Francisco Chicano y Enrique Alba - UMA

1 / 20 Septiembre de 2010 MAEB 2010 (CEDI 2010)

Descomposición en landscapes elementales del problema de la suma de subconjunto

Francisco Chicano y Enrique Alba

Introducción Fundamentos de landscapes

Suma de subconjunto

Aplicaciones prácticas

Conclusiones y trabajo futuro


•  La teoría de landscapes es una herramienta para analizar problemas de optimización

•  Tiene aplicaciones en Química, Física, Biología y Optimización combinatoria

•  Idea principal: estudiar el espacio de búsqueda para obtener información para

•  Comprender mejor el problema

•  Predecir el rendimiento de los algoritmos

•  Mejorar los algoritmos de búsqueda

Motivación Motivación

Teoría de landscapes Fundamentos

Selección

Autocorrelación

Suma de subconjunto


Suma de subconjunto




•  Un landscape es un tupla (X,N, f) donde

Ø  X es el espacio de solución

Ø  N es el vecindario

Ø  f es la función objetivo

Definición de landscape Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes

El par (X,N) se denomina espacio de configuración

s0

s4 s7

s6

s2

s1

s8 s9

s5

s3 2

0

3

5

1

2

4 0

7 6

•  El vecindario es una función

N: X →P(X)

•  La solución y es vecina de x si y ∈ N(x)

•  Vecindario regular y simétrico

•  d=|N(x)| ∀ x ∈ X

•  y ∈ N(x) ⇔ x ∈ N(y)

•  Función objetivo

f: X →R (o N, Z, Q)


Suma de subconjunto




•  Una función elemental es un autovector del grafo laplaciano (más constante)

•  Grafo laplaciano:

•  Función elemental: autovector de Δ (más constante)

Landscape elemental: definición formal

s0

s4 s7

s6

s2

s1

s8 s9

s5

s3

Matriz de adyacencia Matriz de grado

Depende del espacio de configuración

Autovalor

Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes


Suma de subconjunto




•  Un landscape elemental es un landscape en el que

donde

•  Ecuación de onda de Grover

Relación lineal

Constante característica: k= - λ

Dependen del problema/instancia

def

Landscape elemental: caracterizaciones Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes


Suma de subconjunto



def


•  Propiedades de los landscapes elementales

donde

•  Máximos y mínimos locales

X Mínimos locales

Máximos locales

Landscape elemental: propiedades Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes


Suma de subconjunto




Problema Vecindario d k

TSP simétrico 2-opt n(n-3)/2 n-1 intercambio n(n-1)/2 2(n-1)

TSP antisimétrico inversiones n(n-1)/2 n(n+1)/2 intercambio n(n-1)/2 2n

Coloreado de grafos recoloreado 1 v. (α-1)n 2α Graph Matching intercambio n(n-1)/2 2(n-1) Graph Bipartitioning grafo de Johnson n2/4 2(n-1) NAES bit-flip n 4 Max Cut bit-flip n 4 Weight Partition bit-flip n 4


Landscape elemental: ejemplos


Suma de subconjunto




•  ¿Qué pasa si el landscape no es elemental?

•  Cualquier landscape se puede escribir como una suma de landscapes elementales

•  Existe un conjunto de autofunciones de Δ que forman una base del espacio de funciones (base de Fourier)

Decomposición de landscapes

X X X

e1

e2

Funciones elementales

(de la base de Fourier)

Función NO elemental

f Componentes elementales de f

f < e1,f > e1 < e2,f > e2

< e2,f > e2

< e1,f > e1



Suma de subconjunto




Problema Vecindario d Componentes

TSP general (asimétrico) inversiones n(n-1)/2 2 intercambio n(n-1)/2 2

QAP intercambio n(n-1)/2 3 MAX k-SAT bit-flip n k NK-landscapes bit-flip n k+1

Radio Network Design bit-flip n num. máx. de

antenas alcanzables

Frequency Assignment cambio 1 frecuencia (α-1)n 2 Subset Sum Problem bit-flip n 2


Decomposición de landscapes: ejemplos


Suma de subconjunto




Suma de subconjunto: definición del problema Definición Descomposición

•  Sea un conjunto de enteros S={s1, s2, … , sn} y una constante C

•  El problema consiste en encontrar el subconjunto de S cuya suma se acerca más a C

•  El problema se puede formular como la minimización de la función

donde x es una cadena binaria (solución)


Suma de subconjunto



s5 s6

s1

s4

s3

s7

s2

s8

s1

s5 s8

Σ=C?


•  El problema se puede descomponer en dos componentes elementales no constantes

… y una constante

k = 2

k = 4

(k = 0)

donde

Definición Descomposición


Suma de subconjunto



Suma de subconjunto: descomposición


•  Los operadores de selección normalmente consideran el valor de fitness del individuo

•  Podemos mejorar el operador de selección escogiendo individuos de acuerdo al valor medio del fitness en su vecindario

Nueva estrategia de selección Estrategia de selección Autocorrelación

X

Vecindarios

avg avg Minimizando

Selección basada en fitness

Selección basada en media


Suma de subconjunto




•  La nueva estrategia de selección podría ser útil en plateaus

•  Inconveniente de la estrategia: requiere evaluar todas las soluciones del vecindario

•  Solución: descomposición en landscapes elementales de la función objetivo !!!

X

Minimizando avg avg

Selección basada en fitness Selección basada en media

?

Estrategia de selección Autocorrelación

Nueva estrategia de selección


Suma de subconjunto




•  Gracias a la descomposición es posible calcular la media del fitness en el vecindario sin evaluar todos los vecinos…

… basta con evaluar las componentes elementales

•  En la suma de subconjunto, la expresión anterior es:

Componentes elementales


Nueva estrategia de selección


Suma de subconjunto




•  Sea {x0, x1, ...} un camino aleatorio sobre el espacio de configuración, donde xi+1∈N(xi)

•  Dicho camino induce una serie temporal {f(x0), f(x1), ...} sobre el landscape.

•  La función de autocorrelation se define como:

•  Longitud y coeficiente de autocorrelación:

•  Conjetura de la longitud de autocorrelación:

Autocorrelación

s0

s4 s7

s6

s2

s1

s8 s9

s5

s3 2

0

3

5

1

2

4 0

7 6

El número de óptimos locales en el espacio de búsqueda es Soluciones alcanzadas desde x0 tras l movimientos



Suma de subconjunto




•  Cuanto mayor es el valor de l y ξ, menor es el número de óptimos locales

•  l y ξ son medidas de rugosidad (ruggedness)

Conjetura de la longitud de autocorrelación

Rugosidad SA (configuración 1) SA (configuración 2)

% error rel. num. pasos % error rel. num. pasos 9.5 ≤ ξ < 9.0 0.2 50,500 0.1 101,395

9.0 ≤ ξ < 8.5 0.3 53,300 0.2 106,890

8.5 ≤ ξ < 8.0 0.3 58,700 0.2 118,760

8.0 ≤ ξ < 7.5 0.5 62,700 0.3 126,395

7.5 ≤ ξ < 7.0 0.7 66,100 0.4 133,055

7.0 ≤ ξ < 6.5 1.0 75,300 0.6 151,870

6.5 ≤ ξ < 6.0 1.3 76,800 1.0 155,230

6.0 ≤ ξ < 5.5 1.9 79,700 1.4 159,840

5.5 ≤ ξ < 5.0 2.0 82,400 1.8 165,610

Longitud

Coeficiente

Angel, Zissimopoulos. Theoretical Computer Science 263:159-172 (2001)



Suma de subconjunto




•  Si f es una suma de landscapes elementales:

•  Sumando todos los coeficientes asociados al mismo ki:

donde

Autocorrelación y landscapes

Coeficientes de Fourier



Suma de subconjunto




•  Usando la descomposición en landscapes elementales podemos calcular l y ξ

donde

•  Las medidas de autocorrelación pueden calcularse en tiempo polinomial, O(n4)

Autocorrelación para la suma de subconjunto


Suma de subconjunto





•  La descomposición en landscapes elementales es una herramienta útil para comprender un problema

•  La descomposición se puede usar para diseñar nuevos operadores (selección)

•  Podemos determinar de forma exacta las funciones de autocorrelación

•  Presentamos la descomposición de la suma de subconjunto

Conclusiones

Trabajo futuro

•  Desarrollar una metodología para la descomposición de landscapes

•  Buscar aplicaciones adicionales de la teoría de landscapes en las metaheurísticas

•  Diseñar nuevos operadores y métodos de búsqueda basados en los landscapes

•  Analizar otros problemas

Conclusiones y trabajo futuro Conclusiones y trabajo futuro


Suma de subconjunto




Gracias por su atención !!!

Descomposición en landscapes elementales del problema de la suma de subconjunto

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