Fracci Ones

MATEMTICAS 2 ESO 21

Antes de empezar

1. Fracciones..............pg. 24 Fracciones Equivalentes Simplificacin de Fracciones 2.Fracciones con igual denominadorpg. 25 Reduccin a comn denominador Comparacin de fracciones 3.Operaciones con fracciones..........pg. 27 Suma y resta Producto Cociente Potencia Raz cuadrada Operaciones combinadas 4. Problemas de aplicacin..............pg. 29 Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin

Soluciones

Objetivos En esta quincena aprenders a:

Ver si dos fracciones son equivalentes.

Simplificar fracciones. Reducir fracciones a igual deno-

minador. Sumar y restar fracciones. Multiplicar y dividir fracciones. Obtener la inversa de una

fraccin. Calcular potencias de una

fraccin. Hallar la raz cuadrada de una

fraccin.

Fracciones 2

22 MATEMTICAS 2 ESO

Fracciones

Antes de empezar El trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fraccin puede verse desde una triple perspectiva. Puedes ver una fraccin simplemente como un nmero. Tambin como una parte de un total. O tambin puedes interpretar una fraccin como un porcentaje.

Recuerda

Para trabajar con fracciones necesitars en ocasiones obtener la descomposicin factorial de un nmero, as como calcular el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros.

Para descomponer en factores un

nmero lo dividimos por el primer nmero primo que podamos.

El mnimo comn mltiplo de varios nmeros naturales es el nmero natural ms pequeo que es mltiplo de todos esos nmeros a la vez, exceptuando el nmero 0. Si podemos seguimos dividiendo

sucesivamente el cociente por el mismo nmero primo.

Cuando no podamos hacer la divisin por

ese nmero primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.

As sucesivamente hasta que el cociente

final sea 1. Finalmente ponemos ese nmero como

un producto de potencias de factores primos.

MATEMTICAS 2 ESO 23

24 MATEMTICAS 2 ESO

1. Fracciones

Fracciones Equivalentes

Halla el valor de 46 y

69 .Dan el mismo resultado. Son

dos fracciones equivalentes.

Si dc

ba = , a y d reciben el nombre de extremos, b y

c se llaman medios. En el ejemplo los extremos son 6 y 6, los medios 4 y 9.

Observa que si los multiplicamos se obtiene igual resultado: 66=36 y 49=36.

Ejercicios: Comprueba si las siguientes fracciones son o no son equivalentes

a) 540162y

24075

b) 43272y

14427

Simplificacin de fracciones

Si divides por 2 el numerador y el denominador de

1218 obtienes

69 , que es equivalente. Ahora puedes

dividir 9 y 6 entre 3. Obtienes 23 que no se puede

simplificar. Es irreducible.

Resumiendo:23

69

1218 == que es irreducible.

Vamos a comprobar si las fracciones siguientes son o no equivalentes.

66y144

144

Los extremos de las fracc ones: 144 y 6

44 y 6

i

Su producto vale 1446 = 864

Los medios de las fracciones: 1

Su producto es 1446 = 864

Por lo tanto son equivalentes:

66144 =

144

PISTA

a) 75 540 = ?

240162 =?

b) 27 432 =?

144 72 =?

Vamos a simplificar la fraccin siguiente:

1425 765

Numerador y denominador se pueden dividir por 3:

475255

3:14253:765 =

N nador se umerador y denomipueden dividir por 5:

9551

5:4755:255 =

9551 c n irreduci es una fra ci ble

Fracciones

Al dividir numerador y denominador de una fraccin por un mismo nmero, se obtiene una fraccin equivalente.

MATEMTICAS 2 ESO 25

Vamos a reducir a igual denominador

las fracciones: 3087

y 28838

Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (30,288) = 1440 que ser el nuevo denominador de las fracciones.

Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 1440: 30 = 48 ymultiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 87 = 4176, que ser el nuevo primer numerador.

Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 1440: 288 = 5 ymultiplicamos el resultado por el segundo numerador: 5 38 = 190, que ser el nuevo segundo numerador.

As, las fracciones quedan:

1440190y

14404176

PISTA: a) m.c.m.(144, 180) = 720

b) m.c.m.(36, 180) = 180

Vamos a comparar las fracciones:

178

y 43

Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (17, 4) = 68

Reducimos las dos fracciones a denominador comn:

178

=6832

y 43

=6851

Ahora ya podemos comparar las fracciones:

6832 <

6851

luego 178 <

43

PISTA: a) m.c.m. (9, 5) = 45

b) m.c.m. (17, 3) = 51

c) m.c.m. (14, 7) =? d) m.c.m. (9, 4) =?

2. Fracciones con igual denominador

Reduccin a comn denominador

Considera las fracciones 511 y

713 .

Para compararlas y realizar clculos podemos usar otras fracciones equivalentes con igual denominador.

511 =

3577 y

713 =

3565

Ejercicios: Reduce a comn denominador:

a) 18045y

14438

b) 124y

249

c) 18022y

3623 d)

1024y

18021

Comparacin de fracciones

Qu fraccin es mayor,75o

118 ?

Vamos a reducirlas a comn denominador:

7756

118 = y

7755

75 =

La primera fraccin es mayor: 75

118 >

Ejercicios: Compara las siguientes fracciones:

a) 51y

97

b) 73y

144

c) 32y

178 d)

43y

95

Fracciones

Al dividir numerador y denominador de una fraccin por un mismo nmero, se obtiene una fraccin equivalente.

Es conveniente que uses los smbolos mayor que, >, y menor que,

Fracciones

3. Operaciones con fracciones

Suma y resta Ejercicio resuelto: Simplifica cada fraccin y calcula: Para sumar fracciones de denominador igual deja el

denominador y suma los numeradores. 638

217

18631053 +

117

1134

113

114 =+=+

En primer lugar simplifico las fracciones:

2313

18631053 = ;

217

; 3

19638 = Si son fracciones de distinto denominador las

reduciremos primero a comn denominador. Queda:

319

217

2313 + Ahora opero: Es lo mismo

73

54 + que

3543

3515

3528 =+

Calculo m.c.m. (23, 2,3) = 138 y:

26 MATEMTICAS 2 ESO

319

217

2313 + =

138874

1381173

13878 +

La solucin es: 138221

PISTA: Intenta simplificar primero cada fraccin Ejercicios: Calcula el valor de:

a) 32272

28751625 b)

693911 + Despus calcula el m.c.m. de los denominadores. (Ser el nuevo deno-

minador) 19

Divide el m.c.m. por cada denominador y multiplcalo por su correspondiente numerador. (Obtendrs los nuevos numeradores)

c) 368208

23751375 d)

217

18631053 +

Ya puedes sumar o restar las fracciones.

Producto de fracciones

La figura representa a 54

Ejercicio resuelto: Vamos a calcular el valor del siguiente producto:

4241

905

Vamos a hallar 32 de

54 .Dividimos

54 en tres partes y

tomamos dos: 32

54

Si es posible simplificamos las fracciones:

181

905 =

4241

es irreducible

Multiplicamos los numeradores y denominadores:

Del total, tenemos 158 756

414218411

4241

181 ==

Si es posible, simplificamos el resultado.

En este caso 75641

es irreducible.

MATEMTICAS 2 ESO 27

Ejercicio resuelto: Vamos a calcular el valor del siguiente cociente:

8410

: 124


425

8410 =

31

124 =

Multiplicamos numeradores y denomi-nadores en cruz:

4215

14235

31

:425 ==


145

4215 = .

PISTA: Intenta simplificar primero cada fraccin

Multiplica numeradores y denominadores en cruz

Si es posible, simplifica el resultado

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el

valor de: 8

53

Elevamos numerador y denominador al exponente

8

53

=

8

8

5

3

Calculamos la potencia:

8

53

=

8

8

53 =

3906256561


Cociente de fracciones

Dos fracciones son inversas si su producto es 1. Por

ejemplo 53 y

35 lo son pues

53

35 = 1

Y escribiremos:

351 =

53 . En general:

dc1 =

cd

Para dividir fracciones multiplica en cruz:

Ejercicios: Calcula el valor de los cocientes:

a) 2419:

3644 b)

1829:

2469

c) 344:

1273 d)

1056:

4052

Potencia de una fraccin

Cunto vale 3

25

? Desarrollemos la potencia:

Para obtener la potencia de una fraccin debes efectuar el cociente entre las potencias del numerador y el denominador.

Ejercicios: Calcula el valor de las potencias:

a)6

72

b)4

53

c)6

27

d)7

132

Fracciones

Recuerda: nnn

ba

ba y =

1ba 0 =

28 MATEMTICAS 2 ESO


Raz cuadrada de una fraccin

Para obtener la raz cuadrada de una fraccin, haz la raz del numerador y el denominador.

94

94 = y tambin:

32

94 =

La razn es que: 94

32 2 =

y 94

32 2 =

luego, habr una raz positiva y una negativa.

Ejercicios: Calcula el valor de:

a) 2549 b)

169121

c) 3616 d)

2581

Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay una serie de cuestiones que conviene tengas en cuenta:

El orden de las operaciones es de izquierda a derecha.

Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas.

Si aparecen parntesis, sus operaciones tienen prioridad.

Los parntesis anidados se realizan de dentro a fuera.

No suele ser conveniente que esperes al final del ejercicio para simplificar.

Ejercicios: Calcula el valor de:

a)

74:

211

38

49

67

b)

7+

+69

24

1183 +

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el valor de:

1699

Hallamos la raz del numerador y denominador:

133

169

91699 ==

Por ser raz cuadrada hay otra solucin:

133

1699 =

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el valor de:

25

83

49

76

52

+

+

Operamos por separado en el numerador y denominador:

25

83

49

76

52

+

+=

823

140326

823

2854

52

=+

Dividimos, multiplicando en cruz:

32202608

823

140326

=


805652

32202608 =

Recuerda: ba

ba y =

ba

Fracciones

Fracciones

4. Problemas de aplicacin

PROBLEMA 1. La semana pasada he ledo 71 de un

libro. A lo largo de esta semana he podido leer 54 del

resto. En total he ledo 87 pginas del libro. Cuntas pginas en total tiene el libro?

Solucin: 105 pginas

PROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en un

barril, en 41 recipientes de 43 litros cada uno. Todos

han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 14 litros. Cuntos litros de agua contena el barril?

Solucin: 44,37 litros

PROBLEMA 3. Esta previsto destinar 143 de una finca

a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado 43

de lo previsto a zonas ajardinadas. Qu fraccin de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?

Solucin:

563

para aparcamientos

PROBLEMA 4. De un depsito de cereales se han

extrado los 108 . Al da siguiente se extrae

41 del

resto. Qu fraccin del total se ha extrado del depsito?

Solucin: 2017

del total

MATEMTICAS 2 ESO 29

30 MATEMTICAS 2 ESO

EJERCICIOS resueltos

Fracciones equivalentes. Simplificacin

1. Son equivalentes 1440720y

14427

?

El producto de extremos vale 27144= 38880 y el producto de medios 144720=103680

Los dos productos no coinciden y, por lo tanto, no son equivalentes:

2. Simplifica la fraccin 2850510

Numerador y denominador se pueden dividir por 2: 1425255

2:28502:510 =

Numerador y denominador se pueden dividir entre 3: 47585

3:14253:255 =

Numerador y denominador se pueden dividir entre 5: 9517

3:4755:85 =

9517 es irreducible.

Fracciones con igual denominador

3. Reduce a igual denominador las fracciones: 10517 y

14414

Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (105,144) = 5040 que ser el nuevo denominador.

Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 = 48. Multiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 17 = 816, que ser el

nuevo primer numerador.

Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 5040:144 = 35. Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 35 14 = 490, que ser el

nuevo segundo numerador.

As, las fracciones quedan: 5040816 y

5040490 , fracciones con igual denominador.

4. Reduce a igual denominador las fracciones:5766 ,

19248 y

7225

Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (576, 192,72) = 576 que ser el nuevo denominador de las fracciones.

Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por el correspondiente numerador.

As, las fracciones quedan: 5766 ,

576144 y

576200 .

Fracciones

MATEMTICAS 2 ESO 31

EJERCICIOS resueltos (continuacin)

Operaciones con fracciones 5. Simplifica cada fraccin y calcula:

177

20880

1375375 +

En primer lugar simplifico las fracciones:

113

1375375 = ;

135

20880 = ;

177 es irreducible

Queda: 177

20880

1375375 + =

2431729

24311001

2431935

2431663 =+

6. Calcula el valor del siguiente producto:

1536

18011

9024


1536

18011

9024 =

512

18011

154

Multiplicamos los numeradores y denominadores:

13500528

51801512114 =

Si es posible, simplificamos el resultado. 13500528 =

112544

7. Calcula el valor del siguiente cociente 1643

: 3011

Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles.

Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz:

176291 0=

30163043

3011:

1643 =

Y, si es posible, simplificamos el resultado 88

= . 6451761290

8. Calcula la siguiente potencia: 6

75

Elevamos numerador y denominador al exponente 6

75

= 6

5 6

7

Calculamos las potencias: 6

75

= 67

5 =6

11764915625

Fracciones

32 MATEMTICAS 2 ESO

EJERCICIOS resueltos (continuacin)

Operaciones con fracciones

9. Indica las dos soluciones de la raz 1214

Hallamos la raz del numerador y denominador:

112

1214

1214 ==

Por ser raz cuadrada hay otra solucin:

112

1214 =

10. Calcula:

112

34

97

65

211

+

+

Operamos por separado en el numerador y denominador:

112

34

97

65

211

+

+=

3350

5435

211 +

=

335054332

Dividimos, multiplicando en cruz:

335054332

=2700

10956

Si es posible, simplificamos el resultado. 2700

10956 =225913

11. Calcula: 52

118

34 2 +

Operamos primero el parntesis: 52

3324

3344 2 +

= 52

3320 2 +

.

Hacemos la potencia 1089400 +

52 Sumamos:

1089400 +

52 =

54454178

54452178

54452000 =+

En este caso no podemos simplificar el resultado.54454178 es una fraccin irreducible.

12. Calcula:

74:

211

38

49

67

=

877

1259

67

=

87772413

. Dividimos multiplicando en cruz 55443304 .

Simplificamos el resultado 55443304 =

9959

Fracciones

MATEMTICAS 2 ESO 33

Equivalencia de fracciones

1. Comprueba si son o no equivalentes las siguientes fracciones:

a) 72108 y

192292 b)

9054 y

15093

c) 9636 y

320123 d)

4314 y

21570

Simplificar fracciones

2. Simplifica las siguientes fracciones:

a) 6440 b)

16272

c) 12880 d)

17236

Reducir a comn denominador

3. Reduce a comn denominador las siguientes fracciones:

a) 2012 ,

3224 y

246

b) 2816 ,

166 y

2415

c) 2410 ,

4520 y

186

d) 228 ,

4836 y

3315

Suma y resta de fracciones

4. Realiza las operaciones siguientes y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 208

4515

368

b) 184

5228

2210

c) 2010

4525

159 +

d) 249

2010

1610

Producto de fracciones

5. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 65

106 b)

128

115

c) 107

119 d)

117

56

Cociente de fracciones

6. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 612:

105 b)

59:

77

c) 54:

48 d)

57:

96

Potenciacin

7. Calcula el valor de las siguientes potencias y simplifica el resultado cuando sea posible:

a)4

97

b) 4

94

c) 2

96

d) 3

67

Raz cuadrada

8. Halla el resultado de las siguientes races. Da las dos soluciones posibles:

a)3616 b)

6425

c) 259 d)

3625

Fracciones

Fracciones

Operaciones combinadas

9. Realiza las operaciones siguientes y simplifica el resultado cuando sea posible:

13. En una ciudad de 470 habitantes, 85 practican deporte regularmente. Qu fraccin del total no practican deporte con regularidad? Qu tanto por ciento es? a)

211

83

49 +

b) 49

76

52 +

c)

+ + 7

62:1184

d) 76

52:

118

Problemas con fracciones

14. La semana pasada he ledo

31 de un

libro. A lo largo de esta semana he podido

leer 76 del resto. En total he ledo 38

pginas del libro. Cuntas pginas en total tiene el libro?

10. Cuntos botellines de refresco de

51 de litro podemos llenar con 417 litros de

refresco?

11. Expresa en forma de fraccin el rea

de un rectngulo cuya base mide 65 m y

cuya altura mide 97 m.

15. Hemos vaciado agua contenida en un

barril, en 22 recipientes de 32 litros cada

uno. Todos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 10 litros. Cuntos litros de agua contena el barril?

16. Esta previsto destinar

96 de una finca

a plazas de aparcamiento. Pero se han

destinado 76 de lo previsto a zonas

ajardinadas. Qu fraccin de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?

12. Un camin contiene 900 Kg. de

patatas. Descarga 31 de su carga. Del

resto descarga los 52 . Cuntos Kg. de

patatas quedan?

17. De un depsito de cereales se han

extrado los 119 . Al da siguiente se extrae

91 del resto. Qu fraccin del total se ha

extrado del depsito?

34 MATEMTICAS 2 ESO

MATEMTICAS 2 ESO 35

El Ojo de Horus

La imagen de arriba, de origen egipcio, es el ojo de Horus, el Udyat. Horus haba perdido el ojo en combate, pero fue sustituido por el Udyat por intervencin del dios Thot.

Para los antiguos egipcios, el Udyat simbolizaba el estado de perfeccin y le atribuan cualidades sanadoras. Tambin les serva para escribir nmeros.

Es posible escribir cualquier fraccin positiva como suma de fracciones de numerador la unidad. Una suma de este tipo se llama una fraccin egipcia. Son fracciones egipcias:

81

41

21

87 ++= y

51

41

21

2019 ++=

Los jeroglficos usados por los egipcios para escribir las fracciones ms frecuentes en medidas agrarias de capacidad y volumen, eran partes del Ojo de Horus.

Una fraccin interminable

Mira como est escrita esta fraccin,

Y si seguimos el proceso indefinida-mente?

Se obtiene una fraccin continua, cuyo resultado, no es una fraccin!

Con fracciones continuas pueden escribirse nmeros tan importantes en matemticas como , el nmero de oro.

Puedes encontrar ms informacin en la wikipedia:

Nmero de oro: http://es.wikipedia.org/wiki/Nmero_ureo

Fraccin continua: http://es.wikipedia.org/wiki/Fraccin_continua

Fracciones

36 MATEMTICAS 2 ESO

Cundo son equivalentes dos fracciones? Cuando su producto de extremos y medios coincide.

dc

ba = si cumple ad=cd

Cmo se simplifican fracciones? Debes dividir numerador y denominador entre un mismo factor. Si el m.c.d. del numerador y el denominador es la unidad, la fraccin ya no se puede simplificar ms, es irreducible.

Si sabes el mcd del numerador y el denominador, lo mejor es dividir directamente por esa cantidad. La fraccin resultante ser irreducible.

Cmo se reducen fracciones a igual denominador? Divide el m.c.m. de los denominadores entre el denominador y multiplica por el numerador.

Cmo se suman y restan fracciones? Deben tener el mismo denominador.

Cmo se multiplican fracciones? Multiplica numeradores y denominadores.

Cmo se dividen fracciones? Multiplica en cruz los numeradores y denominadores.

Cmo se obtiene la potencia de una fraccin? Eleva el numerador y el denominador.

Cmo se extrae la raz de una fraccin? Extrae la raz del numerador y el denominador

m.c.d.(20,12)=4

Fracciones

MATEMTICAS 2 ESO 37

1. Halla una fraccin irreducible equivalente a 21696

.

2. Sin simplificarlas, reduce a comn denominador 246 y

3616

.

3. Calcula 3612

188 + . El resultado debe ser irreducible.

4. Calcula 148

3620 (en forma irreducible).

5. Obtn la fraccin irreducible equivalente a

4230

3520

2012 ++ .

6. Halla 2010

248

2715 , expresado de forma irreducible. +

7. Calcula 118

85 . Simplifica el resultado.

8. Halla el valor de 105:

97 . El resultado debe estar

simplificado.

9. Una rueda avanza 64 metros para dar una vuelta.

Cuntas vueltas debe dar para avanzar 8 metros?

10. Halla 6416 .

Fracciones

38 MATEMTICAS 2 ESO

Soluciones de los ejercicios propuestos en los Contenidos

Fracciones equivalentes

a) No son equivalentes, puesto que el producto de medios y extremos no coinciden.

b) No son equivalentes, puesto que el producto de medios y extremos no coinciden.

Reduccin a comn denominador

a) 720190 y

720180

b) 249 y

248

c) 180115 y

18022

d) 18021 y

180432

Comparacin de fracciones

a) 97 >

51

b) 144

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