François Longin 1 Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf

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Cours Corporate finance

Eléments de théorie du portefeuilleLe Medaf


Plan

• Notions de rentabilité Définition Modélisation

• Eléments de théorie du portefeuille Portefeuille Diversification

• Le Medaf Le modèle de marché La relation du Medaf Le bêta Application : calcul du taux d’actualisation


Rentabilité d’un actif (1)

• Définition de la rentabilité Notations :

Calcul

Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement.

iR i actifl' de érentabilit :

tiP it date la à actifl' deprix :

]1,[ période lasur actifl' derevenu : ,1 ttiDitt

it

itt

it

iti

t P

DPPR

1

1,1



• Deux éléments dans la rentabilité Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers,

etc.

La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus-value ou moins-value à la revente

it

itt

P

D

1

1,

it

it

it

P

PP

1

1



• Statistiques importantes (1) La moyenne des rentabilités

Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur

Mesure de performance

La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) La variance ou l’écart-type des rentabilités

Mesure sur risque (mesure globale)

T

t

iit

i RRT

R1

22 ~1~

T

t

it

i RT

R1

~1

T

t

iit

i RRT

R1

2~1~



• Statistiques importantes (2) Les quantiles de rentabilités

Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné

Mesure du risque (mesure locale)

xRP i ~



• Distribution historique des rentabilités – Histogramme

• Distribution paramétrique des rentabilités - Densité Exemple : la loi normale

Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)


Modèle de Markowitz

• Qu’est-ce que c’est ? Modèle mathématique financier de construction de

portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque

Portefeuilles optimaux Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné


Diversification du risque (1)

• Cas : portefeuille à deux actifs Actif 1: µ1 = 10% et σ1 = 20%

Actif 2 : µ2 = 15% et σ2 = 30%

• Portefeuille : combinaison d’actifs x1 et x2 : poids de chaque actif dans le portefeuille

• Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rentabilité donné



• Portefeuille efficient Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par

exemple 12%), minimise le risque. Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par

exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. Portefeuille optimal au sens moyenne-variance

• Frontière efficiente Ensemble des portefeuilles efficients

• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr



• Cas : n actifs risqués Caractérisation de la frontière efficiente Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son

aversion au risque.

• Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Caractérisation de la frontière efficiente Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont

définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché).

Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque.

• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr



• Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués Actif sans risque : µ0 = 5% et σ0 = 0%

Portefeuille de marché M : µM = 10% et σM = 25%

Portefeuille efficient P : µP et σP

Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1-x) : µP = x·µ0 +(1-x)·µM et σP = (1-x)·σM

En remplaçant x par sa valeur il vient :

Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente.

Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée.

PM

MP

0

0


Risque d’un actif

• Quel est le risque associé à un actif ? Portefeuille existant : µP et σP

Projet ou actif risqué : µi et σi

• Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? Risque total de l’actif ? σi

Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?


Le modèle de marché (1)

• Sources de risque Le risque sur chaque actif a deux origines :

Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs

Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc.)

• Modélisation Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre

la réalisation de la rentabilité et son anticipation. Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque

systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).



• Modélisation (suite)

• Notations

iMMiii SRR~~~

iRi actifl' de érentabilit : ~

iRE ii actifl' de érentabilit de espérance : ~

MRM marché de leportefeuildu érentabilit : ~

MRE M marché de leportefeuildu érentabilit de espérance : ~

marchédu érentabilit laet

actifl' de érentabilti la entren covariatio la de intensité

encoreou marchéau actifl' de érentabilit de ésensibilit

M

i

Mii



• Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres Composition du portefeuille : x1, x2, x3, … xn

• Modélisation du portefeuille P

• Notation

PMMPPP SRR~~~

nnP RxRxRxR x R ....~

332211

nnP RExRExRExRE x RE ....~

332211

nnP xxx x ....332211

nnP SxSxSxS x S ....332211



• Diversification des n risques spécifiques Les aléas S1, S2, S3, …, Sn sont des variables aléatoires

centrées et indépendantes. Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids xi sont

petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. Application de la loi des grands nombres

• Approximation pour la rentabilité d’un portefeuille diversifié

MMPPP RR ~~



• Analyse du risque d’un portefeuille diversifié

• Interprétation :

• Approximation pour le risque d’un portefeuille diversifié

PMPP SRR~~~ 2222

PRP leportefeuildu global risquedu mesure :~2

ble)diversifia(non uesystématiq risquedu mesure :~22

MP R

able)(diversifi leportefeuildu spécifique risquedu mesure :~2

PS

MPP RR~~ 222



• Contribution d’un actif i au risque du portefeuille P Décomposition du risque de l’actif i

Le risque spécifique de l’actif i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié.

Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié.

• La contribution d’un actif i au risque du portefeuille P est mesurée par le bêta.

iMii SRR~~~ 2222

iS~2



• Détermination de la prime de risque de l’actif i Décomposition de la prime de risque sur l’actif i

La prime de risque pi doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable.

Démonstration :

ii pr

rr MM

rM

rp Mii

iip


Le Medaf (1)

• Terminologie Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers CAPM : capital asset pricing model

• Rentabilité anticipée de l’actif i

• Relation du Medaf ou CAPM La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du

taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché.

rr Mii


Le Medaf (2)

• Trois éléments à estimer Le taux sans risque La prime de risque du marché Le bêta de l’actif

• Utilité du Medaf Gestion d’actifs

Construction de portefeuilles efficients

Décisions d’investissement Calcul du coût du capital


Calcul du coût du capital en pratique

• Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.


Le beta (1)

• Définition

• Interprétation Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au

portefeuille de marché. Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes

proportions que le marché. Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que

le marché. Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les

variations du marché. Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.

var

,cov

M

Mii R

RR iM

ii

r


Le bêta (2)

• Estimation du beta Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i

sur la rentabilité du marché M

Le bêta : Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du

portefeuille de marché M (variable explicative) Pente de la droite de la régression

iMMiii SRR~~~


Limites du Medaf

• Qu’est-ce que le portefeuille de marché ? En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs :

actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc.

Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité

• Qu’est-ce qu’un actif ? Historique de rentabilités pour un actif de marché Quid d’un nouveau projet d’entreprise ?

Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta


Application à l’investissement

• Le taux d’actualisation doit tenir compte du risque. Prime de risque

• La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi du portefeuille existant.

• Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le portefeuille existant Super diversificateurs

Documents

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