Fraktale i chaos (slajdy.pdf)

Fraktale i chaos – K. Leśniak 1

Iterowane układy funkcyjne

X — przestrzeń metryczna(w szczególności X ⊂ R lub X ⊂ C ' R2).

Rodzinę odwzorowań {fi : X → X}ki=1 nazywamy itero-wanym układem funkcyjnym (ang. IFS – iterated functionsystem).

Domknięty zbiór ∅ 6= A∗ ⊂ X nazywamy globalnymatraktorem układu {fi}ki=1, gdy przyciąga wszystkie tra-jektorie

x0fi17−→ fi1(x0) = x1

fi27−→ fi2(x1) = x2 7−→ . . .

(At) xn = fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)) −→n→∞ A∗,

i1, i2, . . . ∈ {1, . . . , k},

i A∗ jest minimalny ze względu na własność (At) tzn.każdy zbiór domknięty ∅ 6= A# ⊂ X przyciągający trajek-torie xn −→n→∞ A#, zawiera w sobie A∗.

2 Fraktale i chaos – K. Leśniak

Przykład. f : X → X – układ dynamiczny,P – orbita okresowa przyciągająca wszystkie trajektorie⇒ P – atraktor globalny IFS-u {f : X → X}.

Poniżej X = [0, 1], {f1, f2 : X → X}.

Przykład. f1(x) = 13 x, f2(x) = 1

4 x.

Ponieważ |fi(x)| 6 12 · |x|, więc

|xn| = |fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .))| 66 1

2· |fin−1(fin−2(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .))| 6

612

2

· |fin−2(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)| 6

612

n

· |x0| −→n→∞ 0,

czyli A∗ = {0}.

Znacznie wygodniej jest śledzić nie ewolucję punktów (po-jedyncze trajektorie), lecz ewolucję zbiorów („globalny ob-raz wszystkich trajektorii”). Tak też czynimy w dalszychprzykładach. Od strony formalnej podejście to wymaga jed-nak bardziej szczegółowych wyjaśnień, gdyż dla dowolnych(niezwartych) układów prowadzi do tzw. globalnego atrak-tora maksymalnego, a nie minimalnego.


Przykład. f1(x) = 13 x, f2(x) = 2

3 x + 13.

Mamyf1([0, 1]) =

[0, 1

3

],

f2([0, 1]) =[0, 2

3

]+ 1

3 =[13, 1

]

⇒ f1([0, 1]) ∪ f2([0, 1]) =0,

13

∪

13, 1

= [0, 1]

⇒ A∗ = [0, 1].

0 13 1

0 1

À

JJ

JJ

JJ

f1 f2

Wniosek: Atraktor nie musi być ani punktem stałym aniorbitą okresową.

Ogólnie atraktor może być „dziwnym” zbiorem np. eks-tremalnie niespójnym zwartym zbiorem mocy continuumalbo stanowić krzywą nieskończonej długości leżącą w ogra-niczonym obszarze.


Przykład (pył Cantora). f1(x) = 13 x, f2(x) = 1

3 x+ 23.

f1([0, 1]) =[0, 1

3

], f2([0, 1]) =

[0, 1

3

]+ 2

3 =[23, 1

],

[0, 1] f1∪f27−→ [0, 1

3

] ∪ [23, 1

] f1∪f27−→f1∪f27−→ [

0, 19

] ∪ [29,

13

] ∪ [23,

79

] ∪ [89, 1

] 7−→ . . . .

0 19

29

13

23

79

89 1

0 13

23 1

0 1

JJ

JJJ

À

À

JJ

JJJ

À

JJ

JJ

JJ

f2f1 f2f1

f1 f2

stanpo 2 iteracjach

stanpo 1 iteracji

W konsekwencji [!!]

A∗ =

∞∑i=1di · 3−i : di ∈ {0, 2}

— zbiór trójkowy Cantora.

Ćwiczenie: Zbadać układ {fi : [0, 1]→ [0, 1]}2i=1,

f1(x) = 13 x, f2(x) = 1− 1

3 x.


Przykład (dywan Sierpińskiego).X = [0, 1]2, fij : X → X ,

fij(x, y) =13x +

i

3,13y +

j

3

,

(i, j) ∈ {0, 1, 2}2 \ {(1, 1)}.

-fij

00 10 20

01 21

02 12 22

Po trzykrotnym zadziałaniu IFS-u na punkty kwadratu:


Twierdzenie 1 (kontraktywny IFS)X — metryczna zupełna, fi — kontrakcje (i = 1, . . . , k),

∃L<1∀x,y∈X |fi(x)− fi(y)| 6 L · |x− y|,| · | oznacza odległość w X. Wówczas IFS{fi : X → X}ki=1 posiada globalny atraktor.

Dowód. (Szkic, gdy X jest zwarta.)Φ : 2X → 2X — tzw. operator Hutchinsona-Barnsleya,

∀A ⊂ X Φ(A) =k⋃

i=1fi(A).

KładziemyA0 = X,A1 = Φ(A0) = Φ(X),A2 = Φ(A1) = Φ2(X),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .An = Φ(An−1) = Φn(X).

MamyA0 = X ⊃ Φ(X) = A1,

An ⊃ An−1 ⇒ An+1 = Φ(An)[!]⊃ Φ(An−1) = An.

[!] fi(An) ⊃ fi(An−1).

Dzięki zwartości X :

A∗ =∞⋂n=0

An

jest niepusty, zwarty oraz stanowi globalny atraktor IFS-u{f1, . . . , fk}.


Zwartość powoduje, że choć trajektorie nie są zbież-ne, to ich podciągi są zbieżne, a trajektorie łączniesą przyciągane. Nieco trudniej przekonać się, że zbiór A∗jest istotnie najmniejszym zbiorem przyciągającym wszyst-kie trajektorie (minimalność). £

Uwaga:

1. W szczególności powyższe twierdzenie dotyczyzwartego odcinka [0, 1] i kwadratu [0, 1]2.

2. Wszystkie dotychczas rozważone IFS-y miały stałą kontr-akcji co najwyżej L = 2

3.

3. IFS jako jednorodny schemat generowania wielu frak-tali (np. śnieżynki Kocha) został zaproponowany przezHutchinsona w 1981. W dowodzie twierdzenia o istnie-niu atraktora Hutchinson zastosował metodę wzorowanąna dynamice symbolicznej. Jako niezależną „ciekawost-kę” podał też dowód oparty na twierdzeniu Banacha opunkcie stałym.

4. Różne warianty powyższego twierdzenia z różnymi do-wodami były odkrywane od dawna choć formułowanoje przy użyciu odmiennej terminologii: np. Strother w1953, Ponomariew w 1963, Williams ok.1970 (wszyscyprzed słynną książką Mandelbrota!).


5. Przedstawiona metoda dowodu nawiązuje do twierdze-nia Knastera-Tarskiego o punkcie stałym. Twierdzenietego typu (twierdzenie Tarskiego-Kantorowicza) zosta-ło użyte do IFS-ów po raz pierwszy najprawdopodob-niej dopiero w 1985 przez S.Hayashiego, choć w 1984ukazała się praca z informatyki teoretycznej autorstwaSoto-Andrade i Varela na temat „obiektów końcowychrekursji”. Ok.1928 Knaster zreferował swój wynik doty-czący przekrojów rodzin zbiorów. Miał to być sposób naszybki dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina o porów-nywaniu liczb kardynalnych.

Twierdzenie Knastera powstałe z myślą o dowodzie twier-dzenia Cantora na temat liczb kardynalnych pozwala udo-wodnić istnienie w IFS-ach takich atraktorów jak pył Can-tora. Historia zatacza koło???


Przykład (uciekające trajektorie).X = [0,∞), f1(x) = 2x, f2(x) = 3x.

f1(0) = 0 = f2(0)⇒fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(0))) . . .)) = 0 −→

n→∞ 0.

x0 > 0, i1, i2, . . . , in ∈ {1, 2} ⇒fin(fin−1(. . . (fi2(fi1(x0))) . . .)) > 2n · |x0| −→n→∞∞⇒

dowolny zbiór {0} ∪ [a,∞), a > 0, przyciąga wszystkietrajektorie.

Ale{0} =

⋂

a>0{0} ∪ [a,∞)

nie przyciąga wszystkich trajektorii.Brak minimalnego zbioru przyciągającego(=globalnego atraktora).


Baseny Newtona

g : C→ C, f (z) = z − g(z)g′(z)

.

Zespolony schemat Newtona-Raphsona:

(NR) zn+1 = zn − g(zn)g′(zn)

= f (zn) = fn(z0).

Przykład ( 3√

1).

g(z) = z3 − 1 ⇒ g′(z) = 3z2, f (z) =2z3 + 1

3z2 .

Miejsca zerowe:

g−1(0) = {εk, k = 0, 1, 2} = {1, ε,− ε},gdzie ε = cos π3 + i sin π

3 .

Przypomnijmy: Basf(u) = {z ∈ C : zn = fn(z) −→n→∞ u}.

Basf(1), Basf(ε), Basf(− ε) — baseny Newtona.

Ciągi (NR) startujące z basenu Basf(εk) są przyciąganeprzez pierwiastek z jedynki εk.

J(f ) = C \ ⋃2k=0 Basf(εk) — zbiór Julii odwzorowania f ,

oddziela baseny.


Baseny Newtona 3√

1 zobrazowane programem Fractint.

„Zoom na węzeł”. „Zoom na ramię”.

Zagadka: które ramię zostało powiększone?


Odpowiedź (lokalizacja na lewym obrazku): lewe górneramię (górny „warkocz” w „warkoczu”). Choć sądząc porozkładzie basenów równie dobrze mogło to być górne lubdolne ramię (po obrocie obrazu).


Funkcja logistyczna

Model Malthusa

xn+1 = r · xn⇔ xn = rn · x0,

r – przyrost naturalny,xn – liczebność lub gęstość populacji.

r > 1⇒ xn −→n→∞∞ (eksplozja demograficzna).


Model Verhulsta (logistyczny)

xn+1 = r · xn (1− xn),

(0, 4] 3 r – przyrost naturalny,[0, 1] 3 xn – gęstość populacji.

f : [0, 1]→ [0, 1], f (x) = r · x (1− x)

⇒ f ′(x) = r · (1− 2x), Fix(f ) ={0, 1− 1

r

} ∩ [0, 1].


Punkty stałe

r obserwacjestabilnośćpunktów stałych

(0, 1)|f(x)| 6 r · |x| · |1− x| 6 r,

|fn(x)| 6 rn −→n→∞ 0

{0} – atraktor, przyciągawszystkie trajektorie

1f(x) = x · (1− x) 6 x,

(fn(x))∞n=0 – malejący i ograniczony{0} – atraktor, przyciągawszystkie trajektorie

(1, 3)f ′(0) = r > 1,∣∣∣f ′

(1− 1

r

)∣∣∣ = |2− r| < 1

{0} – repeler,{1− 1

r

}– atraktor

3

x > 1− 1r ⇒ f(x) < x,

x < 1− 1r ⇒ f(x) > x,

(fn(x))∞n=0 – monotoniczny

{0} – repeler,{1− 1

r

}– atraktor

(3, 4]∣∣∣f ′

(1− 1

r

)∣∣∣ = |2− r| > 1{0} – repeler,{1− 1

r

}– repeler

Przy r = 3 oba punkty stałe przestają być stabilne— pojawia się przyciągająca orbita 2-okresowa.

W r = 3 mamy do czynienia z

bifurkacją podwojenia okresu.


Bifurkacja — zmiana jakościowa w zachowaniu układudynamicznego przy zmianie któregoś z parametrów tegoukładu.

W teorii układów dynamicznych (w szczególności równańróżniczkowych) wyróżnia się kilka odmian bifurkacji.

W naszej sytuacji wraz ze zmianą parametru r pojawiająsię orbity okresowe...


Punkty dwuokresowe

Fix(f 2) \ Fix(f ) = {p1, p2},

p1,2 =r + 1∓

√r2 − 2 r − 32r

.

r obserwacjestabilnośćpunktów stałych

(3, 1 +√

6) |f ′(p1) · f ′(p2)| = |r2 − 2 r − 4| < 1 {p1, p2} – atraktor

1 +√

6dist(f(x), P ) < dist(x, P )

∀x ≈ PP = {p1, p2} – atraktor

(1 +√

6, 4] |f ′(p1) · f ′(p2)| > 1 {p1, p2} – repeler


Pojawiają się dalsze podwojenia okresu.

1 +√

6 = r1 < r2 < . . . < rn < . . . < limn→∞ rn = r∗ < 4.

r ∈ (rn−1, rn)

niestabilne orbity 2k-okresowe,k = 0, 1, . . . , (n− 2),stabilne orbity 2n−1-okresowe,brak orbit 2n-okresowych i wyższych

r = rn punkt podwojenia okresu

r ∈ (rn, rn+1)

niestabilne orbity 2k-okresowe,k = 0, 1, . . . , (n− 1),stabilne orbity 2n-okresowe,brak orbit 2n+1-okresowychi wyższych

Obserwujemy bifurkację podwojenia okresu(ang. period doubling bifurcation).

Odstępy rn+1 − rn pomiędzy kolejnymi bifurkacjamispełniają:

limn→∞

rn − rn−1

rn+1 − rn = δ ≈ 4, 6992 (tzw. stała Feigenbauma).


Ze wzrostem r kolejne orbity tracą stabilność i pojawiająsię nowe orbity stabilne. Ilustruje to „drzewo figowe”.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

Diagram Feigenbauma.

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3.5 3.52 3.54 3.56 3.58 3.6 3.62 3.64

„Zoom na gałęzie drzewa”.

Wreszcie dla pewnego r < 4 pojawiają się orbity 3-okresowe.


Twierdzenie 2 (Szarkowskiego)Uporządkujmy liczby naturalne następująco:

1 ≺ 2 ≺ 22 ≺ 23 ≺ . . . ≺ 2m . . .. . . ≺ 2k · (2n− 1) ≺ . . . ≺ 2 · 3 ≺ . . .. . . ≺ (2n− 1) ≺ . . . ≺ . . . ≺ 5 ≺ 3.

R ⊃ J – przedział domknięty, f : J → J – ciągłe.

f posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ1,τ2 ≺ τ1 ⇒f – posiada punkt okresowy o okresie minimalnym τ2.

Zatem dla r bliskich 4 odwzorowanie logistyczne posiadapunkty okresowe o wszystkich możliwych okresach. Ale tojeszcze nie chaos.


Dopiero

f (x) = 4 · x · (1− x)(przekształcenie Ulama)

zachowuje się naprawdę chaotycznie.

Ale co to znaczy chaos?

Definicja (Devaney).

f : J → J – chaotyczne, gdy

• posiada gęstą trajektorię:

∃x0 ∈ J ∀ε > 0 ∀y ∈ J ∃nxn = fn(x0) ∈ [y − ε, y + ε],

• ma gęsty zbiór punktów okresowych:

∀ε > 0 ∀y ∈ J ∃x ∈ [y − ε, y + ε] ∃τ f τ(x) = x.

Innymi słowy pewna trajektoria „nawiedza wszystkie oto-czenia”, choć trajektorie okresowe są powszechne.


Odwzorowania chaotyczne są czułe na zmianę warunkówpoczątkowych: trajektorie startujące blisko siebie po kilkuiteracjach przestają być skorelowane.

Poniżej przedstawiamy efekt „motylich skrzydeł” dla

f (x) = 4 · x (1− x), xn+1 = f (xn).

n xn xn xn xn xn

0 .09 .095 .1 .101 .10111 .3276 .3439 .36 .3632 .36352 .8811 .9025 .9216 .9251 .92553 .4190 .3519 .2890 .2770 .27584 .9738 .9122 .8219 .8011 .79905 .1022 .3202 .5854 .6373 .64246 .3670 .8708 .9708 .9246 .91897 .9292 .4502 .1133 .2788 .29808 .2630 .9901 .4020 .8042 .83689 .7753 .0393 .9616 .6298 .5463


Zastosowania chaosu

Przykład (generator losowy Ulama)

x0 – ziarno (ang. seed),f : [0, 1]→ [0, 1] – przekształcenie chaotyczne,xn+1 = f (xn), (xn)Nn=0 – ciąg liczb pseudolosowych.

50 liczb {0, . . . , 9} wylosowanych przez:

• standardowy generator Maple’a:

0, 9, 4, 5, 3, 9, 1, 1, 5, 9,6, 3, 0, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 8,8, 8, 6, 1, 4, 3, 2, 2, 7, 5,0, 6, 3, 7, 1, 8, 1, 9, 9, 3,5, 2, 0, 9, 7, 8, 4, 8, 2, 6.

• pierwsze cyfry po przecinku punktów trajektoriif (x) = 4 x (1− x) startującej z x0 = 0.095:

0, 3, 9, 3, 9, 3, 8, 4, 9, 0,1, 5, 9, 0, 0, 0, 1, 5, 9, 0,2, 8, 5, 9, 1, 5, 9, 0, 0, 0,3, 8, 4, 9, 0, 0, 2, 8, 6, 9,1, 6, 9, 2, 6, 8, 3, 9, 2, 7.


Problem: Rozkład częstości wpadania trajektorii do po-szczególnych przedziałów jest nierównomierny – powyżejotrzymaliśmy dużo liczb ”0” i ”9”.

Rozw.: Znana jest gęstość rozkładu

%(x) = 1/π√x− x2.

Generator można ujednostajnić, albo użyć odwzorowania„namiotowego”, które ma jednostajny rozkład i jest sprzę-żone z logistycznym:

T : [0, 1]→ [0, 1], T (x) =

2x, x ∈ [0, 1

2

],

2 (1− x), x ∈ [12, 1

],

Sprzężenie oznacza w szczególności, że oba odwzorowaniamają jednakowo złożoną strukturę trajektorii.

Problem: Znamy jawny wzór na trajektorie

xn =1− cos(2n arc cos(1− 2x0))

2.

Rozw.: Formuła ta nie jest zbyt użyteczna i wcale nie umoż-łiwia oczywistej predykcji dalszych wartości liczb losowych:czułość na zmiany warunków początkowych nie zezwala najakiekolwiek przybliżenia wartości funkcji trygonometryc-nych.


Kryptografia chaotyczna (Crandall)

f (x) = 4x (1− x),(0, 1) 3 x0 – utajniona wiadomość,f (x) = y – równanie kwadratowe, więcdla y istnieją dwa rozwiązania x;x1 = f−1(x0) – wybieramy Lewe/Prawe rozw. x1,. . .xn = f−1(xn−1) – wybieramy Lewe/Prawe rozw. xn— odczytujemy wiadomość xn;ciąg S1S2 . . . Sn, Si ∈ {L, P} stanowi klucz długości n bi-tów.

Problem (degeneracja chaosu): Każde odwzorowanie – na-wet chaotyczne – po obcięciu do zbioru skończonego jestokresowe (przynajmniej od pewnego miejsca). Do jakiegostopnia zdyskretyzowany chaos zachowuje złożoność dyna-miki?

Odp.: ??? (brak wiarygodnej i użytecznej definicji chaosuna przestrzeni dyskretnej).


Problem: Jeżeli komputer dokonuje zaokrągleń (np. w trak-cie obliczeń pierwiastków), to jaką mamy gwarancję wiary-godności uzyskanych wyników?

Czy obliczenia numeryczne „mają sens”?

Odpowiedź: własność cieniowania („shadowing”).

Problem: Komputer może reprezentować zbiory skończone.Czy chaos można potwierdzić komputerowo? Być może niemamy w konkretnym wypadku do czynienia z trajektoriąchaotyczną, ale z orbitą o bardzo długim okresie!

Odpowiedź: Arytmetyka przedziałowa.

Documents

Fraktale i chaos (slajdy.pdf)