Foro Avance de Tesis

Un estudio de la familia

fλ,µ,z0(z) = λ sen(z) + µz−zo

Josue Vazquez Rodrıguez

FCFM-BUAP

Primavera 2015

SEGUNDO FORO DE AVANCE DE TESIS.

DIRECTOR DE TESIS: DRA. PATRICIA DOMINGUEZ SOTO.

Josue Vazquez Rodrıguez (FCFM-BUAP) Un estudio de la familia fλ,µ,z0(z) = λ sen(z) + µ

z−zoPrimavera 2015 1 / 25

Muchos de los trabajos han sido hechos acerca de la teorıa de iteracionde funciones racionales, pero existe ademas un considerable numerode documentos relacionados a funciones trascendentes enteras, porejemplo los trabajos de A. Eremenko y M. Lyubich [12]-[15].

En las ultimas decadas trabajos sobre iteracion de funciones trascen-dentes meromorfas han sido tambien llevados a cabo, por mencionar aI.N. Baker [2]-[7] y W. Bergweiler [8], entre otros.



Un primer estudio del plano de parametros para la familia

G = gλ(z) = sen(z), λ ∈ C \ 0

buscando propiedades que no habıan sido investigadas, se realizo en2002 por P.Domınguez y G. Sienra [10].



La clase de funciones M

Definicion

Se define la siguiente clase de funciones:

M = f : C→ C | f es una funcion trascendente meromorfa con

al menos un polo que no es un valor omitido

Ejemplo

f (z) = sen(z) +1

z, g(z) = tan(z) ∈M



En el caso de nuestra familia de funciones:

Fλ,µ,z0=fλ(z) = λ sen(z) + µz−zo , λ, µ ∈ C− 0, z0 ∈ C

Como λ es distinto de cero, fλ,µ,z0 es analıtica en el plano complejosalvo en el punto z0 donde cada una de la funciones de la familia F tieneun polo simple, ademas poseen una singularidad esencial en infinito.Esto es, Fλ,µ,z0 es una familia de funciones trascendentes meromorfas.



Geometrıa

Un primer aspecto a analizar es la geometrıa que guarda cada una delas funciones de la familia

F = fλ,µ,z0(z) = λ sen(z) +µ

z − z0, λ, µ, z0 ∈ C

Para ello, empezaremos cuando λ = µ = 1 y a partir de esto verque modificaciones sobre la geometrıa al variar los parametros.



Figura: Transformacion del plano bajo la funcion sen(z)



Figura: Transformacion del plano bajo la funcion sen(z) + 1/z



Figura: Transformacion del plano bajo la funcion (−5 + 3i) sen(z) + −5+3iz



Figura: Transformacion del plano bajo la funcion 3 sen(z) + −2+4iz



Puntos crıticos y valores crıticos de

la familia fλ

Teorema

La familia F = fλ(z) = λsen(z) + 1z, λ, z ∈ C− 0 tiene una

infinidad de puntos crıticos y de valores crıticos. Mas aun, λ y −λson puntos de acumulacion de los valores crıticos.



Puntos crıticos y valores crıticos de

la familia fλ,µ,z0

Teorema

La familia F = fλ,µ,z0(z) = λsen(z) + µz−z0

, λ, z ∈ C− 0 tieneuna infinidad de puntos crıticos y de valores crıticos. Mas aun, λ y

−λ son puntos de acumulacion de los valores crıticos.



Familias Normales

Definicion

Sea F una familia de funciones. Decimos que F es normal sobre unconjunto abierto Ω ⊂ C si cada sucesion fn ⊂ F contiene una sub-sucesion tal que

1 Converge uniformente a una funcion f sobre cada conjunto com-pacto de Ω, o bien

2 Converge uniformemente a ∞ sobre cada conjunto compacto deΩ.



Conjuntos de Fatou y Julia

Definicion

Se define el conjunto de Fatou de una funcion f ∈M como:

F(f ) = z ∈ C : f n : n ∈ N esta bien definida

y es normal en alguna vecindad de z.

Definicion

Se define el conjunto de Julia de una funcion f ∈M como:

J(f ) = C \ F (f )

Algunas de sus propiedades pueden ser consultadas en [8].




Definicion




Definicion


J(f ) = C \ F (f )





Definicion




Definicion


J(f ) = C \ F (f )




Clasificacion de las componentes de Fatou

Teorema

Sea f una funcion meromorfa y U una componente periodica de F (f )de periodo n. Entonces se tiene alguna de las siguients 5 posibilidades:

A) La componente U contiene un punto z0 tractor de periodo n. En-tonces f nk(z) → z0 para toda z en U cuando k tiende a infinito. Lacomponente U se llama la cuenca inmediata de atraccion de z0.

B) La frontera de U contiene un punto periodico z0 de periodo n,tal que f nk(z) → z0 para toda z en U cuando k tiende a infinito.Entonces |f n′(z0])| = 1. En este caso a U se le llama dominio deLeau o dominio parabolico.



C) Existe un homeomorfismo analıtico φ : U → D, con D el discounitario, tal que φ conjuga a f n con exp2πα z para α irracional, esdecir, una rotacion irracional. En tal caso, U se llama disco de Siegel.

D) Existe un homeomorfismo analıtico φ : U → A, donde A es unanillo, A = z : 0 < |z | < r,con r > 1, tal que φ conjuga a f n conexp2πα z para α irracional, es decir, una rotacion irracional. En tal caso,U se llama anillo de Herman.

E) Existe un punto z0 en la frontera de U tal que f nk(z) → z0 paratoda z en U cuando k tiende a infinito, pero f n(z0) no esta definida.En este caso U se llama dominio de Baker.



Caracterizacion de las componentes atractoras

Para que la familia

F = fλ,µ,0(z) = λ sen(z) +µ

z, λ, µ,∈ C

pueda poseer una componente atractora con punto atractor w ∈ C,debe cumplirse que:

1) − 1w2 sen(w)− 1

wcos(w) 6= 0

2) λ = (− 1w− c

w)/(− 1

w2 sen(w)− 1w

cos(w) )

3) µ = (c sen(w)− w cos(w) )/(− 1w2 sen(w)− 1

wcos(w) )

donde c ∈ C, |c | < 1.



Ejemplo de componente atractora

Ejemplo

Figura: Plano dinamico de fλ,µ,0 para w = π, λ = 1, µ = −2



Caracterizacion de los Dominios de Leau

Para que la familia


z, λ, µ,∈ C

pueda poseer un Dominio de Leau con punto fijo indiferente racionalw ∈ C, debe cumplirse que:

1) − 1w2 sen(w)− 1

wcos(w) 6= 0

2) λ = (− 1w− c

w)/(− 1

w2 sen(w)− 1w

cos(w) )


wcos(w) )

donde c ∈ C, |c | = 1 y |f ′(c)| es raız de la unidad.



Ejemplo de Dominio de Leau

Ejemplo

Figura: Plano dinamico de fλ,µ,0 para w = π2 , λ = 1

π , µ = −π2

4



Caracterizacion de los Dominios de Leau

Para que la familia


z, λ, µ,∈ C

pueda poseer un Disco de Siegel con punto fijo indiferente irracionalw ∈ C, debe cumplirse que:

1) − 1w2 sen(w)− 1

wcos(w) 6= 0

2) λ = (− 1w− c

w)/(− 1

w2 sen(w)− 1w

cos(w) )


wcos(w) )

donde c ∈ C, |c | = 1 y |f ′(c)| no es raız de la unidad.



Para la funcion f (z) = λ sen(z)− εz−π , 0 < λ < 1, ε > 0

esta demostrado que el conjunto de Fatou F (f ) es una solacomponente completamente invariante de conectividad infinita [9].

Figura: Plano dinamico def (z) = λ sen(z)− εz−π para λ = 1

2 , ε = 0,1



Referencias

1 Ahlfors L.V., Complex Analysis an introduction to the theory of analyticfunctions of one complex variable, McGraw Hill International, 1983.

2 Baker I.N., Fix Points and Iterates of Entire Functions, Math. Z. 71 (1959),146-153.

3 Baker I.N., The Domains of Normality of an Entire Funtion, Ann. Acad.Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 1 (1975), 277-283.

4 Baker I.N., Kotus J. and Yinian Lu., Iterates of Meromorphic Functions I,Ergodic Theory Dynamical Systems 11 (1991), 241-248.

5 Baker I.N., Kotus J. and Yinian Lu., Iterates of Meromorphic Functions II:Examples of Wandering Domains, J. London. Math. Soc. 42 (1990),267-278.

6 Baker I.N., Kotus J. and Yinian Lu., Iterates of Meromorphic Functions III:Preperiodic Domains,Ergod. Th. Dynam. Sys. 11 (2) (1991), 603-6188.

7 Baker I.N., Kotus J. and Yinian Lu., Iterates of Meromorphic Functions IV:Critically Finite Functions, Results in Mathematics 22 (1992), 651-656.



8 Bergweiler W., Iteration of Meromorphic Functions, Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.) 29 (1993), 151-188.

9 Dominguez P., Dynamics of Trascendental Meromorphix Functions, AnnalesAcademia Scientarum Fennice 23 (1998), 225-250.

10 Dominguez P. and Sienra G., A study of the dynamics of sin z , Int. Journalof Bifurcation and Chaos 12 (2002), 2869-2883.

11 Douady A. and Hubbard H. Iteration des polinomes quadratiquescomplexes, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I 294 (1982), 123-126.

12 Eremenko A.E., On the iteration of entire functions Dynamical Systems andErgodic Theory, Banach Center Publ., vol 23, Polish Scientific Publishers,Warsaw, 1989, pp. 339-345.

13 Eremenko A. E. and Lyubich M., Iterates of entire functions, Soviet Math.Dokl. 30 (1984) 592-594.

14 Eremenko A. E. and Lyubich M. Examples of entire functions withpathological dynamics, J. London Math. Soc. (2) 36 (1987), 458-468.



15 Eremenko A. E. and Lyubich M. Dynamical propierties of some classses ofentire functions, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 4 (1992), 989-1020.

16 Fatou P., Sur les Equations Fonctionnelles (Deuxieme memoire), Bull. Sci.Math. France 47 (1919), 161-271 and 48 (1920) 208-314.

17 Fatou P., Sur L’ iteration des Fonctions Transcendentes Entieres, ActaMath. 47 (1926), 337-370.

18 Julia G., Sur l’iteration des fonctions rationelles,J. Math. Pures Appl. (7)4(1918), 47-245.

19 Needham T., Visual complex analysis, Oxford University Press, 1997.

20 Mandelbrot B., The fractal geometry of nature, Henry Holt, 1982.

21 Sullivan Iteration des fonctions analytiques complexes C.R. Acad. Sci. ParisSer. I Math. 294 (1982), 301-303



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