Forschungsgruppe Kybernetische Unternehmens-Strategie der Universität Lüneburg Universität Lüneburg 21332 Lüneburg Institut für Betriebswirtschaftslehre,

Forschungsgruppe Kybernetische Unternehmens-Strategie der Universität Lüneburg

Universität Lüneburg • 21332 Lüneburg • Institut für Betriebswirtschaftslehre, insb. Entscheidung und Organisation • Prof. Dr. Egbert Kahle

FOKUS

Operations Research

Vorlesung/Übung im SS 2008

Professor Dr. Egbert Kahle

Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr

Klausur: wird noch bekannt gegeben



FOKUS

Inhalt1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR)2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus3. Sonderfälle4. Postoptimale Rechnungen5. Mehrzielprobleme6. Dualität7. Netzplantechnik8. Tourenplanung



FOKUS

1. EinführungBegriff und Inhalt von Operations Research

Der Begriff wurde im 2. Weltkrieg in den USAfür die Analyse von Wirkungen militärischerOperationen geprägt und dann auf wirtschaft-liche Probleme übertragen.In UK oft als Operational Research und inDeutschland auch als Unternehmensforschung,Optimalplanung oder Optimierungsrechnungbezeichnet.



FOKUS

Definition:Anwendung mathematischer Methoden zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen

Voraussetzung:Schaffung eines formalen Modells, das dieEinflußgrößen der Wirkungen sachgerechtabbildet.

Ökonomisches Prinzip:Gegebenes Ziel - minimaler MitteleinsatzGegebener Mitteleinsatz - Maximale Zielerr.



FOKUS

Daraus folgen Anforderungen für die Formu-lierung mathematischer Modelle

reale Entscheidungs- mathematischessituation Entsch.modell

reale Entscheidung mathematischeModellösung



FOKUS

Fehlerquellen

- Abbildungsfehler- Modellorientiertheit ( Unterdrückung von Problemeigenschaften oder -variablen, die nicht ins Modell passen)- Fehlerhafte Algorithmenanwendung- Abweichungen bei der Rückinterpretation

Modellorientierung vs. Problemorientierung



FOKUS

Problemtypen von OR

- Kombinatorische Probleme = Reihenfolgeprobleme = Transportprobleme = Optimierung von Produktionsprogrammen- Lagerhaltungsprobleme- Ersatzprobleme- Wartezeitprobleme- Konkurrenzprobleme



FOKUS

Verfahren des OR

- Statische Programmierung = Lineare Programmierung = Nicht-lineare Programmierung = Ganzzahlige Programmierung- Dynamische Programmierung- Entscheidungsbaumverfahren- Netzplantechnik- Warteschlangentheorie- Spieltheorie- Simulation



FOKUS

2. Lineare Programmierung - Simplex Algo-rithmusAlgorithmusSystem von Rechenregeln, die - eindeutig formuliert und tatsächlich aus= führbar sind - nach endlich vielen Schritten zum Ergebnis führen - für eine ganzen Klasse von Entscheidungs= aufgaben geeignet sind - nach Anwendung eine Lösung garantieren oder die Unmöglichkeit der Lösung er= weisen



FOKUS

2.1 Grundmodell des Simplex-Algorithmus

Charakteristika:- Linearität von Zielfunktionen und Neben- bedingungen- Statische Betrachtung- Deterministische Daten- Stetige Größen, d.h. keine Ganzzahligkeits- erfordernisse, auch nicht teilweise



FOKUS

2.2. Praktisches BeispielDie Studenten der Vorlesung Operations Re-search (Sie) überlegen, wie sie einen möglichst optimalen Lernerfolg innerhalb des Teils “Line-are Optimierung” erhalten. Sie haben die Mög-lichkeit, Ihr Wissen aus Vorlesungen oder ausBüchern zu beziehen. Auf Grund der Erfahrun-gen “leidgeprüfter” Vorgänger wissen Sie, daß das Erfolgsverhältnis von Vorlesungsbesuch und Literaturarbeit 7 : 5 beträgt. Angeboten werden zu diesem Thema 6 Bücher in der Bibliothek.



FOKUS

Sie planen für dieses Semester höchstens 42 Arbeitstage (à 2,5 Stunden) ein, wobei einVorlesungstermin incl. Vor- und Nachbereitung6 Tage und die Beschäftigung mit einem Buch1 Tag in Anspruch nimmt. Wenn Sie davon aus-gehen, daß Sie während eines Semesters höch-stens 12 neue Freunde gewinnen können, so können Sie während einer Vorlesung jeweils 2kennenlernen, während die Beschäftigung mit einem Fachbuch dazu führen kann, daß Sie 3Freunde verlieren.



FOKUS

Für wichtige geschäftliche Anrufe planen Siemaximal 12 Telefonate ein, wobei Sie schätzen,daß Sie während einer Vorlesung 2 Anrufe ver-passen (Handyverbot), beim Lesen eines Bucheszu Hause aber drei Anrufe entgegennehmenkönnen.

Was ist zu tun ?



FOKUS

Aufstellen des Problems in Ungleichungsform

6 xV + 1xB + xT = 42

2xV - 3xB + xF = 12

-2xV + 3xB + xH = 12

xB + xBS = 6

7 xV + 5 xB ---> Max!-2 xv + 3xB ---> Max! (und analog für die Freunde



FOKUS

Umwandlung der Ungleichungen in Gleichungen



FOKUS

Graphische Lösung

x2

x1



FOKUS



FOKUS

Ein weiteres Beispiel

Die kurzfristige Produktionsprogrammplanunggeht von gegebenen variablen Kosten kvj für jedes Produkt j aus. Der Preis am Marktpj ist gegeben ; bei diesem Preis kann eine Absatzhöchstmenge x^j verkauft werden.So weit keine Produktionsbeschränkungen vorliegen, wird alles produziert, was einenpositiven Deckungsbeitrag dbj bringt.

dbj = pj - kvj > 0 !



FOKUS

Bei der Überprüfung der Bedingung, ob dieProdukte einen positiven Deckungsbeitragbringen, ist die marktliche Verbundenheit zubeachten; Tasse und Untertasse, die als einGedeck verkauft werden, sind in diesem Sinnnur ein Produkt !Für den Betrieb als Ganzes muß noch gelten,daß er keinen Verlust macht (langfristig).

G = (pj - kvj) * xj - Kf >= 0 !



FOKUS

Bei Vorliegen einer Kapazitätsbeschränkungwären die Produkte der Höhe des Deckungs-beitrags nach zu ordnen und es würde zuerstdas Produkt mit dem höchsten, dann das mitdem zweithöchsten Deckungsbeitrag usw.gefertigt, bis die Kapazität erschöpft ist.Eine solche Vorgehensweise würde aber keine optimale Nutzung der knappen Kapazitätbewirken: Der Deckungsbeitrag pro Einheitder knappen Kapazität, der relative Deckungs-beitrag, muß als Auswahlkriterium gelten.



FOKUS

Wenn mit vij der Faktorverbrauch des Faktorsi für die Produktion des Produkts j bezeich-net wird und von dem Faktor i nur die MengeVi zur Verfügung steht, muß gelten: vij * xj <= Vi

D.h. man kann nicht mehr verbrauchen als daist. Der relative Deckungsbeitrag dbrel ist:

dbreli, j = (pj - kvj) : vij



FOKUS

Der relative Deckungsbeitrag wurde von Schmalenbach (1930) als optimale Geltungszahlbezeichnet.Beispiel: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3Preis 160 100 80kvj 60 50 40Absatz - 40 90 300höchstmengeVerbrauch 8 2 1Bestand 480



FOKUS

Nach den Deckungsbeiträgen ergäbe sich eine Produktion von 40 P1 und 80 P2, dannwäre der Faktorbestand verbraucht. DieSumme der Deckungsbeiträge ist 8000.Nach den relativen Deckungsbeiträgen sieht es so aus: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3dbrel 12,5 25 40Menge - 90 300Verbrauch- 180 300DB - 4500 12000



FOKUS

Der Deckungsbeitrag steigt auf 16500 anWenn nun ein zweiter Engpaßfaktor auftritt,mit einem Bestand von 350 und Verbrauchs-werten v21 = 5, v22= 2 und v23 = 4, dann ist eine andere Reihenfolge optimal: Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3dbrel 20 25 10Menge 34 90 -Verbrauch 170 180 -DB 3400 4500DBgesamt = 7900



FOKUS

Allgemeiner Ansatz für LP

G = (pj - kvj) * xj - Kf --> Max !

vij * xj </= Vi

xj </= Xj

xj >/= 0



FOKUS

Ansatz für das Beispiel

(160 - 60) x1+(100- 50)x2 + (80 - 40) x3 -> Max!

8 x1 + 2 x2 + x3 </= 4805 x1 + 2 x2 + 4x3 </= 350 x1 </= 40 x2 </= 90 x3 </= 300



FOKUS

8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 4805 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x5 = 350 x1 +x6 = 40 x2 + x7 = 90 x3 + x8 = 300

100x1+ 50 x2 + 40 x3 ----> Max!



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 8 2 1 1 0 0 0 0 480y5 5 2 4 0 1 0 0 0 350y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z -100 -50 -40 0 0 0 0 0 0 (ggf. - KF)



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 0 2 1 1 0 - 8 0 0 160y5 0 2 4 0 1 - 5 0 0 150x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 -50 -40 0 0 100 0 0 4000



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 0 0 -3 1 -1 -3 0 0 10x2 0 1 2 0 1/2 -5/2 0 0 75x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40y7 0 0 -2 0 -1/2 5/2 1 0 15y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 60 0 25 -25 0 0 7750



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900



FOKUS

Verschiedene Auswahlregeln für die Pivot-Spalte

SUA - Steepest Unit AscentRichtet sich nach dem Zielfunktionszuwachs proEinheit z. B. Deckungsbeitrag pro Stück

-Standardverfahren

GC - Greatest ChangeSucht den nächsten Eckpunkt mit der größten Verschiebung der ZielfunktionVor allem sinnvoll bei mehreren nach SUA gleich-wertigen Spalten oder kleinen SUA- Unterschieden



FOKUS

Anwendung von GC auf das zweite Beispiel

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 8 0 1 1 0 0 -2 0 300y5 5 0 4 0 1 0 -2 0 170y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z -100 0 -40 0 0 0 50 0 4500

Neue Pivot-Spalte x1 mit DB 3400; bei x3 :1700



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28 x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

Das Lösungstableau entspricht dem bei SUA,jedoch sind die Zeilen anders angeordnet.



FOKUS

Weitergehende Schritte:- Probe nach jedem Schritt möglich, am Ende wichtig- Interpretation der Ergebnisse = Lösungswerte in der b - Spalte (RHS) = Lösungswerte in der Z - Zeile (Schatten- preise)Wichtig: Der Unterschied in der Interpretationvon Schattenpreisen der Basisvariablen undder Schlupfvariablen



FOKUS

Ein weiteres Beispiel (modifiziertes Bsp.Paschka-Skript, Aufgabe 2)

Vier Produkte A,B,C und D werden zu folgendenPreisen in folgenden Mengen verkauft:A 200 zu 80; B 50 zu 120; C 100 zu 70; D 200 zu 30.Die variablen Kosten sind kA = 60, kB = 20, kC = 20 und kD = 25.Der Rohstoffverbrauch beträgt bei Stoff 1 v1A =2,v1B = 4, v1C = 6 und v1D = 1; es sind 1000 V1 da.Bei Stoff 2 gilt : v2A = 3, v2B = 6, v2C = 1, v2D = 1und 550 vorhanden. Fixkosten betragen 200.



FOKUS

xA xB xC xD y1 y2 y3 y4 y5 y6 * b

y1 2 4 6 1 1 0 0 0 0 0 1000y2 3 6 1 1 0 1 0 0 0 0 550y3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 200y4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 50 y5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 100y6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 200

Z -20 -100 -50 -5 0 0 0 0 0 0 -200



FOKUS

Auswahl:SUA -- xB/y4

GC -- xC/y5 gleichwertig

Optimale Lösung nach drei Schritten:xA = 50, xB = 50, xC = 100

Methodenwahl unerheblich.



FOKUS

2.4. Probleme mit unzulässiger Ausgangs- lösung

Typischerweise handelt es sich hier um Probleme, die gleichzeitig kleiner-gleich und größer-gleich Bedingungen oder auchGleich-Bedingungen enthalten.Beispiel: Es werden Stühle für 2 GE und Hocker für 1 GE hergestellt. Ein Hocker benö-tigt 4 h und ein Stuhl 2 h. 20 h sind verfügbar.Zwei Hocker müssen mindestens gefertigtwerden.



FOKUS

Ansatz:

2 x1 + 4 x2 </= 20 x2 >/= 2

2 x1 + x2 ---> Max!

Der einfachste Weg ist die Multiplikation dergrößer-gleich Bedingung mit -1; dann ist sieeine kleiner-gleich-Bedingung.



FOKUS

x1 x2 x3 x4 b

y1 2 4 1 0 20y2 0 -1 0 1 -2

Z -2 -1 0 0 0

Hier wird die Auswahlregel verändert. Zuerstwerden die negativen Elemente der b-Spalteberücksichtigt und auf diese SUA oder GCangewendet. In Betracht kommen nur Spaltenmit negativen Koeffizienten. (y2/x2)



FOKUS

1. Iterationx1 x2 x3 x4 b

y1 2 0 1 4 12x2 0 1 0 -1 2

Z -2 0 0 -1 2

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal.SUA oder GC führt hier zu keinem Unterschied.Pivot-Element: y1/x1



FOKUS

2. Iterationx1 x2 x3 x4 b

x1 1 0 1/2 2 6x2 0 1 0 -1 2

Z 0 0 1 3 14Optimale Lösung. Es werden 6 Stühle und zweiHocker gefertigt. Eine Erhöhung der Kapazitätum eine Einheit erhöht den Umsatz um 1 GE. Eine Verringerung der Mindestmenge Hockerum 1 würde den Umsatz um 3 GE erhöhen.



FOKUS

Vorgehensweise bei mehreren größer-gleichBedingungen.Bei Vorliegen mehrerer größer-gleich-Bedin-gungen in einem Maximierungsproblem gibtes zwei mögliche Vorgehensweisen:Will man alle effizienten Punkte des Lösungs-raums bestimmen, dann werden die größer-gleich Bedingungen nach dem üblichen Aus-wahlkriterium bestimmt, d.h. Min ( bj/vij).Will man hingegen auf kürzestem Weg in denRaum zulässiger Lösungen wird Max (bj/vij)gewählt.



FOKUS

Beispiel (ohne Textvorgabe)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 8 2 1 1 0 0 0 0 480y2 1 0 0 0 1 0 0 0 40y3 -1 0 0 0 0 1 0 0 -20y4 -1 0 -1 0 0 0 1 0 -30y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z -100 -80 -50 0 0 0 0 0 0



FOKUS

Iterationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1y2y3y4y5

Z



FOKUS

Für die 1. Iteration kommen jetzt in Frage:

y3 oder y4; als Spalten mit entsprechendennegativen Koeffizienten liegen x1 und x3 vor.x1 hat den größeren Zielzuwachs (SUA), aberauch GC.Die beiden Vorgehensweisen verglichen:Min (bj(vij) führt zu Pivot-Element y3/x1Max (bj/vij) zu y4/x1



FOKUS

Iteration 1ax1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 1 1 0 8 0 0 320y2 0 0 0 0 1 1 0 0 20x1 1 0 0 0 0 -1 0 0 20y4 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -10y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 -80 -50 0 0 -100 0 0 2000

Lösung noch nicht zulässig. Weiter mit y4/x6



FOKUS

Iteration 2ax1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10 x1 1 0 1 0 0 0 1 0 30x3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10y5 0 1 1 0 0 0 -1 1 50

Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000

Zulässig, aber nicht optimal. Wie 1b.SUA führt zu y2/x7; GC zu y5/x2.



FOKUS

Iteration 1bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000

Zulässig, aber nicht optimal; SUA führt zu y2/x7GC zu y5/x2; hier wird GC verfolgt.



FOKUS


y1 0 0 -9 1 0 0 8 -2 140 y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 0 130 0 0 0 -100 80 7000

Noch nicht optimal. Nächstes Pivot-Elementy2/x7



FOKUS


y1 0 0 -1 1 -8 0 0 -2 60x7 0 0 -1 0 1 0 1 0 10y3 0 0 0 0 1 1 0 0 20x1 1 0 0 0 1 0 0 0 40x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 0 30 0 100 0 0 80 8000

Optimale Lösung. Probe.



FOKUS

M - MethodeDas ist die zweite Lösungsmethode bei Vor-liegen unzulässiger Ausgangslösungen,beschrieben in Angermann, A., Entscheidungs-modelle, Frankfurt 1963, S. 213 ff.Da sie meines Erachtens komplizierter ist alsder vorherige Rechenweg, wird sie nur formalbeschrieben:Es werden für jede größer-gleich und gleich-Bedingung zusätzliche Hilfsvariable eingeführtund diese in der Zielfunktion mit einem Koeffi-zienten M versehen.



FOKUS

Zur Gewinnung einer zulässigen Ausgangs-lösung wird dann das M-fache der Zeilen mitentsprechenden Bedingungen von der Ziel-funktion abgezogen. Danach wird dann das üblicher Iterations-verfahren durchgeführt.



FOKUS

Darstellung am Hocker-Beispiel:

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 4 1 0 0 20y2 0 1 0 1 1 2

Z -2 -1 0 0 M 0



FOKUS

Umgewandelt

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 4 1 0 0 20y2 0 1 0 1 1 2

Z -2 -1-M 0 -M -M -2M

Pivot-Element y2/x2



FOKUS

1. Iteration

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 0 1 -4 -4 12x2 0 1 0 1 1 2

Z -2 0 0 1 1 2

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal.Sie unterscheidet sich von der Lösung S. 7 unten durch die Vorzeichen in Spalten x4,h1.



FOKUS

Minimierungsaufgaben

Minimierungsaufgaben bei kleiner-gleich Bedin-gungen sind trivial. (xi = 0 für alle i)Bei Vorhandensein von größer-gleich (gleich und kleiner-gleich dürfen auch da sein) Bedin-gungen kann man am einfachsten die Ziel-funktion mit - 1 multiplizieren.Das hat nur Konsequenzen für die Interpretation.



FOKUS

Übungsaufgaben:a)

2 x1 - 3 x2 ---> Max

x1 + x2 >/= 22x1 - x2 </=102x1 +5x2 </= 15



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b-1 -1 1 0 0 -2 * 2 -1 0 1 0 10 2 5 0 0 1 15-2 3 0 0 0 0* 1 1 -1 0 0 2 0 -3 2 1 0 6 * 0 3 2 0 1 11 0 5 -2 0 0 4

*



FOKUS

b) 20 x1 + 25 x2 ---> Min! 2 x1 + 3 x2 = 50 5 x1 - x2 >/= 120 6 x1 + x2 </= 150



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b-2 -3 1 0 0 0 -50 * 2 3 0 1 0 0 50-5 1 0 0 1 0 -120 6 1 0 0 0 1 15020 25 0 0 0 0 0* 1 3/2 -1/2 0 0 0 25 25:3/2 = 16 2/3 0 0 1 1 0 0 0 0:0 nicht betr. 0 17/2 -5/2 0 1 0 5 5: 17/2 = 10/17 0 -8 3 0 0 1 0 0:-8 nicht bes. 0 -5 10 0 0 0 -500

*



FOKUS

Allgemeine Merkregeln für den Umgang mitverschiedenen Nebenbedingungen

1. Gleichheitsbedingungen müssen erfüllt werden. Das wird technisch so gelöst, daß eine Kleiner/gleich und eine Größer/gleich- Bedingung angesetzt werden, die dann beide erfüllt werden müssen.2. Alle Zeilen mit negativen Werten auf der rechten Seite müssen als Pivotzeilen heran- gezogen werden, bevor auf die Zielfunktions- zeile geachtet wird.(vgl. S.8)



FOKUS

3. Erst wenn die Bedingungen 1 und 2 erfüllt sind, wird normal” weiter innerhalb des Lösungsraumes optimiert.

Sobald auf der rechten Seite ein negativer Wertvorliegt oder wieder auftaucht, befindet mansich außerhalb des Lösungraums !!



FOKUS

3. SonderfälleDie Sonderfälle lassen sich wie folgt gliedern:

- Degeneration = Duale Degeneration = Primale Degeneration == Überbestimmter Punkt == Unbegrenzte Lösungen- Redundanz- Kein Lösungsraum



FOKUS

Duale Degeneration

Die Zielfunktion “liegt” auf einer Nebenbedin-gung, d.h. gleiche Steigung beider .Sie wird erkennbar am Auftauchen des Wertes0 im Schattenpreis einer Nichtbasisvariablen.Es ergeben sich zwei optimale Ecken, derenLinearkombination beliebig viele Optimal-lösungen ergeben.



FOKUS

Beispiel

x1 + x2 ---> Max!

x1 + x2 </= 5 - x1 + 3x2 </= 9 3 x1 - x2 </= 9



FOKUS

x1 + x2 ---> Max!

x1 + x2 + x3 = 5 -x1 + 3x2 + x4 = 93x1 - x2 + x5 = 9



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b**

y1 1 1 1 0 0 5y2 -1 3 0 1 0 9y3 3 -1 0 0 1 9Z -1 -1 0 0 0 0



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 4/3 1 0 -1/3 2y2 0 8/3 0 1 1/3 12x1 1 -1/3 0 0 1/3 3

Z 0 -4/3 0 0 1/3 3



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 3/4 0 -1/4 3/2y2 0 0 -2 1 1 8x1 1 0 1/4 0 1/4 7/2

Z 0 0 1 0 0 5



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 1/4 1/4 0 7/2x5 0 0 -2 1 1 8x1 1 0 3/4 -1/4 0 3/2

Z 0 0 1 0 0 5



FOKUS

Weiteres Beispiel (Übung):

12 x1 + 2 x2 ---> Max !

- 2 x1 + 3 x2 </= 12 6 x1 + x2 </= 42 x2 </= 6

2 x1 - 3 x2 </= 12



FOKUS

Lösung I

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 0 1 0 0 1 24x2 0 1 0 1/10 0 - 3/10 6/10x6 0 0 0 -1/10 1 3/10 54/10x1 1 0 0 3/20 0 1/20 69/10

Z 0 0 0 2 0 0 84



FOKUS

Lösung II

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 0 1 1/3 -10/3 0 6x2 0 1 0 0 1 0 6x6 0 0 0 -1/3 10/3 1 18x1 1 0 0 1/6 -1/6 0 6

Z 0 0 0 2 0 0 84



FOKUS

Primale Degeneration

Sie liegt vor, wenn ein Eckpunkt überbestimmtist, d.h. mehr als zwei Gerade durch einen Eckpunkt laufen. Das bedeutet, daß bei derWahl zwischen den Beschränkungen mehrereMöglichkeiten bestehen. Nach Durchführungder Iteration wird dann der andere - ggf. die anderen - Wert in der RHS zu 0.



FOKUS

Beispiel

4 x1 + x2 ---> Max!

3 x1 - x2 </= 9 - x1 + 3 x2 </= 9 3 x1 - 3 x2 </= 9



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 3 - 1 1 0 0 9y2 - 1 3 0 1 0 9y3 3 - 3 0 0 1 9

Z - 4 -1 0 0 0 0



FOKUS

Iteration 1a

x1 x2 x3 x4 x5 b

x1 1 -1/3 1/3 0 0 3y2 0 8/3 1/3 1 0 12y3 0 -2 -1 0 1 0

Z 0 -7/3 4/3 0 0 12



FOKUS

Iteration 2a

x1 x2 x3 x4 x5 b

x1 1 0 3/8 1/8 0 9/2x2 0 1 1/8 3/8 0 9/2y3 0 0 -3/4 3/4 1 9

Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2



FOKUS

Iteration 1b

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 2 1 0 -1 0y2 0 2 0 1 1/3 12x1 1 -1 0 0 1/3 3

Z 0 -5 0 0 4/3 12



FOKUS

Iteration 2 b

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 1/2 0 -1/2 0y2 0 0 -1 1 4/3 12x1 1 0 1/2 0 -1/6 3

Z 0 0 5/2 0 -7/6 12



FOKUS

Iteration 3b

x1 x2 x3 x4 x5 bx2 0 1 1/8 3/8 0 9/2x5 0 0 -3/4 3/4 1 9x1 1 0 1/8 3/8 0 9/2

Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2



FOKUS

Mögliche Folgen primaler Degeneration:

1. Dualwerte lassen sich nicht mehr inter- pretieren.2. Es kann zu einem “Cycling” kommen, d.h., der Tausch von Nichtbasisvariablen zu Basisvariablen führt nicht mehr von dem bestehenden Punkt weg. Hier muß ein anderes Verfahren gewählt werden, indem suboptimale Zwischenschritte gewählt werden, d.h. eine andere Pivot-Spalte bestimmt wird.



FOKUS

Unbegrenzte Lösungen

Die Lösungsmenge ist unendlich.Man erkennt sie daran, daß in der Pivotspaltebei positiver RHS nur negative Koeffizientenvorhanden sind.Das muß nicht im Ausgangstableau sichtbarsein, sondern kann sich später ergeben.



FOKUS

Beispiel:

100 x1 + 50 x2 ---> Max!

- 30 x1 + 5 x2 </= 600 20 x1 - 100x2 </= 1000 x1 - x2 </= 100



FOKUS

Ansatz

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1y2 y3

Z



FOKUS

1. Iteration

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1y2 y3

Z



FOKUS

2. Iteration

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1xx

Z



FOKUS

Iteration 3

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 0 1 -5/16 145/4 7825/2x1 1 0 0 -1/80 5/4 225/2x2 0 1 0 -1/80 1/4 25/2

Z 0 0 0 -15/8 275/2 11875



FOKUS

Kein Lösungsraum

Dieser Fall kann nur eintreten, wenn dieNebenbedingungen widersprüchlich formu-liert sind und wenn es sich dabei sowohl umkleiner-gleich als auch größer-gleich odergleich-Bedingungen handelt.Auch das ist im Ausgangstableau nicht immergleich zu erkennen.



FOKUS

Beispiel

x1 + x2 ---> Max !

- 2 x1 + 2 x2 >/= 83/2x1 + 3 x2 </= 30 2 x1 - 6 x2 >/= 6



FOKUS

Ausgangstableau

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 2 -2 1 0 0 -8y2 3/2 3 0 1 0 30y3 -2 6 0 0 1 -6

Z -1 -1 0 0 0 0



FOKUS

Iteration I

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 -1 1 -1/2 0 0 4y2 9/2 0 3/2 1 0 18y3 4 0 3 0 1 -30

Z -2 0 -1/2 0 0 4



FOKUS

Redundanz

Eine Nebenbedingung ist dann redundant, wenn sie keinen Einfluß auf die Struktur deraktuellen Lösung hat. Sie kann deshalb auchbei gegebenem Lösungsraum vernachlässigtwerden.Nur bei postoptimalen Rechnungen muß siebeibehalten werden, da sie dann relevantwerden kann.



FOKUS

4. Postoptimale Rechnungen

Bei diesem Arbeitsschritt geht es darum, dieunter den Grundannahmen - Statik, Deter-minismus, Linearität - erarbeitete Lösungauf ihre Stabilität (Robustheit) und Reich-weite zu überprüfen. Dazu dienen:

- Sensitivitätsanalyse (Sensibilitätsanalyse)

- Parametrische Optimierung



FOKUS

Bei der Sensitivitätsanalyse wird überprüft,inwieweit sich einzelne Parameter änderndürfen, ohne daß sich an der Lösung etwasqualitativ ändert. Eine qualitative Änderungliegt danach dann vor, wenn die Strukturvon Basis- und Nicht-Basisvariablen sichändert, d.h eine bisherige Nicht-Basisvari-able Basisvariable wird und vice versa.



FOKUS

Die parametrische Programmierung ist durcheine schrittweise Variation einzelner Ausgangs-daten gekennzeichnete, wobei die Schritt-länge durch die Vorgabe der Parameter be-stimmt wird. Es werden dann die Veränderungender Lösungen durch diese Vorgaben berechnet. Es ergeben sich praktisch Streuungsbereichefür die Eingangsdaten.



FOKUS

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 by4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900



FOKUS

Ermittlung für das ProduktionsbeispielSensitivität der Zielfunktion:Für Produkt 1 gilt:In der Spalte x3 ist der Koeffizient 4/5,in der Spalte x5 1/5 und in der Spalte x7 -2/5.Die zugehörigen Werte in der Zielzeile werden nun durch die jeweiligen Koeffizienten dividiert und mit - 1 multiplziert; für dieBestimmung der Untergrenze werden nur posi-tive Koeffizienten verwendet und für dieObergrenze nur negative. Es ergibt sich:



FOKUS

max( -40 : 4/5; -20 : 1/5) </= p </= min (- 10: -2/5)d.h.max (-50;-100) </= p </= min (25) (bei min gibt es

nur einen Wert)Der Deckungsbeitrag von Produkt 1 kann um50 nach unten (-50) und 25 nach oben schwankenohne daß sich die optimale Lösung ändert, d.h.zwischen (100- 50 und 100 + 25), 50 und 125schwanken.



FOKUS

Allgemein lautet die Formel

max(- c*jk :a*jk; ajk>0) </= p </= min(-c*jk :a*jk;a*jk<0)

Für Produkt 2 gibt es nur einen Wert fürdie linkeSeite der Formel, d.h. es istmax (-10 : 1) </= p.Das bedeutet, daß der Deckungsbeitrag von Produkt 2 nach unten um 10 € sinken darf, bis sich die optimale Lösung ändert; nach oben gibtes keine Beschränkung.



FOKUS

Produkt 3 ist nicht im optimalen Produktions-programm. Der Schattenpreis von 40 € besagt, daß das Produkt erst produziert

würde,wenn der Deckungsbeitrag um 40 € auf 80 €

steigen würde. Es gibt keine untere Beschrän-kung.



FOKUS

Für die Beschränkungen oder Restriktionengelten folgende Sensitivitätsüberlegungen:

Erste Beschränkung:Es sind Leerkapazitäten von 28 Einheiten vor-handen; wenn die Beschränkung von 480 um28 Einheiten auf 452 sinkt, verändert sich dieStruktur der Lösung. Es gibt keine Beschrän-kung nach oben, weil schon im Optimum etwas über ist.



FOKUS

Zweite Beschränkung:

max ( - 34 : 1/5) </= p </= min (-28 : -8/5; -6: -1/5)

-170 </= p </= min (17,5; 30)

Die Restriktion kann um 170 nach unten und 17,5 nach oben schwanken, bevor sich dieStruktur der Lösung verändert.Kapazität 2: 180 - 367,5



FOKUS

Dritte Beschränkung:Auch hier bestehen Leerkapazitäten; erst wenndie Absatzkapazität um mehr als 6, d.h. unter34 sinkt, verändert sich die Lösung. Nach obengibt es keine Beschränkung.

Fünfte Beschränkung:Es gilt im Prinzip das für die dritte Beschrän-kung Gesagte; die Beschränkung kann auf 0sinken, ohne daß sich etwas ändert; nach obengibt es ebenfalls keine Beschränkung.



FOKUS

Vierte Beschränkung:

max (-28: 6/5; -90 :1;-6:2/5) </= p </= min(-34:-2/5)

max ( - 23,3; -90; -15) </= p </= min (85)

-15 </= p </= 85

Die Absatzkapazität kann um 15 nach unten undum 85 nach oben, d.h. von 75 bis 175 schwanken,ohne daß sich die Lösung ändert.



FOKUS

BeispielAusgangstableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 by1 0 1 1 0 0 0 5y2 1 0 0 1 0 0 7y3 1 1 0 0 1 0 10y4 -1 -2 0 0 0 1 -4

Z -2 -1 0 0 0 0 0



FOKUS

Endtableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 by1 0 0 1 1 -1 0 2y4 0 0 0 -1 2 1 9x2 0 1 0 -1 1 0 3x1 1 0 0 1 0 0 7

Z 0 0 0 1 1 0 17



FOKUS

Sensitivität der Zielfunktion:

Variable 1 : In der Zeile x1 sind nur zwei posi-tive Werte; es gibt nur eine Untergrenze :max (-1 : 1) = -1. Der Zielfunktionswert derVariablen 1 darf um 1 nach unten schwanken, bevor sich die Lösung ändert; nach oben gibtes keine Beschränkung.Variable 2: Hier gibt es eine Unter- und eineObergrenze: Sie kann um 1 nach unten undoben schwanken, d.h. zwischen 0 und 2, bissich etwas ändert.



FOKUS

Für die Beschränkungen gilt:

Die erste Beschränkung hat noch eine Rest-kapazität von 2; wenn die Ausgangsbeschrän-kung von 5 um diesen Wert unterschrittenwird, d.h. 3 unterschreitet, verändert sich dieLösung. Nach oben gibt es keine Beschränkung.Die zweite Beschränkung ist ausgeschöpft; es istmax ( -2:1; -7:1) </= p </= min (-9: -1; -3:-1)

-2 </= p </= 3Die Beschränkung 2 kann um 2 nach unten und um 3 nach oben, d.h von 5 bis 10 schwanken.



FOKUS

6. DualitätHier erfolgt eine Veränderung der Gliederung,weil die parametrische Programmierung nurauf dem Hintergrund der Dualität erläutertwerden kann.Der Grundgedanke des Dualitätstheorems:Zu jedem (primalen) linearen Planungsproblemgibt es ein duales Problem; dabei wird dieKoeffizientenmatrix gestürzt und die Zielfunktiondes primalen Problems wird zu der RHS des dualen und die RHS des primalen zur Zielfunktionder dualen mit Gegentendenz (Min statt Max !)



FOKUS

Wenn das primale Problem eine optimaleLösung hat, besitzt auch das duale Problemeine. Es gilt : Z max = f min.

Wenn das primale Problem keine endlicheoptimale Lösung hat, besitzt die duale Lösungkeine zulässige Lösung.



FOKUS

Beispiel:Primalproblem Dualproblem

2x1 + 4 x2 </= 20 2 y1 + y3 >/= -2 x2 >/= 2 4 y1 - y2 - 4y3 >/= -1- x1 + 4 x2 >/= 12

-2x1 - x2 ---> Max! 20 y1 - 2y2 -12 y3 --->Min!Das Primalproblem hat eine unzulässige Ausgangslösung;die größer-gleich Bedingungen werden mit - 1multipliziert. Das ergibt folgende Tableaus:



FOKUS

Primalproblem

x1 x2 y1 y2 y3 by1 2 4 1 0 0 20y2 0 -1 0 1 0 -2y3 1 -4 0 0 1 -12

Z 2 1 0 0 0 0

Diese Lösung wäre optimal, ist aber wegen dernegativen Werte in der b-Spalte unzulässig. Eswird -12/-4 als Pivot-Element gewählt.



FOKUS

Dualproblem

y1 y2 y3 x1 x2 bx1 -2 0 -1 1 0 2x2 -4 1 4 0 1 1

ZD 20 -2 -12 0 0 0

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal. Es wird weiter iteriert. Es wird für die SUA (-12)das Pivot-Element 1/4 bestimmt.



FOKUS

Lösung Primalproblem

x1 x2 y1 y2 y3 by1 3 0 1 0 1 8y2 -1/4 0 0 1 -1/4 1x2 -1/4 1 0 0 -1/4 3

Z 9/4 0 0 0 1/4 -3



FOKUS

Lösung Dualproblem

y1 y2 y3 x1 x2 bx1 -3 1/4 0 1 1/4 9/4y3 -1 1/4 1 0 1/4 1/4

ZD 8 1 0 0 3 3

Auf dieser Dualitätsbeziehung beruht auch dasVorgehen bei Vorliegen unzulässiger Ausgangs-lösungen ohne Einführen weiterer Hilfsvari-ablen (M-Methode).



FOKUS

Vor allem bei nichtquadratischen Problemen,z.B. bei 2 Variablen und 4 Nebenbedingungenkann die Anwendung der dualen Methode, d.h.die Lösung des dualen Problems statt des primalen, die Zahl der Rechenschritte deutlichverkürzen.



FOKUS

Parametrische Optimierung

Hier gibt es mehrere Varianten: Man kann skalarparametrisch oder vektorparametrischoptimieren; im zweiten Fall können unterschied-liche Veränderungen gleichzeitig vorgenommenwerden, was aber sehr aufwendig ist. Hierwerden nur skalarparametrische Optimierungenbetrachtet, bei denen eine oder mehrere Restrik-tionen oder die Zielfunktionen mit dem gleichenParameter p modifiziert werden.



FOKUS

Bezugsbeispiel (Müller-Merbach, S. 106 ff.)Ausgangstableau

x1 x2 y1 y2 y3 by1 1 2 1 0 0 170y2 1 1 0 1 0 150y3 0 3 0 0 1 180

Z -300 -500 0 0 0 -36000



FOKUS

Endtableaux1 x2 y1 y2 y3 b

x2 0 1 1 -1 0 20x1 1 0 -1 2 0 130y3 0 0 -3 3 1 120Z 0 0 200 100 0 13000

Hier soll nun die Beschränkung y2 von 40 bis150 variiert werden. Die Sensibilitätsanalyseergibt, daß bis zu einer Reduktion auf y2 = 110die Lösung stabil ist. (max -130/2;-120/3) = 40



FOKUS

Es ergibt sich nun eine optimale Lösung von

x1 x2 y1 y2 y3 bx2 0 1 1 -1 0 60x1 1 0 -1 2 0 50y3 0 0 -3 3 1 0

Z 0 0 200 100 0 9000

Eine weitere Reduktion von y2 ist nur möglich,wenn y3 in die Lösung kommt. Dafür scheidetx1 aus (x1 = 0). y2 sinkt auf 60.



FOKUS

Das modifizierte Tableau lautet

x1 x2 y1 y2 y3 by1 0 0 1 -1 -1/3 50x1 1 0 0 1 -1/3 0x2 0 1 0 0 1/3 60

Z 0 0 0 300 200/3 -6000

Eine weitere Reduktion von y2 auf 40 geht nur,wenn x1 aus der Lösung ausscheidet und x2reduziert wird.



FOKUS

Es ergibt sich:

x1 x2 y1 y2 y3 by1 -1 0 1 -2 0 90x2 1 1 0 1 0 40y3 -3 0 0 -3 1 60Z 200 0 0 500 0 -16000

Man sieht im Vergleich der Lösungen, wie sichin jedem Reduktionsschritt die Lösungs- undZielfunktionswerte, d.h. Primal- und Dualwerteändern.



FOKUS

5. MehrzielproblemeGrundproblemeProbleme multipersonaler Entscheidungen

- Zieldifferenzen = Koordination von Zielen = Legitimation von Zielen = Rationalität von Kollektivzielen- Informationsdifferenzen- Gleichzeitiges Auftreten von Ziel- und Informationsdifferenzen



FOKUS

Triviale oder perfekte Lösung

Alle Ziele erreichen ihre Optimalausprägungin der gleichen Ecke des Beschränkungs-raums.Eine solche Lösung ist nur selten zu finden.Im allgemeinen werden Kompromisse nötigsein.Phase 1: Kompromißfindung für einstufige ProblemePhase 2: Kompromißfindung für LP-Probleme



FOKUS

Probleme der materiellen Zusammenführungvon mehreren Zielen

1. Die jeweils verfügbaren Alternativen bestimmen den Lösungsraum (nicht die Wunschvorstellung des ET !)Beispiel: Alternativen P,H,S P schlecht 1,- 0 100 100H sehr mäßig 1,20 50 60 110S mäßig 1,50 100 0 100



FOKUS

Im Beispiel tritt die Alternative K hinzu:

K sehr gut 2,-

Neue BewertungsmatrixP 0 100 100H 30 80 110S 40 50 90K 100 0 100



FOKUS

2. Punktezuordnung zu Kriterien

Wenn die Kriterien gleichgewichtet sein sollen,muß die Höchstpunktzahl gleich sein, nicht dieSumme der vergebenen Punkte.Beispiel:

K1 K2 HPZ PunktSumA1 sehr gut schlecht 100 25A2 schlecht sehr gut 100 100A3 sehr gut schlecht 100 25A4 sehr gut schlecht 100 25A5 sehr gut schlecht 100 25



FOKUS

3. Nichtlineare Präferenzen

Die Linearität der Nutzenzuordnung zur Aus-prägung der Kriterien ist nicht immer gegeben.Beispiel:Dezibel (db) ist eine Meßzahl, bei der 3 Ein-heiten Differenz die Verdoppelung der Geräusch-empfindung ausdrücken. Die Funktion muß umgerechnet werden, z.B.db 68 69 70 71 72 73 74 75 76% 10 12 15 20 24 31 40 48 63



FOKUS

Wir kaufen ein Auto :5 Alternativen, 6 Kriterien

K1 K2 K3 K4 K5 K6 max min min min max blau

A1 160 10 30000 70 gut grünA2 170 11 32000 72 sehr gut blauA3 150 9 25000 74 mäßig rotA4 180 11 35000 68 gut gelbA5 190 13 34000 76 sehr gut schwarz



FOKUS

Rangplatzverfahren für das Beispiel

K1 K2 K3 K4 K5 K6

A1 4 2 2 2 3,5 3,5 17A2 3 3,5 3 3 1,5 1 15A3 5 1 1 4 5 3,5 19,5A4 2 3,5 5 1 3,5 3,5 18,5A5 1 5 4 5 1,5 3,5 20



FOKUS

Rangziffernverfahren (Punktebewertung)Das Schlechteste erhält 0, das Beste 100 Pkt.

K1 K2 K3 K4 K5 K6

A1 25 75 50 89 50 0 289A2 50 50 30 71 100 100 401A3 0 100 100 43 0 0 243A4 75 50 0 100 50 0 275A5 100 0 10 0 100 0 210



FOKUS

Es gibt im wesentlichen zwei Erscheinungs-formen von Mehrzielproblemen:- Eine gegebene Entscheidungsmatrix mit mehreren Alternativen mit gegebenen Ausprä- gungen für mehrere Kriterien- Ein lineares Entscheidungsproblem mit mehreren Zielen, bei dem ein Raum konfliktärer Ziele ermittelt wird

Beide Formen können von Unsicherheit, Dyna-mik, Fuzziness und Rationaler Indeterminiert-heit überlagert werden.



FOKUS

Mehrzielprogrammierung

Es folgen zwei Beispiele zur Mehrziel-Programmierung

1. 2 Variable, 3 Nebenbedingungen, 2 Ziele

2. 6 Variable, 8 Nebenbedingungen, 7 Ziele



FOKUS

Beispiel 14x1 + x2 ---> Max x2 ---> Max2x1 + x2 </= 205/6 x1 + x2 </= 10x1 + x2 >/= 5

( x2 >/= 6)



FOKUS

x1 x2 y1 y2 y3y4 b

y1 2 1 1 0 0 20

y2 5/6 1 0 1 0 10

y3 -1 -1 0 0 1 -5

y4 0 1 0 0 0 1 6

z1 -4 -1 0 0 0 0

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 -4 -2 0 0 0 0



FOKUS

Erster Zwischenschritt zur Erzeugung

einer zulässigen Lösung

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 0 -1 1 0 2 10

y2 0 1/6 0 1 5/6 35/6

x1 1 1 0 0 -1 5

z1 0 3 0 0 -4 20

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 0 2 0 0 -4 20



FOKUS

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 1 1/2 1/2 0 0 10

y2 0 7/12 -5/12 1 0 10/6

y3 0 -1/2 1/2 0 1 5

z1 0 1 2 0 0 40

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 0 0 2 0 0 40



FOKUS

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 1 0 6/7 -6/7 0 60/7

y2 0 1 -5/7 12/7 0 20/7

y3 0 0 1/7 6/7 1 45/7

z1 0 0 19/7 -12/70 260/7

z2 0 0 -5/7 12/7 0 20/7

z1+z2 0 0 2 0 0 40



FOKUS

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 7/6 0 1 -1 0 10

y2 5/6 1 0 1 0 10

y3 -1/6 0 0 1 1 5

z1 -19/6 0 0 1 0 10

z2 5/6 0 0 1 0 10

z1+z2 -14/6 0 0 2 0 20



FOKUS

Lösungen:

z1 max: x1=10 x2=0 z1=40 z1+z2=40

z 2 max: x1=0 x2=10 z1=10 z1+z2=20 z2=10

z1 und z2 max:2 Lösungen

a) x1=10 x2=0 z1=40 z2= 0 z1+z2=40

b) x1=60/7 x2= 20/7 z1=260/7 z2=20/7 z1+z2= 40



FOKUS

Kompromißfindung:

Idealziel: z1=40 z2=10 (beide max)

Einführung einer zusätzlichen NB:

x2 6 für z1 max

Lösung: x1=4,82 x2=6 z1=25,27

z1 ist 63,2% vom Idealziel (bei absoluter

Betrachtung, relativ = 50%)

z2 ist 60% vom Idealziel



FOKUS

Iterativ x2 anheben bei:x1=4,58 x2 6,2 z1=24,51ergeben sich Unterschiede der relativen Zielerreichung unter 1%Abbruch der RechnungStatt des relativen Abstandes zum Idealziel könnte man auch ein Gleichgewicht zwischen beiden Variablen x1,x2 anstreben und über Nebenbedingungen einführen. Das ist aber nicht zielkonform.



FOKUS

Eine Unternehmung kann 6 verschiedene Produkte A, B, C, D, E und F produzieren. Von jeden Produkt können max. 200 Stück verkauft werden; die Preise und variablen Kosten gestalten sich wie folgt:

A B C D E F

p 80 100 120 140 160 180

kv 30 40 60 70 90 100



FOKUS

Es wird auf 3 Maschinen gefertigt, deren Kapazitätverbrauch und Kapazität wie folgt auszudrücken ist:

A B C D E F Kap

M1 5 4 6 10 7 20 2000

M2 2 6 5 7 15 10 2400

M3 10 5 12 14 5 8 3000



FOKUS

Bei der Produktion werden 2 Schadstoffe s1,s2 freigesetzt, sowie 3 knappe Ressourcen R1,R2,R3 verbraucht, deren Ausstoß bzw. Verbrauch minimiert werden soll. Diese Faktoren lauten wie folgt:

A B C D E F

S1 3 4 5 6 7 8

s2 4 2 6 3 8 1

R1 4 3 5 7 2 4

R2 8 4 6 2 7 5

R3 6 9 3 4 5 8



FOKUS

Die Firma strebt nach Max. von Umsatz und Gewinn sowie nach min. Umweltbelastung und -inanspruchnahme. Für die rechnerische Lösung werden die Umweltfaktoren willkürlich Emissionsobergrenzen auferlegt.

s12000 s2 1000 R12000 R23000 R33000

Dann wird das Problem rechnerisch für Gmax und Umax gelöst. Es ergeben sich 2 Lösungen



FOKUS

Gmax: xa=96 xb=200 xd=72 xc,e,f=0

Gmax=21840 U=37760

S1=1520 S2=1000 R1=1488 R2=1712 R3=2664

Umax: xb=200 Xd=90,72 xe=35,01 xc=7,96

xa,f=0

G=21278 Umax=39257,29

S1=1629,18 S2=1000

R1=1344,83 R2=1274,27 R3=2361,8



FOKUS

Für die Berechnung der Minimierungslösungen für S1, S2, R1, R2, R3 benötigt man Mindestwerte für Umsatz und Gewinn. Hier werden ausgehend von den jeweiligen Minima Abschläge von ca.25% Gewinn und 33%Umsatz gemacht.

U 25000 G 15000 Es ergeben sich folgende Lösungen:

S1min:xa=200 xb=90 xc,d,e,f=0

G=15400 U=25000 S1=960 S2=980 R1=1070

R2=1960 R3=2010



FOKUS

S2 min: xb=159 xf=68 xa,c,d,e=0

G=15000 U=28181 S1=1182 S2=386

R1=750 R2=977 R3=1977

R1min: xb=72 xe=101 xf=45 Xa,c,d=0

G=15000 U=31473 S1=1355 S2=598

R1=1406 R2=500 R3=1031

R2min: xc=31 xd=188 Xa,b,e,f=0

G=15000 U=29375 S1=1250 S2=625

R1=1406 R2=500 R3=1031



FOKUS

R3min: xc=104 xd=125 Xa,b,e,f=0

G=15000 U=30000 S1=1271 S2=1000

R1=1396 R2=875 R3=813

Jedes Optimum hat eine andere Lösungsmenge und -soweit nicht durch NB erzeugt- andere Werte für ihre Zielgrößen. Es ergibt sich folgende Ideallösung:

G=21840 U=39257

S1=960 S2=386 R1=598 R2=500 R3=813



FOKUS

Alle 7 Teiloptima sind effiziente Lösungen:

G U S1 S2 R1 R2 R3

Gmax 21840 37760 1520 1000 1488 1712 2664

Umax 21278 39257 1629 1000 1345 1274 2362

S1min15400 25000 960 980 1070 1960 2010

S2min15000 28181 1182 386 750 977 1977

R1min 15000 31473 1355 1000 598 1222 1514

R2min 15000 29375 1250 625 1406 500 1031

R3 min 15000 30000 1271 1000 1396 875 813



FOKUS

Lösungsansatz für einen Kompromiß, relative Erreichung des Idealziels in %:

G U S1 S2 R1 R2 R3 Summe

Gmax 100 89 16 0 0 17 0 223

Umax 92 100 0 0 16 47 16 271

S1min 6 0 100 3 47 0 35 191

S2min 0 22 67 100 83 67 37 376

R1min 0 45 41 0 100 51 62 299

R2min 0 31 57 61 9 100 88 346

R3 min 0 35 54 0 10 74 100 273



FOKUS

Im Durchschnitt am günstigsten liegen die Lösungen von S2 min mit einer durchschnittlichen Zielerreichung von 54% bis 55%. Die Ursache für die O-Werte für G, U, S2 und R1 liegt aber in der willkürlichen Setzung der Grenzwerte. Dabei sind besonders die Größen G und S2 Engpässe, in zwei Fällen sogar simultan. Hier könnte man die Opportunitätsgrößen abrufen, um den „trade-off“ zwischen den Werten zu bestimmen, oder man müßte Lösungen für einen Grenzwert G 0 und für S2 nahe unendlich ermitteln, um dann die relative Bedeutung der Lösungen festzulegen.



FOKUS

Im vorliegenden Beispiel sind die Werte fürS2 min recht gut, wenn man berücksichtigt,daß der Gewinn, der hier mit 0 bewertet ist,ja bereits mit der Mindestfestlegung auf 75%des absoluten Maximums gut bedient ist.Es wäre zu prüfen, ob es eine Lösung gibt,die bei Festlegung von Nebenbedingungenmit 60 - 65 % der Ausgangswerte eine zulässige Lösung erzeugt.



FOKUS

Arbeitsschritte für das Mehrziel-programmieren- Erstellen aller "technischen" Nebenbe- dingungen- Erstellen aller Zielfunktionen- Einsetzen der Zielfunktionen als zusätz- liche Nebenbedingungen mit "offenen" Restriktionen-- Durchrechnen für alle Einzeloptima



FOKUS

- Überprüfen der Lösungswerte im Ausgangsproblem- Abschätzung von Konfliktbereichen = Wie weit liegen Lösungen auseinander = Gibt es eine "ausgezeichnete" Lösung ? = Ist die Punktesumme oder der kleinste relative Abstand aller Ziele das geeignete Maß an "Gerechtigkeit" ?



FOKUS

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent- punkte und Wahl der Punktesumme (Problem der Gerechtigkeit)- Minimierung des Abstandes der Ergebnisse vom Idealziel für alle Zielfunktionen (für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus verfügbar)



FOKUS

Ergänzung Bei der Suche nach einem Kompromiß, z.B.zwischen den sieben Zielvariablen gibt eszwei Möglichkeiten:- In Anlehnung an die Rangziffernmethode die Summe der relativen Abstände zum Ideal zu minimieren; das ist eine "Gesamt- lösung" , aber kein individueller Kompromiß- Bestimme den geometrischen Ort des gleichen relativen Abstands vom Ideal; bei2 Zielen ein Punkt, bei 3 Zielen eine Gerade,...das ist der "echte" Kompromiß



FOKUS

Die Möglichkeiten der Kompromißfindungbei mehreren Zielen :- Addition der Zielfunktionen (bringt verdeckte Gewichtung)- Addition normierter Zielfunktionen (Problem unterschiedlicher Vorzeichen der Zielvariablen und der Summe der Zielvari- ablen; führt häufig nur zu einer Ecke, kann aber einen Kompromiß aufzeigen)- Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen aus den Zielfunktionen (aufwendig, Höhe der Beschränkung willkürl.)



FOKUS

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent- punkte und Wahl der Punktesumme (Problem der Gerechtigkeit)- Minimierung des Abstandes der Ergebnisse vom Idealziel für alle Zielfunktionen (für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus verfügbar)



FOKUS

Bei der Frage nach der Rationalität eines Kom-promisses steht zuerst die der Konfliktaus-tragung an (-> Orga II) (Rationalität und Ethik).

Wenn man sich für die Austragungsform“Kompromiß” entschieden hat, sind drei Aspekte zu beachten:- Effizienz- Gerechtigkeit- Solidarität



FOKUS

- Die Anforderung der Effizienz bedeutet, daß kein Beteiligter “unnötig” schlechter gestellt wird (Pareto- Optimalität)- Die Anforderung der Gerechtigkeit verlangt, daß die inhaltliche Lösung und das Verfahren fair sind, d.h. von allen als fair empfunden werden.(Lit.: Rawls,J., Eine Theorie der Gerechtigkeit, Frankfurt/M. 1979)- Solidarität verlangt von allen Beteiligten, daß sie die Interessen der Unternehmung und der anderen Beteiligten berücksichtigen



FOKUS

Für die Berücksichtigung dieser Anforderungenkommen in den typischen Fällen verschiedeneHilfs-Zielfunktionen zum Tragen:- Maximierung der Gesamtzielerreichung, z.B. die Summe der Punkte- Minimierung der relativen Abweichung vom Einzelideal für alle Ziele mit gleicher Abwei- chungsverteilung- Minimierung der absoluten Abweichungen vom Einzelideal für alle Ziele



FOKUS

Probleme der Kompromißregeln:- Legitimation unterschiedlicher Abweichungen- Ausprägungsabhängige Präferenz- Bedeutung der relativen Abweichung bei unterschiedlich hohen Ausprägungen- Verhältnis von Gerechtigkeit und Solidarität- Kommunikation der Präferenzen und ihrer Änderungen über den Lösungsraum- Inkonsistenz von Präferenzen



FOKUS

Ein weiteres Beispiel:Eine Firma stellt zwei Produkte her; von Produkt 1 müssen mindestens 20 und höchstens 180 , von Produkt 2 höchstens 250 hergestellt werden. Es bestehen zwei Produk-tionsbeschränkungen; die Koeffizienten lautenfür Produkt 1 : 2 für B1 und -10 für B2 undfür Produkt 2 : 3 für B1 und 10 für B2.Die Beschränkung B1 beträgt 900, B2 ist 1400.Die Preise betragen 100,- DM pro Stück, dievariablen Kosten p1 = 30 und p2 = 200 DM/St.Die Produkte verursachen Schadstoff von 4 kgje Stück (P1) und 2 kg (P2).



FOKUS

Der Ansatz für Umsatz und Gewinnmaxi-mierung:



FOKUS

Wie verändert sich der Ansatz , wenn Schad- stoffminimierung als weiteres Ziel hinzutritt ?

Lösungswerte:Gmax : x1 = 180, X2 =0, U 18000 G12600 S 720Smin : x1= 20, x2 = 0, U = 2000 G = 1400 S 80Umax: x1 = 180,x2 = 180, U= 36000 G = -5400

S = 1080



FOKUS

X1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 b

y1 -1 0 1 0 0 0 0 -20y2 1 0 0 1 0 0 0 180y3 0 1 0 0 1 0 0 250y4 2 3 0 0 0 1 0 900y5 -10 10 0 0 0 0 1 1400U -100 -100 0 0 0 0 0 0G -70 100 0 0 0 0 0 0S 4 2 0 0 0 0 0 0



FOKUS

Netzplantechnische Grundbegriffe



FOKUS

Ein Netzwerk wird durch Knoten und Kantenbestimmt

1

2

3

4

A

B

C

D

Gerichteter Graph der Aktivitäten A,B,C,D



FOKUS

Die Elemente eines Netzes können durchAktivitäten oder Ereignisse beschriebenwerden.Im allgemeinen werden Aktivitäten durchKanten und Ereignisse durch Knoten abgebildet, es gibt aber auch Verfahren,in denen Aktivitäten durch Knoten abgebildetwerden.Den Aktivitäten werden Zeiten (Zeit pro Akti-vität), den Ereignissen Zeitpunkte zugeordnet.



FOKUS

Für die Aktivitäten im Beispiel gilt folgendeBeziehung: A (muß) vor C (fertig sein) B vor D

Regeln:Ein Pfeil geht immer von einem Knoten miteiner niedrigen Ordnungszahl zu einemmit einer höheren.Zwei Pfeile können nicht den gleichenAnfangs- und Endpunkt haben.



FOKUS

Modifikation des Beispiels: A und B vor C

A

B

C

D

1

2

3

4

Die Numerierung der Knoten muß verändertwerden. Die Aktivität 2 - 3 wird als Schein-aktivität bezeichnet.



FOKUS

Den Aktivitäten werden Zeiten zugeordnet.A 7, B 9, C 6, D2.Gesamtdauer des “Projekts A - D” bei derersten Fassung :Max ( A + C, D + B ) = 13

Gesamtdauer bei der zweiten Fassung:Max ( A + C, B + C, B + D) = 15Der kritische Weg ist hier 1, 2, 3, 4.



FOKUS

Netzplantechnik - Beispiel

Aktivitäten Vorrang DauerA vor D 6B vor E,F,J 5C vor H und L 5D vor I 3E vor I 6F vor K 4H vor K 5I vor M 4J vor M 7K 3L vor N 6M 4N 4



FOKUS

A,6

B,5

C,5

D,3

E,6

F,4

H,5

I,4

J,7

K,3

L,6

M,4

N,4



FOKUS

0

1

2

3

4

5

6

7

8

A,6

B,5

C,5

D,3

E,6

F,4

H,5

I,4

J,7

K,3

L,6

M,4

N,4



FOKUSTermine und kritischer WegKnoten FMS SEZ Puffer 0 0 0 0 1 6 8 2 2 5 5 0 3 5 9 4 4 11 11 0 5 10 16 6 6 11 15 4 7 15 15 0 8 19 19 0Kritischer Weg : 0 - 2 - 4 - 7 - 8/ B,E,I,M. Dauer 19



FOKUSNetzplanverkürzung - Kelley-Algorithmus

VerkürzungsmöglichkeitenAktivität Verkürzung KostenA von 6 auf 4 je 500B von 5 auf 4 1000H von 5 auf 3 je 200I von 4 auf 3 3000K von 3 auf 2 2000M von 4 auf 3 4000



FOKUS

Verkürzungsschritte

Nur auf dem kritischen Weg (0 - 2 - 4- 7 - 8)1. Schritt : B von 5 auf 4 10002. Schritt : I von 4 auf 3 + 30003. Schritt : M von 4 auf 3 + 4000

Mehr geht nicht; ein anderer Weg ist nicht kritisch geworden.Crash Time 16 bei 8000 Kosten.



FOKUS

Weiteres Beispiel als Word Programme

Semester-OR-Klausur 2003 und SemORnetzplan



FOKUS

4.4 TourenplanungTourenplanung kann in verschiedenen Formen geschehen: Als Linienplan, Fahrplan oder mit der Planung einzelner Touren von einem odermehreren Zentrallägern.Betrachtet wird der Fall mit einem Zentrallagerund vorgegebenen Liefermengen. Die Orte sind durch ihre Koordinaten gegeben; die geometrische Entfernung wird über den Satzdes Pythagoras ermittelt. Sie muß für realeStrecken um einen Faktor 1,2 bis 1,4 korrigiertwerden.



FOKUS

Die Koordinaten seien zum Beispiel:

Punkt 1 : 60/60 Punkt 2 : 50/70 Punkt 3: 70/90

... ZL: 20/100

14 33 ... 57

28 ... 42

... 51



FOKUS

nach 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ZLvon 1 14 33 11 32 14 15 45 22 36 57 2 - 28 21 41 10 18 54 28 28 42 3 - - 20 5 40 32 18 25 62 51 4 - - - 21 21 14 34 15 43 52 5 - - - - 40 30 14 22 61 36 6 - - - - - 11 51 22 22 73 7 - - - - - - 40 11 30 65 8 - - - - - - - 30 70 36 9 - - - - - - - - 40 5810 - - - - - - - - - 95



FOKUS

Weitere Randbedingungen

- Räumliche Barrieren- Fahrzeit und Geschwindigkeit- Ladezeiten- Zeitfenster- Teillieferungen (möglich oder unmöglich)- Mehrere Lager



FOKUS

Beispiel

StandortkoordinatenA: 30/30 B: 60/50 C: 40/80 D: 20/120E: 70/140 F: 90/150 G: 120/145 H: 140/100I: 130/70 K: 110/40 Z: 90/90

TransportmengenA: 8t B: 6t C: 5t D: 7t E: 9t F: 4t G:6tH: 8t I: 5t K: 7tKapazität: 4 LKW à 18t



FOKUS

Entfernungstabellenach B C D E F G H I K ZvonA 36 51 91 117 134 146 130 108 81 85B - 36 81 91 104 112 94 73 51 50C - - 45 67 86 103 102 91 81 51D - - - 54 76 103 122 121 120 76E - - - - 22 50 81 92 108 54F - - - - - 30 71 89 112 60G - - - - - - 49 76 105 63H - - - - - - - 32 67 51I - - - - - - - - 36 45K - - - - - - - - - 54



FOKUS

TourenplanungSavingsmethodeAusgangspunkt sind lauter einzelne Pendel-touren. Die Tour mit der höchsten Lademengewird mit der oder den Touren, die die größteErsparnis (Savings) bringen, aufgefüllt.Die Savings ergeben sich aus D(ZL/P1)+D(ZL/P2)- D(P1/P2)Sie werden in einer Savingsmatrix ausgewiesen.



FOKUS

Savingsmatrix B C D E F G H I KA 99 85 70 22 11 2 6 22 58B - 65 45 13 6 1 7 22 53C - - 82 38 25 11 0 5 24D - - - 76 60 36 5 0 10E - - - - 92 67 24 7 0F - - - - - 93 40 16 2G - - - - - - 65 32 12H - - - - - - - 64 38I - - - - - - - - 63



FOKUS

1. Z - E - Z; 9t; 108 km

2. Z - E - F - Z;13t; 54 + 22 + 60 = 136 km

(Ersparnis 228 -136 = 92 km)

3. Es passen mengenmäßig nur noch C oder I

Z - E - F - I - Z; 18t;54+22+89+45=210km

Z - C - E - F - Z;18t; 51+67+22+60 =200km. (!)



FOKUS

4. Z - A - Z; 8t;170 kmZ - A - B - Z; 14t;171 km; Ersparnis 99km;Kapazität erschöpft5. Z - H - Z; 8t; 102 kmZ - H - I - Z; 13t;128 km ; Ersparnis 64 km oderzur besseren MengenauslastungZ - H - K - Z; 15 t; 172 km; Ersparnis 38 km6. Z - D - G - Z; 13 t; 242 km; Ersparnis 36 kmZ - D - G - I - Z; 18 t; 300 km, wenn bei 5. die zweite Alternative gewählt wurde, sonst7. Z - K - Z; 7t 108 km



FOKUS

Gesamtstrecke I IIZ-C-E-F-Z 200km 200kmZ-A-B-Z 171km 171kmZ-H-I-Z 128km Z-H-K-Z 172kmZ-D-G-Z 242km Z-D-G-I-Z 300kmZ-K-Z 108km _______ _______Summe 849km 843km

Summe Pendeltouren 1178km



FOKUS

Eine dritte Variante wäre

1. Z - C - E - F - Z 200km2. Z - A - B - Z 171km3. Z - H - G - Z 163km4. Z - K - I - Z 135km5. Z - D - Z 152km _______Summe 821 km

Das ist deutlich besser als I und II



FOKUS

Sweepmethode

Es werden im Uhrzeigersinn, bei 12 begin-nend, Touren gebildet, bis die Kapazitäts-grenze erreicht ist.

1. F-G-H;18t;190 km2. I-K-B ; 18t;182 km3. A-C;13t;187 km4. D-E;16t;184 kmSumme 743 km



FOKUS

Jetzt wird bei G gestartet

1. G-H; 14t; 163 km2. I-K-B; 18t; 182 km3. A-C; 13t;187 km4. D-E; 16t; 184 km5. F;4t;120 km Summe 836 km



FOKUS

Jetzt wird bei H gestartet

1. H-I; 13t; 128 km2. K-B;13t; 155 km3. A-C; 13t; 187km4. D-E; 16t; 184 km5. F-G; 10 t; 153 km Summe 807 km

Als nächstes würde bei I gestartet. Das ergibtaber den zweiten Plan. 743 km ist die nachdiesem Verfahren günstigste Lösung.



FOKUS

Verfahrensvergleich

Es gibt keine eindeutige Überlegenheit einesVerfahrens. Umfangreiche Erfahrungenhaben ergeben, daß die Sweepmethode gutgeeignet ist, wenn das Lager zentral liegtund das Verhältnis der Zahl der Touren zurZahl der anzufahrenden Stellen recht klein,etwa <2 ist. Bei dem Depot in Randlage undvielen Stellen pro Tour ist die Savings-methode besser.

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Forschungsgruppe Kybernetische Unternehmens-Strategie der Universität Lüneburg Universität Lüneburg 21332 Lüneburg Institut für Betriebswirtschaftslehre,