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Se si esegue un numero N di prove sufficientemente elevato, sia l’esperienza sia la teoria della probabilità mostrano che la frequenza relativa dei singoli risultati (k=1,2,3,4,5,6) (o di un qualsiasi evento) è prossima alla loro probabilità: ( 29 A P N N f A A = Frequenza relativa e probabilità Esempio: Esperimento: Lancio “casuale” di un dado Risultato: Numero sulla faccia superiore del dado Insieme dei possibili risultati (elementari): S={1,2,3,4,5,6} Evento: qualsiasi sottoinsieme dell’insieme dei risultati A={1,2}; B={2,4,6}; ecc. La probabilità e' un numero che indica con quale frequenza si presentano eventi associati ad un insieme di possibili risultati di un “esperimento”. 16/05/2014 C. Prati 1

Frequenza relativa e probabilità - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/prati/PwPoint/ProbabilityBasics.pdf · La probabilità dell’unione ( or ) di 2 eventi è uguale alla somma delle

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Se si esegue un numero N di prove sufficientemente elevato, sia lesperienza sia la teoria della probabilit mostrano che la frequenza relativa dei singoli risultati (k=1,2,3,4,5,6) (o di un qualsiasi evento) prossima alla loro probabilit:

( )APN

Nf AA =

Frequenza relativa e probabilit

Esempio: Esperimento : Lancio casuale di un dado Risultato : Numero sulla faccia superiore del dado Insieme dei possibili risultati (elementari): S={1,2,3,4,5,6} Evento : qualsiasi sottoinsieme dellinsieme dei risultati A={1,2}; B={2,4,6}; ecc.

La probabilit e' un numero che indica con quale frequenza si presentano eventiassociati ad un insieme di possibili risultati di un esperimento.

16/05/2014 C. Prati 1

Probabilit: propriet e regole di calcolo

( ) 10 AP

( ) 1=SP

( ) ( ) ( ) ( )ABPBPAPBAP +=+

( ) ( ) ( )BPBAPABP = /

La probabilit un numero compreso tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo)

Linsieme S di tutti i possibili risultati levento certo

La probabilit dellunione (or ) di 2 eventi uguale alla somma delle probabilit meno la probabilit della loro intersezione

La probabilit dellintersezione (and ) di 2 eventi uguale alla probabilit di un evento condizionato alla realizzazione del secondo, moltiplicata per la probabilit dellevento

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Esempio del calcolo di probabilit dellunione

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABPABPBPAPBAP +=+=+37

18

37

3

( ) ( ) ( )37

1

37

18

18

1/ === BPBAPABP

Calcolare la probabilit dellunione dei seguenti eventi: A = uscita dei numeri {1,2,3} sulla roulette B = uscita di un numero pari sulla roulette

( ) ( ) ( )37

1

37

3

3

1/ === APABPABP

( ) ( ) ( ) ( )37

20

37

1

37

18

37

3 =+=+=+ ABPBPAPBAP

16/05/2014 C. Prati 3

Teorema di Bayes

( ) ( ) ( )BPBAPABP = /

( ) ( ) ( )APABPABP = /

( ) ( ) ( ))(

//BP

APABPBAP =

16/05/2014 C. Prati 4

Esempio 1 teorema di Bayes

60% biglietti vincenti (V) 40% biglietti perdenti (P)70% dei biglietti vincenti e tutti quelli perdenti sono rossi (R)Calcolare la probabilit che scelto un biglietto rosso sia vincente

( ) ( ) ( )

( ) ( )

51,04,016,07,0

6,07,0

)()/()()/(/

)(//

=+

=

=+

=

==

PPPRPVPVRP

VPVRP

RP

VPVRPRVP

16/05/2014 C. Prati 5

Esempio 2 teorema di Bayes

Su 3 buste (1,2,3), una sola vincente (V).Il giocatore (G) sceglie una busta e il conduttore (C) ne apre unaltra senza premio. Se il giocatore sceglie la busta 1 e il conduttore apre la busta 3 (GC13), calcolare la probabilit che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )3

2

21

311

)13(

22/1313/2

3

1

21

312

1)13(

11/1313/1

===

===

GCP

VPVGCPGCVP

GCP

VPVGCPGCVP

16/05/2014 C. Prati 6

Esempio 3 teorema di Bayes

Su 3 buste (1,2,3), una sola vincente (V).Il conduttore (C) ne apre una senza premio (C3). Calcolare la probabilit che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

1

31

312

1)3(

22/33/2

2

1

31

312

1)3(

11/33/1

===

===

CP

VPVCPCVP

CP

VPVCPCVP

16/05/2014 C. Prati 7

x

Variabile casuale

numero reale associato ad un evento

Funzione di distribuzione ( ) )( axPaFx =

Densit di probabilit ( ) ( )aFda

d

da

daaxaPap xx =

+= )(

1 Monotona non decrescente

2 - ( ) 0=xF ( ) 1=xF

1

2 -

( ) 0apx( )

+

= 1daapx

16/05/2014 C. Prati 8

x

Variabile casuale discreta

Funzione di distribuzione

( ) )6(6

1...)2(

6

1)1(

6

1)( +++== auauauaxPaFx

Densit di probabilit

( ) ( ) )6(6

1...)6(

6

1)1(

6

1 +++== aaaaFda

dap xx

Le variabili casuali sono discrete quando possono assumere un insieme discreto di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero finito o comunque numerabile).

Esempio: v.c. Legata al numero sulla faccia superiore del dado.

16/05/2014 C. Prati 9

x

Variabile casuale continua

Funzione di distribuzione ( ) aaxPaFx == )(

Densit di probabilit ( ) ( ) 1== aFda

dap xx

Le variabili casuali sono continue quando possono assumere un insieme continuo di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero infinito).

Esempio: v.c. Uniforme 0-1 - Posizione di una biglia che si muove a velocit costante su una pista circolare lunga 1 metro. Assume con la stessa probabilit un qualsi valore reale valore compreso tra 0 e 1

16/05/2014 C. Prati 10

Uso della densit di probabilit

Dalla densit di probabilit p(a) facile calcolare la probabilit che la variabile casuale x assuma un valore compreso in un intervallo a1, a2. Basta sommare! si ottiene larea sottesa dalla ddp nellintervallo dinteresse.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

a1 a2

( ) =