FORMULE - gimnazija-vnazora-zd.skole.hr · Nastavna cjelina: PRAVAC I KRUŽNICA Razred: III ISPITNI ZADACI r= 8 Zašto iz uvjeta da pravac x – 8 = 0 dira kružnicu zaključujemo

Nastavna cjelina: PRAVAC I KRUŽNICA Razred: III

ISPITNI ZADACI

FORMULE

Implicitni oblik jednadžbe pravca

A, B i C … koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

ili

Pravci paralelni s koordinatnim osima

- Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku A = 0


ISPITNI ZADACI

nagib pravca ili koeficijent smjera

Uvrstimo k=0 u eksplicitnu jednadžbu pravca dobivamo

jednadžbu pravca paralelnu s osi apcise x

- Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku

B = 0

Segmentni oblik jednadžbe pravca

Kriterij paralelnosti dva pravca i

k1 = k2

ili


ISPITNI ZADACI

2

1

2

1B

B

A

A

Kriterij okomitosti dva pravca i

Kut između dva pravca i :

Jednadžba pravca kada je zadana točka A (x1, y1)-kojom prolazi i

koeficijent smjera k

Jednadžba pravca kada su zadane dvije točke A (x1, y1) i

B (x2, y2)


ISPITNI ZADACI

Udaljenost točke T (X0, Y0) od pravca

22

00

BA

CyBxA

d

Simetrala kuta α - udaljenost točke od pravca - SVAKA TOČKA

simetrale jednako je udaljena od pravaca:

Formule koje se koriste za kružnicu nalaze se u zadacima.

1. Kolika je udaljenost pravca od ishodište koordinatnog

sustava?

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

d

f x = 4

3 x-4

22

22

222

21

21

111

BA

CyBxA

BA

CyBxA


ISPITNI ZADACI

Udaljenost pravca od ishodište koordinatnog sustava O (0, 0):


ISPITNI ZADACI

2. Na pravcu odredi točku koja je jednako udaljena od

točaka A (-1, 0) i B (5, 2).

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

T

AT = BT

f x = x+3

A

B

A (-1, 0)

B (5, 2)

Točka T leži na pravcu , koordinate tražene točke su: x,

A (-1, 0)


ISPITNI ZADACI

B (5, 2)

3. Točka T (-4, 5) vrh je kvadrata kojem je dijagonala na pravcu

Odredi ostale vrhove kvadrata.

1.


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

Y x = 7x+8

T

2. Naći udaljenost zadana točka T (-4, 5) od gore napisanog pravca

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

d = ?

Y x = 7x+8

T


ISPITNI ZADACI

3. Duljina dijagonale:

4. Duljina stranice:

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

D

C

a

B

Y x = 7x+8

T


ISPITNI ZADACI

B (-1, 1)

C (3, 4)

D (0, 8)

4. Točka A (1, 3) jedan je vrh trokuta ABC, pravci i

dvije su njegove težišnice. Odredi koordinate vrhova B i C

trokuta.

A (1, 3)

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

T =?

C = ?

B = ?

g x = 1

A

f x = 1

2 x+1

2

1. Odrediti točku T-sjecište dviju težišnica.


ISPITNI ZADACI

T (1, 1)

2. Odrediti polovište P stranice iz uvjeta

P (1, 0)

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

AT : TP = 2

P (1,0)

f x = 1

2 x+1

2

A

g x = 1

B = ?

C = ?

T (1, 1)

ujedno vrijedi:

jer točka C leži na pravcu-težišnici


ISPITNI ZADACI

3. Točka B pripada težišnici pravca

4. Odredite iz gore postavljenog sustava jednadžbi

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

B

CT (1, 1)

C (5, 1)

B ( -3, -1)

g x = 1

A

f x = 1

2 x+1

2

P (1,0)

B (-3, -1)

C (5, 1)


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

B

CT (1, 1)

C (5, 1)

B ( -3, -1)

g x = 1

A

f x = 1

2 x+1

2

P (1,0)

5. Nađite kut između pravaca i

Za izračunavanje kuta između dva pravca postoji još jedna formula

uz nama opće znanu formulu u koju su uključeni slučajevi kada su

pravci paralelni s jednom ili obje koordinatne osi:

Kut između pravaca

možemo izračunati kao kut između njihovih vektora smjerova

vektor smjera


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = -1

2 x+3

2

f y = -3

A = 1

B = 0

C = 3

A = 1

B = 2

C = - 3


ISPITNI ZADACI

6. Koliki kut zatvaraju pravci , ?

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = -3

2 x

f y = -3

vektor smjera


ISPITNI ZADACI

A = 1

B = 0

C = 3

A = 3

B = 2

C = 0


ISPITNI ZADACI

7. Koliki kut zatvaraju pravci ?

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = -2

3 x

f y = -3

2

vektor smjera

vektor smjera


ISPITNI ZADACI

vektor smjera


ISPITNI ZADACI

8. Odredi kut između pravca

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = -3

2 x-1

f x = 5x-8

Upute: Koristiti opće poznatu formulu za šiljasti kut između dva pravca:

211

12kk

kktg


ISPITNI ZADACI

211

12kk

kktg

9. Odredi unutarnje kutove trokuta kojem stranice leže na pravcima

,


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

h x = -1

2 x

g x = 3x+11 f x = x+4

Samostalno!

10. Nađi jednadžbu kružnice opisane trokutu ABC ako je A (-1, 5),

B(6, 4) i C (7, 1).

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

C

B

A

Jednadžba kružnice sa središtem u točki S (p, q) i polumjerom r:


ISPITNI ZADACI

A (-1, 5)

(1)

B (6, 4)

(2)

C (7, 1)

(3)

Samostalno riješite sustav jednadžbi s tri nepoznanice-dobiti će te

p, q i r.

11. Napiši jednadžbu kružnice koja dira pravac x – 8 = 0 i y – 3 = 0, a

središte joj je na osi ordinata.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = 3

f y = 8

Pošto je središte kružnice na osi ordinate i kružnicu dira pravac

x – 8 = 0 zaključujemo da je polumjer kružnice r = 8.


ISPITNI ZADACI

r= 8

Zašto iz uvjeta da pravac x – 8 = 0 dira kružnicu zaključujemo koliki je

polumjer, a ne iz uvjeta da pravac y – 3 = 0 dira kružnicu ?

Drugi pravac paralelan je s osi x, a središte kružnice je na osi ordinata.

Da bi kružnica dodirivala oba pravca gdje se nalazi središte u kojoj točki

(pogledajmo graf i zaključimo)?

središte kružnice na osi ordinate:

S (0, q)

Uvjet dodira pravca i kružnice:

Pravac dodiruje kružnicu sa središtem u točki S (p, q) i

polumjerom

onda i samo onda ako vrijedi:

y – 3 = 0

y = 3

k = 0

l = 3


ISPITNI ZADACI

S (0, - 5)

S (0, 11)

I

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-15 -10 -5 5 10 15

S2

S

g x = 3


ISPITNI ZADACI

12. Kružnica prolazi točkom T (1, 0) i dira pravce i

. Kako glasi jednadžba kružnice?

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

g x = -2x+18

f x = -2x-2

T

Na koliko načina možemo riješiti ovaj zadatak?

Za rješavanje ovog zadatka poslužimo se dole jednadžbama i knjigom za

drugi način st. 81, 82, 83?

Kružnica prolazi točkom

T (1, 0)

……………………(1)

Uvjet dodira pravca i kružnice:

Napomena: U prošloj verziji u pisanju nastala pogreška umjesto l pritisnuto 1.


ISPITNI ZADACI

Uočavamo da su zadani pravci koji dodiruju kružnicu paralelni:

k = -2

l = -2

……………………………….….(2)

k = -2

l= 18

…………………………………(3)

Riješiti sustav tri jednadžbi s tri nepoznanice

p = 5

q = -2

r =

S (5, -2)

i

p =

q =

r =

S ( , )


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

S2

S

g x = -2x+18

f x = -2x-2

T

i

13. Točkom T (7, -2) kružnice položena je

tangenta na kružnicu. Kako glasi jednadžba tangente?

1. Grupirati članove uz pojedine nepoznanice:

2. Svaku zagradu nadopunjavamo do potpunog kvadrata i sredimo:


ISPITNI ZADACI

……..jednadžba kružnice

r =

p = 4

q = 1

S (4, 1)

Točkom T (7, -2) kružnice položena je tangenta i okomita je na pravac

ST

3. Napisati jednadžbu pravca kroz dvije točke S (4, 1) i T (7, -2)

S (x1, y1)

T (x2, y2)

k = -1………..koeficijent smjera pravca ST

4. Točkom T (7, -2) kružnice položena je tangenta i okomita je na

pravac ST

uvijet okomitosti dva pravca i


ISPITNI ZADACI

……..koeficijent smjera tangente

5. Napisati jednadžbu pravca točkom T (7, -2) s gore napisanim

koeficjentom

……..jednadžba tangente

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x = x-9

t

S

T


ISPITNI ZADACI

Zadaci za vježbu - nisu ispitni

FORMULE

EKSPLICITNI I IMPLICITNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA

SEGMENTNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA

KUT DVAJU PRAVCA

PARALELNOST I OKOMITOST PRAVCA

UDALJENOST TOČKE OD PRAVCA

SIMETRALA KUTA


ISPITNI ZADACI

1. Jednadžbe pravaca zadane su u implicitnom obliku

odredite koeficijente:

a) x + 3y + 4 = 0 b) x – 2y + 4 = 0

A = 1 A = 1

B = 3 B = - 2

C = 4 C = 4

c) – 2x +6y - 4 = 0 d) 3x + y = 0

A = -2 A = 3

B = 6 B = 1

C = -4 C = 0

e) x - 3 = 0 f) 2y + 7 = 0

A = 1 A = 0

B = 0 B = 2

C = - 3 C = 7

2. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku

odredite nagib pravca i odsječak na osi y:

4x – 3y + 6 = 0

A = 4

B = - 3

C = 6


ISPITNI ZADACI

Nagib pravca ili koeficijent smjera:

Odsječak na osi y:

2. Jednadžbu pravca danu u implicitnom obliku prevedi u

eksplicitni oblik te odredi nagib pravca i odsječak na osi y:

1) x + 2y – 6 = 0


ISPITNI ZADACI


Odsječak na osi y:

5) 3x + 5y = 0


Odsječak na osi y:

Zaključak: Pravac ne siječe os y, prolazi kroz ishodište

koordinatnog sustava (drugi i četvrti kvadrant).


ISPITNI ZADACI

3. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku

odredite nagib pravca, odsječak na osi y i nultočku (točku

na osi x kroz koju prolazi pravac):

3x - 4y + 12 = 0

I način:

A = 3

B = -4

C = 12


Odsječak na osi y:

Nultočka (točku na osi x kroz koju prolazi pravac):

3x - 4y + 12 = 0

3x + 12 = 4y / : 4


ISPITNI ZADACI

za y = 0

4. Jednadžba pravaca dana je u implicitnom obliku. Prevedi

je u segmentni oblik. Nacrtaj potom pravce.

3) 4x – 3y – 12 = 0


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

x

3 +

y

- 4 = 1

y = 4

3 x - 44 x - 3 y -12 = 0

x

m +

y

n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca

n = - 4

m = 3

y x = 4

3 x-4

5) x + y + 5 = 0


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

x

- 5 +

y

- 5 = 1

y = - x - 5x + y + 5 = 0

x

m +

y


m = - 5

n = - 5

y x = -x-5

5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni

oblik i nacrtaj pravac.

2)


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

x

- 5 +

y

- 5 = 1

y = - x - 5x + y + 5 = 0

x

m +

y


m = - 5

n = - 5

y x = -x-5

5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni

oblik i nacrtaj pravac.

2)


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

x

2 +

y

- 4 = 1

m = 2

n = - 4

x

m +

y


y x = 2x-4

3)


ISPITNI ZADACI

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

x

4 +

y

2 = 1

m = 4

n = 2

x

m +

y


y x = -1

2 x+2

6. Ucrtaj u koordinatnoj ravnini točke A i B, odredi nagib

pravca AB i kut što ga taj pravac zatvara s pozitivnim

smjerom osi x, ako je:

1) A (-3, 3), B (5, 7)

Nagib pravca ili koeficijent smjera kada su zadane dvije

točke A (x1, y1) i B (x2, y2):


ISPITNI ZADACI

1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, 3), B (5, 7) u

.

Nagib pravca k: POZITIVAN broj RASTUĆI pravac.


ISPITNI ZADACI

5) A (-3, 2), B (-1, 1)

1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, 2), B (-1, -1) u

.

Nagib pravca k: NEGATIVAN broj PADAJUĆI pravac.


ISPITNI ZADACI

5) A (2, 5), B (2, - 1)


ISPITNI ZADACI

1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (2, 5), B (2, -1) u

.

Documents

FORMULE - gimnazija-vnazora-zd.skole.hr · Nastavna cjelina: PRAVAC I KRUŽNICA Razred: III ISPITNI ZADACI r= 8 Zašto iz uvjeta da pravac x – 8 = 0 dira kružnicu zaključujemo