Fraktali u Sketchpadu

Ljubica Baćić∗ i Vojislav Ðuračković†

1 Riječ dvije o fraktalimaFraktalna geometrija relativno je mlada matematička teorija i mnogi “laici” ostali su odu-ševljeni njome. Geometrijska interpretacija fraktala približila je ljudskom oku detalje kojepriroda stvara svuda oko nas. Od listova paprati, plodova cvjetače do razvedenosti morskihobala, primjeri su kako je fraktalna geometrija dio prirode.

Slika 1: Brokula

Što je to fraktal? Mnogo je definicija o istome, akako želimo na intuitivnoj razini da shvatite o čemuse radi, reći ćemo da je fraktal objekt čijim poveća-njem se otkriva sve veća i veća složenost. Fraktalevrlo lijepo opisuje svojstvo samosličnosti. Samosli-čan objekt je točno ili aproksimativno sličan dijelusebe, tj. cjelina ima isti oblik kao jedan ili više di-jelova. Primjetite upravo svojstvo samosličnosti nabrokuli.

Ponajveći doprinos razvoju fraktalne geometrijedao je Benoit Mandelbrot (1924. - 2010.), mate-matičar poljskog porijekla koji se školovao u Fran-cuskoj. Godine 1979. pomoću IBM-ovih računalapokušao je stvoriti svojevrstan katalog fraktala tzv.Julia skupova. Nakon toga, gotovo uzajamno frak-tali su obogatili računalnu grafiku, koja je pak, matematičku teoriju približila ljudimavizualnom interpretacijom ovih neobično lijepih i tajanstvenih oblika. Vođeni tom idejomnastojali smo jednim softverom dinamičke geometrije Sketchpad pokazati kako i sami kroznekoliko jednostavnih iteracija možete konstruirati mnoge fraktale.

Sketchpad je računalni softverski program kojim se mogu istraživati i vizualiziratimatematički koncepti te konsturirati matematički i znanstveni modeli. U članku smopredstavili tri poznata fraktala Kochova krivulja, Trokut Sierpinskog i Pitagorino stablo.∗Učitelj matematike u Osnovnoj školi Nikole Andrića, Vukovar, e-mail ljubica.bacic@skole.hr†Učitelj matematike u Osnovnoj školi Negoslavci, Negoslavci, e-mail vojislav.djurackovic@gmail.com

1

2

2 Kochova krivuljaHelge von Koch bio je švedski matematičar, koji je 1904. godine predstavio ono štose danas naziva Kochova krivulja. Spojimo li tri odgovarajući rotirane kopije Kochovekrivulje zajedno, dobit ćemo lik koji se naziva Kochova pahuljica ili Kochov otok. Ovakrivulja dosta podsjeća na razvedenost obale što je direktna primjena fraktala prilikomračunanja duljine kopna, granica i sl. Kochova krivulja nastaje iteracijom generatora(motiva). Opišimo kako se primjenom softvera Sketchpad konstruira Kochova krivulja.

Slika 2: Početna dužina AB

Slika 3: Podijeljena dužina

Slika 4: Generator ili motiv

Najprije konstruirajmo dužinu AB koju ćemopodijeliti na tri jednaka dijela. To možemo učinitina više načina, mi smo koristili dilataciju točke B uodnosu na točku A. Označimo točku A kao središte(označimo točku A −→ Transformacije −→ Dila-tirajte. . . ). Dilatiramo točku B oko središta A zakoeficijent 1

3 , a zatim za 23 , čime se dobije podije-

ljena dužina kao na Slika 3. Iznad središnjih to-čaka konstruirat ćemo jednakostraničan trokut, mo-žemo oko točke C rotirati točku D za 60◦. Nakonšto smo dobili točku D′ koristit ćemo alate Sketc-hpada za skrivanje pojedinih elemenata. Označitedužinu AB (gledajte da je samo dužina označena)kliknite na Zaslon, a zatim na Sakrijte dužinu. Na-kon ovoga spojite dužine AC, CD′, D′D i DB čimese dobije generator ili motiv koji ćemo sada daljeiterirati (vidi Slika 4).

Označimo točke A i B te na alatnoj traci podTransformacije izaberimo Ponavljanje/iteracija. . .Naš motiv ćemo sada ponoviti na svakoj od četiriprethodno konstruirane dužine. Novo pridruživanjedobijemo tako da u prozoru programa koji je “is-kočio” izaberemo Strukture te Dodavanje novog pri-druživanja. Pridruživanje načinite redom počevši odtočaka A i C, zatim C i D′, D′ i D te na posljetku Di B. Na Slici 6 možete vidjeti kako smo mi to učinili. Napomenimo i kako smo u odjeljkuPrikažite odabrali Samo posljednja iteracija. U konačnici pogledajmo kako izgleda prvihpar iteracija, odnosno kako izgleda Kochovo krivulja.

(a) Prva iteracija (b) Druga iteracija (c) Kochova krivulja

Slika 5: Nekoliko iteracija i konačni izgled Kochove krivulje

3

Jedna zanimljivost, uz oznaku a za duljinu početne dužine, možemo izračunati duljinuKochove krivulje. Uočite da se duljina Kochove krivulje povećava za faktor 4

3 . Idemoizračunati duljinu Kochove krivulje:

L = limn→∞

(43

)n

a =∞.

S druge strane, pogledajmo ima li taj fraktal površinu ili mu je možda i površina besko-načno. Iz formule za površinu jednakostraničnog trokuta i pravilnom primjenom iste naosnovice dobivene iterativnim postupkom dobivamo:

P = a2√34

(1 + 2

9 + 481 + 8

729 + . . .)

= a2√34

(1 +

n∑i=1

(29

)i)

= a2√34

(1 +

29

1− 29

)= a2√3

4

(1 + 2

7

)= 9a2√3

28

Slika 6: Pridruživanje točaka radi iteracije

Pogledajmo još neke Kochove fraktale dobivene iz Kochove krivulje.

(a) Kochova pahuljica (b) Kochova zvijezda

Slika 7: Kochovi fraktali

4

3 Fraktali SierpinskogWaclaw Sierpinski (1882.-1969.) je bio poljski matematičar, a u svijetu fraktala poznat jepo svojem trokutu i tepihu. Konstrukcija je jednostavna, radi se o “izbacivanju” trokutačije vrhove čine polovišta početnog trokuta. Postupak se zatim ponavlja na novodobivenimtrokutima. Slična ideja može se provesti i na kvadratu, gdje se dobije fraktal poznat kaoTepih Sierpinskog.

Konstrukciju trokuta Sierpinskog ćemo naravno započeti konstrukcijom trokuta4A′B′C ′

čiji vrhovi su polovišta početnog trokuta 4ABC. Postupak za izradu ovog fraktala je ana-logno kao i prethodni. Na Slici 8 možete vidjeti kako smo mi izabrali točke za iteriranje.

Slika 8: Pridruživanje točaka radi iteracije

U konačnici pogledajmo i kako izgledaju prve četiri iteracije trokuta Sierpinskog.

(a) Prva iteracija (b) Druga iteracija (c) Treća iteracija (d) Četvrta iteracija

Slika 9: Prve četiri iteracije trokuta Sierpinskog

Gotovo istu ideju kao Sierpinski, primjenio je austrijski matematičar Karl Menger(1902.-1985.) na kocku. On je 1926. objavio rad u kojem je izložio svoj fraktal Mengerovuspužvu. Zanimljivo je spomenuti kako je jedan drugi fraktal Waclawa Sierpinskog našaoprimjenu u suvremenoj tehnološkoj industriji. (vidi Slika 10).

5

(a) Tepih Sierpinskog (b) Primjena u tehnologiji

Slika 10: Tepih Sierpinskog i njegova primjena

4 Pitagorino stablo

Slika 11: Konstrukcija Pitagorinogstabla

Kad je riječ o Pitagorinom stablu, svakako se uigri nalazi pravokutni trokut. Konstrukcija ovogfraktala polazi od kvadrata, zatim se nad jednomstranicom kvadrata konstruira kružni luk i točkana njemu. Preciznije iskoristi se Talesov poučako obodnom kutu nad promjerom kružnice, koji jejasno, pravi kut. Ovdje sad započinje iterativni pos-tupak, nad katetama pravokutnog trokuta konstru-iraju se kvadrati.

Opisani postupak lako se geometrijski realizira.Konstrukcija kvadrata u Sketchpadu nije jedins-tvena. Nakon što smo konstruirali kvadrat ABCD,odaberemo stranicu CD i na alatnoj traci pod Kons-trukcije odaberemo Polovište. Označimo polovišteS i točku D te pod Konstrukcije odaberemo Kruž-nica: središte + točka. Preostaje nam još konstru-irati kružni luk i točku na njemu. Označimo točkuC, kružnicu, i točku D (redoslijedom kako smo na-veli), opet pod Konstrukcije odaberemo Kružni luk.Nad dobivenom kružnom luku odabremo neku točkuT i spojimo dužine DT i CT.

Prije iterativnog postupka zgodnim se čini sa-kriti točku S, kružnicu, kružni luk. Iterativni pos-tupak zopočinjemo označavanjem točki A i B, naalatnoj traci pod Transformacije kliknemo na Po-navljanje/iteracija. . . Prvu točku pridružimo točkiD, a drugu točki T , zatim napravimo novo pridru-živanje u kojem prvu točku pridružimo točki T , adrugu točki C.

6

Slika 12: Pitagorino stablo

Dakle, ovdje smo obradili tri veoma poznata fraktala Kochovu krivulju, Trokut Sier-pinskog i Pitagorino stablo. Naravno da se i mnogi drugi fraktali mogu na sličan načindobiti primjenom iteracija u programu Sketchpad. Pokušajte sami pomoću generatora(motiva) kao na Slici 13 dobiti fraktal Minkovskog ili kao na Slici 14 dobiti fraktal Lévya.

(a) Generator (motiv) (b) Minkovski fraktal

Slika 13: Minkovski fraktal

(a) Generator (motiv) (b) Lévy C krivulja

Slika 14: Lévy C krivulja

7

5 ZaključakNa kraju istaknimo kako su fraktali postali nezaobilazni elementi svakidašnjice, i to nesamo u matematici. Fraktali su primjenu našli u fizici prilikom proučavanja teorije ka-osa, u praćenju rasta bakterija ili populacija u biologiji, generiranje različitih krajolika uračunalnoj grafici, u filmskoj industriji doprinijeli su stvaranju specijalnih efekata, mete-orolozima su dobar “alat” za predviđanje vremena itd. Zahvaljujući Sketchpadu u mo-gućnosti smo vidjeti i razumjeti matematičke odnose te načiniti poveznice i generalizacije.Njegov otvoreni pristup omogućuje nam razvijanje matematičke kreativnosti, izražavanjai dostignuća.

Ostali smo dužni napomenuti kako su Hrvatsko matematičko društvo, CARNet i tvrtkaProven omogućili svim nastavnicima, studentima i učenicima besplatnu uporabu softveraSketchpad. Putem osobne zaporke dostupna je uporaba softvera Sketchpad 4.07 HR iradovi posebno priređeni za učenje i poučavanje. Program možete preuzeti na internetstranici https://sketchpad.carnet.hr/ gdje su dostupne i sve ostale upute za korištenjeprograma.

Na internetu su dostupni i mnogi drugi besplatni web alati za interaktivno crtanjefraktala. Neke od njih možete potražiti na sljedećim internet stranicama:

• http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=17

• http://neave.com/fractal/

• http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/fractal-detail.html

• http://www.math.com/students/wonders/fractals.html

Literatura[1] Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Chaos and Fractals

New Frontiers of Science, Springer, New York, 2004.

[2] G. Helmberg,Getting Acquainted with Fractals, de Gruyter, Berlin, New York, 2007.

[3] R. Rupp,Using The Geometer’s Sketchpad to Explore Fractals Images and IteratedFunction Systems, Del Mar College, Corpus Christi, Texas, 2006.

[4] M. P. Lamoureux,Constructing Fractals in Geometer’s SketchPad, Pi in the Sky,2006.

Web:

• Benoit Mandelbrot - Hunting the Hidden Dimension Nova (2008)http://www.youtube.com/watch?v=ZbK92bRW2lQ&feature=relmfu