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Física I
Apuntes de clase 6, 2018
módulo II
Turno H
Prof. Pedro Mendoza Zélis
Ondas
Estudiar ondas viajeras y estacionarias.
Ondas viajeras Ondas estacionarias
¿Qué es una onda? Al tirar una piedra a la superficie en reposo de un lago, se observa que del punto donde cayó la piedra se generan perturbaciones circulares que avanzan con velocidad finita
Las partículas del medio, al se
alcanzadas por la perturbación, son
desplazadas de su posición de
equilibrio y las fuerzas de
restauración tienden a volverlas a
su posición original.
DEFINICIÓN:
Las ondas mecánicas son perturbaciones (señales) que viajan, de un punto a otro de un medio material, con una velocidad característica, sin que exista un transporte neto de materia.
Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento.
1) La perturbación se desplaza a velocidad constante.
2) No cambia de forma durante su desplazamiento (medio no disipativo).
3) No hay transporte neto de materia.
4) Transportan energía y cantidad de movimiento.
Clasificación de ondas
1) Según su naturaleza
2) Según la dirección de desplazamiento de las
partículas
3) Según su propagación
4) Según las dimensiones en que se propaguen
5) Según su periodicidad
1) según su naturaleza Ondas mecánicas: necesitan un medio elástico para propagarse (¿ejemplos?). Las partículas del medio son desplazadas de su posición de equilibrio y sufren fuerzas de restauración que tienden a volverlas a su posición inicial.
Ondas electromagnéticas: se propagan en el espacio sin necesidad de un medio. Las ondas electromagnétcias son producidas por las oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos.
Ondas gravitacionales: es una perturbación del espacio-tiempo producida por un cuerpo masivo acelerado. LIGO (9/2015) formado por dos detectores separados 3000km en Luisana-EEUU. Fusión de dos agujeros negros hace 1300 millones de años y de 29-36 masas solares.
Onda transversal: el desplazamiento de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación de las ondas
2) Según la dirección de desplazamiento de las partículas
desplazamiento de las partículas
Propagación de la onda
Onda longitudinal: el desplazamiento de las partículas
está en la misma dirección en que se propaga la onda
desplazamiento de las partículas Propagación de la onda
3) Según su propagación
• Ondas viajeras
son todas aquellas ondas se
propagan libremente en el
espacio.
• Ondas estacionarias
son todas aquellas ondas
que no se propagan
libremente en el espacio.
4) Según las dimensiones en que se propaguen
Ondas bidimensionales o superficiales:
son ondas que se propagan en dos
dimensiones (olas superficie del agua).
Ondas tridimensionales: se propagan en
tres dimensiones (sonido).
Ondas unidimensionales:
son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dimensión del espacio (cuerda).
5) según su periodicidad
Ondas no periódicas: la perturbación que las
origina se da aisladamente (pulso).
Ondas periódicas: la perturbación local que
las origina se produce en ciclos repetitivos.
Ecuación de onda
)(),( vtxftxy vtxz
x
txy ),(
2
2
2
2
2
2)()()(),(
z
zf
x
z
z
zf
z
zf
xx
txy
2
2
2
2
2
2
2)()()(),(
z
zfv
t
z
z
zfv
z
zfv
tt
txy
t
z
z
zf
t
txy )(),(
1
x
z
vt
z
x
z
z
zf )(
z
zf
)(
z
zfv
)(
2
2
2
2
2
)(),(1
z
zf
t
txy
v
Ecuación de onda
2
2
2
2
2
2)()()(),(
z
zf
x
z
z
zf
z
zf
xx
txy
2
2
22
2),(1),(
t
txy
vx
txy
Ecuación diferencial, ecuación de ondas
2
2
2
2
2
)(),(1
z
zf
t
txy
v
Se perturba a una cuerda según
2)(1
3),(
vtxtxy
s
m5,0v
¿Es una onda?, ¿Es viajera o estacionaria?
¿Es longitudinal o transversal?
¿Es un pulso o es periódica?
¿En cuántas dimensiones se propaga?
¿Cuál es la dirección y sentido de propagación?
Ecuación de onda para una cuerda
x
y
dxx
T
xT
yT
´T
´x
T
´y
T ´ )sin´(sin´ TTTyy
Los ángulos
son pequeños
dxadmaFyyy
2
2
t
ya
y
2
2
2
2
t
y
Tx
y
2
2
22
2),(1),(
t
txy
vx
txy
Relacionado
con la velocidad
de la onda
Tv
x
)( dxxy
)(xy
0)cos´(cos´ TTTxx
x
y
tansin
x
txy
x
tdxxyTF
y
),(),(
dx
dm
),(),(
2
2
t
y
dx
x
txy
x
tdxxy
T
Velocidades de las ondas mecánicas Depende exclusivamente de las características elásticas
e inerciales del medio en que se propagan
Tv
CUERDA
Tensión
Densidad lineal
SÓLIDO
Módulo de Young
Yv
Densidad volumétrica
Bv
FLUIDO
Densidad volumétrica
Módulo de
compresibilidad
Ondas armónicas
0max
sin),( vtxkytxy
y
x
A = Ymax
l
Número de onda (k) ),(),( txytxy l
0max0max
)(sin)(sin l vtxkyvtxky
00
)(2)( l vtxkvtxk
l
2k
0max
sin),( vtxkytxy
m
m
radk
l
Unidades SI
y
xx lx
Período (τ): tiempo que le toma a una onda
completa pasar por un punto fijo ),(),( txytxy
0max0max
)(sin)(sin tvxkyvtxky
00
)(2)( tvxkvtxk
0max
sin),( vtxkytxy
s
Unidades SI
vvk
l
2
Frente de onda: Los puntos que poseen el mismo estado
de movimiento o vibran en fase definen una superficie que se
llama frente de onda.
La velocidad de propagación es perpendicular la frente de onda
Velocidad de una partícula
Desplazamiento de la partícula
0max
sin),( tkxytxy
Velocidad de la partícula
0max
cos ),(
),(
tkxy
t
txytxu
Aceleración de la partícula
0max
2sin
),(),(
tkxy
t
txutxa
FII-G27-2018 Ondas estacionarias
Reflexión en extremo fijo
La pulsación llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsación que regresa en sentido contrario. La reflexión tiene el desplazamiento vertical invertido.
Reflexión en extremo libre
La pulsación llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsación que regresa en sentido contrario. La reflexión tiene el mismo desplazamiento vertical.
Dos ondas gaussianas viajando en direcciones opuestas
)(),(2
vtxftxy
)(),(1
vtxftxy
Superposión de on de ondas
Efecto combinado de dos o más
ondas viajeras superpuestas en el
mismo medio
La amplitud de la onda resultante es la suma instantánea de las amplitudes de cada una de las ondas individuales con el signo correspondiente.
Se dice que las ondas interfieren.
),(),(),(
),(),(
21
21
txytxytxy
txytxy
Superposición de ondas
Interferencias
Constructiva y destructiva
Las interferencias pueden ser constructivas o destructivas. En la
primera las amplitudes se suman, a esto se conoce como ondas en
fase.
Si las ondas son destructivas se restan, pudiendo llegar a anularse,
aquí se dice que las ondas están en desfase.
tkxytxytkxytxy sin),(sin),(max2max1
tkxytxy cossin2),(max
Amplitud
No es una onda viajera, es una onda estacionaria
Ondas Estacionarias Dos ondas armónicas en direcciones opuestas con la
misma frecuencia y amplitud
Onda estacionaria
Su forma no se desplaza ni hacia la derecha ni
hacia a la izquierda.
Existen puntos para los cuales su elongación es
siempre cero: NODOS
Existen puntos para los cuales su elongación es
máxima: ANTINODOS O VIENTRES
NODOS
ttkxytxy 0cossin2),(max
0)( kxsen2
ln
k
nx
ANTINODOS O VIENTRES
ttytkxytxy cos2cossin2),(maxmax
1)( kxsen
4
122
12 l
n
k
nx
....2,1n
....2,1n
N A N A N A N A N
Cuerda con los extremos fijos
tkxytxy cossin2),(max
l
2k
f 2
Cond. de contorno
0),(),0( tLytyX=0 X=L
mkL
0kLsen
m
Lm
2l
m
m
vf
l
L
vmf
m2
1mff
m
....2,1m
L
Ondas estacionarias en una cuerda
L
vf
L
2
2
1
1
l
Modo fundamental o primer armónico
L
vf
L
22
2
2
l
Segundo armónico L
vf
L
23
3
2
3
3
l
Tercer armónico
L
vf
L
24
2
4
4
l
Cuarto armónico
m=1 m=2 m=3 m=4
Lm
m
2l
m
mL l
2M-ésimo armónico
21
l2
l
V N N
N
N
N N
N
N N N
N V V V V V V V V V
23
3l
42l
Cuerda con un extremo fijo y otro libre
tdx
txdy
Lx
0),(
Cond. de contorno
0),0( ty
X=0 X=L
tkxytxy cossin2),(max
0cos kL
2)12(
mkL
2)12(
2
l
mL
)12(
4
m
Lm
lL
vmf
m4
)12( m
m
vf
l
l
2k f 2
....2,1m
L
Ondas estacionarias en una cuerda
Modo fundamental o primer armónico Segundo armónico
Tercer armónico Cuarto armónico
M-ésimo armónico
m=2 m=3 m=4
L
vf
L
4
4
1
1
l
L
vf
L
43
3
4
2
2
l
L
vf
L
45
5
4
3
3
l
L
vf
L
47
7
4
4
4
l
)12(
4
m
Lm
l
41
l
43
2l
N N
N
N
N N
N
N N N
N V V V V V V
45
3l
474
l
m=1