Group Work Summary

Our group consisted of Tarei King, Stephen Ticharwa, Thorsten Ziller, Jason Sabbage and Josh Scorrar.

Topics were discussed in several initial meetings and divided by interest per person. There  were  4  meetings   scheduled  over   the  past   4  weeks  which   allowed   time   to independently research chosen topics and communicate zindings to the group as a whole.

All members attended mentioned meetings and the workload was shared equally, for which help offered to members through discussion via email and physical mediums.

1

Abstract

The content of our report has intended to provide an insight into function of fractals as  well   as   investigation   of   their   relevance   to   applied   science   and   humanities.   It comprises a collective effort  encompassing research and  individual  perspective on Fractal existence through discussion of subject matter such as Geology, Art History, Computing   Science   and   Medical   Biology.   As   such   we   have   detected   signizicant utilization   of  mathematic   principles   to   facilitate   exploration   and   development   of interdisciplinary arts and thought. 

In   particular,   the   advent   of   technology  meant   computers   initially   gave   scientists opportunity   for   tangible   representation   of   the   Fractal   discovery.   The   immediate impact   on   all   other   respective   investigative   disciplines  was  now   that   a   scientizic method could be implemented to identify and depict the pervasive nature of Fractals in human culture itself.

2

Table of Contents

Group Work Summary.............................................................................................................. 1Abstract.......................................................................................................................................... 2Table of Contents........................................................................................................................ 31.   Discussion on the Historical impact of Fractals on Western Artistic Thought.......................................................................................................................................... 4

28........................................................................................................................................ 12.  Mathematical Background and Theory........................................................................ 9

2.1 The history of Fractal Theory and those involved................................... 92.2  Introduction to the maths of Fractal Geometry.................................... 102.3 Julia Sets................................................................................................................. 112.4 How to generate a Julia Fractal Set.............................................................. 12

3.  Natural Fractals and Artistic Forgeries of Nature................................................. 143.1 Briezly on Euclidean.......................................................................................... 143.2 Natural Fractals and dimensions................................................................. 153.3 Recognition of self‐similarity in nature..................................................... 153.3.1 On measurements of coastlines................................................................ 163.4 Before the computer......................................................................................... 173.5 Computer Art ...................................................................................................... 173.6 Using computers to forge nature................................................................. 18

4.  Practical Applications of Fractal Geometry............................................................. 194.1 Fractal Image Compression............................................................................ 194.2  Fractal Use in Visualization and  Simulated Terrain generation....204.3 Fractals in Hollywood....................................................................................... 214.4 Fractal Art and Fashion.................................................................................... 224.5 Emerging Fractal Based Technologies....................................................... 22

5. Fractals in medicine........................................................................................................... 235.1 How are fractals involved in the process in which certain cells form together to create organs?...................................................................................... 235.2 Technology and Maths used for understanding Fractals in Biology........................................................................................................................................... 235.3 Fractals use in Cellular structures............................................................... 255.4 Technological advances involving Fractals in Biology.........................25

Conclusion.................................................................................................................................. 27Bibliography............................................................................................................................... 28

3

1.   Discussion on the Historical impact of Fractals on Western Artistic Thought

Given the general subjective nature of Western thinking plus prolizic and voluminous accounts of History of Art, I briezly attempt to identify the 'simple' fractal, as well as provide a context for how it is applicable in unfolding 'history'. The phenomenon of evolving   History   is   impact   itself,   yet   the   fractal   can   perhaps   pertain   to,   or   be juxtaposed with it.

'Nothing exists except atoms and empty spaces; everything else is opinion' [Democritus, 400B.C]

A basic  dezinition of  a  fractal   is   imperative  if   I  am to discuss  its   inzluence or any subsequent derivation or meaning. So, what is a fractal?

‘… a fractal is a shape that, when you look at a small part of it, has a similar (but not necessarily identical) appearance to the full shape.' [https://www.fractalus.com/info/layman.html]

A geometric pattern that is repeated at ever smaller scales to produce irregular shapes and surfaces that cannot be represented by classical geometry. Fractals are used especially in computer modeling of irregular patterns and structures in nature.  [http://www.answers.com/topic/fractal]

Without attributing any specizically mathematical properties we could argue that a fractal   in   essence   is   a   demonstrable   output,   or   arrangement,   of   tangible   yet inextricable interrelationships. 

'Life on Earth is an intricate network of mutually interdependent organisms held in a state of dynamic balance. The concept of life is fully meaningful only in context of the entire biosphere.' [Paul Davies, The Cosmic Blueprint]

So how does the notion of fractals inzluence the human psyche or reach levels effecting or contributing to artistic thinking?

"The structure of the Universe is complex...Science and Art both attempt to explore this  in order to understand, and then make use of it... Maths and science seek to analyze experience while art attempts to synthesize experience."  (M.Fowler, 1996)

According to the above authors, they further suggest Architecture and Sculpture, as art   forms,   were   inevitably,   attributed   sacredness   during   connection   through (essentially institutionalized) knowledge and ritual. Places became literal 'sanctizied' environments ‐  containing   these select  perceivable  qualities  e.g.   in   land mass,   the elements,   existing   vegetation   and   animal   life.   Resultant   depiction   ranged   from echoing form, to contrasting it and not only its contents, but (historical) Architecture itself,   notably   became   a   mediating   device   for   referential   transition   (as   human) between earth and the celestial.

"...The artist is extremely aware of the limits of space. Felt as a physical presence with physical properties, it is through this medium that all of the arts are expressed. Dance,  

4

music, theatre, architecture, and sculpture, all manipulate the space/time experience…. Intelligible space enters realms of mass and boundary… Sculpture is active volume while architecture is active container…. but both require more than mere presence of form to  be discernable arts...  clear concept and experience of emotion predicate sensitive use of  materials in organization."  (M.Fowler, 1996)

Adding   to   this   example   art   historian   Albert     Elsen     (as   scrutinizer)   decidedly remarks…

"… Up until abstraction evolved in the twentieth century we know that shapes such as triangles, circles, and squares historically symbolized concepts and values. All three of  these shapes, for example, have stood for God.... the circle has stood for eternity,  resurrection… the Pythagorus triangle referred to human knowledge. In Christianity  triangular shape stood for the Trinity, and has signitied hieratic social systems... for  many painters change to the face of the square (similar to changes seen in depictions of  Christ) appears through the history of art...  often personal history and artists intentions deliver new dimensions of meaning..."  (Elsen, 1981)

As such,  perhaps the (early)   introduction of  applied geometrical  principles  in two dimensional   space   allows   for   'strengthening',   'reinforcement'   or   'solidizication'   of specizic variables or qualities pertinent to the 'artist', whose demonstrative role may predominantly serve to visually represent a desire for the designated relationships of these values, to also be held ‐ or at least 'received'  ‐ by the viewer. 

(detinition of)  Euclidean Geometry ­ Study of points, lines, angles, surfaces, and solids based on Euclid's axioms. This axiomatic method has been the model for many systems  of rational thought, even outside mathematics, for over 2,000 years… This work was long held to constitute an accurate description of the physical world and to provide a sufticient basis for understanding it. [http://www.answers.com/topic/euclidean­geometry­1]

Observing   the   inclusion  of  Pythagorus  and  also  Euclidean  geometry,   this   invokes reexamination of interrelationship with the fractal. 

"The Euclidean plane is an abstraction used to examine geometrical relationships in  two dimensions. In Nature, a perfectly tlat, rigid plane with no thickness does not exist...  In actual fact the reality is that... surfaces are twisted, convoluted, rough and irregular. In short they are fractal."  (M.Fowler, 1996)

In the case of Pythagorus, he posits that ‐ if the length of a right triangle's sides are designated  a,  b,  and  c  (where  c  is  opposite 90°)  then  a  squared +  b  squared =  c squared. So if squares (as shapes) are placed on the triangle's sides the total number on side a and b would = total number on side c, (the hypotenuse). This is considerably important   because   basically,   in   all   of   art   history,   delegated   visual   space   is (pronouncedly) dezined or contained by the proxies of  shape and form ‐ and thus appear,   inevitable   relationships   of   intersecting   line   ‐   which   as   they   straighten, comprise   a   natural   abundance   of   squares,   rectangles   and   triangular   (general) convergence. 

By terrestrial standards, certainly for those of the human eye ‐ 90° as a 'pull' ‐ for 'frame of reference', would be an unsuitable host if it were not to 'lead' the party.  That means,   that   there   is   a   tendency   for   the   viewer   to   extrapolate   from   sometimes 

5

multifaceted and intricate space ‐ some sense (literally) of  'containment' ‐ through detecting fulcrums of continuity.   Enter 90°. (Complete with Pythagarol   little black dress).

".... can a shape that is detined by a simple equation or a simple rule of construction be perceived by people other than geometers as having aesthetic value.... When the  geometric shape is a fractal, the answer is yes. Even when the fractals are taken 'raw',  they are attractive..."  (Emmer, 1993)

With   divisibility   in   mind,   the   Golden   Ratio   as   well   warrants   mention.   A   ratio ultimately  becomes an  inzinite  repeating decimal e.g.  1.666....   the  'Golden Ratio'   is sometimes referred as Phi (∅) approximately equal to 1.1.618.

"... it is extracted from the ratio of lengths of two line segments, where one line is divided (using a compass) at a particular point (the 'Golden Cut') .... and the smaller segment is in relation to the larger which is relation to the whole line (namely)...       

[ http://www.cosarch.com]

 "Our perception of the complexity of a contiguration is altered when we can tind an algorithm and a set of modules to generate that contiguration"  (Emmer, 1993)

"An entire fabric as a warp… (comprised of individual strands) its weft’s horizontal  elements interlace with stronger vertical ones becoming more stable ...Symmetry is the  working structure, while elements, such as the Golden ratio, are the weft threads…Depending on perception,  pattern of symmetry may be hidden within the layers,  suggesting only asymmetry, or absence of order, when in truth, they both coexist..."  (M.Fowler, 1996)

Inzinitely presented with the logistics of characterizing space, both artist and viewer are  confronted  with   the  human  'oeuil's  natural  gravitation  for   compositing  visual elements aesthetically, often identizied as symmetry. If it is suggested that symmetry is a concept that allows description of relationships in space and that the visual artist  is   able   to   explore   its   limits   therein,   (given   rise   and/or   opportunity   for   aesthetic 'presence')   we   could   dezine   basic   symmetry   as   characteristic   repetition   of arrangement with equality, and asymmetry as being arrangement which lacks equal quality.   Therefore   natural   symmetrical   arrangement   as   opposed   to   applied symmetrical arrangement (or movement) could be described as inherent symmetry.

"Picasso… admired more the asymmetrical constructions of symmetrical human  

6

features and objects in Cézanne’s art. … Picasso also received the idea of creating continuities in art where in nature there were discontinuities, and vice versa Cézanne’s  reduction of myriad shapes to multiples of each other found comprehension in Picasso's  conjugation of ovoid forms...and multiplicity of arcs...  (Elsen, 1981)

"... Mathematics provides a rich array of materials from which to select, limit and control, and therefore compose. Mathematics not only supplies materials but can also be applied to the problem of visual consonance, consequently contributing to both the form and content of the work... "  (Emmer, 1993)

"...Mathematical language uses the word "fold" for describing a rotation...The pentagon  is tilled with Golden Ratios and by extension the patterns that arise through 5­turn symmetry is associated with organic forms..."  (M.Fowler, 1996) 

If we expand on the principle of rotation and apply it to three dimensions in space ‐ this  posits   freedom of  movement  without   constraint   in   a   singular  plane.   Fractals dezinitively   through   their   recapitulation   relay   an   emancipated,   interdependent synergetic   process   that   substantiates   vitality   and   braces   infrastructure   for metamorphosis. 

'The crystal may be regarded as one of the basic form patterns… atoms or molecules are so spatially arranged that the unit can withstand the stresses of the environment, or be able to accommodate itself either to free space or to the pressures of continement.'David Drabkin, Biochemist

"From the distribution of foliage on a tree, to the complex neural network of our nervous system… these can be better described with the help of Fractal Geometry. In the human body, the fractal design of its components allow our organism, to greatly extend its contact surfaces to carry out the innumerable and complex functions of interchange that make life possible. This optimal structure must surely be motivated by evolutionary reasons."  (Salingaros, 2000)

In my opinion, we can thus far acknowledge that fractals possess intrinsic properties that   display   striking   resemblances   to   mathematic   principles   utilized   throughout history. Discourse unsurprisingly continues over the respective roles and impetus of Maths, Art and Science in a seemingly, sometimes misled debate of collective, versus individual cultural 'endowment' .

  But     the   necessity   for   'clout'   is   thankfully   diminished   by   the  wisdom   of   those immersed in disciplines, both historical and present day, where 'artistic' thinking and subsequent impact is an interdisciplinary method or approach ‐ if not pathway ‐ best described perhaps;  as  an  unfettered explorative   journey.  Here,   the  essence  of   the fractal prevails: complete reciprocity is perpetually summative.

"...I believe that the collective/individual mind, tries to protect itself from the ‘unknown’.  Simultaneously tlexible, it eventually evolves by incorporating new content… a possible explanation… why people spontaneously build structures that have fractal properties. We can also connect the ‘fractal ‘ universe with the mind structurally… the impact of our experiences may account for why our mind is fractal; because so is our environment… surrounded by fractal structures for millions of years….  a great deal of 

7

our mind's structure stems from this ancient relationship...."  (Salingaros, 2000)

“Faced with pure algorithmic art (of the fractal) no experienced person will fail to realize eventually that the work is neither a painting nor a photograph… it certainly does not raise the issue of 'artiticial creativity'. Yet, these are often perceived as  beautiful on their own terms. Therefore, creativity and beauty and the production and consumption of art must be viewed separately."  (Emmer, 1993)

The   fractal   then,   it   seems,   literally   conjures   magic.   Enchanting,   spellbinding, fascinatingly  hypnotic  ‐  at   times polemic    ‐    perhaps  'conjurer'  deservedly  and by inference becomes it. Yet most telling and astonishing of all, I believe, is its ubiquitous nature and  the potency of  consistency   in  all  past,  current  and  imminent,  pending permutations and/or manifestations. Essentially, it permeates culture. By default, this includes the realm of the artistic mind. 

The mind is inextricable from History as phenomenon.   As homo sapiens, perhaps relentless   examination   of   the   Fractal   and   desire   for   further   understanding   of quantiziable or identiziable complexities belies its absolute value. 

Quite   possibly,   the   unique   experience   of  witnessing   the   fractal   is   rezlection   in   a mirrored surface of interconnectedness ‐ a source for contemplative choice ‐ to be enveloped by inevitable change while seeking awareness of its profound momentum. 

What do you see in the Fractal? Or does the Fractal see something in you?

"The ancient idea of the Eastern philosophers on the interconnection between the microcosm and macrocosm is acquiring rigor in our times with the scientitic  understanding of the universal laws of nature. The discovery of fractal geometry and its role in the description of a great variety of natural phenomena plays an important part in this process." 

"... Recently I read a very interesting book: "The Evolution of Consciousness" by R.  Ornstein, a leading neuro­physiologist, on the subject of evolutionary psychology. The  author mentions a study comparing students from Western cities, which contain many horizontal and vertical outlines in their designs, but few oblique ones, to a group of Cree  Indians, whose houses contained lines in all orientations. The conclusion of the  experiment is that the urban students had less acuity for oblique lines than the Indians did, which shows that the level of complexity of the urban environment has a corresponding impact in the level of complexity of the human mind… " 

– Benoit B. Mandelbrot.

8

2.  Mathematical Background and Theory

“Although computer memory is no longer expensive, there's always a tinite size buffer  somewhere. When a big piece of news arrives, everybody sends a message to everybody  

else, and the buffer tills.” [ Benoît Mandelbrot.]

2.1 The history of Fractal Theory and those involved

When we talk about fractals we come across the Mandelbrot set which is the most famous example of fractals. It is named by the mathematician Benoît Mandelbrot.

In 1979 Mandelbrot zirst started to study fractals called the Fatou sets and the Julia sets at Harvard University.  His knowledge was based on the previous work of Pierre Fatou and Gaston Julia from France who started experimenting with fractal formulas in 1917 in Paris.

Fig 2.1 Benoît Mandelbrot inspired by Gaston Julia and Pierre Fatou

The french mathematicians were working  in  the  zield of  complex numbers.  Pierre Fatou started to focus and specialize in applying a function repeatedly by using the output  from one number as the  input to  the next which  is  known as mathematic iteration. He zigured that iterations of a simple function can produce complex outputs in graphical representations.

At the same time at the age of 25, Gaston Julia wrote an article on iteration about rational   functions  which  gained  immense popularity  among mathematicians.  As  a result of that he received the Grand Prix award. Despite his fame, his works were all forgotten until the day Benoît Mandelbrot mentioned them in his works.

Benoît  Mandelbrot’s  main   focus  was   to   come up with   the  most   simplest  possible transformation of a fractal. His main advantage to any other mathematician from the past was to use modern computers to calculate iteration functions. For the zirst time in   history  with   the   use   of   computer   technologies   he   could   calculate   and   plot   a tremendous amount of   images of   Julia  sets  with the  formula zn+1  =  zn2  +  μ.  While investigating the topology of the Julia set in depth he changes the formula into zn+1 = zn2 + c and called it the Mandelbrot set. To have a better understanding of the scientizic discovery Benoît Mandelbrot made in the 1980s we have to look into more detail.

9

2.2 Introduction to the maths of Fractal Geometry

The Mandelbrot set is one of the most implemented fractals in plotting programs now a days. It is produced by the formula: [1]

zn1 zn2 c

The variables z and c are complex numbers such as 3 + 2i. The formula is iterated until   |zn|   is   greater   than   or   equal   to   the   bailout   value   2.   Then   the   pixel   that   c corresponds to is colored according to the number of iterations that occurred before the   process   bailed   out.   The   uninteresting   black   area   of   the   image   is   the   actual Mandelbrot Set. It consists of all the values for c where |zn| never got larger than 2. Of course this area is impossible to change accurately, so the program decides to color black all pixels for which |zn| never gets larger than 2 for a given number of iterations. [2]

It is astonish that such a simple formula can produce such an interesting picture. If you zoom into the image you will zind sections that look the same as portions of the image at other zooms. This inzinite level of detail is common to all fractals and makes them so fascinating.

Fig 2.2 “The best know fractal and one of the most complex and beautiful mathematical objects known.” - Adrien Douady.

10

2.3 Julia Sets

Fig 2.3: Original Mandelbrot Fractals. (Mandelbrot B. 1983)

Julia sets are created with the same formula as the Mandelbrot set, but they use the formula differently. For the Mandelbrot set, c is the point being tested, on the complex plane. For the Julia set, c remains constant. From this dezinition, you can see that there is an inzinite number of Julia sets. One for each value of c. In fact, there is a Julia set that   corresponds   to   each   point   on   the   complex   plane.   There   is   an   interesting relationship between the Mandelbrot set and the Julia sets. In a way, you can think of the Mandelbrot set as an index for the Julia sets. For values of c that are inside the Mandelbrot set,  you will  get  connected Julia sets.  That  is  all   the black regions are connected.  Conversely,   for   those   values   of   c   outside   the  Mandelbrot   set,   you   get unconnected sets. 

Fig 2.4: Discetion of the Mandelbrot Fractal. (Mandelbrot B. 1983)

11

2.4 How to generate a Julia Fractal Set

Fig 2.5 Examples of a simple and a more complex Julia set. (cite needed for picture)

We put   in  a  complex number  z,   then multiply   it  by   itself   ,  and then add another complex number c to the result. The c is a complex constant, that is, a number that  does not change throughout the entire fractal calculation. [4]

Let z = 2 + 3i and c = 4 + 5i.f(z) = z2 + c =[(2 + 3i) · (2 + 3i)] + (4 + 5i) =[(2 · 2) + (2 · 3i) + (3i · 2) + (3i · 3i)] + (4 + 5i) =[4 + 6i + 6i + (-9)] + (4 + 5i) =(-5 + 12i) + (4 + 5i) =-1 + 17iSo f(z) = f(2 + 3i) = (2 + 3i)2 + (4 + 5i) = -1 + 17i.

The next thing we need to do is to zind out  the size or norm of a complex number.

The norm of a real number is just the number itself. For example the norm of 7 is 7. 

To zind out the norm of a complex number is a bit differently:

z x yi (x 2 y 2)

As an example we have:

3 4i (32 ( 4)2 (916) (25) 5

With   this  knowledge   in  mind  we   can  understand  now how a   computer  program handles   a   function   with   complex   numbers   to   output   a   Julia   set   in   a   cartesian coordinate system:

1.) We  have   to  determine   the   size   of   the   cartesian   coordinate   system  on   the computer screen. For example: Resolution: 900 x 900 = 81’000 Pixels

2.) We set up the computer to use the mandelbrot formula f(z) = z2 + c. Then we 

12

input a complex constant value for c. For example: c = 4 + 5i

3.) The  computer   starts   calculating   in   the  upper   left   corner  of   the   coordinate system. In this  example it would be (‐900,900). The computer program is set up to interpret these values as (‐900,‐900). These two values are then be used as x and y in the function.

4.) The computer calculates the function and uses it’s result to calculate its norm.

5.) If this norm is smaller then the parameter of the coordinate system, then the resulting x and y values of the function become the new input value for the same function. This iteration will be repeated until the norm is bigger then the parameter of the coordinate system. There is also an inbuilt limitation of 256 iterations otherwise some functions run in a loop forever.

6.) Once   the  norm  is  bigger   than  the  parameter  of   the   coordinate   system  the calculation stops and records the amount of iterations that occurred. Then the computer program goes to the next pixel in the cartesian coordinate system and returns to step 4.).

7.) The number of iterations tells the computer what color this very zirst pixel has. For example the iteration would be 55 which could mean that the color of this pixel is red. The next pixel has an iteration of 54 which could mean that it has a slightly lighter shade of red. etc. [5]

8.) Step 3.) to 7.) are repeated 810‘000 times for all the pixel on this particular coordinate system. If we multiply the amount of maximum iteration that could occur to the amount of pixel then we can see how it can take up to 900 x 900 x 256   =   207‘360‘000   calculations   for   each   fractal   image.   Also   take   into consideration that some of the complex numbers are much more complicated to calculate than the one shown above.

13

3.  Natural Fractals and Artistic Forgeries of Nature

“the more things change, the more they stay the same”

‐Glenn Elert, Mathmatics in the Digital age, 1995‐1998.

Fractal   based   visualisation  was   not   realised   in   a   complex   iteration   prior   to   the invention of the computer.

Benoit  B.  Mandelbrot   (who  worked   for   IBM)   in   the  1970’s  argued  against  Euclid geometric   laws   and   theories,  which   ignore   “formless”   shapes   such   as   coastlines, mountains and clouds.    As with any progression of  knowledge and the  increasing contribution   to   the   ‘global   intelligence’,   Mandelbrot’s   ideas   separated   from   the existing Euclid theory – Euclid of course, separating from Newton theory before that and herein lies a great irony which is; progression of ideas can be seen to have a self­similar nature and are in fact, fractal in nature.  

Fractals in nature have a different story in the context of this report.   The continued discussion will visit a brief history of why fractals are a more accurate measure for natural  occurrences   (such  as   coastlines,   leaf  perimeters  and  snowzlakes),  provide examples of the theory and describe the social context and continued outcomes of the discovery of fractals in nature.

3.1 Briefly on Euclidean

Euclidean geometry described all natural shapes as “cones, sphere or cylinders”.  Any object with did not fulzil such a dezinition was coined as “noisy Euclidean geometry” and such were parasitic forms.

When one observes natural shapes such as coastlines, mountains and even snowtlakes it becomes obvious that nature cannot be included with the Euclidean dezinition.

At   this  point,   Fractal  geometry   takes  centre   stage   in  dezining  and  exploring   such shapes.   Giving them dezinition, theoretical duplication and allowing for such visuals as “the forgery of nature”  (Mandelbrot, 1983)

14

3.2 Natural Fractals and dimensions

The Koch snowzlake illustrated the true nature of fractals and could also present one of the early representations of a “forgery of nature”  (Mandelbrot, 1983)in the form of a snowzlake.

Fig 3.1  Four iterations of a Koch curve to create the Koch Snowtlake  (GNU License).

Representation on the Lindenmayer System is derived from the following:

F F F F FF = forward one.  –F = turn 60 left.  +F = turn 60 right.

3.3 Recognition of self-similarity in nature

Mandelbrot discovered that coastlines viewed from aerial photos say 1 km in radius, presented similar shapes when a level of magnizication was applied to the same image – lets say 0.5 km in scale.

Applying another level of magnizication, the same result was evident and proving a level of self‐similarity was present in coastlines.

15

3.3.1 On measurements of coastlines

In a basic form, to measure a coastline one would start with two or more point at two heads of the coastline and join with a straight line.  We would then take a smaller scale and repeat the process – therefore gathering a more accurate depiction, and repeat the process again.

Fig 3.2:  Example of scaling  measurements of the university(Yale University , 2009)It should be quickly deduced that this method yields two fundamental issues:

1. The reduction of scale can occur a theoretical inzinite amount of times – making the length of the coastline inzinite in theory.

2. Measuring at such scales in practically impossible.

3.3.2 On Rivers and mountains

Fractals are evident within satellite images of rivers and channels of a continent or land mass.  Magnizication on the whole will reveal another self‐similarity within rivers themselves as displayed below.

Fig 3.3 self similarity of a river bed, magnitied to show self  (Yale University , 2009)

16

3.3.3 Visual examples of other fractals found in nature

Fig 3.4  Other fractals found in nature  (Yale University , 2009)

3.4 Before the computer

Although   simple   fractals  where   found   historically   throughout  many   ages   in   art, religion and nature their visual  conception circa 1970‐1980 in a complicated way extending past say 10+ iterations.  To appreciate this statement, one would only have to consider drawing zigure 1. – the Koch snowzlake up to 10 iterations are realise the time involved and the level of intricacy extends past that of even the more patient human.

Throughout the report Mandelbrot and his fractal set has been mentioned.  Some 256 iterations were required to create the complex set, of which would be the life work of one person had this been undertaken by hand.

However, simple fractals are witnessed throughout history in different places and it would be prudent to mention these places by visual reference only.

Fig 3.5 Castel del Monte was the hunting seat of the Hohenstaufer Emperor Friedrich II  in Apulia 1240 ­ 1250 ­  (SALA, 2000).3.5 Computer Art

The  modern   computer   overcame   the   difziculty  with   iteration   and  with   powerful graphics engines, more and more interesting forms of fractals were able to take place. 

17

Artists,   users   and  mathematicians  were   able   to   now   visually   realise   the   inzinite pleasure and beauty of self‐similarity and self‐iteration on a large scale.

Like a well‐known mathematical equation, viewing a fractal shares an elegant and innately understood beauty.   As well as being beautiful, they represented the visual state of inzinity.

Left Fig 3.6:  “The Mandelbrot Set” – B. Mandelbrot, 1987.Right Fig 3.7 : “Composition with Black, Red, Grey, Yellow and Blue” – Piet Mondrian.

3.6 Using computers to forge nature

Evidence of fractals in nature should be clearly illustrated up to this point and paint a clear   picture   of   their   applications   and   more   importantly   the   notion   of  intinite  dimensions.

To recursively end on the zirst point made in this section,  fractals are natural and nature exists within fractals.  

Computers were initially used to visualise the vast history of fractal art and compute it at a higher iteration rate to ultimately create something, which exists in nature.

As nature itself started the discover and research into fractals, it seems only fair to illustrate   how  well   the   theory   of  Mandelbrot   and   his   predecessors  were   by   the following images created through computation means, but still fractal based.

   Fig 3.8:  3D renditions of fractal geometry produced by wiki username:  Solkoll.

18

4.  Practical Applications of Fractal Geometry

Fig 4.1 ‐ Sydney Harris, Fractal Cartoon.  

This  part  of   the report attempts to show the  impact  of   fractals and the  practical applications that have emerged as a direct or indirect result of fractal geometry. 

Nowadays    barriers   among  math,   science,   art,   and   culture  are   increasingly  being diminished due to advances in fractal geometry.

4.1 Fractal Image Compression

The use of fractals in compressing images originates from the basic   notion that in certain images parts of the images resemble other parts of the same image. Fractal algorithms  convert these parts, into geometric shapes into mathematical data called "fractal codes" which are used to recreate the encoded image. In the book the fractal geometry on Nature Benoit Mandelbrot put forward a theory that traditional geometry with its straight lines and smooth surfaces does not resemble the geometry of trees and clouds and mountains .It is no coincidence that Fractal Image Compression is best suited for nature images.

In 1987 Michael Barnsley author of the book Fractal Everywhere and Alan Sloan formed a

19

company Iterated Systems which went on to receive patents on Fractal Image Compressing.

In the 1997 Arthur Clarke documentary “Fractals- The Color of Infinity ” Barnsley describes the notion of fractal image compression to have come about from what he called the collage theorem.

The basic idea of the theorem was to cover an arbitrary picture with tiles of smaller copies of its self to form a collage, then tell the computer to look at the picture and automatically find the fractal formula of the picture then you could turn it into an entity of infinite resolution.

“If you took a fern and covered it with little ferns then you would have created a formula for a fern” .­ Michael BarnsleyThe fractals used in the image compression system are iterated functions .

In commercial application Microsoft has used fractal image compression in the Encarta Mutimedia encyclopedia.

As this is heavily patented technology one would argue that perhaps this has hindered the development of this technology and the use and development by other commercial enterprises.

4.2 Fractal Use in Visualization and Simulated Terrain generation

Using   geometric   primitives   such   as   lines,   curves   ,rectangles   and   polygons   CAD software succeeded in creating graphic representation and illustrations of man made structures  and objects . This success however could not be replicated when it came to representing natural objects such as mountains, clouds, rivers and coastline. 

In 1975 Richard F Voss  created a computer generated graphic  illustration of realistic looking  mountains using fractal iterations.  This was a breakthrough in the world of computer graphics.

Fig 4.2 Voss succeeded imitating the roughness of a mountain landscape.  ‐ Richard F. Voss.  Mountains Illustration.

With   advancements   in   computer   technology   bringing   the   development   of   super computers like the IBM Blue Gene capable of reaching speeds of petaFlops, computer 

20

graphics   have   become  more   and  more   realistic.   User   requirements   have   driven developments in the zield of simulated computer graphics,   Military,   Film Industry, Gaming Industry.

4.3 Fractals in Hollywood

When   Loren   Carpenter   ‐A   Graphic   Image   researcher   presented   a   two   minute animated zilm in 1980  showing a complicated landscape called Von Libre Hollywood immediately  realized the potential  of  the technic  ,he had used fractal  geometry to create  the  intricate  mountain  ranges  and valleys  in   the  animation.  Carpenter  was called to Lucas Films to take a leading role in the preparation of Star Trek 2 – The Wrath of Khan.  “The tilm is credited as having the tirst feature   tilm sequence created  entirely with computer graphics”   Loren Carpenter went on to be the cofounder of Pixar Animation Studios.

Fractals graphic  images of  simulated terrain and landscapes and worlds appear in most  Hollywood blockbusters utilizing computer graphics and special effects  as well as entire productions created and completed on the computer .

The technology has revolutionized the zilm as well as the gaming industries. More and more   games   are   being   released   with   realistic   graphics   of   natural   objects   like mountains clouds and rivers.

21

4.4 Fractal Art and Fashion.

The  beauty  of  nature    has   inspired  many   fashion  designers   and  artists.   It   is  not uncommon to zind fractal inspired materials on todays fashion runways. 

Fig 4.3: Mandelbrot Fractal Art Shoe by Aquavel

4.5 Emerging Fractal Based Technologies

Questions are being asked on the possibilities of creating new materials based on fractal  geometry.  Countless  aesthetic  products  are   inspired by  nature's  properties such as   roughness   ,Since   roughness   is  dezined  by   fractal  geometry,  Questions  are asked wether there are possibilities for new manufacturing or assembling techniques using fractals.

“To optimize the structure and properties of alloys, it is necessary to take into account the effect of the self­organization of a dissipative structure with fractal properties at load. This requires the development of self­organizing technologies for material  production. Fractal material science takes into account the relation between the 

parameters of fractal structures and the dissipative properties of alloys. It also takes into account the base properties of highly non­equilibrium systems and the self­

organizing process of the fractal structure in bifurcation points.”

­ V.S. Ivanova, I.J. Bunin, and V.I. Nosenko, Fractal material science: A new direction in materials science.

22

5. Fractals in medicine

Fractals recently become a large area of research in the zield of biology and medicine. The realization of fractal patterns inside the liver and lungs has resulted in the ability to reproduce certain organs like a rats liver. By adapting the use of 3D printing to print out cell structures offers the human race an extended form of life. 

5.1 How are fractals involved in the process in which certain cells form together to create organs?

The term used to describe a number of cells (primordium) that becomes a complete  functional organ is called organogenesis. This requires a precisely timed sequence of events to allow the successful generation of a working organ. Each organ has its own mechanism (method of construction) which is applied to different individuals of the same   species.  Organogenesis  initially   consists   of   rapid   expansion   of   immature functional   parts   (parenchyma)   of   an   organ,   differentiating   into   the   expansion   of functional mature tissue (stroma)  (Castro, 2006). A good example in which fractal patterns appear in an organ is the bronchi in our lungs. These fractals follow similar principles to a trees trunk ‐ branch ‐ twig pattern in order to cover a large surface area to absorb more oxygen into the blood stream. The bronchial tree generates an optimal oxygen reservoir at minimal energy dissipation. 

5.2 Technology and Maths used for understanding Fractals in Biology

As technology has adapted so has our understanding of our biological engineering. Studies using a light microscopy had measured the internal surface area of an adult human lung at 60‐80 m2 whereas using a electron microscope the results showed the estimate to be around 130 m2  (Weibel, 2005). The human lung is a fractal structure that contains 23 generations of branches (this is a very high number of branching generations   because   most   deciduous   trees   have   only   7   or   8).   The   self   similar replication of the diameter of the lungs airway vessels takes on a parent daughter design relationship of bifurcation (d0, d1, and d2). The equation reads as follows d0x = d1x + d 2 x exhibiting the property of self organization. The bifurcation exponent, x, is said to be a specizic design because its value rezlects energy dissipation during transport. (Bennett). 

23

www.stat.rice.edu/~riedi/UCDavisHemoglobin/fractal3.pdf

It is believed that this process is genetically specizied. But, it is hard to grasp that the one hundred trillion cells in a human can be coded in about 100,000 genes. All these  cells can then be broken down to the trillions of trillions of  fractals that make up cellular  membranes.   It   is  argued  that  during  organogenesis  that  not all   the cells might require a method of construction or that this method only applies at certain stages of development (Weibel, 2005). But, this contradicts how fractals self replicate. Fractals are always changing in either scale, size, rate or rotation. This is represented all throughout nature e.g. fern leaves get smaller in scale as they near the tip of the branch. 

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Thorax_Lung_3d_(2).Jpg              http://en.wikipedia.org/wiki/File:H_fractal2.png

Above (left) shows the large amount of bronchi and airways that till the lung. (right) is the Koch tree  model, this is very similar to the human airway tree

"Using [the] fractal concept will make it easier to mimic... nature and also to scale up our designs from one animal to another." (Kaazempur­Mofrad.) (Patch)

"In order to make living replacements for large vital organs such as the liver and kidney,  it is essential to integrate the creation of vasculature with the tissue engineering,"  “And the growth of these vascular networks has to be highly controlled and precise” said  Kaazempur­Mofrad. (Patch)

24

“…in 1977, morphometric studies on liver cells presented controversial results because the surface area of the endomplasmic reticulum membrane, (the sight of drug metabolism and protein synthesis had been estimated and 6m2/cm3 by Loud, whereas we (Weibel ER) had obtained a value of 11 m2/cm3” both methods used were the same but Weibels was used at 90,000 X magnitication on the electron microscope whereas Loud used a smaller magnitication.  (Weibel, 2005)

5.3 Fractals use in Cellular structures

The compact design of a well functioning organism (with all its complexity) depends on a high density of internal membrane systems. The internal membrane systems are made up of   small   fractal   rectangular   shapes  and play   the  role   in  which  chemical reactions and transfer processes take place  in a precise manner.  These membrane systems constitute 'space zilling' geometries and are thus agreeable to fractal analysis. These substances must then be transferred between different organs and cells which requires a distribution network of blood vessel and airways that also has to be 'space zilling'. Fractal concepts now lead me to believe that they are everywhere and help us to understand underlying construction principles.

5.4 Technological advances involving Fractals in Biology

In 2006 a new type of technology called 'bioprinting' was developed by Gabor Forgacs at  the University of  Missouri   in Columbia.  This  technique uses droplets of   'bioink' (clumps of cells a couple of micrometers in diameter). Forgacs has found this 'bioink' behaves just like a liquid. When the 'bioink' is applied the cells fuse together and form a layer. When the 'bioink' layer is set an alternate layer of 'biopaper' is applied and a structure can be formed. This can result in printing out any desired structure. e.g. For blood vessels successive rings of muscle and endolethlial cells are laid down on top of each‐other to create a tube like blood vessel.  (Ruis, 2006)

25

     http://www.musc.edu/bioprinting/assets/images/bioprinting02.jpg

This type of technology could provide transplant patients with new organs without worrying  about  their  body rejecting  them.  This   is  because the printed organs are constructed out of their own stem cells which are recognized and accepted by the patients body. This would minimize the waiting list  for an organ donor as well as giving the patient a less stressful operation and recovery. The discovery of fractals in biology offers us unique insights into how our cells, organs, veins, blood vessels etc. are constructed. We can now understand the process behind our biological evolution in the inzinite aspect of fractal patterns. 

26

Conclusion

Our collective zindings suggest to us that the Fractal exists as an identiziable pattern and   is   a  multiplex  process.    Within   it,   is   consistent   demonstration   of   properties pertaining   to   interrelationships   of   space,  where   voids   cannot   be   separated   from importance  to   their  surrounding.  This  conforms to our  examination of   the  fractal where not only division of space occurs but it also appears dezinitively recurrent. 

From this we conclude that the signizicance of the appearance of such an element (whether astutely aware of it or not) is clear indication that the fractal is a transfer process   enabling  economy  and  efKiciency  of   space.   Often   this   is   perceived   as expansion   or   contraction   of   changeable   structure.   This   successfully   allows interconnection   of   multiple   structures,   which   in   turn   potentiates   activity   for (animate)   growth   or   fundamental   change   of   overall   structure   as   a  whole.   Quite literally ‐ the Fractal makes sense. 

On an evolutionary scale, it would be prudent not to consider its total absence.

27

Bibliography

Bennett, S. H. (n.d.). (Department Of Pediatrics) From http://www.stat.rice.edu/~riedi/UCDavisHemoglobin/fractal.html

Castro, L. N. (2006). Google books. (L. Taylor & Francis Group, Producer) From https://docs.google.com/Doc?docid=0AVL90cL7sKJuZGhmc2ZnOGpfMGM4NTVobmhm&hl=en

Elsen, A. E. (1981). 'PURPOSES of ART' . Harcourt Brace College Publishers.

Emmer, M. (1993). The Visual Mind Art and Mathematics. Cambridge, Mass. : MIT Press.

FRACTAL MODELS IN ARCHITECTURE: A CASE OF STUDY, CH‐ 6850 (2000).

M.Fowler, R. N. (1996). 'SPACE, STRUCTURE and FORM' . Brown & Benchmark Publishers.

Mandelbrot, B. B. (1978). The Geometry of Nature.

Mandelbrot, B. (1983). The fractal geometry of nature. New York: W. H Freeman and Company.

Patch, K. (n.d.). Fractals support growing organs. From ‐1 http://www.trnmag.com/Stories/2003/073003/Fractals_support_growing_organs_073003.html 

Ruis, J. J. (2006, December 29). From http://www.fractal.org/Fractalary/Fractalary.htm

Salingaros, V. P. (2000). ECOLOGY and the FRACTAL MIND in the NEW ARCHITECTURE:  a Conversation' by Victor Padrón and Nikos A. Salingaros (This conversation was  published electronically by RUDI ­­ Resource for Urban Design Information . From http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/Ecology.html

Weibel, E. R. (2005). Fractals In Biology and Medicine Volume IV. Birkhauser Verlag, Basel ‐ Boston ‐ Berlin.

Yale University. (2009). Introduction to Fractals. Retrieved October 2009 from http://classes.yale.edu/fractals/

28