Formulario Geometria Total

8/17/2019 Formulario Geometria Total

1/12

A N G U L O S

P A R A L E L I S M O

A N G U L O SENTRE

PARALELAS

T E O R E M AFUNDAMENTAL YANGULO EXTERNO

A N G U L O SENTRELINEAS

NOTABLES

A N G U L O SNOTABLES


2/12

T R I A N G U L O S

C R I T E R I O SDE

CONGRUENCIA

DETRIANGULOS

T R I A N G U L O SISOSCELES

T R I A N G U L O SRECTANGULOS

: 1 + 2 = 90°

T R I A N G U L OPUNTOS MEDIOS

T R A P E C I OPUNTOS MEDIOS

PARALELOGRAMOS2 PARES DE LADOS OPUESTOS IGUALES 1 PAR DE LADOS IGUALES Y PARALELOS

I N G . C A R L O S J A R A M I L L O


3/12

LADO

A P O T

E M A R

A D I O

TRIANGULO

FUNDAMENTAL

O

ANGULO

CENTRAL

ANGULO

INTERNO

P O L I G O N O S

P O L I G O N O SANGULOS YDIAGONALES

2

)3( .#

3.#

360

)2(180

nntotales D

nvértice D

externos

ninternos

P O L I G O N O SREGULARES

n

n

n

n

n

360

)2(180

2sin

22

n Polígono

nn

Polígono

n R A

a pa P

A

P O L I G O N O SSEMEJANTES

PERIMETROS Y AREAS

2

2

2

2

2

2

''''' ''''''

'''''''

DC

CD

C B

BC

B A

AB

A

A

DC

CD

C B

BC

B A

AB

P

P

E DC B A

ABCDE

C I R C U L O S

C U E R D A SSECANTES YTANGENTES

=

Ó: ∥ ∥

: = =

∶

=

⊥

β= Ángulo

interno

α= Ángulo

Central

P=Perímetro

p= Semipe-


4/12

A N G U L O SEN EL

CIRCULO

Ó: á

: ∢ = ∢ = 90

P R O P O R C I O N E S Y S E M E J A N Z A

P A R A L E L A SY BISECTRICES

S E M E J A N Z ADE

TRIANGULOS


5/12

T R I A N G U L ORECTANGULO

PITAGORAS

ℎ2 = × 2 = × 2 = × × ℎ = × 2 = 2 + 2

S E M E J A N Z AEN

CIRCULOS

R E L A C I O N E S M E T R I C A S . A R E A S .

F U N C I O N E S

TRIGONOMETRICAS

L E Y D ESENOS Y

COSENOS

T E O R E M ADE STEWART ct qbt aqcCP

222

T E O R E M ADE MENELAO

a

b B

b

a A

c

a B

c

b A

c

b B

c

a A

tan tan

cos cos

sin sin

Abccba

C

c

B

b

A

a

cos2sinsinsin

222


6/12

TRAPECIO

RECTAN-

GULO

A R E ADEL

TRIANGULORADIO

INSCRITO Y

CIRCUNSCRITO

a p

r A

C

c

B

b

A

a R

R

cba A

r pr P

A

)(2

tan(4)

sinsinsin2 (3)

4 (2)

2

(1)

S E C T O RY SEGMENTO

CIRCULARLONGITUD DEL ARCO

= 180°

C U A D R I L A T E R O S

A R E ADEL

CUADRILATERO

d bca BD AC

INSCRIPTIBLE

))()()(( d pc pb pa p A ABCD

CIRCUNSCRIPTIBLE INSCRITO YCIRCUNSCRITO

A R E APARALELOGRAMO

Y ROMBO sin bahb A ABCD

r p A

a A

BD AC A

ABCD

ABCD

ABCD

sin2

2

A R E ADEL TRAPECIO

= +2 × ℎ = 2 × ∆

A

R

B

R

O

S A

B

O

360°

R 2

=

A

R

B

R

O

2

R 2

180° S

A B = sen

2

sin

2

sin

22 Acb Bca

A

hc Altura Base A

pd bca

r p A ABCD

2

sin

BD AC A ABCD

d cba A ABCD

= + 2 = ×

p= Semiperímetro

p= Semiperímetro

p= Semiperímetro

P =Perímetro

= Semi e-


7/12

b

-5

0

5

-5 0 5 10

y

x

Recta Horizontal

y = 4

a

-5

0

5

-5 0 5 10

y

x

Recta Vertical

x =

6

G E O M E T R I A A N A L I T I C A

D I S T A N C I AENTRE DOS PUNTOS

DIVISIONDE UN SEGMENTO EN

UNA RAZON (r ) DADA

PUNTO MEDIO

1,2 = 2 − 12 + (2 − 1)2

y y

y y

x x

x x

PP

P P r

2

1

2

1

2

1

1 + 22

;1 + 2

2

E C U A C I O NDE LA RECTA

ORDINARIA OCANONICA

12

12

x x

y ytg m

x

ytg

x

ym

R E C T A SCON PENDIENTE

POSITIVA YNEGATIVA

R E C T A SPARALELAS A

LOS EJES

A N G U L OENTRE DOS

RECTAS12

12

1 mm

mmtg

R E C T A SPARALELAS Y

PERPENDICULARES

A R E A

DEL POLIGONOnn y

y

y

y

x

x

x

x

y x

K

4

3

2

4

3

2

11

2

1

r

rx x

x

121

r

ry y

y

1

21

x

y y

x

m > 0

m < 0

Pendiente positiva

Pendiente negativa

b y a x

21 mm 2

1

21

1 1

mm

mm

División de un segmento

P(x, y)

x

y

P (x , y )

P (x , y )

A (x , 0) A (x , 0) A(x, 0) O

1 2

1 1 1

2 2 2

2 1

B (0, y ) 1 1

B(0, y)

B (0, y ) 2 2

3

3

BARICENTRO

delsCoordenada

321

321

y y y y

x x x x

G

G

2121

1221

2222

1111

0:

0:

B B A A

B A B Atg

C y B x Al

C y B x Al

ECUACION ORDINARIA ECUACION GENERAL


8/12

E C U A C I O N E SDE LARECTA

)( 11 x xm y y

PUNTOPENDIENTE

POR DOSPUNTOS

022

11

y

y

x

x

y x

PORINTERSECCIONES

DISTANCIA PUNTO RECTA

22 B AC By Axd

Opuesto al de C, si C 0

El de B, si C = 0 y B 0 El de A, si C = B = 0

S I G N O SDE LA

DISTANCIA

(+d 1) SI EL PUNTO Y EL ORIGEN ESTAN ENLADOS OPUESTOS DE LA RECTA.

( –d2) SI EL PUNTO Y EL ORIGEN ESTAN ALMISMO LADO DE LA RECTA.

(+d3) SI EL PUNTO ESTA ARRIBA DE LA RECTA.

( –d4) SI EL PUNTO ESTA ABAJO DE LA RECTA.

E C U A C I O NDE LARECTA

C O N I C A S

E C U A C I O N E SDE LA

CIRCUNFERENCIA

222 )()( r k yh x

P A R A B O L AELEMENTOS

F: FOCO

V: VERTICE DE LA PARABOLAPB: CUERDA FOCALKL: LADO RECTO = 4 p DE: EJE DE LA PARABOLAAD: DIRECTRIZe: EXCENTRICIDAD = 1

P A R A B O L A

CON VÉRTICE CENTRADOEN EL ORIGEN

112

121 x x

x x

y y y y

SIGNO DEL

RADICAL

22 B A

C By Axd

PARALELA A UNA

DISTANCIA DADA

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

21

B A

C y B x A

B A

C y B x A

d d

BISECTRIZ

P(x, y)

C (h,k )

y

x

r

2;

2;

4

0

2221

22

E DC k hC

F E Dr

F Ey Dx y x

ORDINARIA

GENERAL

ABRE HACIA LA

IZQUIERDA

CUANDO p

TIENE SIGNONEGATIVO

ABRE HACIA

ABAJO

CUANDO p

TIENE SIGNO

NEGATIVO


9/12

P A R A B O L ACON VÉRTICE EN EL

PUNTO V(h; k)

E L I P S EELEMENTOS

C: CENTRO DE LA ELIPSEF y F': FOCOSV y V': VERTICES DE LA ELIPSEVV': EJE MAYOR DE LA ELIPSEAB: EJE MENOR DE LA ELIPSEKL y K'L': LADO RECTOd y d' : DIRECTRICES

e: EXCENTRICIDAD 1

a

ce

e

a

c

a DO

a

b LR

cba

2

2

222

2

ABRE

HACIA LA

IZQUIERDA

CUANDO p

TIENE

SIGNO

NEGATIVO

ABRE

HACIA

ABAJO

CUANDO p

TIENE

SIGNO

NEGATIVO


10/12

H I P É R B O L ACENTRADA EN

EL ORIGEN

P A R Á B O L ACON EJE ROTADO.

CÓMO ENCONTRAR LAECUACIÓN EN EL

SISTEMA x-y

E L I P S ECON EJES ROTADOS.


SISTEMA x-y

H I P É R B O L ACON EJES ROTADOS.


SISTEMA x-y

I n g . C a r l o s J a r a m i l l o

22

22 )()(

DirectrizladeEcuación

FocodelsCoordenada

:

B A

C By Axn ym x

PD PF

Dato s

' distanciala

parasignoelConsiderar :

'4' :enReemplazar

'

'

rotadosejeslosdeEcuaciónes

''encanónicaEcuación

:

2

2

1

2

1

111

2

2

2

2

222

y

Nota

py x

B A

C y B x A y

B A

C y B x A x

y x

Datos

e

B A

C By Ax

n ym x

e PD

PF

e

Datos

22

22)()(

)( dadExcentrici


FocodelsCoordenada

:

1

''

:enReemplazar

'

'



:

2

2

2

2

2

1

2

1

111

2

2

2

2

222

b

y

a

x

B A

C y B x A y

B A

C y B x A x

y x

Datos

e

B AC By Ax

n ym x

e PD

PF

e

Datos

22

22 )()(

)( dadExcentrici


FocodelsCoordenada

:

1'' :enReemplazar

'

'



:

2

2

2

2

2

1

2

1

111

2

2

2

2

222

b x

a y

B A

C y B x A y

B A

C y B x A x

y x

Datos


11/12

El ángulo semide entrela recta L ysuproyecciónsobre elplano A.

H) L AT) L L1

L L2

L L3

P L A N O S

R E C T A SY PLANOS

PERPENDICULARES

T E O R E M ADE LAS 3

PERPENDICULARESA N G U L O

RECTA – PLANO

A N G U L ODIEDRO

P O L I E D R O S

P R I S M ARECTO

P I R Á M I D EREGULAR

T R O N C ODE PIRÁMIDE

cos

ABC

ABH

S

S

L2

L

L3

L1

L

L2

L1

H) L L1 L L2

L1 // L2T) L A

A

LH) L1 α

QH L2 T)PQ L2

sinsin

coscoscoscos

ABCDE A

a

P

V

A

A

h AV

A A A

a P A

B

L

B

T

L

B

B LT

L B L

Área:lateralArista:

baseladePerímetro:

Volúmen:

totalÁrea:

lateralÁrea:

2

Volúmen:

RECTÁNGULO

PEDOPARALELEPÍ

222

V

cbaV

cbad

Apotema de laPirámide (aP)

Apotema de labase (a)

h AV

A A A

A A

a P A

B

Blat T

lat B

P Blat

3

1

cos

2

Apotema deltronco (aTR)

)(3

2

)(

b Bb Bh

V

b B A A

a P P A

lat T

TRb Blat

rea base menor (b)

rea base mayor (B)

diedro.al diculares- perpenycoplanares

rectasentreMedido


12/12

P L A N OPARALELO A LABASE DE UNA

PIRÁMIDE

'''''Área:

Área:''''' Apotema:'

Apotema:

'''

'''

~''''''

3

3

3

3

3

3

'''''

2

2

2

2

2

2

E DC B A A

ABCDE A E DC B AV a

ABCDE V a

OV

OV

BV

BV

AV

AV

V

V

OV

OV

BV

BV

AV

AV

A

A

A A

a

a

B A

B A

OV

OV

BV

BV

AV

AV

b

B

P

P

E DC B AV

ABCDE V

b

B

b B

P

P

C O N ODE REVOLUCIÓN

T R O N C ODE CONO

C I L I N D R ODE REVOLUCIÓN

E S F E R A S

E S F E R AY CASQUETE

(SEGMENTO ESFÉRICODE UNA BASE)

S E G M E N T OESFÉRICO DE

DOS BASESA N I L L O

ESFÉRICO

ZONA

S E C T O RESFÉRICOH U S O

Y CUÑA

Superficielateraldesarrolladade un cono

hr V

r g r A

g r A

total

lat

3

1

)(

2

)''(3

)'()'(

)'(

)'(

22

22

222

r r r r h

V

r r g r r A

g r r A

hr r g

Total

lat

22

2

22

36

33

2

hah

V

hr h

V

ah A

hr A

3

2

3

4

4

r V

r A

222 336

2

hbah

V

hr A

b

a

h

6

2

ABhV

h RV 2

3

2

)()(

3603

43604

3

2

r V

r A

ANILLO

HUSO Y

CUÑA

SECTOR

r

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