôð(��)⟩ estando el producto simétrico determinado

por la ecuación (2.6) y el operador Ôð( ) por la expresión (2.192), obtenemos la siguiente expresión

û.�i = 3 �ö 3 �� × �� × R� ×xy + 1ÍØ eK��4πR 56′567�7�

(2.213) En cuanto a los demás términos solo será necesaria la sustitución del producto

simétrico por su expresión (2.6).


Esta formulación nos permite el generar cualquier formulación normal con solo elegir los valores de ai y bi adecuados. Por ejemplo para conseguir la CNF tendremos que elegir §i = 15i = 1

(2.214) Para la formulación N-Müller los valores de las constantes de ponderación serán §i = ui5i = vi

(2.215)

2.3.3. FORMULACIÓN COMBINADA PARA OBJETOS PENETRABLES

El desarrollo de estas formulaciones permite abordar problemas de materiales penetrables sin ningún problema, pero ambas tienen problemas de estabilidad numérica exactitud, afortunadamente los problemas de los adolece un tipo de formulación la otra no lo sufre, o lo sufre en menor media.

Es por esta razón que se plantea la combinación de ambas formulaciones, tanto las formulaciones tangenciales, como las normales, para conseguir una formulación más robusta. Para describir esta formulación desarrollaremos el ejemplo planteado en la Figura 2. 10.

Si recordamos las ecuaciones

� − �Ó>� : ßs ℒ (Õ ) − Ô ,ÚÛ(Õ )àfe� + 12 �� × Õ = 6 · b ,fe�i�d

� − 2Ó>� : �Ô ,ÚÛ(o ) + 1s ℒ (Õ )�¤©¦ − 12 �� × o = 6 · Ò ,fe�i�d

! − �Ó>� : �� × ßs ℒ (o ) − Ô ,ÚÛ(Õ )à − 12 Õ = �� × b i�d

! − 2Ó>� : �� × �Ô ,ÚÛ(o ) + 1s ℒ (Õ )� + 12 o = �� × Ò i�d

(2.216) Donde el valor 6 es un parámetro que define el signo del campo incidente para la

formulación tangencial, ya que este signo es distinto dependiendo del medio sobre el que reciba el campo.



Õ� = −�� × b�;Õ� = −Ý�� × b� o� = Ý�� × Ò�; o� = Ý�� × Ò� Ò�,fe� = Ò�,fe� Ý�� = −Ý�� = Ý� o� = − o� = o Õ� = − Õ� = Õ (2.217) Para combinar las formulaciones tangenciales y normales de los distintos medios

usaremos la expresión mostrada a continuación.

� © · 1s · �.�Ó>� + � ü ·!. 2Ó>� � %�

� %�

� § · !.�Ó>� + � 5 · s · �. 2Ó>� � %�

� %�

(2.218) Si con estas expresiones seguimos el mismo desarrollo que para el caso de las

formulaciones normales y tangenciales genéricas, y aplicamos el método de los momentos como se ha estado aplicando en todos los ejemplos previos llegamos a la siguiente formulación conjunta

±³́H ©�.�� + ©�.�� − ©�s� û.�� − ©�s� û.��5�s�û.�� + 5�s�û.�� 5�.�� + 5�.�� I

+ H ü�û′.�� − ü�û′.�� ü�s� ′.�� − ü�s� ′.��−(§�s�′.�� − §�s�′.�� ) §�û′.�� − §�û′.�� I

+��

12 (ü� + ü�)>′.� 12 ×©�s� − ©�s�Ø >.�12 (ü�s� − ü�s�)>.� 12 (§� + §�)>′.� �� · ô ��õ = � ü�§′.� + ü�§′.�−(§�ü′.� + §�ü′.� )�

(2.219) teniendo en cuenta la notación siguiente


.�i = ⟨�ö, ℒð(��)⟩ ′.�i = ⟨�ö, �� × ℒð(��)⟩ û.�i = ⟨�ö, Ôð(��)⟩ û′.�i = ⟨�ö, �� × Ôð(��)⟩ ü.i = ⟨�ö, bii�d⟩ ü′.i = ⟨�ö, �� × bii�d⟩ §.�� = ⟨�ö, Òii�d⟩ §′.�� = ⟨�ö, �� × Òii�d⟩ >.� = ⟨�ö, �� × ��⟩ >′.� = ⟨�ö, ��⟩ (2.220) Para la formulación exhaustiva de los términos .�i y û.�i se recomienda revisar las

formulas desde la (2.143) hasta la (2.152). Para los términos ′.�i y û′.�i nos basaremos en la definición dada para ellos en las ecuaciones desde (2.111) hasta (2.113).

En cuanto a los demás términos solo será necesaria la sustitución del producto simétrico por su expresión (2.6).

Esta formulación nos permite el generar cualquier formulación tanto tangencial como normal con solo elegir los valores de ai, bi, ci y di adecuados. Por ejemplo para conseguir la CNF tendremos que elegir ©i = 0üi = 1§i = 15i = 0 (2.221)

Para la formulación CTF las constantes serían ©i = 1üi = 0§i = 05i = 1 (2.222) Y para la formulación que nos ocupa en este apartado, es decir una que combine la

formulación tangencial con la normal, tenemos que seleccionar las siguientes constantes. ©i = 1üi = 1§i = 15i = 1 (2.223)

53

Capítulo 3

APLICACIÓN DE LA FORMULACIÓN EN METAMATERIALES ZURDOS.

3.1. INTRODUCCIÓN A LOS METAMATERIALES ZURDOS

En 1968 V.G. Veselago postuló la existencia de un medio con valores de permitividad y permeabilidad negativos que produciría fenómenos inusuales al ser atravesados por una onda electromagnética [Veselago, 1968]. Entre estos fenómenos extraños se podría destacar que estos materiales artificiales tienen un índice de refracción negativo, lo que acarrea la existencia de ondas en las que la propagación de fase es opuesta al flujo de energía. En estos materiales, los vectores (fasores) eléctrico, magnético y de propagación forman un sistema invertido o zurdo, en contraposición al sistema generado por un material de constantes dieléctricas naturales. Por esta razón estos nuevos materiales pasaron a llamarse materiales levógiros (left-handed materials, LHM) distinguiéndolos de los medios dextrógiros (right-handed materials, RHM), que son aquellos que muestran un comportamiento natural, o dicho de otra forma cumplen la “regla de la mano derecha”.

Otros fenómenos electromagnéticos a destacar de estos materiales son, el comportamiento inverso de la ley de Snell-Descartes, al curvar el campo refractado en dirección opuesta a la experimentada en caso de que este campo atravesara un RHM, o el efecto Doppler contrario al comportamiento de un RHM.

Al no existir LHM de forma natural, esta hipótesis fue olvidada durante casi treinta años, hasta que en 1996 Pendry et al, describieron un tipo de material artificial que se comportaba con una permitividad eléctrica negativa [Pendry et al., 1998]. Posteriormente extendieron su estudio a un material que mostraba una permeabilidad negativa. A partir de estos trabajos, en 2000 Smith y su equipo sintetizaron el primer LHM [Shelby et al., 2001]. Este material construido artificialmente, o metamaterial, se usó para demostrar experimentalmente la refracción negativa a frecuencias de microondas, generando los sorprendentes resultados predichos con anterioridad por Veselago; el material curvó los campos electromagnéticos en la dirección opuesta a materiales normales. A partir de este desarrollo, la atención mostrada en este campo y por tanto los progresos obtenidos han avanzado a pasos agigantados, permitiendo el desarrollo de posibles aplicaciones en campos tan diversos como comunicaciones móviles, imágenes

54 Capítulo 3. Aplicación de la formulación para metamateriales zurdos

médicas, superlentes, cloaking (invisibilidad), diseño de antenas y otros muchos campos [Engheta & Ziolkowski, 2005].

Típicamente, un metamaterial con índice negativo, es una estructura artificial compuesta por la disposición de elementos de dispersión, por ejemplo hilos metálicos o resonadores, de pequeña dimensión comparados con la longitud de onda de interés. Debido a su composición estructurada es posible realizar simulaciones numéricas realistas analizando la red real de elementos microscópicos unitarios. No obstante, aunque estas estructuras de metamateriales son un medio intrínsecamente no homogéneo, exhiben unas propiedades genéricas que pueden ser caracterizadas por unos parámetros constitutivos macroscópicos efectivos. Existen varias técnicas de homogeneización para extraer los parámetros macroscópicos que han probado ser viables y robustas [Smith et al., 2002]

[Chen et al., 2004] [Smith & Pendry, 2006].

Una vez homogeneizados estos metamateriales, la forma más común de analizarlos consiste en usar una formulación basada en ecuaciones diferenciales, como el Método de Elementos Finitos (Finite Element Method, FEM) y el método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (Finite-Difference Time-Domain, FDTD) [Caloz, et al., 2001] [Kolinko & Smith, 2003] Sin embargo, como es sabido, estas formulaciones volumétricas se ven lastradas por la discretización del objeto y el espacio que lo rodea. Por lo tanto el número de incógnitas crece rápidamente con el tamaño del problema. Además, es bastante complicada la formulación de absorbentes eficientes y terminales resistivos para medios con índice negativo. Esto limita la aplicación de las simulaciones de LHM en casos grandes o en problemas de radiación en espacio abierto. En este trabajo, proponemos el uso de una formulación integral superficial (Surface Integral Equation, SIE) derivada de las ecuaciones de Maxwell, para describir y resolver problemas con LHM. Dado que solo las superficies del objeto a simular han de ser modeladas, este enfoque conlleva importantes ventajas para el análisis de materiales LHM grandes en términos de longitud de onda. Por último la formulación SIE no tiene el inconveniente de la terminación del problema, lo que permite su aplicación inmediata a problemas de radiación y dispersión en medios abiertos.

3.2. CONSIDERACIONES MATEMATICAS

Para poder aplicar la formulación descrita anteriormente, aparte del cálculo de los parámetros constitutivos macroscópicos efectivos usando las técnicas indicadas de homogeneización indicadas anteriormente, hay que tener especial cuidado a la hora de usar estos parámetros a la hora de definir los parámetros electromagnéticos y propiedades del material.

Concretamente, según [Ziolkowski & Heyman, 2001], si una región Rl con permitividad ε y permeabilidad µ define un medio levógiro, o zurdo, debemos aplicar la formulación siguiente para el cálculo de la impedancia intrínseca del medio, así como para el numero de onda.

3.3 Resultados de la simulación 55

) = *+u +v = (3.1) siendo esta expresión válida para cualquier tipo de material con valores µ y ε cualesquiera, nótese que la expresión comúnmente aceptada para el cálculo del número de onda no es validad para materiales con valores negativos. Al ser µ y ε negativos en el caso que nos ocupa, para calcular el número de onda despejaremos de la siguiente forma

) = * · ß+−|u |à ß+−|v |à

) = * · ßx+|u |à ßx+|v |à (3.2) y despejando la constante compleja j obtenemos

) = −* ·+|u |+|v | (3.3) Usando un procedimiento similar para la impedancia intrínseca del medio, y partiendo

de la expresión comúnmente conocida de esta podemos determinar la expresión válida para materiales zurdos.

s = ,u v ⇒ +u +v (3.4) Evidentemente este cambio no afecta a la solución de la expresión, para un caso en el

que los parámetros constitutivos sean positivos. Si son negativos la expresión resultante se evaluaría como

s = +u +v = +−|u |+−|v | = x+|u |x+|v | = +|u |+|v | = ,u v (3.5) Luego para el caso de la impedancia intrínseca, con un material doble negativo, basta

con usar la expresión conocida de la impedancia intrínseca del medio.

3.3. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN

Para demostrar la valided y la aplicabilidad de la formulación propuesta hemos considerado introducir en este apartado dos ejemplos comunes de la literatura de metamateriales zurdos, que verifican el comportamiento extraordinario de estos LHM


El primero de estos experimentos será la validación de la ley de Snell-Descartes, que consigue demostrar el ángulo negativo de refracción. El método usual para demostrarlo es determinar el ángulo refractado de una onda incidente interactuando con un prisma

compuesto por un metamaterial zurdo. Consideraremos un prisma de dimensiones 10λ0 de

alto, 10λ0 de profundidad y 4λ0 de fondo en la dimensión mayor, siendo λ0 la longitud de onda en el espacio libre que rodea al material. El ángulo de la superficie posterior es de 8º. Se incide sobre el prisma con un haz gausiano cuasi-plano en la superficie derecha del prisma. El campo eléctrico tiene polarización horizontal.

La Figura 3. 1 (a) muestra la intensidad de campo eléctrico calculada para el experimento descrito anteriormente, considerando un índice de refracción de n≈-1. El problema ha sido resuelto usando la formulación SIE-MoM con más de 40.000 incognitas para las densidades de corrientes eléctrica y magnética inducida en la superficie del prisma, una vez calculadas estas corrientes han sido calculadas, todos los otros parámetros de interés, como la distribución de campo cercano o de campo lejano, puede ser calculados directamente a partir de ellas.

Si observamos la distribución de campo de la Figura 3. 1 (a) el ángulo negativo de refracción debido al prisma LHM se observa con claridad, el haz se curva en el sentido contrario (es decir, hacia el mismo lado que la onda incidente respecto a la normal). Además no se observan efectos de reflexión ya que la impedancia del prisma LHM está adaptada al espacio libre.

En la Figura 3. 2 se muestra el patrón angular del campo de la onda refractada a una distancia de 20λ0 del prisma (en rojo para el caso de LHM). Se observa que el pico de refracción se encuentra en 196º, que corresponde con 8º de la normal de la superficie. Esto es exactamente igual (y opuesto) al ángulo de incidencia en esta superficie, como se esperaba por la ley de Snell-Descartes para un n=-1 (el ángulo predicho por la ley de Snell-Descartes se muestra en una línea roja discontinua).

Para introducir una comparativa en la Figura 3. 1 se muestra el experimento realizado sobre el mismo prisma descrito anteriormente, pero esta vez compuesto por un material convencional (hemos considerado Teflón, con εr=2.2 and µr=1). En este caso, la refracción se obtiene en dirección positiva, como era de esperar. El pico de refracción se ocurre a 176,834º, correspondiéndose con un ángulo de 11,166º respecto a la superficie, que se aproxima al ángulo predicho por la ley de Snell-Descartes para un índice de refracción n = 1.483 (la predicción se muestra en una línea punteada azul). Hay que destacar que en este caso, el prisma no está adaptado, lo que provoca los artefactos normales debidos a ondas reflejadas en la superficie.

3.3 Resultados de la simulación 57

Figura 3. 1 (a) Corte horizontal de un haz gausiano incidente (de derecha a izquierda) refractado con un ángulo negativo por un prisma 3D LHM adaptado en impedancia con εr≈-1 and μr=-1 . (b) Refracción positiva de un prima de material convencional con εr=2.2 and μr=1.

Figura 3. 2 Patrón angular de la refracción a 20λ0 del prisma. En rojo la refracción del prisma LHM. En azul se muestra la refracción del prisma RHM. Las líneas de puntos, tanto azul como roja, muestran el ángulo teórico predicho por la ley de Snell-Descartes. Mostramos a continuación una aplicación potencial de los LHM. El ejemplo consiste

en el uso de un bloque de LHM comportándose como una lente que focaliza un haz gausiano divergente. La idea de usar un bloque plano de LHM para construir una lente “perfecta” fue postulada teóricamente por primera vez en un trabajo elaborado por [Pendry et al., 2000].


Figura 3. 3 Frame de la intensidad de campo eléctrico predicho por MoM para un haz gausiano divergente incidiendo de forma normal en un bloque 3D de LHM con n≈-1. Se puede observar como el haz divergente se focaliza en la parte posterior de la superficie. En la Figura 3. 3, se muestra una simulación monocromática mediante el método de los

momentos del efecto focalizador para un paralelepípedo tridimensional de LHM con un índice de refracción n=-1.095. Supondremos un haz gausiano fuertemente divergente con el fin de determinar si esta pieza puede enfocar el haz. El material LHM tiene unas

dimensiones de 2λ0 de profundidad, 10λ0 de altura y 10λ0 de ancho, siendo λ0 la longitud de onda de simulación en el espacio libre que rodea el objeto a simular. Huelga decir que estas dimensiones se han tomado de forma arbitraria, pero de acorde con el ancho de haz en la superficie de recepción del material. La interfaz de la pieza de LHM se ha sobreimpresionado en la imagen para ayudar a la comprensión de la figura.

Si se observa la Figura 3. 3, puede comprobarse claramente que el cuboide simulado gira la dirección de propagación hacia el propio eje del haz. Esto se debe al índice de refracción negativo que presenta este LHM, que a su vez causa un comportamiento negativo en el cumplimiento de la ley de Snell-Descartes. Por lo tanto, la pieza simulada se comporta como una lente que focaliza el haz divergente en la parte posterior de la superficie. Una sucesión de frames del campo eléctrico calculado (obviamente no mostrados en este documento) demuestran también que la propagación de fase dentro del LHM se invierte, y es opuesta a la dirección del flujo de potencia. De hecho esta es una característica única de los materiales levógiros.

59

Capítulo 4

Conclusiones y líneas futuras

En el trabajo expuesto, hemos demostrado la posibilidad de simular metamateriales levógiros usando formulación SIE, lo que constituye una resolución novedosa para este tipo de problemas. Estas técnicas pueden ser aplicadas exitosamente en problemas de radiación y dispersión sobre muestras de LHM de gran tamaño en espacios no cerrados al no verse lastrada por el problema de la discretización del espacio que engloba al problema y ni del problema de las condiciones de terminación del problema.

Finalmente, es necesario destacar que los resultados mostrados en este trabajo fueron obtenidos “naturalmente”, es decir, sin forzar ninguna condición a priori en la física del problema, o en la propagación en el interior del metamaterial (excepto, claro está, la selección adecuada de la permetibilidad y permeabilidad).

Este trabajo se completará con el desarrollo de la formulación para múltiples objetos penetrables arbitrarios, lo que nos permitirá analizar objetos de mayor complejidad.

Uno de los estudios que se plantean, con el desarrollo de esta nueva formulación, es el estudio de antenas a frecuencias de THz y ópticas, teniendo en cuenta el comportamiento plasmónico de los materiales conductores a tan alta frecuencia.

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Documents

Formulaciones integrales superficiales para el análisis de objetos conductores y penetrables arbitrarios