Investigación Operativa Teoría de Colas - Fórmulas

INGENIERÍA INDUSTRIAL 1

λλλλ = tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo)

1/λλλλ = tiempo medio entre llegadas

µµµµ = tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado)

1/µµµµ = tiempo medio requerido para prestar el servicio

ρρρρ = factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado)

Pn = probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema

Lq = número medio de unidades en la cola (longitud de la cola)

Ls = número medio de unidades en el sistema

Wq = tiempo medio de espera en la cola

Ws = tiempo medio de espera en el sistema _

λλλλ =

Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema

Wq(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola

Modelo de Colas Sencillo Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1)

ρ = λ / µ

ρ = λ / (s. µ)

P0 = 1 – ρ

s –1 P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s } n=0 s!(1 - ρ)

Pn = P0 ρn _

λ = λ

Pn = P0 [(λ / µ)n / n!] para 0 ≤ n ≤ s

Pn = P0 [(λ / µ)n / (s! . sn – s)] para n ≥ s _

λ = λ Lq = λ2 / [µ . (µ - λ)] = ρ Ls

Lq = [P0 . (λ / µ)s . ρ] / [s! (1 - ρ)2]

Ls = λ / (µ - λ)

Ls = Lq + (λ / µ)

Wq = λ / [µ . (µ - λ)] = Lq / λ

Wq = Lq / λ

Ws = 1 / (µ - λ) = Ls / λ

Ws = Wq + (1 / µ)

Ws(t) = e- t / Ws (t ≥ 0)

Ws(t) = e- µ.t 1 + (s.ρ)s . p0.(1 – e-µ t (s – 1 - s . ρ)) s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ)

Wq(t) = ρ . e- t / Ws (t ≥ 0)

Wq(t) = (sρ)s p0 . e

- s µ t (1 - ρ) s! (1 - ρ)

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INGENIERÍA INDUSTRIAL 2

Modelo Básico con una Cola Finita (Nro. de clientes ≤ M) Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1)

ρ = λ / µ

ρ = λ / (s. µ)

P0 = 1 - ρ Si ρ ≠ 1

1 - ρM+1

P0 = 1 Si ρ = 1 M+1

s M P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s ∑ ρn-s

} n=0 s! n=s+1

Para cualquier valor de ρ

Pn = P0 ρn para 0 ≤ n ≤ M _

λ = λ (1 – PM)

Pn = (λ / µ)n P0 para 0 ≤ n ≤ s n!

Pn = (λ / µ)n P0 para s ≤ n ≤ M s! sn-s

Pn = 0 para n > M _ λ = λ (1 – PM)

Ls = ρ - (M+1) ρM+1 Si ρ ≠ 1 1 - ρ 1 - ρM+1 LS = M / 2 Si ρ = 1

s-1 s -1 Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0 n=0

Lq = Ls - 1 + P0

Lq = P0 (λ / µ)s ρ [1 - ρM-s - (M - s)ρM-s(1 - ρ)] s! (1 - ρ)2

Ws = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]

Ws = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]

Wq = Lq / [λ (1 - P0 ρM)]

Wq = Lq / [λ (1 - P0 ρM)]

Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada

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INGENIERÍA INDUSTRIAL 3

Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / µ

ρ = λ / (s. µ)

M P0 = 1 / ∑ [ M! ρn] n=0 (M - n)!

s -1 M P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ)n ] + ∑ [ M! (λ / µ)n ] } n=0 (M - n)! n! n=s (M - n)! s! sn-s

Pn = M! ρn P0 para 0 ≤ n ≤ M

(M - n)!

Pn = 0 para n > M _

λ = λ (M – LS) = µ (1 - P0)

Pn = M! (λ / µ)n P0 para 0 ≤ n ≤ s (M - n)! n!

Pn = M! (λ / µ)n P0 para s ≤ n ≤ M (M - n)! s! sn-s

Pn = 0 para n > M _

λ = λ (M – LS)

Lq = M - (λ + µ ) (1 - P0) λ

M Lq = ∑ (n - s) Pn n=s

Ls = Lq + 1 - P0

s-1 s -1 Ls = [∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0 n=0

Wq = Lq / [µ (1 - P0)]

Wq = Lq / [λ (M - Ls)]

Ws = Ls / [µ (1 - P0)]

Ws = Ls / [λ (M - Ls)]

Otros Modelos de Colas Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y cualquier distribución

del tiempo de servicio

Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y tiempos de servicio

constantes (⇒ varianza σ2 = 0) ρ = λ / µ ρ = λ / µ P0 = 1 - ρ P0 = 1 - ρ Pn = P0 ρn Pn = P0 ρn Lq = λ2σ2 + ρ2 2 (1 - ρ)

Lq = ρ2 2 (1 - ρ)

Ls = Lq + ρ Ls = Lq + ρ Wq = Lq / λ Wq = Lq / λ Ws = Ls / λ = Wq + 1/µ Ws = Ls / λ = Wq + 1/µ