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Presentacin de la unidad

Los alumnos y las alumnas que llegan a este curso lo hacen con una gran cantidad de conocimientos sobre los nmeros, sus usos y su operatoria: conceptos, procedimientos, destrezas, junto a errores, frustraciones y, acaso, un cierto aburrimiento de volver una y otra vez a las mismas cosas. Con esta unidad se pretende asentar y reforzar muchos de estos conocimientos, profundizar en algunos y darles sentido prctico a todos ellos. Y, si fuera po-sible, aportar al alumnado confianza y buena disposicin de ni-mo para estas tareas.

Las fracciones, su significado y su uso suele ser algo razonable-mente aprendido en este nivel. No as su operatoria, en la que siguen apareciendo gran cantidad de deficiencias. Comenzare-mos, de todos modos, revisando el concepto de fraccin para, apoyndonos en l, construir el de nmero racional.

Recordaremos el concepto de fraccin como operador. Los estu-diantes suelen calcular sin dificultad la fraccin de una cantidad, pero conviene insistir en el proceso inverso: calcular la cantidad total, conociendo la parte.

Repasaremos tambin los conceptos relativos a las fracciones equivalentes y sus propiedades, asegurando la comprensin y el manejo gil de la reduccin a comn denominador. Se sugiere aqu alternar el clculo mental en los casos sencillos, con el cl-culo escrito cuando se manejan nmeros grandes.

El paso de fraccin a decimal, y viceversa, especialmente el paso de decimal peridico a fraccin, es uno de los contenidos tpicos de este curso. Volveremos a encontrarnos con l en la unidad 4 (progresiones).

La peculiaridad (como fracciones, como decimales) de los nme-ros racionales, as como la existencia de irracionales, completan el tratamiento terico.

Es muy importante insistir y fomentar el clculo mental, tanto con los nmeros decimales como con los fraccionarios, que tan-to ayuda a desarrollar la agilidad mental y la confianza.

La mayora de los alumnos y las alumnas ya habrn utilizado una calculadora, pero este es el momento en que deben conocerla en profundidad, empezando por los usos ms elementales, y va-lorar su enorme potencial en el complejo tratamiento de fraccio-nes y nmeros mixtos.

1 Fracciones y decimales

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Esquema de la unidad

NMEROS RACIONALES

El resultado deSUMARRESTAR

MULTIPLICARnmeros enteros es otro nmero entero.

El resultado deSUMARRESTAR

MULTIPLICARDIVIDIR (salvo por 0)

nmeros racionales es otro nmero racional.

complementar a los nmeros enteros,

formando el conjunto de los nmeros

racionales.

pueden ser

pueden ser

sirven para

sirven para

y tambin para

siempre que seanse operan se operan

se pueden expresar

decimales exactos o

decimales peridicos

ENTEROS

NATURALES

FRACCIONARIOS

ENTEROS NEGATIVOS

CONTAR NUMERAR

Complementan a los naturales.

designar partes de la unidad

Como fracciones Como nmeros decimales

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Conocimientos mnimos

Consideramos que, como mnimo, los estudiantes deben aprender lo siguiente:

Manejo diestro de las fracciones: operatoria y uso.

Paso de fracciones a decimales. Distincin de tipos de decimales.

Expresin de un decimal exacto como fraccin.

Resolucin de problemas aritmticos usando las fracciones co-mo operadores y las operaciones con fracciones.

Conocimiento de la calculadora y su utilizacin de forma sensata (con oportunidad y eficacia).

Complementos importantes

Representacin de nmeros fraccionarios en la recta.

Tcnica para pasar a fraccin un nmero decimal peridico.

Reconocimiento de nmeros no racionales.

Anticipacin de tareas

Revisar el conocimiento de la prioridad de las operaciones y el uso del parntesis.

Comparar expresiones muy sencillas variando la posicin del pa-rntesis.

Mostrar distintos tipos de calculadoras.

Recordar los conceptos y procedimientos bsicos de la divisibilidad.

Repasar algunas tcnicas bsicas para el clculo mental.

Adaptacin curricular

En la parte de Recursos fotocopiables se ofrece una adaptacin curricular de esta unidad 1 del libro del alumnado, para cuya ela-boracin se han tenido en cuenta los conocimientos mnimos que aqu se proponen.

La lectura inicial servir para ejercitar la comprensin lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemti-cas: el prctico y el intelectual.

Los contenidos, si se adaptan a esos mnimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prcticos que se proponen.

Si algn contenido supera los mnimos exigibles, o bien se ha supri-mido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.

Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluacin.

APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRTICO

Pg. 14. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Pg. 18. Desarrollo terico (*) Pg. 12. Actividad 1 (*)

Pg. 21. Actividades de la pgina (*) Pg. 18. Actividad 1 (*)

Pg. 19. Desarrollo terico (*)

Pg. 19. Actividad 4 (*)

Pg. 20. Ejercicios resueltos (*)

INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Pg. 11. Actividad sugerida en esta P.D.

Pg. 10. Actividad suge-rida en esta P.D.

Pg. 10. Actividad sugerida en esta P.D. (*)

Todos los problemas propuestos en el L.A. estn en-cuadrados en este apartado. Aqu se sealan algu-nos que tienen especial inters.

Pg. 24. Actividad Infrmate (*)

Pg. 18. Piensa y practi-ca (*)

Pg. 11. Resuelve (*) Pg. 15. Piensa y practica (*)

Pg. 19. Piensa y practi-ca (*)

Pg. 18. Actividad 2 (*) Pg. 22. Resuelve problemas (*)

Pg. 23. Reflexiona sobre la teora (*) Pg. 23. Problemas + (*)

Pg. 24. Actividad Lee, reflexio-na y deduce (*) Pg. 25. Entrnate resolviendo problemas

(*)

En la siguiente tabla se recoge una relacin de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-miento comprensivo, el pensamiento crtico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolucin de pro-blemas. Unas estn propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aqu se hace referencia a ellas indicando la pgina y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didctica (P.D.).

Una seleccin de estas sugerencias estn marcadas en el libro del alumnado con un icono; aqu se han marcado con (*).

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1110

1 Fracciones y decimales

Resuelve

1. Expresa 73 como lo hara un escriba en el antiguo Egipto.

2. Expresa en forma decimal el nmero que ves debajo, escrito por un matemtico italiano del siglo xv:

3;8,29,44Es ese algn nmero significativo en matemticas? Cul?

3. Cmo escribiras en la tabla de arriba los nmeros 780, 3/5 y 1,6?

4. Qu nmeros ves en esta tablilla?

El sistema sexagesimal de los babilonios

Para entender cmo escriban los nmeros en la antigua Mesopotamia, sobre tablillas de arcilla, observa la siguiente tabla con algunos ejemplos, en la que se muestran los rdenes de unidades sexagesimales:

602 60 1 1/60 1/602

3 600 1 + 60 16 + 24 = 4 584

,6024

52 0 4= =

1 + 6024 = 1,4

? = 1,4125

Observa que este sistema solo empleaba dos signos ( = 10 y = 1). Con ellos se escri-ban los nmeros del 1 al 59. Y estos nmeros, segn la posicin en que se colocaban, multiplicaban su valor por 1, por 60, por 602 o bien por 1/60, por 1/602 (sistema posicional).

Paso de fracciones sexagesimales a forma decimal

Para traducir a forma decimal un nmero expresado en notacin sexagesimal, basta con operar como sabemos. Observa:N = 1;24,45 (forma sexagesimal)

N = 16024

6045 1 5

2801

2+ + = + + = 1 + 2 : 5 + 1: 80 = 1,4125 (Forma decimal)

Uso de fracciones sexagesimalesEn la antigua Mesopotamia escriban los nmeros en el sistema sexagesi-mal. Y para expresar partes de la unidad usaron fracciones sexagesimales: con denominador igual a una potencia de base 60.

As, para expresar 25 ponan 2460

, y para 801 ,

3 60045 .

A pesar de que el sistema de numeracin decimal se usaba en Occidente desde el siglo viii en los nmeros enteros, para expresar las partes de la unidad se recurra a las fracciones sexagesimales. Por ejemplo, para escribir

1,4125 ponan 1;24,45, que signi caba 1 + 6024 +

6045

2 .

Uso de fracciones unitariasLos egipcios (siglo xvii a. C.) utilizaban las fracciones unitarias; es decir, las

que tienen por numerador la unidad. Por ejemplo, para expresar 25 ponan 1

31

15+ .

Y an en el siglo xiii, Fibonacci (Pisa, Italia), aunque conoca y manejaba las fracciones ordinarias, segua usando las unitarias.

Uso de los decimalesNo fue hasta nales del siglo xvi cuando se populariz el uso de los de-cimales para expresar partes de la unidad. El francs Vieta y el amenco Stevin fueron los principales impulsores del cambio.

Reproduccin de la Puerta de Ishtar, una de las entradas a la antigua ciudad de Babilonia (Irak).

En el Obelisco de Lxor (Tebas, Egipto) aparecen representados nmeros egipcios.

Tablilla de contabilidad mesopotmica datada hacia el 2630 a. C.

Al iniciar la unidad Es interesante que las alumnas y los alumnos conozcan los distintos usos

de los nmeros fraccionarios y decimales en algunas de las antiguas ci-vilizaciones y reflexionen sobre la fuerza que tiene la costumbre y la tra-dicin para impedir o dificultar el prog