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marlexir
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Sean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.En adelante, escribiremos u y v. Entendamos que esto no es ms que un abuso de notacin con el fin de simplificar la misma. Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la funcin lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raz cuadrada
Derivada de una raz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una funcin
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una funcin
Derivada de un cociente
Derivada de la funcin exponencial
Derivada de la funcin exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como , tambin se puede expresar as:
Derivada con logaritmo neperiano
Derivada de la funcin seno
Derivada de la funcin coseno
Derivada de la funcin tangente
Derivada de la funcin cotangente
Derivada de la funcin secante
Derivada de la funcin cosecante
Derivada de la funcin arcoseno
Derivada de la funcin arcocoseno
Derivada de la funcin arcotangente
Derivada de la funcin arcocotangente
Derivada de la funcin arcosecante
Derivada de la funcin arcocosecante
Regla de la cadena
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces
En la prctica, para derivar una funcin y=f(x) a partir de su funcin inversa, podemos seguir los siguientes pasos:1. Buscamos la funcin inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).2. Hacemos x' = g'(y).3. Usando lo anterior, y'=1/x'.4. Sustituimos x' por g'(y) y operamos.5. Por ltimo sustituimos x por g(y) y habremos acabado.Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta frmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:....Ejemplo Derivar tomando logaritmos:
Ejemplo Derivar tomando logaritmos:
Si derivamos la derivada de una funcin, derivada primera, obtenemos una nueva funcin que se llama derivada segunda, f''(x).Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y as sucesivamente.Ejemplo Calcula las derivadas 1, 2, 3 y 4 de:
Funciones implcitasUna correspondencia o una funcin est definida en forma implcita cuando no aparece despejada la y sino que la relacin entre x e y viene dada por una ecuacin de dos incgnitas cuyo segundo miembro es cero.Derivadas de funciones implcitasPara hallar la derivada en forma implcita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:x'=1. En general y'1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.Ejemplos Derivar las funciones:1.
2.
Cuando las funciones son ms complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el clculo:
Ejemplo