FORMULARIO DE TRIGONOMETRIA (Reparado).docx

I.E.S. COMERCIO Nº 32 “MHC” AURELIO JAÑO C.

I) FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA

1. Sistemas de medición angular.

Sistema Una vuelta Equivalencias

Sexagesimal

(S)360º 1º = 60 ’ 1 ’ = 60 ” 1º = 3600 ”

Centesimal

(C)400 g 1 g = 100 m 1 m = 100 s 1 g = 10000 s

Radial

(R)2π rad

1 Rad = ángulo central cuyo arco es igual a

su r

2. Ángulos coterminales

α y β son coterminales si:

Donde:

n ∈ Ζ 3. Longitud de arco y sector circular

4. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

2

L = Longitud de arco

A s = Área del sector circular

θ = Ángulo central (en Rad)

R = Radio mayor

r = Radio menor

Tc = Área del trapecio circular

B

a

C

c

bA

S: α − β = n (360 º )

C: α − β = n (400 g )

R:

L = θ r

A 5 =θ r2

2= L r

2= L2

2 θ

T c = [ L1 + L2

2 ] (R − r )

180 ° = 200 g = π

90 ° = 100 g= π2

270 ° = 300 g= 3 π2

180 ° = 200 g = π

Sen A = cateto opuestohipotenusa

= ac

Cos A = cateto adyacentehipotenusa

= bc

Tg A = cateto opuestocateto adyacente

= ab

¿ zvzv…?

TRIGONOMETRÍA FORMULARIO

5. Razones Trigonométricas Recíprocas.

6. Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

7. Triángulo Pitagórico.

Donde: m , n ε Ζ+ m > n

8. Razones trigonométricas de triángulos notables

a) Con valores exactos.

3

B

a

C

c

bA

2 mn

(m2 - n2)

(m2 + n2)

1

1

√245 º

45 º

1 67 º 30’

22 º 30’

√4 + 2 √2

√2 + 1

60 º

30 º

√3

12

B

a

C

c

bA

Sen A = cateto opuestohipotenusa

= ac

Cos A = cateto adyacentehipotenusa

= bc

Tg A = cateto opuestocateto adyacente

= ab

Sen A . Csc A = 1Cos A . Sec A = 1 Tg A . Ctg A = 1

Sen A = Cos BTg A = Ctg BSec A = Csc B

75 º

7

5 √21


b) Con valores aproximados.

c) Tabla resumen R.T.

Sen Cos Tg Ctg Sec Csc

8º10

2 7√210

17

75√2

7 5 √2 82º

14º √1717

4 √1717

14

4 √174 √17 76º

15º √6 − √24

√6 + √24

2 − √3 2 + √3 √6 − √2 √6 + √2 75º

16º7

252425

724

247

2524

257

74º

18º √5 − 14

√10 + 2√54

√25 − 10√55 √5 + 2√5 √50 − 10√5

5 √5 + 1 72º

4

2 + √3

15 º

3

√101 71 º 30’

18 º 30’

2

√51 63 º 30’

26 º 30’

√6 + √2172º

5

√343

59 º

31º

4

53

53 º

37 º

24

25

774 º

16 º

15

17

8 62 º

28 º

82 º

8 º

4

√5− 118º

√10 + 2 √5

72 º

4

√171

76 º

14 º


R.T.Sen Cos Tg Ctg Sec Csc

18º 30’ √1010

3√1010

13

3 √103 √10

71º 30’

22º 30’ √2−√22

√2 +√22 √2− 1 √2 + √2 √2 √2−√2 √2 √2+√2

67º 30’

26º 30’ √55

2√55

12

2 √52

563º 30’

28º8

171517

815

158

1715

178

62º

30º12

√32

√33 √3

2√33

2 60º

31º3√3434

5√3434

35

53

√345

√343

59º

37º35

45

34

43

54

53

53º

45º √22

√22

1 1 √2 √2 45º

Cos Sen Ctg Tg Csc Sec R.T.

9. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

5

Y

X

P (x,y)

rαyx

Sen α = ordenada de Pradio vector

= yr

Cos α = abscisa de Pradio vector

= xr

Tg α = ordenada de Pabscisa de P

= yx

Ctg α = abscisa de Pordenada de P

= xy

Sec α = radio vectorabscisa de P

= rx

Csc α = radio vectorordenada de P

= ry

Coordenadas(x,y)

Las R.T. de la parte inferior se leen con los ángulos de la columna

derecha


10. Signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.

11. Variación de los valores de las razones trigonométricas.

a) −1 ≤ ¿ ( sen α ¿ ) ¿

¿¿

b) − α < ¿ ( tg α ¿ ) ¿

¿¿

c)

(sec α ¿ )¿¿

¿¿

12. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

ÁNGULO R.T. 90º =

π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

= 0º

6

-1 1

+ - - 11

-

- +

+ 1

-1

+

+ Cos Sec

+ Sen Csc0º

360º180º

270º

90º

CV

T

S P

+ Tg Ctg

Cuadrante R.T. I II III IV

Seno + + - -Coseno + - - +Tangente + - + -Cotangente + - + -Secante + - - +Cosecante + + - -


Seno 1 0 - 1 0

Coseno 0 - 1 0 1

Tangente Indef. 0 Indef. 0

Cotangente 0 Indef. 0 Indef.

Secante Indef. - 1 Indef. 1

Cosecante 1 Indef. - 1 Indef.

13. Razones trigonométricas de ángulos negativos.

14. Identidades trigonométricas fundamentales:

a) Recíprocas.

7

¿Por qué no cambiansus signos?

Sen α = 1Csc α

Tg α = 1Ctg α

…

Sen (- ) = - Sen

Cos (- ) = Cos

Tg (- ) = - Tg

Ctg (- ) = - Ctg

Sec (- ) = Sec

Csc (- ) = - Csc

Sen csc 1 Tg ctg 1Cos sec 1


b) Por división.

c) Pitagóricas.

Sen 2 1 - cos 2

Sec 2 1 + tg 2

Csc 2 1 + ctg 2

d) Identidades auxiliares.

15. Funciones trigonométricas. de la suma o diferencia de dos ángulos.

16. Funciones trigonométricas del ángulo doble.

8

sen 2 α = 2 sen α cos α

cos 2 α = cos2 α − sen2 α

= 1− 2 sen2 α¿ 2 cos2 α − 1

tg α = sen αcos α

ctg α = cos αsen α

Sen 2 + cos 2 1

Sec 2 - tg 2 1

Csc 2 - ctg 2 1

Sen 4 + Cos 4 1 - 2 Sen 2 Sos 2

Sen 6 + Cos 6 1 - 3 Sen 2 Cos 2

Tg + Ctg Sec Csc

Sec 2 + Csc 2 Sec 2 Csc 2

1 Sen Cos 2 2 (1 Sen ) (1 Cos

)

sen (α ± β ) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α ± β ) = cos α cos β − sen α sen β

tg (α ± β ) = tg α ± tg β1 ∓ tg α tg β

ctg (α ± β ) = ctg α ctg β ∓ 1ctg β + ctg α

2 + tg

1 – tg 2

1 + tg 2


17.Funciones trigonométricas del ángulo triple.

Fórmulas Especiales: Fórmulas de Degradación:

Propiedades:

18. Funciones trigonométricas del ángulo mitad.

9

sen 2 α = 2 sen α cos α

cos 2 α = cos2 α − sen2 α

= 1− 2 sen2 α¿ 2 cos2 α − 1

Cot θ+Tgθ=2Csc 2θCot θ−Tgθ=2Cot 2θ

Sen4 θ+Cos4θ=34+ 1

4Cos4θ

Sen6θ+Cos6 θ=58+3

8Cos4θ

OTRAS IDENTIDADES

sen 3 α = 3 sen α − 4 sen 3 α

cos3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α

tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α1 − 3 tg 2 α

cos 3 αcos α

= 2 cos 2α − 1

ctg 3 α = 3 ctg α − ctg 3 α1− 3 ctg 2 α

sen 3 αsen α

= 2 cos2 α + 1

Sen 3x=Sen x (2 Cos 2 x+1 )Cos 3 x=Cos x (2 Cos 2x−1 )

4 Sen3 x=3 Sen x−Sen 3x4 Cos3 x=3 Cos x+Cos x

4 Sen x Sen (60 °−x ) Sen (60 °+ x ) = Sen 3 x4 Cos x Cos (60 °−x ) Cos (60°+ x ) = Cos 3Tg x Tg (60 °−x ) Tg (60°+ x ) =Tg 3 x

Memorizaré


19. Transformaciones trigonométricas

a) De suma o diferencia a producto

b) De producto a suma o diferencia.

20. Reducción al primer cuadrante.

De II I De III I De IV I

10

sen (α2 ) =± √ 1 − cos α2

cos (α2 ) = ± √ 1 + cos α2

tg (α2 ) = csc α − ctg α

tg (α2 ) = ± √ 1− cos α1 + cos α

ctg (α2 ) = csc α + ctg α

ctg (α2 ) =± √ 1 + cos α1− cos α

sen X + sen Y = 2 sen ( x + y2 ) cos ( x − y

2 )

sen X − sen Y = 2 cos ( x + y2 ) sen ( x − y

2 )cos X + cos Y = 2 cos ( x + y

2 ) cos ( x − y2 )

cos Y − cos X = 2 sen ( x + y2 ) sen ( x − y

2 )2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A –

B)

2 cos A sen B = sen (A + B) - sen (A –

B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A –

B)

α180º - α

α

2 -


F.T. () = F.T. (180º - ) F.T. () = F.T. ( - 180º) F.T. () = (360º - )

(Al segundo miembro asigna (+) ó (-) según el cuadrante en que se encuentra el lado terminal del ángulo)

21. Funciones trigonométricas de la forma (ángulo cuadrante )

F.T. [ (2n + 1) 90º ] = Co - F.T. ( )

F.T. [ (2n) 90º ] = F.T. ( )

22.Sumatoria de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética

Si: P Primer ángulo

U último ángulon número de términosr razón de la P.A.

sen2º + sen4º + sen6º + sen8º + ……….… + sen46º + sen48º

= ∑k=1

24

sen (2k )° =

sen (24 . 2 º2 )

sen (2 º2 )

sen( 2 º+48 º

2 )= sen 24 ºsen 1 º

sen 25 º

11

y

x

[-90°]

[-270°]

[-180°]3/2 - 3/2 +

/2 - /2 +

- +

Donde: ( n Z ),

0 º < α < 90º

α – 180ºα

360º - α

[-360°]

Sumatoria de senossen + sen( + r) + sen( + 2r) + ... +sen( + (n-1)r) =

sennr2

senr2

cos(P+U2 )

Sumatoria de cosenoscos + cos( + r) + cos( + 2r) + .. + cos( + (n – 1)r) =

cosnr2

cosr2

cos( P+U2 )

Análisis del seno ( y = Sen x )

a) La curva sinodal es continua sobre el eje “x”

(en todo su dominio).

b) Extensión:

* Dominio: R <- + >

* Rango: [-1; 1] -1 Sen x 1

* Período (T = 2) Sen x = Sen (x+2)

* Frec. Angular (w) w = 2π

T

c) Variación:

IQ (0 1)IIQ (1 0)

IIIQ (0 -1) IVQ (-1 0)


n =

tn−t1

r+1 ⇒ n=48−2

2+1 ⇒ n=24

Cos4º + cos8º + cos12º + … + cos44º + cos48º

= ∑k = 1

12

sen (4 k )° =

sen (12 . 4 º2 )

sen( 4 º2 ) cos

( 4 º+48 º2 )

= sen 24 ºsen 2º

. cos26 º

n = 48−4

4+1 ⇒ n=12

Observación:

∑i=1

n

Sec 3 i x = sec2x + sec6x + sec9x + ... + sec3nx

∑i =1

n1

1+Sen (ix ) =

11+sen x

+ 11+sen 2 x

+ 11+sen 3x

+..+ 11+sen nx

Propiedades

cos

πn + cos

3πn + cos

5πn + ... + cos

(n−2)πn =

12

cos

2πn + cos

4 πn + cos

6πn + ... + cos

(n−1)πn = -

12

n Z+ ; impar > 1

23. Gráfica de funciones trigonométricas

a) (seno - cosecante)

12

y = Cscx

y = Senx X

Y

-1

0

1

Análisis del coseno ( y = Cos x )

a. La curva cosenoidal es continua sobre el eje “x”

(en todo su dominio).

b. Extensión:

* Dominio: R <- + >

* Rango: [-1; 1] -1 Cos x 1

* Periodo (T = 2) Cos x = Cos (x+2)

* Frec. Angular (w) w= 2π

T=2 π f (w = )

c. Variación:

IQ (1 0)IIQ (0 -1)

IIIQ (-1 0) IVQ (0 1)


b) (coseno - secante)

c) (tangente -

cotangente)

24.Funciones auxiliares:

Función Verso de Vers α = 1 − Cos α

13

y = Secx

y = Cosx

X

Y

-1

0

1

y = Tgx

y = Ctgx

X

Y

-1

0

1

Análisis de la tangente (y = Tgx)

b) La curva tangente es discontinua

sobre el eje “x” (en su dominio) en:

{π2

,3π2

,5 π2

, .. .(2n−1) π

2/ (n∈Z )}

c) Extensión:

* Dominio: {R−

(2n−1)π2

/(n∈Z )}

* Rango: R ó <- ; + > - < Tg x <+

* Período (T = ) Tg x = Tg (x+)

* Frec. Angular (w) w =2π

T=2 π f (w = )

d) Variación:

IQ (0 +) IIQ (- 0)

IIIQ (0 +) IVQ (- 0)

F(x) = y = Tg x

0

y


Función Coverso de Cov α = 1 − Sen α

Función Ex Secante de Ex Sec α = Sec α − 1

25. Funciones trigonométricas inversas

a) Función Seno inverso b) Función coseno

inverso

c) Función Tangente Inversa d) Función Cotangente Inversa

e) Función Secante Inversa f) Función Cosecante Inversa

14

Si, sen x = a → x = sen - 1 a x = arc sen a

Asíntota

Asíntota

y

x0

y

xAsíntota

y

0

0

x

π

1-1

Asíntota

1

x-1

0

xAsíntota

y

-1

1

y

0-1

1x

π2

π2

− π2

ππ2 π

2−π

2

π2

π2

π

− π2


g) Dominio y rango

h)

Propiedades

1) F.T.[Arc F.T.(x)] = x x Dom. (Arc F.T.)

2) Arc F.T.[F.T.()] = Ran. (Arc F.T.)

3) a) ArcF.T.(x) + Arc C.F.T.(x), Si x 0 y x Dom. (Arc F.T.)

b) Arc Sen x + Arc Cos x =

π2 -1 x 1

c) Arc Tg x + Arc Ctg x = + π

2 x < 0

d) Arc Sec x + Arc Csc x =

π2 -1 x 1

4) a) Arc Sen (- x) = -Arc Sen x x [ - 1 ; 1 ]

b) Arc Cos (-x) = - Arc Cos x x [ - 1 ; 1 ]

c) Arc Tg (-x) = - Arc Tg x x R

d) Arc Ctg (-x) = - Arc Ctg x x R

e) Arc Sec (-x) = -Arc Sec x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩

f) Arc Csc (-x) = - Arc Csc x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩

5) a) Arc Sen x = Arc Csc

1x x [ - 1 ; 1 ] – { 0 }

15

FUNCIÓN DOMINIO RANGO

y = Arc Sen x [ - 1; 1 ] [−π2

;π2 ]

y = Arc Cos x [ - 1; 1 ] [ 0; ]

y = Arc Tg x ⟨−α ; α ⟩ ⟨−π2;

π2⟩

y = Arc Ctg x ⟨−α ; α ⟩ [−π2

;π2 ]

y = Arc Sec x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩ [ 0 ; ] - { / 2 }

y = Arc Csc x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩ [−π2

;π2 ]−{0}


b) Arc Cos x = Arc Sec

1x x [ - 1 ; 1 ] – { 0 }

c) Arc Tg x = Arc Ctg

1x x ⟨0 ; α ⟩

d) Arc Tg x = Arc Ctg

1x - x ⟨−α ; 0 ⟩

e) Arc Ctg x = Arc Tg

1x x ⟨0 ; α ⟩

f) Arc Ctg x = +ArcTg

1x x ⟨−α ; 0 ⟩

g) Arc Sec x = Arc Cos

1x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩

h) Arc Csc x = Arc Sen

1x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩

6) i) Arc Senx Arc Seny = Arc Sen [ x √1− y2 ± y √1−x2] ii) Arc Cosx Arc Cosy=Arc Cos [ x y ∓ x √(1−x2 )(1− y2) ]

iii) Arc Tgx Arc Ctgy = Arc Tg [ x± y1∓xy ]

* Estas fórmulas son válidas siempre que la suma o la

diferencia pertenezca al rango de la inversa respectiva.

26.Ecuaciones trigonométricas

a) Ecuaciones elementales:a) Soluciones básicas (S.B) b) Sea F.T. (kx) = # Real, Cuyo Período = T Las S. B. [ 0 ; T

b) Ecuaciones Estándares:1) Sen x = a -1 a 1 xP = Arc Sen a xG = k + (-1) K, xP ; ( k Z)

2) Cos x = a -1 a 1 xP = Arc Cos a xG = 2k xP; ( k Z )

16

Donde: xP: (Solución principal) xG: (Solución general).


3) Tg x = a - a + xP = Arc Ctg a xG = k + xP; ( k Z )

4) Ctg x = a - a + xP = Arc Ctg a xG = k + xP; ( k Z )5) Sec x = a -1 a 1 xP = Arc Sec a xG = 2k xP; ( k Z )

6) Csc x = a -1 a 1 xP = Arc Csc a xG = k + (-1)K, xP; ( k

27. Resolución de triángulos de oblicuángulos

a) Ley de Senos (Ley de Briggs)

b) Ley de Cosenos (Ley de Carmot)

c) Ley de Tangente (Ley de Nepper)

17

rb

a

C

B

A

c

a−ba+b

=tg ( A−B

2 )tg ( A+B

2 )

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc Cos Ab 2 = a 2 + -c 2 – 2ac Cos Bc 2 = a 2 + b 2 – 2ab Cos C

Además:

Cos A = b2+c2−a2

2bc

Cos B = a2+c2−b2

2ac

Cos C = a2+b2−c2

2ab

bCA

B

ac

bCA

B

ac

aSenA

= bSenB

= cSenC

=2 r

Sen A

b=2 rSen B c=2 r Sen C


(Análogamente se cumple para los demás lados y ángulos)

d) Ley de Proyecciones

e) Fórmulas de Briggs

sen ( A2 ) = ± √ ( p − b) ( p − c )bc

cos ( A2 ) =± √ p ( p − a )bc

tg ( A2 ) = ± √ ( p − b ) ( p − c )p ( p − a )

f) Área de región triangular

S = √( p−a )( p−b )( p−c )

p = semiperímetro

18

a = b cos C + c cos Bb = a cos C + c cos Ac = a cos B + b cos A

bCA

B

ac

bCA

B

ac

“La matemática es la piedra angular de la ciencia” La Place

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