Formule Per Il Calcolo Degli Elementi Geometrici - Dentature Esterne

7182019 Formule Per Il Calcolo Degli Elementi Geometrici - Dentature Esterne

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Formule per il calcolo degli elementi geometrici ndash dentature esterne

Contenuto

Definizione di evolvente Spessore di base in funzione di uno spessore qualunque e viceversa Ingranaggi cilindrici a denti diritti con dentatura normale Ingranaggi cilindrici a denti diritti con spostamento di profilo

bull Senza spostamento di profilo

bull Con spostamento di profilo Ingranaggi cilindrici con denti elicoidali con dentatura normale Ingranaggi cilindrici con dentatura elicoidale e spostamento di profilo

bull Senza spostamento di profilo

bull Con spostamento di profilo Determinazione della linea di ingranamento e del raggio attivo del dente Calcolo dello spessore ed addendum cordale Misure dello spessore su zrsquo denti Controllo degli ingranaggi su sfere

Gli ingranaggi cilindrici hanno il profilo dei denti che egrave un tratto di evolvente di cerchioVediamo ora cosrsquoegrave e che proprietagrave ha questa curvaLa curva ldquoevolvente rdquo in senso generale egrave il luogo dei punti descritto da unrsquoestremitagrave di unasemiretta che rotola senza strisciare su una curvaIn particolare se la curva egrave un cerchio si ottiene appunto lrsquoevolvente di cerchio che forma ilprofilo dei denti degli ingranaggi comunemente usatiLa classica costruzione di questa curva egrave quella che si ottiene avvolgendo un filoinestensibile attorno ad un cilindro e di svolgerlo tenendolo sempre teso Lrsquoestremitagrave liberadi questo filo percorreragrave appunto una traiettoria che egrave lrsquoevolvente di cerchioNella figura Ndeg1 egrave indicato chiaramente questo concetto

Fig Ndeg1

evolvente

cerchio di base



I segmenti BBrsquo ndash CCrsquo ndash DDrsquo possono essere pensati come il filo che si srotola dal cerchio dibase con diametro db Ersquo subito evidente che le lunghezze di questi segmenti sono rispettivamente uguali agli archi

di cerchio - - Poicheacute il triangolo ODDrsquo (O egrave il centro del cerchio) egrave retto perchegrave DDrsquo tangente al cerchio si

ha che indicando con rg il raggio del cerchio base di diametro db lrsquoequazione parametricadellrsquoevolvente di cerchio egrave

= = ∙ sec = tan minus = ()

Infatti il tratto DDrsquo = rg∙ tan egrave anche uguale allrsquoarco cioegrave a rg∙ ( + ) con gli angoli

espressi in radianti e quindi risulta tan = ( + )

La funzione () egrave molto importante percheacute facilita di molto come vedremo i calcolidei vari elementi del dente dellrsquoingranaggioEsistono delle tabelle specifiche che per ogni valore dellrsquoangolo ψ danno il valore dellafunzione ldquoinvoluta rdquoA questo punto poicheacute si dovranno scrivere una serie di formule egrave opportuno dare un

elenco del significato dei simboli e degli indici utilizzati

Significato dei simbolia Interasse m Modulo

α Angolo di pressione Q Distanza esterna delle sfere (quota controllo)

β Angolo di elica r Raggio

d Diametro Ra Raggio attivo di piede del dente

g Lunghezza della linea drsquoingranamento s Spessore del dente relativo al diametro d

g1 Porzione della linea di ingranamento os Spessore cordale

g2 Porzione della linea di ingranamento t Passo

hf Dedendum w Spessore su zrsquo denti per dentatura dritta

hk Addendum W Spessore si zrsquo denti per dentatura elicoidale

h0 Addendum cordale z Numero di denti

hr Altezza dente x Coefficiente di correzione del profilo

l Larghezza del vano

Significato degli indicib Riferito al cerchio di funzionamento n Riferito alla sezione normale c Riferito al cerchio di taglio o Riferito al cerchio primitivo f Riferito al cerchio interno q Riferito al cerchio passante per il centro sfere g Riferito al cerchio di base r Riferito a sfere k Riferito al cerchio sterno s Riferito alla sezione apparente i Riferito a ideale w Riferito allrsquoutensile

Nella seguente figura Ndeg2 sono rappresentati due rami di evolvente che formano nelle suecaratteristiche fondamentali un dente di ingranaggio

Nella figura il tratto che va dal centro del cerchio base al punto E egrave indicato con secα mentre la tangente al cerchio base passante per il punto E egrave indicata con tan queste dueespressioni sono riferite al caso di un raggio di base unitario

Spessore di base in funzione di uno spessore qualunque e viceversa

= ( + 2 ) ∙ in cui =

e viceversa si ha



= minus 2 ∙ ∙

Dove si vede che = in cui egrave lrsquoangolo di pressione nei punti E e D

Si capisce giagrave da qui lrsquoimportanza della funzione

Fig Ndeg2

Ingranaggi cilindrici a denti diritti con dentatura normale

Con riferimento alla figura Ndeg3 valgono le seguenti relazioni

Fig Ndeg3



= ∙ ℎ = ℎ + ℎ = ∙ = + 2ℎ = ∙ cos = + 2ℎ

= ∙ cos

= ∙

ℎ = ℎ = ∙ oppure ℎ = ∙

Ingranaggi cilindrici a denti diritti con spostamento di profilo

Si chiama spostamento di profilo ∙ la distanza tra la linea di riferimento a della

cremagliera generatrice e la retta di rotolamento b ed egrave da intendersi con il segno + quandola linea di rifermento della cremagliera egrave esterna al cerchio primitivo di taglio c della ruota

con il segno ndash in caso contrarioCon riferimento alla figura Ndeg4 si haa)- Senza variazione di interasse

ℎ = + ∙ ℎ = ∙ minus ∙ oppure ℎ = ∙ minus ∙

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

FigNdeg4

b)- Con variazione di interasseLe cose qui sono un porsquo piugrave complesse in quanto bisogna considerare la coppia diingranaggi cioegrave lo spostamento sui due ingranaggi accoppiantiCon riferimento alla figura Ndeg5 si ha

= + 2 tan

= =



=

+ 2( minus )

= + 2 2 +

+ minus cos

cos minus

= ( + 2 + 2 minus 2) ℎ = (22 minus ) oppure ℎ = (2minus)

Ingranaggi cilindrici a denti elicoidali con dentatura normale

Con riferimento alla figura Ndeg6 si hanno le seguenti relazioni

= ∙ = ∙ = ∙ cos = ∙ cos

= ∙ cos tan = tan ∙ cos = ∙ = ∙ cos

ℎ = ℎ = ∙ oppure ℎ =

∙

ℎ = ℎ + ℎ = + 2ℎ

= + 2 ∙ ℎ

= ∙

= ∙



Ingranaggi cilindrici a denti elicoidali con spostamento di profilo

a)- senza variazione di interasse (rif figura Ndeg4 )


= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

b)- Con variazione di interasse (rif Figura Ndeg5) = + 2 tan

= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos

minus = cos + 2 + 2 minus 2

ℎ = (22minus) oppure ℎ = (2minus)



Determinazione della lunghezza della linea drsquoazione e del raggio attivo di piede R a

= minus = minus = + minus ∙ sin

= minus ∙ sin = minus ∙ sin = ( minus ) +

Fig Ndeg9

InterferenzaIl massimo diametro esterno senza interferenza egrave

= + ( ∙ )

Calcolo dello spessore ed addendum cordale

Con riferimento alla figura Ndeg10 si ha

∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10

Misura dello spessore su Zrsquo denti

Fig Ndeg11



Per dentature diritte

= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

Il numero di denti su cui effettuare la misura zrsquo si calcola con

= 983216 +0 (cono

α in gradi)

Il risultato va arrotondato al numero intero piugrave prossimoSe la dentatura ha uno spostamento di profilo ge 04 ∙ la formula diventa

= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove

tan = tan + 4 sec + 4 sec

Per dentature elicoidali

= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)

Per effettuare la misura la condizione da soddisfare egrave che la larghezza del dente sia

ge ∙ sin + ∙ cos Dove egrave la lunghezza delle linee di contatto fra i piattelli e denti (vedere figura Ndeg12)

FigNdeg12

Se la dentatura ha uno spostamento di profilo molto grande conviene calcolare zrsquo comesegue



= +0+ ∙ tan + 4 cos + cos (tan + cos )cos(sin + cos ∙ cos ) minus

minus

tan minus 2

tan

Controllo degli ingranaggi con sfere

FigNdeg13

Dentatura diritta con denti pari

= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +

Dentatura diritta a denti dispari

Con gli stessi e si ha = ∙ ∙ +

Dentatura elicoidale con denti pari

= + ∙ minus

= = ∙ +

Dentatura elicoidale con denti dispari




I segmenti BBrsquo ndash CCrsquo ndash DDrsquo possono essere pensati come il filo che si srotola dal cerchio dibase con diametro db Ersquo subito evidente che le lunghezze di questi segmenti sono rispettivamente uguali agli archi

di cerchio - - Poicheacute il triangolo ODDrsquo (O egrave il centro del cerchio) egrave retto perchegrave DDrsquo tangente al cerchio si

ha che indicando con rg il raggio del cerchio base di diametro db lrsquoequazione parametricadellrsquoevolvente di cerchio egrave

= = ∙ sec = tan minus = ()

Infatti il tratto DDrsquo = rg∙ tan egrave anche uguale allrsquoarco cioegrave a rg∙ ( + ) con gli angoli

espressi in radianti e quindi risulta tan = ( + )

La funzione () egrave molto importante percheacute facilita di molto come vedremo i calcolidei vari elementi del dente dellrsquoingranaggioEsistono delle tabelle specifiche che per ogni valore dellrsquoangolo ψ danno il valore dellafunzione ldquoinvoluta rdquoA questo punto poicheacute si dovranno scrivere una serie di formule egrave opportuno dare un

elenco del significato dei simboli e degli indici utilizzati

Significato dei simbolia Interasse m Modulo

α Angolo di pressione Q Distanza esterna delle sfere (quota controllo)

β Angolo di elica r Raggio

d Diametro Ra Raggio attivo di piede del dente

g Lunghezza della linea drsquoingranamento s Spessore del dente relativo al diametro d

g1 Porzione della linea di ingranamento os Spessore cordale

g2 Porzione della linea di ingranamento t Passo

hf Dedendum w Spessore su zrsquo denti per dentatura dritta

hk Addendum W Spessore si zrsquo denti per dentatura elicoidale

h0 Addendum cordale z Numero di denti

hr Altezza dente x Coefficiente di correzione del profilo

l Larghezza del vano

Significato degli indicib Riferito al cerchio di funzionamento n Riferito alla sezione normale c Riferito al cerchio di taglio o Riferito al cerchio primitivo f Riferito al cerchio interno q Riferito al cerchio passante per il centro sfere g Riferito al cerchio di base r Riferito a sfere k Riferito al cerchio sterno s Riferito alla sezione apparente i Riferito a ideale w Riferito allrsquoutensile

Nella seguente figura Ndeg2 sono rappresentati due rami di evolvente che formano nelle suecaratteristiche fondamentali un dente di ingranaggio

Nella figura il tratto che va dal centro del cerchio base al punto E egrave indicato con secα mentre la tangente al cerchio base passante per il punto E egrave indicata con tan queste dueespressioni sono riferite al caso di un raggio di base unitario

Spessore di base in funzione di uno spessore qualunque e viceversa

= ( + 2 ) ∙ in cui =

e viceversa si ha



= minus 2 ∙ ∙



Fig Ndeg2



Fig Ndeg3



= ∙ ℎ = ℎ + ℎ = ∙ = + 2ℎ = ∙ cos = + 2ℎ

= ∙ cos

= ∙







= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

FigNdeg4


= + 2 tan

= =



=

+ 2( minus )

= + 2 2 +

+ minus cos

cos minus




= ∙ = ∙ = ∙ cos = ∙ cos



∙

ℎ = ℎ + ℎ = + 2ℎ

= + 2 ∙ ℎ

= ∙

= ∙






= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan


= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +





= minus 2 ∙ ∙



Fig Ndeg2



Fig Ndeg3



= ∙ ℎ = ℎ + ℎ = ∙ = + 2ℎ = ∙ cos = + 2ℎ

= ∙ cos

= ∙







= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

FigNdeg4


= + 2 tan

= =



=

+ 2( minus )

= + 2 2 +

+ minus cos

cos minus




= ∙ = ∙ = ∙ cos = ∙ cos



∙

ℎ = ℎ + ℎ = + 2ℎ

= + 2 ∙ ℎ

= ∙

= ∙






= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan


= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +





= ∙ ℎ = ℎ + ℎ = ∙ = + 2ℎ = ∙ cos = + 2ℎ

= ∙ cos

= ∙







= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

FigNdeg4


= + 2 tan

= =



=

+ 2( minus )

= + 2 2 +

+ minus cos

cos minus




= ∙ = ∙ = ∙ cos = ∙ cos



∙

ℎ = ℎ + ℎ = + 2ℎ

= + 2 ∙ ℎ

= ∙

= ∙






= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan


= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +





=

+ 2( minus )

= + 2 2 +

+ minus cos

cos minus




= ∙ = ∙ = ∙ cos = ∙ cos



∙

ℎ = ℎ + ℎ = + 2ℎ

= + 2 ∙ ℎ

= ∙

= ∙






= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan


= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +








= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan

= ∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ tan


= = = + 2( minus ) = +

2 2 +

+

minus

cos

cos

cos








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +








Fig Ndeg9


= + ( ∙ )



∙ = ∙ da cui = ∙



= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +





= ∙ sin 2

ℎ = ℎ +

2 minus c o s

2

Fig Ndeg10


Fig Ndeg11




= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +






= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin


= 983216 +0 (cono

α in gradi)


= 983216 + 0 + ∙ minus ( + 2 ) dove



= ∙ cos ∙ ( minus ) + + ∙ + 2 ∙ ∙ ∙ sin

essendo

= 983216 + ∙ + 0 (cono

α in gradi)



FigNdeg12





minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +






minus

tan minus 2

tan


FigNdeg13


= +

∙ minus

da cui si ricava

= = ∙ +




= + ∙ minus

= = ∙ +



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