Föreläsning 3 Moment. Tyngdpunkt. Fackverk.

Byggnadstekniska konstruktioner, 1BY034, VT-15

Tyngdpunkt

den punkt kring vilken

alla

tyngder/massor/volymer/ytor/linjer

balanserar

Katapult

Öppningsbar bro, Malmö hösten 08

Calatrava Seville, Puente del Alamillo

Koserthuset Växjö, vintern 08/09

Lodlinjen går alltid genom tyngdpunkten på en kropp

Newtons tröghetslag, summan av alla krafter verkande på en kropp i vila är noll.

TP

F1+F2

F1+F2

Tyngdpunkt Du vet var personerna sitter!

Var ska plinten stå om brädan

ska vara horisontell?

Moment/ Tyngdpunkt

Fr= F1+F2

F1+F2

För att finna tyngdpunkten för en kropp bestående av ”delkroppar” söks avståndet (i x, y och z- led)

från en känd referenspunkt till den obekanta punkten.

Sammanlagda verkan av delkropparna runt referenspunkten är lika som verkan av helheten runt

referenspunkten.

Tyngdpunkt

F2 F1

Verkan runt en vald referenspunkt är densamma för F1 och F2 som för F

i

ii

tp

F

xF

FF

xFxFx

21

2211

F=F1+F2

x2

x1

xtp

F1x1+F2x2=Fxtp

Vald referenspunkt/ axel

F=F1+F2

Tyngd –volym*densitet*gravitation

Gravitationen är konstant men volym och densitet kan variera

F1=g*V*ρ= 10*10*100= 10000N = 10kN

F2=g*V*ρ= 10*1*1000= 10000N = 10kN

F2

F1

Vi vet att F= m*g Det innebär att om g är detsamma får vi bryta ut det ur vårt

uttryck och förkorta bort det och kvar blir massan m

i

ii

i

ii

m

xm

F

xF

FF

xFxFx

21

2211

Massan m beror som vi tidigare sett av densitet, ρ, och volym V

För att variera vårt tyngdpunktsläge, x, kan vi alltså variera just dessa saker!

Tyngdpunkt

Vi vet att F= m*g Det innebär att om g är detsamma får vi bryta ut det ur vårt uttryck och

förkorta bort det och kvar blir massan m Vi vet också att m= V*ρ

Vilket innebär att ρ kan brytas ut ock förkortas om vi har samma material i alla delar.

V=A*t Är dessutom materialet plant och jämntjockt kan tjockleken t förkortas.

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

A

xA

V

xV

m

xm

F

xF

FF

xFxFx

21

2211

Massan m beror som vi tidigare sett av densitet, ρ, och volym V

För att variera vårt tyngdpunktsläge, x, kan vi alltså variera just dessa saker!

Tyngdpunkt

Beräkningssteg för att hitta tyngdpunkten i en kropp

I detta fall antar vi samma densitet och tjocklek i hela kroppen

1 1

3

1

A1

A2

1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.

2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.

3. Bestäm referenspunkt.

4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.

5. Bestäm Aixi

6. Summera Ai och Aixi

7. Eftersom summan av delytornas vridning runt ref.

pkt. är samma som hela ytans vridning kan nu

xtp beräknas som

Delyta Ai xi Ai xi

1 3 0,5 1,5

2 1 1,5 1,5

Summa 4 3

B

4

3

13

5,115,03

21

2211

AA

xAxA

A

xAx

i

ii

tp

x1

x2

Bestäm läget av tyngdpunkten i kroppen

1 2 1

1

1

4 A1

A2

A3 A4

Delyta Ai xi Ai xi

1 6 0,5 3

2 2 2 4

3 8 2 16

4 6 3,5 21

Summa 22 44

1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.

2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.

3. Bestäm referenspunkt.

4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.

5. Bestäm Ai*xi

6. Summera Ai och Ai*xi

7. Eftersom summan av delytornas vridning runt ref.

pkt. är samma som hela ytans vridning kan nu xtp

beräknas som

B

22

44

i

ii

tp

A

xAx

Bestäm läget av tyngdpunkten i kroppen

1 2 1

1

1

4 A1

A2

Delyta Ai xi Ai xi

1 4*6=24 2 48

2 -2 2 -4

Summa 22 44

1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.

2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.

3. Bestäm referenspunkt.

4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.

5. Bestäm Ai*xi

6. Summera Ai och Ai*xi

7. Eftersom summan av delytornas vridning runt

ref. pkt. är samma som hela ytans vridning kan

nu xtp beräknas som

B

22

44

i

ii

tp

A

xAx

Randvillkor

Vi har pratat om krafter och laster på konstruktionselement och

konstruktioner.

För att dessa inte ska röra sig när de utsätts för last, utan

istället svara med en reaktionskraft krävs randvillkor.

Dessa villkor definierar egenskaperna där det

studerade elementet eller konstruktionen möter omgivningen.

I 2 dimensioner har vi 3 frihetsgrader,

och i 3 dimensioner har vi 6 frihetsgrader.

Ofta kan vi förenkla diskussionen till 2 D, men inte alltid!

2D 3D

Fritt upplagd balk

Konsolbalk

Två av de vanligaste balktyperna är

I plana system förekommer tre olika reaktionskrafter, 2 i

translation och ett i rotation. Dessa kan låsas med olika

randvillkor.

Exempel på fritt upplagd balk och konslobalk!

Brofäste, Stutgart Kommunföråd i Hohenemmes Schweiz, -05

Exempel på randvillkor på pelare

Inspänningsvillkor kan ibland vara otydliga

Stöd och upplag 2D – rullager vertikala frihetsgraden låst

Ry

Exempel på rullager – i detta fall på en bro

Washington, D.C.

Stöd och upplag 2D – fixlager horisontella och vertikala frihetsgraden låst

Rx

Ry

Exempel på fixlager

Ev. Göteborgsoperan

Stöd och upplag 2D – fast inspänd horisontellt, vertikalt och rotation låst

Typer av stöd Motsvarande låsning av frihetsgrader

Rx

Ry

Mz

Randvillkor - inspänning

Fixlager Fast inspänning

Fast inspänt (momentstyvt) och ledat inspänt

Randvillkor i träkonstruktioner – fjädrande randvillkor som ofta förenklas beräkningsmässigt

Upplagt bjälklag Inhängt bjälklag

Fackverk

Fackverk

- Fackverket är uppbyggt av stänger

- I dessa stänger finns enbart krafter verkande i normalriktningen (tryckande eller dragande)

- Verkningslinjerna i tryckta och dragna stänger möts i en punkt – en knutpunkt

- Knutpunkten antas friktionsfritt ledad

- Stångkrafterna kan beräknas med jämvikt genom knutpunktsmetoden i ett statiskt bestämt fackverk.

Knutpunktsmetoden för att

beräkna stångkrafter • Frilägg fackverket och beräkna

reaktionskrafterna.

• Frilägg en knutpunkt med två obekanta

stångkrafter och ställ upp vertikal och

horisontell jämvikt.

• Obekanta stångkrafter ritas alltid ”ut” från

den snittade stången.

• Ofta bestäms först upplagskrafterna

genom att frilägga hela fackverket

och använda kraft- och

momentjämvikt

Att bestämma stångkrafterna i fackverk:

• Därefter bestäms stångkrafterna genom att frilägga

lämpliga delar av fackverket och utnyttja jämviktsekvationer

Knutpunktsmetod

• Frilägg varje knutpunkt för sig

• Använd horisontell och vertikal jämvikt

för att bestämma obekanta stångkrafter

• 2 ekvationer – max två obekanta krafter

Snittmetod

• Frilägg en del av fackverket

• Använd horisontell och vertikal jämvikt

samt momentjämvikt för att bestämma

obekanta stångkrafter

• 3 ekvationer – max 3 obekanta krafter

Exempel - Knutpunktsmetoden

Bestäm stångkrafterna AB, BD och DE.

A B

x

y

D E

C

1 2

1

m

1.0 kN

Knutpunktsmetoden för att bestämma stångkrafter

(Frilägg en knutpunkt i taget, max två obekanta

stångkrafter)

A B

x

y

D E

C

1.0 kN

N

N CB

CE

α

N CE × sin α

NCE × cos α

Frilägg knutpunkten C

Knutpunktsmetoden för att bestämma stångkrafter

(Frilägg en knutpunkt i taget, max två obekanta

stångkrafter)

A B

x

y

D E

C N BA

α Frilägg knutpunkten B

N BD

2.0 kN

1.0 kN

Stångkrafter - resultat

A B

D

E

C

Drag

Tryck

En tryckt stång trycker på knutpunkten ...