Frekventne metode analize sistema automatskog metode.pdf · predstaviti pomoću logaritma osnove 10…

  • View
    213

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

1

Frekventne metode analizesistema automatskog

upravljanja

Pored odskone pobude pri ispitivanju linearnihsistema automatskog upravljanja se estoprimjenjuje i prostoperiodina, odnosno sinusnapobuda. U okviru frekventnih metoda se analizira odziv sistema u stacionarnom stanju naprostoperiodinu pobudu. U okviru funkcijeprenosa SAU G(s), promjenljiva s se mijenjakompleksnom uestanou j, tako da se analizira funkcija prenosa sistema u frekventnom domenu G(j), gde je promenljiva uestanost pobudnog signala.

2

Frekventna karakteristika SAU

G(j) se, kao i bilo koji drugi kompleksanbroj, moe predstaviti u eksponencijalnomobliku:

3

Snimanje frekvencijske karakteristike

4

5

Prethodni izrazi pokazuju da linearan sistempobuen prostoperiodinom pobudom, u stacionarnom stanju daje prostperiodian odziviste uestanosti kao pobudni signal, ali sapromenjenom amplitudom i faznim pomerajem. Odnos amplituda ulaznog i izlaznog signala je jednak modulu funkcije prenosa sistema zarazmatranu uestanost , a fazni pomerajizlaznog u odnosu na ulazni signal je jednakargumentu funkcije prenosa za razmatranuuestanost .

Za razliite e pojaanje i fazni pomerajsignala pri prolasku kroz sistem bitirazliito, odnosno za razliite evrednosti |G(j)| i Arg{G(j)} biti razliite. Promena G(j) pri promjeni od - do se moe predstaviti grafiki, i ta kriva se naziva amplitudno fazno frekventnakarakteristika (ili samo frekventnakarakteristika, AFFK) sistema*.

6

Frekventna karakteristika sistema se crta u kompleksnoj ravni promjenljive G(j). Jedannain je da se za nekoliko vrijednosti naintervalu [0,) srauna vrijednost Re i Im dijelaG(j) ili |G(j)| i Arg{G(j)}, te take se unesu u koordinatni sistem na ijoj se apscisi nanosivrijednost za Re{G(j)} a na ordinati zaIm{G(j)}, take se spoje, kriva se orijentie u smjeru porasta frekvencije i dobija se traenafrekventna karakteristika. Ovaj nain se rijetkoprimjenjuje jer je nepraktian (potrebno je sraunavanje vrijednosti kompleksne funkcije u veem broju taaka) i postoji realna ansa da se neke vane (karakteristine) take izostave (kaoto su presjeci sa Re i Im osom), a upotrebnavrijednost precizno nacrtanog dijagrama nijeznaajno vea od pribline skice.

Iz navedenih razloga se najee AFFK sistemasamo skicira i to na taj nain da se odredepoetak i kraj krive (G(j) za =0 i ) i take presjeka krive sa Re i Im osom, spajanjemdobijenih taaka u smjeru porasta frekvencije , dobija se skica AFFK koja nosi dovoljnu koliinuinformacija za njenu najeu primjenu, a to je analiza stabilnosti sistema. Valja napomenuti, ta u stvari AFFK predstavlja fiziki? Svakataka na AFFK odgovara tano jednoj frekvenciji sa intervala [0,). Udaljenost te take odkoordinatnog poetka jeste |G(j)|, to jest odnosamplituda izlaznog i ulaznog signala. Ugao kojizaklapa vektor povuen iz koordinatnog poetkau tu taku sa pozitivnim smerom Re ose jesteArg{G(j)}, to jest fazni pomeraj izlaznog u odnosu na ulazni signal.

7

Teoretski, sa AFFK je mogue za proizvoljnufrekvenciju x oitati kolika e biti promjenaamplitude i fazni pomjeraj (kanjenje) tog signala pri prolasku kroz razmatrani sistem. Praktino, veoma je teko (ako ne i nemogue) oitati navedene podatke sa AFFK jer se zavee vrijednosti frekvencije take zgunjavaju, a osim toga, frekvencija se pojavljuje kaoparametar AFFK i teko je na crteu fiksiratitaku koja odgovara tano odreenoj frekvencijix. Za oitavanje navedenih podataka praktinose koriste mnogo podesniji Bodeovi dijagrami, o kojima e kasnije biti rijei.

Primjer 1: Formirati frekventnu karakteristiku RC filtera prikazanog na slici 1.1.

8

Primjer 2. Skicirati AFFK sistema opisanogfunkcijom prenosa G(s) = K/[s(sT+1)], gde su K i T realni, pozitivni parametri.

9

Nain formiranja AFFK moe biti razliit, alidobijena kriva je jedinstvena za jedan sistem. Ogranienja ovako formirane AFFK suoigledna. Pri ubacivanju u sistem novihelemenata moraju se ponovo preraunativrijednosti iz tabele zbog uticaja novo dodatihnula i polova, to je zamoran posao. Dalje, naslici se vidi ukupan uticaj svih polova i nulasistema a ne pojedinaan, to je nepovoljnainjenica jer nijesu svi polovi i nule u sistemupodjednako vani i uticajni (sjetite se prie o dominatnim polovima). Iz tog razloga dobro bi bilo frekventnu karakteristiku sistema predstavitina drugaiji nain.

Prvo se razdvajaju amplitudna i fazna frekventna karakteristika, odnosno na jednom dijagramu se crta zavisnost |G(j)| odpromenljive frekvencije , a na drugom zavisnost Arg{G(j)} od. Na taj nain se dobijaju dva dijagrama sa kojih se direktnooitava vrijednost modula i faze funkcije prenosa sistema zaodreenu frekvenciju .

Drugo, radi proirenja intervala frekvencija koje se razmatrajuuvodi se logaritamska podjela na apscisi, tako da se umesto,a osi nezavisno promenljive prikazuje log10. Na taj nain je mogue prikazati opseg od vrlo niskih (10-5rad/sec) do vrlovisokih (105rad/sec) uestanosti bez gubitka preciznosti crtea.

Tree, radi dobijanja dio po dio linearne amplitudnekarakteristike pogodno je i amplitudnu karakteristiku |G(j)| predstaviti pomou logaritma osnove 10 (kao to je usvojenopredstavljanje preko njenog logaritma), tako da se sada|G(j)| izraava u decibelima (dB) i prema definiciji je:

10

11

Ako se frekventna karakteristika sistema formira na gore objanjen nain dobijaju se dva grafikona koji se nazivaju Bodeovi dijagrami. Njihov praktini znaaj i primjenljivost je veoma velika, a nain formiranja se vidiiz sledeeg primjera.

Primjer 3. Formirati Bodeove dijagrame za RC filter izprimjera 1.

Funkcija prenosa sistema, u frekventnom domenu, je:

gde je T=RC (vremenska konstanta sistema). Moduo i argument G(j) su:

Ako se |G(j)| izrazi u decibelima, izraz postaje:

Iz poslednjeg izraza se vidi da je za male frekvencije 1):

a da je za =1/T (T=1):

12

Amplitudna i fazna karakteristika si predstavljene Bodeovimdijagramom na slici 3.1.

Uz uvaavanje prethodnih pretpostavki, i uz injenicu daje na apscisi logaritamska podjela (log10) vidi se dakompletna amplitudna karakteristika moe bitiaproksimirana sa dva linearna segmenta. Jednimhorizontalnim, koji ima vrednost 0db i odgovarafrekvencijama 01/T, i drugim kosim, vrijednosti 20logT, koji odgovara frekvencijama 1/T

13

Koliki je nagib "kosog" dijela asimptotske amplitudne karakteristike? Posmatra se |G(j)|db na frekvencijama 1 i 2, koje su vee od 1/T. Moe se napisati:

Ako je frekvencija 1 deset puta vea od 2 (2=101) one tada ine dekadu, a izprethodnog izraza slijedi:

odnosno, ako frekvencija poraste deset puta, amplitudna karakteristika opadneza 20dB, pa je nagib tog dijela karakteristika 20dB/dekadi. U literaturi se susreejo i pojam oktave. Oktavu ine frekvencije koje se nalaze na intervalu izmeu 1 i 2 , gde je 2=21. Ako se u prvi izraz unesu granine vrijednosti oktave dobija se:

pa je nagib kosog dijela karakteristike je priblino 6db/oktavi. Naravno, vidi se da je nagib 20db/dekadi isto to i 6db/oktavi.

U okviru funkcije prenosa sistemamogu pojaviti etiri razliita elementa:

14

Opta

15

Pol ili nula u koordinatnom poetku

16

Nula na realnoj osi

17

18

19

Iz prethodnog izlaganja se vidi da je konstanta grekeuvijek jednaka Bodeovom pojaanju normalizovanefunkcije prenosa sistema u frekventnom domenu. Sada se postavlja pitanje kako se ova vrednost oitava sadijagrama? Prvo se nacrta dijagram i odredi red astatizmasistema. Na osnovu poetnog segmenta dijagrama se oitava vrednost konstante greke, na sledei nain.

20

1. Konstanta poloaja KpPoetni segment amplitudne karakteristike sistema bez astatizma (r=0) je 20logK, i to je upravo vrednost Kp izraena u decibelima

2. Brzinska konstanta Kv Poetni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom

prvog reda (r=1) je 20logK-20log. Reavanjem jednaine 20logK-20log=0 se dobija da je K=. To znai da je brzinska konstantajednaka vrednosti frekvencije za koju poetni segment Bodeovogamplitudnog dijagrama sijee apscisu. Sa dijagrama se ova vrijednost oitava tako da se prvi segment karakteristike produi do preseka sa -osom i oita se vrijednost presjene take, kako je prikazano na slici

21

2. Konstanta ubrzanja Ka Poetni segment amplitudne karakteristike sistema sa astatizmom drugogreda (r=2) je 20logK-40log. Reavanjem jednaine 20logK-40log=0 se dobija da je K=2. To znai da je brzinska konstanta jednaka kvadratuvrijednosti frekvencije za koju poetni segment Bodeovog amplitudnogdijagrama sijee apscisu. Sa dijagrama se ova vrijednost oitava tako da se prvi segment karakteristike produi do presjeka sa -osom, oita se vrijednost presjene take i izrauna vrijednost njenog kvadrata, kako je prikazano na slici

22

23

24

25

26

Grafiki (grafoanalitiki) kriterijumi stabilnosti Nyquistov kriterijum stabilnosti

x(t) = Xm sin t - pobuda sistema generisana u generatoru funkcija (GF) promjenljive frekvencije .

Pretpostavimo da je na slici sklopka S2 otvorena (tj. povratna veza je prekinuta) i S1 zatvorena.

27

Ako elementi sistema ne bi unosili vremenska kanjenja(fazno zaostajanje), onda bi izlazni signal y(t) bio u fazi s ulaznim signalom x(t).

U realnom sistemu izlazni signal y(t) fazno zaostaje zaulaznim signalom x(t) s porastom frekvencije . Kod nekefrekvencije ( = 1) izlazni signal moe fazno zaostajati za180, to znai da su x(t) i y(t) u protivfazi. Pretpostavimoda je pri toj frekvenciji amplituda izlaznog signala Ymjednaka amplitudi ulaznog signala Xm.

Ako istovremeno iskljuimo ulazni signal x(t) i ukljuimosignal povratne veze y(t), signal povratne vezenadomjestit e ulazni signal.