F´ısica de Part´ıculas Aula 5 Grupos e Simetriasromao/Public/... · F´ısica de Part´ıculas Aula 5 Grupos e Simetrias Jorge C. Rom˜ao Instituto Superior T´ecnico, Departamento

Fısica de Partıculas

Aula 5Grupos e Simetrias

Jorge C. RomaoInstituto Superior Tecnico, Departamento de Fısica & CFTP

A. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal

2014

Sumario da Aula

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

Jorge C. Romao FP-2013 – 2

❐ Simetrias, Grupos e Leis de Conservacao

❐ Momento Angular

❐ Spin 1/2

❐ Adicao de momentos angulares

❐ Simetrias Internas

❐ Simetrias Discretas

◆ Paridade

◆ Conjugacao de carga

◆ Inversao no tempo

◆ Teorema TCP

Simetrias, Grupos e Leis de Conservacao

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos

•Grupos em Fısica

• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


- 4 - 2 2 4x

- 0.5

0.5

f @ x D

Figure 1: Funcao ımpar

Trata-se duma funcao ımpar. Como tal, sem mais, podemos fazer variasafirmacoes sem efetuar qualquer calculo,

(f(−x))4= (f(x))

4,

∫ 3

−3

f(x)dx = 0,

∫ 5

−5

[f(x)]2dx = 2

∫ 5

0

[f(x)]2dx

Teorema de Noether

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ A importancia das simetrias em relacao com as leis de conservacao vem doTeorema de Noether.

❐ O teorema diz que para cada simetria contınua ha uma lei de conservacao.

❐ Os exemplos mais importantes estao na Tabela 1.

Simetria Lei de conservacao

Translacao no tempo EnergiaTranslacao no espaco Momento linearRotacao Momento angularSimetria de gauge Carga

Table 1: Teorema de Noether: Simetrias e leis de conservacao

Gupos de Simetria

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Ate agora falamos de simetrias duma maneira intuitiva e nao muito precisa.

❐ Mais rigorosamente uma simetria e uma operacao que deixa um sistemainvariante.

A

B Ca

c b

Figure 2: Simetrias do triangulo equilatero.

❐ As simetrias sao as reflexoes em torno dos eixos a, b e c, e as rotacoes de 120◦

no sentido dos ponteiros dos relogios e no sentido contrario. Designamos essasoperacoes por Ra, Rb, Rc, R+ e R−, respetivamente. Ha ainda a operacao denao fazer nada que designamos por identidade I.

Gupos de Simetria

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Estas seis operacoes sao todas as operacoes de simetria do triangulo equilateroe forma aquilo a que os matematicos chamam um grupo.

❐ Um conjunto de operacoes forma um grupo se tiver as seguintes propriedades:

1. Se dois elementos Ri e Rj estao no conjunto, entao a aplicacao sucessivaRjRi tambem pertence ao conjunto. (Fecho)

2. Existe um elemento designado por identidade tal que IRi = RiI = Ri

para todos os elementos do conjunto

3. Para cada elemento do conjunto, Ri, existe um inverso, designado porR−1

i tal que RiR−1

i = R−1

i Ri = I.

4. A propriedade de associatividade e verificada, isto e,Ri(RjRk) = (RiRj)Rk.

❐ Em geral RiRj 6= RjRi. Se RiRj = RjRi para todos os elementos do grupo ogrupo designa-se por abeliano. Caso contrario por nao-abeliano. Veremos queambos sao importantes na descricao das simetrias das interacoes fundamentais.

Grupo de simetrias do triangulo equilatero

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ E facil de ver que o conjunto de simetrias do triangulo equilatero,I, R+, R−, Ra, Rb, Rc forma um grupo.

❐ Tabela de multiplicacao do grupo de simetrias do triangulo equilatero

I R+ R− Ra Rb Rc

I I R+ R− Ra Rb Rc

R+ R+ R− I Rb Rc Ra

R− R− I R+ Rc Ra Rb

Ra Ra Rc Rb I R− R+

Rb Rb Ra Rc R+ I R−

Rc Rc Rb Ra R− R+ I

❐ Notar que se trata dum grupo nao abeliano pois, por exemplo,

RaRb 6= RbRa

Grupos em Fısica

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


Os grupos mais importantes em fısica sao os grupos de matrizes

1. U(n)Grupo das matrizes unitarias n× n, isto e U

−1 = (UT )∗ = U†.

2. SU(n)Sao os subgrupos dos grupos unitarios com detU = 1. Os exemplos maisimportantes sao SU(2) e SU(3).

3. O(n)Grupo das matrizes ortogonais n× n, isto e O

−1 = OT . O grupo de Lorentz,

e um grupo de rotacoes num espaco pseudo-euclidiano e designa-se porO(3, 1) onde 3, 1 diz respeito aos sinais da metrica pseudo-euclidiana.

4. SO(n)Subgrupo de O(n) com detO = 1. O exemplo mais importante e o grupo dasrotacoes SO(3).

Algebras

Sumario

Simetrias

•Teorema Noether

•Grupos


• Algebras

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Para grupos de simetrias contınuos tem particular importancia astransformacoes infinitesimais. Estas sao expressas em termos dos geradores daalgebra do grupo.

❐ A algebra e definida pelas relacoes de comutacao dos geradores. Em mecanicaquantica estes geradores correspondem a operadores como por exemplo, omomento angular e o spin, para dar dois exemplos importantes.

❐ Assim os geradores da algebra do grupo das rotacoes SO(3), sao osoperadores do momento angular, com a algebra,

[Li, Lj ] = i ǫijk Lk

❐ O mesmo se passa para o spin, a que correspondem as matrizes de Pauli, coma algebra do grupo SU(2),

[σi

2,σj

2

]

= i ǫijkσk

2

❐ Vemos assim que as algebras de SO(3) e SU(2) sao identicas e portantoestudando uma estudamos a outra. Em fısica e usual ser pouco cuidadoso econfundir a algebra com o grupo e vice-versa.

Momento Angular

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Como vimos a conservacao de momento angular esta relacionada com asimetria para rotacoes.

❐ Em fısica classica nao ha qualquer restricao a medicao simultanea de todas ascomponentes de ~L = ~r × ~p e os valores possıveis sao contınuos.

❐ Em mecanica quantica, usando a relacao fundamental,

[xi, pj ] = i h δij ⇒ [Li, Lj ] = i ǫijk Lk

e portanto nao podemos medir simultaneamente duas componentes de ~L.

❐ Se definirmos o quadrado do momento angular

L2 ≡ L2x + L2

y + L2z ,

podemos mostrar que L2, Lz, comutam simultaneamente entre si,

[L2, Lz] = 0

e portanto podemos medir simultaneamente L2 e uma das componentes, quetradicionalmente se toma como Lz.

Momento Angular

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ A outra diferenca para a mecanica classica e que os valores sao discretos.

❐ Mais precisamente,

L2Ylml(θ, φ) =h2 l(l + 1)Ylml

(θ, φ)

LzYlml(θ, φ) =hml Ylml

(θ, φ) .

❐ Com l,ml tomando os valores

l = 0, 1, 2, 3, . . . , ml = −l,−l + 1,−l + 2, . . . , 0, . . . , l − 1, l

❐ Notar ainda que

l∑

ml=−l

ml = 2l + 1

Spin 1/2

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

•Rotacoes

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Na Natureza o spin 1/2 e o mais importante. De facto todos os quarks eleptoes tem spin 1/2, dizemos que sao fermioes.

❐ Uma partıcula com s = 1/2 pode ter duas projecoes de spin, ms = ±1/2. Havarias notacoes para descrever esta situacao, por exemplo |↑〉 e |↓〉. A maisconveniente e em termos de vetores colunas com duas componentes,

∣

∣

∣

∣

1

2,1

2

⟩

=

[

10

]

,

∣

∣

∣

∣

1

2,−

1

2

⟩

=

[

01

]

❐ A importancia destes estados resulta do facto de eles serao os estados propriosde Sz. De facto definindo o spin atraves da relacao usual,

~S =h

2~σ

onde σi sao as matrizes de Pauli, obtemos,

Sz

[

10

]

=h

2

[

10

]

, Sz

[

01

]

= −h

2

[

01

]

Spin 1/2

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

•Rotacoes

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Um estado arbitrario de spin pode portanto ser escrito na forma,

[

αβ

]

= α

[

10

]

+ β

[

01

]

❐ A condicao de normalizacao e |α|2 + |β|2 = 1,

❐ De acordo com as regras basicas da MQ, devemos ter que a probabilidadeduma medida de Sz dar +h/2 e |α|2 enquanto que a probabilidade de dar−h/2 e |β|2.

Rotacao de spinores

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

•Rotacoes

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Sabemos da fısica elementar que escalares (spin 0) nao se transformam numarotacao e que vetores (spin 1) se transformam como as coordenadas no espacoa 3 dimensoes.

❐ A questao que se poe e como se transformam os objetos de spin 1/2, osspinores? A resposta, que nao demonstraremos aqui, e

[

α′

β′

]

= U(~θ )

[

α

β

]

onde U(~θ) = e−i

2~θ·~σ

❐ O vetor ~θ aponta na direcao do eixo de rotacao e o seu modulo e o angulo derotacao. U(~θ ) e uma matriz unitaria de determinante 1, pelo que o conjuntode todas as rotacoes forma o grupo SU(2).

❐ Dizemos que os spinores estao na representacao a duas dimensoes do grupo,enquanto que os escalares na representacao uni-dimensional e os vetores narepresentacao a tres dimensoes. Os diferentes spins correspondem arepresentacoes do grupo SU(2) ou SO(3) que, como vimos tem a mesmaalgebra.

Adicao de momentos angulares

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Vimos numa aula anterior que o estado do eletrao pode ser descrito por doismomentos angulares, ~L (momento angular orbital) e ~S (spin). Em muitasaplicacoes e importante definir o chamado momento angular total,

~J ≡ ~L+ ~S , [~L, ~S] = 0

❐ Que ~J e um momento angular e facil de ver pois obedece a algebra usual

[Jx, Jy] = ihJz, [Jy, Jz] = ihJx, [Jz, Jx] = ihJy

como facilmente se mostra usando as definicoes anteriores.

❐ Quais os valores possıveis para ~J? Esta fora do ambito deste curso introdutoriofazer uma apresentacao completa da teoria do momento angular. Os resultadossao no entanto simples de apresentar e serao relevantes para a compreensao daestrutura dos atomos e moleculas e de muitas questoes em fısica de partıculas.Vamos apresenta-los sob a forma de teoremas, sem demonstracao:

Teoremas da adicao de momentos angulares

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


Teorema 1 Seja um operador ~J que obedece a algebra do momento angular.

Entao os valores proprios de J2 = ~J · ~J e Jz sao

J2 = j(j + 1)h2 , Jz = mj h

em que j e um inteiro ou semi-inteiro e mj toma os (2 j + 1) valores

mj = −j,−j + 1, ..., j − 1, j .

Teorema 2 Seja ~J = ~J1 + ~J2 o momento angular correspondente a soma de dois

momentos angulares com valores j1 e j2. Entao o valor j correspondente a ~J pode

tomar os valores

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 .

Teorema 3 Seja ~J = ~J1 + ~J2. Entao o numero de valores possıveis de mj

obedece a relacao

j1+j2∑

|j1−j2|

(2 j + 1) = (2 j1 + 1) (2 j2 + 1) .

Simetrias Internas

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Na descricao das partıculas elementares e das suas interacoes desempenhamum papel muito importante simetrias que atuam num espaco com graus deliberdade internos e por isso ficaram designadas por simetrias internas.

❐ O melhor exemplo continua a ser o isospin. Ao observar que as massas doprotao e nucleao eram quase iguais, Heisenberg propos que eles seriam doisestados duma entidade designada por nucleao e que a diferenca de massa seriaresultado do facto duma ter carga e a outra nao, portanto devida as interacoeseletromagneticas. Tal como para o spin escrevıamos o nucleao,

N =

[

α

β

]

com p =

[

10

]

, n =

[

01

]

❐ Por analogia com o spin, introduzimos o isospin (nao tem dimensoes)

~I =1

2~σ

e portanto o protao tem isospin +1/2 enquanto que o neutrao tem −1/2.

Simetrias internas

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas


❐ Ate aqui isto e apenas notacao. As consequencias resultam de dizer que asinteracoes fortes sao invariantes para o grupo SU(2) do isospin. Pelo teoremade Noether resulta que o isospin e conservado nas interacoes fortes e isso temconsequencias experimentais.

❐ Esta simetria foi passada para os quarks, com os quarks u e d a terem asmesmas propriedades do protao e neutrao respetivamente. A descoberta daestranheza e do quark s levou a aumentar o grupo de simetria de SU(2) paraSU(3)

❐ Nao confundir este SU(3) com o SU(3)c da cor da cromodinamica quantica.Por vezes designa-se a simetria entre os diferentes tipos de quark comoSU(3)f de flavour, sabor em ingles.

❐ Na proxima aula verao como estes conceitos foram aplicados na construcao domodelo de quarks, o chamado Eightfold Way.

Paridade

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


Ate 1957 todos os fısicos acreditavam que todas as leis da Natureza eraminvariantes para reflexoes no espelho, tal como indicado na figura

Figure 3: Reflexao no plano xz e inversao ~r → −~r

As duas operacoes diferem somente por uma rotacao (de 180◦ em torno do eixodos y neste caso) e se a teoria for invariante para rotacoes, como usualmente (asrotacoes sao parte do grupo de Lorentz da relatividade restrita), nao ha diferencaentre as duas.

Paridade

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ Designamos esta operacao por Paridade e o respetivo operador por P .Devemos entao ter para vetores,

P (~r) = −~r, P (~p) = −~p, P ( ~E) = − ~E, P ( ~A) = − ~A

isto e os vetores mudam de sinal como as coordenadas.

❐ No entanto das relacoes anteriores resulta que

P (~L) = P (~r × ~p) = ~L, P ( ~B) = P (~∇× ~A) = ~B

isto e, apesar do nome usual, o momento angular e o campo magnetico naosao verdadeiros vetores. Sao designados por pseudo-vetores.

❐ Nao podemos somar vetores com pseudo-vetores. Podemos verificar que, porexemplo a forca de Lorentz e um verdadeiro vetor pois

P (~F ) = P(

q( ~E + ~v × ~B))

= −~F

pois ~B e um pseudo-escalar mas o produto externo recupera o carater vetorial.

Paridade

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ De igual forma ha duas especies de escalares, os escalares propriamente ditosque nao mudam de sinal, como

P (~r · ~r) = ~r · ~r

e os pseudo-escalares que mudam, como por exemplo

P ( ~E · ~B) = − ~E · ~B .

❐ Se aplicarmos P duas vezes voltamos ao inicio, e portanto

P 2 = I valores proprios sao ±1

o que indica que o grupo da paridade tem so dois elementos, I e P .

❐ De acordo com as regras de QFT, a paridade dos bosoes deve ser igual a dassuas antipartıculas enquanto que os fermioes tem paridade oposta a dos seusanti-fermioes. Nao sendo nulo o momento angular, o resultado geral e,

P = P1P2(−1)l

o que da (−1)l para sistemas de bosao-anti-bosao e (−1)l+1 para sistemas defermiao-antifermiao. Para completar esta enumeracao o fotao, descrito pelopotencial vetor, deve ter P (γ) = −1.

A descoberta da violacao da Paridade

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ As interacoes fortes e eletromagneticas eram conhecidas serem invariantes paratransformacoes de paridade, e toda a gente pensava que isso seria uma regrageral, incluindo as interacoes fracas.

❐ Contudo em 1956 havia um puzzle, conhecido pelo puzzle τ − θ. Dois mesoesde spin zero e com a mesma massa tinham os seguintes decaimentos,

θ+ → π+ + π0, P = (−1)2 = +1

τ+ → π+ + π0 + π0, P = (−1)3 = −1

Assim a unica diferenca entre elas era a paridade assumindo que esta eraconservada.

❐ Como os tempos de vida media eram muito diferentes, sendo o decaimento emtres pioes muito mais lento, Lee e Yang propuseram que o primeiro decaimentoera devido a interacoes fortes e conserva a paridade, enquanto que o segundoera devido as interacoes fracas e nao conservava a paridade.

❐ Ao buscarem na literatura verificaram que nao havia prova que as interacoesfracas conservam de facto a paridade como era assumido. Propuseram entaouma experiencia que foi levada a cabo por Wu em 1957.

Experiencia de Wu

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ Consistia em observar os eletroes do decaimento

60Co(JP = 5+) → 60Ni(JP = 4+) + e+ νe

com o spin dos nucleos de cobalto alinhado, digamos na direcao positiva doeixo dos z.

❐ A experiencia mostrou que os eletroes eram sempre produzidos na direcaooposta ao do spin do nucleo. Como a diferenca de spin e uma unidade, osspins do eletrao e anti-neutrino devem estar alinhados para somar a unidadeque falta.

❐ O resultado da experiencia quer dizer que o anti-neutrino tem sempre o seuspin alinhado com a direcao do movimento (helicidade positiva) e que o eletraoe produzido na direcao contraria ao seu spin (helicidade negativa).

❐ Como se sabia do eletromagnetismo que o eletrao podia ter as duashelicidades, devia ser o anti-neutrino que so podia ter helicidade positivadevendo a sua antipartıcula, o neutrino, ter sempre helicidade negativa. Comoos neutrinos so participam da interacao fraca, esta devia violar a paridade.Muitas experiencias desde essa altura confirmaram ser esse o caso.

Conjugacao de Carga

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ A conjugacao de carga C transforma os estados de uma partıcula na suaantipartıcula, deixando as coordenadas e o spin sem alteracao. Muda assim osinal dos numeros quanticos aditivos, como a carga, numero barionico etc.Como C2 = I os seus valores proprios so podem ser ±1.

❐ So partıculas completamente neutras podem ser estado proprios do operadorC. Estas sao o fotao e alguns mesoes neutros como o π0. Como o fotao e oquanta do campo eletromagnetico deve mudar de sinais se mudarmos todas ascargas que lhe dao origem devemos ter para o fotao C = −1. Do decaimento,

π0 → γ + γ

devemos ter C(π0) = +1. Pode-se mostrar que para um sistema departıcula-antipartıcula (pp) com spin total s e momento orbital l temos

C(pp) = (−1)l+s .

❐ A conjugacao de carga e uma simetria das interacoes eletromagnetica e forte,mas nao das interacoes fracas, pois quando aplicado a um neutrino esquerdo(helicidade negativa) produz um anti-neutrino esquerdo (a helicidade nao ealterada pela operacao) e esta partıcula nao existe na Natureza.

Violacao de CP

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ Embora C, e P nao sejam simetrias das interacoes fracas, verifica-se que oproduto CP e quase uma simetria das interacoes fracas.

❐ No exemplo anterior se depois de aplicar C ao anti-neutrino aplicarmos Pinvertemos a helicidade e temos um neutrino esquerdo como existem naNatureza. No entanto verificou-se experimentalmente em 1964 no sistema

K0K0que isto nao era o caso e que havia uma violacao pequena de CP.

❐ Mas recentemente este resultado foi confirmado noutro sistema, como o

B0B0. E portanto um resultado que tem de ser incorporado na teoria das

interacoes fracas.

❐ Voltaremos a este assunto no final do semestre.

Inversao no Tempo e o teorema TCP

Sumario

Simetrias

Momento Angular

Spin 1/2

Adicao ~J = ~L + ~S

Simetrias Internas

Simetrias Discretas

•Paridade

•Conjugacao Carga

•CP

•TCP


❐ A terceira simetria discreta do espaco-tempo e a chamada inversao no tempo,designada pelo operador T . Classicamente as equacoes fundamentais doeletromagnetismo e da mecanica sao invariante se mudarmos o sinal do tempo.Se virmos o filme ao contrario nao damos por isso. Ao nıvel da fısica quantica,as interacoes fortes e eletromagneticas tem esta simetria, mas as interacoesfracas poderiam nao ter.

❐ As experiencias para esclarecer esta questao sao muito complicadas, pois nao epossıvel usar colisoes. O melhor que podemos fazer e medir quantidades quedeveriam ser nulas se a inversao no tempo fosse uma boa simetria da teoria.Os candidatos sao por exemplo a medicao do momento dipolar eletrico doeletrao e neutrao, para os quais so existem neste momento limites

dn < 6× 10−26 e cm, de < 1.6× 10−27 e cm

❐ Existe em TQC um teorema que diz que o produto das tres operacoes TCPdeve ser conservado. Ainda nao foi encontrada qualquer prova que nao everdade. Se o tomarmos como certo, sabendo que o produto CP nao ecompletamente conservado (violacao de CP ), entao T tambem devera ter amesma violacao.

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