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Un utile formulario per lo studio ed il ripasso di elementi fondamentali del calcolo algebrico in vista della prova di matiurità
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Formulario
2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica
Numeri reali
Radicali doppi
a b a a b a a b± = + − ± − −2 2
2 2
Equazioni di secondo grado
ax bx c a x b b aca
21 2
20 0 4
2+ + = ≠ = − ± − ( ) , x x b
ax x c
a1 2 1 2+ = − ⋅ =
Disequazioni di secondo grado
T = ax2 + bx + c a ≠ 0
Siano x1, x2 le radici reali dell’equazione ax2 + bx + c = 0; il segno di T è:
a > 0 ∆ > 0 T a < 0 ∆ > 0 T
∆ = 0 T ∆ = 0 T
∆ < 0 T ∆ < 0 T
Equazioni irrazionali
A x B x A x B x n
A x
nn
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 12 1
0
2
+ += = ∈
=
BB xA x B x
B xn
n
( )( ) ( )
( )( )
= ≥
∈
2
00
A x B x A x B x n
A x
nn
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 12 1
0
2
+ += = ∈
=
BB xA x B x
B xn
n
( )( ) ( )
( )( )
= ≥
∈
2
00
Disequazioni irrazionali
A x B xB xA xA x B x
A x( ) ( )( )( )
[ ( )] ( )( )>
≥>
>
<
00
2
BB x A xB x
A xA x B x
( ) ( )( )
( )[ ( )] ( )
<≥
∪ ≥<
00
02A x B x
B xA xA x B x
A x( ) ( )( )( )
[ ( )] ( )( )>
≥>
>
<
00
2
BB x A xB x
A xA x B x
( ) ( )( )
( )[ ( )] ( )
<≥
∪ ≥<
00
02
Valore assoluto. Proprietà
Valore assolutoa a
aa a
se
se
≥=
− <
0
0
Proprietà
1. | a | = 0 ⇔ a = 0
2. | a | = |–a | (∀a ∈R)
3. | a · b | = |a | · | b | (∀a, b ∈R)
4. 1 1
0 0b bb a
b
a
ba b= ∀ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈R R R; ( , )
x2x1
x1 ≡ x2
x2x1
x1 ≡ x2
x2x1
x1 ≡ x2
x2x1
x1 ≡ x2
5. | a | = | b | ⇔ a = b ∨ a = –b 6. | a | ≤ b ⇔ – b ≤ a ≤ b (∀a ∈R ; ∀b∈R0
+)
| a | ≥ b ⇔ a ≤ –b ∨ a ≥ b
7. | a | ≤ | b | ⇔ a2 ≤ b2 (∀a; b∈R)
8. a a a2 = ∀ ∈( )R
9. a b a b a b a b− ≤ + ≤ + ∀ ∈( , )R
⇔ ⇔
⇔ ⇔
1
Formulario
2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica
P1(x1; y1)
P2(x2; y2)
P3(x3; y3)
distanza
punto medio di P1P2 x x y y1 2 1 2
2 2+ +
;
P P x x y y1 2 1 22
1 22= − + −( ) ( )
baricentro G del triangolo P1P2P3 area del triangolo P1P2P3 = =( )P P P S1 2 3
12
G x x x y y y1 2 3 1 2 3
3 3+ + + +
;
dove S
x y
x y
x y
=1 1
2 2
3 3
1
1
1
cioè (P1P2P3) = 12 1 2 1 3 2 3 3 2 3 1 2 1
x y y x x y x y y x x y+ + − − −
traslazione d’assi P(x; y) nel sistema xOy P (X; Y) nel sistema XO1Y, con O1(x0; y0)
diretta inversaX x xY y y
x X xy Y y
= −= −
= += +
0
0
0
0diretta inversa
X x xY y y
x X xy Y y
= −= −
= += +
0
0
0
0
Coordinate cartesiane nel piano
La retta
retta P1P2 P1(x1; y1), P2(x2; y2)
(x – x1) (y2 – y1) = (y – y1) · (x2 – x1)
retta in forma implicita
ax + by + c = 0
retta in forma esplicita
y = mx + q
coefficiente angolare
m ab
= −
retta per P0 (x0; y0)
y – y0 = m (x – x0)
condizione di parallelismo
m = m ′
condizione di perpendicolarità
m · m ′ = –1
distanza del punto P (x0; y0) dalla retta ax + by + c = 0
dax by c
a b=
+ +
+
0 0
2 2
matrice
A
a a a
a a a
a a a
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det A
a a a
a a a
a a a
=11 12 13
21 22 23
31 32 33
det A a a a a a a a a a a a a= + + −11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 311 11 23 32 12 21 33− −a a a a a a
a12a11
a21
a31 a32
a13
a33
a23
a11
a31
a21
a12
a32
a22a22
Determinante
2
Formulario
2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica
Isometrie
P (x; y) P′(x′; y ′)
τv
ttrraassllaazziioonnee ddii vveettttoorree (( ;; ))vv aa bb
P Pτ
v → ′ tale che PP @′ = v
τ τv v
: :′ = +′ = +{ = ′ −
= ′ −{−x x ay y b
x x ay y b
1
S P PC
SCsimmetria di centro taleC x x(( ;; ))00 00
→ ′ cche PC CP= ′
Sx x xy y y S
x x xy y yC C: :
′ = −′ = −
= − ′= − ′
−22
22
0
0
1 0
0
Sr simmetria rispetto alla retta r
r y y Sx xy y yr: := ′ =′ = −
0
02
r x x Sx x x
y yr: := ′ = −
′ =0
02
r y x Sx yy xr: := ′ =′ ={
r y x S x y
y xr: := − ′ = −
′ = −
r y mx q Sx
mm x my mq
yr: :
( )= +
′ =+
− + −
′ =
11
1 2 2
11
22
+++ − +
mmx m y q2
22 1 2( )
Circonferenza
centro (α; β) raggio = r (x – α)2 + (y – β)2 = r2 #: x2 + y2 + ax + by + c = 0
centro − −
= + −a b r a b c2 2 4 4
2 2;
tangente in P0(x0; y0) Œ # xx yy a
x xb
y yc0 0
0 0
2 20+ +
++
++ =
lunghezza circonfenza = 2π · r area del cerchio = πr 2
lunghezza arco = r · α area del settore = 12
2r ⋅α
(α è l’ampiezza in radianti dell’angolo al centro corrispondente)
Parabola
• con asse di simmetria parallelo all’asse y g : y = ax2 + bx + c
vertice − −
ba a2 4
; D ∆ = b2 – 4ac
fuoco − −
ba a2
14
; D
direttrice ya
= − +14D
asse di simmetria x ba
= −2
tangente in P0(x0; y0) Œg y y
axx bx x
c+
= ++
+00
0
2 2
• con asse di simmetria parallelo all’asse x g : x = ay2 + by + c
vertice − −
D4 2a
ba
;
fuoco 14 2− −
Da
ba
;
direttrice xa
= − +14D
asse di simmetria y ba
= −2
tangente in P0(x0; y0) Œg x xayy b
y yc
+= +
++0
00
2 2
3
Formulario
2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica
• con i fuochi sull’asse x : xa
yb
2
2
2
2 1− =
(oppure Ax2 – By2 = C con A, B, C positivi)
vertici (a; 0), (–a; 0) fuochi (c; 0), (–c; 0)
c a b= +2 2 eccentricità e c
a= >1
asintoti y ba
x= , y ba
x= −
tangente in P x y0 0 0( ; ) ∈ − =
xx
a
yy
b0
20
21
• con i fuochi sull’asse y :yb
xa
2
2
2
2 1− =
(oppure By2 – Ax2 = C con A, B, C positivi)
vertici (0; b), (0; –b) fuochi (0; c), (0; –c)
c a b= +2 2 eccentricità e cb
= >1
asintoti y ba
x= , y ba
x= −
tangente in P x y0 0 0( ; ) ∈ − =
yy
a
xx
b0
20
21
Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria
• con i fuochi sull’asse x x2 – y2 = a2
vertici (a; 0), (–a; 0)
fuochi ( ; ), ( ; )a a2 0 2 0−
c a= ⋅ 2
eccentricità e = 2
asintoti y = x, y = –x
• con i fuochi sull’asse y y2 – x2 = a2
vertici (0; a), (0; –a)
fuochi 0 2 0 2; , ;a a( ) −( )c a= 2
eccentricità e = 2
asintoti y = x, y = –x
Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
xy = k asintoti x = 0, y = 0
se k > 0 vertici k k k k; , ; ,( ) − −( )se k < 0 vertici k k k k; , ;−( ) −( )
Iperbole equilatera traslata
y ax bcx d
= ++ c ≠ 0 ad – bc ≠ 0
asintoti x dc
y ac
= − =,
se a ≥ b c a b= −2 2 fuochi (c; 0), (–c; 0) se a < b c b a= −2 2 fuochi (0; c), (0; –c)
eccentricità e ca
= <1 eccentricità e cb
= <1
tangente in P0(x0; y0) Œ % xxa
yyb
02
02 1+ =
(oppure Axx0 + Byy0 = C)
area della regione limitata dalla ellisse = πab
Iperbole
Ellisse
%: xa
yb
2
2
2
2 1+ = (oppure Ax2 + By2 = C con A, B, C positivi)
vertici (a; 0), (–a; 0), (0; b), (0; –b)
4