Formulario Final Concreto Armado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

FORMULARIO DE:

CONCRETO ARMADO I y II

Autor: Johan Solis Pinto

AREQUIPA

ENERO – 2011

El siguiente formulario contiene todas las fórmulas, recomendaciones, procedimientos para el diseño en concreto Armado dados por la Norma E-060 del Reglamento Nacional de Edificaciones actualizado al 2009.

Estos fueron todos mis apuntes en clase entre los años 2009 y 2010 cuando lleve el curso de Concreto Armado I y II pues solo espero que les sea útil tanto en la universidad como en la vida profesional, no será el formulario más completo pero es un aporte que quise dejar antes de dejar mi Facultad que se convirtió en mi segunda casa.

“La imaginación es más importante que el conocimiento”

Albert Einstein

CONCRETO ARMADO I PROPIEDADES CONCRETO:

)livianoConcreto(3m/tn2.2a0.2γ =

)normalConcreto(3m/kg2400o3m/tn4.2γ = • Diaframa de esfuerzo - deformación

• Modulo de Elasticidad:

)2cm/kg(c'f15000Ec =

• Modulo de Poison:

17.0a15.0ν21.0a11.0ν

usado==

• Modulo de Corte:

)ν1(2EcGc+

=

30.2EcGcnormaPor =

• Esfuerzo a tracción: )puratracción(c'f%15a%8fr =

)indirectatracción(c'f2fr:normaPor =

2cm/kg47.33fr2cm/kg280c'f2cm/kg98.28fr2cm/kg210c'f2cm/kg46.26fr2cm/kg175c'f

=→==→==→=

PROPIEDADES ACERO:

2cm/kg10x2Es

0021.0yε60Grado2cm/kg4200fy

6=

==

• Aceros en Arequipa

φ (in) φ (cm) Ab (cm2) Obs 1/4" 0.64 0.32 Liso 3/8" 0.95 0.71 Corrugado 1/2" 1.27 1.27 Corrugado 5/8" 1.59 1.98 Corrugado 3/4" 1.91 2.85 Corrugado 1" 2.54 5.01 Corrugado 1 3/8" 3.49 9.58 Corrugado 6 mm 0.60 0.28 Corrugado 8 mm 0.80 0.50 Corrugado 12 mm 1.20 1.13 Corrugado

• Detalles de refuerzo a) Barras Longitudinales: Gancho estándar de 180º (vigas pared)

Gancho estándar de 90º (más usado)

φ (in) φ (cm) Gancho 90 Gancho 180 1/4" 0.64 6.50 7.62 3/8" 0.95 6.50 11.43 1/2" 1.27 6.50 15.24 5/8" 1.59 6.50 19.05 3/4" 1.91 7.62 22.86 1" 2.54 10.16 30.48 1 3/8" 3.49 13.97 41.91 6 mm 0.60 6.50 7.20 8 mm 0.80 6.50 9.60 12 mm 1.20 6.50 14.40

Diametros minimos de giro (2r): - ¼” a 1” 6db - 1” a 1 3/8” 8db b) Estribos: - Gancho a 90º

¼” a 5/8” 6db ¾” a 1” 12db

- Gancho a 135º 6db Para zonas con sismo 8db>7.5cm

0.002 0.003

0.5 a0.45 f'c

0.85 f'c

f'c

m

db

r

m

db

r

CONCRETO ARMADO I y II UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

AUTOR: JOHAN SOLIS PINTO 1

Gancho 135 φ (in) Gancho 90 Sin Sismo Con Sismo 1/4" 3.81 3.81 7.50 3/8" 5.72 5.72 7.62 1/2" 7.62 7.62 10.16 5/8" 9.53 9.53 12.70 3/4" 22.86 11.43 15.24 1" 30.48 15.24 20.32 1 3/8" 41.91 20.96 27.94 6 mm 3.60 3.60 7.50 8 mm 4.80 4.80 7.50 12 mm 7.20 7.20 9.60

• Colocación del acero o Vigas:

acerodelntoEspaciamie's,s →

≥

TM3.1cm5.2

ds

b

Por lo r = 4cm

o Columnas

≥

TM3.1cm0.4d5.1

sb

RECOMENDACIONES

a) En caso de combinaciones de barras de acero la diferencia entre barras debe ser menor a 1/8”.

b) Concreto vaciado contra el suelo o en contacto con agua de mar: cm7r ≥

c) Concreto en contacto con el suelo o expuesto a ambiente:

a. Barras de 5/8” o menores: 4cm b. Barras de ¾” o mayores: 5cm

d) Concreto no expuesto al ambiente (protegido por un revestimiento) ni en contacto con el suelo (vaciado con encofrado y/o solado).

a. Losas o aligerados: 2cm b. Muros o muros de corte: 2cm c. Vigas o columnas; 4cm d. Estructuras laminares: 2cm

Menores 5/8”: 1 .5cm

FACTORES DE AMPLIFICACION (NORMA 2009) • U= 1.4CM+1.7CV • U= 1.25(CM+CV)±CS • U= 1.25(CM+CV+Cviento) • U= 0.9CM±CS • U= 0.9CM±1.25Cviento

Recomendación: Realizar la envolvente para carga muerta y carga viva, luego hacer las combinaciones COEFICIENTESφ: φFn≥Fu

• Tracción: φ=0.90 • Flexión: φ=0.90 • Compresión pura: φ=0.70 • Flexo compresión: φ=0.70 (estribo)

φ=0.75 (espiral) • Torsión: φ=0.85 • Cortante: φ=0.85

DISEÑO POR FLEXIÓN

CONDICIONES:

- Las secciones siguen siendo planas luego de la curvatura.

- Se conocen los diagramas de esfuerzo – deformación del acero y concreto.

- Despreciar el concreto en tracción. - Se encuentra en las resistencias últimas.

cka 1=

85.0k1 = si f’c ≤ 280kg/cm2 Si f’c > 280kg/cm2, K1 disminuye 0.05 por cada 70kg/cm2, pero K1 ≥ 0.65.

MnφMu ≤ Mu= Momento último resistente Mn= Momento nominal φ=0.90 (factor para el diseño por flexión) VIGAS (Hacer el diseño con el momento a la cara) 1. VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA (VSR)

18

11,6110,78

r

13,05

s

r

s'

h

d

bw

ca

hec

T

C

es

As

jd

h

d

bw

ca

hec

T

C

es

As

jd



Tipos de falla: Buscar falla dúctil εs>εy entonces:

fs=fy y εc= 0.003 entonces: fc= 0.85 f’c. - Etapa balanceada:

εs=εy fs=fy y εc= 0.003 fc= 0.85 f’c. Diagrama de deformaciones:

cdc

sεcε

−= d59.0Cb =

- cuantía de acero:

AconcretoAsρ =

d.bwAsρ =

Cuantía balanceada:

fyEs003.0Es003.0xk

xfy

c'f85.0ρ 1b +

=

bmax ρ75.0ρ = cuantía máxima

fyc'f7.0ρmin = cuantía mínima

f'c K ρb ρmax ρmin

175 0.85 0.0177 0.0133 0.0022 210 0.85 0.0213 0.0159 0.0024 280 0.85 0.0283 0.0213 0.0028 350 0.80 0.0333 0.0250 0.0031

maxρρ ≤ (Falla dúctil)

d.bw.minρminAs = (Acero mínimo) Peralte efectivo a) Vigas chatas: d= h-3 (solo una capa de acero)

b) Vigas peraltadas:

1 capa: d= h-6 2 capas: d=h-9 3 capas: d=h-12

- Diseño: Valores conocidos: “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h” De las siguientes ecuaciones:

( )

Ku.d.bwMu

ω59.01ω.c'f.φKuc'ffy.ρω

2=

−=⇒=

Procedimiento.

1. Calcular 2d.bwMuKu =

2. Obtener ρ (cuantía)

3. Calcular d.bw.ρAs = 4. Definir acero a colocar - Verificación de diseño: Determinar Mn

fs.Asa.bw.c'f85.0TC

0Fx

==

=∑

)1.......(bw.c'f85.0

fs.Asa =

Se supone que As fluye, entonces fs=fy, despejando “a” Verificando que As fluye, del diagrama de

deformaciones, reemplazando Esfssε = , se obtiene:

( ))2.....(

aad.k.Es.003.0

fs 1 −=

Si fs>4200kg/cm2, el diseño es correcto, caso contrario si fs<4200, resolver las ecuaciones (1) y (2) y obtener “a” y “fs”. Finalmente calcular Mn y Mu

)2ad.(a.bw.c'f85.0Mnó)2

ad.(fs.AsMn −=−=

MnφMu = fs= fy si fs>4200kg/cm2. Momento crítico de agrietamiento (instante en el que aparece la primera fisura) :

6bw.c'f2

6bw.frMcr ==

Mcr2.1Mnφ ≥ 2. VIGA DOBLEMENTE ARMADA (VDR) (Con acero en compresión) Recomendación: Evitar este diseño, por dificultad en el proceso constructivo

- Etapa balanceada: Igualmente determinada

que en una VSR.

d h

d

Md

ec=0.003

Cc

Cs

Tfs

0.85f'c

A's

As

bw

es

e's

jd j'd



- Cuantía Balanceada:

003.0cεfyfsyεsε

==→=

fys'f'ρ

fyEs003.0Esk003.0

fyc'f85.0bρ

fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0CsCcCTC

0Fx

1 +

+

=

=++==

=∑

- Verificación de diseño: Determinar Mn

0Fx =∑

)1......(fy.Ass'f.s'Aa.bw.c'f85.0 =+ Del diagrama de deformaciones:

)3....(a

'dkaEs003.0s'f

)2.....(a

adK.Es003.0fs

1

1

−

=

−

=

Suponemos que As y A’s fluyen, entonces: fs=f’s=fy Calculamos “a” de (1):

bw.c'f85.0fy)s'AAs(a −

=

Verificamos si fs y f’s fluyen en (2) y (3): Por lo general f’s no fluye, entonces resolver las ecuaciones (1) y (3) para determinar “a” y “f’s”.

d'j.Csjd.CcMn +=

)'dd.(s'f.s'A)2ad.(a.bw.c'f85.0Mn −+−=

- Diseño: Se conoce “f’c”, “fy”, “Mu”, “bw” y “h” 1. Diseñar una viga simplemente reforzada:

2d.bwMuKu =

Determinar ρ 2. Si maxρρ > , diseñar una viga doblemente reforzada

Procedimiento: Empezamos por (a), se calcula la máxima resistencia de la sección, tenemos:

maxρ,Kuc'f max→

d.bw.maxρmaxAsd.bw.KumaxMu 2

max

==

Del gráfico:

MrmaxMuMu += maxMuMuMr −=

'ddd'js'f.s'ACs −==

d'j.CsMr =

)'dd.(fy.s'AMr −=

)'dd.(fy.φmaxMuMus'A

−−

=

Finalmente, se calcula: s'AmaxAsAs +=

3. VIGA T o L:

- Verificación: Cálculo de Mn

LL32

L3

L2

1

321

h).bwb(h).mn(AAh.mA

h.nAa.bwA

AAAAT

−=+=+===

++=

Cálculo de fuerzas:

∑ =

=−=

=

0Fx

fs.AsTh).bwb.(c'f85.0Cc

a.bw.c'f85.0Cc

L2

1

)1.....(fs.Ash).bwb.(c'f85.0a.bw.c'f85.0 L =−+ Del diagrama de deformaciones:

)2......(a

adkEs003.0fs 1

−

=

Consideramos que As fluye, entonc es fs=fy, de (1) despejamos “a”:

bw.c'f85.0h).bwb.(c'f85.0fy.As

a L−−=

Verificamos si fs fluye:

−

=a

adkEs003.0a 1

h

bw

As

A's

Asmax A's

A's

Mu Mumax Mremanente

= +

(a) (b)

hL

As

bw

n mb

c

h

a

0.85f'c

C2-3

C1

fs

d

2 1 3



Caso contrario, resolver (1) y (2). -Diseño: 1. Diseñar una viga de bxh (rectangular) d

Asρd.bw

MuKu 2 ⇒⇒=

Verificamos “a”:

b.c'f85.0fy.Asa =

Si: Lha ≤ Viga bxh

Si: Lha > Viga T

2. Entonces si Lha >

2.1. Determinamos Muf:

L32 h).bwb.(c'f85.0C −=−

)2hd(h).bwb.(c'f85.0Muf L

L −−=

)2hd.(fy.AsfMuf L−=

2.2. Igualamos, determinamos Asf:

fy.φh).bwb.(c'f85.0

Asf L−=

2.3. Determinamos Asw: MufMuwMu += MufMuMuw −=

wρd.b

MuwKu 2 ⇒=

d.bw.wρAsw = 2.4. Finalmente:

AsfAswAs += Recomendaciones (norma 2009):

Condiciones

2l

h.8n

2l

h.8m

2

L

1

L

<

<

<

<

,

2l

2lbw

h.16bw4

L

b21

L

++<

+<<

Para vigas extremas:

2l

h.612

L

m1

L

<

<<

,

2lbw

h.6bw12

Lbwb

1

L

+<

+<+<

Para vigas aisladas:

bw.4b2

bwhL

<

>

4. Predimensionamiento: (bxh=?)

- Cuando hay monolitismo entre la viga y su apoyo (columna), la luz es de eje a eje.

- Cuando no existe monolitismo entre viga y apoyo (albañilería) la luz es la luz libre mas el peralte de la viga.

hL

As

bw

b

h d = +

aCc1

Cc2-3

Mu Muw Muf

Asw Asf

hL

As

bw

b

h d

n m

l1 l2

LColumna Columna

l1 l2Viga Viga

As

bw

b

h d

m

l1

hL

As

bw

b

h



• Condiciones: - Cargas uniformemente repartidas. - 2 o más tramos. - Luces adyancentes - 1ii1i LLL +− ≈≈ , Diferencia de solo 20% - CM ≤ 3CV

Caso especial para 2 tramos:

Tomamos el factor más crítico (1/10):

KuMud.bw

d.bwMuKu

10L.Wu

Mu

22

2

=⇒=

=

No debe de usarse el Kumax para evitar una viga doblemente armada, entonces:

econecon

económico

kuρbρ5.0ρ

⇒≈

Entonces: econKu.bw

Mud =

Recomendación: bw=30cm

L.Ku.bw.10

WuKu.bw.10L.Wud

econecon

2

==

Por lo general:

12Lh

11Lh

10Lh

≈

≈

≈

L/11 y L/12 si la estructura no esta sometida a sismo.

LOSAS: Las losas no trabajan a sismo, solo se usa la PRIMERA HIPÓTESIS. Se recomienda hacer los diseños a la cara. La carga viva y muerta se pueden combinar sin necesidad de hacer la envolvente 1. LOSAS MACIZAS: Se toma un metro de ancho, No existe acero en compresión, sólo se puede cambiar el peralte o aumentar el f’c.

Mu(+)

Mu(-) - Diseño: d= hL-3 (viga chata).

)m/cm(d.100.ρAs

macizalosaparaminρρ

maxKud.100

MuKu

2

2

=

≥⇒

≤=

Los aceros se expresan en función de espaciamiento en los planos:

)requeridoacero(As)colocaraacero(φAs

)φ(S =

- Acero mínimo para losas macizas: Barras lisas (1/4”) 0025.0ρmin = Barras corrugadas: fy<4200 kg/cm2 0020.0ρmin =

fy≥4200 kg/cm2 0018.0ρmin =

Lmin h.100.ρminAs = - Acero por temperatura: Se coloca el acero mínimo para losa maciza, para evitar contracciones por fragua del concreto. Lmin h.100.ρminAs =

Espaciamiento: minAs

)mm6,"(φAsS 83

=cm40S

h.3S L

≤≤

Se colocan perpendiculares a los aceros principales

L1 L2 L3 L4

1/16 1/10 1/11 1/11 1/11 1/24M(-)

M(+) 1/14 1/16 1/16 1/11

L1 L2

1/16 1/9 1/24M(-)

M(+) 1/14 1/11

1.00m

hL

hL

1.00m



2. LOSAS NERVADAS: Losas nervadas mas usadas

h(cm) Peso (kg/m2) 17 280 20 300 25 350 30 420

Tabiques: Sin Tarrajeo Con Tarrajeo Soga e=14cm e=15cm Cabeza e=24cm e=25cm Peso esp 18kg/m2/cm 19kg/m2/cm

Ladrillo hueco: 13.5kg/m2/cm

El diseño se hace por vigueta.

cm5h;12nh

cm75nbw5.3h

cm10bw

LL ≥>

≤≤

≥

n: espaciamiento libre

Por lo general, bw=10cm, n=30cm, hL=5cm, hw es variable. (*) El metrado de cargas puede hacer por vigueta, o se puede hacer por 1m de ancho y se le divide a dicha carga por el número de viguetas que entra por metro.

b1NViguetas =

Para los parámetros dados en (*), Nviguestas=2.5 - Diseño: * Para M(+), seguir el procedimiento especificado para las vigas T.

Tvigaescontrariocasohb.c'f85.0

fy.Asa

:Verificar

d.b.ρAsρd.b

)(MuKu

L

2

≤=

=⇒⇒+

=

* Para M(-) diseñar una viga rectangular de hxbw.

contínuanbwbw

alterna2nbwbw

maxKuKu:Si

d.bw.ρAsρmaxKud.bw

)(MuKu 2

→+=

→+=

>

=⇒⇒≤−

=

NOTA: Solo se pueden colocar máximo 2 varillas de acero en bw de un diámetro máximo de 5/8”. Para tabiques sobre la losa:

• Si el tabique es perpendicular a la viga, calcular el peso del tabique que cae sobre la vigueta, tomando 1m de largo del tabique y luego dividirlo entre el numero de viguetas, este se transmitirá como carga puntual

• Si el tabique es paralelo a la vigueta, es recomendable diseñar una viga chata de bxh o aumentar el bw, para la carga viva que cae se toma a criterio el ancho tributario.

minAsAs ≥ Acero mínimo para losas nervadas:

h.bw.ρminAs min= Acero por temperatura:

Lmin h.100.ρminAs =cm40S

h.5S L

≤≤

3. ESCALERAS Y RAMPAS: (Losas inclinadas) g= garganta • RAMPAS:

Metrado:

c/s).00.1(:CV

)00.1.(2m/kg100Pt

3m/kg2400.αcos

00.1.gPp

:CM

=

=

• ESCALERAS apoyado en sus extremos

Metrado: Franja de 1.00 de ancho:

2400.αcos

00.1.gm/Pp =

bw

hL

b

hw

h

1.00m

g

a

1.00m

g

a

CP

P



Peso de los peldaños:

P00.1ºN

2400.2CP.P

.ºNm/Peso

peldaños

peldaños

=

=

Por lo general: * Viviendas: P=0.25m CP= (0.15 @ 0.19m)= 0.17 ó 0.175m *Edificios públicos: P=0.30m NOTA: Cuando las escaleras son muy largas debe de tener descansos, esto lo divide en tramos que deben ser diseñados independientemente. Para el cálculo rápido de momentos

• ESCALERAS apoyadas en sus lados

Corte longitudinal:

αcosgn

αcosgCPm

=

+=

d=h-3 (viga chata) Cuando esta en volado:

- Aplicar el Asmin para losas macizas. - El acero por temperatura es el Asmin, por lo

general es 3/8” @ 0.25m CASOS PARTICULARES: a) Escalera Ortopoligonal:

Armado:

b) Escalera en Caracol o con sección irregular:

Mu(+)=Wu.L/10

Mu(+)=Wu.L/9

Mu(-)=Wu.L/10

L

L

Wu

mn

P

P

h=(m+n)/2

L

L

Wu

P/2

P

P/2

g



CONTROL DE DEFORMACIONES: Momento crítico de agrietamiento:

6h.bw.c'f2Mcr

2

=

Si: M≤Mcr Usar inercia bruta Ig M> Mcr Usar inersia equivalente. Ie Entonces “Ie” para:

EcEsn =

- VIGA SIMPLEMENTE ARMADA

23

2

)cd.(As.n3

c.bwIe

???c)cd.(As.n2

c.bw

−+=

=⇒−=

- VIGA DOBLEMENTE REFORZADA

223

2

)'dc.(s'A).1n2()cd.(As.n3

c.bwIe

???c)cd.(As.n)'dc.(s'A).1n2(2

c.bw

−−+−+=

=⇒−=−−+

NOTA: En un volado se coloca acero en la parte inferior, así no lo necesite para disminuir la deformación. La máxima deformación se calcula excepto para lo volados. Para el cálculo de deformaciones, los momentos o cargas NO DEBEN DE ESTAR AMPLIFICADOS:

CVCMCV

CMCM

M%MδMδ

+⇐⇐

Vigas continuas:

3Ie.2Ie

Ieδ

4IeIe.2Ie

Ieδ

432

3211

+=⇒

++=⇒

( )( )312

2

max MM1.0MI.E.48

L.5δ +−=

Demás valores de deformación, en tablas.

ID

CVCMI

δ.λδDiferidaδδδ:táneatanIns

Deflexión=

+=→

DI δδδ +=

'ρ501αλ

+=

ρ’= Cuantía de acero en compresión α = depende del tiempo. = 1.0 para 3 meses = 1.2 para 6 meses = 1.4 para 12 meses = 2.0 de 2 a 5 años CONTRAFLECHA: maxδδ −

CONTROL DE FISURAGergeley – Lutz: (ta maño de la fisura)

S:

)mm(10.dc.A.fs.β).1.1(ω 53 −=

- 1hh

β1

2 >=

)losas(35.1β)vigas(2.1β

==

- fs: esfuerzo de servicio

d.As.9.0Mserviciofs =

- A y2.bwArea =

Cuando los aceros son iguales:

BarrasºNAreaA =

Cuando los aceros son diferentes:

A)φ(As

AsNmayor

Barras ⇒=

Recomendaciones: • Si el aire es seco o usamos una membrana de

cobertura, el tamaño máximo de fisura recomendado es 0.41mm.

I1 I3 I5I2 I4

d1 d2

M1

M2

M3

bw

dcy

d

h2

c

h1

h



• Si hay humedad o aire húmedo o está en contacto con el suelo el tamaño máximo recomendado es 0.30mm.

• Si hemos usado un químico para deshielo, el tamaño máximo recomendado es 0.18mm.

• Si la estructura está en contacto con agua de mar o recio marino el tamaño máximo es 0.15mm.

• Si las estructuras son recipientes de l íquidos (tanques, reservorios) el tamaño máximo es 0.10mm.

Si: ORECOMENDADCALCULADA ωω > Se tienen que colocar

mas aceros.

35 dc.A.fs

10.β).1.1(ωZ == −

cm/kg26000Z ≤ En vigas muy peraltadas h>90cm hay riesgo de fisuras, se deben colocar aceros en el alma con un espaciamiento “s” hasta “h/2”.

≤

=

−≤

≤

fs250030s

lateralntorecubrimieCcCc5.2fs

2500.38s

mm300s

ADHERENCIA: LONGITUD DE DESARROLLO: (Norma pasada)

fy.db).006.0(Lc'f

fy.Ab).06.0(L

db

db

=

=Se escoge el mayor entre ambos

dbmayorbd d).4.1(L = (Longitud de desarrollo básica)

NORMA ACTUAL BARRAS A TRACCIÓN

Condiciones 3/4" o menores mayores a 3/4"

*) Espaciamiento libre entre barras o alambres que estan siendo empalmados o anclados no menor a "db" y estribos a lo largo de "ld". **)Aplicable tambien cuando el espaciamiento l ibre entre barras o alambres que estén siendo empalmados o anclados no sea menor que "2db" y el recubrimiento libre no menor que "db"

db.c'f2.8λ.ψ.ψ.fy et

db.c'f2.8λ.ψ.ψ.fy et

Otros casos (*) (*)

Factor Condiciones Valor

tψ Barras superiores (*) 1.3 Barras inferiores 1.0

eψ

Barras con tratamiento superficial epóxico y recubrimiento l ibre menor que 6db

1.5

Otras barras con tratamiento sup. Epóxico 1.2

Barras sin tratamiento sup. Epóxico 1.0

sψ Barras 3/4" o menores 0.8 Barras mayores a 3/4" 1.0

λ Concreto l iviano 1.3 Concreto normal 1.0



Considerando barras sin tratamiento superficial epóxido, y un concreto normal tenemos los siguientes valores, para los concretos conocidos con las barras de acero conocidas en el entorno.

Lecho inferior Lecho Superior ld (cm) ld(cm)

φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 0.71 36.9 33.7 29.2 47.9 43.8 37.9 1/2" 1.27 1.27 49.2 44.9 38.9 63.9 58.4 50.5 5/8" 1.59 1.98 61.5 56.1 48.6 79.9 72.9 63.2 3/4" 1.91 2.85 73.8 67.3 58.3 95.9 87.5 75.8

1" 2.54 5.07 122.2 111.5 96.6 158.8 145.0 125.6 Para (*): otros casos:

2cm/kg4.26c'fn.s.10

fy.AK5.2

dbKCb

db

dbKCb

.c'f5.3

λ.ψψ.ψ.fyld

ttrtr

tr

tr

set

≤

=≤+

+

=

Atr= Área total de acero en “ld”. fyt= esfuerzo de fluencia del estribo. s= separación de estribos. n= número de barras que se quiere anclar. La norma dice que se puede usar Ktr= 0. Tenemos los valores: Considerando un Cb = 5

Lecho inferior Lecho Superior ld (cm) ld(cm)

φ (in) φ (cm) Ab (cm2) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 0.71 27.6 25.2 21.9 35.9 32.8 28.4 1/2" 1.27 1.27 36.9 33.7 29.1 47.9 43.7 37.9 5/8" 1.59 1.98 46.1 42.1 36.4 59.9 54.7 47.4 3/4" 1.91 2.85 55.3 50.5 43.7 71.9 65.6 56.8

1" 2.54 5.07 117.0 106.8 92.5 152.2 138.9 120.3 BARRAS A COMPRESIÓN:

[ ][ ]db.fy0044.0

db.c'f/fy075.0mayorldc = (Se toma el mayor

φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9 1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9 5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9 3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9

1" 2.54 60.5 55.2 47.8 Se pueden afec tar por un factor de 0.75 si en la columna se va a colocar una espiral con un paso de 10cm o menor y el diámetro del acero de la espiral es de ¼” o mayor.



DESARROLLO DE GANCHO ESTANDAR: Válido sólo para elementos a tracción:

db.8ldcm15ld

db.c'f

fy.λ.ψ075.0ld

gg

eg

≥≥

=

φ (in) φ (cm) 175kg/cm2 210kg/cm2 280kg/cm2 3/8" 0.95 22.7 20.7 17.9 1/2" 1.27 30.2 27.6 23.9 5/8" 1.59 37.8 34.5 29.9 3/4" 1.91 45.4 41.4 35.9

1" 2.54 60.5 55.2 47.8 EMPAL MES - Empalmes a tracción: Tipo A: ld0.1Le = Tipo B: ld3.1Le =

As Propocionado % max. de As empalmado As Requerido 50% 100%

Igual o mayor que 2 Tipo A Tipo B Menor que 2 Tipo B Tipo B

Distancia recomendada entre empalmes 60cm - Empalmes a compresión:

db).24fy013.0(le2cm/kg4200fy

)mm(db.fy.071.0le2cm/kg4200fy

:le

c

cc

−=>

=≤

Si f’c<210kg/cm2, amplificar el “lec” por 1.3. Para un fy=4200, tenemos los valores, para empalmes a compresión φ (in) φ (cm) lec 3/8" 0.95 28.40 1/2" 1.27 37.90 5/8" 1.59 47.30 3/4" 1.91 56.80 1" 2.54 75.70

ldldg



CORTE DE ACERO:

Notas:

- Para elementos con sismo en toda su longitud debe de tener por lo menos 2 aceros superiores e inferiores, la cual por lo menos debe de ser la cuantía mínima,

- Luego colocar el acero faltante. - Se recomienda hacer correr el acero con

diámetro mayor

• Para Momento negativo: Por lo menos 1/3 del acero total en tracción debe de llegar al punto de inflexión para casos generales (c/s sismo).

• Para Momento positivo: Debe de l legar 1/3 del acero máximo positivo, para cualquier caso, en los apoyos. Cuando hay sismo la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe de ser menor que 1/3 de la resistencia al momento negativo en dicha cara.

)(Mn31)(Mn −≥+ (*)

Para cualquier sección:

)(Mn41)(Mn −≥±

ACERO NEGATIVO

Se considera Mu

)'A(corte AsAsAs −=

Se saca el “Mu” del acero que va a llegar al punto de inflexión.

)As(MuMn )'A(↔

Debe de tener como mínimo la longitud de desarrollo, que no sea menor a 16ln/,d12,d b

ACERO POSITIVO

Se saca el “Mn” del acero que llega al apoyo

)a(corte AsAsAs −=

)a(As = Ac ero a llevar al apoyo

Si se quiere cortar en A:

Ldd12

dmayor

)A(VuMn

b

≥

+

Si se quiere cortar en B:

Ldd12

dmayor

)B(VuMn

b

≥

+

Ya que en una columna se tiene 2 momentos, si la columna permite usar los aceros de un lado en el otro solo se diseña para el máximo. Para losas no se verifica la condición especificada en (*).

Mu1

d,12db,ln/16

ln

Mu2As1 As2

Mn(+)

Mn(-)

B B'

Ldmin

Mu(AsA')

Ascorte

A A'

12db,d

B B'A' A

Mu(+)

Mn

Vu(A)

Vu(B)



DISEÑO POR CORTE

SCρRact VVVVV ++=≤

ρV = Resistencia debido al acero longitudinal.

CV = Resistencia debido al concreto.

SV = Resistencia debido al acero transversal.

α = Angulo de colocación del acero transversal (Normalmente usado a 90º llamado “estribo). θ = Angulo de la fisura, normalmente ocurre a 45º. S= Separación del acero. La norma nos dice:

sd).αcosαsen.(fy.AvVs +

= …..(1)

La norma obliga usar estribos.

SCρact VVVV ++≤ (Resistencia nominal)

VuVnφ ≥ 85.0φ→ Vu se determinar de los diagramas de corte Consideramos que 0Vρ =

a) Flexión + corte (vigas):

d.bw.c'f.λ.53.0VC =

00.1λ = Cº Normal 85.0λ = Cº Ligero

b) Flexión + compresión (columnas):

d.bw.c'f.λAg140

Nu153.0VC

+=

Ag= área bruta de la sección de la columna. bw, d= dependiendo de que eje se este analizando. Nu= fuerza axial sobre la columna.

c) Flexión + tracción: 0VC =

Entonces se sabe:

SC VVVn +=

(*) Casos:

1. CVφVu

≤

Usar: minAv

2. CVφVu

>

Diseñar por corte: Vs

CS VφVuV −=

Determinamos “Vs” y procedemos a usar la ecuación (1) para determinar “S”.

Av= Área de los 2 ramales del estribo Nota: Limite para Vs, siempre chequear este valor:

dbwcfVS ..'1.2≤

Si Vs es mayor CAMBIAR LA SECCIÓN. Límites de separación para casos generales, SIN SISMO:

2/dS ≤

Si: d.bw.c'f1.1Vs > 4/dS ≤

- Diseño: DFC

No es necesario empezar el diseño por corte a partir de la cara, sino a una distancia “d” de la cara encontrando un valor de “Vud” para empezar el diseño. Se le l lama “Sección crítica de Corte” Pasos para el diseño:

1. Diagrama de Corte 2. Hallar Vud (ambos lados). 3. Hallar Vc.

4. Comparar φ

VuV d

C <> (ambos lados) (*), si

se cumple el 2do caso pasar al punto 5

5. Diseño: CS VφVuV −= chequeamos Vs.

6. Elegimos “Av” para encontrar “S” Se recomienda que, “m” y “n” sean múltiplos de “s”, al calcular Vu1, y volvemos a seguir los mismos pasos, pero ya no se chequea “Vs”. Se recomienda que Av sea constante a lo largo de toda la viga. Cuando no hay la presencia de sismos, se usa el “diagrama de corte” que se obtiene del análisis estructural. Ahora para cuando existe sismo, se debe de seguir los siguientes pasos para hallar el diagrama de corte, existen 2 casos:

d

m n

Vud

Vd1



DUAL TIPO 1: (predomina los muros de corte) Cuando los muros de corte reciben mas del 60% y menos del 80% del fuerza de sismo en su base DUAL TIPO 2: (predominan pórticos) Cuando los muros de corte reciben menos del 60% de la fuerza de sismo en su base. DUAL TIPO 1:

El momento Positivo en el apoyo no debe ser menor a 1/3 del momento negativo. Se plantean los siguientes casos, usando la hipótesis 2 para el trazo del diagrama de corte:

Con estos casos determinamos la envolvente de Cortantes.

Lo= Longitud de confinamiento.

h2Lo =

El primer estribo se coloca a 10cm del apoyo. Estribos a colocar:

- As longitudinal (3/8”, ½”, 5/8”). o Estribo de 8mm.

- As longitudinal (3/4”, 1”). o Estribo de 3/8”.

- As longitudinal (1”). o Estribo de ½”.

En la zona de confinamiento, la separación debe ser menor que:

cm30sφ24s

φ10s4

ds

Av

menorallongitudinAcero

≤≤

≤

≤

Fuera de la zona de confinamiento 2ds ≤

DUAL TIPO 2:

•

cm25bw4

hbw

h4ln

≥

≥

≥

• El ancho de la viga “bw” no debe exc eder al ancho del elemento de apoyo, para cada lado en ¾ del peralte de la viga.

h43n =

Para este tipo en los apoyos el momento positivo no debe de ser menor a la mitad del momento negativo. De igual manera para dibujar el diagrama de corte:

3

1

4

2

Wcm Wcv

ln

Mn1 Mn2

Mn3 Mn4

Wu=1.25(Wcm+Wcv)

Mn1

Mn4

Wu=1.25(Wcm+Wcv)

Mn2

Mn3

d

m n

Vud

Vd1

LoLo

10cm s

n

nbw



El primer estribo se coloca a 5cm de la cara. Lo= 2h Separación “s”: En la zona de confinamiento

cm30sφ24s

φ8s4

ds

Av

menorallongitudinAcero

≤≤

≤

≤

Fuera de la zona de la zona de confinamiento:

2ds ≤

La separación entre ramales del estribo será como máximo de 30cm. Sino colocar doble estribo. Acero Mínimo

Para cuando CVφVu

≤ , usar Acero mínimo.

Entonces: CC VφVuV5.0 ≤≤

Si CV5.0φVu

< no trabaja a sismos, entonces no usar

estribos.

tmin fy

s.bw.c'f2.0Av =

tmin fy

s.bw.5.3Av ≥

Elementos donde no se usan estribos:

- Losas macizas y nervadas - Zapatas

- Muros - Vigas chatas cm25h ≤

Para todos estos casos solo se tiene 2 opciones: - Cambiar f’c - Variar dimensiones.

En corte también se puede hacer “ensanche por corte”.

Hacer el ensanche hasta que CVφVu =

Coeficientes para hacer un diagrama rápido.

21 ll ≅

Wu=1.25(Wcm+Wcv)

1.25Mn1

1.25Mn4

Wu=1.25(Wcm+Wcv)

1.25Mn2

1.25Mn3

LoLo

5cm s

Vu=F Vc

e

l1 l1

Wul1/2 1.15Wul1/2 Wul2/2 Wul2/2



DISEÑO POR TORSIÓN Se puede ignorar el diseño por Torsión si:

- Flexión + Corte (Vigas)

<

PcpAcpc'f.27.0.φTu

2

- Flexo-compresión + Corte:(Columnas)

c'fAgNu1

PcpAcp.c'f.27.0.φTu

2

+

<

Ag= Área bruta de la columna si ubiese orificios

• Acp, Pcp

2

1

hf4nhf4m

≤≤

Para que “m” y “n” existan, dichas longitudes deben de ser de concreto * Momentos mínimos de Torsión (Compatibilidad) Usamos esto cuando tenemos Parrillas, es decir, vigas apoyadas sobre vigas.

=

PcpAcpc'f1.1.φTu

2

min

)(MTu)(MTuTu)(M

min

minmin

−⇒>−⇒<−

Diseño: Determinar los diagramas de momento Torsor, se asemeja al análisis para el diagrama de corte, fuese puntual o distribuido, se presenta para el caso que fuese distribuido, y se toma igualmente un Tud a una distancia d

- Hacer primero el diseño por flexión, ya hacer una colocación preliminar de los aceros longitudinales.

- Torsión: Chequear:

+≤

+

c'f1.2

d.bwVcφ

Aoh.7.1Ph.Tu

d.bwVu 2

2

2

Aoh= área encerrada por el estribo. Poh= perímetro del estribo. Si no cumple dicha desigualdad, cambiar la sección. Luego:

φTuTn =

( ) tfyAoh.85.02Tn

sAt

=

- Corte:

CS VφVuV −=

Chequeamos

sd.fy.Av

V tS =

Despejamos:

d.fy

VφVu

sA

t

Ct

−=

Entonces determinamos la separación para corte+torsión:

sA2

sAv

sA ttorsiónCorte +=+

Acero Longitudinal:

θcotfyfy

Ps

AA 2t

ht

L

≥

At= Area de un ramal del estribo Ph= Perímetro del estribo AL= Área de acero longitudinal adicional a colocar, aparte del acero ya existente por flexión

fyfy

.Ps

Afy

A.c'f33.1A t

htCP

minL

−=

t

t

fybw.75.1

sA

≥

45° 45°

Acp

Pcpm

hf1

n

hf2

Tu=1.4Tcm+1.7Tcv



El refuerzo debe estar distribuido en todo el Perímetro del estribo con un espaciamiento máximo de 30cm, además el acero longitudinal debe colocarse dentro del estribo.

"8/3s.042.0

φ

cm30s

L =

≤

Acero transversal mínimo

tt fy

s.bw.c'f2.0)A2Av( =+

tt fy

s.bw.35.0A2Av ≥+

cm308

PS

h≤

s



f'c 175 ρb Ku

0.0001 0.377 0.0002 0.754 0.0003 1.129 0.0004 1.503 0.0005 1.877 0.0006 2.249 0.0007 2.620 0.0008 2.990 0.0009 3.359 0.0010 3.726 0.0011 4.093 0.0012 4.459 0.0013 4.824 0.0014 5.187 0.0015 5.550 0.0016 5.911 0.0017 6.271 0.0018 6.631 0.0019 6.989 0.0020 7.346 0.0021 7.702 0.0022 8.057 0.0023 8.411 0.0024 8.764 0.0025 9.115 0.0026 9.466 0.0027 9.816 0.0028 10.164 0.0029 10.512 0.0030 10.858 0.0031 11.204 0.0032 11.548 0.0033 11.891 0.0034 12.233 0.0035 12.574 0.0036 12.914 0.0037 13.253 0.0038 13.591 0.0039 13.928 0.0040 14.264 0.0041 14.598 0.0042 14.932 0.0043 15.264 0.0044 15.596 0.0045 15.926 0.0046 16.255 0.0047 16.584 0.0048 16.911 0.0049 17.237 0.0050 17.562 0.0051 17.886 0.0052 18.209

0.0053 18.530 0.0054 18.851 0.0055 19.171 0.0056 19.489 0.0057 19.807 0.0058 20.123 0.0059 20.439 0.0060 20.753 0.0061 21.066 0.0062 21.379 0.0063 21.690 0.0064 22.000 0.0065 22.309 0.0066 22.616 0.0067 22.923 0.0068 23.229 0.0069 23.534 0.0070 23.837 0.0071 24.140 0.0072 24.441 0.0073 24.742 0.0074 25.041 0.0075 25.339 0.0076 25.636 0.0077 25.933 0.0078 26.228 0.0079 26.522 0.0080 26.814 0.0081 27.106 0.0082 27.397 0.0083 27.687 0.0084 27.975 0.0085 28.263 0.0086 28.549 0.0087 28.835 0.0088 29.119 0.0089 29.402 0.0090 29.684 0.0091 29.966 0.0092 30.246 0.0093 30.525 0.0094 30.803 0.0095 31.079 0.0096 31.355 0.0097 31.630 0.0098 31.903 0.0099 32.176 0.0100 32.448 0.0101 32.718 0.0102 32.987 0.0103 33.256 0.0104 33.523 0.0105 33.789 0.0106 34.054

0.0107 34.318 0.0108 34.581 0.0109 34.843 0.0110 35.103 0.0111 35.363 0.0112 35.622 0.0113 35.879 0.0114 36.136 0.0115 36.391 0.0116 36.646 0.0117 36.899 0.0118 37.151 0.0119 37.402 0.0120 37.652 0.0121 37.901 0.0122 38.149 0.0123 38.396 0.0124 38.642 0.0125 38.887 0.0126 39.130 0.0127 39.373 0.0128 39.614 0.0129 39.855 0.0130 40.094 0.0131 40.333 0.0132 40.570 0.0133 40.806



f'c 210 ρb Ku

0.0001 0.378 0.0002 0.754 0.0003 1.130 0.0004 1.505 0.0005 1.879 0.0006 2.252 0.0007 2.624 0.0008 2.995 0.0009 3.366 0.0010 3.735 0.0011 4.104 0.0012 4.472 0.0013 4.839 0.0014 5.205 0.0015 5.570 0.0016 5.934 0.0017 6.297 0.0018 6.659 0.0019 7.021 0.0020 7.382 0.0021 7.741 0.0022 8.100 0.0023 8.458 0.0024 8.815 0.0025 9.171 0.0026 9.526 0.0027 9.881 0.0028 10.234 0.0029 10.587 0.0030 10.939 0.0031 11.289 0.0032 11.639 0.0033 11.988 0.0034 12.336 0.0035 12.684 0.0036 13.030 0.0037 13.375 0.0038 13.720 0.0039 14.064 0.0040 14.406 0.0041 14.748 0.0042 15.089 0.0043 15.429 0.0044 15.768 0.0045 16.107 0.0046 16.444 0.0047 16.781 0.0048 17.116 0.0049 17.451 0.0050 17.785 0.0051 18.118 0.0052 18.450

0.0053 18.781 0.0054 19.111 0.0055 19.441 0.0056 19.769 0.0057 20.097 0.0058 20.424 0.0059 20.749 0.0060 21.074 0.0061 21.398 0.0062 21.721 0.0063 22.044 0.0064 22.365 0.0065 22.685 0.0066 23.005 0.0067 23.324 0.0068 23.642 0.0069 23.958 0.0070 24.274 0.0071 24.590 0.0072 24.904 0.0073 25.217 0.0074 25.529 0.0075 25.841 0.0076 26.152 0.0077 26.461 0.0078 26.770 0.0079 27.078 0.0080 27.385 0.0081 27.692 0.0082 27.997 0.0083 28.301 0.0084 28.605 0.0085 28.907 0.0086 29.209 0.0087 29.510 0.0088 29.810 0.0089 30.109 0.0090 30.407 0.0091 30.704 0.0092 31.001 0.0093 31.296 0.0094 31.591 0.0095 31.884 0.0096 32.177 0.0097 32.469 0.0098 32.760 0.0099 33.050 0.0100 33.340 0.0101 33.628 0.0102 33.915 0.0103 34.202 0.0104 34.488 0.0105 34.772 0.0106 35.056

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f'c 280 ρb Ku

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f'c 350 ρb Ku

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0.0107 37.382 0.0108 37.702 0.0109 38.022 0.0110 38.342 0.0111 38.661 0.0112 38.979 0.0113 39.297 0.0114 39.614 0.0115 39.931 0.0116 40.247 0.0117 40.562 0.0118 40.878 0.0119 41.192 0.0120 41.506 0.0121 41.820 0.0122 42.133 0.0123 42.445 0.0124 42.757 0.0125 43.068 0.0126 43.379 0.0127 43.689 0.0128 43.999 0.0129 44.308 0.0130 44.617 0.0131 44.925 0.0132 45.233 0.0133 45.540 0.0134 45.847 0.0135 46.153 0.0136 46.458 0.0137 46.763 0.0138 47.067 0.0139 47.371 0.0140 47.675 0.0141 47.977 0.0142 48.280 0.0143 48.581 0.0144 48.883 0.0145 49.183 0.0146 49.483 0.0147 49.783 0.0148 50.082 0.0149 50.380 0.0150 50.678 0.0151 50.976 0.0152 51.273 0.0153 51.569 0.0154 51.865 0.0155 52.160 0.0156 52.455 0.0157 52.749 0.0158 53.043 0.0159 53.336 0.0160 53.629

0.0161 53.921 0.0162 54.212 0.0163 54.503 0.0164 54.794 0.0165 55.084 0.0166 55.373 0.0167 55.662 0.0168 55.951 0.0169 56.238 0.0170 56.526 0.0171 56.812 0.0172 57.099 0.0173 57.384 0.0174 57.669 0.0175 57.954 0.0176 58.238 0.0177 58.522 0.0178 58.805 0.0179 59.087 0.0180 59.369 0.0181 59.650 0.0182 59.931 0.0183 60.212 0.0184 60.491 0.0185 60.771 0.0186 61.049 0.0187 61.327 0.0188 61.605 0.0189 61.882 0.0190 62.159 0.0191 62.435 0.0192 62.710 0.0193 62.985 0.0194 63.260 0.0195 63.534 0.0196 63.807 0.0197 64.080 0.0198 64.352 0.0199 64.624 0.0200 64.895 0.0201 65.166 0.0202 65.436 0.0203 65.705 0.0204 65.975 0.0205 66.243 0.0206 66.511 0.0207 66.779 0.0208 67.046 0.0209 67.312 0.0210 67.578 0.0211 67.843 0.0212 68.108 0.0213 68.372 0.0214 68.636



0.0215 68.899 0.0216 69.162 0.0217 69.424 0.0218 69.685 0.0219 69.946 0.0220 70.207 0.0221 70.467 0.0222 70.726 0.0223 70.985 0.0224 71.244 0.0225 71.502 0.0226 71.759 0.0227 72.016 0.0228 72.272 0.0229 72.528 0.0230 72.783 0.0231 73.037 0.0232 73.291 0.0233 73.545 0.0234 73.798 0.0235 74.050 0.0236 74.302 0.0237 74.554 0.0238 74.805 0.0239 75.055 0.0240 75.305 0.0241 75.554 0.0242 75.803 0.0243 76.051 0.0244 76.299 0.0245 76.546 0.0246 76.792 0.0247 77.039 0.0248 77.284 0.0249 77.529 0.0250 77.773



































CONCRETO ARMADO II

Usadas para cubrir grandes luces

LOSAS BIDIRECCIONALES

Cuando: b ≥ 2a Losas unidireccionales b < 2a Losas bidirecionales

- Metrado

Pplosita → 2,4. hf Ppviga h or → bw. hw. 2,4. Nvig Ppviga vert → bw. hw. 2,4. p. Nvig Donde : "p" es el largo quitando el

espesor de las viguetas horizontales

Nvig =1.00

n

Considerando unidades usuales de 30x30, el número de viguetas por m “n” será de 2.5, y el valor de “p” igual a 0.75m Piso terminado de 100kg/m2

- Vigas Tipos de apoyos:

- Muros de concreto - Albañilería - Sólo columnas

Cuando se tenga una losa apoyada en vigas

a,b -> longitud l ibre (a las caras) Cuando se tenga una losa apoyada en columnas

“l”= luz libre a ejes de columnas Nota:

cada método indica como hallar la franja central y la de columna.

Rigidez viga-losa

Para cada paño se calcula el valor de “ α”

α = IvIl

Para losas sin vigas α=0 Iv → inercia de la viga Il → inercia de la losa

- Calculo de Iv : n ≤ 4. hf

a

b

1.00m

1.00mA

A'

hf

n

bw

hw

Corte A-A'

b

a

α

α

α

α

αm

Franja decolumna

Franjacentral

Franja decolumna

l

Franja decolumna

Franjacentral

Franja decolumna

45°

hf

n

45°

hf

n

hf

n

n'

45°



- Cálculo de Il

αm= promedio de los α’s de cada paño. Predimensionamiento:

• Si: 0.2 ≤ αm ≤ 2.0

h ≥ln.�0.8 + fy

14000�

36 + 5β(αm − 0.2)

Donde:

β =Dimensión largaDimensión corta

=ba

; b ≥ a

ln = Luz libre h ≥ 12.5

• Si: αm > 2.0

h ≥ln.�0.8 + fy

14000�

36 + 9β

• Si: αm < 0.2

∴ losas sin vigas ACI – 1960

h=perímetro

180

- Losas apoyadas en vigas Método de Coeficientes:

De acuerdo a los cuadros se determina en que caso se encuentra cada paño, tomando en cuenta los apoyos.

Las franjas de columna y centra se determinan de acuerdo a la dirección que se esté analizando. Para el diseño se toma una franja de 1.00m de la franja central.

Para los momentos extremos negativos, se considera que es 1/3 del momento positivo.

Se debe de compatibilizar los momentos del paño I y II.

- Si la diferencia entre dichos momentos de menor al 20% se trabaja con el mayor.

- Si es mayor al 20%, se calcula las rigideces para compatibilizar.

RI =I(I)

A(I), RII =

I(II)

A(II)

△M. RI∑ Ri

, para paño I

△M. RII∑ Ri

, para paño II

I: inercia de la losa Al mayor momento se le resta su correspondiente, y al menor se le suma el correspondiente. El diseño se realiza paño por paño, para el cálculo de los coeficientes se determina el valor “m”.

m=AB

A= menor longitud. B= mayor longitud. Entonces: M=coef.Wu. l2 Se trabaja con Wu, está dada por m2. Siempre en la menor longitud se da el mayor momento. Para los momentos en la franja de columna, se le considera que es 1/3 del momento negativo correspondiente.

l'/2 l''/2

hf

b

a

α

α

α

α

αm

b

a

b/4

b/4

b/4

b/4

Franja deColumna

Franja deColumna

Franjacentral

b

a

1.00m

1.00mh

I II

M(+) M(+)

M(-)M(-)=M(+)/3

M(-) M(-)

II II

I

II II

A(I) A(II)

b

a

M(-)

M(-)/3



- Este método permite el análisis de losas sin vigas.

Método Directo:

l1= dirección analizada l2= dirección transversal Para la franja de columna para cada lado se toma el 25% de la dirección más corta.

Lo que queda entre franja y franja de columna es la franja central. En la franja de columna puede como no haber viga.

- Tener como mínimo 3 paños por c/dirección Restricciones:

- La carga en Fuerza/Área uniformemente repartida.

- b≤2a - las longitudes de 2 paños adyacentes no

deben diferir en más de 1/3 de la luz mayor. - Las columnas deben estar alineadas. - Se permite un desalineamiento hasta un max.

De 10% del “l” de la longitud transversal a la analizada. d≤(0.10).m

- Wcv≤3Wcm - Relación viga-losa relativa en direcciones

perpendiculares, debe de cumplir:

0.2≤α1 . l2

2

α2 . l12 ≤ 5

m,n= franja de columna p,q= franja central que corresponde a ese paño. Se halla el Momento Amplificado (Mo):

Mo =Wu. l′2. ln2

8

Donde: ln=luz l ibre entre columnas

l '2=l2′′

2+

l2′′′

2

Si hubiesen capiteles o ábacos “ln” es la longitud de columna entre columna quitando el espacio que ocupan los capiteles y los ábacos, y este debe de ser mayor al 65% de la luz entre columnas.

a) Paños interiores: M(-), M(+)

M(-)=0.65Mo M(+)=0.35Mo

b) Paños exteriores: Tomando en cuenta las variaciones que puede existir.

l1' l1'' l1'''

l2'

l2''

l2'''

0.25l2''' ó 0.25l1'

0.25l2'' ó 0.25l1' d

α1

α2

m

Dirección que se está analizando

l1' l1''

l2'

l2''

l2'''

n

m

q

pl2''/2

l2'''/2

ln

p n m q

P. exteriores P. interiores P. exteriores

Me

Mex(+)

MiM(-)

M(+)

M(-)



Borde exterior no restringido

Losa con vigas en todos los apoyos

Losas sin vigas interiores Borde exterior totalmente restringido

Sin vigas de borde

Con vigas de borde

Mi 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65 Mex(+) 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Me 0.00 0.16 0.26 0.30 0.65 Estos momentos son los totales, entonces se procede a calcular los momentos que se presentan en la franja de columna para que por diferencia se calculan los momentos en la franja central. Dentro de la franja de columna hay parte de losa, esto es parte del análisis. Momentos Franja Columna: (se puede interpolar), α1=α a.1) M. interiores: M(-),Mi l2/l1 0.50 1.00 2.00 α.l2/l1=0 0.75 0.75 0.75 α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45

a.2) M(+) l2/l1 0.50 1.00 2.00 α.l2/l1=0 0.60 0.60 0.60 α.l2/l1≥1.00 0.90 0.75 0.45

a.3) M(-)ext: “teniendo en cuenta la viga transversal

β=Ecb .c

2.Ecl.Il

donde:

c=��1-0,63.xy� .

x3 y3

x: menor longitud del rectángulo y: mayor longitud del rectángulo. Se tienen que hacer varias disposiciones, y escoger el mayor “c”, como por ejemplo la siguiente disposición:

l2/l1 0.50 1.00 2.00

α.l2/l1=0 Β=0 1.00 1.00 1.00 Β≥2.5 0.75 0.75 0.75

α.l2/l1≥1.00 Β=0 1.00 1.00 1.00 Β≥2.5 0.90 0.75 0.45

Con esto ya se tienen los momentos en la franja de columna, y se procede al cálculo de los momentos de la franja central.

Momentos de Franja de columna en Vigas: α. l2

l1≥ 1.0 -> 85% del Mfcol. Directo a la viga

α. l2l1

< 1.0 -> interpolar.

Diseño:

- Franja de columna: a) Sin vigas:

Ku= M(±)

(m+n)d2 , ρ, As, As/m=As/(m+n), s(φ)

b) Con vigas:

Viga: Mu(±)±Mu(±)pp (aumentar el peso propio) Losa: igual que es caso anterior solo que a la suma de “m+n” se resta el espesor de la viga “bw”.

- Franja central: La distribución es proporcional a la longitud, ejemplo para el gráfico.

M(±)p =p

p + qMF .Central (±)

- Losa con vigas: Chequeo por cortante

Al igual que lo usual, a una distancia “d” del apoyo, Entonces: ln=A-2 .d, donde A es la luz libre entre columnas.

Vu =Wu. ln

2 (medio)

Vu = 1.15Wu. ln

2 (extremo )

Debe de cumplir: Vu ≤ ϕVc Vc = 0,53.√f′c.bw. d; φ = 0.85

hf

n≤4hf

1

2

45°

α=0

Μ=0

α=1.0

Μ=85%

%

m+n

hL



- Losa sin vigas: El chequeo es por “punzonamiento” El corte es diagonal pero se considera vertical.

Vu=Wu(A-Ao)

- Si fuese una columna circular se considera un

área de una columna cuadrada equivalente. - Si fuese una columna en “L”.

Al igual debe de cumplir: Vu ≤ ϕVc

- Cortante de punzonamiento:

Vc = 0,53. �1 +2

βc� �f′c .bo.d

Vc = 0,27. �αs . dbo

+ 2� √f′c.bo.d

βc =lado largo columnalado corto columna

αS = 40 col. interiores αS = 30 col. borde αS = 20 col. esquina

Vc = 1,06.√f′c. bo. d Nota:

Si no cumple se aumenta el peralte de la losa o se usa ábacos o capiteles, se hace el chequeo a diversas alturas para determinar el perfil del capitel o ábaco.

Se elige el menor de los 3.

Se tantea una longitud “n” para saber hasta dónde llevar el ábaco o el capitel.

Pero el cortante en cuanto a “d” se mantiene con el valor inicial de la losa sin capitel.

Area tributaria(A)

Area crítica(Ao)

d/2 d/2

Sección críticaAo->Areabo->Perímetro

d/2

d/2

d/2

d/2

n



COLUMNAS:

Análisis: - Flexo-compresión - Flexo-tracción - Pandeo (Esbeltez)

Cuantía:

• Flexión: ρ = Asbw .d

• Flexo-compresión: ρ = AsAg

- Espiral: ρ = 4.Ae

dc .s

La norma nos dice, generaliza para un M=0, Po es decir compresión pura.

- Espiral ϕ = 0,75 ϕPn = 0,85.ϕ�0,85. f ′c.�Ag − Ast � + Ast . fy� - Estribos ϕ = 0,70 ϕPn = 0,80.ϕ�0,85. f′c�Ag − Ast � + Ast . fy�

Ast= Ac ero longitudinal total. CENTROIDE PLÁSTICO:Ejm:

(deformaciones uniformes)

- Cuando existe compresión pura

� F = 0

P = Cc + Cs + C ′s Cc = 0,85. f ′c.Ag Cs = As. fy C ′s = A′s. fy Magnitud de “P”:

P = 0,85. f ′c.Ag + (As + A′ s). fy Punto de paso de “P”:

� MAs = 0

d′′ =0,85. f ′c.Ag. Zc + As. fy. Z′s0,85. f ′c.Ag + (As + A′s). fy

Para este caso:

Ag = b. t Zc = d − t

2� Z ′s = d − d′

- Cuando existe flexión pura, se calcula “Mn”:

Se toma en consideración que P no existe, entonces se tiene que calcular el valor de “c”. Falla dúctil: c ≤ d − t

2� Falla a compresión: c > d − t

2�

- Cuando actúan compresión y flexión mutuamente, es decir “flexo-compresión”

Etapa balanceada:

C=Cb a=ab De acuerdo al diagrama de deformaciones se determina que:

Cb =εc .d

εy + εc

Cb = 0,59. d

ab = k1. Cb ; k1 = 0.85 para f ′c =210kg

cm2

ab = 0,5. d

- Calcular carga axial (Pb): Pb = Cc + Cs − T Pb = 0,85. f ′c.ab . b + A′ s. f ′s−As. fy

d

d'

d''

d''CP

P

t

b

f's fs

0.85f'c

t

bMn

t

bCP

d

ε

ε' ε

c

0.85f'c

fs

T

a

CcCs

f's

Xt

Xc

Xs



Por el diagrama de deformaciones se calcula ε′s → f′s

- Calcular momento (Mb)

�MCP =0

Mb=Cc.Xc+Cs.Xs+T.Xt Con esto se hace el “diagrama de interacción”, q es el lugar geométrico de fuerzas y momentos. P=Po Mn=Mo

Para determinar más puntos, se tabulan otros valores de “c”. Si:

• C1>Cb -> P1, M1 P1>Pb -> Falla por compresión

• C2<Cb -> P2, M2 P2<Pb -> Falla por tensión

Donde: M ′o = 0,9. Mo Para la zona en flexión M ′o = 0,7. Mo Para la zona en compresión Si: P<0,1.f’c.Ag Diseñar como viga a flexión.

To = Ast. fy Ast = As + A′s

PREDIMENSIONAMIENTO: - Con estribos:

Ag ≥P

0.45f ′c

- Con espirales:

Ag ≥P

0.55f′c

Ast = ρt .Ag

Se puede colocar las siguientes cuantías.

- Cuantía mínima: 1% - Cuantía máxima: 6% - Recomendable: 1.5% a 2.5%

Efecto Local: CM, CV; no hay desplazamiento de nudos. Efecto Global: CM, CV y S; hay desplazamiento de nudos.

• Cuando no existe desplazamiento de nudos (efecto local)

Usar inercias brutas

• Cuando existe desplazamiento de nudos (efecto global)

P

M

Po

Mo Mb

Pb

M1 M2

P1

P2

Diagrama Nominal

Diagrama de Diseño

Po

Mo

0.9Mo

0,1f'c.Ag

φPo

0.70ò0.75

To

0.9To

Mb

Ma

P

Mb

Ma

P.δ P.δ

Mto. 1erorden

Mto. 2erorden oP-delta

+ =δ

Elemento de simple curvatura

Mb

Ma

P

Mb

MaMto. 1erorden


+ =

δ

Elemento de doble curvatura

δ

P.δ

P.δ



Mf = Factor. (Mto 1er orden )

Para este caso usar Inercias reducidas: Inercia de la viga: IV = 0,35. Ig Inercia de la columna: IC = 0,70. Ig M1: menor momento último M2: mayor momento último

Efecto local:

Si cumple las siguientes condiciones no es necesario el cálculo para el efecto local en elementos a compresión.

k. lur

≤ 34 − 12. �M1

M2�

34 − 12. �M1

M2� ≤ 40

Objetivo: Calcular Mc = δus . M2

Radio de giro: r = � IA

- Para una circular rectangular.

ry = 0.30t ; rx = 0.30b - Para una columna circular.

r = 0.25D • Carga crítica por pandeo (Euler)

Pc =π2. EI

(k. lu)2

Norma peruana: k = 1.0

EI =0,2. Ec. Ig + Es . Ise

1 + βd

Donde: - Ec: mod. Elast. Concreto - Ig: Inercia bruta

- Es: mod. Elast. Acero - Ise: mto. De inercia de la sección equivalente

(recordar concreto I)

EI =0,4.Ec. Ig

1 + βd

Donde:

βd =PuCM

Putotal

• Cálculo Pu

Pu = 1,4. Pcm + 1,7. Pcv Finalmente:

δus =Cm

1 − Pu0,75. Pc

Donde:

Cm = 0,6 + 0,4 �M1

M2� ; Cm ≥ 0,4

M1: Será positivo cuando sea curvatura simple, será negativo cuando se curvatura doble. M2: siempre será positivo Si en la columna existe alguna carga a lo largo de su longitud: Cm=1.00

- Excentricidad mínima: Momentos Mínimo:

emin = 15 + 0,03. h (mm) Mmin = Pu. emin

Si: Mmin > M2 → Cm=1.00

Si: k.lu

r< 22 → δs = 1.00 se acaban los chequeos

Efecto global:

M1 = M1n + δs.M1s M2 = M2n + ds . M2s

M1n → Debido a 1.25(CM+CV) M2n → DMF debido a sismo Calcular el valor de “k” usando los monogramas

Mb

Ma

P

Mb

MaMto. 1erorden


+ =

δb

Elemento de doble curvatura

δa P.δa

P.δb

t

b

y

x

φB

φA

kv1 kv2

kv3 kv4

kc3

kc1

kc2



Donde:

ϕ =∑Rc∑ Rv

,R =IL

Considerar las inercias reducidas. Para una estructura:

Q =(∑Pu). Δo

Vus. he

Q ≤ 0.06 → Arriostrado , no se mueve δs = 1 Q > 0.06 → calcular δs Donde: ∑ Pu : Suma de las cargas amplificadas muertas y vivas, acumuladas desde el extremo superior hasta el entrepiso en estudio

� Pu = 1.25(CM + CV)

∆o: Deformación relativa entre el niel superior y el nivel inferior del entre piso considerado.

∆o = 0.75R(δi −δi−1) R: factor de reducción sísmica (8 para Pórticos) Vus: Cortante del entrepiso considerado he: Altura del entrepiso medida de piso a piso La norma nos da la siguiente fórmula:

δs =1

1 − Q

Q → � Pu debido 1.4CM + 1.7CV

Si: δs > 1.5, el edificio se mueve demasiado, recalcular δs

δs =1

1 −∑Pu

0,75.∑Pc

≤ 2.5

Si: k.lu

r> 100 , hacer análisis de segundo orden.

Posibilidades:

1. No hay sismo: a. Cuando un momento es mas grande

que el otro la tendencia es que la columna trabaje unidireccional, caso para losa unidireccional.

b. Cuando ambos momentos son parecidos, la tendencia es que la columna trabaje bidireccional, caso losa bidireccional

2. Cuando hay sismo a. Se coloca acero en todas la caras ya

que el sismo viene por todo lado b. Se tiene que hacer un diagrama para

cada dirección i. Cuando “ex” existe y “ey=0”

ii . Cuando “ey” existe y “ex=0”

Si cumple ambos diagramas, el diseño se acaba.

Cuando no existe momento. Pon = 0,85. f ′c.�Ag − Ast � + fy. Ast

Verificación del Efecto Biaxial:

a) Pu ≥ 0,1.ϕ. Pon

Predomina el efecto a COMPRESIÓN

1Pn

=1

Pnx+

1Pny

−1

Pon

Pnx= carga nominal (ey=0) Pny= carga nominal (ex=0) Pn= carga nominal por efecto biaxial.

Se chequea para las hipótesis 1era hipótesis Pu ≤ ϕ . Pn 2da hipótesis Pu ≤ ϕ . Pn ϕ = 0.75 Espiral ϕ = 0.70 Estribos

b) Pu < 0,1.ϕ. Pon Predomina el efecto a FLEXIÓN.

Muxϕ. Mnx

+Muyϕ. Mny

≤ 1.0 ; ϕ = 0,9

y

x

Mcm,McvMsy, Psy

Mcm,McvMsx, Psx

y

x

ex

ey

M

P

Mux

Pnx

Mnx

Pux

ey=0



1) Pn = 0,85. f ′c.a. bw + A′ s. f ′s− As. fs 2) Mn = Pn. e = 0,85. f ′c.a. bw.�y − a

2� � +A′s. f ′s.(y − d′) + As. fs.(d − y)

3) As y A’s fluyen fs=f’s=fy 4) Recomendable As=A’s

Entonces: y = h

2� Pn = 0,85. f ′c.a. bw

Mn = 0,85. f ′c.a. bw. �h2� − a

2� � + As. fy(d − d′)

Pn. e = Pn. �h2� − a

2� � + As. fy. (d − d′) Pero:

a =Pn

0,85. f ′c.bw

e =MuPu

Reemplazando:

Pn. e = 0,5. Pn �h −Pn

0,85. f ′c.bw�+ As. fy. (d − d′)

Resolver y encontrar Pn. Finalmente chequear ϕPn ≥ Pu

Diseño por Corte:

Sección crítica de corte a una distancia “d”

Vc = 0,53.√f′c. �1 +Nu

140. Ag� . bw. d

Vuϕ

= Vc + Vs

Vs =Ax . fy. d

s

s(ϕ) =Ax . fy.dVuϕ − Vc

Nu: Carga axial última “Nu” puede variar debido a que en la parte inferior aumenta por el peso propio de la columna, si no es considerable el aumento se puede despreciar. Estribos:

- 8mm -> hasta ∅L = 5/8" - De 3/8” -> hasta ∅L=1” - De ½” -> ∅L >1”

• Lo: longitud de confinamiento, máximo de - Ln/6 - t (t>b) - 50cm

• So: separación entre estribos, menor de - 8db (el de menor diámetro) - b/2 (b<t) - 10cm

Tipo 2: Pórticos

• Lo: longitud de confinamiento, máximo de o Ln/6 o t (t>b) o 50cm

• So: separación entre estribos, menor de o 6db (el de menor diámetro) o b/3 (b<t) o 10cm

S: separación de estribos en la zona fuera de la zona longitud de confinamiento

S → ≤ 10db25cm

bw

h

y

d'

d

As'

As

CP

ε'sc a f's

fsεs

0,85.f'cCs

Cc

T

ZcZs

ZT

M

CIMENTACIONES

S

So

10cm

tb

Lo

Lo



- Cimentaciones Superficiales Df ≤ 3m

- Cimentaciones Profundas Df > 3𝑚𝑚

- Datos conocidos para diseño de cimentaciones

o Df: profundidad de desplante o σt : Capacidad portante del suelo

•

Zapatas Aisladas:

- Esfuerzo a compresión: σ = PA

- Esfuerzo a flexión: σ = M.vI

Existen 2 casos:

σ1 =

PA

+M. v

I

σ2 =PA−

M. vI

e =MP

Caso 1: Si e > L

6

(Recordar que el suelo no admite tracciones)

σ1 =

2. P

3. B.�L2 − e�

Donde: P = R = p + Ppzap Se estima para Ppzap:

σt ≤ 2 kgcm 2 → Ppzap ≅ 10%p

σt > 2 kgcm 2 → Ppzap ≅ 5%p

Queda claro que al determinar las dimensiones de la Zapata se tiene que recalcular el Ppzap.

Recomendación: Para el peralte de la zapata hz, este sea igual o mayor a la

Hacer que m=n.

longitud de desarrollo de los aceros que llegan de la columna mas 10cm.

Caso 2: Si e ≤ L6

σ1 =PA�1 +

6. eL�

PREDIMENSIONAMIENTO: Ojo:

Tener cuidado con el momento y cargas debido al Sismo ya que estas al aplicarse la formula dada por la Norma E-030 Sismoresistente ya se encuentra amplificada (se debe de especificar si lo está o no), si es el caso dividir por 1.25.

El predimensionamiento se realiza con “Cargas de Servicio” (Sin amplificar).

- Procedimiento:

Calcular p = ∑ p

Chequeo por estado Estático (no incluir cargas y momentos debido al sismo)

Calcular M = ∑M R = p + %p ; %p = Ppzap

A =Rσt

Conocido “A”, dimensionar la Zapata Recalcular: R = p + PpzapReal

e =MR

<>L6

Ir a los casos 1 o 2 dependiendo del valor que tome “e” Calcular σ1 ≤ σt ; debe de ser menor a la capacidad del suelo.

-

Calcular p = ∑ p

Chequeo por estado Dinámico o Sismo (incluir cargas y momentos debido al sismo)

Calcular M = ∑M R = p + Ppzap

e =MR

<>L6

Calcular σ1 ≤ σst = 1.33σt Con todo esto, ya se tendrían las dimensiones de la Zapata, ahora se procede a los chequeos para verificar si son correctas nuestras dimensiones. CHEQUEOS: Se usan las hipótesis para hacer una envolvente de esfuerzos

σ2

σ1

σ2

σ1

L

xe

σ1

P

B

L

nm



Se escoge el Esf. Promedio o el Máximo para distribuir un Diagrama uniforme de Esfuerzos: 𝜎𝜎𝑢𝑢

a) Punzonamiento:

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵. 𝐿𝐿

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑋𝑋𝐴𝐴.𝑌𝑌𝐴𝐴

𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑏𝑏𝐴𝐴 = Perímetro 𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 (𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴)

b)

𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 .𝐵𝐵. (𝑚𝑚 − 𝑑𝑑)

Corte por Flexión:

En la otra dirección: 𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 .𝐿𝐿 . (𝑛𝑛 − 𝑑𝑑)

c)

𝑀𝑀𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 .𝐵𝐵.𝑚𝑚2

2

Flexión:

En la otra dirección:

𝑀𝑀𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 .𝐿𝐿 .𝑛𝑛2

2

Si m=n, entonces se puede analizar por 1m de ancho, en decir L=B=1m, en tal caso solo se analiza una sola dirección.

Casos Especiales

- Columna metálica:

- Mampostería:

- Columna Circular y poligonal:

Tomar un área equivalente a una columna Cuadrada

- Columna en L:

Existe el diseño para Zapatas de Concreto Armado y de Concreto Simple. Para Zapatas de Concreto Ar mado:

𝑉𝑉𝑢𝑢𝜙𝜙

≤ 𝑉𝑉𝑐𝑐 ; 𝜙𝜙 = 0.85

a) Punzonamiento: usar el menor de:

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53. �1 +2𝛽𝛽� �𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝑏𝑏𝐴𝐴 . 𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,27. �𝛼𝛼𝑠𝑠 .𝑑𝑑𝑏𝑏𝐴𝐴

+ 2� �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝐴𝐴 . 𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 1,06.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝐴𝐴. 𝑑𝑑 Donde:

𝛽𝛽 =𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝐴𝐴𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑙𝑙𝑢𝑢𝑚𝑚𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑛𝑛𝐴𝐴𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑙𝑙𝑢𝑢𝑚𝑚𝑛𝑛𝑙𝑙

• 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 40; 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑙𝑙 . 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝐴𝐴𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠 • 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 30; 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑙𝑙 . 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑖𝑖𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝐴𝐴𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠 • 𝛼𝛼𝑠𝑠 = 20; 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑙𝑙 . 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛𝑑𝑑𝑚𝑚𝑙𝑙𝑠𝑠

σmaxσprom

d/2

d/2

Xo

Yo

B

L

B

d

m

σu

B

σu

Mu

m

n

n/2

XSección crítica por Flexión

t

t/4

X

d/2

d/2

d/2

d/2



b) Corte por Flexión: 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝑏𝑏𝑏𝑏 . 𝑑𝑑

Si m=n, entonces bw=100cm=1m

c) Flexión:

𝑑𝑑 = ℎ𝑧𝑧 − 10𝑐𝑐𝑚𝑚

𝐾𝐾𝑢𝑢 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝑠𝑠 → 𝐴𝐴𝑠𝑠/𝑚𝑚 Donde 𝜌𝜌 sigue las reglas para la cuantía en Losas, es decir: Si:

𝜌𝜌 < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 (𝑙𝑙𝐴𝐴𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠) 𝜌𝜌 ′ = 𝜌𝜌 + 1

3𝜌𝜌

𝜌𝜌 ′ < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚 𝜌𝜌 ′ 𝜌𝜌 ′ ≥ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑖𝑖𝐴𝐴𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

Para Zapatas de Concreto Simple: Para todos los casos 𝜙𝜙 = 0.65

𝑉𝑉𝑢𝑢𝜙𝜙

≤ 𝑉𝑉𝑐𝑐

ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑚𝑚

a) Punzonamiento: Tomar el menor de:

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,35 �1 +2𝛽𝛽� �𝑓𝑓′𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝐴𝐴 . ℎ

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,70.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝐴𝐴 . ℎ

b) Corte por flexión: 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,35.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝑏𝑏. ℎ 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 100𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

c) Flexión: 𝜙𝜙𝑀𝑀𝑛𝑛 ≥ 𝑀𝑀𝑢𝑢

𝑀𝑀𝑛𝑛 = 1,33.�𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑚𝑚 → 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑛𝑛 = 0,85. 𝑓𝑓 ′𝑐𝑐 . 𝑆𝑆𝑚𝑚 → 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑚𝑚𝐶𝐶𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠𝑖𝑖ó𝑛𝑛

Donde: Sm: Módulo de sección.

𝑆𝑆𝑚𝑚 =𝐼𝐼𝑣𝑣

Para Concreto Simple: 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 = 145 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐𝑚𝑚 2

Para Concreto Ciclópeo: 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 = 100 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐𝑚𝑚 2

Si existiese momentos en ambas direcciones se tiene que hacer un diagrama de esfuerzos en el espacio (Resistencia de materiales I), para poder determinar el esfuerzo último.

• Se da por superposición de Zapatas Aisladas

Zapatas Combinadas

R= resultante de la fuerzas actuantes en las columnas

𝐴𝐴 =𝑅𝑅 + 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑧𝑧𝑙𝑙𝐶𝐶

𝜎𝜎𝑖𝑖

Para el Ppzap: 𝜎𝜎𝑖𝑖 ≤ 2 𝐾𝐾𝑘𝑘

𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 20% @ 15% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅

𝜎𝜎𝑖𝑖 > 2 𝐾𝐾𝑘𝑘𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 10% 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅

Recomendación: Hacer coincidir el C.G. de la Zapata con el punto de aplicación de la fuerza R Ojo:

𝑛𝑛 ≤ 2𝑚𝑚

Con la presencia de Momento

𝑅𝑅𝑇𝑇 = 𝑅𝑅 + %𝑅𝑅

𝑑𝑑 =𝑀𝑀𝑖𝑖𝑅𝑅𝑇𝑇

<>𝐿𝐿6

PROCEDIMIENTO:

1. Dimensionar las zapatas de cada columna como si fueran aisladas.

2. Si las zapatas de superponen, hacerla combinada.

Idealización:

- Para el sentido Longitudinal

100cm

hz

BR

L/2 L/2

BR n

L/2 L/2

R

Mi

σ1

Wu=σu.B

P1

M1

P2

M2



- Para el sentido transversal

Los aceros resultantes colocarlos en el ancho “2h+b” el resto colocarlo al doble de separación o colocar la cuantía mínima de losas (0.0018).

Corte a -a

CHEQUEOS: - Corte:

Igual que el caso anterior - Punzonamiento:

Para el chequeo por punzonamiento, se debe de hacer lo siguiente: A partir de la idealización realizada para el sentido longitudinal, trazar el diagrama de fuerzas cortantes. En el punto donde el cortante es CERO, separarlos como zapatas aisladas Finalmente aplicar la fórmula ya conocida para Vu

𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 (𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴) Y aplicar las mismas formulas dadas para Zapatas de concreto Armado Nota: Se recomienda que las Zapatas Combinadas tengan un peralte de 0.70m, excepcionalmente 0.60m

Todas las Zapatas Combinadas son ARMADAS.

•

Zapatas Conectadas

Esto se da cuando existe un Límite de Propiedad y se quiere salvar el Momento generado.

𝑑𝑑𝑘𝑘 = Excentricidad Geométrica

𝑑𝑑 =

𝑀𝑀𝑃𝑃

; 𝑑𝑑:𝐸𝐸𝑒𝑒𝑐𝑐𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏𝑖𝑖𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑀𝑀𝐴𝐴𝑚𝑚𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝐴𝐴

Finalmente se tiene:

𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑘𝑘 <>𝐿𝐿6

Generalmente; 𝑑𝑑𝑖𝑖 > 𝐿𝐿6� → 𝜎𝜎1

𝑅𝑅1 = 𝑃𝑃1 +𝑃𝑃1 . 𝑑𝑑𝑘𝑘𝐿𝐿

, 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝐴𝐴𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠 𝐴𝐴1 =𝑅𝑅1 + %𝑅𝑅1

𝜎𝜎𝑖𝑖

𝑅𝑅2 = 𝑃𝑃2 −𝑃𝑃1 .𝑑𝑑𝑘𝑘𝐿𝐿

, 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝐴𝐴𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠 𝐴𝐴2 =𝑅𝑅2 + %𝑅𝑅2

𝜎𝜎𝑖𝑖

- Las zapatas se diseñan como zapatas aisladas - La viga cimentación es como una viga simple,

dibujar los DMF y DFC y hacer el diseño por flexión y corte

- Recordar que para el dimensionamiento se trabajan con CARGAS DE SERVICIO Y al diseñar se trabajan con CARGAS ÚLTIMAS

Wu=σu

a

a

b

2h+b

h

45° 45°

Viga de Cimentación

eg

L.P.

P

M

P1 P2

eg L

R1 R2

Pu1 Pu2+Ppzu2

eg L

Ru1 Ru2

Ppzu1



Es recomendable que el “bw” de la viga de cimentación sea del mismo ancho que el de la columna Para corte siempre chequear

𝑉𝑉𝑠𝑠 ≤ 2,1�𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝑏𝑏𝑏𝑏 . 𝑑𝑑 Generalmente el corte no es influyente, entonc es colocar el estribaje mínimo: 3/8” ([email protected], [email protected], rsto @ 0.25) Aparte del los aceros que se le coloca al la viga, colocar en el medio 0.1As por contracción del acero separado un máximo de 30cm

Si la zapata a conectar está muy lejana de las demás se puede dimensionar un cubo de Cº Simple para equilibrar, pero siempre colocarle una malla de 3/8” @30cm.

•

Cimientos

Se analiza por 1m de ancho

-

Cargas Distribuidas

Resultante de la carga distribuida w = P

𝐴𝐴 =𝑃𝑃 + %𝑃𝑃

𝜎𝜎𝑖𝑖

Generalmente

𝑃𝑃𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝐴𝐴 = [email protected]𝑖𝑖𝑛𝑛

Entonces:

𝑏𝑏 =𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑐𝑐𝑖𝑖𝑚𝑚

100𝜎𝜎𝑖𝑖

-

Cargas Puntuales:

CHEQUEOS

- No hay chequeo por corte -

Flexión:

Para todo Cº Ciclopeo: 𝜙𝜙 = 0.50

𝜎𝜎 =𝑀𝑀𝑆𝑆

=𝜎𝜎𝑢𝑢 .𝑛𝑛

2

2 .100𝑆𝑆

𝑆𝑆 =ℎ2

6

ℎ = ℎ𝑧𝑧 − 5𝑐𝑐𝑚𝑚

Usar las mismas expresiones de los chequeos para Concreto Simple antes dadas

𝑓𝑓′𝑐𝑐 ≤ 100 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐𝑚𝑚2

CHEQUEOS PARA TODAS LOS TIPOS DE ZAPATAS

- Corte Fricción: 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝜇𝜇. 𝑓𝑓𝑚𝑚.𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑅𝑅 ≥ 𝑉𝑉𝑢𝑢

𝜇𝜇 = 0,6𝜆𝜆

𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐 : Ac ero proveniente de la Columna Si es menor ser usan Dowels y se encuentra As por simple diferencia

- Aplast amiento:

𝜙𝜙𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝜙𝜙 . 0,85.𝑓𝑓′ 𝑐𝑐.𝐴𝐴1 ; 𝜙𝜙 = 0,70 𝐶𝐶º𝐴𝐴º O si no cumple usar:

𝜙𝜙𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝜙𝜙 . 0,85. 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐.𝐴𝐴1.�𝐴𝐴2

𝐴𝐴1

�𝐴𝐴2𝐴𝐴1≤ 2.0

𝑃𝑃𝑅𝑅 = 𝑃𝑃𝑢𝑢 − 𝑃𝑃𝑛𝑛

𝐴𝐴𝑠𝑠 =𝑃𝑃𝑅𝑅𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑚𝑚

;𝜙𝜙 = 0,70

0.1As

As/3

2As/3

As/3

3/8"@30cm

1m

P

w

b1m

P

bw

t

bw+4t=L



mailto:[email protected]�

mailto:[email protected]�

Donde

MUROS DE CONCRETO ARMADO

• Solo actúa a cargas de Gravedad

Muros de Gravedad:

𝜙𝜙𝑃𝑃𝑛𝑛 = 0,55.𝜙𝜙 . 𝑓𝑓′ 𝑐𝑐.𝐴𝐴𝑘𝑘 . �1 − �𝑘𝑘 . 𝑙𝑙𝑐𝑐32. 𝑖𝑖

�2

�

𝜙𝜙 = 0,70

Valores de “k”: K=0.80 (Restringido en uno o ambos apoyos) Es decir: Empotrado-Articulado ó Empotrado-Empotrado K=1.00 (no hay restricción en los apoyos) Es decir: Articulado-Articulado K=2.00 (muro en volado) PREDIMENSIONAMIENTO:

𝑖𝑖 ≥𝑙𝑙𝑐𝑐25

𝑚𝑚 𝑖𝑖 ≥ 10𝑐𝑐𝑚𝑚

Para muros en Sótanos 𝑖𝑖 ≥ 20𝑐𝑐𝑚𝑚

𝜙𝜙𝑃𝑃𝑛𝑛 ≥ 𝑃𝑃𝑢𝑢

- Para Cargas Distribuidas:

𝑊𝑊𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑙𝑙𝑐𝑐 . 𝑖𝑖 . 1𝑚𝑚 . 2.4𝑖𝑖𝑛𝑛/𝑚𝑚3 No olvidar que para calcular Pu, aumentar el peso propio del muro Wpp.

𝐴𝐴𝑘𝑘 = 100. 𝑖𝑖

- Para Cargas Distribuidas + Cargas Puntuales:

Si se superponen las proyecciones para las cargas tomar la mitad de la izquierda y la mitad de la derecha.

𝑊𝑊𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑖𝑖. (𝑏𝑏𝑖𝑖 + 4𝑖𝑖) . 𝑙𝑙𝑐𝑐 . 2,4 Hay que colocar acero debido a las contracciones del concreto:

𝜌𝜌ℎ𝐴𝐴𝑚𝑚𝑖𝑖𝑧𝑧𝐴𝐴𝑛𝑛𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙 ≥ 0.002 𝜌𝜌𝑣𝑣𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙 ≥ 0.0015

𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝜌𝜌. 100. 𝑖𝑖

Separación: 𝑆𝑆 ≤ 3𝑖𝑖

𝑆𝑆 ≤ 40𝑐𝑐𝑚𝑚

Si 𝑖𝑖 ≥ 20c𝑚𝑚 , colocar 2 capas de acero

•

Muros de contención:

E= Empuje Activo

𝐸𝐸 =12

.𝐾𝐾𝑙𝑙. 𝛾𝛾 . ℎ2

𝐾𝐾𝑙𝑙 =1 − 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑛𝑛𝑠𝑠1 + 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑛𝑛𝑠𝑠

= 𝑖𝑖𝑙𝑙𝑛𝑛2 �45 −𝑠𝑠2�

Ep= Empuje Pasivo Si:

- 𝐷𝐷𝑓𝑓 ≥ 1.00𝑚𝑚 -> Considerar Ep - 𝐷𝐷𝑓𝑓 < 1.00𝑚𝑚 -> Despreciar Ep

A1

A2

12

lc

t

lc

tWcm,Wcv

Wpp

Pulc

1m

Pi-1 Pi

bi-1 bi

bi+4t

FR

W2

W1

W3

yDf

E

o

Epyp



PROCEDIMIENTO: 1. Predimensionamiento 2. Chequeo por Volteo, Deslizamiento y

Presiones 3. Diseño Estructural

CHEQUEAR:

a) Deslizamiento:

𝐹𝐹𝑆𝑆𝐷𝐷 =𝜇𝜇 ∑𝑊𝑊𝑖𝑖 + 𝐸𝐸𝐶𝐶

𝐸𝐸≥ 1,5

𝜇𝜇 = 0,5 − 0,6 Tomar generalmente: 𝜇𝜇 = 0,55

b) Volteo: - 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝐸𝐸 . 𝑚𝑚 - 𝑀𝑀𝑅𝑅 = ∑𝑊𝑊𝑖𝑖 .𝑋𝑋𝑖𝑖 + 𝐸𝐸𝐶𝐶. 𝑚𝑚𝐶𝐶

𝐹𝐹𝑆𝑆𝑉𝑉 =𝑀𝑀𝑅𝑅

𝑀𝑀𝑙𝑙𝑐𝑐𝑖𝑖≥ 2,0

c) Presiones:

𝑒𝑒 =𝑀𝑀𝑅𝑅 − 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑐𝑐𝑖𝑖

∑𝑊𝑊𝑖𝑖

𝑑𝑑 =𝐿𝐿2−𝑒𝑒 <>

𝐿𝐿6

Calcular: 𝜎𝜎1 ≤ 𝜎𝜎𝑖𝑖 PREDIMENSIONAMIENTO:

𝐿𝐿 ≈𝐻𝐻2

ℎ𝑧𝑧 ≈ 0,10𝐻𝐻 ;ℎ𝑧𝑧 ≥ 0.50𝑚𝑚 𝑑𝑑e𝑏𝑏𝑖𝑖𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑙𝑙 𝑙𝑙𝐴𝐴𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑚𝑚𝐴𝐴𝑠𝑠 𝑛𝑛 ≈ 0.10𝐻𝐻 𝑑𝑑 ≥ 15𝑐𝑐𝑚𝑚

Se recomienda: 15cm para Concreto Armado y 20cm para Concreto Simple y Ciclópeo

- ℎ𝐶𝐶 ≤ 3.00𝑚𝑚 : Muro de C.A., C.S., C.C. Recomendaciones:

- 3.00𝑚𝑚 < ℎ𝐶𝐶 ≤ 8.00𝑚𝑚 : Muro de C.A. - ℎ𝐶𝐶 > 8.00𝑚𝑚 : C.A. Contrafuerte

Considerar:

Empuje del Suelo es CV en la Pantalla y Peso Propio del Suelo es CM para la Zapata

MUROS EN VOLADIZO

Diseño de la Pantalla:

- El diseño por Corte: normalmente se chequea

a una distancia “d”, pero en este caso como no se conoce “t” se chequea con el valor “Vu”.

- Diseño por Flexión:

Para C.A, C.S o C.C. 𝑀𝑀𝑢𝑢 ≤ 𝜙𝜙𝑀𝑀𝑛𝑛

Para Concreto Armado

o Corte 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑏𝑏𝑏𝑏. 𝑑𝑑

Hacemos: 𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑐𝑐 → 𝑑𝑑 → 𝑖𝑖 Entonces tenemos el valor de “t”:

o Flexión 𝐾𝐾𝑢𝑢 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝑠𝑠

Pero 𝜌𝜌 ≤ 𝜌𝜌1 = 0.18. 𝑓𝑓′𝑐𝑐𝑓𝑓𝑚𝑚

Con esto se tiene el “Ac ero Vertical Principal”. También se colocar acero en forma horizontal, tomando la cuantía mínima dada en muros, teniendo con esto el “Acero Horizontal Principal”. Adicionalmente se coloca otra capa de acero, con las cuantías mínimas dadas en muros.

Para Concreto Simple y Ciclópeo o Corte: 𝑉𝑉𝑛𝑛 = 0,35.�𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑏𝑏𝑏𝑏 . ℎ

𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑛𝑛 → ℎ → 𝑖𝑖 ; 𝐶𝐶𝑆𝑆 𝜙𝜙 = 0,65𝐶𝐶𝐶𝐶 𝜙𝜙 = 0,50

o Flexión: 𝑀𝑀𝑛𝑛 = 1,33�𝑓𝑓′ 𝑐𝑐. 𝑆𝑆𝑚𝑚

𝑀𝑀𝑢𝑢 ≤ 𝜙𝜙𝑀𝑀𝑛𝑛

∑W

FH

Ro

x

L

CRESTA

PANTALLA

PUNTATALÓN

hpH

e

tn

L

hz

Mu Vu

Ep

yp Mp

Wp

hp

Mu

d

100cm

Acero VerticalPrincipal

Acero HorizontalPrincipal

Aceromínimo



Diseño de la Zapata:

En la Punta:

En el Talón:

MUROS CON CONTRAFUERTE

𝑖𝑖 ≥ 20𝑐𝑐𝑚𝑚

S= Longitud libre entre Contrafuertes

𝑆𝑆 = 2,5 @ 3,5𝑚𝑚 𝑑𝑑 ≥ 30𝑐𝑐𝑚𝑚

Para los CHEQUEOS por Deslizamiento, Volteo y Presiones, tomar una franja de la siguiente manera:

Diseño de la Pantalla

Diseño por Flexión: o Para el acero Horizontal

𝑃𝑃𝑖𝑖 = 𝛾𝛾𝑠𝑠.𝐾𝐾𝑙𝑙. ℎ(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑖𝑖𝑢𝑢𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙)

No olvidar amplificarlo por 1.7, el diseño se hace por metro.

𝑊𝑊𝑢𝑢𝑖𝑖 = 1,7.𝑃𝑃𝑖𝑖

𝑀𝑀(+) =𝑊𝑊𝑢𝑢 . 𝑆𝑆2

16

𝑀𝑀(−) =𝑊𝑊𝑢𝑢 . 𝑆𝑆2

11

𝐾𝐾𝑢𝑢 =𝑀𝑀(±)

100. 𝑑𝑑2 → 𝜌𝜌 → 𝐴𝐴𝑠𝑠

𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 0,0018.100. 𝑑𝑑 <> 𝐴𝐴𝑠𝑠 En la franja (P4) el acero resultando se repite en la en la última franja (3/8S).

o Para el acero Vertical

𝑀𝑀4 (−) = 0.03.𝐾𝐾𝑙𝑙. 𝛾𝛾𝑠𝑠. ℎ𝐶𝐶3 .𝑠𝑠 ; 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 s = 100𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑀𝑀5(+) =𝑀𝑀4(−)

4

Diseño por Corte:

𝑉𝑉𝑢𝑢𝑑𝑑 =𝑊𝑊𝑢𝑢(𝑠𝑠′ − 2𝑑𝑑)

2

Donde: s’ es la distancia a ejes de los contrafuertes 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 100. 𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑢𝑢 ≤ 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑐𝑐

Ws1Ws2

Ws2

Se toma el mayor

Se puede despreciarsi no es significativo

Ws1

Se toma el promedioó se puede despreciar

S

e

t

S

hp

hp

S S

S+e

hz

S

hpM(+)

3/8S

h

h

h

hP1

P2

P3

P4

En esta sección tiene uncomportamiento como losabidireccional

1/16 1/11 1/16

M(-)

M4

M5



Diseño del Contrafuerte

𝑛𝑛′ → 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝐴𝐴

𝑚𝑚′ →6𝑐𝑐𝑚𝑚 𝐶𝐶𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑙𝑙𝐶𝐶𝑙𝑙9𝑐𝑐𝑚𝑚 𝐶𝐶𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 2 𝑐𝑐𝑙𝑙𝐶𝐶𝑙𝑙𝑠𝑠

𝑚𝑚 = 𝑚𝑚′ + 𝑛𝑛′ → 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛. 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑛𝑛𝑠𝑠

o Diseño por Flexión:

𝐸𝐸𝑢𝑢𝐶𝐶 = 1,7. �12

.𝐾𝐾𝑙𝑙. 𝛾𝛾𝑠𝑠. ℎ𝐶𝐶2. (𝑆𝑆 + 𝑑𝑑)�

𝑀𝑀𝑢𝑢 = 𝐸𝐸𝑢𝑢𝐶𝐶 .ℎ𝐶𝐶3

𝑇𝑇𝑢𝑢 =𝑀𝑀𝑢𝑢𝑛𝑛′

𝐴𝐴𝑠𝑠 =𝑇𝑇𝑢𝑢𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑚𝑚

; 𝜙𝜙 = 0,90

Calculando el empuje más hacia arriba, se puede realizar corte de Acero.

o Diseño por Corte: 𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝐸𝐸𝑢𝑢𝐶𝐶 − 𝑇𝑇𝑢𝑢 . 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,53.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 . 𝑑𝑑. 𝑛𝑛′

𝑉𝑉𝑢𝑢 ≤ 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑛𝑛

𝑉𝑉𝑠𝑠 =𝑉𝑉𝑢𝑢𝜙𝜙

− 𝑉𝑉𝑐𝑐

𝑆𝑆(𝑠𝑠) =𝐴𝐴𝑣𝑣. 𝑓𝑓𝑚𝑚. 𝑛𝑛′𝑉𝑉𝑢𝑢𝜙𝜙 − 𝑉𝑉𝑐𝑐

Se puede aumentar el espaciamiento conforme se sube

- Verificación del acero horizontal (caso si la pantalla tienda a arrancarse del contrafuerte)

𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝐾𝐾𝑙𝑙. 𝛾𝛾𝑠𝑠 . ℎ𝐶𝐶. (1𝑚𝑚)(𝑆𝑆 + 𝑑𝑑)

𝑇𝑇𝑢𝑢1 = 1,7. 𝑇𝑇𝑖𝑖

𝐴𝐴𝑠𝑠ℎ =𝑇𝑇𝑢𝑢𝑖𝑖𝜙𝜙 . 𝑓𝑓𝑚𝑚

<> 𝐴𝐴𝑣𝑣

Si: 𝐴𝐴𝑣𝑣 ≥ 𝐴𝐴𝑠𝑠ℎ ; El arrancamiento está controlado 𝐴𝐴𝑣𝑣 < 𝐴𝐴𝑠𝑠ℎ ; Colocar DOWELS

- Si el Contrafuerte tiende a arrancarse de la

Zapata

𝑊𝑊 = 𝑛𝑛. ℎ𝐶𝐶. (𝑆𝑆 + 𝑑𝑑) . 𝛾𝛾𝑠𝑠

𝑇𝑇𝑢𝑢2 = 1.4.𝑊𝑊

𝐴𝐴𝑠𝑠𝑣𝑣 =𝑇𝑇𝑢𝑢2𝜙𝜙. 𝑓𝑓𝑚𝑚

O colocar el 10% del acero diseñado por Flexión

Diseño de la Zapata La zapata se asemeja a una losa bidireccional restringida en 3 de sus 4 lados, sometida a la carga distribuida uniforme (Pp del suelo y Pp de la zapata) Recordar que el Pp del suelo es CM.

•

Muros de corte o Placas

FLEXOCOMPRESIÓN:

Aplicar las hipótesis - Para los aceros extremos

θ

n

mm'

n'

Chi

Tu1

n

Lm

hm

t



𝐴𝐴𝑠𝑠 =𝑀𝑀𝑢𝑢𝑧𝑧. 𝑓𝑓𝑚𝑚

; 𝑧𝑧 = 0,60. 𝐿𝐿𝑚𝑚

1@5 pisos -> colocar 5/8” 5@8 pisos -> colocar ¾” Más de 8 pisos -> 1” Distribuir 4@6 aceros con una separación de 5@10cm

- 𝑖𝑖 ≥ 15𝑐𝑐𝑚𝑚 - 𝑖𝑖 < 15𝑐𝑐𝑚𝑚 ; Muros de Ductilidad Limitada

Si: 𝑖𝑖 ≥ 20𝑐𝑐𝑚𝑚 , colocar doble malla Además, colocar doble malla si:

𝑉𝑉𝑢𝑢 ≥ 0,53.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏 Donde: “Acw” es el área del alma. Resistencia al corte del Concreto:

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏�𝛼𝛼𝑐𝑐�𝑓𝑓′ 𝑐𝑐�

𝛼𝛼𝑐𝑐 ℎ𝑚𝑚𝐿𝐿𝑚𝑚

0,80 ≤ 1.50 0,53 ≥ 2.0

Se puede interpolar si se tiene un valor diferente de hm/Lm

- Para los aceros intermedios

Si:

𝑉𝑉𝑢𝑢 ≤ 0,27.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏 𝜌𝜌ℎ ≥ 0,002 𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0015

Separación: 𝑠𝑠 ≤ 3𝑖𝑖

𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑉𝑉𝑢𝑢 > 0,27.�𝑓𝑓′𝑐𝑐 .𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏

𝜌𝜌ℎ ≥ 0,0025

𝜌𝜌𝑣𝑣 ≥ 0,0025 + 0,5.�2,5−ℎ𝑚𝑚𝐿𝐿𝑚𝑚� . (𝜌𝜌ℎ − 0,0025)

≥ 0,0025 Separación:

𝑠𝑠 ≤ 3𝑖𝑖𝑠𝑠 ≤ 40𝑐𝑐𝑚𝑚

CORTANTE:

𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝑉𝑉𝑢𝑢𝑙𝑙 �𝑀𝑀𝑛𝑛𝑀𝑀𝑢𝑢𝑙𝑙

�

Vua: Resultado del análisis Mua: Resultado del análisis Mn: Momento nominal relacionado con la carga axial

Se tienen que hacer 2 diagramas de interacción

𝑛𝑛 ≤ 0,10. ℎ𝑖𝑖

𝑙𝑙𝑖𝑖/2

Para empezar el análisis

𝑉𝑉𝑢𝑢 = 𝑉𝑉𝑢𝑢𝑙𝑙 .𝑅𝑅 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑛𝑛 ≥ 𝑉𝑉𝑢𝑢

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝜌𝜌ℎ .𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏 . 𝑓𝑓𝑚𝑚

𝜌𝜌ℎ =𝑉𝑉𝑢𝑢

𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑐𝑐

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏 . 𝑓𝑓𝑚𝑚

Comparar: 𝜌𝜌ℎ <> 𝜌𝜌ℎ𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑠𝑠 =𝐴𝐴𝑣𝑣. 𝑓𝑓𝑚𝑚. 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑢𝑢

𝜙𝜙� − 𝑉𝑉𝑐𝑐

Momento Crítico de Agrietamiento

𝑀𝑀𝐶𝐶𝑅𝑅 =𝐼𝐼𝑘𝑘𝑉𝑉

. �2�𝑓𝑓′𝑐𝑐 +𝑃𝑃𝑢𝑢𝐴𝐴�

𝑀𝑀𝐶𝐶𝑅𝑅 ≤ 𝑀𝑀𝑢𝑢𝑛𝑛

Chequeo de los núcleos

Problema: Calcular “c”:

- Calcular iterando

Mu

Pu

Mn

n

n

li

hi

hi

Mu

Pu

MnMun

Elemento de borde

c



La norma nos dice si:

𝑐𝑐 ≥𝐿𝐿𝑚𝑚

600�𝛿𝛿𝑢𝑢 ℎ𝑚𝑚� �; 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑚𝑚𝑑𝑑𝑛𝑛t𝐴𝐴𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏𝐴𝐴𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑

𝛿𝛿𝑢𝑢ℎ𝑚𝑚

≤ 0,005

Forma simplificada de calcular “c”

𝑧𝑧 =𝑀𝑀𝑢𝑢𝑛𝑛𝐴𝐴𝑠𝑠. 𝑓𝑓𝑚𝑚

→ 𝑙𝑙 → 𝑐𝑐

Para tener una idea si la placa necesita elementos de borde, es aplicar la siguiente fórmula

𝐿𝐿𝑚𝑚(600) (0,005)

<> 𝑐𝑐

Se usa elemento de borde hasta una altura “h”:

h ≥LmMu

4. Vu ; se toma el mayor

σ(+) =Mua. v

Ig+

PuAcw

Si: - σ(+) ≤ 0,2f′c ; no usar elementos de borde - σ(+) ≤ 0,2f′c ; usar elementos de borde

Si: σ(+) ≤ 0,15f′c ; dejar de usar el elemento de borde.

Para cuando la placa tiene alas, el núcleo será:

Se usa un m=30cm, sea donde sea que caiga el bloque a compresión Ojo:

Siempre colocar el acero en todo el núcleo

- Estribos o grapas 3/8” @ 1” -> Colocar estribo o grapa de 3/8” Mayores a 1” -> Colocar estribo o grapa de ½” La separación de los estribos no será mayor que:

- s ≤ 10dbmayor - s ≤ la menor dimensión de la sección

transversal - s ≤ 25cm

CORTE FRICCIÓN:

Se da debido a posible presencia de juntas

ϕVn = μ.ϕ(Nu + Av. fy)

Vu ≤ ϕVn Donde:

- Av: Acero vertical - ϕ = 0,85 - μ = 0,6 (Generalmente) - Nu = 0,90PCM

Si: Vu > 𝜙𝜙𝑉𝑉𝑛𝑛; se tiene que colocar dowels Nota:

No se chequea por cargas perpendiculares a su plano, generalmente.

hm

δ.R=δu

a

TsCc

z

n

min15cm

m



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Formulario Final Concreto Armado