Fórmulas da logica proposicional - FCUP - …nam/aulas/0304/tia/tia_sd031.pdf · Fórmulas da logica proposicional • As variáveis proposicionais p,q,... são fórmulas (V

Formulas da logica proposicional

• As variaveis proposicionais p, q, . . . sao formulas (VProp)

• ⊥ e formula (falso)

• α e β sao formulas, entao sao formulas (α → β), (α ∧ β), (α ∨ β)e (¬α)

DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 1

Semantica da logica proposicionalOs valores de verdade sao >e ⊥, onde >representa o valor logico verdadeiroe ⊥, falso.

Atribuicao de valores de verdade(ou valorizacao)v : VProp −→ {>,⊥} Umavalorizacao v pode ser estendida ao conjunto das formulas,e que se pode

resumir usando as seguintes tabelas:

α ¬ α⊥ >> ⊥

α β α ∧ β⊥ ⊥ ⊥⊥ > ⊥> ⊥ ⊥> > >

α β α ∨ β⊥ ⊥ ⊥⊥ > >> ⊥ >> > >

α β α→β⊥ ⊥ >⊥ > >> ⊥ ⊥> > >


Satisfazibilidade e Validade

Uma formula α e

satisfazıvel se existe uma valorizacao v tal que v(α) = >, escreve-se |=v αe diz-se que v satisfaz α

tautologia se para todas as valorizacoes v, v(α) = >e escreve-se |= α Ex:|= p ∨ ¬p (Terceiro excluıdo)

contradicao se para todas as valorizacoes v, v(α) = ⊥e escreve-se 6|= α.Ex: 6|= p ∧ ¬p.


Consequencia semantica

Seja Γ um conjunto de formulas.

Uma valorizacao v satisfaz Γ se e so se v satisfaz toda a formula β ∈ Γ.

Γ e satisfazıvel se existe uma valorizacao que o satisfaz

Uma formula α e uma consequencia semantica de Γ se para toda avalorizacao v que satisfaz Γ, se tem v(α) = >; e escreve-se Γ |= α

∅ |= α e equivalente a |= α


Sistemas dedutivos

Conjuntos de regras a partir das quais e possivel obter (deduzir) umaformula (supondo ou nao um conjunto inicial Γ): ` α ou Γ ` α

Se ` α, α diz-se um teorema

Pretendem-se sistemas ıntegros e completos:

` α se e so se |= α

ou mais geralmente:

Γ ` α se e so se Γ |= α


RegrasUma regra de inferencia e da forma:

α1, . . . , αn

β

αi (1 ≤ i ≤ k) sao as premissas, β conclusao

Deducao (derivacao ou prova) de α e uma arvore tal que:

• cada no e etiquetado por uma formula

• a formula de um no pai e uma formula inferior duma regra de inferencia,cujas formulas superiores sao as formulas dos nos filhos

• as formulas das folhas chamam-se iniciais

• a formula da raiz e a formula final α


Sistemas de deducao natural

Sistema inventado por G. Gentzen (1935) e que cujas regras pretendemreflectir as formas de raciocınio usadas nas demonstracoes matematicas.Nao tem axiomas. So regras de inferencia. Para cada conectiva logicaexistem dois tipos de regras: de introducao e de eliminacao.

As formulas iniciais podem ser hipoteses (premissas) introduzidas para aaplicacao duma regra: iniciam um sub-deducao que quando termina cancelaas respectivas hipoteses

Por exemplo para deduzir: (p ∨ (q ∧ r)) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))


1 (p ∨ (q ∧ r)

2 p

3 p ∨ q ∨I, 2

4 p ∨ r ∨I, 2

5 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∧I, 3, 4

6 q ∧ r

7 q ∧E, 6

8 r ∧E, 6

9 p ∨ q ∨I, 6

10 p ∨ r ∨I, 6

11 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∧I, 3, 4

12 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∨E, 1, 2–5, 6–11

13 (p ∨ (q ∧ r)) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ⇒I, 1–12


Deducao natural, NK0

Introducao Eliminacao

∧

...α

...β

α ∧ β ∧ I

...α ∧ β

α ∧ E1

...α ∧ β

β ∧ E2

∨

...α

α ∨ β ∨ I1

...β

α ∨ β ∨ I2

...α ∨ β

[α] [β]... ...γ γ

γ ∨ E

→

[α]...β

α→β→I

...α

...α→β

β →E


Exemplos

1. ` α → (β → α)

1 α

2 β

3 α R, 1

4 β → α ⇒I, 2–3

5 α → (β → α) ⇒I, 1–4


2. ` (α → (β → θ)) → ((α → β) → (α → θ))

1 α → (β → θ)

2 (α → β)

3 α

4 β ⇒E, 2, 3

5 β → θ ⇒E, 1, 3

6 θ ⇒E, 4, 5

7 α → θ ⇒I, 3–6

8 (α → β) → (α → θ) ⇒I, 2–7

9 (α → (β → θ)) → (α → β) → (α → θ) ⇒I, 1–8


Deducao natural, NK0 (cont.)


¬

[α]...⊥¬α ¬I

...α

...¬α

β ¬E

¬¬

...α

¬¬α¬¬I

...¬¬α

α ¬¬E

Regra da Repeticao ααR


Exemplo` (¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)1 ¬β → ¬α

2 ¬β → α

3 ¬β

4 α ⇒E, 2, 3

5 ¬α ⇒E, 1, 2

6 ⊥ ¬E, 4, 5

7 ¬¬β ¬I, 3–6

8 β ¬¬E, 7

9 (¬β → α) → β ⇒I, 2–8

10 (¬β → ¬α) → (¬β → α) → β ⇒I, 1–9


Algumas regras derivadas:

Modus Tollens

α → β ¬β

¬αMT

1 α → β

2 ¬β

3 α

4 β ⇒E, 1, 3

5 ⊥ ¬E, 2, 4

6 ¬α ¬I, 3–5


Reducao ao absurdo[¬α]

...

⊥α

RA

Se tivermos uma deducao de ⊥ supondo ¬α podemos ter uma deducao de ¬α → ⊥.

Entao basta mostrar ¬α → ⊥ ` α:

1 ¬α → ⊥

2 ¬α

3 ⊥ ⇒E, 1, 2

4 ¬¬α ¬¬ I, 2–3

5 α ¬¬ E, 4


Terceiro excluıdoα ∨ ¬α

TE

1 ¬(α ∨ ¬α)

2 α

3 α ∨ ¬α ∨I, 2

4 ⊥ ¬E, 1, 3

5 ¬α ¬I, 2–4

6 α ∨ ¬α ∨I, 5

7 ⊥ ¬E, 1, 5

8 α ∨ ¬α RA, 1–7

Mostrar que α ∨ ¬α ` ¬¬α → α (sem ¬¬E)


Teorema 1.1. O sistema NK0 e ıntegro e completo para a logica propo-sicional (classica): se ` α sse |= α. E se Σ ` α sse Σ |= α

Teorema 1.2. E decidıvel determinar se uma formula φ e valida, mas eco-NP -completo.


Sequents

Computacionalmente e conveniente saber, em cada passo de derivacao,quais sao as hipoteses que estao activas:

Numa deducao, podiamos substituir uma formula α que depende dashipoteses (activas) α1, . . . , αk pela formula: α1 ∧ . . . ∧ αk → α

Mas, por questoes estruturais, vamos definir, um novo conceito:

Sequents (sequencias)

α1, . . . , αn ⇒ β1, . . . , βm

Significado: α1 ∧ . . . ∧ αn → β1 ∨ . . . ∨ βm

Antecedente vazio: β1 ∨ . . . ∨ βm

Consequente vazio: ¬(α1 ∧ . . . ∧ αn)Ambos vazios: ⊥


NK0 em sequentsSupondo que Γ (contexto) e um conjunto de formulas:

Γ,α ⇒ αAx


∧ Γ ⇒ α Γ ⇒ βΓ ⇒ α ∧ β ∧ I

Γ ⇒ α ∧ βΓ ⇒ α ∧ E1

Γ ⇒ α ∧ βΓ ⇒ β ∧ E2

∨ Γ ⇒ αΓ ⇒ α ∨ β ∨ I1

Γ ⇒ βΓ ⇒ α ∨ β ∨ I2

Γ ⇒ α ∨ β Γ,α ⇒ γ Γ,β ⇒ γΓ ⇒ γ ∨ E

→ Γ,α ⇒ βΓ ⇒ α→β→I

Γ ⇒ α Γ ⇒ α→βΓ ⇒ β →E

¬ Γ,α ⇒⊥Γ ⇒ ¬α ¬I

Γ ⇒ α Γ ⇒ ¬αΓ ⇒ β ¬E

¬¬ Γ ⇒ αΓ ⇒ ¬¬α¬¬I

Γ ⇒ ¬¬αΓ ⇒ α ¬¬E



Deducoes com sequents

Agora os nos das arvores de deducao sao sequents e ` Γ ⇒ α e o mesmoque Γ ` α

` ⇒ α → (β → α)

α,β ⇒ αα ⇒ β→α(→I)

⇒ α→(β→α)(→I)

Enfraquecimento

Se se deduz Γ ⇒ α, entao para todo Γ′ ⊇ Γ, Γ′ ⇒ α e deduzıvel.


Calculos de sequents de GentzenSistemas dedutivos introduzidos por Gentzen (1935) que lhe permitiramobter formas normais para as deducoes: se uma formula e um teoremaentao admite uma deducao em forma normal. Isto permite obter algoritmospara a validade/satisfazibilidade sem ter de usar a semantica.Por exemplo, na regra Modus ponens:

α α → β

β

dado β, α pode ser qualquer formula...

Embora o mesmo resultado possa ser obtido para NK0, estes sistemastambem sao importantes porque revelam a estrutura das deducoes... e estaona base dos sistemas dedutivos computacionais: tableaux e resolucao...

Tem regras de introducao de conectivas: mas para o antecedente (L) epara consequente dum sequent (R).


Calculo de sequents LK0

Γ,α ⇒ ∆,αAx

Γ ⇒ ∆,α Γ′,α ⇒ ∆′Γ,Γ′ ⇒ ∆,∆′ Corte

Γ,α,β ⇒ ∆Γ,α ∧ β ⇒ ∆ ∧ L

Γ ⇒ ∆,α Γ ⇒ ∆,βΓ ⇒ ∆,α ∧ β ∧ R

Γ,α ⇒ ∆ Γ,β ⇒ ∆Γ,α ∨ β ⇒ ∆ ∨ L

Γ ⇒ ∆,α,βΓ ⇒ ∆,α ∨ β ∨ R

Γ ⇒ α,∆ Γ,β ⇒ ∆Γ,α→β ⇒ ∆ →L

Γ,α ⇒ ∆,βΓ ⇒ ∆,α→β→R

Γ ⇒ ∆,αΓ,¬α ⇒ ∆¬L

Γ,α ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬α¬R


` ⇒ ((p → q) → p) → p

p ⇒ p,q⇒ p,(p→q)

(→R) p ⇒ p

(p→q)→p) ⇒ p (→L)

⇒ ((p→q)→p)→p(→R)

` ⇒ (p → (p → q)) → (p → q)

p ⇒ pp ⇒ p p,q ⇒ q(p→q),p ⇒ q

(→L)

p→(p→q),p ⇒ q(→L)

(p→(p→q) ⇒ (p→q) (→R)

⇒ (p→(p→q))→(p→q)(→R)


NK0 versus LK0

RegrasNK0 (em sequents) LK0

Axioma AxiomaIntroducao (◦I) Introducao no consequente (◦R)Eliminacao (◦E) Introducao no antecedente (◦L)

O facto das formulas nao serem eliminadas, excepto na regra do corte, levaa seguinte propriedade:

Propriedade da subformula

Numa deducao de Γ ⇒ ∆, sem utilizar a lei do corte, todas os sequentessao compostos apenas por subformulas das formulas de Γ e ∆Entao e possıvel algoritmo que procure uma deducao a partir da raız.


Eliminacao da regra do corteΓ ⇒ ∆, α Γ′, α ⇒ ∆′

Γ, Γ′ ⇒ ∆, ∆′ Corte

α formula de corte

Teorema 1.3. (Hauptsatz) O sistema dedutivo LK0, sem a regra docorte, e ıntegro e completo. E existe um algoritmo que transforma cadadeducao em LK0, numa deducao do mesmo sequent, sem a regra do corte.

Para que entao essa regra:

• permite deducoes mais curtas

• torna mais facil obter resultados teoricos sobre o sistemas dedutivo...

• existem sistemas que recuperam parte da sua funcionali-dade...preservando a forma normal (Tableaux KE)


Ideia da demonstracao...

Γ,α ⇒ β

Γ ⇒ α→β (→R)

...Γ ⇒ α

...Γ,β ⇒ γ

Γ,α→β ⇒ γ (→L)

Γ ⇒ γCorte

Transformar para: ...Γ ⇒ α

...Γ,α ⇒ β

Γ ⇒ β Corte

...Γ,β ⇒ γ

Γ ⇒ γCorte

• Transformar aplicacoes da regra noutras com formulas de corte maissimples

• Passar a aplicacao da regra para nos superiores da arvore de derivacao

E necessaria uma dupla inducao: na profundidade da aplicacao das regrase na complexidade das formulas de corte


Leituras[?] Cap. 2.1-3.3 [?] Cap. 7.1 [?]


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