A    N    D    R    E    A
   T    I   N    O
→ Forza di Coulomb con cui una carica q è perturbata da un carica Q.
→ Campo elerico generato da una carica.
q: carica esploratrice, r versore: da Q a q.
POTENZIALE DI CARICHE PUNTI FORMI
→ Energia potenziale e potenziale elerico della forza di Coulomb e del campo.
Dove q è la carica esploratrice.
Il campo elerico è conservavo.
LA LEGGE DI GAUSS
→ Il usso del campo elerico generato da una carica complessiva Q araverso una supercie chiusa.
La supercie è chiusa e racchiude la carica.
LEGGE DI MAXWELL I
→ Dalla legge di Gauss si dierenzia e si oene la relava forma locale.
Dove rho è la densità volu- metrica di carica.
→ Dal potenziale elerico ricaviamo:
Nabla quadro è l’operatore laplaciano: somma le dericate sec- onde parziali.
CAMPI ELETTRICI DI DISTRIBUZIONI
→ Distribuzione sferica superciale:
Dove il versore è radiale da Q (carica che causa la forza) a q (carica che subisce).
Dove il versore è radiale partendo dal centro della sfera.
→ Distribuzione lineare indenita: Dove lambda è la densità lineare di carica e il versore segna la distanza dall’asse al punto.
→ Distribuzione piana indenita: Dove sigma è la densità su - perciale di carica e il versore è perpendicolare al piano e direo allontanandosi.
→ Doppia distribuzione piana indenita:
Dove sigma è la densità super - ciale di carica e il versore è perpendicolare ai piani e direo da + a -.
Due piani indeni carichi uno + e uno -.
Il campo al di fuori della regione interna ai piani è nullo.
CONDUTTORI CON CARICA ELETTROSTATICA IN EQUILIBRIO
→ In un conduore in equilibrio elerostaco il campo all’interno e sulla supercie è nullo e la supercie è equipotenziale.
Riferendosi al conduore (internamente) e alla sua supercie.
→ In un conduore in equilibrio elero- staco il campo appena prossimo alla supercie è dato dalla legge di Coulomb:
Dove il versore è perpendicolare alla supercie nel punto considerato.
INDUZIONE ELETTROSTATICA E CAPACITÀ ELETTRICA
→ Da due conduori in equilibrio elerostaco separa non connessi aven sulla supercie delle facce interne
Quando un conduore carico A di carica Q è avvicinato ad un altro conduore scarico B, ho campo dentro B, ma essendo B un condut- tore deve essere che al suo interno il campo è nullo. Per fare questo B genera una sepa - razione della sua carica neutra iniziale tale da dare una distribuzione +Q e -Q volgendo quella di carica opposta -Q al conduore A carico Q. Lo stesso meccanismo avviene fra conduori carichi avvicina, essi al ne di garanre che il campo al loro interno è nullo, ridistribuis- cono la carica preesistente ed eventualmente separano la carica neutra e generano una separazione superciale (essendo condut- tori).
Essendo il campo all’interno nullo, la carica in un conduore si deposita sulla supercie.
Rapporto tra la dierenza di potenziale alle armature generata dalla separazione di cariche e la carica su una delle facce.
→ Capacità del condensatore sferico: R1: raggio sfera inter- na, R2: raggio minore corona esterna.
Se la corona si allontana all’innito abbiamo il condensatore sferico isolato:
R: raggio sfera interna.
→ Capacità del condensatore cilindrico:
→ Distribuzione cilindrica indenita:
Supercie di un cilindro carica.
Sigma: densità super- ciale di carica, r: distanza dall’asse, R: raggio cilindro, il versore è perpendicolare all’asse del cilindro uscente.
un eccesso di carica +Q e -Q, deniamo la capacità del sistema dei due condut- tori:
Un cilindro ed un cilindro cavo coassiali.
Essendo d la lunghe- zza dei cilindri, R1 il raggio interno ed R2 quello esterno.
→ Capacità del condensatore piano:
Due piani deni paralleli.
Essendo sigma l’area di una delle superci ed l la distanza che le separa.
Le due superci si approssimano come inde- nite, ma ci sono degli ee di bordo.
→ Energia di un condensatore:
L’energia immagazzinata da un condensa- tore è il lavoro che bisogna spendere al ne di trascinare una carica da una superce all’altra del condensatore lavorando contro le forze del campo elerico derivante dalla ddp. L’energia globale del sistema comprende l’energia immagazzinata dal condensatore sommata all’energia esterna. L’energia es - terna è il lavoro, da eeuare contro le forze del campo, che bisognerebbe spendere per trascinare una carica dall’innito al conden- satore (o viceversa a seconda della direzione del campo, noi dobbiamo lavorare contro esso), in sostanza dobbiamo interfacciarci con il potenziale nullo che in genere si trova ad innito (ma dipende sempre dal campo elerico).
Un condensatore in generale immagazzina:
Dove C è la capacità, Q la carica su una delle due superci e delta la ddp.
→ Ee di dielerico nei condensatori: Se fra i due conduori in equilibrio elero- staco si inserisce una sostanza che occupi tuo lo spazio presente o no (aeriforme, liq- uido o solido), la c apacità del condensatore, la ddp ed il campo e la costante dielerica variano.
Sperimentalmente si osserva che la tensione diminuisce con il dielerico. Il rapporto tra la tensione a vuoto e quella con dielerico denisce la costante dielerica k relava al dielerico.
Nel condensatore variano le capacità e costante dielerica rispeo a quelle a vuoto.
A variare sono anche campo e ddp.
L’eeo del dielerico è quello di creare un campo inverso a quello nel condensatore. Se il dielerico è circorscio, solido ad esempio, allora sulla sua supercie, dal principio di equilibrio ed induzione, si crea una separaz - ione di cariche e dunque un campoo elerico inverso e dunque una ddp del dielerico.La separazione di carica Q e -Q del dielerico è calcolabile e dipende da k, così come la den- sità superciale di carica del dielerico:
Essendo Q la carica e sigma la densità super- ciale di carica. Con k si intende in presenza del dielerico, con 0 senza dielerico.
PARTICELLE CARICHE IN MOTO E CORRENTI ELETTRICHE
→ Corrente elerica: Dato un conduore e una sua sezione, la quantà di carica che araversa la sezione nell’unità di tempo è la corrente elerica.
→ Densità di corrente elerica:
Considerando un conduore araversato da corrente di parcelle cariche deniamo la densità di corrente come una grandezza veoriale. Si considera la sezione come una superce aperta piana, araverso di questa passano le parcelle cariche con una deter- minata velocità.
Essendo n la densità dei portatori (numero di portatori al metro cubo), q la carica di cias- cun portatore (per Millikan essa è e quella dell’elerone) e v la velocità di deriva con cui ogni parcella procede araversando la sezione considerata. NOTA: Se la corrente è di parcelle posive allora la carica rimane quella dell’elerone, se la corrente invece è di eleroni, come è in realtà, allora abbiamo -e come carica. Come conseguenza la corrente diventa il usso della densità di corrente araverso la supercie sigma (la sezione) il cui versore normale è orientato nel verso di j.
Il versore di sigma è ori- entato nel verso di j.
→ La legge di Ohm: Quando in un conduore scorre una corrente si ricava dal modello di Drude la relazione puntuale di Ohm (ha validità puntuale).
Sigma: conducibilità. Rho: resisvità. t*: tempo medio fra collisioni. m: massa elerone. e: carica elerone.
→ Tecnica per ricavare la legge di Ohm a validità connua (forma non chiusa):
La legge di Ohm in forma locale non è usabile per situazioni reali, ma vale solo puntual- mente. Bisogna invece ricavare tale legge nel caso specico del conduore in esame arriv - ando ad una legge che leghi la ddp (al posto del campo elerico) alla corrente elerica (al posto della densità di corrente). Per fare questo basta seguire dei passaggi ssi.
1) Si parte dal lavoro del campo elerico, con il campo, e lo si esprime come dierenza di potenziale. Si ricava il campo in funzione della ddp. 2) Si considera la densità di corrente e si sostuisce la 1). Si ricava una relazione tra la densità di corrente e la ddp. 3) Si considera la corrente elerica, si sos- tuisce la 2) e si oene quanto voluto. I vari passaggi dipendono sempre dal caso.
→ Relazioni direzionali tra corrente, campo, densità di corrente e velocità.
E  j i
v d
A seconda che la corrente sia di protoni (par- celle cariche posivamente) o di eleroni (cariche negave) i tre veori e lo pseudovet- tore corrente hanno orientazione dierente. La regola di base è che densità e campo hanno sempre stessa direzione e verso, così come corrente e velocità di deriva.
Portatori carichi (+)
Portatori carichi (-)
→ Equazione di connuità corrente: La carica elerica si con- serva. Se si crea in realtà è perchè da un neutrone deriva un elerone ed un positrone.
→ Potenza elerica: Per mantenere la corrente in circolo.
→ Forza eleromotrice:
All’interno di un circuito, o un conduore in generale, per poter mantenere corrente in circolo occorre che agisca un campo elerico che acceleri le parcelle, ma una volta che queste ritornano, la dierenza di potenziale iniziale cala no a zero, per mantenere la ddp e dunque una corrente determinata occorre che agisca un campo elerico NON CONSERVATIVO (non elerostaco) che ripor le parcelle contro le forze del campo alla posizione di origine.
   e   =    1  .   6
   0    2    2    x    1    0    e    x    p     (  -    1    9     )    C
   ε    0
  =    8  .   8
   5    4    2    x    1    0    e    x    p     (  -    1    2     )    C    2     /   N    m    2
   1     /   4    π    ε
   0   =    8  .   9
   8    x    1    0    e    x    p     (   +    9     )    N    m    2     /    C    2
   m    e
  =    9  .   1
   1    x    1    0    e    x    p     (  -    3    1     )     k    g
   m    p
  =    1  .   6
   7    x    1    0    e    x    p     (  -    2    7     )     k    g
   m    n   =    1  .   6
   7    x    1    0    e    x    p     (  -    2    7     )     k    g
Dove E è il campo totale del circuito e l’integrale è una circuitazione.
Nel circuito ad agire è il campo elerostaco mentre nel generatore c’è il campo elero - staco ma anche quello non conservavo che si oppone ad esso. (dl nel verso del campo).
Il c. eleromotore si valuta caso per caso.   C     O    S    T     A     N    T  I
   O   P  E   R   A  Z I   O   N I   V  E   T   T .
      M  I    S    C    E    L    L     A     N    E     A
   1    e    V   =    1  .   6
   x    1    0    e    x    p     (  -    1    9     )    J
   1    J   =    6  .   2
   5    x    1    0    e    x    p     (   1    8     )    e    V
   A    r   e    a    c    o    r   o    n    a    c    i   r   c    o     l   a    r   e   :
   M    o    t   o    c    i   r   c    o     l   a    r   e   :
2
0
1
4
q r πε  = = ⇒ = ⋅
r 
r 
] ],
σ 
ε  +
C  Γ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
0
i j nd   Σ
( )   ( )
( )
  ( )
 j E j f V 
i j nd i f V  
σ 
Σ
Circ
 ES EM EM  Circ Circ Circ Circ
 E dl E dl E dl E dl 
↓
⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫
  v
  r
   A    N    D    R    E    A
   T    I   N    OCAMPO MAGNETICO SU CARICHE
Ogni qual volta una parcella carica è in moto all’interno di un campo magneco, essa subisce l’eeo della forza magneca o forza di Lorentz:
→ Forza magneca di Lorentz
La forza di Lorentz non compie lavoro visto che essa è perpendicolare allo spostamento. Allora la forza agisce come centripeta. A venire accelerata in centripeta però è solo la componente perpendicolare della velocità rispeo al campo magneco. Se il campo magneco è uniforme questo signica che i mo possibili sono due: circolare o elicoidale nella direzione del campo magneco.
LEGGE DI MAXWELL II
Il campo magneco ha la c araerisca di avere linee di campo chiuse, ergo il usso at- traverso qualunque supercie chiusa è nullo.
La divergenza è nulla.
LEGGE DI LAPLACE II
Quando un conduore di sezione costante è araversato da una corrente ed esso è inserito all’interno di un campo magneco, la forza di Lorentz che agisce sulle cariche in moto genera una forza globale sull’intero conduore.
Dove dl è il trao di conduore orientato nel verso della corrente. A e B sono gli estremi sul conduore su cui si vuole integrare (A -> B nel verso della corrente i).
MOMENTO MAGNETICO SPIRE
Una spira persorsa da corrente all’interno di un campo magneco è soggea alla II Laplace. Essa ruota no a che non raggiunge l’equilibrio con il campo magneco orientan- dosi in maniera appropriata con esso. Si denisce il momento magneco della spira il veore:
Sigma è l’area della spira, i la corrente e n è orientato nel verso del campo magneco nel verso della rotazione per allinearsi con B.
Il momento della coppia di forze c he in genere agisce sulla spira è:
Il momento in un certo senso è conservavo. Ricordare che gli angoli veoriali sono dire perpendicolarmente al piano.
CORRENTE NEI CONDUTTORI
→ Legge di Laplace I e Ampere-Laplace
Un corpo sul quale scorre una corrente genera un campo magneco proporzionale alla corrente.
Laplace I ci dice qual’è il campo magneco generato da un trao dl di conduore per- corso da corrente:
dl è orientato nel verso della corrente ed r è orientato dal dl al punto.
Integrando Laplace I troviamo la legge di Ampere-Laplace che ci dice qual’è il campo magneco prodoo dal conduore.
ATTENZIONE: Sperimentalmente si vede che un conduore araversato da corrente che genera un campo magneco non è inuen - zato dal campo da lui stesso generato.
→ Legge di Biot-Savart: campo magne- co generato da un lo in corrente Un lo conduore denito di lunghezza l e raggio interno R su cui scorre una corrente i nel verso della velocità di deriva genera un campo magneco. Allo stesso modo accade se il lo è indenito.
Dove r è la distanza dal lo al punto perpen - dicolarmente all’asse centrale del lo.
→ Campo magneco generato da una carica elerica in moto Una carica che si muove è una specie di corrente slegata da un conduore che co - munque genera un campo magneco:
Dove r è la dis- tanza dalla carica al punto.
→ Campo magneco generato da una spira circolare in corrente Spire circolari araversate da corrente gen- erano una linea di campo rea (entro cer limi) in corrispondenza del proprio asse:
R è il raggio della spira partendo dal centro alla circonferenza. Mentre d è la distanza del punto sull’asse dal centro della spira. Vd è segna il verso della corrente. Il verso della linea di campo assiale è sempre lo stesso indipendentemente dal lato in cui si trova il punto rispeo alla supercie della spira.
→ Forza magneca tra conduori per- corsi da corrente. Due conduori a sezione costante su cui passa corrente e pos vicini risentono dei rispevi campi prodo secondo Ampere- Laplace. Si auano due forze:
Dove i dl sono orienta nei versi della corrente. Mentre i versori della distanza (r) vanno da un conduore all’altro come indicato.
Nel caso di li indeni relinei separa da una distanza R:
I li si araggono se le corren sono concordi mentre si respingono se le corren sono discordi. Le forze sono unidirezionali lungo la perpendicolare ai li (paralleli).
LEGGE DI AMPERE STAZIONARIO L’integrale lungo una spira amperiana del campo magneco è uguale alla somma algebrica delle corren concatenate alla spira molplicata per la costante di permeabilità.
In forma locale sempre nel caso stazionario: Essendo rotazionale -> Il campo magneco NON E’ CONSERVATIVO.
CAMPI MAGNETICI RILEVANTI
→ Solenoide relineo indenito
Il suo campo all’esterno è nullo, mentre all’interno forma linee ree parallele all’asse del solenoide (n: numero di spire al mentro):
Per determinare il verso delle linee di campo basta prendere solo una spira e vericare il prodoo veoriale indicato riferito appunto per una spira generica. (R va verso il centro)
→ Solenoide toroidale
Un solenoide toroidale con N spire genera linee di campo circolare concentriche al toro. La determinazione del verso delle linee segue la stessa logica del solenoide relineo.
n è la densità di spire.
R è il raggio del toro.
LEGGE DI LENZFARADAYNEU MANNHENRY PER I MECCANISMI DI INDUZIONE ELETTROMAGNETICA In un circuito elerico (in un conduore ca- pace di farsi araversare da corrente) può es- sere indoa una fem da un campo magneco
che permea lo spazio. Ogni qual volta è presente un circuito in un campo magneco vi è la possibilità di una induzione. Quando il usso del campo magneco con- catenato al circuito (a una qualsiasi supercie contenente il circuito perchè sappiamo che il campo magneco ha divergenza nulla e quindi il usso non dipende dalla supercie aperta ma dal suo contorno) varia, abbiamo che nel circuito si sviluppa una femi.
Si sviluppa una fem che si oppone alla causa che l’ha generata in accordo a Lenz. Per stabilire il verso della femi bisogna notare che la corrente che si sviluppa, a meno che il circuito non è aperto, per Ampere-Laplace genera un campo magneco che si opporrà al campo primario.
→ Campo elerico indoo La LFNH ci dice che viene indoo un campo eleromotore (non conservavo). Per cui dalla legge iniziale basta esplicitare la femi:
AUTOINDUZIONE
In un circuito dentro cui scorre corrente si sviluppa per Ampere-Laplace un campo magneco. Se il usso di questo campo con- catenato allo stesso circuito varia allora ab - biamo il formarsi, sul circuito di una corrente indoa. L’autousso dipende da una costante relaova alla struura del circuito e dalla corrente che genera iil campo magneco di cui il usso:
NOTA: In realtà il calcolo dell’induanza è semplice, basta calcolare il usso di B con il circuito, B lo si dovrebbe conoscere, ed è proporzionale alla corrente. La corrente la si esce dall’integrale e quel che resta dovrebbe dipendere solo dalla geometria del circuito.
→ Solenoide relineo indenito
Essendo indenito deniamo l’induanza per unità di lunghezza:
Sigma: area singola spira ed n è la densità spire (spire al metro).
→ Solenoide toroidale reangolare
In un solenoide toroidale di raggio R (del toro) a sezione reangolare (reangolo
a è l’altezza e b la larghezza della sezione.
LEGGE DI MAXWELL III
INDUZIONE MUTUA
Quando ulizziamo la LFNH e dobbiamo calcolare il usso araverso la supercie del circuito possiamo usare l’induanza:
di dimensioni a x b) con N spire compae, l’induanza è:
Due circui accosta possono provocare una mutua induzione oltre che ad una auto induzione. Come per l’autoinduzione, i ussi mutua, espandendo il campo, sono tali da determinare la corrente molplicata per un faore costante che dipende solo dalle carat - terische geometriche del circuito.
Anche in questo caso abbiamo che la ddp applicata può essere calcolata dalla LFNH direamente usando M.
→ Bobine solenoidali coassiali Due bobine solenoidali coassiali di densità spire n1 ed n2 dove la sezione della bobina interna è sigma hanno coeciente di mutua pari a:
ENERGIA MAGNETICA
→ Energia magneca per un circuito In un circuito di induanza L il lavoro per portare la corrente da un valore a un altro (in genere da 0 a i) è l’integrale della potenza:
→ Energia magn. per circui accoppia
Se uno dei due ciurcui è aperto, su di esso non è possibile indurre e dunue lui non indurrà sull’altro, comparirà quindi solo il coeciente di autoinduzione del circuito operavo (non aperto).
LEGGE DI AMPEREMAXWELL Se non abbiamo stazionarietà vale Ampere- Maxwell (no Ampere) che mostra che le sorgen di campo magneco sono le corren ma anche le variazioni di c ampo elerico (usso araverso la sezione del conduore):
LEGGE DI MAXWELL IV
Dierenziando Ampere-Maxwell:
   A .   D I    M  E   N  S I   O   N   A  L  E
   μ    0
  =    8  .   8
   5    4    2    x    1    0    e    x    p     (  -    1    2     )    C    2     /   N    m    2
   R  L  -   R   C
$ 2
c
 R ⊥= ∧ = ⋅ = ⋅ ⋅
i nµ  = ⋅ Σ ⋅
( )
r 
µ 
π 
r 
µ 
π 
r    r l 
r R   r l 
r 
 R
µ 
π 
µ 
π 
µ 
π 
µ 
π 
r 
µ 
π 
µ    − = + ∧$
4
4
r 
r 
µ 
π 
µ 
π 
0 0 12 1 2 2 21 1 2 1
2 2  F i i l F i i l 
 R R
µ µ 
π π  = =
( )0   n
0   sds   R B nivµ = ∧$
0
 I B nd   R R t 
ε 
ε 
ε  Σ
2
b
µ 
π 
t t  ε  Σ
Σ
Σ
ε 
ε 
∂ ∂ = − Φ = −   ∂ ∂
∂ ∂   = − Φ = −
( ) ?
2 2
1 1
2 2  M U L i L i Mi i= + +
( ) 0 0n
n Spira
µ ε  Σ
  e    l  e    t   t  r  o   s   t  a
   t   i  c   o
   N
   l .    t  c   o
   i   t   à   e
   l .    t  c   a
   t  e   e
   1
   1
   2
   1
   D   e   n   s   i   t   à    d    i   c   o   r  r .   e    l .
   R   e   s   i  s    t  e   n   z   a   e    l .
   C  .   m   a   g   n   e    t   i  c   o
   C   o   e    f   f .    i  n    d   u   z    i  o   n   e
   j
   1
  e   x   p
  e   x   p
   1