FRACCIONES - cimat.mx · FraccionesGTO, Guanajuato 2011 8 Fracciones con juego de fracciones Dr. Loyd Para estas actividades, el cuadrado será un entero. 1 área = 1 longitud = 1

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FraccionesGTO, Guanajuato 2011 1

FRACCIONES

Alfinio Flores Peñafiel University of Delaware

Modelos de fracciones

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Fracciones con juego de fracciones Dr. Loyd Para estas actividades, el cuadrado será un entero.

1 área = 1

longitud = 1

un entero Actividad 1 Si el cuadrado es un entero, dí cuál es el valor de las siguientes piezas y explica por qué.

Actividad 2. Representa 1

2 de tantas formas como sea posible utilizando las piezas.

Actividad 3 Compara las siguientes piezas manualmente y visualmente. Expresa la relación entre ellas primero verbalmente y luego utilizando símbolos. a) Compara verbalmente


con

21

Por ejemplo, los estudiantes pueden usar algunas de las siguientes expresiones: Un entero es mayor que un medio. Un entero es dos veces más grande que un medio. Dos veces un medio es un entero. Un medio es la mitad de un entero. Un medio es dos veces más chico que un entero. Los alumnos pueden expresar las relaciones entre las piezas utilizando números y operaciones.

Por ejemplo 1 > 12

, 12= 1÷ 2, 1 = 2 ! 1

2

b) Compara

21

con

61

c) Compara

13

con

61

d) Compara

21

con


13

Actividad 4 Repaso de los significados de la división con números enteros. 6 ÷ 2 significa i) Divide 6 en 2 partes iguales (partición). Eemplo: reparte 6 piezas entre 2 personas equitativamente. ii) ¿Cuántas veces cabe 2 en 6? (medición). Eemplo: ¿Cuántos grupos de 2 puedo formar con 6 objetos. Ilustra cada uno de los significados con un dibujo. Actividad 5 Utiliza el juego de fracciones para resolver los siguientes problemas de división de fracciones. Para cada caso, decide cuál de los dos significados de la división (partición o medición) es más útil. a) 1 ÷ 1

2 1 ÷ 1

3 1 ÷ 1

6 2 ÷ 1

2 2 ÷ 1

3

b) 12÷ 3 1

3÷ 2

c) 12÷16

13÷16

d) 23÷13

56÷16

e) 16÷13

12÷13

Relación entre dividir entre una fracción y multiplicación. Nota que 2 ÷ 1/3 = 6 = 2 x 3 2 ÷ 1/2 = 4 = 2 x 2 3 ÷ 1/2 = 6 = 3 x 2 4 ÷ 1/2 = 8 = 4 x 2 Describe la relación con tus propias palabras.


Dividir las fracciones con el mismo denominador (utilizando el juego de fracciones Fraction Kit) Recuerda que la división entre números también se relaciona con razones, y con fracciones.

Los siguientes diagramas representan 55

45

35

25

15

Ilustra los siguientes problemas de división.

a) 35÷25

¿Cuántas veces cabe 25

en 35

? Cabe más de una vez, pero menos de dos. Cabe una y media

veces, 1 y 12

. Podemos acomodar tres de dos partes esto es 32

.

b) 25÷45


en 25

? 45

no cabe completamente en 2/5. La respuesta debe ser menor

que uno. Podemos acomodar la mitad de 45

en 25

. La respuesta es 12

. Podemos acomodar 2 de 4

piezas, esto es 24

.

c) 35÷45


en 35

? 45

no cabe completamente en 35

. La respuesta debe ser menor

que uno. Podemos acomodar 3 de 4 piezas, esto es, 34

.

d) 45÷35



en 45

? Cabe una vez y un poco más. Cabe 1 y 13

. Podemos acomodar 4

de 3 partes, esto es 43

.

¿Observas un patrón al dividir fracciones con el mismo denominador? Describe tu descubrimiento. ¿Cómo dividirías dos fracciones con el mismo denominador? Enuncia tu conjetura utilizando tus propias palabras. Comprueba tu conjetura con algunos otros ejemplos. División de fracciones en general Para resolver un problema como 3

4÷25

podemos cambiralo a un problema equivalente que

involucre división de fracciones con denominador común 3 ! 54 ! 5

÷2 ! 45 ! 4

. Ahora que en el

problema se trata de fracciones con el mismo denominador, todo lo que tenemos que hacer es

dividir los nuevos numeradores. La respuesta será por tanto 3 ! 54 ! 2

. Los alumnos pueden ver que

esto es igual al producto 34!52

. Nota que 52

es el inverso de 25

. Así, para dividir una fracción

entre 25

, todo lo que necesitamos hacer es multiplicar por 52

.

Multiplicación de fracciones: el modelo de área El cuadrado unitario tiene área = 1, y cada uno de sus lados tiene una longitud de 1.

1 área = 1

longitud = 1

Si dividimos el cuadrado en dos rectángulos iguales, cada uno deberá tener un área igual a 1/2. Los lados de los rectángulos serán 1 por 1/2.


1

1 área = 12

2 Si dividimos el cuadrado unitario en tres rectángulos iguales, cada uno tendrá un área de 1/3. Los lados de estos rectángulos son 1 por 1/3.

1

1

área = 13 3

Si tomamos un rectángulo que sea la mitad de un tercio, esto es 1/2 x 1/3, tendrá un área de 1/6. Ejercicio: muestra que el área sombreada también puede ser interpretada como un tercio de un medio.


Otra forma de ver la multiplicación de fracciones es la siguiente. Los lados del rectángulo sombreado son 1/2 y 1/3. El área de un rectángulo puede ser calculada multiplicando las longitudes de sus lados, por tanto 1/2 × 1/3 = 1/6 ¿Multiplicar hace siempre el resultado más grande? 4 × 8 = 32 4 × 4 = 16 4 × 2 = 8 4 × 1 = 4 4 × 1/2 = 4 × 1/4 = 4 × 1/8 =


Fracciones con tiras de múltiplos Pega en un cartón y recorta las tiras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

5 10 2515 20 30 35 40 45 50 55

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

108

96

84

72

60

48

36

24

12


TEMA: Fracciones Equivalentes. Suma de fracciones. (Basado en actividades desarrolladas en parte por Francisco Mirabal) INTRODUCCION: Las fracciones nos sirven para representar partes de conjuntos o partes de objetos. En esta actividad usaremos un modelo manipulativo para sumar fracciones.Lo haremos mediante fracciones equivalentes, es decir fracciones que representen la misma parte. MATERIAL: Hojas de actividades. Tijeras, Pegamento, 1/8 de Cartulina PREPARACION: Pega la hoja de material recortable en la cartulina. Recorta para obtener las tiras de múltiplos. DESARROLLO: Usando las dos tiras alineadas por el extremo izquierdo, obtienes fracciones equivalentes entre sí. Por ejemplo con las tiras de múltiplos de 4 y de 5, puedes ver que: 4/5 = 24/30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

5 10 2515 20 30 35 40 45 50 55 60

Usando las tiras de múltiplos de 8 y de 9, puedes ver que : 8/9 = 56/63

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

Verifica con tus tiras los ejemplos anteriores. Usa las tiras para obtener 2 fracciones equivalentes en los ejercicios propuestos a continuación. Escríbelas a la derecha de cada ejercicio. 1. 3/5 = 2. 7/4 = 3. 3/6 = 4. 2/9 = 5. 5/3 = 6. 1/7 = Como ya sabes obtener fracciones equivalentes con las tiras, las usaremos ahora para realizar algunas operaciones.


Para sumar 2 / 3 y 5 / 7 preparamos dos pares de tiras que representan estas fracciones. En la parte superior representamos la primera fracción y en la parte inferior la segunda. Buscamos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones propuestas, de tal manera que ambas tengan el mismo denominador.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

5 10 2515 20 30 35 40 45 50 55 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84

Las fracciones buscadas son 14 / 21 y 15 / 21. Verifícalo con tus tiras. Por lo tanto 2 / 3 + 5 / 7 = 14 / 21 + 15 / 21 = 29 / 21. Realiza ahora los siguientes ejercicios, empleando las tiras. Anota tus respuestas: 1. 3/5 + 1/4 = 2. 1/3 + 2/5 = 3. 1/5 + 5/7 = 4. 2/5 + 1/4 = 5. 3/2 + 4/3 = 6. 3/7 + 1/3 = 7. 1/9 + 3/10 = 8. 3/8 + 5/9 = 9. 2/9 + 1/7 = 10. 4/3 + 6/5 = CONCLUSIONES: 1. Has aprendido que al recorrer simultáneamente las dos tiras que representan una fracción, estás múltiplicando por un mismo número tanto el numerador como el denominador. Por esta razón obtienes fracciones equivalentes. 2. Sabes que al sumar fracciones con el mismo denominador, sólo sumas los numeradores, y el denominador es el mismo, mientras que cuando los denominadores son distintos, sustituyes las fracciones originales por dos equivalentes con el mismo denominador. Esto lo has hecho con las tiras y precisamente determinas el mínimo común múltiplo de los denominadores.


Práctica interesante Completa el cuadrado

a) Completa el cuadrado. Suma los números a la izquierda del cuadrado vacío o los dos de arriba. El número en la esquina de abajo a la derecha debe ser igual a la suma de los dos números de arriba o los dos números a su izquierda.

b) Completa el cuadrado como se indica en el siguiente ejemplo.

Dos problemas con fracciones Problema 1


Completa el cuadrado. El número en la esquina de abajo a la derecha debe ser igual a la suma de los dos cuadrados arriba o los dos dos a su izquierda. Un número a la derecha de la doble barra (o debajo) es la suma de los dos números a su izquierda (o arriba). Problema 2

Llena con las fracciones (usa todas)

de modo que cada renglón, columna y diagonal sume uno.

Encuentra el camino de modo que la suma sea lo menor posible

META

SALIDA


Encuentra el camino de modo que el producto sea tan grande como sea posible.

METASALIDA


Gráficas de fracciones Adaptado de Activity cards- graphing fractions. Mathematics Resource Project. (Idea original The School Mathematics Project Book B, Cambridge University Press.)

!

! Grafica las siguientes fracciones:

a) 23

b) 611

c) 73

d) 88

e) 25

f) 46

g) 37

h) 14

i) 28

j) 69


! Grafica las siguients fracciones

a) 12

b) 24

c) 36

d) 48

e) 510

f) 612

¿Qué notas en la gráfica de estas fracciones? ¿Son todas las fracciones equivalentes?

!


En la gráfica todas las fracciones deben estar en una línea recta. ¿Están?

Usa el papel cuadriculado para encotrar siete fracciones equivalentes a 23

.

! Se puede usar una regla para ordenar las fracciones de la más grande a la más pequeña. ¿Sabes cómo? Usa el papel cuadriculado y una regla rotante para ordenar las siguientes fracciones de la más grande a la más pequeña.

! Referencia Number sense and arithmetic skills. Mathematics Resource Project. Creative Publications, 1977.


Fracciones decimales. Decimales con bloques Un plano es 1

Una barra es 1/10 Un cubito es 1/100 1/10 también se escribe como 0.1, 1/100 también se escribe como 0.01 Describe la relación entre 0.1 y 1, primero verbalmente, después con símbolos. Muestra que 1 = 10 × 1/10, y que 1 = 100 × 1/100 Esto es, 1 = 10 × 0.1 = 100 × 0.01 Describe la relación entre 0.01 y 0.1 verbalmente y después con símbolos Muestra que 0.1 = 10 × 0.01 Representa los números 0.8 0.05 0.25 0.40 1.32 1.02 1.2 1.20 Representa lo que pasa cuando multiplicas un decimal como 0.25 por diez. Representa 0.25 en la tabla de valor posicional. Marca con un objeto el lugar del punto decimal. ¿Qué sucede con cada cubito cuando lo multiplicas por diez? ____________________ ¿Qué sucede con cada barra cuando la multiplicas por diez? _____________________ Representa el resultado de multiplicar 0.25 por diez. ¿Qué pasa con el objeto que representa el punto decimal? _________________ ¿Se movió el punto decimal un lugar a la derecha?


0.25

2.5

1 0.1 0.01

División con decimales 1 ÷ 0.25 ¿Cuántos grupos de 0.25 puedes acomodar en 1. Representa los siguientes problemas 0.4 ÷ 0.2 0.2 ÷ 0.05 1 ÷ 0.1 1 ÷ 0.01 1 ÷ 0.04 1.2 ÷ 0.4 0.12 ÷ 0.04 Multiplicación con decimales 0.1 × 2 significa 1/10 × 2 1/10 de 2


Representa con bloques 0.1 × 0.5 Puedes interpretar este problema como 1/10 de 0.5,ó puedes pensarlo como la mitad de 0.1. 0.2 × 0.5 2/10 de 0.5 0.2 × 0.6 Usa el modelo de área para la multiplicación de decimales. Un cuadrado que tiene área 1, tiene un lado de longitud 1.

1

1

Una tira que tiene un área 1/10, y cuya longitud es 1, tiene un ancho de 1/10

1 110

1

0.1

¿Cuáles son las dimensiones de un cuadrado que tiene área 1/100?

110 110

0.10.1

Representa 1 × 0.3 usando el modelo de área.

310

1

1

0.3

Representa 0.3 × 0.2 usando el modelo de área 0.3

0.2


Otra representación 0.4 × 0.3

0.3 0.4 3/10 × 4 /10 =12/100 0.3 × 0.4 = 0.12 Explica con tus propias palabras qué representa el área que esta sombreada doble. ¿Cómo se relaciona con el producto de los dos decimales dados? Representa 1.3 × 1.2 como un área.

Relaciona cada paso del siguiente algoritmo de papel y lápiz con la representación con bloques. 1.3 × 1.2 0.06 0.2 0.3 1 1.56 Decimales y valor posicional 1 = 10 /10 = 10 × 1/10


1/10 = 10/100 = 10 × 1/100 1/100 = 10/1000 = 10 × 1/1000 Las fracciones 1, 1/10, 1/100, 1/1000, ... se relacionan de la siguiente manera: cada una es diez veces más grande que la siguiente a la derecha, cada una es diez veces menor que la de la izquierda. Tienen el mismo tipo de relación que ... 1000, 100, 10, 1 Podemos utilizar esta idea en nuestro sistema de numeración posicional decimal. El valor de un dígito está dado por su posición: 234 = 2 × 100 + 3 × 10 + 4 x 1 Si extendemos esta idea: 137.12 100 10 1 1/10 1/100 1 3 7 1 2 El punto decimal se utiliza para indicar dónde se encuentra la unidad. 137.12 = 1 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1 + 1 × 1/10 + 2 × 1/100 1/10 + 2/100 = 10/100 + 2/100 = 12/100 0.12 = 1/10 + 2/100 = 12/100 0.028 = 0 × 1/10 + 2/100 + 8 /1000 = 20/1000 + 8/1000 = 28/1000 Los decimales, al igual que las fracciones se pueden escribir de formas equivalentes 7/10 = 70/100 = 700/1000 0.7 = 0.70 = 0.700 = Convertir fracciones a decimales 3/4 = 3÷4 = 0.75 Usa tu calculadora 1/2 = 1 ÷ 2 = 0.5 3/8 = 3÷8 = 0.375 Convertir expansiones decimales finitas a fracciones. 0.125 = 125/1000 Puedes simplificar 125/1000 = 25/200 = 5/40 = 1/8. Por lo tanto 0.125 = 1/8 0.74 = 74/100 = 37/50 0.25 = 25/100 = 5/20 = 1/4 0.128 = 128/1000 = 64/500 = 32/250 = 16/125 Algunas fracciones tienen expansiones decimales infinitas 1/3 = 0.33333333... 2/3 = 0.66666666... Una calculadora redondeará generalmente, por ejemplo con Math Explorer 2/3 = 0.6666667


Referencias Cramer, K. & Bezuk, N. (1991). Multiplication of fractions: Teaching for understanding.

Arithmetic Teacher, 39(Nov.), 34-37. Bezuk, N. S. & Armstrong, B. (1993). Understanding division of fractions. Mathematics

Teacher, 86(1), 43-46, 56-60.

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