SUMRIO

INTRODUO.............................................................................................................09

CAPTULO 1

FRAES CONTNUAS UM POUCO DE HISTRIA.......................................10

CAPTULO 2

FRAES CONTNUAS..........................................................................................13

2.1 Conceitos bsicos .....................................................................................................13

2.2 Fraes contnuas simples ........................................................................................16

2.2.1 Convergentes de fraes contnuas simples ..........................................................17

2.3 Expanso de nmeros racionais em fraes contnuas .............................................18

2.3.1 Mtodo prtico para expanso de nmeros racionais em fraes contnuas .........20

2.4 Expanso de nmeros irracionais em fraes contnuas...........................................22 2.4.1 Expanso de nmeros irracionais em fraes contnuas simples ..........................22 2.4.2 Expanso de ...........................................................................................24 2.5 Estudo da convergncia ...........................................................................................25 2.6 Fraes contnuas peridicas ....................................................................................33

CAPTULO 3

APLICAES DE FRAES CONTNUAS ..........................................................37

3.1 Aplicaes na fsica ..................................................................................................37 3.2 Aplicaes em astronomia ........................................................................................38 3.3 Expanso de nmeros racionais e irracionais ...........................................................39 CAPTULO 4

CONCLUSES ............................................................................................................42

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................43

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INTRODUO

O assunto fraes contnuas muito rico e encontra aplicaes em vrias cincias. Atravs delas possvel representar nmeros racionais, irracionais, at mesmo funes de variveis reais ou complexas e resolver problemas de fsica, engenharia, astronomia, etc.

Este trabalho no tem carter de pesquisa, mas sim bibliogrfico. Basicamente, tratamos da expanso de nmeros racionais e irracionais em fraes contnuas. Esperando com isso, contribuir para que professores do ensino mdio possam inserir o assunto aqui trabalhado no seu cronograma de ensino. As fraes contnuas praticamente no so citadas no ensino mdio e, dificilmente, um aluno em tal fase tem condies de resolver um problema que envolva essas fraes, por mais simples que seja, devido falta de conhecimento no assunto.

Com este trabalho, esperamos facilitar a vida daqueles que se interessarem por fraes contnuas. Tudo apresentado somente com a teoria necessria para a compreenso e com vrios exemplos.

O trabalho, alm da introduo, apresenta mais quatro captulos bsicos: O primeiro narra um pouco da histria das fraes contnuas, seu surgimento, a motivao para o assunto e os principais personagens de sua histria; O segundo traz toda a teoria necessria para que se possa compreender o que uma frao contnua, suas principais propriedades e, principalmente, as expanses de nmeros racionais e irracionais; O terceiro apresenta algumas aplicaes de fraes contnuas que podem ser trabalhadas em sala de aula; O quarto captulo traz concluses sobre o que foi estudado.

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CAPTULO 1

FRAES CONTNUAS UM POUCO DE HISTRIA

Para se entender qualquer assunto na Matemtica necessrio que se discorra sobre o seu contexto histrico, e em quais objetivos os primeiros estudiosos basearam as suas pesquisas, visando o fcil entendimento do assunto abordado. No caso das fraes contnuas isto no se d de forma diferente, a seguir falaremos sobre alguns importantes pesquisadores e casos em que as fraes contnuas foram aplicadas.

Conforme Lima (2010, p. 3 7) e Andrade e Bracciali (2005, p. 4 7) a origem exata de quando o conceito de fraes contnuas foi utilizado, no fcil de ser datado, pois se encontram exemplos dessas fraes por toda a Matemtica desde anos remotos. Embora os gregos j conhecessem o algoritmo de Euclides (325 A.C. 265 A.C., aproximadamente) para o clculo do Mximo divisor comum entre dois nmeros inteiros (mdc), no h evidncias de que eles o usavam para construir fraes contnuas.

O matemtico indiano Aryabhata (476-550) utilizou as fraes contnuas para resolver equaes diofantinas, mas no resolveu de uma forma geral, particularmente, usou fraes contnuas somente em exemplos especficos. Em toda a escrita Matemtica, grega e rabe, podemos encontrar exemplos e vestgios de fraes contnuas.

O primeiro uso conhecido de fraes contnuas foi dado por Rafael Bombelli (1526-1572) que em 1572 deu a aproximao de 13 por 13 3 + 46 + 46 = 185 , que um caso especial para a frmula

+ + 2 + 2 + 2 + 2 + , embora no sculo XVI j se conhecia a aproximao

+ + 2 + 2 . Cataldi (1548-1626), cientista italiano considerado o descobridor das fraes

contnuas, em 1613, obteve a aproximao para 18: 18 4& 28& 28& 28 = 4 +

28 + 28 + 28+

abreviada como

11 4& 28.& 28.& 28. . Tanto Rafael Bombelli quanto Cataldi s forneceram estes exemplos e no seguiram com os estudos.

As fraes contnuas se transformaram em objeto de estudos atravs do trabalho de John Wallis (1616-1703). Em seu livro Arithmetica Infinitorium(1655), desenvolveu e apresentou a identidade: 4 = 3 3 5 5 7 7 9 2 4 4 6 6 8 9.

O primeiro presidente da Royal Society of London, Lord Brouncker, Lord W. Brouncker (1620-1686) transformou esta identidade em 4

= 1 + 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2+

= 1 + 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 + ,

o que foi um passo importante para as aproximaes de .

Wallis introduziu as primeiras etapas para generalizar a teoria de fraes contnuas. Em seu livro Opera Mathematica (1695), Wallis colocou alguns dos fundamentos bsicos das fraes contnuas. Explicou como calcular o n-simo convergente e descobriu algumas das propriedades dos convergentes. Foi tambm neste trabalho que o termo frao contnua foi usado pela primeira vez.

O matemtico e astrnomo holands Christiaan Huygens (1629-1695) foi o primeiro a demonstrar uma aplicao prtica de fraes contnuas. Escreveu um artigo explicando como usar os convergentes de uma frao contnua para encontrar as melhores aproximaes racionais para as relaes entre as engrenagens. Essas aproximaes permitiram-lhe escolher as engrenagens com o nmero correto de dentes. Seu trabalho foi motivado pelo desejo de construir um planetrio mecnico.

Esse campo de pesquisa comeou a florescer quando Leonard Euler (1707-1783), Johan Heinrich Lambert (1728-1777) e Joseph Louis Lagrange (1736-1813) comearam a discutir sobre o assunto.

Parte da teoria moderna foi desenvolvida por Euler em seu trabalho de 1737, De Fractionlous Continious. Ele mostrou que cada racional pode ser expresso como uma frao contnua simples finita, e forneceu, tambm, uma expresso para o nmero e na forma de frao contnua:

12 = 2 + 11 + 12 + 11 + 11 + 14 + 11 + 11 +

ou

= 2 + 11 + 12 + 11 + 11 + 14 + 11 + 11 + 16 + 11 + 11 + 18 + . Euler usou esta expresso para mostrar que e e so irracionais. Demonstrou, tambm, como representar uma srie como frao contnua e vice-versa.

J.H. Lambert generalizou o trabalho de Euler sobre o nmero e. Em 1766, ele mostrou que: 1 + 1 = 12 + 16 + 110 + 114 +

. Em 1768, Lambert encontrou expanses em fraes contnuas para as funes (1 + ) , ( ) e ( ). Ele usou essas expresses para mostrar que e (x)

so irracionais se x for racional. Lagrange usou fraes contnuas para encontrar o valor de razes irracionais.

Provou tambm que os nmeros quadrticos irracionais so dados por uma frao contnua peridica.

No sculo XIX houve uma grande exploso no crescimento do estudo da teoria das fraes contnuas, principalmente com respeito aos seus convergentes. Alem disso, foram estudadas as fraes contnuas com variveis complexas como termos. Alguns dos matemticos que contriburam para este campo foram Karl Jacobi (1804-1851), Oskar Perron (1880-1975), Charles Hermite (1822-1901), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin Cauchy (1789-1857) e Thomas Stieltjes (1856 1894).

A teoria das fraes contnuas, desde o seu surgimento, se desenvolveu muito e hoje est presente em diversas reas. Tais como: em algoritmos para computador calculando aproximaes racionais para os nmeros reais, bem como para resolver equaes diofantinas, tambm esto presentes na resoluo de problemas na Fsica, Teoria dos Nmeros. Acredita-se que tanto as suas aplicaes; quanto suas pesquisas, esto longe de terminarem.

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CAPTULO 2

FRAES CONTNUAS

A teoria que segue neste captulo foi extrada de Andrade e Bracciali (2005, p. 2 33) e Santos (2006, p. 139 156).

2.1 Conceitos bsicos

Uma frao contnua uma expresso da forma

a + b a + b a + b a + b a + , (2.1)

onde a0, a1, a2,...... e b1, b2, b3,.... so nmeros reais ou complexos, ou funes de variveis reais ou complexas. O numero de termos pode ser finito ou infinito.

A frao representada em (2.1) pode ser reescrita como: + (2.2)

sendo , = 1,2,, chamados de quocientes parciais. Chamamos e , respectivamente, de denominador e numerador do quociente parcial .

Seja a sequncia { } , construda da seguinte maneira :

= = + = + + = + (2.3)

Dizemos que Cn o n-simo convergente (ou aproximante) da frao contnua representada em (2.2).

Por se tratar de fraes, possvel que certos convergentes sejam indefinidos. Por exemplo: no tem sentido se = , mas, podemos ainda considerar a correspondente uma frao contnua, fazendo uso da prxima definio.

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Definio 2.1 - Uma frao contnua converge para um valor K (finito) se no mximo um nmero finito de indefinido e = . Caso contrrio, dizemos que a frao contnua diverge.

Quando a frao contnua converge para K, escrevemos

+ + + =

A notao anterior usada para denotar tanto a frao contnua quanto sua prpria convergncia.

Usando a relao (2.3), podemos escrever = , = 0,1,2,, com = = 1, = + = , = + + = + , Verificamos que = + e = + . Desse modo, obtemos o resultado a seguir, que pode ser demonstrado por induo sobre n.

Teorema 2.1 - Sejam as seqncias {pn} e {qn} tais que , 1 (2.4)

com = 1, = , = 0, = 1 e 0 para 1. Ento, o n-simo convergente , satisfaz = , = 0,1,2, . Demonstrao: Para n=1, o resultado vlido, pois

= + = + e = = + Supondo que (2.4) seja vlido para , mostremos que tambm vale para n=k+1. = + + + + + = + + + + =

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Sendo = + e , o -simo convergente da frao contnua + + + + + . Usando a hiptese de induo para C , obtemos

= = + + = + + + + = + + + +

= + + = + + = .

As frmulas dadas em (2.4) so conhecidas como frmulas de Wallis, onde e so, respectivamente, o numerador e denominador do n-simo convergente.

Se multiplicarmos a primeira frmula de Wallis por e a segunda por e subtrairmos uma da outra , obtemos = ( )

= ( )( )( ) = =( )( ) ( )( ) = (1) . Da, segue o prximo resultado, envolvendo os numerados e denominadores de dois convergentes consecutivos:

Teorema 2.2 - Os numeradores e denominadores dos convergentes de ordem n e n-1 da frao contnua (2.1) satisfazem seguinte relao, conhecida como Frmula do Determinante: = (1) , 1. (2.5) Dividindo ambos os membros da relao acima por , obtemos

16 = (1) , Levando a

= + ( ) , (2.6) Naturalmente, 0 e 0 para 1 . Esta a n-sima soma parcial da srie + ( ) , conhecida como srie de Euler-Miding.

A seguir, damos as definies de fraes equivalentes, extenso e contrao de uma frao contnua, importantes para o desenvolvimento da teoria de fraes contnuas.

Definio 2.2 - Duas fraes so equivalentes se os respectivos convergentes de ordem n, n0, so iguais.

Definio 2.3 - Uma extenso par (mpar) de uma frao contnua uma frao contnua cujos convergentes de ordem par (mpar) so sucessivos convergentes da frao contnua original.

Definio 2.4 - Uma frao contnua uma contrao par (mpar) de outra frao contnua se seus sucessivos convergentes so os convergentes de ordem par (mpar) desta outra frao contnua.

2.2 Fraes Contnuas simples

Uma forma mais simples de (2.1) a frao contnua simples ou frao contnua regular + = + (2.7) Sendo , , , nmeros inteiros positivos e , um inteiro qualquer. Outra notao para (2.7) [ ; , , , ]. Isto , uma frao contnua simples finita uma expresso da forma + = [ ; , , ]. (2.8)

17

2.2.1 Convergentes de Fraes Contnuas Simples

Os convergentes de frao contnua simples so:

= 1 = + 1 = + 1 + 1 = + 1 + 1 + 1 + + 1

Vamos apresentar algumas propriedades algbricas desses convergentes. Como consequncia imediata de 2.1, temos o seguinte resultado para os numeradores e denominadores das fraes contnuas simples:

Corolrio 2.1 - Os numeradores e os denominadores de uma frao contnua simples satisfazem = + = + , = 1,2, , (2.9) com as condies iniciais = = 1 = 1 = 0 . Observamos que p e q no definem numerador e denominador de convergente . De (2.5), obtemos a Frmula do Determinante para as fraes contnuas simples = = (1) , 0, (2.10) o que nos leva ao resultado seguinte

Corolrio 2.2 - Todo convergente = , 1, de uma frao contnua simples um racional irredutvel, isto , o mximo divisor comum entre e 1.

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Demonstrao: Suponhamos que exista r inteiro tal que p = rp e q = rq , onde p e q . Assim, de (2.10), p q p = = (1) . Dividindo o primeiro e o ltimo membros da expresso anterior por r, obtemos = ( ) . Assim, basta fazer = 1. 2.3 Expanso de Nmeros Racionais em Fraes Contnuas

Se um nmero racional, ele possui uma expanso em frao contnua simples finita dada por:

= + = [ ; , , ] (2.11) A representao de um nmero racional por uma frao contnua simples no uma tarefa difcil, como pode ser visto nos exemplos a seguir.

a) = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = [1; 2,7,4]. Ou seja, o nmero admite uma expanso em frao contnua simples finita.

b) = = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = [1; 2,7,4].

Os nmeros racionais e so equivalentes, por isso tm a mesma representao por fraes contnuas.

c) = 0 + = 0 + = [0,1; 2,7,4].

d) = 1 = 1 + 1 = 2 + = 2 + = 2 + =2 + = 2 + = 2 + = 2 + Logo,

19 9162 = 2 + 11 + 11 + 17 + 14

= [2; 1,1,7,4]. Nos exemplos anteriores, mostramos a representao de alguns nmeros

racionais usando fraes contnuas simples. O prximo teorema afirma que todo nmero racional admite esse tipo de representao. Teorema 2.3 - Qualquer frao contnua simples finita representa um nmero racional. Reciprocamente, qualquer nmero racional pode ser representado por uma frao contnua simples finita. Demonstrao: A demonstrao da primeira parte imediata, pelo fato de se tratar de uma frao contnua simples finita. Para provar a recproca, consideremos um nmero racional qualquer. Pelo algoritmo da diviso, obtemos = a + , onde 0 < e a = . Se r = 0, um numero inteiro e nada h para provar. Porm, se r 0, ento fazemos = + 1 , 0 < < . Fazemos o mesmo para e obtemos = + , 0 < . Se r = 0, temos = + 1 = [ ; ] Terminando a prova. Se r 0, repetimos o mesmo procedimento com a frao . Observamos que o processo termina quando r = 0 para algum , o que ocorre, pois > > > uma seqncia decrescente de inteiros positivos. Temos, ento pq = a + r q , 0 < r < , = + , 0 < < , = + , 0 < < ,

20

r r = a , r = 0 E, portanto, = + 1 + 1 + 1 + + 1

= [ ; , , ], Terminando a demonstrao.

Devido ao fato de = ( ) conclumos que [ ; , , 1,1] tambm uma expanso para . Como um nmero inteiro k tambm pode ser expresso como ( 1) + 1, a unicidade da expanso segue do algoritmo da diviso. Por exemplo, podemos escrever a frao contnua simples 1 + 11 + 12 + 13 = [1; 1,2,3] como 1 + 11 + 12 + 12 1 + 11

= [1; 1,2,2,1]. 2.3.1 Mtodo Prtico para Expanso de Nmeros Racionais em Fraes Contnuas

Supondo = 0 para algum e procedendo como na demonstrao do

Teorema (2.1), chegamos a um mtodo prtico para encontrar a representao do racional em frao contnua simples, da seguinte maneira pq = a + r q p = a q + r , 0 < r < . Porm, pq = a + 1qr . Repetindo o mesmo procedimento, obtemos qr = a + r r q = a r + r , 0 r < r , r r = a + r r r = a r + r , 0 r < r r r = a + r r r = a r + r , 0 r < r , r r = a + r r r = a r , r = 0

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Este o algoritmo das divises sucessivas de Euclides, usado para determinar o Mximo Divisor Comum entre e , que sempre ser igual a , e pode ser resumido na tabela abaixo.

a a a a r r r r =0

Propriedade 2.1 - Existe uma nica representao de de forma que [ ; , , ], com a 2. Demonstrao:

De fato, se a = 1, a representao no nica, pois 1 = 1( 1) + 11. Da, [ ; , , 1,1] tambm uma expanso de . Do algoritmo de Euclides, temos que a = , mas como r > r , temos a > 1. Como a um inteiro positivo segue que a 2. A unicidade da representao decorre do fato de ser nica a representao para [ ; , , ] atravs do algoritmo de Euclides, com 2.

A partir de agora, nesse trabalho, consideraremos a 2 para fraes contnuas simples finitas [ ; , , ]. Propriedade 2.2 - Sejam > e = [ ; , , ]. Ento, = [0; , , , ]. Reciprocamente, se = [0; , , , ], ento = [ ; , , ]. Demonstrao:

() por hiptese, p>q implica em = 0 + . Porm, = [ ; , , ], logo = 0 + 1 + 1 + 1 + + 1

= [0; , , , ]. () Se, por hiptese,

22 = [0; , , , ] = 0 + 1 + 1 + 1 + + 1

, ento, = 1 = 10 + 1 + 1 + 1 + + 1

= 11 = ,

onde

= + 1 + 1 + 1 + + 1 = [ ; , , ],

completando a demonstrao. 2.4 Expanso de nmeros irracionais em fraes contnuas 2.4.1 Expanso de nmeros irracionais em fraes contnuas simples

Para construir uma expanso de um nmero irracional em frao contnua simples, utilizaremos substituies sucessivas, da forma que descreveremos a seguir.

Sejam um nmero irracional qualquer e a = . Onde o operador a significa maior inteiro menor que a. Ento x pode ser escrito como = + , sendo 0 < < 1. (2.12) Assim,

= 1 > 1 um numero irracional.

Da mesma forma, podemos escrever = + sendo a = 1 e 0 < < 1,

e, obtemos ento

23 = 1 > 1, que, tambm um nmero irracional.

Repetindo esse processo, sucessivamente, obtemos as equaes

= + 1 , > 1 = + 1 , > 1, 1, = + 1 , > 1, 1,

Com , , , , inteiros e , , , , irracionais. Naturalmente, o processo anterior s terminaria se tivssemos = para

algum , o que impossvel, pois um nmero irracional para todo . Fazendo substituies dos respectivos i=1,2,...,n,... na equao (2.12), obtemos uma frao contnua simples infinita,

= + 1 = + 1 + 1 = + 1 + 1 + 1 = + 1 + 1 + + 1 + = [ ; , ],

que a expanso do nmero irracional x.

Exemplo: Expressar 3 como uma frao contnua simples. Como

3 = a + 1x = 1 + 1x temos

x = 13 1 = 1(3 1) (3 + 1)(3 + 1) = 3 + 12 , ou seja,

24 3 = 1 + 1x = 1 + 13 + 12 . Da, 3 + 12 = 1 + 1x , o que nos fornece,

x = 13 + 12 1 = 3 + 1. Dessa forma,

3 = 1 + 1x = 1 + 11 + 1x = 1 + 11 + 13 + 1, ou seja,

3 + 1 = x = a + 1x = 2 + 1 Portanto,

x = 1(3 + 1 2) = 3 + 12 . Como x = x , conclumos que x ser igual a x e desta forma, continuando com este processo, iremos obter para a seqncia a , a , a , os valores 1,1,2,1,2,1,2,... . Logo a frao contnua infinita representando 3 ser dada por: 3 = [1,1,2,1,2,1,2, ]

2.4.2 Expanso de =

Quando = , sendo um nmero natural que no um quadrado perfeito, podemos, tambm, encontrar a expanses em fraes contnuas, que podem no ser simples, da seguinte forma:

Encontramos a e b naturais tais que = + e calculamos

25

= + + = + = 2 + . Assim, temos que

= . (2.13)

Substitumos, agora, na equao (2.7), o valor de no seu prprio denominador, do lado direito da igualdade = 2 + 2 + = 2 + 2 + 2 +

. Fazendo isto, sucessivamente, obtemos N = a + 2 + 2 + 2 +

2.5 Estudo da Convergncia

Os convergentes de fraes contnuas simples so:

= + 1 + 1 + + 1 = , 0,

seus numeradores e denominadores satisfazem a equaes (2.9).

Consideremos, ento, a frao contnua simples = 4 + . (2.14) Teremos ento,

= = 41 = 4 = 4, = = 4 + 28 = 348 = 4.25, = = + + = 8 34 + 48 8 + 1 = 27665 = 4.2461538, = = + + = 8 276 + 348 65 + 8 = 2242528 = 4.2462121,

26 = = + + = 8 2242 + 2768 528 + 65 = 182124289 = 4.2462112, = = + + = 8 18212+ 22428 4289+ 528 = 14793834840 = 4.2462112. Sabemos que 18 = 4,2426406. Desta forma, a frao contnua (2.14) pode ser obtida da expanso de 18. E, os convergentes desta frao contnua convergem para 18. Antes de demonstrarmos que este resultado vale para qualquer frao contnua simples infinita, veremos algumas propriedades.

Propriedade 2.3 - Os convergentes de fraes contnuas simples infinitas satisfazem C C = ( ) , n 1, (2.15) C C = ( ) , n 2. (2.16) Demonstrao: Para 1, dividimos ambos os membros de (2.10) por q q , obtendo p q p q = (1) q q e Chegamos em (2.15).

Para mostrar (2.16), tomamos C C = p q p q = p q p q q q . Como, p q q p = (a p + p )q (a q + q )p = a (p q p q ) = a (1) , Ento,

C C = a (1) q q .

Teorema 2.4 - Os convergentes de ordem par, , de uma frao contnua simples infinita formam uma seqncia numrica crescente, enquanto que os convergentes de ordem impar, , formam uma seqncia decrescente e todo convergente de ordem par menor do que qualquer convergente de ordem impar. Alm disso, cada

27

convergente , 2 , esta entre os convergentes e . Os termos da seqncia { } satisfazem < < < < < < < < < . (2.17) Demonstrao: Como a > 0, para 1 e q > 0, para 0, ento, de (2.16), temos C C = ( ) > 0 C < C , (2.18) C C = ( ) < 0 C < C , (2.19) e, de (2.15), temos C C = ( ) < 0 C < C (2.20) C C = ( ) > 0 C < C . (2.21) De (2.18) e (2.19) podemos concluir, respectivamente, que { } uma sequncia crescente e que { } uma sequncia decrescente. De (2.18), (2.19) e (2.120) podemos escrever < < < . (2.22) Portanto, , esta entre C e C . Em (2.22), fazendo

n=1, teremos < < < . n=2, < < < . Portanto < < < < < . n=3, < < < . Logo, < < < < < < < .

Procedendo da mesma forma, obtemos < < < < < < < < < , concluindo a demonstrao.

Teorema 2.5 - Toda frao contnua simples infinita convergente e seu limite, L, dado por = lim = lim . Demonstrao: Suponhamos que { } uma seqncia crescente e que { } uma seqncia decrescente. De (2.17), podemos, ainda, notar que

, pois { } limitada superiormente por

28

e , pois { } limitada inferiormente por . Mostremos que = . Sabemos que = . Assim, 0, pois os valores q so inteiros, positivos e q < q , uma vez que q = a q + q . Logo, lim ( ) = 0, ou seja, = 0. Portanto, = , o que demonstra o teorema. Teorema 2.6 - A sequncia dos convergentes { ) converge para um nmero irracional.

Demonstrao: Suponhamos lim C = = , p,q . Logo, lim p q = pq lim p q = pq .

O Teorema 2.4 diz que p q < pq < p q . Da, p q pq > 0 p q pq q q > 0. Como, p q pq e . Logo, p q pq 1. Dividindo ambos os lados por q q, obtemos p q pq q q 1q q, ou seja, . Mas, p q pq < p q p q = C C = 1q q , ou seja, < . Portanto, q < para todo 1. Contradio, pois {` } uma seqncia crescente.

29

Definio 2.5 - Considere a frao contnua = [ ; , , , ]. Definimos como cauda de ordem n da frao contnua x a frao contnua = [ ; , , ] (2.23) fcil verificar que = [ ; , , , ] e x = a + . Logo, a < x < a +1 e = + + . Podemos, agora, demonstrar o importante resultado a seguir.

Teorema 2.7 - Se um nmero irracional positivo x expandido em uma frao contnua simples infinita [ ; , , ], ento = , onde { } a seqncia dos convergentes da frao contnua [ ; , , ]. Demonstrao: Tomando

= + 1 + 1 + + 1 + 1 + .

teremos,

= + 1 + 1 + + 1 + 1 ,

onde a cauda definida por (2.23). Como >

= + < + , < < + , ou, 1a > 1x > 1a + 1a . temos, ento,

30

C = a < x < a + = C C < < C . C = a + > = a + > a + = C C < < C . = a + < a + x < C . Portanto, C < < C .

Continuando desta forma, conclumos que C < < C , n = 0,1,2, . Pelo Teorema 2.3, lim = lim = = . Assim, os resultados anteriores nos garantem que o limite dos convergentes da frao contnua (2.14) 18, isto , lim = 18. Teorema 2.8 - Seja x um irracional qualquer e { } a sequncia dos convergentes da frao contnua simples associada a x. Ento, | | < | |, 1. Demonstrao: Tomemos = [ ; , , , ], onde x = [a ; a , ]. Sabemos que = + + . Da, obtemos ( + ) = + , que, para 1, pode ser escrita como ( ) = x . Dividindo-se a ltima equao por e calculando-se o valor absoluto, obtemos < . Como > 1 para 1 e, alm disso, > > 0, segue que 0 < < 1. Assim,

31 < , k 1, o que mostra o resultado.

Teorema 2.9 - seja x um irracional qualquer e { } a seqncia dos convergentes da frao contnua simples associada a x. Ento, < | | < < , 1. (2.24) Demonstrao: Temos que

= (1) , 1 e, portanto, | | = , 1. (2.25) Logo, pelo teorema anterior, segue que | | = | | | | | | > | || | = | |. (2.26) Como, do Teorema 2.2 e de (2.25), < < ou < < , segue, imediatamente, que | | < | | = . Portanto, da ltima desigualdade acima e de (2.26), obtemos 12 < < 1q q < 1 , pois > . A seguir daremos um resultado sobre convergncia de fraes contnuas de um tipo especial, ou seja, da forma

1 1 1 1 1 , onde = (1 ) , 0 < 1 e 0 < < 1, 1. Para isso, mostraremos, primeiramente, dois lemas.

Lema 2.1 - Seja = 0, ento, o n-simo denominador parcial da frao contnua 1 11 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1

32 = (1 )(1 ) (1 ), 1. (2.27) Demonstrao: Usando as frmulas de Wallis (2.4) e sabendo que = 0, obtemos = (1 ) = (1 )(1 ) (1 )(1 ). Assim, (2.27) vale para . Como = 1 = 1 ento, pelo principio de induo finita, (2.27) vale.

Lema 2.2 - Seja = (1 ) , onde = 0, 0 < < 1 1. Ento, a frao contnua

1 1 1 1 1 converge para (1 ) , onde

= (1 )(1 ) (1 ) . Demonstrao: seja o n-simo convergente da frao contnua dada e seja = 1 1 = 1 11 1 1 1 . Pelo Lema 2.1, = (1 )(1 ) (1 ) > 0 e, assim, usando (2.6), obtemos = 1 ( = 1)

= (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) = (1 )(1 ) (1 ) .

Portanto,

lim = lim 11 = 11 + L .

33

Teorema 2.10 - Seja = (1 ) , onde 0 < 1 0 < < 1, para 1. Ento, 1 = + , (2.28) onde

= (1 )(1 ) (1 ) . Demonstrao: O caso = 0 dado pelo Lema 2.2. Considerando, ento, > 0. Seja o n-simo convergente de (2.28) e seja o n-simo convergente da frao contnua 1 1 1 1 . De acordo com o Lema 2.2, { } converge para (1 + 1 ), onde

K = (1 )(1 ) (1 ) = 1 1 + 1 . Como = 1 , segue que { } converge para (1 + 1 K ),o que demonstra (2.28).

2.6 Fraes contnuas peridicas

Quando a seqncia dos valores apresenta repetio, ou seja, algum perodo, como no exemplo de 3, a frao contnua simples chamada de frao contnua peridica e pode ser denotada por [ ; , , , , , , , ], onde = e os valores , , , formam o perodo que se repete. A frao contnua [ ; , , , ] chamada frao contnua puramente peridica.

Chamamos irracional quadrtico um nmero irracional x que raiz da equao quadrtica + = 0, onde a,b,c so inteiros e 4 > 0 no um quadrado perfeito.

Demonstraremos agora, dois resultados importantes sobre fraes contnuas peridicas e nmeros irracionais quadrticos, que so os teoremas de Euler e Lagrange.

34

Teorema 2.11 - Se x uma frao contnua peridica, isto , se = [ ; , , , , , , , ], ento x um nmero irracional quadrtico.

Demonstrao: Primeiro, seja = [ ; , , , ], onde = [ ; , ]. Logo = [ ; , , , ] e, ento,

= + + . Isto , + ( ) = 0, (2.29) sendo e os dois ltimos convergentes de [ , , , ]. Mas, = e, assim, = . Substituindo dado em (2.29) e simplificando, obtemos + + = 0, com = ( ) , = 2( ) + ( )( + ), = ( ) E, portanto, a, b e c so nmeros inteiros. Como x irracional, ento 4 > 0, completando a demonstrao.

35

Teorema 2.12 - A frao contnua que representa um irracional quadrtico x peridica.

Demonstrao: Sabemos que um nmero quadrtico irracional satisfaz a uma equao quadrtica com coeficientes inteiros, que pode ser escrita como + + = 0 (2.30) Se = [ ; , , , , ], tomando-se = [ ; , ], ento = [ ; , , , ]. Alm disso, = + . Substituindo-se o valor acima em (2.30), obtemos + + = 0, (2.31) onde = + + , = 2 + ( + ) + 2 , (2.32) = + + . Se = 0, isto , p + + = 0, obtemos

= ( 4 ) 2 , isto ,

= 4 2 . Logo, = . Ento, a equao (2.30) tem um nmero racional como raiz, o que impossvel, pois x irracional. Portanto, 0 e a equao quadrtica + + = 0, tem como uma de suas razes. De (2.32) e da Frmula do Determinante, obtemos 4 = [2 + ( + ) + 2 ] 4( + + )( + + ) = ( 4 )( ) (2.33)

36 = 4 . Pelo Teorema 2.7, temos que > . Logo, existe um nmero , com | | < 1, tal que = + . Portanto, da equao acima e de (2.30), obtemos

= + + + + = ( + + ) + 2 + + = 2 + + . Mas, como = , temos que | | < 2| |+ | |+ | |. De (2.33), obtemos | |+ | 4 | < 4(2| |+ | |+ | |) + | 4 |. Observemos que os valores absolutos de , , e so menores do que nmeros que no dependem de k. Como , , e so nmeros inteiros, existe apenas um nmero finito de triplas ( , , ) diferentes entre si. Logo, podemos encontrar uma tripla (D,E,F) que ocorre pelo menos 3 vezes, digamos , , , , , e , , . Portanto, de (2.8), , e so razes de + + = 0. Desta forma, notamos que duas delas so iguais, por exemplo, e . Ento, = , = , = , e a frao contnua peridica.

37

CAPTULO 3

APLICAES DE FRAES CONTNUAS

A teoria de fraes contnuas tem vasta aplicao na resoluo de problemas e em descobertas na Matemtica. Abaixo relataremos alguns problemas utilizando a aplicao desta teoria.

3.1 Aplicaes na Fsica

Vejamos uma aplicao das fraes contnuas em um problema de fsica. Considere o circuito eltrico misto de resistncias R=1. Lembrando que, se e so resistncias em srie ento a resistncia equivalente = + e se e so resistncias em paralelo ento = + , queremos calcular a resistncia equivalente do circuito para um nmero extremamente grande de linhas. Seja a resistncia equivalente do circuito esquerda da Linha n. Depois de alguns clculos, por induo, teremos que = 2 + 11 + .

Logo, fazendo n tender ao infinito, a resistncia equivalente do circuito se aproximar da frao contnua simples dada por [2;1,2,1,2,1,...]. tal frao contnua tem a seqncia de seus convergentes tendendo a 1 + 3. Portanto, a resistncia equivalente do circuito ser aproximadamente 1 + 3 (LEMES e SALOMO, 2006 p.1 3).

Outra aplicao que podemos citar o caso em que um fabricante de relgios precisava produzir dois tipos de rodas dentadas na razo 2:1. O problema trazia a informao de que era impraticvel que estas rodas tivessem mais de 20 dentes, o mesmo pede que se encontre algumas possibilidades para os nmeros de rodas que iro aproximar a razo desejada, utilizando as aproximaes dadas pelos convergentes consecutivos de uma frao contnua simples.

A resoluo se d da seguinte forma: A relao de transmisso, da coroa (engrenagem maior) para o pinho (engrenagem menor, pode ser representada por = 2, onde x representa o nmero de dentes da coroa e y representa o nmero de dentes do pinho, com x e y inteiros positivos.

Para representar a raiz na forma de fraes contnuas, a primeira soluo que encaminhamos o procedimento aritmtico. Este consiste em escrever, seqencialmente, os convergentes at se obter uma frao que responda a questo, ou seja, que respeite a condio de contorno dada pelo limite de 20 dentes, para a engrenagem maior (coroa). c = 2 = 1,4142136 = 1 (1 convergente)

38 c = 2 = 1,4142136 = 1 + 0,4142136 = 1 + 12,4142136 1 + 12= 32 (2 ) c = 1 + 0,4142136 = 1 + 12,4142136 = 1 + 12 + 0,4142136 = 1 + 12 + 12,4142133 1 + 12 + 12 = 75 (3 ) c = 1 + 12 + 12,4142133 = 1 + 12 + 12 + 0,4142133 = 1 + 12 + 12 + 12,4142151 1 + 12 + 12 + 12 1 +

12 + 152 = 1 +1125 = 1712 (4 )

Desta forma o 4 convergente nos revela que o n de dentes da coroa seria 17 e do pinho 12, com aproximao dada por: 17 12 = 1,4166667, o que proporciona uma aproximao correta at a ordem das centenas, que para um par de engrenagens usuais satisfatria (POMMER, 2009 p. 3 4). 3.2 Aplicaes em Astronomia

Outro ramo que utiliza aplicaes de fraes contnuas a astronomia. Vejamos o problema abaixo com sua resoluo dada em fraes contnuas.

Pommer (2009, p. 11 12 ) traz que, no ano trpico, aquele que marca as estaes, tem a durao mdia de 1 ano= 365 dias 5 horas 48 minutos e 46 segundos = 365,242199 dias. O calendrio Juliano, estabelecido em 45 a. C., considera a aproximao de 1 ano = 365 dias 6 horas = 365,25 dias, ou seja, tinha uma diferena de cerca de 11 minutos. Esta diferena de 11 minutos, em cem anos, causava um desvio de: 11min14 1 100 = 67400 = 1123,3333 = 1123 20 = 1843min20 . Esta aproximao tinha um problema: as estaes reais havia retrocedido treze dias em relao ao calendrio Juliano. Em 1582, o papa Gregrio III convocou matemticos e astrnomos para resolver este problema. Desde 45 a.C. at 1582, se passaram 1627 anos, sendo o desvio acumulado desde ento:

18 43 20 100 1627 = 1096598 = 18276 38 =304 36 38 = 12 16 36 38 Para tal, principiou- se em se calcular o desvio proporcionado para um dia. Se

em 1 ano o desvio de 11 min 14 s (674 s), ento 1 dia= 24 h = 1440 min = 86400 s

39

proporciona um desvio dado por : 86400 s :674 s = 128,19 anos. Assim ocorre um desvio de 128 anos para cada dia, ou ainda, de cerca de 3 dias em cada 400 anos.

Este encaminhamento proporcionou uma pequena alterao na intercalao de trs anos de 365 e um ano de 366 dias do calendrio Juliano. Para retirar estes trs dias, a regra foi introduzir o ano bissexto, que era aquele dado pela seguinte regra: os anos mltiplos de 100 deixariam de ser bissextos, exceto pelos mltiplos de 400.

Enquanto a durao media do ano Juliano era de 365 dias 6h, com a retirada de trs dias do calendrio gregoriano, o valor passou a ser 365 dias = 365,242500 dias 5 horas 49 min 12 s., o que ainda causa uma diferena de cerca de 26 segundos do valor real.

A durao media de 1 ano= 365 dias 5 horas 48 min 46 s = 365,242199 dias. A frao = = .

A frao contnua correspondente a 1 ano = 365 dias 5 horas 48 min 46 s = [365;4,7,1,3,5,64]. O 1 convergente 365 dias. O 2 convergente dado por: 365 dias, prpria do calendrio Juliano. O 3 convergente dado por: 365 = 365 dias, ou seja, 7 anos bissextos a cada 29 anos. O 4 convergente dado por: 365 = 365 dias, ou seja, 8 anos bissextos a cada 33 anos. O 5 convergente dado por: 365 = 365 dias, 21 anos bissextos a cada 128 anos. 31 128 400 = 96,875 97 . Segundo Beskin (1987), isto uma incrvel coincidncia, levando se em considerao que na poca do para Gregoriano III as fraes contnuas no era um assunto estabelecido. 3.3 Expanso de Nmeros Racionais e Irracionais

Mostraremos agora, com intuito de exemplificar, alguns nmeros racionais em

forma de fraes contnuas:

40

Expressemos o nmero racional : 5532 = 1 + 2332 = 1 + 13223 = 1 + 11 + 923 = 1 + 11 + 1239 = 1 +11 + 12 + 59= 1 + 11 + 12 + 195

= 1 + 11 + 12 + 11 + 45= 1 + 11 + 12 + 11 + 154= 1 + 11 + 12 + 11 + 11 + 14

.

Tambm expressemos o nmero racional : 3011 = 2 + 811 = 2 + 1118 = 2 + 11 + 38 = 2 + 11 + 183 = 2 +

11 + 12 + 23 = 2 +11 + 12 + 132= 2 + 11 + 12 + 11 + 12

. Agora, expressemos, a ttulo de exemplificao alguns nmeros irracionais em

forma de fraes contnuas: Vamos obter a expanso de 7.

= 7 = 2 = 17 2 = 7 + 23 = 7 + 23 = 1 = 17 + 23 1 = 7 + 12 = 7 + 12 = 1 = 17 + 12 1 = 7 + 13

41

= 7 + 13 = 1 = 17 + 13 1 = 7 + 2 = 7 + 2 = 4 = 17 + 2 4 = 7 + 23 Como = 1, vemos que = , = , = , = , . Logo, 7 = [2,1,1,1,5,1,1,1,5, ] = 2, 1,1,1,5 . Que a expresso em forma de frao contnua: 7 = [2,1,1,1,5,1,1,1,5, ] = 2, 1,1,1,5 = 2 + 11 + 11 + 11 + 15 + 1

Abaixo a expanso do em forma de frao contnua: 3,141592654 3 + 0,141592654 3 + 17,062513285 3 + 17 + 115,99659976 3 + 17 + 115 + 11,003411841 3 + 17 + 115 + 11 + 1293,096894

[3,7,15,1,293]

42

CAPTULO 4

CONCLUSES

Este trabalho de concluso de curso apresentou de forma bem simplificada a teoria bsica de fraes contnuas.

A representao de um nmero em frao contnua pode ajudar na aproximao de nmeros racionais clssicos como e o nmero de Euler (e), pois so nmeros que sempre causam dvidas de quantas casas decimais devem ser usadas em determinadas aplicaes.

As fraes contnuas encontram aplicaes em vrias cincias, como pode ser visto no Captulo 3. Por serem aplicadas na fsica, elas podem ser estendidas s vrias engenharias: eltrica, mecnica, civil, astronmica, etc. Mas, basicamente, todas as aplicaes remetem expanso de um nmero racional ou irracional em frao contnua.

Com esse trabalho esperamos facilitar os estudos daqueles que se interessarem por fraes contnuas, pois procuramos mostrar o assunto com vrios exemplos. Com isso, pretendemos chamar a ateno, principalmente de professores do ensino mdio, onde o assunto praticamente desconhecido, para que trabalhem o mesmo junto aos seus alunos.

43

RERERNCIAS BIBLIOGRFICAS LIMA, M. A. F. Fraes contnuas que correspondem a sries de potencias em dois pontos. So Jose do Rio Preto: Universidade Estadual Paulista, 2010. p. 3 7.

( Dissertao de mestrado).

ANDRADE, E. X. L.; BRACCIALI, C. F. Fraes continuas: propriedades e aplicaes. So Carlos: Ed. SBMAC, 2005. P. 2 33.

LEMES, L. C.; SALOMO, L. A. D. Por que fraes contnuas. Uberlndia: Universidade Federal de Uberlndia, 2006. p. 1 3. ( Trabalho de iniciao cientifica).

POMMER, W. M. Fraes contnuas no ensino mdio? So Paulo: FEUSP, 2009. p.

3 4; 11 12. (Seminrio de Ensino de Matemtica).

SANTOS, J. P. de O. Introduo Teoria dos Nmeros. Rio de Janeiro: Impa, 2006. p. (139 156).