Upload
others
View
8
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Física I
Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb
©2017 Departamento de Física
Universidad de Sonora
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano (Responsable)
Dr. Mario Enrique Álvarez Ramos
Dr. Ezequiel Rodríguez Jáuregui
Dr. Santos Jesús Castillo
Tema 3: Cinemática de una partícula.
i. Posición y desplazamiento de una partícula en el plano.ii. Velocidad media y velocidad instantánea en el plano.iii. Aceleración media y aceleración instantánea en el plano.iv. Movimiento de proyectiles: Características del movimiento.
Ecuaciones del movimiento para las dos direcciones. Posicióny velocidad en función del tiempo. Ecuación de la trayectoria.
v. Movimiento circular uniforme: Sus características. Posiciónangular y desplazamiento angular. Definición de radian.Definición de período y frecuencia. Concepto de velocidadangular promedio e instantánea. Ecuaciones posición yvelocidad angular contra tiempo. Relación entre velocidadlineal y angular. Aceleración centrípeta y sus expresiones entérminos de la velocidad angular y la velocidad lineal.
3.1 Posición y desplazamiento de una
partícula en el plano.
X’
Z’
Y’
a=g
Trayectoria
del cuerpo
Consideremos una partícula que al moverse describe una
trayectoria curvilínea plana.
¿Cómo hacemos la descripción del movimiento de la
partícula?
Para poder hacer la descripción del movimiento: Introducimos un sistema de referencia
X’
Z’
Y’
Trayectoria
del cuerpo
Tomaremos como sistema de referencia un par de ejes
ortogonales
Trayectoria
del cuerpo
Fijamos el origen y asignamos la dirección con los vectores unitarios yi
j
i(0,0)
j
+y [L]
+x [L]
Trayectoria
del cuerpo
Elegimos las unidades y la escala de medida en cada eje.
j
i(0,0)
Finalmente, con cada punto de la
trayectoria asociamos un valor de la
medida del tiempo t.
Las cantidades físicas como el vector de posición
que ubica a la partícula en el instante de tiempo t1,
jir ˆyˆx 111
se miden respecto de este sistema de referencia
+y [L ]
+x [L]
r 1
x1
y1
(0,0)
1
Sea r2 el vector de posición que ubica a la partícula en el instante de tiempo t2 .
jir ˆyˆx 222
2
+y [L ]
+x [L]
r 2
x2
y2
(0,0)
Cuando la partícula se mueve de r1 a r2 en el intervalo de tiempo Dt = t2 - t1
+y [L]
+x [L]
r 1
r 2
(x1 , y1) en t1
(x2 , y2) en t2
x2x1
y1
y2
El vector de posición asociado con la
posición de la partícula cambia.
(0,0)
El desplazamiento se define como el cambio en la posición de la partícula y se expresa como: Dr =r2-r1
jir ˆyyˆxx 1212 D
+y [L]
+x [L]
r 1
r 2
D y = y2 – y1
D x = x2 – x1
Dr
x2x1
y1
y2
(0,0)
El desplazamiento como cualquier otro vector tiene:
• Magnitud,
• dirección
• Sentido: dado por la punta de la flecha del vector.
2
12
2
12
22 )()()()( yyxxyx DDDr
x
y
D
D 1tan
Desplazamiento Dr
• Tiene unidades de longitud
• En el sistema MKS se mide en m, km etc
• En el sistema Ingles en ft, mil, etc.
Lr D
3.2 VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANODefinimos la velocidad media durante el intervalo detiempo Dt como la razón entre el desplazamiento D r y elintervalo de tiempo Dt:
•La velocidad media es independiente de la trayectoria.
•La velocidad media tiene la misma dirección y sentido queel vector D r
v
t
rv
D
D
•La velocidad media es un vector cuyas dimensiones son:
•En el sistema MKS se mide en m/s, Km/h etc.
•En el sistema Ingles se mide en ft/s, Mill/h etc.
•La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez:
rt
D
D
1v
t
Lv
Velocidad media.
Analicemos una vez mas el movimiento de un objeto que se mueve en un plano.
Velocidad media.
• Para describir el movimiento, elegimos un sistema de referencia: asignamos el origen, el sentido, las unidades y la escala de cada eje.
x [L]
y [L]
(0,0)
Velocidad media.
Aproximamos al objeto por un punto.
Empezamos a medir el tiempo y lo denotamos como ti.
Al tiempo t1 asignamos el vector de posición r1 a ese punto
x [L]
y [L]
r1
(0,0)
Velocidad media en el plano.Como la partícula está en movimiento, en un
tiempo posterior t2 cambia su posición y en
consecuencia el vector de posición cambia.
x [L]
y [L]
r2
(0,0)
Velocidad media en el plano.
La partícula continúa en movimiento y el vector de posición cambiaen cada instante de tiempo.
x [L]
y [L]
r3
(0,0)
Velocidad media en el plano.
Hasta ahora, en nuestra descripción del movimiento,podemos conocer: el desplazamiento Dr de lapartícula.
1
2
3
x [L]
y [L]
r 1
r 2 r 3
(0,0)
Podemos conocer la velocidad media.• La velocidad media entre es:
• La velocidad media entre es:
Notamos que aun cuando consideremos el caso particular en que la rapidez sea constante, es decir:
31
3131v
t
r
D
D
12 tyt
21
2121v
t
r
D
D
13 tyt
constantevv 3121
Los vectores con los que representamos a la
velocidad media son diferentes.
1
2
3
x [L]
y [L]
r 1
r 2 r 3
21v
31v
(0,0)
Por que no tienen la misma dirección.
1
2
3
x [L]
y [L]
r 1
r 2 r 3
323121 vvv
21v
31v
32v
(0,0)
Velocidad media …
• Por este motivo, decimos que el vector velocidad media estácambiando de intervalo a intervalo de tiempo.
• El concepto de velocidad media es insuficiente paradescribir el movimiento de la partícula en un plano cuando latrayectoria es curvilínea.
• Para describir adecuadamente el movimiento de unapartícula que se mueve en un plano describiendo unatrayectoria curvilínea es necesario definir la velocidad encada punto de la trayectoria.
Velocidad instantánea
Analicemos nuevamente el movimiento de la partícula, con mayor
detalle y siguiendo el procedimiento siguiente:
• En el instante de tiempo t0, la partícula se encuentra en el
punto de coordenadas (x0 , y0 ).
• Posteriormente, en el instante de tiempo ti, la partícula se
encuentra en el punto de coordenadas (x i , y i ).
• Calcularemos la velocidad media entre esos dos puntos para
conocer su dirección y sentido.
• Repetiremos este procedimiento para intervalos de tiempo D
t=(t i – t o) cada vez mas pequeños
Velocidad instantánea …
• velocidad media en el intervalo de tiempo Dt.
01
1010v
tt
r
D
(x0 , y0)
(x1 , y1)
x [L]
y [L]
r 0
r 1
D r10
(0,0)
Velocidad instantánea …
• velocidad media entre t 0 y t 2
02
2020v
tt
r
D
(x0 , y0)
(x2 , y2)
x [L]
y [L]
r 0
r 2
D r 20
(0,0)
Velocidad instantánea …
• velocidad media entre t 0 y t 3
03
3030v
tt
r
D
(x0 , y0)
(x3 , y3)
x [L]
y [L]
r 0
r3
(0,0)
Velocidad instantánea …
• velocidad media entre t0 y tn
0
0n0v
tt
r
n
n
D
(x0 , y0)
(xn , yn)
x [L]
y [L]
r 0
rn
(0,0)
Velocidad instantánea …
Del procedimiento anterior, podemos decir que:
• Al considerar intervalos de tiempo cada vezmenores nos estamos acercando cada vez mas alpunto de coordenadas ( x 0 , y 0 ) en el instante detiempo t 0.
Si continuamos este proceso hasta que los dospuntos de estudio estén infinitesimalmentecercanos.
Obtenemos una cantidad física que se conoce comovelocidad instantánea de la partícula.
Velocidad instantánea
• Definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
• Esta es la definición de
derivada.
td
d
tt
t
t
t
t
rv
r-rlimv
rlimv
vlimv
0
0
0
0
0
D
D
D
D
D
v
Velocidad instantánea …
La velocidad instantánea esta dada por la derivada de la posición respecto del tiempo.
(x0 , y0)
x [L]
y [L]
r 0 r
DrTangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0
(0,0)
Velocidad instantánea …
• La dirección del vector velocidad instantánea en
cualquier punto en la trayectoria de la partícula está a lo
largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese
punto y en la dirección del movimiento.
• Veámoslo gráficamente utilizando el ejemplo de una
partícula que se mueve con rapidez constante en un
plano y en una trayectoria curvilínea.
v
Velocidad instantánea …
x [L]
y [L]v4
v6
v5
v8
v7
v3
v2
v1v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7
v1 = v8
v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8
Vectores
Magnitudes
3.3 Aceleración media
• En la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque su magnitud sea la misma).
• Si dos vectores de velocidad instantánea no tienen la misma magnitud dirección y sentido en dos instantes de tiempo diferentes, decimos que la velocidad instantánea esta cambiando.
• Dicho cambio se expresa como:
Dv = vf – vi
3.3 Aceleración media
• Una partícula está acelerada si al moverse de un punto a otro, a lolargo de cierta trayectoria, cambia la dirección o la magnitud de lavelocidad o ambas.
Aceleración media …
x [L]
y [L]v4
v6
v5
v8
v7
v3
v2
-v1
Dv12
-v2
-v3 -v4
-v5
-v6
-v7
Dv56
Dv78
D v = v f – v i v1
El vector velocidad cambia por que cambia la dirección en
cada instante de tiempo
Aceleración media …
• Todos los cambios de velocidad son diferentes.
• Cada cambio del vector velocidad tiene su propia
• Magnitud,
• Dirección y Sentido.
¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo?
Para responder esta pregunta introducimos el concepto de aceleración.
Aceleración media
Definimos la aceleración media de una partícula quese encuentra en movimiento y cambia de la posicióninicial ri al tiempo ti con velocidad instantánea vi a laposición final rf con velocidad instantánea vf como:
la tasa de cambio de la velocidad instantánea Dv en elintervalo de tiempo transcurrido Dt.
a
t
v,
tt
vv
if
i
D
D
aaf
La aceleración media apunta en la dirección del cambio en la velocidad
if
att
vv if
x [L]
y [L]v4
v6
v5
v8
v7
v3
v2
-v1
Dv12
-v2
-v3 -v4
-v5
-v6
-v7
Dv56
Dv78
v1
Aceleración media
• La aceleración media es un vector cuyas dimensionesson:
• En el sistema MKS se mide en , etc.
• En el sistema Ingles se mide en , etc.
2t
La
22,
h
km
s
m
22,
h
mill
s
ft
3.3 Aceleración instantánea • Definimos la aceleración instantánea como el límite de
la aceleración media cuando el intervalo de tiempotiende a cero.
• Esta es la definición de
derivada.td
da
tta
ta
aa
t
t
t
v
v-vlim
vlim
lim
0
0
0
0
0
D
D
D
D
D
Aceleración instantánea …
• La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto deltiempo.
• Geométricamente, en una gráfica de velocidad contra tiempo es latangente en el punto donde se quiere calcular.
)(vv oyy tsen
)cos(v0y tay
t [t]
vy [L/t]
Aceleración constante …
• Si la aceleración instantánea es constante.
• La tangente no cambia y en una gráfica de velocidad contra tiempo lagráfica es una recta.
t [t]
vy [L/t]
3.4 Ejemplos: Aceleración instantánea
• En el curso estudiaremos dos casos especiales en los que la aceleración es constante.
Tales casos son:
• Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y • Movimiento circular uniforme.
ctea
3.4.1 Movimiento de Proyectiles
• El movimiento de proyectiles o tiro parabólicocorresponde a aquellos cuerpos que al ser lanzadoscerca de la superficie terrestre describen unatrayectoria parabólica.
y +
x +Sin resistencia del aire
3.4.1 Movimiento de Proyectiles
El movimiento de un proyectil es un movimientocon aceleración constante g dirigida hacia elcentro de la tierra.
Si en la descripción del movimiento de unproyectil elegimos un sistema de referencia conel eje y negativo hacia abajo, en este caso
ay =- g y ax = 0
Movimiento de Proyectiles
• La trayectoria es parabólica bajo las siguientestres condiciones:
1. Que se pueda despreciar la resistencia del aireal movimiento del proyectil.
y +
x +Con resistencia del aire
Movimiento de Proyectiles
2. Que el lanzamiento no sea muy elevado, de talmanera que la aceleración g pueda considerarseconstante.
Movimiento de Proyectiles
3. Que el lanzamiento no sea de alcance muy largo,de tal manera que la superficie de la tierra puedaconsiderarse plana.
Movimiento de Proyectiles
Ejemplos de cuerpos que describen una trayectoriaparabólica:
• Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.
• Una pelota que rueda sobre una superficiehorizontal alta y que cae al suelo.
• La bala de un cañón al ser disparada con un ángulode elevación.
Movimiento de Proyectiles
De los experimentos de laboratorio se encuentra
que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un
movimiento en un plano y bastan dos dimensiones
para estudiarlo:
X’
Z’
Y’
a=g
Movimiento de Proyectiles
X+
Y+
X’
Z’
Y’
a=g
Elegimos los ejes coordenados X, Y como sistema de
referencia respecto al cual estudiaremos el
movimiento de la partícula en tiro
parabólico.
Movimiento de Proyectiles
• En una dirección el movimiento de los proyectiles eshorizontal con velocidad constante :
D x
t D
D x D x D x D x
tD t D t D t D
Ver Simulación
Movimiento de Proyectiles
• En la otra dirección el movimiento es vertical yuniformemente acelerado
Ver simulación
D y
t D D y
D y
D y
D y
t D
t D
t D
t D
a=g
Lanzamiento de un proyectil desde una mesa
• El tiro parabólico es una superposición de estosdos movimientos.
Ver simulación
Velocidad constante
Velocidad variable
a=g
Comparación de un movimiento con Vx=cte, uno de caida libre y un tiro parabólico con velocidad inicial Vx=cte.
D x
t D
D x D x D x D x
t D t D t D t D
D y t D
D y t D
D y t D
D y t D
D y t D
Ver simulación
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles
Ya tenemos todos los elementos para escribir las ecuaciones de movimiento que describen al tiro
parabólico
v0y = │V0│Sen θ0
v0x = │V0│Cos θ0
V0
θ0
ho
R=?
a=gY
X
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles
EN EL EJE X EL MOVIMIENTO ES CON VELOCIDAD CONSTANTES
x = x0 + v0x (t- t0) ……………………………………………….(1)
x denota a la posición final de la partícula en el eje x.
x0 es la posición inicial en el eje x.
t0 es el tiempo inicial.
t es el tiempo final o tiempo tanscurrido.
V0x es la componente de la velocidad inicial en el eje x
v0x = vx = constante …………………………………………(2)
V0
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles• EN EL EJE Y EL MOVIMIENTO ES CON ACELERACIÓN
CONSTANTE
y = y0 + v0y t – (½) g (t-t0)2 ……………………... (3)
y = y0 + (½) ( vy + v0y ) (t-t0) ……………………..(4)
vy = v0y – g (t-t0) …………………………………..(5)
vy2 = v0y
2 –2 g ( y – y0 ) …………………………..(6)
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles• En las ecuaciones (3)-(6):
y0 : es la posición inicial en el eje Y de la partícula.
y : es la posición final en el eje Y de la partícula.
V0y : es la componente en el eje Y de la velocidad inicial
Vy : es la componente en el eje Y de la velocidad final
t0 : es el tiempo inicial.
t : es el tiempo final ó transcurrido.
g = 9.80665 m/s2 : es el valor de la aceleración debido a lafuerza de gravedad.
V0
V
Casos especiales de movimiento de proyectiles
Lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desde unaaltura h
a=g
Metodología
Para hacer la descripción, elegimos un sistema de referencia:
a=g
y
x
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :
• La posición inicial X0 es cero,
• La posición inicial Y0 es cero.
• El ángulo inicial de salida es de cero grados.
θ0 = 0
• La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.
v0x = │ V0│cos θ0 = │ V0│, v0y = │ V0│sen θ0 = 0
• La aceleración en todo momento es constante y dirigida hacia el centro de la tierra;
29.80665y
ma
s
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Ecuaciones para Tiro Horizontal• Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de
movimiento (1)-(6) se reducen a:
x = v0 t
y = - ½ g t2
y = ½ ( vy ) t
vy = – g t
vy2 = –2 g y
Donde la posición final y =-h se conoce.
│ V0 │ = v0x ; v0y = 0
y < 0
x +
y -
La descripción del movimiento no depende del sistema dereferencia que se elija.
En el lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desdeuna altura h.
a=g
Metodología
Qué pasa si elegimos un sistema de referencia fijo a la tierra:
a=g
y
x
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :
• La posición inicial X0 es cero,
• La posición inicial Y0=h.
• El ángulo inicial de salida es de cero grados.
θ0 = 0
• La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.
v0x = │V0│cos θ0 = │V0│, v0y = │V0│sen θ0 = 0
• La aceleración en todo momento es constante y dirigida haciael centro de la tierra;
29.80665y
ma
s
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Con las condiciones anteriores, las ecuaciones demovimiento (1)-(6) se reducen a:
x = v0 t
y = h- ½ g t2
y =h+ ½ ( vy ) t
vy = – g t
vy2 = 2 g h
donde la posición final y =0 se conoce.
│ V0 │ = v0x ; v0y = 0
y > 0
x +y -
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
• Consideremos ahora un proyectil que sale disparadocon un ángulo de inclinación no nulo desde una alturapredeterminada.
• ¿Cuál es el alcance o distancia horizontal recorridapor el proyectil cuando éste regresa a la mismaaltura de la que fue lanzado?.
ymax
Xmax = R
V0
θ0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Metodología
• Primero elegimos un sistema de referencia desde el cual describimos el movimiento.
ymax
Xmax = R
V0
(vx = v0x, vy = 0)
θ0
y
x
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
• Enunciamos las condiciones iniciales en t0 = 0 :
x0 =0 , y0 = 0
v0x = │V0│cos θ0, v0y = │V0│sen θ0 ,
ax = 0, ay = -9.80665m/s2
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:• Enunciamos las condiciones conocidas en tiempos distintos al
tiempo inicial t0.
• En el punto mas alto de la trayectoria de vuelo, lacomponente vy de la velocidad es nula.
vy = 0
• En el momento en que el proyectil regresa a la altura de laque fue lanzado su velocidad tiene la misma magnitud perocon dirección contraria
vx = v0x , vy =- v0y ,
• La posición final en el instante de tiempo en que el proyectilregresa a la altura de la que fue lanzado es
x0 =0 , y0 = 0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Dadas estas condiciones y las ecuaciones de tiro parabólico podemos conocer:
• Tiempo total de vuelo: tT
• Alcance horizontal máximo del proyectil: R
• Altura máxima del proyectil en su recorrido: ymax
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
• TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )Se encuentra de la ecuación general (3) para elmovimiento vertical:
y = y0 + v0y t - ½ g t2
Sustituyendo la condición inicial y0 = 0 y final y = 0
0 = 0 + v0y t - ½ g t2
Despejando el tiempo
t = 2 v0y ⁄ g
O bien
t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
• ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R )
R: es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total de vuelo.
Usamos la ecuación (1) para el movimiento horizontal
x = x0 +v0x t
Sustituimos la condición inicial x0= 0 y evaluamos en el tiempo total tT :
x = v0x tT
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Usamos el valor del tiempo total
t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g
calculado anteriormente y obtenemos
x = v0x (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Sustituyendo las componentes rectangulares de lavelocidad inicial v0x ;
x = V0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ⁄ g)
Usamos la identidad trigonométrica
2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0
Obtenemos que el alcance máximo viene dado por:
x = (V02 sen 2 θ0 ) ⁄ g
El alcance de un proyectil que se lanza con rapidez inicial constante es función del ángulo inicial:
0g
)2cos(2v 0
2
0
0
d
dx
g
)2(v 0
2
0 senx
y +
x +
850
El alcance máximo se obtiene si
Esto se cumple a los 450
650450
250
50
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
• ALTURA MÁXIMA ( y = ymax. )
• Se obtiene evaluando las ecuaciones del movimiento en el tiempo en el cual la componente vertical de la velocidad se
anula. v y = 0
Sustituyendo la condición anterior y la condición inicial y0=0 en la ecuación siguiente:
vy2 = v0y
2 –2 g ( y – y0 )
Obtenemos
v0y2 = 2 g ( y )
Si despejamos la posición final y sustituimos el valor de la velocidad inicial obtenemos finalmente la altura máxima del proyectil:
y m a x = (v0 cos θ0)2 ⁄ 2 g
Ecuación de la trayectoria:
Combinando las ecuaciones del movimiento convelocidad constante con las ecuaciones del movimientocon aceleración constante podemos obtener laecuación de la trayectoria del tiro parabólico.
Ecuación de la trayectoria
Sustituimos el tiempo t en la ecuación para la posición en y,
tvxx 0x0
2
0y2
1-tvy gt
0x
0
v
x-xt
Despejamos el tiempo de la ecuación para velocidad
constante
Ecuación de la trayectoria
2bx'-cx'y
2
0x
0
0x
00y
v
x-x
2
1-
v
x-xvy
g
Obtenemos
Esta ecuación corresponde a una parábola desplazada en
el eje x.
Ecuación de la trayectoria
Si hacemos:0x-xx'
0x
0y
v
vb 2
0x2v
gc y
3.4.2 Movimiento circular uniforme:Sus características.
• Posición angular y desplazamiento angular. Definición de radian.• Definición de período y frecuencia.
• Concepto de velocidad angular promedio e instantánea.
• Características del movimiento circular uniforme.
• Ecuaciones posición y velocidad angular contra tiempo.• Relación entre velocidad lineal y angular.
• Aceleración centrípeta y sus expresiones en términos de la velocidadangular y la velocidad lineal.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Decimos que una partícula tiene un movimientocircular uniforme si:
1. Se mueve describiendo una trayectoriacircular de radio r constante, y
2. la magnitud de la velocidad es constante entodo momento.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Para iniciar nuestro estudio del movimiento circular uniforme consideremos una partícula que se mueve uniformemente describiendo un círculo de radio r.
r=constante
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Para describir el movimiento de la partícula, introducimosun sistema de referencia.
(0,0)
y
x
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Al tiempo t0 la partícula se encuentra en la posiciónr0 y debido a su movimiento de rotación, en el tiempoposterior t=t0+Dt se encuentra en la posición final r .
(0,0)
y
xr0
r
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• La velocidad en r0 es v0 y la velocidad en r es v .
(0,0)
y
xr0
r
v
v0
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Al pasar de la posición inicial r0 a la posición final ren el intervalo de tiempo Dt, la partícula gira un ángulo .
(0,0)
y
xr0
r
Movimiento circular
• El vector de posición en este sistema de referencia estadado como:
Sujeto a la restricción
jsenrirr
jir
ˆˆcos
ˆyˆx
cteyxr 22
Movimiento circular
• Nos interesa conocer la posición la velocidad y laaceleración de la partícula como función del tiempo.
• De las ecuaciones anteriores notamos que en el caso en elque el radio es constante, basta con conocer el ángulo derotación en cada instante de tiempo.
• ¿ Como cambia en el tiempo, el ángulo barrido por lapartícula ?
• Antes de contestar a esta y otras preguntas veremosalgunos conceptos necesarios.
Ángulo Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida
entre dos semi-rectas que se unen en un punto común llamadovértice.
Un ángulo determina una superficie abierta al estar definido por dossemirrectas.
V vértice o eje de rotación vSemi-recta
Semi-recta
Medir el ángulo es medir la abertura de estas dos semi-rectas
Ángulo
Para representar simbólicamente a los ángulos,generalmente se utilizan las letras del alfabetogriego:
a (alfa); b (beta); g (gama); (teta); f (fi), etc.
Las unidades utilizadas para medir los ángulos delplano son: el gradián, el grado y el radian.
Ángulo: gradián
1.- El grado centesimal o gradián se define como el valorque resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades.
0
100
ÁnguloEn estas unidades la circunferencia tiene 400 grados
centesimales.
El gradián se representa con la letra g como un superíndicedespués de la cifra.
En las calculadoras suele utilizarse la abreviatura grad.
g30
g0
g300
g100
g400
g200
Ángulo: grados2.- El grado sexagesimal resulta de dividir un ángulo recto en
noventa unidades.
La unidad de medida del ángulo en el sistema sexagesimal es elgrado sexagesimal. Un ángulo recto tiene 90 gradossexagesimales 90
0
1 ángulo recto = 90 grados sexagesimales
1 grado sexagesimal= 60’ minutos sexagesimales
1 minuto sexagesimal= 60’’ segundos sexagesimales
Ángulo
En estas unidades la circunferencia tiene 360 grados
El grado sexagesimal se representa con el símbolo como unsuperíndice después de la cifra, ejemplo:
360
270
180
90
0
Angulo: Notación decimal
Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal,separando la parte entera de la decimal con el punto decimalejemplo:
228.30
235.123
122.0
Angulo: Notación sexagesimal
Los ángulos se pueden expresar en grados , minutos y segundos
''11'12308
''4.123'1110
''2.23'52
La norma de escritura establece que no se debe dejar
espacio entre las cifras.
Ángulo: radián
3.- El radian, se define como el ángulo quelimita un arco de circunferencia cuyalongitud es igual al radio del arco.
ÁnguloLa forma común de medir ángulos es en sentido contrario a
las manecillas del reloj.
Medir el ángulo es medir la abertura de las dos semi-rectas
R radio de la circunferencia
v vértice o eje de rotación
S
R
R
vrecta
recta
S arco de circunferencia
ángulo
= S ⁄ R
Ángulo• En el Sistema Internacional de Unidades, un radianes una unidad de ángulo plano y se define como elángulo que subtiende un arco S de circunferenciacuya longitud es igual al radio R del arco.
• Como el arco S de la circunferencia tiene unidades de longitud lo mismo que el radio R, el ángulo es una cantidad adimensional.
dimensionsin L
L
El radian
• El ángulo completo, dado en radianes para unacircunferencia de radio r es:
22
r
r
r
Perímetro
El radian
• El símbolo del radian es: rad
• Como el ángulo que forma un círculo completo mide360 grados sexagesimales.
• Definimos la unidad de radian como
''45'17571
3.57180
1
2
3601
rad
rad
rad
El radian
• En estas unidades la circunferencia tiene rad.2
rad2
rad2
rad
rad2
3
+
rad0
Ángulo, radianes y revolución
En movimiento circular definimos una revolución comoun giro por un ángulo de 360 grados o .
3600=1 revolución, 2 rad = 1 revolución
2
revolución1
+
esrevolucion0
Ángulo, radianes y revolución
Si la partícula que está girando realiza un giro de720 grados
esrevolucion
revolución
2720
12720
3602720
+
Ángulo, radianes y revoluciónSi la partícula que está girando realiza n giroscompletos decimos que ha realizado nrevoluciones.
esrevolucionnn 360
Frecuencia
• Las revoluciones por unidad de tiempo es una cantidadfísica que se conoce como frecuencia.
• Usualmente se denota a la frecuencia con la letra f.
tiempo
esrevolucionf
Frecuencia• La frecuencia tiene dimensiones del inverso del tiempo.
• En el Sistema Internacional, la unidad de la frecuencia es el Hertz y se denota como Hz ejemplo:
t
f1
Hzf
Hzf
100
10
2
1
Frecuencia
• El Hertz es la unidad de frecuencia.
• Definimos un Hertz como una revolución cada segundo.
s
radHz
s
revoluciónHz
1
21
1
11
Frecuencia
• Una partícula que gira, cuya frecuencia es de n Hz realiza n revoluciones cada segundo.
s
revHz
nejemplo
s
radnHzn
s
revoluciónnHzn
1010
10
1
2
1
Período
• Definimos el período como el tiempo que tarda unapartícula que gira en completar una revolución.
• El período se denota con la letra mayúscula T
• El período tiene unidades de tiempo.
tT
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Consideremos cinco partículas, cada una moviéndose en unacircunferencia concéntrica de radio ri con i=1,2,3,4,5.
• Al tiempo inicial cero todas se encuentran en laconfiguración siguiente
r5
r4
r3
r2
r1
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• Al tiempo posterior t+Dt todas se encuentran en la configuración:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
• El desplazamiento de cada partícula en el intervalo Dt es Dri.
Dr5
Dr4
Dr3Dr1
Dr2
Movimiento circular
Notamos que para el mismo intervalo de tiempo:
• Los vectores de desplazamiento apuntan todos en la misma dirección pero tienen magnitudes diferentes.
Dr5 > Dr4 > Dr3 > Dr2 > Dr1
• La velocidad media de cada partícula es diferente:
12345i vvvvv,v
D
D
t
ri
Movimiento circular
• El concepto de velocidad media no es suficiente para describir el movimiento circular.
• Una propiedad que comparten las partículas del ejemplo que analizamos es que para tiempos iguales barren ángulos iguales.
Velocidad Angular Media
Analicemos el movimiento de solo dos partículas que se mueven en trayectorias circulares de radio r y R respectivamente.
rr 1
RR 1
r1R1
Velocidad Angular Media
En el tiempo t=t0+Dt las dos partículas se encuentran en la configuración siguiente .
rr 2
RR 2
r2
R2
D
Velocidad Angular MediaEn el intervalo de tiempo Dt las partículas recorren el diferencial de arco DSr y DSR respectivamente.
r1
r2
R1
R2
D Dsr
DsR
Velocidad Angular MediaEn el mismo intervalo de tiempo Dt el desplazamiento de cada partícula es Dr y DR respectivamente.
r1
r2
R1
R2
Dr
DR
Velocidad Angular MediaSi comparamos cada elemento de arco DSr y DSR con los desplazamientos respectivo Dr y DR:
r1
r2
R1
R2
D Dsr
DsR
Velocidad Angular MediaEn el límite en que Dt tiende a cero, D tiende a cero y podemos aproximar el elemento de arco por el desplazamiento. .
r1
r2
R1
R2
D Dr
DR
Movimiento circular
• El desplazamiento para ángulos pequeños es:
Para ángulos pequeños jsenrirr
jirr
jir
ˆˆcos
ˆ0ˆ
ˆyˆx
2
1
DD
DDD
Srr DDD
DDDD seny0cos,0
Velocidad Angular Media
Con la aproximación del desplazamiento para ángulos pequeños
Dr = DS = r D
Reescribimos la velocidad media en función del ángulo
vm= Dr ⁄Dt = r (D ⁄ Dt)
Velocidad Angular Media
Definimos la Velocidad Angular media m como el cambio del ángulo en el intervalo de tiempo Dt
m = D⁄Dt
sus unidades son:
rad ⁄ s
rev ⁄ s
grados ⁄ s
Velocidad Angular Media
Definimos la velocidad angular instantánea , como el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la
velocidad angular media:
0
0
0lim
0lim
0lim
tt
θθ
tΔΔt
Δθ
tΔ
ωtΔ
ω
Velocidad Angular Media
La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:
v = r
La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular y a la distancia r al eje de rotación.
Velocidad Angular Media
La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando de la definición de velocidad angular:
Despejando obtenemos como función del tiempo
= 0 + ( t – t0 )
0
0
tt
θθ
Velocidad lineal y angular
En el movimiento circular las velocidades lineal y angular se miden en unidades de frecuencia por desplazamiento.
v = Ds/ Dt = 2r/tPara una vuelta completa, el tiempo t es simplemente el período t.
v = 2r/t
Velocidad lineal y angular
Como la frecuencia es el inverso del período obtenemos:
v = 2rnComparando las relaciones anteriores con la expresión:
v = rtenemos que:
= 2n = 2/t
Aceleración Centrípeta o Radial
Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r.
Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial)
• Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante.
R v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
v8
│v1│= │ v2 │=│v3│= …… =│v7│=│v8│
Pero:
v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ …… ≠ v7 ≠ v8
Porque tienen diferente
dirección y sentido
Aceleración Centrípeta o Radial
Puesto que los vectores velocidad son diferentes, la velocidad cambia y el cambio esta dado por:
Dv = v2 – v1
Dv = v3 – v2
Dv = v4 – v3
Dv = v5 – v4
etc.
Aceleración Centrípeta o Radial
Todos los cambios de velocidad son diferentes, tienen la misma magnitud y están dirigidos hacia adentro del círculo.
Dv12 v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
v8
-v1-v2
-v3
-v8
Dv81
Dv23
Dv34
R-v4
Dv45
Aceleración Centrípeta o Radial
Dado que los cambios de velocidad son diferentes, decimos que el movimiento es acelerado:
a = Dv / Dt
Para precisar correctamente la dirección, el sentido y su magnitud.
Analicemos la figura manteniendo constante la magnitud de la velocidad pero considerando un intervalo de tiempo Dt mas pequeño.
Aceleración Centrípeta o Radial
El cambio en la velocidad Dv (por ej. v2 – v1) apunta en a lo largo del radio yhacia el centro del círculo independientemente del lugar donde se mida.
La dirección y el sentido de la aceleración es el mismo que el del cambio develocidad: la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, deahí que reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.
Dv cuando Dt → 0
D v
v1-v1
v3
v2
v4
-v3
D v
Aceleración Centrípeta o Radial
Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente, debemos tomar un Dt próximo a cero, de tal manera que los puntos a y b se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta.
D v
v1-v1
v2
a
b
c
d
eR
R
DS
Aceleración Centrípeta o Radial
De ésta forma, tendremos que DS será una línea recta entre el punto ay el punto b, formándose los triángulos aeb y bcd, que tienen las siguientes características:
triángulo aeb triángulo bcd
Dos lados iguales R v
Uno desigual DS Dv
D v
v1-v1
v2
a
b
c
d
eR
R
DS
Aceleración Centrípeta o Radial
De la semejanza de triángulos tenemos que:
dos o más triángulos son semejantes
si tienen dos lados iguales y uno desigual.
Esto es, el lado desigual (DS) del triángulo aeb
lo es al lado igual (R)
como el lado desigual (Dv) del
triángulo bcd lo es al lado igual (v).
D v
v1-v1
v2
a
b
c
d
eR
R
DS
Magnitud de la Aceleración Centrípeta
Esto se expresa de la manera siguiente:
despejando Dv y dividiendo entre el intervalo de tiempo Dt que tarda el cuerpo en ir del punto a al punto b:
donde: y
sustituyendo lo anterior
R
S
v
v D
D
tR
Sv
t
v
D
D
D
D
vt
S
D
Da
t
v
D
D
R
va
2
Aceleración Centrípeta o Radial
EN ESTAS ECUACIONES
a = │a│ la magnitud de la aceleración del cuerpo,
v = │v│ la magnitud de la velocidad del cuerpo y
R el radio de la trayectoria circular
Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice r para diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial.
De ésta forma:
R
va
r
2
Aceleración Centrípeta o Radial
Definimos el vector unitario como el vector unitarioque apunta a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Este vector cambia constantemente su dirección (con respecto al sistema de coordenadas x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular.
r
Aceleración Centrípeta o Radial
Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección entonces:
La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:
rR
va
rˆ
2
r
2
2222
2 44
t
rrr
r
var
Movimiento Circular no Uniforme
Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneouniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el circular uniforme, sonde los movimientos mas sencillos que se producen en la naturaleza y se hantratado de una forma aislada.
Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es unacombinación de ellos como por ejemplo:
Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carreterahorizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar lacurva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo uniformea uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza a frenarpara poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar en elpavimento.
Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento,puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento circularuniforme.
Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve aacelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuandoacelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad decrucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:
Movimiento Circular no Uniformerectilíneo uniforme
rectilíneo uniformementeacelerado
circular no
uniforme
rectilíneo uniformementeacelerado
rectilíneo uniforme
R
circular uniforme
Movimiento Circular no Uniforme
Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la dirección y sentido están variando.
D v
v1
-v1
v2
D v
v1
-v1
v2
a
b
c
d
eR
R
DS
r
Movimiento Circular no Uniforme
r
D v
v1
-v1
v2
a
b
c
d
eR
R
DS
D vr
D vt
Eje tangente
Movimiento Circular no Uniforme
Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.
Dv = Dvr + Dvt
y la aceleración del cuerpo será:
donde el término:
es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y
es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:
trvvv
at t t
DDD
D D D
rr at
v
D
D
tt at
v
D
D
Movimiento Circular no Uniforme
Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como:
v = r
sustituyendo tenemos que:
además:
que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( am )
0
0
tt
vv
t
va t
t
D
D
0
0
0
0
0
0
ttr
tt
rr
tt
vvat
ttt D
D
0
0
0
0
ttt
D
D
ammediaangularnaceleració
Movimiento Circular no Uniforme
Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:
y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es decir:
de donde:
Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:
dt
d
ttt ttm
t
aa
D
D
DDD0
0
000limlimlimainstantáneangularnaceleració
0
0
tttm
D
D
aa
)( 00 tt a
raa r a
Cantidades Tangenciales y Angulares
Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el rotacional.
Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura:
r
A
B
r
A
B
s
s = r
r
A
B
s
Cantidades Tangenciales y Angulares
En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo el cual por definición viene expresado como:
s/r
en donde por definición de ángulo, debe de medirse en radianes.
Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado por:
s = r
Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia s = r , es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el rotacional.
Cantidades Tangenciales y Angulares
Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde.
A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda.
s
rr
s
s = r
Cantidades Lineales y Angulares
Comparación entre las ecuaciones de movimiento
Lineales Angulares
s = s0 + vm (t – t0 ) = 0 + m (t – t0 )
v = v0 + a (t – t0 ) = 0 + a (t – t0 )
vm = ½ (v + v0 ) m = ½ (+ 0 )
v2 - v02 = 2 a (s – s0 ) 2 - 0
2 =2 a ( – 0 )
s = s0 + v0 t + ½ a (t - t0 )2 = 0 + 0 t + ½ a (t - t0 )2
Nota: Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en radianes