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nguyenmien
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Se si esegue un numero N di prove sufficientemente elevato, sia lesperienza sia la teoria della probabilit mostrano che la frequenza relativa dei singoli risultati (k=1,2,3,4,5,6) (o di un qualsiasi evento) prossima alla loro probabilit:
( )APN
Nf AA =
Frequenza relativa e probabilit
Esempio: Esperimento : Lancio casuale di un dado Risultato : Numero sulla faccia superiore del dado Insieme dei possibili risultati (elementari): S={1,2,3,4,5,6} Evento : qualsiasi sottoinsieme dellinsieme dei risultati A={1,2}; B={2,4,6}; ecc.
La probabilit e' un numero che indica con quale frequenza si presentano eventiassociati ad un insieme di possibili risultati di un esperimento.
16/05/2014 C. Prati 1
Probabilit: propriet e regole di calcolo
( ) 10 AP
( ) 1=SP
( ) ( ) ( ) ( )ABPBPAPBAP +=+
( ) ( ) ( )BPBAPABP = /
La probabilit un numero compreso tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo)
Linsieme S di tutti i possibili risultati levento certo
La probabilit dellunione (or ) di 2 eventi uguale alla somma delle probabilit meno la probabilit della loro intersezione
La probabilit dellintersezione (and ) di 2 eventi uguale alla probabilit di un evento condizionato alla realizzazione del secondo, moltiplicata per la probabilit dellevento
16/05/2014 C. Prati 2
Esempio del calcolo di probabilit dellunione
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABPABPBPAPBAP +=+=+37
18
37
3
( ) ( ) ( )37
1
37
18
18
1/ === BPBAPABP
Calcolare la probabilit dellunione dei seguenti eventi: A = uscita dei numeri {1,2,3} sulla roulette B = uscita di un numero pari sulla roulette
( ) ( ) ( )37
1
37
3
3
1/ === APABPABP
( ) ( ) ( ) ( )37
20
37
1
37
18
37
3 =+=+=+ ABPBPAPBAP
16/05/2014 C. Prati 3
Teorema di Bayes
( ) ( ) ( )BPBAPABP = /
( ) ( ) ( )APABPABP = /
( ) ( ) ( ))(
//BP
APABPBAP =
16/05/2014 C. Prati 4
Esempio 1 teorema di Bayes
60% biglietti vincenti (V) 40% biglietti perdenti (P)70% dei biglietti vincenti e tutti quelli perdenti sono rossi (R)Calcolare la probabilit che scelto un biglietto rosso sia vincente
( ) ( ) ( )
( ) ( )
51,04,016,07,0
6,07,0
)()/()()/(/
)(//
=+
=
=+
=
==
PPPRPVPVRP
VPVRP
RP
VPVRPRVP
16/05/2014 C. Prati 5
Esempio 2 teorema di Bayes
Su 3 buste (1,2,3), una sola vincente (V).Il giocatore (G) sceglie una busta e il conduttore (C) ne apre unaltra senza premio. Se il giocatore sceglie la busta 1 e il conduttore apre la busta 3 (GC13), calcolare la probabilit che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )3
2
21
311
)13(
22/1313/2
3
1
21
312
1)13(
11/1313/1
===
===
GCP
VPVGCPGCVP
GCP
VPVGCPGCVP
16/05/2014 C. Prati 6
Esempio 3 teorema di Bayes
Su 3 buste (1,2,3), una sola vincente (V).Il conduttore (C) ne apre una senza premio (C3). Calcolare la probabilit che il premio sia nella busta 1 (V1) o nella busta 2 (V2).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
1
31
312
1)3(
22/33/2
2
1
31
312
1)3(
11/33/1
===
===
CP
VPVCPCVP
CP
VPVCPCVP
16/05/2014 C. Prati 7
x
Variabile casuale
numero reale associato ad un evento
Funzione di distribuzione ( ) )( axPaFx =
Densit di probabilit ( ) ( )aFda
d
da
daaxaPap xx =
+= )(
1 Monotona non decrescente
2 - ( ) 0=xF ( ) 1=xF
1
2 -
( ) 0apx( )
+
= 1daapx
16/05/2014 C. Prati 8
x
Variabile casuale discreta
Funzione di distribuzione
( ) )6(6
1...)2(
6
1)1(
6
1)( +++== auauauaxPaFx
Densit di probabilit
( ) ( ) )6(6
1...)6(
6
1)1(
6
1 +++== aaaaFda
dap xx
Le variabili casuali sono discrete quando possono assumere un insieme discreto di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero finito o comunque numerabile).
Esempio: v.c. Legata al numero sulla faccia superiore del dado.
16/05/2014 C. Prati 9
x
Variabile casuale continua
Funzione di distribuzione ( ) aaxPaFx == )(
Densit di probabilit ( ) ( ) 1== aFda
dap xx
Le variabili casuali sono continue quando possono assumere un insieme continuo di valori (e quindi i possibili risultati sono in numero infinito).
Esempio: v.c. Uniforme 0-1 - Posizione di una biglia che si muove a velocit costante su una pista circolare lunga 1 metro. Assume con la stessa probabilit un qualsi valore reale valore compreso tra 0 e 1
16/05/2014 C. Prati 10
Uso della densit di probabilit
Dalla densit di probabilit p(a) facile calcolare la probabilit che la variabile casuale x assuma un valore compreso in un intervallo a1, a2. Basta sommare! si ottiene larea sottesa dalla ddp nellintervallo dinteresse.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a1 a2
( ) =