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FRENOS
Resumen Teórico Práctico Cátedra Mecanismos y Elementos de Maquinas
Facultad de ciencias Exactas Físicas y Naturales – U.N.C.
Ing. Gerardo CARVAJAL Septiembre del 2008
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Zapata Corta
Hipótesis:
• Las dimensiones de la zapata son pequeñas respecto al diámetro del tambor. Por lo cual se puede considerar que la fuerza de rozamiento esta concentrada en un punto. Además dicha fuerza es tangencial al tambor en ese punto.
• Presión uniforme en la zapata. Basados en la configuración que se esquematiza se plantea lo siguiente Análisis de cuerpo libre en el tambor (se analiza lo que la zapata le hace al tambor)
El momento de frenado “T” se calcula como el momento de las fuerzas
intervinientes con respecto al punto “O”. Y siendo que la recta de acción de la fuerza
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“N” pasa por el punto sobre el cual se toma momento, su participación en el momento de frenado es nula, quedando solamente la acción de la fuerza de rozamiento que se establece como: 1. rFT R ⋅= Recurriendo ala expresión fundamental del rozamiento. NFR ⋅= µ 2. rNT ⋅⋅= µ Análisis de cuerpo libre en la zapata (se analiza lo que el tambor hace la zapata)
Se toma momento de las fuerzas intervinientes con respecto al punto “Q” 3. 00 =⋅−⋅+⋅⇒=∑ aNcFlFM Rq
Nota : Vemos que el momento producido por la fuerza de rozamiento tiene el mismo sentido que el producido por la fuerza de accionamiento “F” Lo cual pone a la evidencia el hecho de que estamos en presencia de un Freno Auto Energizado (F.A.E.).
Si de la expresión “3” introducimos la ecuación fundamental del rozamiento “ NFR ⋅= µ ” Y despejamos la fuerza normal “N” en fusión de los otros parámetros obtenemos.
4. ( )ca
lFN
µ−⋅=
------------------------------------------------------------------------------------------------4
Remplazando la expresión “4”en “2” se consigue una ecuación que vincula la acción (fuerza “F”) con el resultado (momento de frenado “T”)
5. ( ) rca
lFT ⋅⋅
−⋅= µµ
En donde: a, l , r y c son dimensiones y deben estar en las mismas unidades µ es el coeficiente de fricción entre el material de fricción y el tambor.
Retornando a la expresión “4” y despejando en esta ocasión “F”en función de los otros parámetros se tiene:
6. ( )
l
caNF
µ−⋅=
Recurriendo a la hipótesis de presión uniforme en la zapata se plantea APN ⋅= , siendo “A” el área de la superficie de la zapata que fricciona contra el
tambor y “P” la presión en un punto cualquiera de dicha superficie. Remplazando “N”en la expresión “6” se determina:
7. ( )l
caAPF
µ−⋅⋅=
Ecuación que vincula la fuerza de accionamiento “F” con la presión que se tiene en la interfaz material de fricción-tambor. Presión, que bien se sabe, esta muy limitada por los bajos niveles que toleran los materiales de fricción. Así por ejemplo si en “7” se remplaza “P” por el valor limite o’maximo que admite un determinado material de fricción se consigue la fuerza máxima que puede aplicarse al freno “Fmax”.
Finalmente si se remplaza “Fmax” en la expresión “5” se determina el momento de frenado máximo posible “Tmax”.
Por otro lado ya se hizo mención de que la configuración en estudio es Auto Energizante (A.E.), lo que queda por establecer son las condiciones para que el freno sea además Auto Frenarte (A.F.) Para lo cual se recuerda que un freno es auto frenante cuando la auto energizacion es tan importante que el frenado se produce sin ser necesaria ninguna fuerza de accionamiento “F”, es decir F=0.
8. ( ) ( ) 00 =−⇒=−⋅= ca
l
caNF µµ
Si ahora se analiza la misma configuración pero con la salvedad de que el sentido de giro es inverso al anterior se tiene:
------------------------------------------------------------------------------------------------5
Analizando los cuerpos libres
------------------------------------------------------------------------------------------------6
De las figuras se puede deducir lo siguiente:
• El momento de frenado “T” sigue estando representado por la expresión “2”. Y su sentido es siempre de oposición al movimiento
• En este caso las fuerzas de rozamiento producen sobre el brazo de la zapata un momento que trata de alejar la zapata del tambor, es decir en momento que se opone al frenado. Por lo cual esta configuración es de un Freno No Auto Energizado (F.N.A.E.)
Basados en la ultima observación y planteando las ecuaciones de equilibrio para el
cuerpo libre de la zapata se obtiene una nueva ecuación (equivalente a la “3”) 9. 00 =⋅−⋅−⋅⇒=∑ aNcFlFM Rq
Partiendo de esta ecuación junto con la “2” y haciendo un análisis semejante al antes descrito se consiguen las siguientes ecuaciones para esta configuración:
10. ( ) rca
lFT ⋅⋅
+⋅= µµ
11. ( )l
caAPF
µ+⋅⋅=
Nota:
Siendo que el freno es N.A.E. lógicamente que no será jamás A.F. Ver que para el caso en que c=0 la fuerza de rozamiento no genera momento
respecto al punto “Q”por lo cual la misma no ayuda ni se opone al frenado.
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Freno de Zapata (larga)
En este caso, a diferencia del de zapata corta, las dimensiones de la zapata toman cierta importancia frente a las dimensiones del tambor por lo cual las hipótesis simplificativas adoptadas para el caso de zapata corta pierden validez siendo necesario en este caso admitir que:
• La presión de contacto entre la zapata y el tambor varia a lo largo del arco de contacto (es decir entre α1- α2)
• La fuerza de rozamiento también varía a lo largo del arco de contacto tanto en amplitud como en dirección, teniendo presente que la misma es siempre tangente al arco en el punto que se considere.
Para poder determinar como es la variación de la presión a lo largo del arco de
contacto se recurre a la hipótesis de que la presión en un punto es proporcional al desgaste que se produce en este punto, esto es: 1. DesgasteKp ⋅=
Por otro lado, de estudios realizados, se concluyo que el desgaste podía ser modelizado con bastante precisión a través de una expresión senoidal en función del ángulo “α” tomado desde la recta que une el centro del tambor con el centro de rotación de la zapata. Por lo cual:
2. αsenPp ⋅= 0
De donde se ve claramente que la presión máxima para este tipo de zapata estará
dada para un ángulo “α= 90˚” y será igual “P0”
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Sabiendo ya la ley de variación de la presión, se esta en condiciones de determinar la expresión que permita calcular el momento de frenado “T” para esta configuración. Para lo cual se analiza el esquema de cuerpo libre del tambor. Cuerpo libre tambor (acciones de la zapata sobre el tambor)
Siendo que la presión y la fuerza de rozamiento varían respecto al ángulo “α” es necesario plantear el análisis en forma diferencial, es decir se toma un punto genérico ubicado a un ángulo “α” y a partir de allí se estudia una porción de arco infinitamente chica (definida por una variación angular “dα”) en la cual se tiene una fuerza de rozamiento “dFR” y un esfuerzo normal “dN”.
De esta forma el momento de frenado se consigue como el momento generado por las fuerzas intervinientes respecto a al centro del tambor, esto es: 3. rdNrdFdT R ⋅⋅=⋅= µ
Por otro lado el esfuerzo normal se puede escribir como el producto de la presión “p”por el área “dA” 4. αdrbpdApdN ⋅⋅⋅=⋅= en donde “b” es el ancho o profundidad del tambor y de la zapata.
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Remplazando “4” en “3”se consigue: 5. ααµ dsenPbrdT ⋅⋅⋅⋅⋅= 0
2
Finalmente el momento total de frenado se consigue integrando la expresión
“5”entre los límites de integración “α1” y “α2”
6. )cos(cos 2102 ααµ −⋅⋅⋅= PbrT
En donde: “r”es el radio externo del tambor “µ” es el coeficiente de rozamiento (material de fricción-tambor)
“b”es ancho o profundidad del tambor y de la zapata. “P0” Es la presión que se tiene para un ángulo α=90˚
En la practica y habiendo definido un freno con ciertas dimensiones y materiales, la ecuación “6” permite determinar el momento de frenado “T” para cada valor de “P0” y en particular permitirá calcular el momento de frenado máximo cuando “P0” alcance el valor de presión limite establecido para el material de fricción que se utilice (P0=Pmax).
Cuerpo libre zapata (acciones del tambor y externas sobre la zapata)
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Del grafico a simple vista se puede apreciar que el momento producido por la fuerza de rozamiento respecto al punto “Q” tiene el mismo sentido que el producido por la fuerza de accionamiento “F” lo cual indica que estamos en presencia de un freno Auto Energizado (A.E.)
Para esta configuración se recurre a las ecuaciones de equilibrio y se toma momento respecto al punto “Q” quedando: 7. 0=−+⋅ NFR MMlF
Despejando “F”.
8. l
MMF FRN −
=
Siendo “MFR” y “M n” el momento de las fuerzas de rozamiento y normales respectivamente, los cuales se determinara a continuación:
9. )cos(2
1α
α
αcrdFM RFR −⋅= ∫
Por otro lado se sabe que ααµµ dsenPbrdNdFR ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= 0
10. ∫ ⋅−⋅⋅⋅⋅=⇒2
10 )cos(α
αααααµ dsencsenrPbrM FR
En donde si integramos entre los limites “α1” y “α2” se consigue:
11. )](2
)cos(cos[ 12
22
210 ααααµ sensenc
rPbrM FR −−−⋅⋅⋅=
Análogamente se plantea
12. ααααα
α
α
αsencdrbsenPsencdNM n ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫
2
1 0
2
1
13. ααα
αdsencrbPM n ⋅⋅⋅⋅= ∫
2
1
20
14. )]22()(2[4 1212
0 αααα sensencrbP
M n −−−⋅⋅⋅
=
Nota: los ángulos deben estar en radianes.
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De esta forma juntando las expresiones “8”, “11” y “14” se consigue, para un freno de dimensiones y materiales establecidos, una relación biunívoca entre la fuerza de accionamiento “F” y la presión “P0”. Y si además juntamos la ecuación “6” se consigue a través de “P0” una vinculación entre la fuerza de accionamiento “F” y el momento de frenado “T”. Por ejemplo para un freno ya definido en dimensiones y materiales podemos calcular. “F” “ P0” “T” Ya se menciono que esta configuración era Auto Energizante, pues bien, la misma será además Auto Frenante cuando la fuerza de accionamiento se nula, es decir cuando se anule la ecuación “8”. Lo que equivale a que el “MfR” sea igual a “Mn”. Ahora bien si para la misma configuración cambiamos el sentido de giro tendremos un Freno No Auto Energizado. (F.N.A.E.)
Ecuacion “8”, “11” y “14”
Ecuacion “6”
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Realizando para este caso un análisis de cuerpo libre análogo al descrito en la configuración anterior se llega a que las ecuaciones “6”, “11”, “14” siguen siendo validas. Cambiando únicamente la ecuación “8”que ahora queda de la forma:
15. l
MMF FRN +
=
Hasta aquí todo el análisis se a desarrollado para zapatas largas exteriores pero cabe aclarar que los mismos resultados se hubiesen conseguido si la zapa hubiese sido interna por lo cual se pueden extender las ecuaciones encontradas a los casos de zapata interior como el que se muestra en la siguiente figura.
Nota: Tener siempre la precaución de identificar en cada caso y antes de calcular si se trata de un freno auto energizante o no auto energizante, sobretodo se debe prestar atención en configuraciones que usen mas de una zapata (Ejemplo dos zapatas interiores) en donde se puede tener una A.E. y la otra N.A.E.
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Freno de Zapata Pivotante
Con este tipo de freno se busca conseguir una simetría geométrica y de presiones con respecto a la línea que une el centro “O”con el “Q”. Al igual que se hizo en el caso de zapata larga, se tomara como hipótesis que la presión es proporcional al desgaste. 1. DesgasteKp ⋅= Por otra parte se determina de estudios realizados que el desgaste se puede modelizar por medio de una expresión cosenoidal respecto al ángulo “ɵ” que se toma desde la línea que une los puntos “O” con “Q”, por lo cual: 2. θcos0Pp =
Ahora bien la simetría de presiones que se desea conseguir requiere que se elimine de la zapata el efecto de cabeceo referido al punto “Q”, es decir que durante el frenado la zapata no tienda a girar respecto a dicho punto. Esto así propuesto involucra el hecho de que “Q” tiene que estar ubicado a una cierta distancia “a” del centro del tabor de tal forma que el momento generado por las fuerzas de rozamiento respecto a “Q”sea nulo. Esto es
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3. 0)cos(2 2
`
0=−⋅⋅= ∫ radFM RFR θ
θ
Recurriendo ala expresión fundamental del rozamiento la ecuación “3” se escribe como
4. 0)cos(2 2
`
0=−⋅⋅⋅∫ radN θµ
θ
Por otro lado el esfuerzo normal es el producto de la presión por el área de donde.
5. 0)cos(cos2 2
`
0 0 =−⋅⋅⋅⋅⋅∫ radrbP θθθµθ
Reagrupando
6. 0)coscos(2 2
`
0
20 =⋅−⋅⋅⋅⋅ ∫
θ
θθθµ drarbP
Finalmente integrando y reordenando se consigue
7. ```
)2
`(4
θθθ
θ
krsen
senra ⋅=
+
⋅=
------------------------------------------------------------------------------------------------15
En donde se ve que “a” es proporcional al radio según el coeficiente “Kɵ” que depende pura y exclusivamente del ángulo “ɵ”. Siendo que este ultimo puede calcularse para un “ɵ`” en particular o bien tabularse de antemano.
8. ``
)2
`(4
` θθ
θ
θ sen
senk
+
⋅=
Para determinar el momento de frenado se recurre al diagrama de cuerpo libre del tambor
ɵ˚ ɵ rad Kɵ 20 0,3491 1,005 30 0,5236 1,011 40 0,6981 1,020 50 0,8727 1,032 60 1,0472 1,045 70 1,2217 1,061 80 1,3963 1,080 90 1,5708 1,100 100 1,7453 1,122 110 1,9199 1,146 120 2,0944 1,170 130 2,2689 1,194 140 2,4435 1,218 150 2,6180 1,239 160 2,7925 1,257
------------------------------------------------------------------------------------------------16
El momento de frenado será:
9. ` ` `
2 2 200 0 0
2 2 2 cos .T dFR r dN r P b r d rθ θ θ
µ µ θ θ= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
10. ∫ ⋅⋅⋅⋅= 2
`
0
20 cos2
θ
θθµ drbPT
11. 2
`2 2
0
θµ senrbPT ⋅⋅⋅⋅=
Ecuación que relaciona el momento de frenado con la presión “Po”, que para el caso particular en que la presión adopte el valor máximo establecido por el material de fricción se conseguirá el momento de frenado máximo. Por otro lado es también menester encontrar una relación entre la fuerza de accionamiento “F”y la presión “Po”. Para lo cual se recurre al cuerpo libre de la zapata.
Si se hace una sumatoria de las fuerzas según la horizontal se tiene que las fuerzas intervinientes son: La fuerza de accionamiento “F” y las componentes según el eje de las “x”de la fuerza de rozamiento y de la normal.
12. ∫ ∫−⋅−⋅= 2
`
0
2
`
2
`cos2θ θ
θ θθ sendFdF rN
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La segunda integral se sabe de ante mano que se anula lo cual es lógico porque la contribución de la fuerza de rozamiento es en la mitad superior para un sentido mientras que en la mitad inferior es igual pero de sentido opuesto con lo cual la integración se anula quedando
13. θθθθ θ
drbPdF N ⋅⋅⋅⋅=⋅= ∫ ∫2
`
0
2
`
0
20 cos2cos2
Integrando
14. ( )0 ' '2
P b rF senθ θ⋅ ⋅
= +
Ecuación que vincula “F” con “Po” Finalmente juntando las expresiones “11” y “14”se consigue:
15. θµθθ
θ
µ krFsen
senrFT ⋅⋅⋅=
+
⋅⋅⋅⋅=
``
)2
`(4
Siendo ``
)2
`(4
` θθ
θ
θ sen
senk
+
⋅=
Nota: Recordar que la validez de estas formulas esta supeditada a que se cumpla la simetría de presiones propuesta y esto se dará solo si el pívot se ubica a una distancia “a” definida en la expresión “7”
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Freno a cinta
Aquí se realizara un análisis muy parecido al que se hace en el estudio de correas. Para lo cual se toma un elemento infinitesimal de cinta al que se plantean las ecuaciones de equilibrio.
1. 22
20θθ d
sendfd
senfdNFy ⋅+⋅=⇒=∑
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Por otro lado cuando el ángulo es muy pequeño se puede simplificar
2. 22
θθ ddsen ≈
3. 12
cos ≈θd
Además 02
≈θddf
Remplazando la ecuación “1”se puede escribir como :
4. θθdf
dfdN ⋅=⋅=
22
5. θdfdN ⋅= Haciendo lo propio con las fuerzas según el eje “x”
6. 2
cos)(2
cos0θθ d
dffd
fdFFx R ⋅+=⋅+⇒=∑
7. dNdfdFR ⋅==⇒ µ Juntando las ecuaciones “6” y “7” se consigue: 8. θµ dfdf ⋅⋅=
9. θµ df
df ⋅=⇒
Finalmente integrando
10. `ln2
1 θµ ⋅=
F
F
O lo que es igual a:
11. `21
θµ ⋅⋅= eFF
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Expresión que vincula los esfuerzos de tracción en sendas puntas de la cinta y donde se aprecia claramente que “F1” es mayor que “F2” como consecuencia de la contribución efectuada por las fuerzas de rozamiento. Para este tipo de freno el calculo del momento de frenado se simplifica considerablemente porque el mismo se obtiene como el momento de la fuerza que resulta de restar (F1-F2) por el radio de acción que no es otra cosa que el radio del tambor 12. rFFT ⋅−= )1( 2 Queda definir una formula que permita verificar la presión máxima, para lo cual se hace lo siguiente. 13. θdrbPdN ⋅⋅⋅=
14. rbd
fd
rbd
dNP
⋅⋅⋅=
⋅⋅=⇒
θθ
θ
15. rb
fP
⋅=⇒
Lo que nos muestra una proporcionalidad entre la presión y el esfuerzo de tracción de la cinta por lo cual la máxima presión será para “F1”
16. rb
FP
⋅=⇒ 1
0
Lo cual se dará para “ɵ=0”
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Freno a Disco. En este tipo de frenos ya se presentan cambios sustanciales respecto a los antes estudiados; Ya que lo que antes era un tambor en esta oportunidad es un disco (de fundición gris nodular o de acero) solidario al eje que se desea frenar. De tal forma que la zapata o mejor dicho “pastilla de freno” ataca lateralmente al disco generando así fricción entre ambos materiales y consecuentemente un fuerza de frenado.
Como principales mejoras el sistema a disco ofrece una mejor performance en cuanto a capacidad de frenado, son además considerablemente mas livianos que los de campana y muco menos voluminosos con lo cual son ideales para ser colocados en lugares compactos. En cuanto ala evacuación del calor también presentan ventajas respecto a los antes analizados. Al igual que se hiciera antes, se desarrollara para este freno un grupo de ecuaciones que nos permita calcularlo, verificarlo y/o dimensionarlo. Para lo cual será necesario tomar como hipótesis que “el desgaste de la pastilla es uniforme y además que este es proporcional al producto de la velocidad tangencial y la presión”, esto es: 1. vpkcteDesgaste ⋅⋅==
2. r
k
rw
k
v
kp
```` =⋅
==⇒
Siendo p: la presión en un punto ubicado a un radio “r” v: la velocidad para el mismo punto que se tomo “p” w: la velocidad angular del disco
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La expresión “2” muestra claramente que para una misma velocidad angular la presión es inversamente proporcional al radio “r”. Por lo cual la presión máxima se dará siempre para el radio interno
3. ir
kP
``0 =
Ahora bien para poder determinar el momento de frenado se debe analizar el cuerpo libre del disco es decir lo que la pastilla le hace al disco.
El momento de frenado será: 4. rdrrprdNrdFdT R ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= αµµ Introduciendo el la expresión “2”se obtiene
5. drrkdrrrr
KdT ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= αµαµ ``
``
Integrando entre los limites “re” y “ri” se consigue:
6. ( )22
2
``ie rr
kT −⋅⋅⋅= αµ
En donde se puede remplazar K`` utilizando para ello la ecuación “3”
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7. ( )22
2 ieio rr
rPT −
⋅⋅⋅⋅=
αµ
Por otro lado si llamamos radio medio a:
8. ( )
2ie
m
rrr
+=
Entonces la expresión “7 se puede escribir como 9. ( )iemio rrrrPT −⋅⋅⋅⋅= αµ
Además el área de la pastilla se puede aproximar como : 10. ( )iem rrrA −⋅≈ α
De donde: 11. ArPT io ⋅⋅⋅= µ
Siendo esta última una formula que permite aproximar los cálculos sobre todo en los casos en que la pastilla tiene forma irregular. Tener en consideración que tanto la ecuación “7” como la “11” fueron desarrolladas para una sola pastilla pero en este tipo de freno las pastillas trabajan de a pares por lo cual el momento de frenado será siempre el doble (salvo casos particulares). Para encontrar una expresión para la fuerza de accionamiento “F”se realiza el siguente analisis:
12. drrr
KdrrpdNdF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== αα ``
13. drKdF ⋅⋅= α`` Integrando y remplazando “k``”se consigue 14. ( )iei rrrPF −⋅⋅= α0
Finalmente se pueden combinar las ecuaciones “14”y “9”para dar un vinculo directo entre la acción “F” y la consecuencia “T” 15. mrFT ⋅⋅= µ
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Punto de Vista energético La operación de frenado, sea cual fuese la finalidad de la misma, conlleva un determinado trabajo o energía que es “absorbido”o mejor dicho transformado por el freno casi en su totalidad en energía calórico, la cual se manifiesta en un calentamiento del sistema de freno , piezas aledañas y la atmósfera en general. Para entender mejor el proceso se ilustra un ejemplo simple:
El vehículo del grafico se encuentra descendiendo una cuesta y como forma de regular la velocidad recurre pura y exclusivamente a la utilización de los frenos. Si ahora consideramos dos estados, uno inicial (con una velocidad v1 y a una cota altimétrica h1) y otro estado que llamamos como final (con v2 y h2). Tenemos que la variaciones energéticas del vehículo de peso “W” se pueden escribir como Variación de energía cinética.
1. ( )22 212
vvg
wEK −
⋅=∆
Variación de energía potencia. 2. ( )21 hhwEP −=∆ La sumatoria de estas variaciones energéticas nos da la cantidad de energía que deberá manejar y disipar nuestro sistema de freno. Tema que no puede ser omitido o ignorado
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puesto que un mal dimensionamiento de un freno puede hacer que el mismo colapse por no poder manejar la energía de frenado. Enfocando lo que ocurre en el freno se puede resumir diciendo que cuando el material de fricción entra en contacto con el disco o tambor (siempre suponiendo que existe movimiento relativo entre estos componentes claro esta) se produce como consecuencia de la fricción un aumento de la agitación molecular que se manifiesta con un marcado aumento de la temperatura en la superficie de contacto. De ahí y siendo que dentro de nuestro sistema se creo un gradiente de temperatura (superficie de contacto mas caliente que el resto de sistema) comienza a circular calor buscando equilibrar ese gradiente de temperaturas. Esto hace que sistema en general (mayormente las campanas o discos) adquieran también una temperatura mayor dando pie a la evacuación de calor hacia la atmósfera que lógicamente esta a una temperatura menor. Evidentemente que este proceso requiere un tiempo, el cual a grandes rasgos depende de dos factores. El primero esta relacionado con el diseño del sistema de freno y abarca temas como materiales utilizados, capacidad para evacuar calo, refrigerante usado, dimensiones en general…etc. Y el segundo viene dado por la potencia de frenado requerida. Con referencia a lo ultimo se puede decir que en frenadas que se consideran violentas o súbitas por la rapidez con las que se desarrollan gran parte de la energía interviniente es absorbida por el freno produciendo un marcado aumento de temperatura en los discos o campanas así como también en las zapatas o pastillas de freno. Lógicamente que a posteriori esta energía se disipa a la atmósfera pero en un principio muy poca de la misma consigue ser trasmitida al medio, generándose así dos posibles tipos de fallas o colapso:
• Elevación de la temperatura por encima de los niveles máximos de algún o algunos de los componentes del sistema.
• Gradientes de temperaturas y consecuentemente de tensiones tan elevados que
produzcan deformaciones estructurales que lleven al colapso al sistema en general.
Estas posibilidades de fallas marca la necesidad imperiosa de realizar siempre un estudio térmico de los sistemas de freno para lo cual una forma aproximada y rápida de ponderar el aumento de temperatura en los discos o campanas (que son los que mas sufren estos efectos) es:
3. cm
Ut
⋅=∆
En donde “U” es la energía absorbida por la campana o disco “m” es la masa del disco o campana “c” Calor especifico del material del disco o campana
Material c
kgf.m/(kg.˚C) Hierro Fundido 55,3 Acero 51 Aluminio 106
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Se aclara que esto es solo una aproximación puesto que el proceso de trasmisión de calor es tan complejo que requiere de técnicas mas modernas y especializadas para su estudio. Nota: un caso en los que el frenado se puede considerar como súbito es el frenado de un avión durante el aterrizaje. Por otra parte la bibliografía técnica y los fabricantes de materia de fricción establecen para los distintos materiales la potencia por cm2 a la que puede estar solicitado el material sin que se produzca un deterioro prematuro del mismo. Nota: algunas bibliografía en ves de indicar la potencia por cm2 , dan el valor limite del producto presión por velocidad tangencial que como se muestra es proporcional al primero mencionado
4. vPkvPA
vN
A
vF
A
Pot ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= µµ
Para freno a zapata Aplicación P.v Unidad Frecuente 118
Kgf.m / (cm2.min)
Intermedio 354 Poca frecuencia, intervalos cortos 1060 Para frenos a discos se aceptan valores mayores
min5000
2 ⋅⋅=⋅
cm
mKgfvP
Mientras que para frenos a cinta se recomiendan valores del siguiente orden
2047,0.
cm
CVVC =
Nota De cualquier manera se indica y recomienda al lector el consultar bibliografía actualizada a la hora de calcular un freno ya que la evolución en los materiales de fricción hace que estos valores sean susceptibles de variar.
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Materiales de fricción “Composición” Antiguamente el amianto constituía la base de cualquier formulación ya que era capaz de aportar las cualidades requeridas en los materiales de fricción. Posteriormente tras comprobar la toxicidad del mismo, surgió la necesidad imponente de generar nuevas formulaciones que omitiesen este componente aun aceptando peores cualidades en los materiales alcanzados. De esta forma, los primeros materiales “sin amianto” que aparecieron en el mercado eran de prestaciones y duración inferiores; hecho que se revirtió en los últimos años con el avance de las técnicas de fabricación y tras la evolución de distintas formulaciones consiguiéndose hoy en días productos con excelentes prestaciones. En la actualidad la mayoría de los fabricantes basan sus productos en una mezcla de componentes que le otorgan las distintas propiedades al material de fricción. Siendo una composición base o tipo la que se enlista a continuación: - LAS FIBRAS(10%): Las fibras son los elementos encargados de aglutinar y ligar el resto de los elementos. Es decir, las fibras son el “armazón” de las pastillas de freno, a través de sus múltiples ramificaciones van uniendo el resto de los elementos. Las más usuales en el campo de la fricción son: fibras de vidrio, fibras de aramida, lana de roca. - LAS CARGAS MINERALES(27%): Las cargas minerales son las encargadas de dar consistencia mecánica al conjunto, es decir, le aportan resistencia a la abrasión, resistencia a cortadura. Están encargadas también, de aportar resistencia a las altas temperaturas. Las más usuales son: barita, magnesita, talco, mica, carbonato, feldespato y otros. - COMPONENTES METÁLICOS(15%) : Se añaden en forma de polvo o viruta para conseguir homogeneizar el coeficiente de fricción así como la transferencia de calor de la pastilla al caliper. Los más usuales son, latón, cobre, bronce entre otros. No obstante una gran parte de los componentes metálicos usados en los materiales de fricción, tienen efectos nocivos sobre la salud por lo que se recomienda seguir estrictamente la legislación referente a los productos que contengan tales metales pesados. - LOS LUBRICANTES O MODIFICADORES DE COEFICIENTE(20%) : Son los encargados de hacer variar el coeficiente de fricción normalmente a la baja, dependiendo del rango de temperatura de funcionamiento. Son empleados en forma de polvo suelen ser grafitos, cokes, sulfuros, antracitas, etc. - LOS MATERIALES ORGÁNICOS(20%) : Son los encargados de aglomerar el resto de los materiales. Cuando alcanzan una determinada temperatura fluyen y ligan el resto de componentes, hasta que se polimerizan. Las más importantes son las resinas fenólicas termoendurecibles, aunque también son empleados diferentes tipos de cauchos, ceras, aceites... - LOS ABRASIVOS(8%): Cumplen principalmente la misión de incrementar el coeficiente de fricción y también renuevan y limpian la superficie del disco permitiendo la formación de la capa intermedia o también conocida como tercera capa.
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PRÁCTICO FRENO 1-El freno a zapata interior que se ilustra en la figura es accionado por medio de un cilindro de doble efecto, lo cual garantiza que las fuerzas aplicadas en sendas zapatas son iguales e igual a “F”. Por otro lado el revestimiento friccionante es de asbesto moldeado, cuyo coeficiente de fricción con la fundición nodular es de 0,32 y tiene un límite de presión de 1.000 KPa.
Se Pide a) Determinar la máxima fuerza “F” que se puede aplicar sin que se supere el limite de
presión del material friccionante. b) Determinar cual es la capacidad de frenado (momento de frenado) para la fuerza
“F”calculada en el punto anterior y considerando el sentido de giro indicado en la figura.
c) Para la misma fuerza “F” en cuanto varia porcentualmente la capacidad de frenado (momento de frenado) si se invierte el sentido de giro.
d) Cuanto seria el momento de frenado si las dos zapatas fuesen primaria (para la fuerza “F”calculada en “a”).
e) Cuanto seria el momento de frenado si las dos zapatas fuesen secundarias (para la fuerza “F”calculada en “a”).
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Resolución: Datos d=300mm ⇒ r = 150mm=0,15m b=32mm = 0,032m l = (100mm+112mm) =212mm = 0,212m Pmax = 1000 KPa. µ = 0,32 α1 = 0˚ = 0 rad α2 = 126˚ = 2,199 rad
mmmmmc 1226,06,122)50112(2 222 ==+=
a)
El freno que se esquematiza esta compuesto por dos zapatas internas, de las cuales la que se encuentra ala derecha es primaria (o Auto Energizante) mientras que la de la izquierda es secundaria (o no Auto Energizante)
Por otro lado se sabe que para una misma fuerza una zapata primaria alcanza mayor presión que una secundaria. Puesto que en la primaria la fuerza de rozamiento actúa de tal forma que genera mayor presión en la superficie de la zapata y el tambor ayudando así a frenado, mientras que en una zapata secundaria la fuerza de rozamiento tiende a liberar presión (a separar la zapata del tambor).
En definitiva las expresiones a usa son las desarrolladas para F.A.E.
l
MMF FRN −
=
)](2
)cos(cos[ 12
22
210 ααααµ sensenc
rPbrM FR −−−⋅⋅⋅=
)]22()(2[4 1212
0 αααα sensencrbP
M n −−−⋅⋅⋅
=
Remplazando los datos (y poniendo como P0 la presión máxima ) conseguiremos
Fmax.
)]0199,2(2
1226,0)199,2cos0(cos15,0[000.1000032,015,032,0 22
2sensen
mm
m
NmmM FR −−−⋅⋅⋅=
NmM FR 304=
)]0199,22()0199,2(2[4
1226,015,0032,0000.10002
sensenm
mmmNM n −⋅−−⋅⋅⋅=
------------------------------------------------------------------------------------------------30
NmM n 787=
( )
m
Nm
l
MMF FRN
212,0
304787−=−
=
Finalmente:
NF 2278=
b) Como tenemos una zapata primaria y una secundaria los momentos de frenada serán distintos y para el calculo será preciso determinarlos individualmente y después sumarlos Para la zapata primaria El valor de Po será Pmax y por lo tanto
)cos(cos 2102 ααµ −⋅⋅⋅= PbrT
)199,2cos0(cos000.1000032,015,032,02
22 −⋅⋅⋅=m
NmmTp
NmTp 366=
Para la zapata secundaria
El valor de Po será menor que Pmax y tendrá que ser calculado para lo cual se recurre a las expresiones para zapatas N.A.E.
l
MMF FRN +
=
)](2
)cos(cos[ 12
22
210 ααααµ sensenc
rPbrM FR −−−⋅⋅⋅=
)]22()(2[4 1212
0 αααα sensencrbP
M n −−−⋅⋅⋅
=
Remplazando
)]0199,2(2
1226,0)199,2cos0(cos15,0[032,015,032,0 22 sensen
mmPmmM oFR −−−⋅⋅⋅⋅=
[ ]30000.1000
304mPM FR =
------------------------------------------------------------------------------------------------31
)]0199,22()0199,2(2[4
1226,015,0032,00 sensenmmmP
M n −⋅−−⋅⋅⋅
=
[ ]3
000.1000
787mPM on =
Luego
3
3
1091
212,0000.10002278
212,0000.1000
304787
2278m
mNPP
m
mNF oo
⋅⋅=⇒⋅
+
==
2442654
m
NPo =
Finalmente se calcula el momento de frenado de esta zapata haciendo
)cos(cos 2102 ααµ −⋅⋅⋅= PbrT
)199,2cos0(cos654.442032,015,032,02
22 −⋅⋅⋅=m
NmmTS
NmTs 162=
Por ultimo el momento total de frenado será la suma de los momentos de frenado
NmNmTTT sp 162366 +=+=
NmT 528=
c) Si se invierte el sentido de giro tendremos que la zapata que era primaria pasara a ser secundaria y viceversa por lo cual los momentos de frenados individuales se invertirán pero la suma de los dos seguirá siendo la misma por lo cual no hay variación alguna en le frenado. Respuesta 0 % d) Si las dos fuesen primarias el momento de frenado seria
NmNmTT p 73236622 =⋅=⋅=
e) Para el caso en que las dos sean secundarias
NmNmTT s 32416222 =⋅=⋅=
Lo que equivale casi ala mitad de lo calculado en el punto anterior
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2-Dimensionar un freno a tambor con doble zapata pivotada, siendo que el mismo se encuentra acoplado directamente al eje de un tambor de un aparejo a cable. Datos
• Coeficiente de seguridad a plena carga 1,25 • Diámetro del tambor que bobina el cable 450 mm • Carga que eleva el aparejo 1200 Kgf. • Presión máxima del material de fricción 7 kgf/cm2 • Coeficiente de fricción 0,35 • Relación ancho de la zapata /diámetro del tambor = 0,3 • Angulo de abrazado de la zapata 100˚
Resolución Sacando en claro los datos Cs =1,25 Dbob.= 450mm= 45cm W=1200 kgf Pmax = 7 Kgf/cm2 µ=0,35 b=0,6 r ɵ`=100˚=1,7453 rad
Como primera medida tenemos que definir la solicitaciones a las que va a estar trabajando el freno para que luego, coeficiente de seguridad de por medio, podamos dimensionar el freno Consideramos que el cable tira del tambor que bobina a un diámetro primitivo de 450mm. Con lo cual en condición estática el momento generado será de :
KgfcmWD
Treq 12002
45
2⋅=⋅=
cmKgfTreq ⋅= 000.27
Incorporando el coeficiente de seguridad
cmKgfCTT sreqfrenado ⋅⋅=⋅= 25,1000.27
cmKgfT frenado ⋅= 750.33
Este es el momento que se debe garantizar con el freno. Por otra parte considerando que cada una de las zapatas participa en partes iguales se tiene que
------------------------------------------------------------------------------------------------33
2
`6,02
2
`2
2
750.33 20
20/
θµθµ senrrPsenrbPcmKgfT zapatafrenado ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=
Además se adopta como “Po” igual a “Pmax” con el fin de alcanzar un máximo aprovechamiento del material de fricción
33
0 2
7453,16,0735,022
750.33
2
`6,022
750.33
sencmKgf
senPr
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⇒ θµ
3
2
3
0 2
7453,16,0735,022
750.33
2
`6,022
750.33cmkgf
sencm
kgfcmKgf
senPr ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⇒ θµ
cmr 57,19=⇒
cmrb 57,196,06,0 ⋅=⋅=
cmb 74,11=
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3- Calcular el diámetro exterior de los discos de freno para un vehículo de peso 900 Kgf a fin de que satisfaga los siguientes requerimientos con un coeficiente de 1,5 en ambos casos. a) Capacidad de bloque de las ruedas con un coeficiente de rozamiento (neumático-
piso) 0,6 b) Capacidad de desaceleración de 7m/seg2 . (se descarta posible patinamiento) Datos Presión máxima admisible en el material de fricción 38 Kg/cm2 Coeficiente de rozamiento pastillas – discos 0,35 Angulo medio subtendido por cada zapata 25 ˚ Relación entre radio interior /exterior = 0,58 Diámetro del rodado 0,65m Suponer que los cuatros frenos son iguales e igua distribución de cargas. Resolución Sacando en claro los datos Pmax= 38 Kgf/cm2 µneum-piso= 0,6 α= 25˚=0,436 rad ri= re 0,58 Drodado=0,65m= 65cm Los requerimientos que debe satisfacer el freno son:
2
656,0
4
900
241
cmKgfDWT rodado
pisoneumvehiculo
req ⋅⋅=⋅⋅= −µ
cmKgfTreq ⋅= 43871
2
657
81,94
900
24 2
2
2
cm
seg
m
seg
mKgfD
ag
WT rodadovehiculo
req ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
cmKgfTreq ⋅= 217.52
Donde se puede ver que la segunda solicitud es más exigente que la primera por lo cual satisfaciendo el segundo requerimiento quedamos totalmente cubiertos del primero. Para determinar el momento que debe proporcionar el freno incorporamos el coeficiente de seguridad.\
------------------------------------------------------------------------------------------------35
cmKgfcmKgfCTT sreqfrenado ⋅=⋅⋅=⋅= 827.75,1217.52
Recurriendo a la formula del momento de frenado para este tipo de freno y teniendo en cuenta que actúan dos caras
( )22ieiofrenado rrrPT −⋅⋅⋅⋅= µα
Remplazando ri se obtiene
( )222 58,058,0 eeeofrenado rrrPT −⋅⋅⋅⋅⋅= µα
( ) µαµα ⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅⋅= 3222 385,058,058,0 eoeeeofrenado rPrrrPT
3
2
3
35,0436,038385,0
827.7
385,0 ⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅
=
cm
kgfcmKgf
P
Tr
o
frenadoe µα
cmre 19,15=
cmcmrd ee 4,3019,1522 =⋅=⋅=⇒
