1. Oscilaciones libres y forzadasSuperposicin de vibraciones paralelas

El efecto de dos m.a.s. de misma amplitud y diferente , pero muy prximas, es una perturbacin con una frecuencia igual a la media de las dos frecuencias que se combinan, pero con una amplitud que vara peridicamente con el tiempo. De este modo, un ciclo de esta vibracin incluye muchos ciclos de la vibracin bsica.

Superposicin de vibraciones perpendicularesEn general estas superposiciones no dan lugar a un m.a.s. Si tienen la misma frecuencia y diferente amplitud es una vibracin elptica.El movimiento es un m.a.s. solo en el caso de , obtenindose en los otros casos trayectorias elpticas.

Figuras de Lissajous0

Ecuacin

En este caso nunca obtenemos un m.a.s. Cuando las frecuencias y son conmensurables (su cociente es un n racional) originan una curva cerrada que implica que el movimiento se repita a intervalos regulares de tiempo. Si y no son conmensurables se dar lugar a una curva abierta. La partcula no pasar dos veces por el mismo punto a la misma velocidad.

Mdulo de Young : Es un parmetro que caracteriza el comportamiento de un material elstico. Para un material elstico lineal se define su valor como el cociente entre la tensin y la deformacin.

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas

Las vibraciones en estado estacionario se encuentran a la frecuencia del forzamiento y persisten en el tiempo. Sin independientes de las condiciones iniciales, y son constantes.Las vibraciones estacionarias han de satisfacer: Como la ecuacin de ondas es . Sustituyendo en la ecuacin de ondas:

Oscilaciones forzadas sin amortiguamiento

Oscilaciones forzadas con amortiguamiento

Las vibraciones transitorias respecto de la frecuencia natural se producen en el inicio del movimiento (superpuestas a las vibraciones estacionarias). Las vibraciones transitorias dependen de las condiciones iniciales y decaen rpidamente si hay la ms mnima prdida de energa. Oscilaciones forzadas sin amortiguamientoLa solucin general se halla sumando la solucin de la ecuacin particular y la solucin de la ecuacin homognea.La solucin particular es el caso estacionario:

La solucin homognea es la de las oscilaciones libres:

La solucin particular es la situacin estacionaria, en la que la frecuencia y la fase del movimiento armnico son iguales al de la fuerza impulsora:

La solucin homognea se corresponde con la ecuacin de las oscilaciones libres amortiguadas:

La amplitud mxima se da cuando el denominador de es mnimo, y esto ocurre cuando .

Suponiendo que la fuerza y la velocidad tienen la misma direccin, en un oscilador sin amortiguamiento:

En un oscilador con amortiguamiento:

2. Acoplamiento de oscilaciones libres : modos normales

La matriz de coeficientes tiene que ser simtrica. Si no lo es, hay que multiplicar los coeficientes para que lo sea.

Coordenadas Normales

Hallando los coeficientes , , de cada ecuacin con frecuencias se obtienen las coordenadas

Posiciones de dos osciladores acoplados

3. Vibraciones en sistemas continuos

Frecuencias normales con N osciladores acoplados

Velocidad de propagacinen una cuerda:

Velocidad de propagacin en un gas:

Velocidad de propagacin en una varilla flexible:

Energa de vibracinEnerga cintica de vibracin

Energa potencial de vibracin

Energa total de vibracin

Serie de FourierSea una funcin continua por partes en el intervalo . La serie de Fourier de es la serie trigonomtrica

Donde , y estn dadas por las frmulas siguientes

Coeficientes de Fourier segn la simetra de f(x) Si es una funcin impar, los coeficientes sern todos nulos. Si es una funcin par, los coeficientes sern todos nulos.Membrana rectangular

4. Ondas progresivasUna onda armnica es aquella que tiene una nica frecuencia bien definida:

Superposicin de ondas de la misma amplitud

Distancia entre mximos absolutos:

Onda estacionaria

Energa de una onda a travs de una varillaEnerga cintica de vibracin

Energa potencial de vibracin

Energa total de vibracin

DispersinUn medio es dispersivo cuando ondas de distinta frecuencia se mueven a distinta velocidad. Las distintas frecuencias se separan y se produce el fenmeno de la dispersin. La relacin de dispersin es la expresin que da la frecuencia en funcin del n de ondas. Esta expresin se obtiene a partir de la ecuacin de ondas que describe el movimiento ondulatorio.La velocidad de fase es la velocidad con la que se mueve con la que se mueve la cresta del nmero de onda promedio .La velocidad de grupo es la velocidad con la que se mueve la envolvente moduladora (amplitud variable):Definicin continua:

Definicin discreta: