APLICACIONES DEL SISTEMA RADIAL1. LONGITUD DE ARCO.- Es la magnitud o medida de un arco expresado en unidades lineales (m, cm, km, plg, )

ABLrrorad

: ngulo central en radianes r : Radio de la circunferencia. Se cumple: Nota: la ecuacin es vlida si el ngulo est expresado en radianes.

2. REA DE UN SECTOR CIRCULAR

ABLrrorad ...(1) Ademas: (2) (3)Nota: Las formulas 1, 2 y 3 funcionan cuando

3. OTRAS APLICACIONES:A. ABLrCuando una rueda (Disco, arco,) gira o va rodando sobre una superficie plana, desde el punto A hasta el punto B.

n: Nmero de vueltasL: Espacio recorridor: radio del discoDonde:

B. rLABRRRABLrrCuando la rueda(Disco, arco,) gira o va rodando sobre una superficie curva, se presentan dos casos:

n: Nmero de vueltas: ngulo en radianesR: Radio de la superficie curvar: radio del disco Donde:

C. Cuando se tiene ruedas (Discos, engranajes,) unidos mediante una faja tangencial o estn en contacto.

r1r2r1r2

r1r2

Fig. 01Fig. 02 Fig. 03Entonces se cumple que: n1.r1 = n2.r2 1.r1 = 2.r2Donde: 1 y n1 : nmero de radianes del ngulo de giro y nmero de vueltas de la rueda de radio r1 2 y n2 : nmero de radianes del ngulo de giro y nmero de vueltas de la rueda de radio r2

D. r1r2r1r2Cuando se tienen ruedas (Discos, engranajes, ) unidos por sus centros.

1 = 2 n1 = n2 RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO.RAZON TRIGONOMTRICA (R.T)

ABCabcCateto opuesto a Cateto adyacente a HipotenusaLa razn trigonomtrica de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del tringulo rectngulo con respecto al ngulo agudo. En el tringulo rectngulo tenemos:

SOHCAHTOA

RAZONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS

ABCabc

El producto de las razones trigonomtricas recprocas es siempre igual a la unidad

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS

Si + = 90 y son complementarios. Si seno es una R.T, entonces coseno es su (CO R.T) Si tg es una R.T, entonces ctg es su (CO R.T). Si sec es una R.T, entonces Csc es su (CO R.T).

c2 = a2 + b2Toda razn trigonomtrica de un ngulo es igual a su co razn trigonomtrica del complemento de dicho ngulo.

ABCabcSi + = 90 R.T(ngulo ) = Co R.T (ngulo )

R. T. DE LOS NGULOS NOTABLES

4545kkk6030kk2k53374k3k5k741624k7k25k828k10k7k75152 +175154223011+.673037/2kk3kk53/2k2kTringulos notables

CUADRO DE RESMEN DE LAS R. T. DE LOS NGULOS NOTABLES

453060375316748821575

Sen

Cos

Tg1

7

Ctg1

7

Sec

2

5

Csc

2

5

6Prof. Stnler Irigon Vsquez Cel: (042) 9795581 976705500

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN POSISION NORMAL1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

XXYYIICICIIICIVCOCuando dos rectas orientadas se cortan perpendicularmente, dividen al plano en cuatro partes iguales, cada una de las cuales se llaman cuadrante.

O: OrigenX o X : Eje de las abscisasY o Y: Eje de las ordenadasOX, OY: PositivasOX, OY: Negativos 2. ANGULO EN POSICIN NORMALSe denomina de esta manera a aquellos ngulos trigonomtricos cuyo lado inicial pertenece al semieje positivo de abscisas y su vrtice coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares (su lado final se encuentra en cualquier parte del plano9. En la figura adjunta son ngulos que estn en posicin normal (tambin se dice que estn en posicin cannica).

YX

2.1. ngulos cuadrantales:Son aquellos ngulos en posicin normal cuyo lado final pertenece a algunos de los semiejes del sistema de coordenadas rectangulares.El las figuras siguientes se muestran algunos cuadrantales (y su medida en el sistema sexagesimal)

450-18090

El conjunto de ngulos cuadrantales se puede representar de la siguiente manera:

En el sistema sexagesimal :Por extensin:

Por comprensin:

En el sistema radical:Por extensin:

Por comprensin:

3. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS EN POSICIN NORMAL :Sea que esta en posicion NORMAL si p(x,y) es un punto que pertenecea su lado final entonces las razones trigonometricas de se define de la siguiente manera :

YXP(x; y)

3.1. Signos de las razones trigonomtricas:Todas las seoritas toman caf

ICIICIIICIVC

Sen y csc ++

Cos y sec + +

Tg y ctg ++

3.2. ngulos coterminales

YX(x; y)Sabemos que los ngulos coterminales tienen los mismos elementos y que su diferencia es un nmero entero de vueltas. Si dichos ngulos estn en posicin normal ( y ver figura). Se cumple la siguiente propiedad:

las razones trigonomtricas de dos o mas ngulos coterminales son respectivamente iguales.

= = tan = sec

= cos =ctg = csc

Sabemos que todos los ngulos coterminales con se representan as: + n (360) , n z + m (2) , m z.Entonces se cumple que:R.T. () = R.T. R.T. () = R.T.

3.3. Razones Trigonomtricas De ngulos Negativos :En este punto vamos a comparar las razones trigonomtricas de -. Para esto graficamos dichos ngulos en un mismo plano; en la figura adjunta se ha considerado que I C por lo tanto (-) IV C.Sabemos que:

a) = ; ; = De igual manera se deduce:b) sin(-) = ; cos(-) = ; (-) = Comparando (a) y (b) se deduce:

Sin (-) = - ; cos(-) = , (-) = ; (-) = ; (-) = ; (-) =

3.4. Razones Trigonomtricas De ngulos Notables.Ya se estudio las razones trigonomtricas de angulos notables (30 , 45 , 60) pero como se puede ver todos ellos son angulos , ahora se consideraran otros angulos que estn relacionados con aquellos.a) Por ejemplo, calcular: sen 150, cos 150, tg150.b) Calcular : sen 225 , cos 225 , tg 225c) Calcular : sen 300 , cos 300 , tg 300

4. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA Se denomina de esta manera a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y cuyo radio tiene como longitud la unidad. Sus elementos son:

yxAABB1P(x, y)O

O(O,O) : origen A(1,O) : origen de arcos B(O,1) : origen de complementos A(-1,O) : origen de suplementos B(O,-1) : sin nombre especial P: extremo del arco AP Ecuacin de la circunferencia trigonomtrica: x2 + y2 = 1

Tener en cuenta que si giramos en sentido antihorario los ngulos (arcos) son positivos y negativos en caso contrario.

5. LNEAS TRIGONOMTRICAS Son representaciones grficas de las R.T. en un crculo trigonomtrico. En un C.T. se consideran seis ejes trigonomtricos.

Eje de los Senos.- Dimetro BB que contiene al origen de los complementos.Eje de los Cosenos.-Dimetro AA que contiene al origen del C.T.Eje de los Tangentes.-Tangente geomtrico que pasa por el origen del C.T.: ATEje de las Cotangentes.-Tangente geomtrico que pasa por el origen de los complementos.Eje de las Secantes.-Recta que contiene al eje de los Cosenos: AX.Eje de las Cosecantes.-Recta que contiene al eje de los Senos: BYEstos ejes, as como las rectas contenidas en estos ejes, son positivos de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.

REPRESENTACIN LINEAL DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

SENO.- Perpendicular trazada del extremo del arco al eje de las abscisas: MP.

COSENO.- Distancia comprendida entre el centro del arco y el pie del Seno: OM.

TANGENTE.- Parte de la Tangente geomtrica, comprendida entre el origen del arco y la interseccin con la prolongacin del radio que pasa por el extremo del arco: ATCOTANGENTE.- Tangente del arco complementario: BR

SECANTE.- Parte del eje de las abscisas, comprendida entre el centro del crculo y su interseccin con la Tangente trazada en el extremo de arco: OS.

COSECANTE.- Parte del eje de las ordenadas, comprendida entre el eje del crculo y su interseccin con la Tangente trazada del extremo del arco: OS.

Tracemos, como ejemplo, la representacin lineal en el tercer cuadrante:

6. Razones trigonomtricas de ngulos cuadrantales090180270360

2k(4k + 1) (2k + 1)(4k + 3)(2k + 2)

Sen 010-10

Cos10-101

Tg000

Ctg00

Sec1-11

csc1-1

DE TU ESFUERSO DE HOY DEPENDE TU FUTURO