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Fórmulas de deformación de vigas www.vaxasoftware.com
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Simbolo Magnitud Unidades E·I Rigidez a flexión N·m2, Pa·m4
y Deflexión, deformación, flecha m θ Pendiente, giro - x Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) m L Longitud de la viga (sin vano lateral) m M Momento flector, flector, momento aplicado N·m P Carga puntual, carga concentrada N w Carga distribuida N/m R Reacción N V Esfuerzo cortante, cortante N Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )2(24
3230AB xLxL
EIxwy +−
−=
EILwy
3845 4
0MAX
−= para
2Lx =
Pendiente )46(24
3230AB xLxL
EIw
+−−
=θ
EILw
24
30
BA−
=−= θθ
Momento )(20
AB xLxwM −=
8
20
MAXLwM = para
2Lx =
Cortante )2(2
0AB xLwV −=
Reacciones 20
BALwRR ==
Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )16249(384
3230AC xLxL
EIxwy +−
−=
)17248(384
32230CB LxLLxx
EILwy −+−
−=
Pendiente )64729(384
3230AC xLxL
EIw
+−−
=θ
)174824(384
220CB LLxx
EILw
+−−
=θ
EI
wL128
3 3
A−
=θ EI
wL3847 3
B =θ
Momento )43(8
20AC xLxwM −= )(
820
CB LxLwM −=
Cortante )83(8
0AC xLwV −=
80
CBLwV −
=
AA RV = BB RV −=
Reacciones 8
3 0A
LwR = 80
BLwR =
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
)4244(24
322222340AC LxaLxxaLaLaa
LEIxwy +−++−
−=
)264(24
322222
0CB xLxxaxLLa
LEIawy +−++−
−=
Pendiente:
)412644(24
322222340AC LxaLxxaLaLaa
LEIw
+−++−−
=θ
)6124(24
2222
0CB xLxaL
LEIaw
+−+−
=θ
Momento:
)2(2
220AC LxaLxxa
LwM +−
−= )(
2
20
CB xLLawM −=
Cortante:
)22(2
20AC LxaLa
LwV +−
−=
LawVVV
2
20
BCCB−
===
Reacciones )2(2
0A aL
LawR −=
LawR
2
20
B =
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión xEIxRy α+=
6
3A
AC xaxEI
wEIxRy α+−−= 40
3A
CD )(246
L
xLEI
xLRy )(6
)( 3B
DB−
+−
=β
Pendiente: αθ +=EIxR
2
2A
AC αθ +−−= 302
ACD )(
62ax
EIw
EIxR
LEI
xLR βθ −−−
=2
)( 2B
DB
Momento xRM AAC = 20ACD )(
2axwxRM −−=
)(BDB xLRM −= Cortante ACAAC RVVV === )(0ACD axwRV −−= BBDDB RVVV −===
Reacciones )2(2
0A bc
LbwR += )2(
20
B baLbwR +=
Siendo:
LEIbaLRLcREILbw
6)(336 2
A2
B3
0 +−−−=
βα
EIcRLcRbaRbwabw
24812)(834 3
B2
B3
A4
03
0 +−+−+=β
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
Momento 2
21
AACxwxRM −=
)2(21
ACD axawxRM −−= 2
)()(2
2BDB
xLwxLRM −−−=
Cortante: xwRV 1AAC −= awRV 1ACD −= )(2BDB xLwRV −+−= Reacciones:
L
cwaLawR2
)2( 221
A+−
= L
awcLcwR2
)2( 212
B+−
=
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
Deflexión )3107(360
42240AB xxLL
LEIxwy +−
−=
EI
Lwy4
0MAX 00652,0−= para x = 0,5193L
Pendiente )15307(360
42240AB xxLL
LEIw
+−−
=θ
EILw
3607 3
0A
−=θ
EILw
45
30
B =θ
Momento )(6
320AB xxL
LwM −=
Cortante )3(6
220AB xL
LwV −=
Reacciones 60
ALwR =
62 0
BLwR =
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
Deflexión 2220AC )45(
960xL
LEIxwy −
−=
2220CB ))(45(
960)( xLL
LEIxLwy −−
−−=
EILwy
120
40
MAX−
= para 2Lx =
Pendiente )4)(45(192
22220AC xLxL
LEIw
−−−
=θ
))(4)()(45(192
22220CB xLLxLL
LEIw
−−−−=θ
EILw
1925 3
0BA
−=−= θθ
Momento )43(12
320AC xxL
LwM −=
))(43(12
)( 220CB xLL
LxLwM −−
−=
Cortante )4(4
220AC xL
LwV −= ))(4(
4220
CB xLLLwV −−
−=
Reacciones 40
BALwRR ==
Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida
Deflexión Lx
EILwy πsen
π4
40
AB−
=
EILwy 4
40
MAX π−
= para 2Lx =
Pendiente Lx
EILw πcos
π3
30
AB−
=θ EI
Lw3
30
BA π−
=−= θθ
Momento LxLwM πsen
π2
20
AB =
Cortante LxLwV πcos
π0
AB = π0
BALwVV =−=
Reacciones π0
BALwRR ==
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(48
22AC xL
EIPxy −
−=
))(43(48
)( 22CB xLL
EIxLPy −−
−−=
EI
PLyy48
3
CMAX−
== para 2Lx =
Pendiente:
)4(16
22AC xL
EIP
−−
=θ )384(16
22CB LLxx
EIP
+−−
=θ
EI
PL16
2
BA =−= θθ
Momento 2AC
PxM = 2
)(CB
xLPM −=
Cortante 2AACPVV ==
2BCBPVV −
==
Reacciones 2BAPRR ==
Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )(6
222AC xbL
LEIPbxy −−
−=
[ ]222CB )(
6)( xLaL
LEIxLPay −−−
−−=
Pendiente:
)3(6
222AC xbL
LEIPb
−−−
=θ [ ]222CB )(3
6xLaL
LEIPa
−−−=θ
LEIbLPb
6)( 22
A−−
=θ )(6
22B aL
LEIPa
−=θ
Momento L
PbxM =AC L
xLPaM )(CB
−=
Cortante L
PbVV == AAC LPaVV −
== BCB
Reacciones L
PbR =A L
PaR =B
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(6
22AC xaaL
EIPxy −−
−=
)33(6
22CD axLx
EIPay −−
−=
[ ]22DB )(33
6)( xLaaL
EIxLPy −−−
−−=
)43(24
22MAX aL
EIPay −
−= para
2Lx =
Pendiente )(2
22AC xaaL
EIP
−−−
=θ )2(2CD xL
EIPa
−−
=θ
[ ]22DB )(
2xLaaL
EIP
−−−=θ
EI
aaLP2
)( 2
BA−−
=−= θθ
Momento PxM =AC PaM =CD )(DB xLPM −= Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB
Reacciones PRR == BA Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
Momento xRM AAC = )(ACD axPxRM −−= )(BDB xLRM −= Cortante AAC RV = PRV −= ACD BDB RV −=
Reacciones L
baLPR )(A
+−=
LabLPR )(
B+−
=
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
Momento xRM AAC = )(1ACD axPxRM −−= )(BDB xLRM −= Cortante AAC RV = 1ACD PRV −= BDB RV −=
Reacciones L
bPaLPR 21A
)( +−=
LaPbLPR 12
B)( +−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
Deflexión )(6
220AB xL
LEIxMy −
−=
Pendiente )3(6
220AB xL
LEIM
−−
=θ
EI
LM6
0A
−=θ
EILM
30
B =θ
Momento L
xMM 0AB =
Cortante L
MV 0AB =
Reacciones L
MR 0A =
LMR 0
B−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
Deflexión )32(6
220AB xLxL
LEIxMy +−=
EILMy
39
20
MAX = para Lx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
333
Pendiente )362(6
220AB xLxL
LEIM
+−=θ
EI
LM3
0A =θ
EILM
60
B−
=θ
Momento )(0AB xL
LMM −
−=
Cortante L
MV 0AB =
Reacciones L
MR 0A =
LMR 0
B−
=
Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
Deflexión )32(6
220AB xLxL
LEIxMy +−
−=
EILMy
39
20
MAX−
= para Lx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
333
Pendiente )362(6
220AB xLxL
LEIM
+−−
=θ
EI
LM3
0A
−=θ
EILM
60
B =θ
Momento )(0AB xL
LMM −=
Cortante LMV 0
AB−
=
Reacciones LMR 0
A−
= L
MR 0B =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )4(24
220AC xL
LEIxMy −
−=
))(4(24
)( 220CB xLL
LEIxLMy −−
−=
Pendiente )12(24
220AC xL
LEIM
−−
=θ
))(12(24
220CB LxL
LEIM
−−=θ
)3(6
220A bL
LEIM
−−
=θ )3(6
220B aL
LEIM
+−=θ
Momento L
xMM 0AC = )(0
CB xLLMM −
−=
Cortante L
MV 0AC =
LMV 0
CB =
Reacciones L
MR 0A =
LMR 0
B−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión )3(6
2220AC xbL
LEIxMy −−
−=
))(3(6
)( 2220CB xLaL
LEIxLMy −−−
−=
Pendiente )33(6
2220AC xbL
LEIM
−−−
=θ
))(33(6
2220CB xLaL
LEIM
−++−=θ
)3(6
220A bL
LEIM
−−
=θ )3(6
220B aL
LEIM
+−=θ
Momento L
xMM 0AC = )(0
CB xLLMM −
−=
Cortante L
MV 0AC =
LMV 0
CB =
Reacciones L
MR 0A =
LMR 0
B−
=
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos
Deflexión [ ]LMMxMMLEI
xLxy )2()(6
)(2121AB +−−
−−=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((6
1 221
221AB LLxMMLxxMM
LEI−+−−−=θ
Momento [ ]121AB )(1 LMxMML
M −−=
Cortante L
MMV 21AB
−=
Reacciones L
MMR 21A
−=
LMMR 12
B−
=
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos
Deflexión [ ]LMMxMMLEI
xLxy )2()(6
)(2121AB −−+
−−=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((6
1 221
221AB LLxMMLxxMM
LEI−−−−+=θ
Momento [ ]121AB )(1 LMxMML
M −+=
Cortante L
MMV 21AB
+=
Reacciones L
MMR 21A
+=
LMMR 21
B−−
=
Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
Deflexión )(2
0AB xL
EIxMy −
−=
EI
LMy8
20
MAX−
= para 2Lx =
Pendiente )2(2
0AB xL
EIM
−−
=θ EI
LM2
0BA
−=−= θθ
Momento 0AB MM = Cortante 0AB =V Reacciones 0BA == RR
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )64(24
22340AB xLLxx
EIwy +−
−=
EI
Lwyy8
40
BMAX−
== para x = L
Pendiente )33(6
2230AB xLLxx
EIw
+−−
=θ EI
Lw6
30
B−
=θ
Momento 20AB )(
2xLwM −
−=
2
20
AMAXLwMM −
==
Cortante )(0AB xLwV −= Reacciones LwR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión )46(24
43220AC xaxxa
EIwy +−
−=
)4(24
30
CB axEIawy −
−=
)4(24
30
BMAX aLEIawyy −
−==
Pendiente )33(6
3220AC xaxxa
EIw
+−−
=θ
EI
aw6
30
BCCB−
=== θθθ
Momento 20AC )(
2xawM −
−= 0BCCB === MMM
2
20
AMAXawMM −
==
Cortante )(0AC xawV −= 0BCCB === VVV Reacciones awR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
Deflexión )233(12
20
AC xaLEIbxwy −+
−=
)464(24
4322340CB axaxLLxx
EIwy +−+−
−=
Pendiente )(2
0AC xaL
EIbxw
−+−
=θ
)33(6
32230CB axLLxx
EIw
−+−−
=θ
)(6
330B aL
EIw
−−
=θ
Momento )2(2
0AC xaLbwM −+
−= 20
CB )(2
xLwM −−
=
Cortante bwVVV 0CAAC === )(0CB xLwV −= Reacciones bwR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
Deflexión )236(12
20
AC xbaEIbxwy −+
−=
)4)(6)(4(24
4322340CD axaxbaxbax
EIwy +−+++−
−=
))(])([4(24
44330DB abaabax
EIwy ++−−+
−=
Pendiente )2(2
0AC xba
EIbxw
−+−
=θ
))(3)(3(6
32230CD axbaxbax
EIw
−+++−−
=θ
))((6
330DB aba
EIw
−+−
=θ
Momento )22(2
0AC xbabwM −+
−=
20CD )(
2xbawM −+
−= 0BDDB === MMM
Cortante bwVVV 0CAAC === )(0CD xbawV −+= 0BDDB === VVV Reacciones bwR 0A =
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión )1020(120
3232
0AB xxLL
LEIxwy +−
−=
EI
Lwy12011 4
0MAX
−= para x = L
Pendiente )68(24
3230AB xxLL
LEIxw
+−−
=θ
EI
Lw8
30
B−
=θ
Momento )32(6
3230AB xxLL
LwM +−
−=
Cortante )(2
220AB xL
LwV −=
Reacciones 20
ALwR =
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
Deflexión )51010(120
32232
0AB xLxxLL
LEIxwy −+−
−=
EILwy
30
40
MAX = para x=L
Pendiente )464(24
32230AB xLxxLL
LEIxw
−+−−
=θ
EILw
24
30
B−
=θ
Momento 30AB )(
6xL
LwM −
−=
Cortante 20AB )(
2xL
LwV −=
Reacciones 20
ALwR =
Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
−= 332333
40
AB ππ3482πcos48
π3xLxL
LxL
EILwy
)24π(3π2 3
4
40
MAX −−
=EILwy para x = L
Pendiente ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
−=
LxLxLx
EILw
2πsen8ππ2
π2222
30
ABθ
)8π(π
23
30
B −−
=EILwθ
Momento ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
−=
LxLxLLwM
2πcos2ππ
π2
20
AB
Cortante ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
LxLwV
2πsen1
π2 0
AB
Reacciones π
2 0A
LwR =
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
Deflexión )3(6
32AB xLx
EIPy −
−=
EIPLyy
3
3
BMAX−
==
Pendiente )2(2
2AB xLx
EIP
−−
=θ
EIPL
2
2
BMAX−
==θθ
Momento )(AB xLPM −−= PLMM −== AMAX
Cortante PVVV === BAAB Reacciones PR =A
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )3(6
32AC xax
EIPy −
−= )3(
6
2
CB axEIPay −
−=
)3(6
2
BMAX aLEIPayy −
−==
Pendiente )2(2
2AC xax
EIP
−−
=θ EIPa
2
2
BCCB−
=== θθθ
Momento )(AC xaPM −−= 0BCCB === MMM PaMM −== AMAX Cortante PVVV === CAAC 0BCCB === VVVReacciones PR =A
Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
Deflexión EI
xMy2
20
AB−
=
EI
LMy2
20
MAX−
= para x = L
Pendiente EI
xM 0AB
−=θ
Momento 0BAAB MMMM −=== Cortante 0BAAB === VVV Reacciones 0A =R
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
Deflexión EI
xMy2
20
AC−
= )2(2
0CB ax
EIaMy −
−=
)2(2
0MAX aL
EIaMy −
−= para x = L
Pendiente EI
xM 0AC
−=θ
EIaM 0
BCCB−
=== θθθ
Momento 0AAC MMM −== 0BCB == MMCortante 0CAAC === VVV 0BCCB === VVVReacciones 0A =R
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión 22
0AB )(
24xL
EIxwy −
−=
Pendiente )23(12
220AB xLxL
EIxw
+−−
=θ
Momento )66(12
220AB xLxLwM +−
−=
Cortante )2(2
0AB xLwV −=
Reacciones 20
BALwRR ==
Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )124(24 AA
20
2
AC MxRxwEIxy −−
−=
EILxLRMLRML
EIxRxLRMy
6)2(3)3(
6)(3
BBBB2
3B
2BB
CB
+−++
+−+
=
Pendiente )63(6 AA
20AC MxRxw
EIx
−−−
=θ
[ ])2()(22
1BBBB
2BCB LRMLxLRMxR
EI+++−
−=θ
Momento 2
20
AAACxwMxRM −+= BBCB )( MxLRM +−=
Cortante xwRV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones L
MMLwR BA0A 8
3 −−=
LMMLwR BA0
B 8−
+=
Siendo 192
11 20
ALwM −
= 1925 2
0B
LwM −=
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión )124(24 AA
20
2
AC MxRxwEIxy −−
−=
EILxLRMLRML
EIxRxLRMy
6)2(3)3(
6)(3
BBBB2
3B
2BB
CB
+−++
+−+
=
Pendiente )63(6 AA
20AC MxRxw
EIx
−−−
=θ
[ ])2()(22
1BBBB
2BCB LRMLxLRMxR
EI+++−
−=θ
Momento 2
20
AAACxwMxRM −+= BBCB )( MxLRM +−=
Cortante xwRV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones L
MML
abLwR BA0A 2
)( −−
+=
L
MMLawR BA
20
B 2−
+=
Siendo )386(12
222
20
A aLaLLawM +−
−=
)34(12 2
30
B aLLawM −
−=
Viga empotrada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(6 AA
2
AC xRMEIxy +=
[ ]2A
3A
40CD 124)(
241 xMxRaxwEI
y −−−−
=
EILxLRMLRML
EIxRxLRMy
6)2(3)3(
6)(3
BBBB2
3B
2BB
DB
+−++
+−+
=
Pendiente )2(2 AAAC xRM
EIx
+=θ
[ ]xMxRaxwEI A
2A
30CD 63)(
61
−−−−
=θ
[ ])2()(22
1BBBB
2BDB LRMLxLRMxR
EI+++−
−=θ
Momento xRMM AAAC += 2
)( 20
AACDaxwMxRM −
−+=
)(BBDB xLRMM −+= Cortante AAC RV = )(0ACD axwRV −−= BDB RV −=
Reacciones L
MMbbcwR2
22)2( BA0A
+−+=
L
MMbbawR2
22)2( BA0B
−++=
Siendo [ ]222
0A )2)(36()362(
24bcbabcLb
LbwM +++−−
−=
[ ]222
0B )2)(36()362(
24babcbaLb
LbwM +++−−
−=
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(48
2
AC xLEI
Pxy −−
= )4(48
)( 2
CB LxEI
xLPy −−−
=
Pendiente )2(8AC xL
EIPx
−−
=θ )23(8
22CB xLxL
EIP
+−−
=θ
Momento )4(8AC xLPM −−
= )43(8CB xLPM −=
Cortante 2ACPV =
2CBPV −
=
Reacciones 2BAPRR ==
Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )33(6 3
22
AC bxaxaLEIL
xPby −−−
=
)3(6
)(3
22
CB axaLbxEIL
xLPay +−−−
=
Pendiente )32(2 3
2
AC bxaxaLEIL
xPb−−
−=θ
[ ]23
2
CB )3(2
)( LabxEIL
xLPa−+
−=θ
Momento )3(3
2
AC bxaxaLL
xPbM −−−
=
)2( 23
2
CB bxLxbLLL
PaM −−+=
Cortante )2(3
2
AC aLL
PbV += )2(3
2
CB bLLPaV +
−=
Reacciones )2(3
2
A aLL
PbR += )2(3
2
B bLL
PaR +=
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(6
22
AC LxaaLEILPxy −−
−=
)33(6
22
CD aLxLxEILPay −−
−=
))(33(6
)( 22
DB xLLaaLEIL
xLPy −−−−−
=
Pendiente )22(2
2AC LxaaL
EILPx
−−−
=θ )2(2
2
CD xLEILPa
−−
=θ
[ ])(222
)( 2DB xLLaaL
EILxLP
−−−−
=θ
Momento )( 2AC aaLLx
LPM +−=
L
PaM2
CD = )( 22DB aLaLxL
LPM +−−=
Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB
Reacciones PRR == BA
Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )2(8
20
AC LxLEI
xMy −=
)425(8
32320CB LxLxLx
LEIMy +−−
−=
Pendiente )3(4
0AC Lx
LEIxM
−=θ )4610(8
220CB LxLx
LEIM
−−−
=θ
Momento )6(4
0AC Lx
LMM −= )65(
40
CB xLL
MM −−
=
Cortante L
MV2
3 0AB =
Reacciones L
MR2
3 0A =
LMR
23 0
B−
=
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
)22(2 3
20
AC bLaxaLEILbxMy −−
−= )2(
2)(
3
20
CB aLbxEIL
xLaMy −−
=
Pendiente:
)32(30
AC bLaxaLEIL
bxM−−
−=θ )3()( 2
30
CB bxLEIL
xLaM−
−=θ
Momento:
)62(30
AC bLaxaLL
bMM −−−
= )46(30
CB aLbLbxL
aMM −−=
Cortante 30
AB6
LabMV =
Reacciones 30
A6
LabMR = 3
0B
6L
abMR −=
Siendo )2(20
A baL
bMM −−
= )2(20
B abL
aMM −=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )253(48
222
0AB xLxL
EIxwy +−
−=
Pendiente )8156(48
220AB xLxL
EIxw
+−−
=θ
Momento )45(8
220AB xLxLwM +−
−=
Cortante )85(8
0AB xLwV −=
Reacciones 8
5 0A
LwR = 8
3 0B
LwR =
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
EIL
bLxLawxaLwxLLRy48
)3)(()(2)(8 30
40
3B
AC+−−−−−
=
EIL
bLxLawxLLRy48
)3)(()(8 30
3B
CB+−−−
=
Pendiente:
EIL
bLawxaLwxLLR48
)3()(8)(24 30
30
2B
AC++−+−−
=θ
EIL
bLawxLLR48
)3()(24 30
2B
CB++−−
=θ
Momento 2
)()(2 20B
ACxawxLRM −−−
= )(BCB xLRM −=
Cortante )(0BAC xawRV −+−= BCB RV −=
Reacciones L
MabLwR2
2)( A0A
−+=
LMawR
22 A
20
B+
=
Siendo 2
220
A 8)(
LabLwM +−
=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
Deflexión )3(6 AA
2
AC MxREIxy +=
EILaabbLxLbw
EILxLLwxLLRy
48)63)((
24)()(4
220
40
3B
CB
++−−+
+−−−
=
Pendiente )2(2 AAAC MxR
EIx
+=θ
EILaabbLbw
EILxLLwxLLR
48)63(
6)()(3 22
03
02
BCB
+++
−+−−=θ
Momento AAAC MxRM += 2
)()(2 20B
CBxLwxLRM −−−
=
Cortante AAC RV = )(0BCB xLwRV −+−=
Reacciones L
MbwR2
2 A2
0A
−=
LMbbawR
22)2( A0
B++
=
Siendo [ ]22
20
A ))(2(16
baLbLLbwM −++
−=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(6 AA
2
AC MxREIxy +=
[ ]EIL
babcbabLbxLbwEI
cxLwxLRy
96)2)(2(3)2(32)(
24)()(4
2220
40
3B
CD
++++−−−+
+−−−−
=
[ ]EIL
babcbabLbxLbwEI
xLRy
96)2)(2(3)2(32)(
6)(
2220
3B
DB
++++−−−+
+−
=
Pendiente )2(2 AAAC MxR
EIx
+=θ
[ ]EIL
babcbabLbbwEI
cxLwxLR
96)2)(2(3)2(32
6)()(3
2220
30
2B
CD
++++−+
+−−+−−
=θ
[ ]EIL
babcbabLbbwEI
xLR
96)2)(2(3)2(32
2)(
2220
2B
DB
++++−+
+−−
=θ
Momento AAAC MxRM +=
2
)()(2 20B
CDcxLwxLRM −−−−
= )(BDB xLRM −=
Cortante AAC RV = B0CD )( RcxLwV −−−= BDB RV −=
Reacciones L
MbcbwR2
2)2( A0A
−+=
L
MbbawR2
2)2( A0B
++=
Siendo [ ]2
20
A 16)2)(22()2)(2(
LbbabcLbbabcwM −+++++−
=
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
)119(96
2
AC xLEI
Pxy −−
= ))(53(96
)( 22CB xLL
EIxLPy −−
−−=
Pendiente:
)116(32AC xL
EIPx
−−
=θ )5104(32
22CB xLxL
EIP
+−−
=θ
Momento )113(16AC xLPM −−
= )(165
CB xLPM −=
Cortante 16
11AC
PV = 165
CBPV −
=
Reacciones 16
11A
PR = 165
BPR =
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )333(12
22233
2
AC xbxLLbLEILPbxy +−−
−=
)))(2(3(12
)( 223
2
CB xLbLbLEIL
xLPay −+−−−
=
Pendiente )322(4
22233AC xbxLLbL
EILPbx
+−−−
=θ
)2242(4
22233
2
CB bxLxbLxxLLEILPa
++−−−
=θ
Momento:
)3(2
22233AC xbxLLbL
LPbM +−−
−= )2)((
2 3
2
CB bLxLL
PaM +−=
Cortante )3(2
223AC bL
LPbV −= )2(
2 3
2
CB bLL
PaV +−
=
Reacciones )3(2
223A bL
LPbR −= )2(
2 3
2
B bLL
PaR +=
Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión:
[ ])33(2))(233(12
22222
2
AC LaLaLxLLaLaEIL
Pxy +−+−−−=
[ ]2
222
2
223
CD
122))((3
12))(6))((3(
EILaLxLaLLPa
EILxLLxLaLPay
−−+−+
+−−−−−
=
[ ])(3))(233(12
)( 22222DB aLaLxLLaaL
EILxLPy −+−−−
−−=
Pendiente:
[ ])33(4)32)(233(12
22222AC LaLaLxLLaLa
EILPx
+−+−−−=θ
[ ])()(4))((34
2222CD aLLxLLxLaL
EILPa
+−−+−−−−
=θ
[ ])())(233(4
22222DB aLaLxLLaaL
EILP
−+−−−=θ
Momento [ ])332(332
22222AC aaLLxaLLa
LPM −++−=
[ ]22CD 2))((3
2LxLaL
LPaM −−−
−=
)233(2
)( 222DB LaaL
LxLPM −−
−−=
Cortante )332(2
222AC aaLL
LPV −+= 2CD 2
)(3L
aLPaV −=
)233(2
222DB LaaL
LPV −−=
Reacciones )332(2
222A aaLL
LPR −+=
)323(2
222B aLLa
LPR −+=
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto
Deflexión: [ ]))((24
2223
20
AC bLxLLbEIL
xMy −−−−
=
[ ]))(3)((44
)( 2233
0CB bLLxLL
EILxLaMy +−−−−
−−=
Pendiente [ ]))(32(44
2223
0AC bLxLLb
EILxM
−−−−
=θ
[ ])2)((344
233
0CB LxxbLL
EILaM
−+−−
=θ
Momento [ ]))(3(22
2223
0AC bLxLLb
LMM −−−
−=
))((2
330
CB xLbLL
aMM −+=
Cortante )(23
30
AB bLL
aMV +−
=
Reacciones )(23
30
A bLL
aMR +−
= )(2
330
B bLL
aMR +=
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
Deflexión EIL
xLxMy4
)(20
AB−
=
Pendiente EIL
xLxM4
)32(0AB
−=θ
Momento L
xLMM2
)3(0AB
−=
Cortante LMV
23 0
AB−
=
Reacciones LMR
23 0
A−
= L
MR2
3 0B =
Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )222(24
222232240AB xaLaLxxLL
LEIxwy +−+−
−=
)464(24
31
211
23210BC xaxxaLLa
EIxwy +−+−
−=
Pendiente )6246(24
222232240AB xaLaLxxLL
LEIw
+−+−−
=θ
)412124(24
31
211
2320BC xaxxaLLa
EIw
+−+−−
=θ
Momento )(2
220AB aLxL
LxwM −−= 2
10
BC )(2
xawM −−
=
Cortante )2(2
220AB aLxL
LwV −−= )( 10BC xawV −=
Reacciones )(2
220A aL
LwR −= 20
B )(2
aLL
wR +=
Siendo Lxx −=1
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
Deflexión )(12
222
0AB xL
LEIxawy −=
)464(24
31
211
2210BC xaxxaLa
EIxwy +−+
−=
Pendiente )3(12
222
0AB xL
LEIaw
−=θ
)33(6
31
211
220BC xaxxaLa
EIw
+−+−
=θ
Momento L
xawM2
20
AB−
= 21
0BC )(
2xawM −
−=
Cortante LawV
2
20
AB−
= )( 10BC xawV −=
Reacciones LawR
2
20
A−
= L
aaLwR2
)2(0B
+=
Siendo Lxx −=1
Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
Deflexión )(6
22AB xL
LEIPaxy −= )32(
62
111
BC xaxaLEIPxy −+
−=
Pendiente )3(6
22AB xL
LEIPa
−=θ )362(6
211BC xaxaL
EIP
−+−
=θ
Momento LPaxM −
=AB )( 1BC xaPM −−=
Cortante LPaV −
=AB PV =BC
Reacciones LPaR −
=A L
aLPR )(B
+=
Siendo Lxx −=1 Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
Deflexión )(6
222AC xbL
LEIPbxy −−
−=
)2(6
)( 22CB xaLx
LEIxLPay −−
−−=
)(6
1BD aL
LEIPabxy +=
Pendiente )3(6
222AC xbL
LEIPb
−−−
=θ
)362(6
222CB xaLxL
LEIPa
++−−
=θ LEI
aLPab6
)(BD
+=θ
Momento L
PbxM =AC )(CB xLL
PaM −= 0BD =M
Cortante L
PbV =AC LPaV −
=CB 0BD =V
Reacciones L
PbR =A L
PaR =B
Siendo Lxx −=1
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