Fracciones y numeros decimales 4º docente

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    MatemticaFracciones

    y nmeros decimales

    Apuntes para la enseanza

    bierno de la Ciudad de Buenos Aires

    c r e t a r a d e E d u c a c i n

    eccin General de Planeamiento

    r e c c i n d e C u r r c u l a

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    Matemtica

    Fraccionesy nmeros decimales. 4 gradoApuntes para la enseanza

    Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires . Ministerio de Educacin .

    Direccin General de Planeamiento . Direccin de Currcula

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    ISBN 987-549-280-9 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresMinisterio de EducacinDireccin General de PlaneamientoDireccin de Currcula. 2005

    Hecho el depsito que marca la Ley n 11.723

    Paseo Coln 255. 9 piso.CPAc1063aco. Buenos Aires

    Correo electrnico: [email protected]

    Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;

    si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin a la Direccin deCurrcula. Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

    Matemtica, fracciones y nmeros decimales 4to grado : apuntespara la enseanza / dirigido por Cecilia Parra - 1a ed. -Buenos Aires : Secretara de Educacin - Gobierno de laCiudad de Buenos Aires, 2005.40 p. ; 28x22 cm. (Plan plurianual para el mejoramiento de laenseanza 2004-2007)

    ISBN 987-549-280-9

    1. Educacin-Planes de Estudio I. Parra, Cecilia, dir.CDD 372.011

    Tapa: Laberinto de luz en la recova, de Miguel ngel Vidal, pintura acrlica, 1979 (fragmento).

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    GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES

    Jefe de Gobierno

    ANBAL IBARRA

    Vicejefe de Gobierno

    JORGE TELERMAN

    Secretaria de Educacin

    ROXANA PERAZZA

    Subsecretaria de Educacin

    FLAVIA TERIGI

    Directora General

    de Educacin

    HAYDE CHIOCCHIO DE CAFFARENA

    Directora General

    de Planeamiento

    FLORENCIA FINNEGAN

    Directora General

    de Educacin Superior

    GRACIELA MORGADE

    Directora

    de Currcula

    CECILIA PARRA

    Director de rea

    de Educacin Primaria

    CARLOS PRADO

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    "Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza 2004-2007"

    Direccin de CurrculaDireccin: Cecilia Parra.Coordinacin de rea de Educacin Primaria: Susana Wolman.Colaboracin en rea de Educacin Primaria: Adriana Casamajor.Coordinacin del rea de Matemtica: Patricia Sadovsky.

    MATEMTICA. FRACCIONES Y NMEROS DECIMALES. 4GRADO. APUNTES PARA LA ENSEANZACOORDINACIN AUTORAL: PATRICIA SADOVSKY.

    ELABORACIN DEL MATERIAL: CECILIA LAMELA YDORA CARRASCO.

    sobre la base de: Hctor Ponce y Mara Emilia Quaranta. Matemtica. Grado de Aceleracin 4- 7.Material para el alumno. Material para el docente. 2003/2004. (Programa de reorganizacin de lastrayectorias escolares de los alumnos con sobreedad en el nivel primario de la Ciudad de Buenos Aires,Proyecto conformacin de grados de aceleracin.)

    EDICIN A CARGO DE LA DIRECCIN DE CURRCULA.

    Coordinacin editorial: Virginia Piera.Coordinacin grfica: Patricia Leguizamn.Diseo grfico y supervisin de edicin: Mara Laura Cianciolo, Alejandra Mosconi, Patricia Peralta.Ilustraciones: Andy Crawley. Gustavo Damiani.

    Edicin digital: Mara Laura Cianciolo.

    Apoyo administrativo y logstico: Gustavo Barja, Olga Loste, Jorge Louit, Miguel ngel Ruiz.

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 7

    Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    ACTIVIDAD 1. Diversas situaciones de reparto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    ACTIVIDAD 2. Componer una cantidad a partir de otrasexpresadas en fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    ACTIVIDAD 3.Utilizar fracciones para medir longitudes

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    27 ACTIVIDAD 4. Recapitulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    ACTIVIDAD 5. Clculos mentales con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    ACTIVIDAD 6. Comparacin de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    ACTIVIDAD 7. Fraccin de una cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    ACTIVIDAD 8. Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    ACTIVIDAD 9. Nmeros con coma. Equivalencias con dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    ACTIVIDAD 10. Recapitulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    ndice

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 9

    La Secretara de Educacin del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires se propo-ne en el marco de su poltica educativa desplegar una serie de acciones paraimpulsar el mejoramiento de la enseanza en el nivel primario. En pos de esepropsito pone en marcha, para el perodo 2004-2007, el "Plan Plurianual parael Mejoramiento de la Enseanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario" en lasescuelas de la Ciudad con los siguientes objetivos generales:

    Producir mejoras en la enseanza en el segundo ciclo de la escuela primariacolocando, sucesivamente, reas y ejes dentro de stas como motivo centralde los intercambios y de los esfuerzos compartidos.

    Promover debates sobre cules son las condiciones pedaggicas adecuadaspara asegurar los aprendizajes buscados en las reas y los ejes seleccionados.

    Construir una visin compartida sobre los aprendizajes centrales que laescuela primaria debe garantizar para todos los alumnos y alumnas, y sobrelas condiciones de enseanza que permiten su logro programacin, modali-dades, recursos, entre otros.

    Instar a un trabajo institucional que permita articular un proyecto comn enel que se inserten las responsabilidades de cada docente supervisores, direc-tivos y maestros y cobren sentido las experiencias formativas de los alumnos.

    Contribuir en la construccin y la difusin de herramientas conceptuales ymetodolgicas que permitan realizar, para cada rea, el seguimiento y losreajustes necesarios en funcin de la continuidad y la progresin de laenseanza a lo largo del segundo ciclo.

    Asimismo, la Secretara de Educacin asume el compromiso de proveer

    recursos de enseanza y materiales destinados a maestros y alumnos. Por tanto,se presentan a la comunidad educativa las siguientes publicaciones para el tra-bajo en el aula en las reas de Matemtica y Prcticas del Lenguaje.

    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales integra un conjunto de docu-mentos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el tra-tamiento didctico de los nmeros racionales contemplando el complejo proble-ma de su continuidad y profundizacin a lo largo del ciclo. La serie se compone

    Presentacin

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    de Apuntes para la enseanza,* destinados a docentes de 4, 5, 6 y 7 grados, yde Pginas para el alumno. Cada documento de Apuntes para la enseanzaestorganizado en actividades que implican una secuencia de trabajo en relacin conun contenido. En cada actividad, los docentes encontrarn una introduccin altema, problemas para los alumnos, su anlisis y otros aportes que contribuyen ala gestin de la clase. En Pginas para el alumnose presentan esos problemas.

    La eleccin de nmeros racionales obedece como puede leerse en la"Introduccin" de Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. Apuntes para laenseanza a varias razones: es un campo de contenidos complejos, ocupa unlugar central en la enseanza en segundo ciclo, y la propuesta formulada en elDiseo Curricular para la Escuela Primaria 2004** plantea modificaciones almodo en el que se concibi su tratamiento didctico en la escuela durantemucho tiempo. Por ello, se requieren para su enseanza materiales ms cercanosal trabajo del aula y que puedan constituir un aporte para abordar su articula-cin y evolucin a lo largo del ciclo.

    La presentacin de los documentos correspondientes al rea Prcticas del

    Lenguaje tiene por objetivo alentar la lectura de novelas en el segundo ciclo. Laserie se inicia con Robin Hoody El diablo en la botella. Acompaando las nove-las que llegarn a las escuelas, los maestros dispondrn de Orientaciones para eldocentey los nios, de Pginas para el alumno, en los cuales se ofrece informa-cin sobre el tiempo histrico en el que ocurren los hechos narrados en cadanovela, las realidades de las regiones a las que alude el relato, su autor en el casode El diablo en la botella. La propuesta ofrece a los alumnos la oportunidad deenfrentarse simultneamente a un texto narrativo extenso y a diversos textosinformativos artculos de enciclopedia, esquemas con referencias, notas al piey varios epgrafes.

    Los documentos son concebidos como recursos disponibles para el equipo

    docente, que es quien decide su utilizacin. Los materiales de Prcticas delLenguaje se incorporan a la biblioteca de la escuela para facilitar que los docen-tes dispongan de ellos cuando lo prefieran. En el caso de Matemtica, todos losdocentes de segundo ciclo que trabajan esta rea recibirn Apuntes para la ense-anzay podrn solicitar los materiales para entregar a los alumnos.

    Las decisiones que los docentes tomen sobre el uso de estos materiales y elanlisis de sus efectos sern insumos para reflexionar acerca de la enseanza.Deseamos reiterar la importancia de que hagan llegar, por los diversos medioshabilitados (reuniones, correo electrnico), todos sus comentarios y sugerenciassobre los materiales. Esto permitir su mejoramiento, a favor de su efectiva uti-lidad en las escuelas y las aulas, y puede representar tambin oportunidades de

    dilogo en torno a las preocupaciones y los proyectos compartidos.

    * En la introduccin de estos documentos se explicitan posibilidades de opcin en cuanto a la solicitud y lasecuenciacin de los materiales para los alumnos, ordenados por complejidad ms que por su determinacinestricta para un grado. Por ejemplo, lo propuesto para 4 puede ser utilizado a inicios de 5 o lo propuestopara 6 extendido a 7 grado.** G.C.B.A., Secretara de Educacin, Subsecretara de Educacin, Direccin General de Planeamiento, Direccinde Currcula. Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Primer ciclo de la Escuela Primaria / Educacin GeneralBsica, 2004 y Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Segundo ciclo de la Escuela Primaria / EducacinGeneral Bsica, 2004, tomos 1 y 2.

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    Introduccin

    Desde que el Pre Diseo Curricular1 para el segundo ciclo comenz a difundirse,muchos docentes han planteado la necesidad de contar con materiales ms di-rectamente vinculados al trabajo del aula que los ayuden a interpretar los linea-mientos curriculares. Dichos lineamientos tienen actualmente plena vigencia a

    raz de la aprobacin del Diseo Curricular para la Escuela Primaria,2 primero ysegundo ciclo.

    Muchos docentes reconocen que las propuestas de cambio curricular en laCiudad de Buenos Aires apuntan a enriquecer la experiencia educativa de losalumnos, al tiempo que solicitan "mediaciones" entre esas formulaciones y lasprcticas del aula.

    Por otro lado, en el marco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la en-seanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario, se ha identificado la dificultadde elaborar proyectos de enseanza que articulen el trabajo matemtico de unao a otro y hagan crecer la complejidad de contenidos que atraviesan el ciclo.

    La serie de documentos "Matemtica. Fracciones y nmeros decimales en el

    segundo ciclo" responde tanto a la voluntad de desplegar la propuesta del Dise-o Curricularcomo a la de ofrecer herramientas para abordar la planificacin yel desarrollo de la enseanza en el segundo ciclo en orden a una complejizacincreciente.

    Entre las diversas maneras en que se busca fortalecer a los equipos docen-tes, se opt, en este caso, por la elaboracin de Apuntes para la enseanzaconpropuestas analizadas y acompaarlas con Pginas para el alumnoen las que seincluyen los problemas seleccionados.

    Al presentar estas secuencias, la intencin es contribuir a mostrar cmopueden los maestros hacer evolucionar la complejidad de los contenidos que seproponen, ayudando a los alumnos a tejer una historia en la que puedan trans-

    formar su pasado escolar lo ya realizado en una referencia para abordarnuevas cuestiones, al tiempo que cobran conciencia de que progresan y de queson capaces de enfrentar cada vez asuntos ms difciles (esto antes no lo sabay ahora lo s).

    Disponer de secuencias de enseanza en las que se encara tanto el tratamien-to didctico de uno de los sentidos de un concepto para los distintos grados delciclo como de distintos sentidos de un concepto para un mismo grado, puedeconstituir un aporte para enfrentar el complejo problema de la articulacin y laevolucin de los contenidos a lo largo del ciclo.

    1 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, PreDiseo Curricular para laEducacin General Bsica

    (Educacin Primaria y Me-

    dia, segn denominacin

    vigente), 1999.2 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, Dise-o Curricular para la Es-

    cuela Primaria, primero ysegundo ciclo, 2004.

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    Por otro lado, los docentes encontrarn en estos materiales situaciones derepaso en las que se invita a los alumnos a revisar un tramo del recorrido esco-lar, proponindoles una reflexin sobre el mismo que ponga a punto su entra-da en un nuevo tema. Tambin son numerosas las apelaciones a hacer sntesis ya plantear conclusiones a propsito de un conjunto de problemas. Tal vez al prin-cipio estas conclusiones estn muy contextualizadas en los problemas que les

    dieron origen, ser tarea del maestro hacer que se les atribuya un carcter cadavez ms general. El alumno debe intervenir en el trabajo de articulacin de lasdiferentes zonas del estudio de los nmeros racionales; para que pueda hacerlo,el maestro debe convocarlo explcitamente a esa tarea y contribuir con l en surealizacin.

    El material est organizado en actividades, cada una es una secuencia detrabajo que apunta a un contenido y que incluye varios problemas. En general sepresenta una introduccin sobre los asuntos en juego en la actividad, se propo-nen problemas para los alumnos y se efecta un anlisis de los mismos donde seofrecen elementos para la gestin del docente. Muchas veces se sugieren, comoparte del anlisis de las secuencias, cuestiones nuevas para plantear a los alum-

    nos. Es decir, el trabajo realizado por los alumnos en un cierto tramo ofrece uncontexto para abordar cuestiones ms generales que no tendran sentido si di-chas actividades no se llevaran a cabo. Tomar como objeto de trabajo una se-rie de problemas ya realizados, analizarlos y hacerse preguntas al respecto da lu-gar a aprendizajes diferentes de los que estn en juego cuando el alumno resuel-ve un problema puntual.

    A continuacin se informa sobre la disponibilidad de los materiales para lue-go fundamentar por qu se ha elegido el campo de los nmeros racionales parainiciar esta modalidad de produccin.

    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales se compone de Apuntes pa-ra la enseanza(4, 5, 6 y 7 grado) destinado a los docentes y Pginas para el

    alumno(4, 5 y 6 grado). Apuntes para la enseanzase entrega a los maestrosde acuerdo con el grado en que se desempean; una vez que el equipo docentedecide desarrollar las propuestas, solicita la cantidad de ejemplares necesariosde Pginas para el alumno. Este material, que se presenta con el formato de ho-

    ja de carpeta, ser entregado a cada alumno para que trabaje en l.El docente habr advertido que los materiales estn organizados por grado,

    sin embargo no necesariamente deben ser empleados segn dicha corresponden-cia. Se sugiere que el equipo docente analice todo el material y decida su utili-zacin ya sea tal como se presenta o bien segn sus criterios y la historia de en-seanza que se viene desplegando. En este sentido, pueden elegir materiales co-rrespondientes a dos aos para ser empleados por el mismo grupo de alumnos.

    Por ejemplo, para los alumnos de 6 grado se podrn solicitar tanto Pginas pa-ra el alumnocorrespondientes a 5 como a 6 grado; o bien, las actividades quese presentan en Pginas para el alumnocorrespondiente a 6 pueden ser inclui-das o retomadas en 7. Es decir, no habr inconveniente en que los maestros so-liciten materiales correspondientes a dos grados para sus alumnos.

    En Apuntes para la enseanza, 7 grado, se incluyen actividades a realizarpor los alumnos. Sin embargo, stas no han sido impresas en forma independien-te sino que constituyen opciones posibles cuya inclusin depende de la planifi-cacin y del balance que los docentes de 7 hagan entre los muchos temas im-portantes del ao.

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    3 Para ampliar los diferen-tes sentidos de las fraccio-nes, vase Matemtica,Documento de trabajo n 4,Actualizacin curricular,G.C.B.A., Secretara de Edu-cacin, Direccin Generalde Planeamiento, Direccinde Currculum, 1997.

    POR QU UNA PROPUESTA SOBRE NMEROS RACIONALES?

    En primer lugar, se trata de un campo de contenidos complejo, cuya elaboracincomienza en cuarto grado y contina ms all de la escuela primaria, que supo-ne rupturas importantes con las prcticas ms familiares que los alumnos des-plegaron a propsito de los nmeros naturales.

    Como se explicita en el Diseo Curricular para la Escuela Primaria, segundociclo:

    El estudio de los nmeros racionales escritos en forma decimal o fracciona-

    ria ocupa un lugar central en los aprendizajes del segundo ciclo. Se trata tanto

    para los nios como para los maestros de un trabajo exigente que deber desem-

    bocar en un cambio fundamental con respecto a la representacin de nmero que

    tienen los nios hasta el momento. Efectivamente, el funcionamiento de los n-

    meros racionales supone una ruptura esencial con relacin a los conocimientos

    acerca de los nmeros naturales: para representar un nmero (la fraccin) se uti-

    lizan dos nmeros naturales, la multiplicacin no puede salvo cuando se multi-

    plica un natural por una fraccin ser interpretada como una adicin reiterada,en muchos casos el producto de dos nmeros es menor que cada uno de los fac-

    tores, el resultado de una divisin puede ser mayor que el dividendo, los nmeros

    ya no tienen siguiente...

    Por otra parte, como ocurre con cualquier concepto matemtico, usos dife-

    rentes muestran aspectos diferentes.3 Un nmero racional puede:

    ser el resultado de un reparto y quedar, en consecuencia, ligado al co-

    ciente entre naturales;

    ser el resultado de una medicin y, por tanto, remitirnos a establecer una

    relacin con la unidad;

    expresar una constante de proporcionalidad; en particular esa constantepuede tener un significado preciso en funcin del contexto (escala, porcentaje,

    velocidad, densidad...);

    ser la manera de indicar la relacin entre las partes que forman un todo;

    etctera.

    Se considera entonces necesario contribuir con los docentes en la organiza-cin de esta complejidad, proponiendo un desarrollo posible.

    En segundo lugar, el Diseo Curricular plantea modificaciones al modo enque por aos se concibi el tratamiento de los nmeros racionales en la escue-

    la. A qu tipo de cambios respecto de lo tradicionalmente instituido nos esta-mos refiriendo?

    Al organizar los contenidos por tipos de problemas que abarcan distintossentidos del concepto (reparto, medicin, proporcionalidad, etc.), el Diseo Cu-rricularpropone que se aborden en simultneo asuntos que usualmente apare-can segmentados en el tiempo o, incluso, distribuidos en aos diferentes de laescolaridad.

    Por ejemplo, se inicia el estudio de los nmeros racionales (las fracciones)a partir del concepto de divisin entera, proponiendo que los alumnos sigan

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    repartiendo los restos de una divisin y cuantifiquen dicho reparto. Al dejarabierta la posibilidad de que el reparto se realice de distintas maneras, muchosalumnos fraccionan lo ya fraccionado y luego enfrentan el problema de cuanti-ficar esa accin. Adems, los diversos modos de hacer los repartos que surgen enla clase, dan sentido a plantear la necesidad de establecer la equivalencia entrelos nmeros que representan esos repartos. Fraccin de fraccin y equivalencia

    aparecen entonces de entrada, aunque esos asuntos no se traten de manera for-mal sino en el contexto en el que emergen. De modo que podramos decir: queel problema de hacer repartos y establecer su equivalencia problema que, co-mo antes se seal, se propone para abordar el estudio de las fracciones pone

    juntos los contenidos de divisin entera, fraccin, fraccin de fraccin, equiva-lencia y orden, al tiempo que el mismo problema ofrece un contexto que da pis-tas para que los alumnos puedan tratarlos. En este ltimo sentido, no diramos,por ejemplo, que la nocin fraccin de fraccin que surge de esta manera esexactamente la misma que la que se trata cuando el tema se propone aislada-mente. Aclaremos el alcance de lo que sealamos: de es, en cualquiercontexto, ; lo que estamos subrayando es que el modo en que se plantea la

    necesidad de realizar dicha operacin a partir de qu problemas, conociendoqu cuestiones otorgar diferentes sentidos a la misma, incluyendo en la idea desentido los elementos que tienen los alumnos para resolverla. Por otro lado, aun-que del problema del reparto equitativo surja la nocin de fraccin de fraccin,sta deber ser retomada en otros contextos, retrabajada, descontextualizada yformalizada. Esto demandar, sin duda, mucho tiempo: como todos sabemos, lasnociones no se aprenden de una vez y para siempre sino que necesitan ser trata-das una y otra vez en distintos mbitos y estableciendo relaciones entre ellas.

    Sera legtimo preguntarse muchos maestros lo preguntan: por qucomplicar las cosas, si el trabajo paso a paso da resultado? La pregunta remi-te nuevamente a la cuestin del sentido que estamos atribuyendo a la matem-

    tica en la escuela: desde nuestro punto vista, las nociones que estuvimos men-cionando (fraccin de fraccin, equivalencia, reparto equitativo) estn imbrica-das unas con otras; por eso, tratarlas juntas en un contexto particular permitearrancar el estudio de las fracciones con un conjunto ms amplio y ms slidode relaciones que se irn retomando con el tiempo. Tratar cada una de estas no-ciones de manera aislada puede ser en el momento ms fcil para los alumnos,pero, al ser tambin ms superficial, se torna menos duradera. Menos durade-ra porque olvidan fcilmente aquello que no aparece entramado en una organi-zacin donde las distintas nociones que componen un campo de conceptos serelacionan unas con otras. Detrs de la idea de lo fcil y lo difcil hay cues-tiones importantes para discutir respecto de la experiencia formativa que se pre-

    tende impulsar.Sintetizando: al organizar el trabajo sobre los nmeros racionales tomandocomo criterio los mbitos de funcionamiento del concepto (reparto, medicin,etc.), se modifica el orden de presentacin que siempre tuvieron las nociones queconforman el concepto. Aprovechemos para sealar que el paso del tiempo tor-na naturales ciertos ordenamientos de los contenidos escolares que en reali-dad fueron producto de decisiones que respondan a cierto proyecto educativo.Cuando se revisa el proyecto, lo natural es revisar tambin los rdenes y relacio-nes entre los contenidos.

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    Otro asunto que plantea el Diseo Curricularrespecto del tratamiento delos nmeros racionales y que se intenta plasmar en esta serie se refiere alpapel que se le otorga a las relaciones de proporcionalidad como contexto enla elaboracin de criterios para operar con fracciones y decimales. Efectiva-mente, en las Pginas para el alumno de sexto grado que integran esta seriese presentan situaciones de proporcionalidad directa donde hay que operar

    con fracciones y decimales antes de haber formalizado y sistematizado los al-goritmos correspondientes a dichas operaciones. La idea es que los alumnosresuelvan esas situaciones usando a veces de manera implcita las propie-dades de la proporcionalidad y que, una vez resueltas, puedan analizar lo he-cho y tomar conciencia de que en dicha resolucin estn involucrados clcu-los con fracciones y decimales. Disponer del resultado de un clculo sin co-nocer el algoritmo obliga a pensar cmo debe funcionar el algoritmo para ob-tener un resultado que ya se conoce. En algn sentido, se est invitando al si-guiente mecanismo productor de conocimiento: si este problema involucra elclculo x y yo ya resolv el problema y s que el resultado es , aho-ra me las tengo que arreglar para entender cmo funciona la multiplicacin

    de fracciones para que x sea . Obviamente no estamos esperan-do que los nios repitan frases de este tipo, s queremos comunicar que esemecanismo est presente en el tratamiento de las operaciones multiplicativascon fracciones y decimales; tenerlo en cuenta conlleva el doble propsito:ofrecer a los alumnos un camino para que elaboren estrategias y operen; y,de manera ms transversal, mostrar un mecanismo a travs del cual se pro-duce conocimiento matemtico.

    En tercer lugar, otra razn por las que se proponen materiales sobre los n-meros racionales: quisimos mostrar la potencia de este contenido para poner en

    juego aspectos del trabajo matemtico a los que les atribuimos un alto nivel for-

    mativo. Formular leyes para comparar nmeros, establecer la verdad o la false-dad de enunciados, analizar la equivalencia de expresiones numricas sin apelaral clculo efectivo, comparar diferentes procedimientos realizados por otros,delimitar el alcance de diferentes propiedades (esta regla vale en tales casos)son tareas que, al ubicar al alumno en un plano de reflexin sobre el trabajo lle-vado a cabo, le permiten comprender aspectos de la organizacin terica de ladisciplina, le posibilitan acceder a las razones por las cuales algo funciona de unacierta manera. Lograr que los alumnos adquieran cierto nivel de fundamentacinpara los conceptos y propiedades con los que tratan, es un propsito de la edu-cacin matemtica que la escuela tiene que brindar.

    CARACTERSTICAS DE LAS PROPUESTAS

    Las secuencias que se presentan no estn en general pensadas para que losalumnos resuelvan de manera inmediata la tarea que se les propone. S se espe-ra -cada vez- que puedan empezar a abordar, explorar, ensayar. En algunos ca-sos, podrn arribar a conclusiones de manera bastante autnoma y en otros re-

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    querirn de la ayuda del docente. Alentamos la tarea de exploracin como unmodo de formar a un alumno autnomo, que acepta el desafo intelectual, queelabora criterios para validar su propio trabajo.

    A propsito de algunos de los problemas, es probable que los alumnos evi-dencien cierta dificultad para entender con precisin qu es lo que se les pide.Puede ser que el docente interprete que el alumno no comprende la consigna.

    Sin embargo, la falta de comprensin de la consigna se vincula en general conel hecho de que la tarea en danza es conceptualmente nueva; por eso, entenderlo que se pide supone para los alumnos ampliar su perspectiva respecto de losconceptos involucrados en el problema. En esos casos seguramente sern nece-sarias explicaciones del docente que completen la formulacin escrita del pro-blema. Estas explicaciones son un modo de empezar a comunicar las nuevasideas que estn en juego.

    Se suele atribuir la falta de comprensin de las consignas a un tema extramatemtico (ms ligado al rea de Prcticas del Lenguaje). Sin embargo, estafalta de comprensin es, en general, matemtica: los alumnos no entiendenqu hay que hacer porque todava no conciben claramente en qu consiste la ta-

    rea en cuestin. Comprenderlo es parte del aprendizaje.Mucho se ha discutido si el docente debe o no intervenir en la tarea que rea-liza el alumno. Es claro que el docente debe ayudar al alumno que se encuentrabloqueado eso hace a la definicin del trabajo docente. Tal vez sea bueno ana-lizar que entre decir cmo es y no decir nada hay una gama importante deintervenciones que podran dar pistas a los alumnos para seguir sosteniendo sutarea. Conocer diferentes modos de abordar la tarea puede ayudar al docente aelaborar posibles intervenciones. sa es la razn por la cual, al analizar las se-cuencias propuestas en Apuntes para la enseanza, se incluyen posibles estrate-gias de los alumnos. La discusin de algunas de estas estrategias con el conjun-to de la clase podr enriquecer el contenido que se est tratando, aunque las

    mismas no hayan sido propuestas por los nios.Lograr que los alumnos entren en un trabajo matemtico ms profundoms enriquecedor, pero tambin ms difcil no es tarea de un da, es produc-to de una historia que se va construyendo lentamente en la clase. Los alumnosdeben sentir que se confa en ellos, que tienen permiso para equivocarse, que supalabra es tomada en cuenta. A la vez deben aprender: a pedir ayuda identifi-cando de la manera ms precisa posible la dificultad que tienen y no slo dicien-do no me sale, a respetar la opinin de los otros, a sostener un debate... Elmaestro juega un rol fundamental en estos aprendizajes.

    A diferencia de lo que suele pensarse, la experiencia nos muestra que mu-chos alumnos se posicionan mejor frente a un problema desafiante que frente a

    una tarea fcil. Lograr que el alumno experimente el placer de dominar lo queen un principio se mostraba incomprensible, ayuda a que construya una imagenvalorizada de s mismo. Obviamente, esto es bueno para l, pero tambin es al-tamente satisfactorio para el docente.

    Es nuestro deseo que en alguna medida estos Apuntes para la enseanza, ytambin las Pginas para el alumno, contribuyan a que el docente pueda enfren-tar la difcil tarea de ensear, gratificndose con el despliegue de una prcticams rica y ms plena.

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 17

    La secuencia de problemas que se propone a continuacin apunta a resolver si-tuaciones de reparto en las cuales debe analizarse si es posible repartir el resto,tambin se plantea abordar el reparto equitativo de los restos.

    La actividad comienza convocando a los alumnos a resolver problemas derepartos equitativos en los que la herramienta de resolucin es la divisinentre nmeros naturales. Una vez resueltos los problemas, se propone anali-zar si lo que sobra en cada caso puede o no seguir repartindose. La idea esconfrontar a los nios con el siguiente hecho: aunque la cuenta de dividirtermina, el reparto, en algunos casos, no termina porque el resto podraseguir repartindose. No se espera que los alumnos reparen en esto de mane-ra espontnea sino que el docente invite, para cada caso, a pensar qu hacercon lo que sobra.

    Notemos que los nios tienen que resolver los problemas en primer lugar yluego deben analizarlos para establecer en qu casos el resto se puede seguir re-

    partiendo. La actividad de analizar los problemas es probablemente nueva paralos alumnos y al mismo tiempo es ms compleja que la de resolverlos. Colectivao en pequeos grupos, esta actividad seguramente generar dilogos y discusio-nes entre los nios. El docente podr retomar estos intercambios para estableceren cul o cules de los casos propuestos el problema se termin con la cuentade dividir y en cul o cules se podra continuar, aunque no se sepa muy bien c-mo hacerlo.

    Luego de esta actividad se retoma uno de los problemas y se invita a los ni-os a continuar con el reparto.

    Esta entrada tiene la intencin de promover relaciones entre la divisin denmeros naturales y las fracciones. De hecho, las fracciones son una herramien-

    ta que fue inventada para resolver el problema de la divisin entre nmeros na-turales cuando el dividendo no es mltiplo del divisor y el problema involucramagnitudes continuas.

    Aunque lograr un vnculo slido entre las fracciones y la divisin de natura-les es un proceso largo que requerir de mucho trabajo de aprendizaje por parte delos alumnos y de enseanza por parte de los docentes, se busc que estuviera pre-sente desde el inicio del estudio de este nuevo concepto.

    No pensamos que, por el solo hecho de resolver estos problemas, los niospodrn establecer de manera inmediata las relaciones entre divisin y fracciones.Estas relaciones sern el resultado de un largo trabajo en el que necesariamen-te se debern incluir otros problemas y sobre todo discusiones a partir de los mis-

    mos que el maestro provoque con la intencin de que los alumnos conciban lafraccin como el resultado exacto de una divisin entre nmeros naturales.

    Se propone un trabajo ms o menos prolongado sobre situaciones de repar-to, con la intencin de que stas puedan constituirse para los nios en puntos dereferencia a los que podrn recurrir para enfrentar otros problemas que involu-cren el concepto de fraccin.

    Diversas situaciones de reparto

    Actividad

    1

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    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4 Y5

    El objetivo de los problemas ser someter a discusin en qu casos los elemen-tos que sobran pueden seguir repartindose. Esto depende de las magnitudesque estn en juego, segn el contexto del problema.

    Es interesante que los alumnos comparen los problemas 1 y 2, ya que ambosse resuelven con la misma cuenta. Sin embargo, los globos que sobran, sobran;en cambio, el chocolate que sobra, podra seguir repartindose, asunto que los

    alumnos conocen por su experiencia aunque no sepan cmo nombrar la porcinque resulta del reparto del resto. El mismo anlisis podr hacerse con los proble-mas 3 y 4. Para resolver el problema 4, seguramente harn 86 dividido 4, y ob-tendrn cociente 21 y resto 2. Ser interesante analizar con todo el grupo que el2 que sobra corresponde a 2 cm de cinta y que estos 2 cm repartidos entre cua-tro da cm. Es decir que, independientemente de la cuenta, de la discusinpodr surgir que cada moo tiene 21 cm y . El divisor 4 se ha propuesto pa-ra facilitar este anlisis ya que los alumnos pueden apelar a partir consecutiva-mente por la mitad.

    De manera similar, se espera que, para el reparto del dinero, se pueda esta-blecer que el peso que sobra, repartido entre 4, da 25 centavos a cada uno.

    Se retoma a continuacin el problema del chocolate para que los alum-nos ensayen el reparto de los restos. Evidentemente, esta prxima actividadse encuadra en la anterior y ser importante que el maestro resalte el asun-to que los ocupa: algunas veces se puede repartir el resto, otras no; habr queanalizar cmo hacerlo en los casos en que s se puede. Por otra parte, es in-teresante resaltar que algo que qued pendiente se retoma para seguir tra-bajndolo.

    Se proponen luego varias situaciones similares apuntando a que los alumnosse encuentren con la insuficiencia de los nmeros naturales para indicar la parte

    PROBLEMAS

    En cada uno de los siguientes problemas hayque repartir algo. En primer lugar, proponemos

    que los resuelvas.

    1)Se reparten 17 globos entre 4 nios; todosreciben la misma cantidad. Cuntos globosle tocan a cada uno?

    2)Se reparten 17 chocolates entre 4 nios;todos reciben la misma cantidad. Cuntoschocolates le tocan a cada uno?

    3) Martn colecciona autitos de carrera. Ya tiene86 y quiere guardarlos en 4 cajas, de maneratal que todas tengan la misma cantidad.Cuntos debe colocar en cada una?

    4) Con una cinta de 86 cm se arman 4 moosiguales. Qu largo tiene cada moo?

    5) Cuatro amigos deciden repartir, entre ellos y

    en partes iguales, $ 45 que obtuvieron en unpremio de lotera. Cunto le corresponde acada uno?

    Seguramente habrs comprobado que ninguno de

    los repartos anteriores "da justo", en todos sobra.En algunos casos, lo que sobra se puede seguir re-partiendo, y en otros, no. Analiz los cinco proble-mas que resolviste y establec en qu casos el res-to obtenido se puede seguir repartiendo.

    12

    12

    DIVERSAS SITUACIONES DE REPARTO

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    que le corresponde a cada uno, lo cual genera condiciones para empezar a pen-sar cmo establecer una relacin entre la parte y el todo.

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1 Y2

    En un principio puede ocurrir que los alumnos apelen a dibujos para explicar c-mo hacen el reparto o que hagan la cuenta de dividir para calcular los chocola-tes enteros que le corresponden a cada nio y realicen un dibujo para el choco-late que sobra. Es usual que esquematicen los chocolates y los chicos indicandocon flechas las porciones que resultan. Por ejemplo, para el problema 1:

    Estos ejemplos donde a cada chico le toca una cantidad entera de chocola-tes, y una parte del chocolate sobrante, permitirn establecer una primera defi-nicin de fraccin a la que los nios debern apelar en lo sucesivo para avanzaren el estudio de las fracciones.

    Para el primer caso antes planteado, donde sobra un chocolate que es nece-sario repartir entre 4, seguramente los nios dirn que es necesario dividir el

    chocolate en 4 partes iguales. Esta constatacin ser una oportunidad para queel maestro explique que esa cantidad se llama .

    Se define entonces que es una cantidad tal que 4 veces esa cantidadequivale a 1.

    Del mismo modo y apoyado en los otros repartos, el maestro podr definirque es una cantidad tal que entra 3 veces en el entero y podr hacer el mis-mo anlisis con y .

    Apoyados en estos y otros ejemplos, el docente define desde un primer momen-to que en lneas generales una fraccin se denomina cuando n partes como

    PROBLEMAS PARA SEGUIR REPARTIENDO

    1)Se desea repartir 17 chocolates entre 4 nios, demodo tal que cada uno reciba la misma canti-dad y todo el chocolate sea repartido. Cmopuede efectuarse el reparto?

    2) De manera similar que en el problema anterior:

    a) Repartir 21 chocolates entre 5 nios.

    b) Repartir 10 chocolates entre 3 nios.

    c) Repartir 1 chocolate entre 8 nios.

    d) Repartir 25 chocolates entre 4 nios.

    l

    A A

    l

    171601

    44

    A cada uno le doy 4 chocolates y un cuarto.

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    4

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    1n

    DIVERSAS SITUACIONES DE REPARTO

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    stas equivalen a un entero. (Se utiliza el trmino para comunicar la genera-lidad, pero no para ser transmitido a los nios.)

    A continuacin, y tomando como base los problemas anteriores, se proponenrepartos en los que el resto es mayor que 1.

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 3, 4 Y5

    Para repartir 27 chocolates entre 4 nios, los alumnos pueden recurrir a la divi-sin entera y luego proceder a repartir los 3 chocolates restantes. En una prime-ra instancia, seguramente los chicos ensayarn distintas maneras de repartirlosapoyados en recursos grficos.

    Las posibilidades para repartir los 3 chocolates entre 4 nios podran ser:

    a) Cortar cada chocolate en cuatro y darle un pedazo de cada chocolate a cada nio.

    b) Cortar dos chocolates al medio y el tercero en cuatro.

    a) b)

    Los nios pueden expresar estas cantidades de diferentes maneras: 3 depara el primer reparto, y y para el segundo. Es un buen momento pa-

    ra plantear que 3 de se nombra tambin .A medida que surjan expresiones del tipo 2 veces 5 veces , el maes-

    tro ir introduciendo las fracciones con denominador distinto de 1 ( y eneste caso). En general, a medida que surjan expresiones del tipo m veces ,el maestro ir introduciendo la notacin . (Queda claro que el uso de letrasse utiliza aqu para la comunicacin con el docente.)

    Una vez que los nios han ensayado alguna solucin, se anotan en el pizarrnlos procedimientos y se discuten colectivamente. La cuestin central de esta dis-cusin es analizar si 3 de es o no equivalente a y . Resulta importante

    PROBLEMAS PARA SEGUIR REPARTIENDO

    3) Como podra hacerse el reparto si ahora fue-sen 27 los chocolates y 4 los nios?

    4) Y si los nios siguieran siendo 4 y slo hubiera6 chocolates?

    5) Y si los chocolates fueran 23 y los chicos 5?Cmo podran repartirse?

    1n

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    14 34 15 2

    558 1

    n

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    mn

    DIVERSAS SITUACIONES DE REPARTO

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    tener presente que es la primera vez que los alumnos se enfrentan al hecho deque la misma cantidad puede expresarse con nmeros diferentes. Se trata enverdad del mismo nmero que admite diferentes representaciones.

    Cabe sealar que, en realidad, la situacin de reparto planteada encierra dosproblemas de ndole diferente.

    El primer problema consiste en encontrar una manera de distribuir los cho-

    colates; seguramente los nios lo resuelvan apelando a algn tipo de represen-tacin grfica. En ese sentido, es un procedimiento netamente emprico que noresulta muy exigente para ellos.

    El segundo problema es la parte ms dura de la situacin ya que, en reali-dad, consiste en poder argumentar y entender: si los repartos son equivalentes,los nmeros que representan estos repartos tambin lo son. En otros trminos,con los conocimientos del contexto que tienen los nios, cualquier alumno decuarto grado podr aceptar que las dos maneras propuestas son formas equivalen-tes de hacer el reparto. De ah debe derivar que, necesariamente, 3 de debe serlo mismo que ms .

    Posiblemente en un primer momento los alumnos intenten explicar las equi-

    valencias acomodando los pedacitos unos debajo de otros. Si bien estos proce-dimientos se aceptan en un principio, se tender a que se basen en relacionespara argumentar sobre la equivalencia. Por ejemplo, se espera que propongan: es lo mismo que , entonces es lo mismo que ms .

    En definitiva, el problema deja de ser el reparto para pasar a ser la equiva-lencia. Los procedimientos de tipo emprico debern ir sustituyndose por laconstruccin de argumentos y la elaboracin de criterios para estar seguro.

    A esta altura del trabajo, el docente propone nuevos problemas en el mismocontexto que el anterior, pero con nmeros diferentes.

    En el caso del problema 4, las respuestas podran ser:

    - dar un chocolate entero a cada nio y cortar los otros dos en cuatro;- dar un chocolate entero a cada nio y cortar los otros dos en mitades;- cortar todos los chocolates en cuatro y dar seis partes a cada uno;- cortar cuatro chocolates al medio y los otros dos en cuatro.

    Estas formas de reparto daran lugar a las escrituras:

    - 1 y 1 + ;

    - 1 y 1 + ;

    - 6 de ;- 2 de y 2 de y .

    En el caso del problema 5 es de esperar que los alumnos apelen nuevamen-te a la divisin entera como en la primera de las situaciones, decidan dar 4 cho-colates enteros a cada nio y usen procedimientos equivalentes a los empleadosen los casos anteriores para repartir los 3 chocolates que quedan.

    Los problemas 4 y 5 giran en torno de la misma situacin pero, al cambiar

    141

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    34

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    los nmeros, se ponen en juego diferentes relaciones. El problema 4 permite es-tablecer relaciones entre medios y cuartos, mientras que en el caso del proble-ma 5 se ponen en juego relaciones entre quintos y dcimos.

    Se proponen en ambos casos discusiones colectivas tendientes a construirargumentos que sustenten las equivalencias de los diferentes repartos y sean asu vez generadoras de nuevas relaciones entre distintas fracciones y el entero y

    entre distintas fracciones entre s.

    Al finalizar la secuencia de problemas o al finalizar cada uno de los repar-tos, se sugiere que queden en afiches colectivos y en las carpetas conclusiones alas que se llegaron durante esa clase.

    Por ejemplo:

    - 1 chocolate y es lo mismo que de chocolate.- 1 chocolate y es equivalente a 1 chocolate y .- = porque para tener necesito 2 partes de .- de chocolate es lo mismo que 1 chocolate y , entonces la frac-

    cin es mayor que un entero, etctera.

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 6, 7 Y8

    Estos problemas exigen a los alumnos expresar numricamente los resultados de

    ciertos repartos y analizar su equivalencia. En tanto el objeto de trabajo es el an-lisis de diferentes repartos ya hechos y no simplemente su realizacin como en loscasos anteriores, los alumnos deben ubicarse en posicin de comprender las relacio-nes establecidas por un otro hipottico.

    Esta posicin es ms exigente que la de hacer y ofrece la posibilidad de am-pliar las relaciones inicialmente establecidas.

    Notemos que el problema requiere que los alumnos piensen en fraccionar unafraccin, aunque no se est dando el tema fraccin de fraccin de manera formal.Abordar problemas ms o menos abiertos hace necesario aplicar conocimientos que

    PROBLEMAS PARA SEGUIR REPARTIENDO

    6) Matas tena 3 chocolates para repartir entre 5chicos. Son equivalentes las siguientes formasde reparto?- parte cada chocolate en 5 partes iguales y le

    da una parte de cada chocolate a cada chico;

    - parte por la mitad cada uno de los 3 choco-lates y da una mitad a cada chico, y parte en5 la ltima mitad.

    Expresen en fracciones los resultados de ambosrepartos.

    7) Encuentren tres formas equivalentes de repartir8 chocolates entre 3 chicos.

    8) Laura tena 1 chocolate, lo cort en 3 partesiguales y le dio una parte a Luca. Nicols tena2 chocolates como los de Laura y los reparti

    en partes iguales entre sus 6 amigos. Quinrecibi ms chocolate: Luca o cada amigo deNicols?

    DIVERSAS SITUACIONES DE REPARTO

    24 1

    212

    24

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    en una presentacin didctica paso a paso aparecen normalmente separados.Esta mayor complejidad la de poner en juego varias nociones juntas permiteuna mejor comprensin del funcionamiento de los conceptos que se estn estu-diando, dado que hace posible que se establezcan relaciones que no son visiblescuando cada idea se trabaja separadamente de las otras.

    Cuando analizamos globalmente los tres problemas, es posible ver que se

    sostiene todo el tiempo la misma situacin pero dando cada vez lugar a maticesdiferentes. Esta estrategia de hacer durar un problema profundizando a la vezlos conocimientos que se tratan, genera buenas condiciones para ir incluyendoen el trabajo a los alumnos que necesitan ms tiempo para comprender.

    La siguiente secuencia de problemas apunta a la composicin de cantidades a par-tir de otras expresadas en fracciones, as como a la posibilidad o no de componer

    una cantidad fraccionaria a partir de determinadas fracciones. La diferencia con lasactividades anteriores de reparto es que en aquel caso se propona determinar el va-lor de cada parte en relacin con el entero y en este caso los valores de las partesestn fijos de antemano y debe componerse una cierta cantidad. Resaltemos que lasconclusiones que fueron formuladas en la actividad anterior son punto de partida yde apoyo tanto de estrategias de resolucin como de nuevas conclusiones.

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1 Y2

    Nuevamente aqu resulta interesante analizar las equivalencias en las composi-ciones. Tambin es importante que el maestro plantee si son posibles ciertas

    Componer una cantidad a partir de otrasexpresadas en fracciones

    Actividad

    2

    PROBLEMAS

    1) Los envases de caf.Necesito comprar 2 kg de caf. En la gndoladel supermercado slo quedan algunos tamaos depaquetes. Qu paquetes puedo comprar? Hayuna sola posibilidad? Si quiero llevar la menor can-tidad posible de paquetes, cules debo elegir?(Vanse Pginas para el alumno, pg. 13.)

    a) Se puede tener 1 kg usando slo paque-tes de kg?

    b) Si se agregan paquetes de kg, pueden

    formarse 2 kg de caf utilizando sloenvases de kg?

    c) Si se agregan paquetes de kg, se puedentener 2 kg usando slo paquetes de kgy kg?

    2) Responder:

    a) Cuntos medios se necesitan para formar unentero?

    b) Cuntos sextos se necesitan para formar?

    c) Puedo formar un entero usando quintos?

    d) Puedo formar un medio usando quintos?

    COMPONER UNA CANTIDAD A PARTIR DE OTRAS EXPRESADAS EN FRACCIONES

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    composiciones con determinados paquetes. Por ejemplo, analizar que con paque-tes de , y pueden armarse medio, pero con paquetes de no es po-sible armar directamente quintos ni medio. El problema 2 propone relaciones si-milares pero sin referirlas al contexto de los paquetes sino plantendolas en uncontexto exclusivamente numrico. La referencia a los paquetes puede ser un pun-to de apoyo para pensarlos. Hay ac un juego entre aquello referido a un con-

    texto extramatemtico como el de los paquetes de caf y uno interno a losnmeros como tales.Como podr notarse en los problemas propuestos hasta aqu, y tambin en

    los siguientes, hay una relacin compleja entre contexto extramatemtico y con-texto puramente numrico. La inclusin de un contexto extramatemtico no tie-ne por objetivo slo proponer un problema que le d sentido a ese concepto, si-no tambin permitir a los nios controlar el resultado a partir de la informacindel contexto de una tcnica o de una operacin que todava no dominan. A suvez, el intento de descontextualizar las situaciones no apunta slo a que los ni-os puedan manejarse centrados en el terreno de los nmeros, sino tambin aque puedan ir justificando, cada vez ms, los resultados obtenidos a travs de

    propiedades y relaciones numricas.Para que los alumnos puedan sacar provecho de este juego, ser necesario

    que se establezcan explcitamente estas relaciones en la clase. Por ejemplo: si ha-cen falta 6 paquetes de kg de caf para tener 1 kg, eso se expresa numrica-mente: 6 x = 1 .

    PROBLEMAS

    3) Seguimos comprando caf.

    Se puede tener 1 kg de caf usando slo pa-quetes de kg?Y de ?

    Y de ?

    Y de ?

    Si se puede formar la cantidad pedida, escriben cada caso cuntos paquetes usaras; si no se

    puede formar, explic por qu.

    4) Compra de galletitas.

    a) La mam de Matas compraba todas las se-manas 2 kilos de galletitas. Decidi armaruna tablita que le permitira comprar rpida-mente los paquetes de galletitas que necesi-taba segn el peso de cada paquete. Cmose completa la tabla?

    b) La mam de Juan que siempre sala de com-pras con la mam de Matas quiso imitarlaentonces arm su tablita. Ella comprabasiempre 3 kilos de galletitas. Es correcta latabla que arm? En caso de que alguna can-tidad de paquetes sea incorrecta, corregila.

    c)El almacenero tom rpidamente la idea y ar-m su propia tabla:

    COMPONER UNA CANTIDAD A PARTIR DE OTRAS EXPRESADAS EN FRACCIONES

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    12

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    Si los paquetes tienen:

    kilo; kilo; kilo;

    kilo; kilo.

    Necesito:

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    18

    3

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    31618

    14

    Si los paquetes tienen:

    kilo;

    kilo;

    kilo;

    kilo;

    kilo.

    Necesito:

    12 paquetes;

    6 paquetes;

    10 paquetes;

    16 paquetes;

    24 paquetes.

    12

    16

    13

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    Peso del paquete Para 1 kilo Para 2 kilos Para 5 kilos Para 10 kilos18

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    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 3 Y4

    El problema 4 a) donde se propone armar 2 kg de galletitas con paquetes de di-ferentes cantidades, permite establecer distintas relaciones. Por un lado, si bienlas relaciones de proporcionalidad directa no se dan con este nombre ni sesistematizan a propsito de este contenido, son usadas tempranamente en la

    escolaridad.Si para tener 1 kg de galletitas necesito 4 paquetes de kg, para tener 2 kgnecesitar el doble, o sea: 8 paquetes.

    Pero, al mismo tiempo, hay una relacin inversamente proporcional entre eltamao de los paquetes y el nmero de paquetes necesario para obtener la mis-ma cantidad total.

    Si los paquetes son de kg, necesito 8 paquetes para tener 2 kg de galle-titas. Los paquetes de kg son el doble de grandes, entonces necesito la mitadde los paquetes. Ser importante escribir y completar las tablas en el pizarrn pa-ra hacer los anlisis antes mencionados con los alumnos.

    Las relaciones que se hayan establecido para completar la tabla 4 a) servirn

    de punto de apoyo a la hora de analizar la tabla 4 b).Luego del anlisis caso por caso, se puede proponer un anlisis global de toda

    la tabla. Se podr identificar que:

    12 : 4 = 36 : 2 = 3

    24 : 8 = 3, pero 10 : 3 no es igual a 3;16 : 6 no es igual a 3.

    Entonces:

    12 x = 36 x = 3

    24 x = 3

    Todas estas relaciones no surgen slo de la resolucin sino de una reflexin so-bre la misma que, para que tenga lugar en la clase, deber ser provocada explci-tamente por el docente. Otra vez, al igual que con los repartos, los conocimientosque se producen al analizar las resoluciones son diferentes de aquellos que se ela-boran en la resolucin misma.

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    ANLISIS DEL PROBLEMA 5

    En este problema se pone en juego la posibilidad de reconstruir el entero a par-tir del valor de una parte. Algunas soluciones posibles podran ser:

    Cualquier propuesta en la que el entero est formado por 4 partes iguales ala dada, es correcta. Este es el punto central que debe analizarse con los nios yuna de las conclusiones que pueden registrar en sus cuadernos. La separacinentre forma y medida es uno de los asuntos que est en juego en el problema.

    Sin duda, ser necesario plantear otros problemas similares para que los

    alumnos puedan manejar con comodidad este concepto.Este trabajo que exige poner en juego la definicin de fraccin de diferentes

    maneras, intenta superar las limitaciones que se producen cuando la nica pro-puesta de trabajo consiste en pedir a los nios que, para establecer una medida,miren un dibujo de un rectngulo partido en partes iguales con algunas de esaspartes sombreadas.

    Proponemos a continuacin un problema que no se ha incluido en Pginaspara el alumno. Los nios deben establecer la medida de cada parte del siguientedibujo, considerando el cuadrado como unidad. Notemos que el tringulo acu-tngulo y el cuadrado pequeo son ambos del cuadrado mayor aun cuandotienen formas diferentes:

    PROBLEMAS

    5) Seguimos componiendo enteros.Se sabe que este rectngulo representa del entero.

    Dibuj el rectngulo entero. Hay una sola posibilidad?

    COMPONER UNA CANTIDAD A PARTIR DE OTRAS EXPRESADAS EN FRACCIONES

    14

    14

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 27

    En esta actividad se utilizarn las fracciones para medir longitudes. Se propo-nen situaciones de medicin donde la unidad no entra una cantidad entera deveces en el objeto por medir, para provocar la necesidad de fraccionar la uni-dad. A partir de estas situaciones se volver sobre una relacin ya trabajada: lascantidades , , , , etc. son partes de la unidad, tales que 2, 3, 4, 5,etc. partes iguales a esa equivalen a la unidad.

    De la misma forma se definir, por ejemplo, la fraccin como la parteque contiene 9 veces .

    En forma general y en trminos para los docentes: es la fraccin quecontiene m veces .

    Los problemas comienzan con un juego de comunicacin. Entendemos por juegos de comunicacin aquellas actividades donde se propone a los alumnostransmitir a otros los datos necesarios que les permitan realizar una determina-da actividad (en este caso, reproducir una figura). Los alumnos se conviertenentonces en emisores de un mensaje cuya eficacia ser puesta a prueba en lasposibilidades del receptor de llevar a cabo la actividad con xito. La seleccinde la informacin a transmitir exige un anlisis donde se ponen en juego ideasvinculadas con el concepto que se est tratando.

    Para el juego de comunicacin, se sugiere que el docente divida al grupo en

    PROBLEMAS

    6) Se sabe que este tringulo representade una figura. Cmo era la figura entera?

    La respuesta de Marcela fue:

    Y la respuesta de Martn fue:

    Quin de los dos resolvi correctamenteel problema?

    7) Se sabe que el siguiente rectngulo representade cierto entero. Cmo es ese entero? Hay

    una nica solucin?

    8) En cules de los siguientes dibujos se pint lacuarta parte? Explic cmo lo pensaste en cadacaso.

    DIBUJO1 DIBUJO 2

    DIBUJO 3 DIBUJO 4

    Utilizar fracciones para medir longitudes

    Actividad

    3

    COMPONER UNA CANTIDAD A PARTIR DE OTRAS EXPRESADAS EN FRACCIONES

    14

    23

    12

    14

    15

    13

    971

    7

    1n

    mn

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    G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula28

    parejas. Cada pareja intercambiar informacin con otra. A cada pareja le en-tregar un rectngulo diferente del de la pareja con la que jugar. Le dar tam-bin una tira de papel que funcionar como unidad de medida. La longitud delas tiras unidad es la misma para todos los alumnos. Las medidas posibles delos rectngulos podran ser: a) base 2 y de tira y altura 1 y de tira; b) ba-se de tira y altura 1 y de tira.

    La consigna que se puede proponer es la siguiente:

    Enven a otra pareja las instrucciones necesarias para que puedan construir un rec-tngulo igual al que tiene ustedes. Para medir slo pueden utilizar la tira que se lesentreg, pueden plegarla pero no medirla con regla.

    En este problema, los alumnos se ven confrontados a la necesidad de usar una uni-dad para medir y de fraccionarla. Posteriormente se discutir cul fue el criterio paraexpresar las diferentes longitudes y cmo estas longitudes fueron interpretadas.

    En la puesta en comn, y a propsito de definir las medidas de los rectn-gulos, surgirn escrituras del tipo:

    Base del rectngulo 1 2u + 2u + u

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS

    En el problema 1 a), probablemente el momento ms importante de la actividadsea la discusin sobre cmo se puede estar seguro de que el segmento dibuja-do es efectivamente la tercera parte del original, si los dos estn dibujados enla misma hoja y no pueden superponerse. Se espera que los alumnos utilicen laregla para constatar que el segmento dibujado cabe tres veces en el segmen-to dado.

    En el problema b), decir qu parte del segmento de 12 cm son los primeros3 segmentos no ofrecer mayor dificultad, pero, para poder establecer qu par-

    PROBLEMAS PARA MEDIR Y REPRODUCIR

    1) Reproducciones de segmentoS.a)Dibuj un segmento que mida la tercera

    parte de ste. (En Pginas para el alumno seencuentra dibujado un segmento de 12 cm

    de longitud que funciona como unidad.)

    b)Usando el segmento anterior como unidad,indic la medida de cada uno de estos segmen-tos. (En Pginas para el alumnoestn dibujadossegmentos de 2 cm, 3 cm, 6 cm, 8 cm y 15 cmque deben comparar con el entero de 12 cm.)

    c)Dada esta tira, que representa la unidad, cons-tru otras cuyas longitudes sean: de la uni-dad, de la unidad, de la unidad, de la

    unidad. (En Pginas para el alumnose ha dibu-

    jado un segmento de 12 cm.)

    d)Si esta tira representa de la unidad, cul fuela unidad utilizada? Dibujala. (En Pginas para elalumnose ha dibujado un segmento de 4 cm.)

    e)Y si representa ?

    UTILIZAR FRACCIONES PARA MEDIR LONGITUDES

    14

    123

    413

    145

    418

    32

    12

    13

    14

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 29

    te del segmento unidad representa el segmento de 8 cm, ser necesario esta-blecer relaciones del tipo: si el primer segmento representa , ste que es 4 ve-ces el primero representa ; o bien, si este segmento representa , ste que esel doble representar .

    Esta tambin ser una oportunidad propicia para establecer las relaciones deequivalencia entre las distintas escrituras que refieren a la medida del segmento.

    Con esta actividad se propone hacer un alto en el camino para recuperar y or-ganizar lo visto hasta ahora acerca de fracciones. Tambin es una buena opor-tunidad para establecer nuevas relaciones ya que estamos considerando comoobjeto de reflexin un tramo del trabajo ya realizado.

    Se sugiere que los alumnos se agrupen por parejas y que hagan una lista delas cosas que aprendieron revisando todo el trabajo realizado con fracciones.Luego sera conveniente una instancia de trabajo colectivo entre todo el grado

    con el mismo objetivo.

    ANLISIS DE LA ACTIVIDAD

    Se espera que en un principio surjan por parte de los alumnos conclusiones muycontextualizadas; es decir, relacionadas con la situacin a partir de la cual se pro-dujeron. Un ejemplo sera: con 4 paquetes de kilo de caf formo 1 kilo. Otroejemplo: 1 chocolate y es lo mismo que de chocolate.

    Se sugiere que en la instancia de la puesta en comn se agrupen todas las con-clusiones que apuntan al mismo contenido; por ejemplo, a la reconstruccin del en-tero, y se descontextualicen llegando a conclusiones del tipo: para tener un enterose necesita: , , , etctera. Tambin ser una oportunidad propicia para pre-parar afiches donde queden todas las conclusiones expuestas en el aula.

    En esta secuencia de problemas se propone que los alumnos realicen clculos queles permitan progresar en el conjunto de relaciones que se establecen entre deter-minados grupos de fracciones y entre ciertas fracciones y los enteros.

    Qu se entiende por clculo mental? El clculo mental se asociaba tradicio-nalmente a clculos memorizados o tambin a clculos realizados en la cabeza,

    QU SABEMOS ACERCA DE FRACCIONES?

    Reunte con un compaero, consulten las carpetas y hagan una lista de todo lo que saben de fraccioneshasta ahora.

    Clculos mentales con fracciones

    Actividad

    5

    RECAPITULACIN

    164

    613

    23

    141

    454

    44

    22

    33

    Recapitulacin

    Actividad

    4

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    G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula30

    sin apoyo de lpiz ni papel. No es en este sentido que lo estamos caracterizando.Entendemos por clculo mental los procedimientos de clculo que se oponen a losclculos algoritmizados (serie de reglas aplicables en un orden determinado, siem-pre del mismo modo independiente de los datos que estn en juego). El clculomental considera la construccin de procedimientos personales que permiten darrespuesta a una situacin. En el clculo mental, a partir de un resultado conocido

    o de fcil obtencin, se despliegan diversos procedimientos basados en las propie-dades de las operaciones (aunque stas no siempre se expliciten). Por ejemplo, enuno de los siguientes ejercicios se pregunta cunto le falta a para llegar a dosenteros. Un criterio algoritmizado del clculo supone que para responder a esta si-tuacin sera necesario plantear la resta 2 - y luego considerar los pasos paraefectuar una diferencia entre un nmero natural y una fraccin. Sin embargo, seespera que los alumnos lleguen a obtener las respuestas por diversos caminos, ba-sados en sus conocimientos, ya que el problema se propone en un momento en elque la resta no fue an formalizada.

    A continuacin de las consignas se muestran posibles estrategias con las quelos alumnos pueden resolver las situaciones planteadas.

    PROBLEMAS

    1) Cules de las siguientes fracciones son mayoresque un entero? Explic cmo lo pensaste.

    , , , , , ,

    2) Cunto le falta a cada una de estas fraccionespara llegar a 1?

    + .................... = 1

    + .................... = 1

    + .................... = 1

    + .................... = 1

    + .................... = 1

    3) Cunto le falta a cada una de estas fraccionespara llegar a 2?

    + .................... = 2

    + .................... = 2

    + .................... = 2

    1 + .................... = 2

    4) Complet la tabla:

    5) Para discutir:

    En relacin con el ejercicio anterior, Nicolsopina que si es la mitad de una fraccin,

    entonces la fraccin es . En cambio, Lauraopina que es. Vos qu opins? Quin tiene razn?

    CLCULOS MENTALES CON FRACCIONES

    12

    Fraccin Mitad

    14

    18

    28

    38

    35

    26

    34

    43

    33

    1512

    912

    711

    114

    14372510111520

    3795

    1171025

    37

    37

    26

    46

    23

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 31

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4 Y5

    En ninguno de los casos se est pensando que los alumnos apelen a algoritmostradicionales para resolver las situaciones antes mencionadas. La idea de clcu-lo mental no inhibe la posibilidad de realizar dibujos o clculos como medio pa-ra resolver las situaciones.

    Algunas posibles resoluciones de los chicos:

    Si se tiene y se quiere llegar a 2... A le faltan para llegar a 1, y to-dava falta otro entero, entonces a le falta 1 para llegar a 2.

    2 enteros es lo mismo que porque si se hace ms , como ya se tiene3, faltan para llegar a 2.

    La mitad de es porque se necesitan 2 veces para tener . Para averiguar la mitad de : si la mitad de es , entonces la mi-

    tad de = . En el caso del ltimo problema, podran pensar que ambas respuestas son

    correctas ya que + = , pero tambin con se tiene , en-

    tonces + = .

    Esta actividad brinda una posibilidad de establecer conclusiones descontex-tualizadas, as como de trabajar equivalencias a partir de las resoluciones:1 = o tambin = porque ambas son el doble que .

    Se presenta entonces una buena oportunidad para ir completando los afi-ches de conclusiones que van poblando el aula.

    Con esta actividad se propone que los alumnos avancen en la adquisicin de es-trategias para comparar fracciones y seleccionen la estrategia de comparacinms adecuada a las fracciones que quieren comparar.

    Comparacin de fracciones

    Activi

    dad

    6

    PROBLEMAS

    1) Juanita comi de torta y Pedro de la mis-ma torta. Quin comi ms?

    2) El da lunes Gabriel pint de una pared y el

    da martes pint . Qu da pint ms?3) Andrs corri del camino y Guille corri

    del mismo camino. Quin corri ms?

    4) Una valija pesa de kilogramo y un bolso pesade kilogramo. Cul pesa ms?

    5) En una jarra hay litros de jugo y en otra

    litros. En qu jarra hay ms?6) Mariana compr 1 metro de cinta. Laura

    compr . Quin compr ms cinta?

    COMPARACIN DE FRACCIONES

    37

    373

    7

    474

    7147

    47

    77

    7711

    7

    117

    14

    18 3

    818

    116

    316

    38

    18

    14

    13

    26

    26

    26

    26

    13

    13

    23

    23

    46

    46

    13

    12

    27

    2553

    35

    710

    310

    45

    36

    128

    6

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    G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula32

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5 Y6

    Para abordar las primeras situaciones de equivalencia y de orden, los alumnos sebasaron en la equivalencia o no de los repartos. As, es equivalente a yaque ambas provienen de repartos equitativos de 6 chocolates entre 4 personas.

    Se espera ahora que los alumnos pongan en marcha otras estrategias de argu-

    mentacin explorando otras relaciones, lo cual requerir de tiempo. Ser importan-te que el docente propicie y someta a discusin cada uno de los argumentos quevayan surgiendo sin anticipar por el momento reglas generales de comparacin.

    Algunas posibles formas de pensar de los alumnos pueden ser:

    es ms chico que porque se necesita 3 de esas partes para armar unentero; en cambio, con se necesitan slo 2. Entonces las partes de tie-nen que ser ms chicas.

    Como es ms chico que , porque necesito 7 partes en lugar de 5 para ar-mar un entero, entonces, es menor que .

    es mayor que porque la primera es mayor que el entero y la segunda

    no llega a un entero. de kg es ms que de kg porque se pasa de medio kilo, mientras que es

    equivalente a porque si para formar un entero se necesita , es lamitad.

    es menor que porque es equivalente a .

    Al finalizar estos y otros problemas de comparacin se puede proponer a losalumnos la confeccin de un afiche con instrucciones para comparar fraccionescon afirmaciones del siguiente tipo, entre otras que surjan de la instancia grupal:

    Primero se puede comparar las fracciones con el entero.

    Si las 2 son menores que el entero, se puede ver si alguna es mayor quey la otra menor, o si alguna de las dos es equivalente a .

    Tambin se puede ver lo que le falta a cada una para llegar al entero.

    Tambin ser un momento propicio para establecer relaciones generales quese aceptarn como vlidas y no ser necesario volver a justificar en cada situa-cin. Por ejemplo: las fracciones con numerador mayor que el denominadorsiempre son mayores que 1, o todas las fracciones cuyo numerador es la mitaddel denominador son equivalentes a .

    Esta secuencia apunta a resolver situaciones donde las fracciones no hacen re-ferencia a una parte de un objeto sino a una parte de una coleccin formada porms de un objeto.

    Esto da lugar a que se pueda pensar el problema en funcin de dos unida-des de medida: puede considerarse como unidad cada objeto de la coleccin o eltotal de objetos.

    Fraccin de una cantidad

    Actividad7

    12 1

    2

    13 1

    3

    17 2

    7253

    5

    35

    35

    36

    366

    636

    53

    710

    810

    610

    15

    32

    64

    12

    1212

    12

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 33

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3 Y4

    Estos cuatro problemas presentan una caracterstica particular que deber tener-se en cuenta al proponrselos a los alumnos: las fracciones ya no hacen referen-cia a una parte de un objeto, sino a una parte de una coleccin compuesta porvarios objetos. La dificultad radica en que es necesario hablar simultneamentede dos unidades de medida: el total de la coleccin y un objeto de la coleccin. El

    pasaje de una unidad a otra es el asunto de estos problemas.Este hecho puede provocar que resulte ms difcil para los nios encontrar

    las respuestas que se solicitan, ya que en varias ocasiones posiblemente confun-dan la cantidad de partes con el valor de cada una de ellas.

    Si los alumnos no pudieran avanzar en la resolucin, el maestro podr mo-dificar provisoriamente los nmeros de manera tal que pueda analizarse la situa-cin con nmeros ms sencillos. As, para el primer caso, en lugar de proponerque la cantidad de alfajores dibujada corresponda a , puede plantear que co-rresponde a , lo que simplifica considerablemente el problema.

    PROBLEMAS

    1) Una panadera recibe una bandeja con alfajor-citos de dulce de leche para vender. Si en este

    dibujo estn representados de los alfajorci-

    tos porque el restoya se vendi:

    a) Cuntos alfajorcitosse vendieron?

    b) Cuntos alfajorcitostraa la bandeja?

    2) Se sabe que de los globos son rojos. Cun-tos deben pintarse de ese color para que la afir-

    macin sea correcta?

    3) Este piln de monedas es slo de los ahorrosde Martn. Es posible saber cuntas monedastiene ahorradas en total?

    4) De todas las bolitas que Pablo tena, perdi .En la ilustracin pueden verse las que le queda-ron. Dibuj cmo era la coleccin completa debolitas.

    FRACCIN DE UNA CANTIDAD

    13

    23

    14

    1

    4

    12

    13

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    G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula34

    Otro recurso al que se puede apelar es la definicin de fraccin que sirvi co-mo punto de apoyo para resolver los ejercicios anteriores. As, por ejemplo, si lacantidad de alfajores dibujada es , entonces la bandeja entera debe tener 3veces esa cantidad.

    En esta primera secuencia formal de operaciones con fracciones hasta ahora seenfrentaron a diversas situaciones de suma; por ejemplo, al componer el kilo conpaquetes de diferentes cantidades de caf, o al tener que calcular cmo llegara un nmero entero en las situaciones de clculo mental se espera que losalumnos desplieguen estrategias para sumar y restar diferentes fracciones apo-yados en las relaciones de equivalencia ya conocidas. Ser importante que eldocente no introduzca algoritmos ni formalice conclusiones antes de que sediscutan colectivamente las estrategias propuestas por los alumnos.

    Se propone una primera aproximacin a la suma y a la resta y, a travs del

    trabajo, se espera que los alumnos tomen conciencia de que los conocimientoselaborados hasta el momento permiten producir los resultados que se buscan,aunque ellos no posean todava una regla general para sumar o restar.

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y8

    Como ya se dijo, se espera que los alumnos desplieguen estrategias de suma yresta de fracciones apoyados en las equivalencias conocidas. Por ejemplo, parasumar ms 1 se puede descomponer el en ms , y pensar que

    es equivalente a , entonces sumarlo primero a 1 . De esta forma la su-ma sera 2 .

    Suma y resta de fracciones

    Actividad8

    PROBLEMAS

    1) Me regalaron un chocolate dividido en 8 ta-bletas. El lunes com y el martes ms.Cunto chocolate com en total? Cunto

    chocolate tengo an?2) Sandra corre cada da de hora. Cuntas ho-

    ras corre en la semana si los domingos descan-sa? Llega a correr ms de 3 horas por semana?

    3) Compr kilo de galletitas. Si en mi alacena yatena kilos, cunto tengo ahora?

    4) En una jarra se colocan litros de jugo paradiluir y 1 litros de agua. Cuntos litros hayahora en la jarra?

    5) Anala compr metro de cinta azul, me-tros de cinta roja y metros de cinta verde.Cunta cinta compr en total?

    6) En un tarro hay kg de galletitas de agua ykg de galletitas dulces. Cul es el peso to-

    tal de las galletitas?7) Nico hizo una bandera de metros de largo,

    Martn hizo una bandera de metros. Quinhizo la bandera ms larga? Cunto ms larga?

    8) En un bidn hay capacidad para 4 litros deagua. Si en el bidn hay litros, cunta aguadebo agregar para llenarlo?

    SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

    13

    28

    38

    13

    463

    6

    35

    134

    410

    23

    12

    12

    58

    34

    32

    239

    6

    12

    12

    48

    18

    18

    58

    58 1

    248

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 35

    En el caso del problema 6 sera interesante ver que para sumar se puede pen-sar como y entonces la suma ser equivalente a kg, o sea 1 kg, perotambin se puede pensar como entonces la suma sera , tambin equi-valente a 1 kilogramo.

    Una aclaracin importante: como el docente habr notado se proponen si-multneamente fracciones con igual y diferente denominador. Esto se basa en la

    intencin de promover la produccin de diferentes estrategias para las cuales losalumnos usarn algunas relaciones ya elaboradas y generarn otras nuevas. Elcamino:

    est pensado desde un enfoque segn el cual los alumnos aplican los procedimien-tos convencionales que se ensean. En esta propuesta se espera que construyanuna posicin ms activa frente al conocimiento, atrevindose a abordar problemaspara los cuales todava no se ensearon las estrategias convencionales.

    Con esta actividad proponemos iniciar el abordaje didctico de los nmeros concoma a partir de un contexto familiar como es el dinero. Para esto realizaremosactividades que requieran: reconstruccin de una cantidad de dinero usando mo-nedas de determinada clase; escritura de expresiones que representen las equiva-lencias entre cantidades; inicio en el anlisis de la informacin contenida en lanotacin decimal; resolucin de situaciones de adicin y sustraccin que haganreferencia a precios expresados en pesos.

    "suma de fraccionescon igual denominador"

    "suma de fraccionescon distinto denominador"

    Nmeros con coma. Equivalencias con dinero

    Actividad

    9

    PROBLEMAS

    1) Problemas con monedas.a) Con monedas de los siguientes valores:

    escrib tres maneras de pagar $ 3,75. (Sepueden usar varias monedas del mismo valor.)

    b) Anot dos o tres maneras diferentes de for-mar: $ 0,87 y $ 2,08.

    2) Ms problemas con monedas.a) Para resolver en parejas: si recibs un premio

    de 15 monedas de 10 centavos, 7 monedasde 25 centavos y 13 monedas de 50 cen-

    tavos, cunto dinero recibiste?

    b) Un chico recibi otro premio con las siguientes

    monedas: 12 de 10 centavos, 2 de 1 peso, 8 de1 centavo y 3 de 25 centavos. Para saber cun-to haba ganado, us la calculadora y obtuvo elsiguiente resultado: 4,03. Sabemos que el re-sultado es correcto. Qu clculos pudo haber

    hecho para obtener en el visor de la calculado-ra ese nmero? Anot los clculos y verificcon tu calculadora.

    NMEROS CON COMA. EQUIVALENCIAS CON DINERO

    610 4

    10

    1010

    35 2

    555

  • 8/9/2019 Fracciones y numeros decimales 4 docente

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    G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula36

    ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4 Y5

    Como puede observarse, se propone aqu iniciar un trabajo sobre los nmeros concoma en el contexto del dinero. Se trata de una primera aproximacin que buscatender puentes entre lo que los alumnos saben a partir de contextos ms familia-res y los contenidos que se busca transmitir. Ms adelante, ser necesario descon-textualizar estas primeras relaciones relativas a los nmeros decimales para avan-zar en el anlisis de las propiedades especficas de este conjunto numrico.

    En el caso del problema 1 se pueden discutir en la puesta en comn las dis-tintas maneras de componer la cantidad pedida incluyendo los posibles errores.

    Podra suceder, por ejemplo, que para formar $ 2,08 un alumno proponga 28 mo-nedas de 10 centavos (confundiendo los 8 centavos con 80 centavos). Se reco-mienda que este y otros errores que puedan surgir sean sometidos a discusingrupal promoviendo no solamente tomar una postura (estoy o no de acuerdo) si-no alentando tambin la explicitacin de argumentos que la avalen.

    Se enfatizarn aquellos procedimientos en los que se realizan transformacio-nes a partir de una solucin ya propuesta, en particular las composiciones y des-composiciones de algunos nmeros, de tal manera que no sea necesario volver asumar todas las monedas. Tambin es una oportunidad propicia para establecer

    3) Si slo tuvieras monedas de 10 centavos,cuntas necesitaras para pagar justo estascantidades?

    a) $ 1

    b) $ 0,80

    c) $ 2,20

    d) $ 12,50

    e) $ 4,25

    f) $ 4,03

    g) $ 0,05

    4) Otros clculos con monedas y billetes.a) Se quiere repartir $ 1 entre 10 chicos, de

    manera que todos reciban la misma canti-dad de dinero. Cunto le corresponde a

    cada uno?- Y si se quisieran repartir $ 2 entre 10

    chicos?

    - Y si fuesen $ 5 entre 10 chicos? Y $ 2,5?- Cunto le tocara a cada chico si fuesen $

    0,80?- Y si fuesen $ 0,10?

    b) Con la calculadora.- Si pago 10 centavos con una moneda de $ 1,

    cunto me dan de vuelto? Cmo escribiras

    en la calculadora una cuenta que te d larespuesta?

    - Tengo $ 2 con 73 centavos y necesito llegar a

    $ 3, cunto me falta? Qu cuenta habraque hacer en la calculadora para saberlo?Anot la cuenta y luego comprob.

    - Cunto es necesario agregar si tengo $ 2 con3 centavos y $ 3? Cmo sera la cuenta enla calculadora?

    5) Con 3 monedas de $ 0,50; 3 monedas de $ 0,25y 3 monedas de $ 0,10, se pueden pagar justolas siguientes cantidades? Cmo? Anot losclculos posibles.

    $ 1,80$ 2,45$ 1,05$ 1,15$ 2,60

    Ser posible hacerlo de diferentes maneras?

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    Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 4 grado Apuntes para la enseanza 37

    las primeras relaciones entre las fracciones y los nmeros decimales a par-

    tir de las siguientes relaciones:

    Para tener $ 1 necesito 10 monedas de 10 centavos, entonces10 centavos = de $ 1.

    Lo mismo con otras relaciones:

    $ 1 son 100 de 1 centavo, entonces 1 centavo = de $ 1.

    En el caso del problema 1 b), se podr analizar el valor de la cifra 8 en elnmero 0,87 y en el 2,08. Se espera que los nios puedan reconocer que en el pri-mer caso corresponde a 8 monedas de 10 centavos; y en el segundo, a 8 mo-nedas de 1 centavo.

    En el caso del problema 2 a), es probable que comiencen a surgir diferentesescrituras respecto de las cantidades indicadas. Algunas posibles resoluciones:

    15 monedas de 10 centavos ................. 150 centavos7 monedas de 25 centavos .................... 175 centavos13 monedas de 50 centavos .................. 650 centavos

    975 centavos

    A partir del procedimiento anterior, 975 centavos = $ 9 y 75 centavos, yaque 100 centavos es equivalente a $ 1, entonces 900 es equivalente a $ 9 ylos 75 centavos restantes no llegan a formar otro peso.

    Pesos Centavos

    15 monedas de 10 centavos 1 507 monedas de 25 centavos 1 7513 monedas de 50 centavos 6 50

    8 1759 75

    El problema 4 (a partir del reparto de un peso entre 10 chicos) retoma la re-lacin que ya pudo haberse establecido: 10 centavos = de peso $ 0,10.

    1 centavo = de peso $ 0,01.

    Los ejemplos anteriores son en realidad una transcripcin bastante formalde modos de pensar que tienen los chicos. Tal vez en una clase aparezcan msdesordenados o no den cuenta tan claramente de lo que el alumno pens pa-ra organizar las respuestas.

    Poder plantear claramente los razonamientos de manera que otro puedaentenderlos y que quien los produjo pueda recuperarlos cuando lo necesite, esun trabajo en s mismo que requiere un tiempo dentro de la planificacin delas actividades.

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    Se propone a continuacin una serie de problemas y ejercicios que correspon-den a todos los contenidos trabajados en Pginas para el alumno. Estos pro-blemas y ejercicios pueden darse a modo de revisin o intercalarse dentro delas actividades.

    Recapitulacin

    Actividad

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    PROBLEMAS

    1) Laura quiere repartir 19 chocolatines enpartes iguales entre sus 3 amigos sin que

    sobre nada. Cunto chocolate recibe cadauno?

    2) Anala invit a 7 personas a cenar a su casa.Averigu que debe comprar litro de gaseo-

    sa por persona. Cunta gaseosa debe com-prar en total?

    3) En un envase de jugo concentrado se indicaque la preparacin se realiza mezclando

    litro de concentrado con litros de agua.Se preparar jugo con 2 litros de concentrado.Cunto jugo se obtendr en total? Cuntoagua se usar en la preparacin total?

    4) Para preparar una masa de oquis necesito 2 kgde harina. Si tengo en mi casa 1 kg, cun-

    ta harina me falta?

    5) Con una jarra de 4 litros de jugo que est lle-na, cuntos vasos de litro puedo llenar?

    6) Una panadera prepar 8 kg de masas secas.Desea empaquetarlas en bandejas de kg.Cuntas bandejas completas puede armar?Le sobran masas?

    7) La maestra de 4 grado pidi a los chicos querepresentaran con un dibujo la fraccin .Estos son los dibujos que hicieron algunos

    chicos. Cules son correctos? Si en algncaso est representada otra fraccin, escribde cul se trata.

    MARA

    DAMIN

    VALENTINA

    PAULA

    GCBA Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula38

    RECAPITULACIN

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    34

    34

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    8) Esta es la soga de Ana:

    (10 cm)

    Esta es la soga de Estela:

    (4 cm)

    Ana dice que su soga equivale a 2 veces ymedia la soga de Estela. Estela dice, sinembargo, que su soga es la soga de Ana.Quin est en lo cierto?

    9) Matas peg la mitad de sus figuritas en ellbum. Si tiene 45 figuritas en un lbum,cuntas tiene en total?

    10) En un comercio vendieron de las remeras

    que tenan. Si en el comercio an quedan 60remeras por vender, cuntas remerastenan y cuntas vendieron?

    11) Cmo pagar estos precios con monedas de50 centavos?

    $ 1$ 2$ 5$ 3,50

    - Y con monedas de 25 centavos?

    - Y de 10 centavos?- Y de 1 centavo?

    12) Una seora cambia un billete de $ 2 pormonedas de 25 centavos para hablar por

    telfono. Cuntas monedas le dan?13) Un chico cambia $5 por monedas para poder

    viajar en colectivo. Anot diferentes man-

    eras en las que pueden drselas.

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    Las publicaciones Matemtica. Fracciones y nmeros decimales.